Що премію Абеля в 2016 році отримає Ендрю Уайлз за доказ гіпотези Таніями-Шімури для напівстабільних еліптичних кривих і наступний з цієї гіпотези доказ великої теореми Ферма. В даний час премія складає 6 мільйонів норвезьких крон, тобто 50 мільйонів рублів. За словами Вайлса, присудження премії стало для нього «повною несподіванкою».

Теорема Ферма, доведена понад 20 років тому, досі привертає увагу математиків. Почасти це пов'язано з її формулюванням, яке зрозуміле навіть школяру: довести, що для натуральних n>2 не існує таких трійок цілих ненульових чисел, що a n + b n = c n . Цей вислів П'єр Ферма записав на полях «Арифметики» Діофанта, забезпечивши чудовим підписом «Я знайшов цьому справді чудовий доказ [цього твердження], але поля книги надто вузькі для нього». На відміну від більшості математичних байок, ця – справжня.

Вручення премії - чудова нагода згадати десять цікавих історій, пов'язані з теорема Ферма.

1.

До того, як Ендрю Уайлз довів теорему Ферма, її правильніше було називати гіпотезою, тобто гіпотезою Ферма. Справа в тому, що теорема – це за визначенням уже доведене твердження. Однак чомусь до цього твердження приклеїлася саме така назва.

2.

Якщо теоремі Ферма покласти n = 2, то такого рівняння існує нескінченно багато рішень. Ці рішення називаються «піфагорові трійки». Таку назву вони отримали тому, що відповідають прямокутні трикутники, сторони яких виражаються саме такими наборами чисел. Генерувати піфагорові трійки можна за допомогою таких трьох формул (m 2 - n 2 , 2mn, m 2 + n 2). У ці формули треба підставляти різні значення m і n, і в результаті виходитимуть потрібні нам трійки. Головне тут, втім, переконатися, що отримані числа будуть більшими за нуль - довжини не можуть виражатися негативними числами.

До речі, легко помітити, що якщо всі числа в трійці Піфагора помножити на деяке ненульове, вийде нова Піфагорова трійка. Тому розумно вивчати трійки, у яких три чисел у сукупності немає спільного дільника. Схема, яку ми описали, дозволяє отримати усі такі трійки – це вже зовсім не простий результат.

3.

1 березня 1847 року на засіданні Паризької академії наук відразу два математики - Габріель Ламе і Огюстен Коші - оголосили, що знаходяться на порозі доказу чудової теореми. Вони влаштували гонку, публікуючи шматочки доказу. Більшість академіків вболівала за Лами, оскільки Коші був самовдоволеним, нетерпимим до чужої думки релігійним фанатиком (і, зрозуміло, абсолютно блискучим математиком за сумісництвом). Проте, матчу не судилося завершитися - через свого друга Жозефа Ліувіля німецький математик Ернст Куммер повідомив академікам, що в доказах Коші та Ламі є одна й та сама помилка.

У школі доводиться, що розкладання числа на прості множникиєдино. Обидва математики вважали, що й дивитися на розкладання цілих чисел вже у комплексному разі, це властивість - єдиність - збережеться. Однак, це не так.

Цікаво, що якщо розглядати тільки m + i n, то розкладання єдине. Такі числа називаються гаусовими. Але для роботи Лами та Коші знадобилося розкладання на множники у циклотомічних полях. Це, наприклад, числа, у яких m і n – раціональні, а i задовольняє властивості i^k=1.

4.

Теорема Ферма для n=3 має зрозумілий геометричний зміст. Уявімо, що у нас є багато маленьких кубиків. Нехай ми зібрали з них два великі куби. У цьому випадку, ясна річ, сторони будуть цілими числами. Чи можна знайти два великі куби, що, розібравши їх на складові дрібні куби, ми могли б зібрати з них один великий куб? Теорема Ферма каже, що так зробити ніколи не можна. Забавно, що якщо поставити те саме питання для трьох кубів, то відповідь ствердна. Наприклад, є ось така четвірка чисел, відкрита чудовим математиком Шрінівасом Рамануджаном:

3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3

5.

В історії з теоремою Ферма відзначився Леонард Ейлер. Довести твердження (або навіть підступитися до доказу) у нього не вдалося, проте він сформулював гіпотезу про те, що рівняння

x 4 + y 4 + z 4 = u 4

немає рішення у цілих числах. Усі спроби знайти рішення такого рівняння в лоб виявилися безрезультатними. Тільки в 1988 році Науму Елкієсу з Гарварда вдалося знайти контрприклад. Він виглядає ось так:

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4 .

Зазвичай цю формулу згадують у тих чисельного експерименту. Як правило, у математиці це виглядає так: є певна формула. Математик перевіряє цю формулу у простих випадках, переконується в істинності та формулює деяку гіпотезу. Потім він (хоча частіше якийсь його аспірант або студент) пише програму для того, щоб перевірити, що формула вірна для досить великих чисел, які руками не порахувати (про один такий експеримент із простими числами ми). Це не доказ, звичайно, але чудова нагода заявити про гіпотезу. Всі ці побудови базуються на розумному припущенні, що якщо до деякої розумної формули є контрприклад, то ми знайдемо його досить швидко.

