Знайдіть визначити кожну матрицю розміром 2х2.Кожен елемент будь-якої матриці, включаючи транспоновану, пов'язаний із відповідною матрицею 2х2. Щоб знайти матрицю 2х2, яка відповідає певному елементу, закресліть рядок та стовпець, у яких знаходиться даний елементтобто потрібно закреслити п'ять елементів вихідної матриці 3х3. Незакресленими залишаться чотири елементи, які є елементами відповідної матриці 2х2.

• Наприклад, щоб знайти матрицю 2х2 для елемента, який розташований на перетині другого рядка та першого стовпця, закресліть п'ять елементів, які знаходяться у другому рядку та першому стовпці. Чотири елементи, що залишилися, є елементами відповідної матриці 2х2.
• Знайдіть визначник кожної матриці 2х2. Для цього добуток елементів другорядної діагоналі відніміть із добутку елементів головної діагоналі (дивіться малюнок).
• Детальну інформацію про матриці 2х2, що відповідають певним елементам матриці 3х3, можна знайти в інтернеті.

Створіть матрицю кофакторів.Результати, отримані раніше, запишіть у вигляді нової матриці кофакторів. Для цього знайдений визначник кожної матриці 2х2 напишіть там, де був відповідний елемент матриці 3х3. Наприклад, якщо розглядається матриця 2х2 елемента (1,1), її визначник запишіть в позиції (1,1). Потім поміняйте знаки відповідних елементів згідно з певною схемою, яка показана на малюнку.

• Схема зміни знаків: - знак першого елемента першого рядка не змінюється; знак другого елемента першого рядка змінюється на протилежний; знак третього елемента першого рядка не змінюється тощо рядково. Зверніть увагу, що знаки «+» та «-», які показані на схемі (дивіться малюнок), не свідчать про те, що відповідний елемент буде позитивним чи негативним. У даному випадкуЗнак "+" говорить про те, що знак елемента не змінюється, а знак "-" свідчить про зміну знака елемента.
• Детальну інформацію про матриці кофакторів можна знайти в інтернеті.
• Так ви знайдете приєднану матрицю вихідної матриці. Іноді її називають комплексно-сполученою матрицею. Така матриця позначається як adj(M).

Розділіть кожен елемент приєднаної матриці на визначник.Визначник матриці М було обчислено на самому початку, щоб перевірити, що зворотна матриця існує. Тепер поділіть кожен елемент приєднаної матриці на цей визначник. Результат кожної операції поділу запишіть там, де є відповідний елемент. Так ви знайдете матрицю, обернену до вихідної.

• Визначник матриці, яка показана малюнку, дорівнює 1. Таким чином, тут приєднана матриця є зворотною матрицею (бо при розподілі будь-якого числа на 1 воно не змінюється).
• У деяких джерелах операція поділу замінюється операцією множення на 1/det(М). При цьому кінцевий результат змінюється.

Запишіть зворотну матрицю.Запишіть елементи, розташовані на правій половині великої матриці, як окремої матриці, яка є зворотною матрицею.

За допомогою калькулятора

Виберіть калькулятор, який працює із матрицями.За допомогою простих калькуляторів не можна знайти зворотну матрицю, але це можна зробити на гарному графічному калькуляторі, такому як Texas Instruments TI-83 або TI-86.

Введіть вихідну матрицю у пам'ять калькулятора.Для цього натисніть кнопку Matrix (Матриця), якщо вона є. У випадку калькулятора Texas Instruments, можливо, знадобиться натиснути кнопки 2nd та Matrix.

Виберіть меню Edit (Редагування).Зробіть це за допомогою кнопок зі стрілками або відповідної функціональної кнопки, розташованої у верхній частині клавіатури калькулятора (розташування кнопки залежить від моделі калькулятора).

Введіть позначку матриці.Більшість графічних калькуляторів вміє працювати із 3-10 матрицями, які можна позначити літерами А-J. Як правило, просто виберіть [A], щоб визначити вихідну матрицю. Потім натисніть кнопку Enter.

Введіть розмір матриці.У цій статті йдеться про матриці 3х3. Але графічні калькулятори можуть працювати з матрицями великих розмірів. Введіть кількість рядків, натисніть кнопку Enter, потім введіть кількість стовпців та ще раз натисніть кнопку Enter.

Введіть кожний елемент матриці.На екрані калькулятора з'явиться матриця. Якщо в калькулятор вже вводилася матриця, вона з'явиться на екрані. Курсор виділить перший елемент матриці. Введіть значення першого елемента та натисніть Enter. Курсор автоматично переміститься до наступного елемента матриці.

Матриця А -1 називається зворотною матрицею по відношенню до матриці А, якщо А * А -1 = Е де Е - одинична матриця n -го порядку. Зворотна матриця може існувати лише для квадратних матриць.

Призначення сервісу. За допомогою даного сервісув онлайн режиміможна знайти додатки алгебри , транспоновану матрицю A T , союзну матрицю і зворотну матрицю. Рішення проводиться безпосередньо на сайті (в онлайн) і є безкоштовним. Результати обчислень оформляються у звіті формату Word та у форматі Excel (тобто є можливість перевірити рішення). див. приклад оформлення.

