Визначення меж послідовності та функції, властивості меж, перший та другий чудові межі, приклади.

Постійне число аназивається межею послідовності(x n ), якщо для будь-якого скільки завгодно малого позитивного числа ε > 0 існує номер N, що всі значення x n, у яких n>N, задовольняють нерівності

Записують це так: або x n → a.

Нерівність (6.1) рівносильна подвійній нерівності

a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, Починаючи з деякого номера n>N, лежать усередині інтервалу (a-ε , a+ε), тобто. потрапляють у будь-яку малу ε-околиця точки а.

Послідовність, що має межу, називається схожій, в іншому випадку - розходиться.

Поняття межа функції є узагальненням поняття межа послідовності, оскільки межу послідовності можна розглядати як межу функції x n = f(n) цілого аргументу n.

Нехай дана функція f(x) та нехай a - гранична точкаобласті визначення цієї функції D(f), тобто. така точка, будь-яка околиця якої містить точки множини D(f), відмінні від a. Крапка aможе належати множині D(f), а може і не належати йому.

Визначення 1.Постійне число А називається межа функції f(x) при x→ a, якщо для будь-якої послідовності (x n ) значень аргументу, що прагне до а, відповідні їм послідовності (f(x n)) мають одну і ту ж межу А.

Це визначення називають визначенням межі функції за Гейном,або “ мовою послідовностей”.

Визначення 2. Постійне число А називається межа функції f(x) при x→a, якщо, задавши довільне, як завгодно мале позитивне числоε, можна знайти таке δ >0 (що залежить від ε), що для всіх x, що лежать в ε-околиці числа а, тобто. для x, що задовольняють нерівності
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Це визначення називають визначенням межі функції по Коші,або “на мові ε - δ"

Визначення 1 та 2 рівносильні. Якщо функція f(x) при x → a має межа, рівний А, записується у вигляді

У тому випадку, якщо послідовність (f(x n)) необмежено зростає (або зменшується) за будь-якого способу наближення xдо своєї межі а, то говоритимемо, що функція f(x) має нескінченна межа,і записувати це у вигляді:

Змінна величина (тобто послідовність чи функція), межа якої дорівнює нулю, називається нескінченно малою величиною.

Змінна величина, межа якої дорівнює нескінченності, називається нескінченно великою величиною.

Щоб знайти межу практично користуються наступними теоремами.

Теорема 1 . Якщо існує кожна межа

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Зауваження. Вирази виду 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ є невизначеними, наприклад, відношення двох нескінченно малих або нескінченно великих величин, і знайти межу такого виду має назву “розкриття невизначеностей”.

Теорема 2.

тобто. можна переходити до межі на підставі ступеня за постійного показника, зокрема,

Теорема 3.

(6.11)

де e» 2.7 - основа натурального логарифму. Формули (6.10) і (6.11) звуться перша чудова межа і друга чудова межа.

Використовуються на практиці та наслідки формули (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

зокрема межа,

Якщо x → a і при цьому x > a, пишуть x →a + 0. Якщо, зокрема, a = 0, то замість символу 0+0 пишуть +0. Аналогічно, якщо x→a і при цьому x і називаються відповідно межа праворучі межа зліва функції f(x) у точці а. Щоб існувала межа функції f(x) при x→ a необхідно і достатньо, щоб . Функція f(x) називається безперервний у точці x 0 якщо межа

(6.15)

Умову (6.15) можна переписати у вигляді:

тобто можливий граничний перехід під знаком функції, якщо вона безперервна у цій точці.

Якщо рівність (6.15) порушена, то кажуть, що при x = x o функція f(x) має розрив.Розглянемо функцію y = 1/x. Областю визначення цієї функції є безліч R, крім x = 0. Точка x = 0 є граничною точкою множини D(f), оскільки у її околиці, тобто. у будь-якому відкритому інтервалі, що містить точку 0, є точки з D(f), але вона сама не належить цій множині. Значення f(x o)= f(0) не визначено, у точці x o = 0 функція має розрив.