Гіпотеза Ейлера нагадує, що життя набагато різноманітніше наших фантазій: перший контрприклад може бути як завгодно великим.

6.

Насправді, звісно, ​​Ендрю Уайлз не намагався довести теорему Ферма - він вирішував складніше завдання під назвою гіпотеза Таніями-Шімури. У математиці є два чудові класи об'єктів. Перший називається модулярними формами і є суттю функції просторі Лобачевського. Ці функції не змінюються при рухах цієї самої площини. Другий називається «еліптичними кривими і є криві, що задаються рівнянням третього ступеня на комплексній площині. Обидва об'єкти дуже популярні в теорії чисел.

У 50-х роках минулого століття два талановиті математики Ютака Таніяма та Горо Шимура познайомилися в бібліотеці Токійського університету. На той час особливої ​​математики в університеті не було: вона просто не встигла відновитись після війни. В результаті вчені займалися за старими підручниками та розбирали на семінарах завдання, які в Європі та США вважалися вирішеними та не особливо актуальними. Саме Таніяма та Шимура виявили, що між модулярними формами та еліптичними функціями є певна відповідність.

Свою гіпотезу вони перевірили на деяких простих класахкривих. Виявилось, що вона працює. Ось вони і припустили, що цей зв'язок є завжди. Так з'явилася гіпотеза Таніями-Шімури, а через три роки Таніяма наклав на себе руки. У 1984 році німецький математик Герхард Фрей показав, що якщо теорема Ферма невірна, то отже, невірна гіпотеза Таніями-Шімури. З цього випливало, що той, хто доказав цю гіпотезу, доведе і теорему. Саме це і зробив - правда не зовсім у загальному вигляді- Уайлз.

7.

На підтвердження гіпотези Уайлз витратив вісім років. І під час перевірки рецензенти знайшли в ній помилку, яка «вбивала» більшу частину доказу, зводячи нанівець усі роки роботи. Один із рецензентів на ім'я Річард Тейлор взявся закласти разом з Уайлзом цю дірку. Поки вони працювали, з'явилося повідомлення, що Елкієс, той самий, який знайшов контрприклад до гіпотези Ейлера, знайшов і контрприклад і до теореми Ферма (пізніше виявилося, що це був першоквітневий жарт). Уайлз впав у депресію і не хотів продовжувати - дірка на доказ ніяк не закривалася. Тейлор умовив Уайлза поборотися ще місяць.

Сталося диво і до кінця літа математикам вдалося зробити прорив – так на світ з'явилися роботи «Модулярні еліптичні криві та велика теорема Ферма» Ендрю Уайлза (pdf) та «Теоретико-кільцеві властивості деяких алгебр Гекке» Річарда Тейлора та Ендрю Уайлза. Це був уже правильний доказ. Опубліковано воно було у 1995 році.

8.

1908 року в Дармштадті помер математик Пауль Вольфскель. Після себе він залишив заповіт, у якому давав математичному співтоваристві 99 років, щоб знайти доказ великої теореми Ферма. Автор доказу мав отримати 100 тисяч марок (автор контрприкладу, до речі, не отримав би нічого). Згідно з поширеною легендою, зробити такий подарунок математикам Вольфскеля спонукало кохання. Ось як описує легенду Саймон Сінгх у своїй книзі «Велика теорема Ферма»:

Історія починається з того, що Вольфскель захопився гарною жінкою, особистість якої так ніколи і не була встановлена. На превеликий жаль для Вольфскеля, загадкова жінка відкинула його. Він впав у такий глибокий розпач, що вирішив вчинити самогубство. Вольфскель був людиною пристрасною, але не імпульсивною, і тому почав у всіх подробицях розробляти свою смерть. Він призначив дату свого самогубства і вирішив вистрілити собі в голову з першим ударом годинника рівно опівночі. За останні дні Вольфскель вирішив упорядкувати свої справи, які йшли чудово, а в останній день склав заповіт і написав листи близьким друзям та родичам.

Вольфскель працював з такою старанністю, що закінчив усі свої справи до півночі і, щоб якось заповнити годинник, що залишився, відправився в бібліотеку, де почав переглядати математичні журнали. Незабаром йому на очі потрапила класична стаття Куммера, в якій той пояснював, чому зазнали невдачі Коші та Ламі. Робота Куммера належала до найбільш значних математичних публікацій свого століття і якнайкраще підходила для читання математику, що задумав вчинити самогубство. Вольфскель уважно, рядок за рядком, простежив за викладками Куммера. Несподівано Вольфскелю здалося, що він виявив прогалину: автор зробив припущення і не обґрунтував цей крок у своїх міркуваннях. Вольфскель зацікавився, чи справді йому вдалося виявити серйозну прогалину, чи зроблене Куммером припущення було обґрунтованим. Якщо було виявлено прогалину, був шанс, що Велику теорему Ферма вдасться довести набагато простіше, ніж багато хто.