Інструкція. Для отримання рішення необхідно встановити розмірність матриці. Далі в новому діалоговому вікні заповніть матрицю A.

також Зворотня матриця методом Жордано-Гаусса

Алгоритм знаходження зворотної матриці

1. Знаходження транспонованої матриці A T .
2. Визначення додатків алгебри. Замінюють кожен елемент матриці його додатком алгебри.
3. Складання зворотної матриціз додатків алгебри: кожен елемент отриманої матриці ділять на визначник вихідної матриці. Результуюча матриця є зворотною для вихідної матриці.

1. Визначають, чи квадратна матриця. Якщо ні, то зворотної матриці не існує.
2. Обчислення визначника матриці A. Якщо він не дорівнює нулю, продовжуємо рішення, інакше – зворотної матриці не існує.
3. Визначення додатків алгебри.
4. Заповнення союзної (взаємної, приєднаної) матриці C .
5. Складання зворотної матриці з додатків алгебри: кожен елемент приєднаної матриці C ділять на визначник вихідної матриці. Результуюча матриця є зворотною для вихідної матриці.
6. Роблять перевірку: перемножують вихідну та отриману матриці. В результаті має вийти поодинока матриця.

Приклад №1. Запишемо матрицю у вигляді:

Інший алгоритм знаходження зворотної матриці

1. Знаходимо визначник цієї квадратної матриці A .
2. Знаходимо додатки алгебри до всіх елементів матриці A .
3. Записуємо додатки алгебри елементів рядків в стовпці (транспонування).
4. Ділимо кожен елемент отриманої матриці на визначник матриці A.

Особливий випадок: Зворотній, по відношенню до одиничної матриці E є одинична матриця E .

Для вирішення системи лінійних рівнянь(3) щодо x 1скористаємося методом Гауса.

Аналогічним чином вирішуються інші системи лінійних рівнянь (2).

Нарешті, група векторів стовпців. x 1 , x 2 , ..., x nутворює зворотну матрицю A -1.

Зауважимо, що один раз знаходячи матриці перестановок P 1 ,P 2 , ... , P n-1та матриці винятків М 1, М 2, ..., M n-1(див. сторінку Метод виключення Гауса) та побудувавши матрицю

M = M n-1 P n-1 ... M 2 P 2 M 1 P 1 ,

систему (2) можна перетворити на вигляд

• MAx 1 = Me 1 ,
• MAx 2 = Me 2 ,
• ......
• MAx n = Me n .

Звідси перебувають x 1, x 2, ..., x n, за різних правих частин Me 1, Me 2, ..., Me n.

При обчисленні зворотної матриці зручніше з правого боку вихідної матриці додати одиничну матрицю та застосовувати метод Гаусса у прямому та зворотному напрямках.

Розглянемо це з прикладу.

Приклад обчислення зворотної матриці

Нехай потрібно знайти зворотну матрицю A -1для даної матриці A:

Запишемо з правого боку поодиноку матрицю:

Вибираємо провідний елемент "4" (т.к. він найбільший за модулем) і переставляємо місцями перший і третій рядки:

Застосовуємо Гауссове виняток для першого стовпця:

Переставляємо другий і третій рядки і застосовуємо Гауссів виняток для другого стовпця.

Подібні на зворотні за багатьма властивостями.

Енциклопедичний YouTube

1 / 5

✪ Зворотна матриця (2 способи знаходження)

✪ Як знаходити зворотну матрицю - bezbotvy

✪ Зворотня матриця #1

✪ Вирішення системи рівнянь методом зворотної матриці - bezbotvy

✪ Зворотна Матриця

Субтитри

Властивості зворотної матриці

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), де det (\displaystyle \ \det )позначає визначник.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))для двох квадратних оборотних матриць A (\displaystyle A)і B (\displaystyle B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), де (. . .) T (\displaystyle (...)^(T))позначає транспоновану матрицю.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))для будь-якого коефіцієнта k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \ E^(-1)=E).
• Якщо необхідно вирішити систему лінійних рівнянь , (b - ненульовий вектор) де x (\displaystyle x)- Шуканий вектор, і якщо A − 1 (\displaystyle A^(-1))існує, то x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). В іншому випадку або розмірність простору рішень більша за нуль, або їх немає зовсім.

Способи знаходження зворотної матриці

Якщо матриця оборотна, то для знаходження зворотної матриці можна скористатися одним із наступних способів:

Точні (прямі) методи

Метод Гауса-Жордана

Візьмемо дві матриці: саму Aта одиничну E. Наведемо матрицю Aдо одиничної матриці методом Гаусса-Жордана застосовуючи перетворення по рядках (можна також застосовувати перетворення і по стовпцях, але не в перемішування). Після застосування кожної операції до першої матриці застосуємо ту саму операцію до другої. Коли приведення першої матриці до одиничного вигляду буде завершено, друга матриця виявиться рівною. A −1.