Функція f(x) називається безперервної праворуч у точці x o , якщо межа

і безперервної зліва в точці x o, якщо межа

Безперервність функції у точці x oрівносильна її безперервності у цій точці одночасно праворуч і ліворуч.

Для того, щоб функція була безперервною у точці x o, наприклад, справа, необхідно, по-перше, щоб існувала кінцева межа , а по-друге, щоб ця межа дорівнювала f(x o). Отже, якщо хоча б одна з цих двох умов не виконується, то функція матиме розрив.

1. Якщо межа існує і не дорівнює f(x o), то кажуть, що функція f(x) у точці x o має розрив першого роду,або стрибок.

2. Якщо межа дорівнює +∞ або -∞ або не існує, то кажуть, що в точці x o функція має розрив другого роду.

Наприклад, функція y = ctg x при x → +0 має межу, що дорівнює +∞ , отже, у точці x=0 вона має розрив другого роду. Функція y = E(x) (ціла частина від x) у точках з цілими абсцисами має розриви першого роду, або стрибки.

Функція, безперервна в кожній точці проміжку, називається безперервнийв. Безперервна функція зображується суцільною кривою.

До другої чудової межі приводять багато завдань, пов'язаних з безперервним зростанням будь-якої величини. До таких завдань, наприклад, належать: зростання вкладу згідно із законом складних відсотків, зростання населення країни, розпад радіоактивної речовини, розмноження бактерій тощо.

Розглянемо приклад Я. І. Перельмана, що дає інтерпретацію числа eу завданні про складні відсотки. Число eє межа . У ощадбанках відсоткові гроші приєднуються до основного капіталу щорічно. Якщо приєднання відбувається частіше, то капітал зростає швидше, оскільки у освіті відсотків бере участь велика сума. Візьмемо суто теоретичний, дуже спрощений приклад. Нехай у банк покладено 100 ден. од. з розрахунку 100% річних. Якщо відсоткові гроші будуть приєднані до основного капіталу лише через рік, то до цього терміну 100 ден. од. перетворяться на 200 ден.од. Подивимося тепер, на що перетворяться 100 ден. од., якщо відсоткові гроші приєднувати до основного капіталу кожні півроку. Після півріччя 100 ден. од. зростуть у 100×1,5 = 150, а ще через півроку – у 150×1,5 = 225 (ден. од.). Якщо приєднання робити кожні 1/3 року, то через рік 100 ден. од. перетворяться на 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (ден. од.). Частішатимемо терміни приєднання відсоткових грошей до 0,1 року, до 0,01 року, до 0,001 року і т.д. Тоді зі 100 ден. од. через рік вийде:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (ден. од.),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (ден. од.),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (ден. од.).

При безмежному скороченні термінів приєднання відсотків нарощений капітал не зростає безмежно, а наближається до певної межі, що дорівнює приблизно 271. Більш ніж у 2,71 раз капітал, покладений під 100% річних, збільшитися не може, навіть якби нарослі відсотки приєднувалися до капіталу секунду, тому що межа

Приклад 3.1. Користуючись визначенням межі числової послідовності, довести, що послідовність x n =(n-1)/n має межу, що дорівнює 1.

Рішення.Нам треба довести, що, хоч би яке ε > 0 ми взяли, йому знайдеться натуральне число N, таке, що всім n > N має місце нерівність |x n -1|< ε

Візьмемо будь-яке ε > 0. Оскільки x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, то для відшукання N досить вирішити нерівність 1/n<ε. Отсюда n>1/ε і, отже, за N можна прийняти цілу частину від 1/ε N = E(1/ε). Ми тим самим довели, що .

Приклад 3.2.Знайти межу послідовності, заданої спільним членом .

Рішення. Застосуємо теорему межу суми і знайдемо межу кожного доданка. При n → ∞ чисельник і знаменник кожного доданка прагне нескінченності, і ми можемо безпосередньо застосувати теорему межа приватного. Тому спочатку перетворимо x nрозділивши чисельник і знаменник першого доданку на n 2, а другого на n. Потім, застосовуючи теорему межу частки та межу суми, знайдемо:

Приклад 3.3. . Знайти.

Рішення.