Вольфскель сів за стіл, ретельно проаналізував «неповноцінну» частину міркувань Куммера і почав накидати міні-доказ, який мав або підкріпити роботу Куммера, або продемонструвати помилковість прийнятого ним припущення і, як наслідок, спростувати всі його доводи. На світанку Вольфскель закінчив свої обчислення. Погані (з точки зору математики) новини полягали в тому, що доказ Куммера вдалося зцілити, і Велика теорема Ферма, як і раніше, залишилася недоступною. Але були й хороші новини: час, призначений для самогубства, минув, а Вольфскель був такий гордий тим, що йому вдалося виявити і заповнити прогалину в роботі великого Ернеста Куммера, що його розпач і смуток розвіялися самі собою. Математика повернула йому спрагу до життя.

Втім, є і альтернативна версія. Згідно з нею, Вольфскель зайнявся математикою (і, власне, теоремою Ферма) через прогресуючий розсіяний склероз, який завадив займатися йому улюбленою справою - бути лікарем. А гроші математикам він залишив, щоб не залишати своїй дружині, яку до кінця життя просто ненавидів.

9.

Спроби довести теорему Ферма елементарними методами сприяли появі цілого класу дивних людей під назвою «ферматисти». Вони займалися тим, що робили величезна кількістьдоказів і зовсім не впадали у відчай, коли в цих доказах знаходили помилку.

На мехматі МДУ був легендарний персонаж на прізвище Добрецов. Він збирав довідки з різних відомств та, користуючись ними, проникав на мехмат. Робилося це лише для того, щоб знайти жертву. Якось йому попався молодий аспірант (майбутній академік Новіков). Він, за наївністю своєю, почав уважно вивчати стос паперів, який Добрецов підсунув йому зі словами, мовляв, ось доказ. Після чергового «ось помилка...» Добрецов забрав чарку, запхнув її до портфеля. З другого портфеля (так, він ходив мехматом з двома портфелями) він дістав другий стос, зітхнув і сказав: «Ну тоді подивимося варіант 7 Б».

До речі, більшість таких доказів починається з фрази «Перенесемо один із доданків у праву частину рівності і розкладемо на множники».

10.

Розповідь про теорему буде неповною без чудового фільму «Математик і чорт».

Виправлення

У розділі 7 цієї статті спочатку говорилося, що Наум Елкієс знайшов контрприклад до теореми Ферма, який згодом виявився помилковим. Це неправильно: повідомлення про контрприклад було першоквітневим жартом. Просимо вибачення за неточність.

Андрій Коняєв

НОВИНИ НАУКИ ТА ТЕХНІКИ

УДК 51:37;517.958

А.В. Коновка, к.т.н.

Академія державної протипожежної служби МНС Росії ВЕЛИКА ТЕОРЕМА ФЕРМА ДОКАЗАНА. ЧИ НІ?

Протягом кількох століть довести, що рівняння xn+yn=zn при n>2 не можна в раціональних, отже, і цілих числах не вдавалося. Народилося це завдання під авторством французького юриста П'єра Ферма, який паралельно професійно займався математикою. Її рішення визнається за американським учителем математики Ендрю Вайлсом. Це визнання тривало з 1993 по 1995 рік.

THE GREAT FERMA"S THEOREM IS PROVED. OR NO?

The dramatic history of Fermat's last theorem providing is considered. It took almost four hundred years. Pierre Fermat wrote little. He wrote in compressed style. на дошці рациональних номерів і integers, якщо n>2 був віднесений до Fermat"s commentary те, що ви знайдете необхідний remarkable proving to цей statement. The descendants були невідповідні до цього proving. Останній цей стан був названий Fermat's останній theorem. The world best mathematicians broke lance over this theorem without result. в 1993, на теорії номерів конференція в Cambridge, математичний Princeton University Andrew Whiles повідомила, що Fermat's останній theorem proving is gotten. However it був early to triumph.

У 1621 році французьким літератором і любителем математики Клодом Гаспаром Баше де Мезіріаком був виданий грецький трактат "Арифметики" Діофанта з латинським перекладомта коментарями. Розкішна, з надзвичайно широкими полями "Арифметика", потрапила до рук двадцятирічного Ферма і на довгі рокистала його настільною книгою. На її полях він залишив 48 зауважень, які містять відкриті факти про властивості чисел. Тут же, на полях "Арифметики" була сформульована велика теорема Ферма: "Неможливо розкласти куб на два куби або біквадрат на два біквадрати, або взагалі ступінь, більший за два, на два ступені з тим же показником; я знайшов цьому воістину чудовий доказ, який через нестачу місця не може поміститися на цих полях. До речі, на латині це виглядає таким чином: «Cubum autem in duos cubos, aut quadratum-quadratum in duos quadratum-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet».