При використанні методу Гауса перша матриця збільшуватиметься зліва на одну з елементарних матриць Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(трансвекцію або діагональну матрицю з одиницями на головній діагоналі, крім однієї позиції):

Друга матриця після застосування всіх операцій дорівнюватиме Λ (\displaystyle \Lambda )тобто буде шуканою. Складність алгоритму - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

За допомогою матриці додатків алгебри

Матриця, обернена матриці A (\displaystyle A), представна у вигляді

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

де adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- приєднана матриця;

Складність алгоритму залежить від складності алгоритму розрахунку визначника O det і дорівнює O(n²) · O det.

Використання LU/LUP-розкладання

Матричне рівняння A X = I n (\displaystyle AX = I_(n))для зворотної матриці X (\displaystyle X)можна розглядати як сукупність n (\displaystyle n)систем виду A x = b (\displaystyle Ax = b). Позначимо i (\displaystyle i)-ий стовпець матриці X (\displaystyle X)через X i (\displaystyle X_(i)); тоді A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1, …, n (\displaystyle i = 1, \ ldots, n),оскільки i (\displaystyle i)-м стовпцем матриці I n (\displaystyle I_(n))є одиничний вектор e i (\displaystyle e_(i)). іншими словами, перебування зворотної матриці зводиться до розв'язання n рівнянь з однією матрицею та різними правими частинами. Після виконання LUP-розкладання (час O(n³)) на розв'язання кожного з n рівнянь потрібен час O(n²), так що і ця частина роботи потребує часу O(n³).

Якщо матриця A невироджена, то можна розрахувати LUP-разложение P A = L U (\displaystyle PA = LU). Нехай P A = B (\displaystyle PA = B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Тоді із властивостей зворотної матриці можна записати: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Якщо помножити цю рівність на U і L можна отримати дві рівності виду U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))і DL = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Перша з цих рівностей є системою з n² лінійних рівнянь для n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))з яких відомі праві частини (з властивостей трикутних матриць). Друге представляє також систему з n² лінійних рівнянь для n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))з яких відомі праві частини (також із властивостей трикутних матриць). Разом вони є системою з n² рівностей. За допомогою цих рівностей можна реккурентно визначити всі n² елементів матриці D. Тоді з рівності (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. отримуємо рівність A − 1 = DP (\displaystyle A^(-1)=DP).

У разі використання LU-розкладання не потрібно перестановки стовпців матриці D, але рішення може розійтися навіть якщо матриця A невироджена.

Складність алгоритму – O(n³).

Ітераційні методи

Методи Шульця

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

Оцінка похибки

Вибір початкового наближення

Проблема вибору початкового наближення в аналізованих тут процесах ітераційного звернення матриць не дозволяє ставитися до них як до самостійних універсальних методів, що конкурують із прямими методами обігу, заснованими, наприклад, на LU-розкладанні матриць. Є деякі рекомендації щодо вибору U 0 (\displaystyle U_(0)), що забезпечують виконання умови ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (спектральний радіус матриці менше одиниці), що є необхідним та достатнім для збіжності процесу. Однак при цьому, по-перше, потрібно знати зверху оцінку спектра матриці, що звертається, A або матриці AT (\displaystyle AA^(T))(а саме, якщо A - симетрична позитивно визначена матриця та ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), то можна взяти U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), де; якщо ж A - довільна невироджена матриця та ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), то вважають U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), де також α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); можна звичайно спростити ситуацію і, скориставшись тим, що ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), покласти U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). По-друге, за такого завдання початкової матриці немає гарантії, що ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)буде малою (можливо, навіть виявиться ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), та високий порядокШвидкість збіжності виявиться далеко не відразу.

Приклади

Матриця 2х2

Звернення матриці 2х2 можливе лише за умови, що a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

Вихідний за формулою: A ^ -1 = A * / detA, де A * - приєднана матриця, detA - вихідної матриці. Приєднана матриця – це транспонована матриця доповнень до елементів вихідної матриці.

Насамперед знайдіть визначник матриці, він повинен бути відмінний від нуля, так як далі визначник буде використовуватися як дільник. Нехай для прикладу дана матриця третього (що складається з трьох рядків та трьох стовпців). Як бачимо, визначник матриці не дорівнює нулю, тому існує зворотна матриця.

Знайдіть доповнення до кожного елемента матриці A. Доповненням до A називається визначник підматриці, отриманої з вихідним викресленням i-го рядка і j-го стовпця, причому цей визначник береться зі знаком. Знак визначається множенням визначника на (-1) у ступені i+j. Таким чином, наприклад, доповненням до A буде визначник, розглянутий на малюнку. Знак вийшов так: (-1) ^ (2 +1) = -1.

В результаті ви отримаєте матрицюдоповнень, тепер транспонуйте її. Транспонування – це операція, симетрична щодо головної діагоналі матриці, стовпці та рядки змінюються місцями. Таким чином ви знайшли приєднану матрицю A*.