Тут ми скористалися теоремою про межу ступеня: межа ступеня дорівнює ступеня від межі основи.

Приклад 3.4. Знайти ( ).

Рішення. Застосовувати теорему межу різниці не можна, оскільки маємо невизначеність виду ∞-∞. Перетворимо формулу загального члена:

Приклад 3.5. Дано функцію f(x)=2 1/x . Довести, що межі немає.

Рішення.Скористаємося визначенням 1 межі функції через послідовність. Візьмемо послідовність ( x n ), що сходить до 0, тобто. Покажемо, що величина f(x n)= для різних послідовностей поводиться по-різному. Нехай x n = 1/n. Очевидно, що тоді межа Виберемо тепер як x nпослідовність із загальним членом x n = -1/n, що також прагне до нуля. Тому межі немає.

Приклад 3.6. Довести, що межі немає.

Рішення.Нехай x 1 , x 2 ,..., x n ,... - послідовність, для якої
. Як поводиться послідовність (f(x n)) = (sin x n ) при різних x n → ∞

Якщо x n = p n то sin x n = sin (p n) = 0 при всіх nі межа Якщо ж
x n =2 p n+ p /2, то sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 всім nі отже межа. Отже, немає.

Межа функції- Число aбуде межею деякої величини, що змінюється, якщо в процесі своєї зміни ця змінна величина необмежено наближається до a.

Або іншими словами, число Aє межею функції y = f(x)у точці x 0, якщо для будь - якої послідовності точок з області визначення функції , не рівних x 0, і яка сходиться до точки x 0 (lim x n = x0), послідовність відповідних значень функції сходиться до A.

Графік функції, межа якої при аргументі, що прагне нескінченності, дорівнює L:

Значення Ає межею (граничним значенням) функції f(x)у точці x 0у разі, якщо для будь-якої послідовності точок , яка сходиться до x 0, але яка не містить x 0як один із своїх елементів (тобто в проколотій околиці x 0), послідовність значень функції сходиться до A.

Межа функції по Коші.

Значення Aбуде межею функції f(x)у точці x 0у разі, якщо для будь-якого вперед взятого невід'ємного числа ε буде знайдено відповідне йому невід'ємне число δ = δ(ε) таке, що для кожного аргументу x, що задовольняє умову 0 < | x - x0 | < δ , буде виконано нерівність | f(x) A |< ε .

Буде дуже просто, якщо ви розумієте суть межі та основні правила знаходження його. Те, що межа функції f (x)при xщо прагне до aдорівнює A, записується таким чином:

Причому значення, якого прагне змінна x, може бути не лише числом, а й нескінченністю (∞), іноді +∞ або -∞, або межі може взагалі не бути.

Щоб зрозуміти, як знаходити межі функціїнайкраще подивитися приклади рішення.

Необхідно знайти межі функції f (x) = 1/xпри:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

Знайдемо рішення першої межі. Для цього можна просто підставити замість xчисло, якого вона прагне, тобто. 2, отримаємо:

Знайдемо другу межу функції. Тут підставляти у чистому вигляді 0 замість xне можна, тому що. ділити на 0 не можна. Але ми можемо брати значення, наближені до нуля, наприклад, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 і так далі, причому значення функції f (x)збільшуватиметься: 100; 1000; 10000; 100000 і так далі. В.о., можна зрозуміти, що за x→ 0 значення функції, що стоїть під знаком межі, необмежено зростатиме, тобто. прагнути до нескінченності. А значить:

Стосовно третьої межі. Така ж ситуація, як і в минулому випадку, неможливо підставити ∞ у чистому вигляді. Потрібно розглянути випадок необмеженого зростання x. По черзі підставляємо 1000; 10000; 100000 і так далі маємо значення функції f (x) = 1/xбуде спадати: 0,001; 0,0001; 0,00001; і так далі, прагнучи нуля. Тому:

Необхідно обчислити межу функції

Приступаючи до вирішення другого прикладу, бачимо невизначеність. Звідси знаходимо старший ступінь чисельника та знаменника - це x 3, Виносимо в чисельнику та знаменнику його за дужки і далі скорочуємо на нього:

Відповідь

Першим кроком у знаходження цієї межі, підставимо значення 1 замість x, у результаті маємо невизначеність . Для її вирішення розкладемо чисельник на множники, зробимо це методом знаходження коріння квадратного рівняння x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4 * 1 * (-3) = 4 +12 = 16→ √ D =√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Таким чином, чисельник буде таким:

Відповідь

Це визначення його конкретного значення чи певної області, куди потрапляє функція, обмежена межею.