Великий французький математик П'єр Ферма (1601-1665) розвинув метод визначення площ та обсягів, створив новий метод дотичних та екстремумів. Поряд з Декартом він став творцем аналітичної геометрії, разом з Паскалем стояв біля витоків теорії ймовірностей, в галузі методу нескінченно малих дав загальне правилодиференціювання та довів у загальному вигляді правило інтегрування статечної функції... Але, головне, з цим ім'ям пов'язана одна з найзагадковіших і найдраматичніших історій, що коли-небудь приголомшували математику - історія доказу великої теореми Ферма. Нині цю теорему висловлюють як простого твердження: рівняння xn + yn = zn при n>2 нерозв'язне у раціональних, отже, і цілих числах. До речі, для випадку n = 3 цю теорему в X столітті намагався довести середньоазіатський математик Ал-Ходжанді, але його доказ не зберігся.

Уродженець півдня Франції, П'єр Ферма отримав юридичну освіту і з 1631 був радником парламенту міста Тулузи (тобто вищого суду). Після робочого дня у стінах парламенту, він приймався за математику і відразу занурювався у зовсім інший світ. Гроші, престиж, суспільне визнання - все це не мало для нього жодного значення. Наука ніколи не ставала для нього заробітком, не перетворювалася на ремесло, завжди залишаючись лише захоплюючою грою розуму, зрозумілою лише одиницям. З ними він і вів своє листування.

Ферма ніколи не писав наукових праць у нашому звичному розумінні. А в його листуванні з друзями завжди є певний виклик, навіть своєрідна провокація, а аж ніяк не академічний виклад проблеми та її вирішення. Тому багато хто з його листів згодом так і стали іменуватися: викликом.

Можливо, саме тому він так і не здійснив свого наміру написати спеціальний твір з теорії чисел. А тим часом це була його найулюбленіша область математики. Саме їй Ферма присвятив найнатхненніші рядки своїх листів. "Арифметика, - писав він, - має свою власну область, теорію цілих чисел. Ця теорія була лише злегка торкнута Евклідом і була досить розроблена його послідовниками (якщо тільки вона не містилася в тих роботах Діофанта, яких нас позбавило руйнівну дію часу). Арифметики, отже, мають її розвинути та відновити".

Чому ж сам Ферма не боявся руйнівної дії часу? Писав він мало і завжди дуже стисло. Але найголовніше, він не публікував свої роботи. За його життя вони циркулювали лише у рукописах. Тому не дивно, що результати Ферма з теорії чисел дійшли до нас у розрізненому вигляді. Але, мабуть, мав рацію Булгаков: великі рукописи не горять! Роботи Ферма залишились. Вони залишилися в його листах до друзів: ліонському вчителю математики Жаку де Біллі, співробітнику монетного двору Бернар Френікель де Бессі, Марсенні, Декарту, Блез Паскалю... Залишилася "Арифметика" Діофанта з його зауваженнями на полях, які після смерті Ферма увійшли разом з коментарями Баші у нове видання Діофанта, випущене старшим сином Самюелем у 1670 році. Не збереглося лише докази.

За два роки до смерті Ферма надіслав своєму другу Каркаві лист-заповіт, який увійшов до історії математики під назвою «Зведення нових результатів у науці про числа». У цьому листі Ферма довів своє знамените твердження для випадку п = 4. Але тоді його цікавило, швидше за все, не саме твердження, а відкритий ним метод доказів, названий самим Ферма нескінченним чи невизначеним спуском.

Рукописи не горять. Але, якби не самовідданість Самюеля, який зібрав після смерті батька всі його математичні нариси і невеликі трактати, а потім видав їх у 1679 під назвою «Різні математичні твори», вченим математикам багато б доводилося відкривати і перевідкривати заново. Але й після їх видання проблеми, поставлені великим математиком, пролежали без руху понад сімдесят років. І це не дивно. У тому вигляді, в якому вони з'явилися у пресі, теоретико-числові результати П. Ферма постали перед фахівцями у вигляді серйозних, далеко не завжди зрозумілих сучасникам проблем, майже без доказів та вказівок на внутрішні логічні зв'язки між ними. Можливо, без стрункої, продуманої теорії і криється у відповідь питання, чому сам Ферма не зібрався видати книжку з теорії чисел. Через сімдесят років цими роботами зацікавився Л. Ейлер, і це було справді їх другим народженням.

Математика дорого заплатила за своєрідну манеру Ферма викладати свої результати, начебто спеціально опускаючи їх докази. Але, якщо Ферма стверджував, що довів ту чи іншу теорему, то згодом цю теорему обов'язково доводили. Проте з великою теоремою вийшла затримка.

Загадка завжди хвилює уяву. Цілі континенти підкорила загадкова усмішка Джоконди; теорія відносності як ключ до загадки просторово-часових зв'язків стала найпопулярнішою фізичною теорією століття. І можна сміливо стверджувати, що не було іншої такої математичної проблеми, яка була б така популярна, як вели__93

Наукові та освітні проблеми цивільного захисту

ка теорема Ферма. Спроби довести її призвели до створення великого розділу математики – теорії алгебраїчних чисел, але (на жаль!) ​​сама теорема залишалася недоведеною. У 1908 році німецький математик Вольфскель заповідав 100 000 марок тому, хто доведе теорему Ферма. Це була величезна на той час сума! Одного разу можна було стати не лише знаменитим, а й казково розбагатіти! Тож не дивно, що гімназисти навіть далекої від Німеччини Росії навперебій кинулися доводити велику теорему. Що вже казати про професійних математиків! Але... марно! Після Першої світової війни гроші знецінилися, і потік листів із псевдодоказами почав вичерпуватися, хоча зовсім, звичайно, так і не припинився. Розповідають, що відомий німецький математик Едмунд Ландау заготовляв друковані формуляри для розсилки авторам доказів теореми Ферма: "На стор ... у рядку ... є помилка". (Знаходити помилку доручалося доценту.) Курйозів та анекдотів, пов'язаних з доказом цієї теореми, набралося стільки, що з них можна було б скласти книгу. Останнім анекдотом виглядає детектив О. Марініної «Збіг обставин», який екранізований і пройшов телеекранами країни в січні 2000 року. У ньому недоведену всіма своїми великими попередниками теорему доводить наш із вами співвітчизник і претендує на це Нобелівську премію. Як відомо, винахідник динаміту проігнорував у своєму заповіті математиків, тож автор доказу міг претендувати хіба що на Філдсовську золоту медаль- найвищу міжнародну нагороду, затверджену самими математиками у 1936 році.

У класичній роботі видатного вітчизняного математика А.Я. Хінчина, присвяченій великій теоремі Ферма, даються відомості з історії цієї проблеми та приділяється увага методу, яким міг користуватися Ферма за доказом своєї теореми. Наводяться докази для випадку п = 4 і короткий оглядінших найважливіших результатів.

Але на момент написання детектива, а тим більше, на момент його екранізації загальний доказ теореми було вже знайдено. 23 червня 1993 року на конференції з теорії чисел у Кембриджі математик з Прінстона Ендрю Уайлс анонсував, що доказ великої теореми Ферма отримано. Але зовсім не так, як обіцяв сам Ферма. Той шлях, яким пішов Ендрю Уайлс, грунтувався зовсім на методах елементарної математики. Він займався так званою теорією еліптичних кривих.

Щоб отримати уявлення про еліптичні криві, необхідно розглянути плоску криву, задану рівнянням третього ступеня

У(х,у) = а30Х + а21х2у + ... + а1х + а2у + а0 = 0. (1)

Усі такі криві розбиваються на два класи. До першого класу відносяться ті криві, які мають точки загострення (як, наприклад, напівкубічна парабола у2 = а2-Х з точкою загострення (0; 0)), точки самоперетину (як Декартов лист х3+у3-3аху = 0, у точці (0; 0)), а також криві, для яких многочлен Дх,у) подається у вигляді

f(x^y)=:fl(x^y)■:f2(x,y),

де ^(х,у) та ^(х,у) - багаточлени менших ступенів. Криві цього класу називаються виродженими кривими третього ступеня. Другий клас кривих утворюють невироджені криві; ми називатимемо їх еліптичними. До таких може бути віднесений, наприклад, Локон Аньєзі (х2 + а2) у - а3 = 0). Якщо коефіцієнти многочлена (1) – раціональні числа, то еліптична крива може бути перетворена до так званої канонічної форми

у2 = х3 + ах + Ь. (2)

У 1955 року японському математику Ю. Танияме (1927-1958) у межах теорії еліптичних кривих вдалося сформулювати гіпотезу, що відкрила шлях доказу теореми Ферма. Але про це не підозрював тоді ні сам Таніяма, ні його колеги. Майже двадцять років ця гіпотеза не привертала до себе серйозної уваги і стала популярною лише в середині 70-х років. Відповідно до гіпотези Таніями будь-яка еліптична

крива з раціональними коефіцієнтами є модульною. Однак поки що формулювання гіпотези мало говорить допитливому читачеві. Тому будуть потрібні деякі визначення.

З кожною еліптичною кривою можна пов'язати важливу числову характеристику – її дискримінант. Для кривої, заданої у канонічній формі (2), дискримінант А визначається формулою

А = -(4а + 27b2).

Нехай Е – деяка еліптична крива, задана рівнянням (2), де а та b – цілі числа.

Для простого числа р розглянемо порівняння

y2 = х3 + ах + b(mod p), (3)

де а і b - залишки від розподілу цілих чисел а і b на р і позначимо через np число рішень цього порівняння. Числа пр дуже корисні при дослідженні питання про розв'язання рівнянь виду (2) у цілих числах: якщо якесь пр дорівнює нулю, то рівняння (2) не має цілих рішень. Однак обчислити числа видається лише в рідкісних випадках. (Водночас відомо, що р-п|< 2Vp (теоремаХассе)).

Розглянемо прості числа р, які ділять дискримінант А еліптичної кривої (2). Можна довести, що для таких р багаточлен х3+ах+b можна записати одним із двох способів:

х3 + ах + b = (х + а) 2 (х + ß) (mod Р)

х3 + ах + b = (х + у) 3 (mod p),

де а, ß, у - деякі залишки від поділу на р. Якщо для всіх простих р, що ділять дискримінант кривою, реалізується перша з двох зазначених можливостей, то еліптична крива називається напівстабільною.