Щоб вирішити межі, дотримуйтесь правил:

Розібравшись у суті та основних правилах вирішення межіВи отримаєте базове поняття про те, як їх вирішувати.

Поняття меж послідовностей та функцій. Коли потрібно знайти межу послідовності, це записують так: lim xn=a. У такій послідовності послідовності xn прагне a, а n до нескінченності. Послідовність зазвичай представляють у вигляді ряду, наприклад:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Послідовності поділяються на зростаючі та спадні. Наприклад:
xn=n^2 - зростаюча послідовність
yn=1/n - послідовність
Так, наприклад, межа послідовності xn=1/n^:
lim 1/n^2=0

x→∞
Ця межа дорівнює нулю, оскільки n→∞, а послідовність 1/n^2 прагне нуля.

Зазвичай змінна величина x прагне кінцевої межі a, причому, x постійно наближається до a, а величина a постійна. Це записують так: limx =a, причому, n також може прагнути як до нуля, так і до нескінченності. Існують нескінченні функції, їм межа прагне нескінченності. В інших випадках, коли, наприклад, функцією уповільнення ходу поїзда, можна про межу, що прагне до нуля.
У меж є ряд властивостей. Як правило, будь-яка функція має лише одну межу. Це основна властивість межі. Інші властивості перераховані нижче:
* Межа суми дорівнює сумімеж:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Межа твору дорівнює твору меж:
lim(xy)=lim x*lim y
* Межа приватного дорівнює частки від меж:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Постійний множник виносять за знак межі:
lim(Cx)=C lim x
Якщо дана функція 1 /x, в якій x →∞, її межа дорівнює нулю. Якщо ж x→0, межа такої функції дорівнює ∞.
Для тригонометричних функційє винятки із цих правил. Бо функція sin x завжди прагне одиниці, коли наближається до нуля, для неї справедлива тотожність:
lim sin x/x=1

У ряді завдань зустрічаються функції, при обчисленні меж яких виникає невизначеність - ситуація, коли межу неможливо обчислити. Єдиним виходом із такої ситуації стає застосування правила Лопіталя. Існує два види невизначеностей:
* невизначеність виду 0/0
* невизначеність виду ∞/∞
Наприклад, дано межу такого виду: lim f(x)/l(x), причому, f(x0)=l(x0)=0. У такому разі виникає невизначеність виду 0/0. Для вирішення такої задачі обидві функції піддають диференціювання, після чого знаходять межу результату. Для невизначеностей виду 0/0 межа дорівнює:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (при x→0)
Це правило справедливо й у невизначеностей типу ∞/∞. Але в цьому випадку справедлива така рівність: f(x)=l(x)=∞
За допомогою правила Лопіталя можна знаходити значення будь-яких меж, у яких фігурують невизначеності. Обов'язкова умовапри

том - відсутність помилок під час перебування похідних. Так, наприклад, похідна функції (x^2)" дорівнює 2x. Звідси можна зробити висновок, що:
f"(x)=nx^(n-1)

Межі завдають всім студентам, які вивчають математику, чимало клопоту. Щоб вирішити межу, часом доводиться застосовувати масу хитрощів і вибирати з багатьох способів розв'язання саме той, який підійде для конкретного прикладу.

У цій статті ми не допоможемо вам зрозуміти межі своїх можливостей або осягнути межі контролю, але постараємося відповісти на запитання: як зрозуміти межі в вищої математики? Розуміння приходить з досвідом, тому зараз приведемо кілька докладних прикладіввирішення меж із поясненнями.