Прості числа, що ділять дискримінант, можна поєднати у так званий кондуктор еліптичної кривої. Якщо Е - напівстабільна крива, її кондуктор N задається формулою

де для всіх простих чисел p > 5, що ділять А, показник еР дорівнює 1. Показники 82 та 83 обчислюються за допомогою спеціального алгоритму.

Фактично - це все, що потрібно розуміння суті докази. Однак у гіпотезі Таніями є непросте і в нашому випадку ключове поняттямодулярності. Тому забудемо на час про еліптичних кривих і розглянемо аналітичну функцію f (тобто ту функцію, яка може бути представлена ​​статечним рядом) комплексного аргументу z, заданого у верхній напівплощині.

Позначимо через Н верхню комплексну напівплощину. Нехай N - натуральне і до - ціле число. Модулярною параболічною формою ваги до рівня N називається аналітична функція f(z), задана у верхній напівплощині і задовольняє співвідношення

f = (cz + d)kf (z) (5)

для будь-яких цілих чисел а, b, с, d таких, що ае - bc = 1 і ділиться на N. Крім того, передбачається, що

lim f(r+it) = 0,

де r - раціональне число, і що

Простір модулярних параболічних форм ваги рівня N позначається через Sk(N). Можна показати, що вона має кінцеву розмірність.

Надалі нас особливо цікавитимуть модулярні параболічні форми ваги 2. Для малих N розмірність простору S2(N) представлена ​​в табл. 1. Зокрема,

Розміри простору S2(N)

Таблиця 1

N<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2

З умови (5) випливає, що % + 1) = кожної форми f е S2(N). Отже, f є періодичною функцією. Таку функцію можна подати у вигляді

Назвемо модулярну параболічну форму А^) в S2(N) власної, якщо її коефіцієнти - цілі числа, що задовольняють співвідношенням:

а г ■ а = а г+1 ■ р ■ з Г_1 для простого р, що не ділить число N; (8)

(ap) для простого р, що ділить число N;

атп = ат ап, якщо (т, п) = 1.

Сформулюємо тепер визначення, що відіграє ключову роль доказі теореми Ферма. Еліптична крива з раціональними коефіцієнтами та кондуктором N називається модулярною, якщо знайдеться така власна форма

f(z) = ^anq" g S2(N),

що ар = р - пр для багатьох простих чисел р. Тут пр – число рішень порівняння (3).

Важко повірити в існування хоча б однієї такої кривої. Уявити, що знайдеться функція А(г), що задовольняє переліченим жорстким обмеженням (5) і (8), яка б розкладалася в ряд (7), коефіцієнти якої були б пов'язані з практично необчислюваними числами Пр, досить складно. Але смілива гіпотеза Таніями аж ніяк не ставила під сумнів факт їхнього існування, а накопичений часом емпіричний матеріал блискуче підтвердив її справедливість. Після двох десятиліть майже повного забуття гіпотеза Таніями отримала у роботах французького математика, члена Паризької Академії наук Андре Вейля друге дихання.

А. Вейль, що народився в 1906 році, став згодом одним із засновників групи математиків, які виступали під псевдонімом Н. Бурбаки. З 1958 року А. Вейль стає професором Прінстонського інституту перспективних досліджень. І до цього періоду відноситься виникнення його інтересу до абстрактної алгебраїчної геометрії. У сімдесяті роки він звертається до еліптичних функцій та гіпотези Таніями. Монографія, присвячена еліптичних функцій, була перекладена у нас, в Росії. У своєму захопленні він не самотній. У 1985 році німецький математик Герхард Фрей припустив, що якщо теорема Ферма невірна, тобто якщо знайдеться така трійка цілих чисел а, Ь, с, що а + Ьп = = с (п > 3), то еліптична крива

у2 = х (х - а")-(х - сп)

не може бути модулярною, що суперечить гіпотезі Таніями. Самому Фрей не вдалося довести це твердження, проте незабаром доказ було отримано американським математиком Кеннетом Рібетом. Інакше кажучи, Рібет показав, що теорема Ферма є наслідком гіпотези Таніями.

Він сформулював і довів таку теорему:

Теорема 1 (Рібет). Нехай Е - еліптична крива з раціональними коефіцієнтами, що має дискримінант

та кондуктор

Припустимо, що Е є модулярною, і нехай

/(г) = q + 2 аАп е^(N)

є відповідна власна форма рівня N. Фіксуємо просте число £, та

р: еР = 1; - "8 р

Тоді існує така параболічна форма

/(г) = 2 dnqn е N)

з цілими коефіцієнтами, що різниці ап - dn поділяються на I для всіх 1< п<ад.

Ясно, що якщо ця теорема доведена для деякого показника, то тим самим вона доведена і для всіх показників, кратних п. Оскільки всяке ціле число п > 2 ділиться або на 4, або на непарне просте число, то тому можна обмежитися випадком, коли показник дорівнює або 4, або непарному простому числу. Для п = 4 елементарне підтвердження теореми Ферма було отримано спочатку самим Ферма, та був Ейлером. Таким чином, достатньо вивчити рівняння

а1 + Ь1 = с1, (12)

у якому показник I є непарне просте число.

Тепер теорему Ферма можна здобути простими обчисленнями (2).

Теорема 2. З гіпотези Таніями для напівстабільних еліптичних кривих випливає остання теорема Ферма.

Доказ. Припустимо, що теорема Ферма невірна, і нехай є відповідний контрприклад (як і вище, тут I - непарне просте число). Застосуємо теорему 1 до еліптичної кривої

у2 = х (х - ае) (х - с1).

Нескладні обчислення показують, що кондуктор цієї кривої задається формулою

Порівнюючи формули (11) і (13), бачимо, що N = 2. Отже, за теоремою 1 знайдеться параболічна форма

що лежить у просторі 82(2). Але з співвідношення (6) це простір нульовий. Тому dn = 0 всім п. У той самий час а^ = 1. Отже, різниця аг - dl = 1 не ділиться на I і ми приходимо до суперечності. Отже, теорема доведена.

Ця теорема давала ключ до підтвердження великої теореми Ферма. І все ж таки сама гіпотеза залишалася все ще недоведеною.

Анонсувавши 23 червня 1993 року доказ гіпотези Таніями для напівстабільних еліптичних кривих, до яких належать і криві види (8), Ендрю Вайлз поквапився. Математикам було рано святкувати перемогу.

Швидко закінчилося тепле літо, залишилася позаду дощова осінь, настала зима. Уайлс писав і переписував набіло остаточний варіант свого доказу, але прискіпливі колеги знаходили в його роботі все нові й нові неточності. І ось, на початку грудня 1993 року, за кілька днів до того, як рукопис Уайлса мав піти до друку, у його доказі були знову виявлені серйозні прогалини. І тоді Уайлз зрозумів, що за день-два він уже не зможе нічого виправити. Тут була потрібна серйозна доробка. Публікацію роботи довелося відкласти. Уайлз звернувся по допомогу до Тейлора. «Робота над помилками» зайняла понад рік. Остаточний варіант доказу гіпотези Таніями, написаний Уайлсом у співпраці з Тейлором, побачив світ лише влітку 1995 року.

На відміну від героя А. Марініної Уайлс не претендував на Нобелівську премію, проте... якоюсь нагородою його мали відзначити. Ось тільки який? Уайлсу на той час уже перевалило на п'ятий десяток, а золоті медалі Філдса вручаються до сорока років, поки ще не пройдено пік творчої активності. І тоді для Уайлса вирішили заснувати спеціальну нагороду – срібний знак Філдсівського комітету. Цей знак і вручили йому на черговому конгресі з математики в Берліні.

З усіх проблем, здатних з більшою чи меншою ймовірністю зайняти місце великої теореми Ферма, найбільші шанси має проблема щільної упаковки куль. Проблему щільної упаковки куль можна сформулювати як завдання про те, як економно скласти з апельсинів піраміду. Молодим математикам таке завдання дісталося у спадок від Йоганна Кеплера. Проблема народилася 1611 року, коли Кеплер написав невеликий твір «Про шестикутні сніжинки». Інтерес Кеплера до розташування і самоорганізації частинок речовини і привів його до обговорення іншого питання - про щільну упаковку частинок, при якій вони займають найменший обсяг. Якщо припустити, що частинки мають форму куль, то ясно, що як би вони не розташовувалися в просторі, між ними неминуче залишаться проміжки, і питання полягає в тому, щоб об'єм зазорів звести до мінімуму. У роботі , наприклад, стверджується (але не доводиться), що такою формою є тетраедр, осі координат усередині якого визначають базисний кут ортогональності в 109о28", а не 90о. Ця проблема має величезне значення для фізики елементарних частинок, кристалографії та інших розділів природознавства .

Література

1. Вейль А. Еліптичні функції за Ейзенштейном та Кронекером. – М., 1978.

2. Соловйов Ю.П. Гіпотеза Таніями та остання теорема Ферма // Соросівський освітній журнал. – № 2. – 1998. – С. 78-95.

3. Сінгх С. Велика теорема Ферма. Історія загадки, яка займала найкращі уми світу протягом 358 років/Пер. з англ. Ю.А. Данилова. М: МЦНМО. 2000. – 260 с.

4. Мирмович Е.Г., Усачова Т.В. Алгебра кватерніонів та тривимірні обертання // Справжній журнал № 1(1), 2008. – С. 75-80.

П'єр Ферма, читаючи «Арифметику» Діофанта Олександрійського і розмірковуючи над її завданнями, мав звичку записувати на полях книги результати своїх роздумів як коротких зауважень. Проти восьмого завдання Діофанта на полях книги, Ферма записав: « Навпаки, неможливо розкласти ні куб на два куби, ні біквадрат на два біквадрати, і, взагалі, ніякий ступінь, більший за квадрат на два ступені з тим же показником. Я відкрив цьому справді чудовий доказ, але ці поля для нього надто вузькі» / Е.Т.Белл «Творці математики». М., 1979, стор.69/. Пропоную до Вашої уваги елементарний доказ теореми ферма, який може зрозуміти будь-який старшокласник, який захоплюється математикою.