Поняття межі математики

Перше питання: що це взагалі за межу та межу чого? Можна говорити про межі числових послідовностейта функцій. Нас цікавить поняття межі функції, оскільки саме з ними найчастіше стикаються студенти. Але спочатку – саме загальне визначеннямежі:

Припустимо, є певна змінна величина. Якщо ця величина у процесі зміни необмежено наближається до певного числа a , то a - Межа цієї величини.

Для певної в певному інтервалі функції f(x)=y межею називається таке число A , якого прагне функція при х , що прагне до певної точки а . Крапка а належить інтервалу, у якому визначено функція.

Звучить громіздко, але записується дуже просто:

Lim- від англійської limit- Межа.

Існує також геометричне пояснення визначення межі, але тут ми не лізтимемо в теорію, оскільки нас більше цікавить практична, ніж теоретична сторонапитання. Коли ми говоримо, що х прагне якогось значення, це означає, що змінна не приймає значення числа, але нескінченно близько до нього наближається.

Наведемо конкретний приклад. Завдання – знайти межу.

Щоб вирішити такий приклад, підставимо значення x=3 у функцію. Отримаємо:

До речі, якщо вас цікавлять базові операції над матрицями, читайте окрему статтю на цю тему.

У прикладах х може прагнути будь-якого значення. Це може бути будь-яке число чи нескінченність. Ось приклад, коли х прагне нескінченності:

Інтуїтивно зрозуміло, що чим більше число у знаменнику, тим менше значення прийматиме функція. Так, за необмеженого зростання х значення 1/х буде зменшуватись і наближатися до нуля.

Як бачимо, щоб вирішити межу, потрібно просто підставити на функцію значення, якого прагнути х . Однак це найпростіший випадок. Часто перебування межі негаразд очевидне. У межах зустрічаються невизначеності типу 0/0 або нескінченність/нескінченність . Що робити у таких випадках? Вдаватися до хитрощів!

Невизначеності в межах

Невизначеність виду нескінченність/нескінченність

Нехай є межа:

Якщо спробуємо у функцію підставити нескінченність, то отримаємо нескінченність як і чисельнику, і у знаменнику. Взагалі варто сказати, що у вирішенні таких невизначеностей є певний елемент мистецтва: треба помітити, як можна перетворити функцію таким чином, щоб невизначеність пішла. У нашому випадку розділимо чисельник і знаменник на х у старшому ступені. Що вийде?

З уже розглянутого вище прикладу ми знаємо, що члени, які містять у знаменнику х, прагнутимуть нуля. Тоді рішення межі:

Для розкриття невизначеностей типу нескінченність/нескінченністьділимо чисельник і знаменник на хнайвищою мірою.

До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на будь-який вид роботи

Ще один вид невизначеностей: 0/0

Як завжди, підстановка у функцію значення х=-1 дає 0 у чисельнику та знаменнику. Подивіться трохи уважніше і Ви помітите, що у чисельнику у нас квадратне рівняння. Знайдемо коріння та запишемо:

Скоротимо та отримаємо:

Отже, якщо ви стикаєтеся з невизначеністю типу 0/0 - Розкладайте чисельник і знаменник на множники.

Щоб Вам було простіше вирішувати приклади, наведемо таблицю за межами деяких функцій:

Правило Лопіталя в межах

Ще один потужний спосіб дозволяє усунути невизначеності обох типів. У чому полягає суть методу?

Якщо межі є невизначеність, беремо похідну від чисельника і знаменника до того часу, поки невизначеність не зникне.

Наочно правило Лопіталя виглядає так:

Важливий момент : межа, в якій замість чисельника та знаменника стоять похідні від чисельника та знаменника, має існувати.

А тепер – реальний приклад:

В наявності типова невизначеність 0/0 . Візьмемо похідні від чисельника та знаменника:

Вуаля, невизначеність усунена швидко та елегантно.

Сподіваємося, що Ви зможете з користю застосувати цю інформацію на практиці та знайти відповідь на питання "як вирішувати межі у вищій математиці". Якщо потрібно визначити межу послідовності або межу функції в точці, а часу на цю роботу немає від слова «зовсім», зверніться до професійного студентського сервісу за швидким і докладним рішенням.