Порівняємо коментар Ферма до завдання Діофанта із сучасним формулюванням великої теореми Ферма, що має вигляд рівняння.
« Рівняння

x n + y n = z n(де n – ціле число більше двох)

не має рішень у цілих позитивних числах»

Коментар перебуває із завданням у логічному зв'язку, аналогічного логічного зв'язку присудка з підлягаючим. Те, що стверджується завданням Діофанта, навпаки, стверджується коментарем Ферма.

Коментар Ферма можна так трактувати: якщо квадратне рівняння з трьома невідомими має безліч рішень на безлічі всіх трійок піфагорових чисел, то, навпаки, рівняння з трьома невідомими в ступені, більшій за квадрат

У рівнянні немає навіть натяку на його зв'язок із завданням Діофанта. Його твердження вимагає докази, але при ньому немає умови, з якої випливає, що воно не має рішень у цілих позитивних числах.

Відомі мені варіанти доказу рівняння зводяться до наступного алгоритму.

1. Рівняння теореми Ферма приймається її висновок, у справедливості якого переконуються з допомогою докази.
2. Це ж рівняння називають вихіднимрівнянням, з якого має виходити його доказ.

У результаті утворилася тавтологія: « Якщо рівняння немає рішень у цілих позитивних числах, воно не має рішень у цілих позитивних числах». Доказ тавтології свідомо є неправильним і позбавленим будь-якого сенсу. Але її доводять шляхом протилежного.

• Приймається припущення, протилежне до того, що затверджується рівнянням, яке потрібно довести. Воно не повинно суперечити вихідному рівнянню, а воно йому суперечить. Доводити те, що прийнято без доказу, і приймати без доказу те, що потрібно довести, немає сенсу.
• На підставі прийнятого припущення виконуються абсолютно правильні математичні операції та дії, щоб довести, що воно суперечить вихідному рівнянню та є хибним.

Тому вже 370 років доказ рівняння великої теореми Ферма залишається нездійсненною мрією фахівців і любителів математики.

Я прийняв рівняння за висновок теореми, а восьму завдання Діофанта та її рівняння за умову теореми.

«Якщо рівняння x 2 + y 2 = z 2 (1) має безліч рішень на безлічі всіх трійок піфагорових чисел, то, навпаки, рівняння x n + y n = z n , де n > 2 (2) немає рішень на безлічі цілих позитивних чисел.»

Доказ.

а)Всім відомо, що рівняння (1) має безліч рішень на безлічі всіх трійок піфагорових чисел. Доведемо, що жодна трійка піфагорових чисел, яка є розв'язком рівняння (1), не є рішенням рівняння (2).

З закону оборотності рівності, сторони рівняння (1) поміняємо місцями. Піфагорові числа (z, х, у) можуть бути витлумачені як довжини сторін прямокутного трикутника, а квадрати (x 2 , y 2 , z 2) можуть бути витлумачені як площі квадратів, побудованих на його гіпотенузі та катетах.

Площі квадратів рівняння (1) помножимо на довільну висоту h :

z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)

Рівняння (3) можна трактувати як рівність обсягу паралелепіпеда сумі обсягів двох паралелепіпедів.

Нехай висота трьох паралелепіпедів h = z :

z 3 = x 2 z + y 2 z (4)

Об'єм куба розклався на два обсяги двох паралелепіпедів. Об'єм куба залишимо без змін, а висоту першого паралелепіпеда зменшимо до x і висоту другого паралелепіпеда зменшимо до y . Об'єм куба більше суми об'ємів двох кубів:

z 3 > x 3 + y 3 (5)

На безлічі трійок піфагорових чисел ( х, у, z ) при n = 3 може бути жодного рішення рівняння (2). Отже, на багатьох всіх трійок піфагорових чисел неможливо куб розкласти на два куби.

Нехай у рівнянні (3) висота трьох паралелепіпедів h = z 2 :

z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)

Обсяг паралелепіпеда розклався на суму обсягів двох паралелепіпедів.
Ліву сторону рівняння (6) залишимо без зміни. На правій його стороні висоту z 2 зменшимо до х у першому доданку і до у 2 у другому доданку.

Рівняння (6) звернулося до нерівності:

Обсяг паралелепіпеда розклався на два обсяги двох паралелепіпедів.

Ліву сторону рівняння (8) залишимо без зміни.
На правій стороні висоту z n-2 зменшимо до x n-2 у першому доданку і зменшимо до y n-2 у другому доданку. Рівняння (8) звертається до нерівності:

z n > x n + y n

(9)

На безлічі трійок піфагорових чисел може бути жодного рішення рівняння (2).

Отже, на безлічі всіх трійок піфагорових чисел за всіх n > 2 рівняння (2) немає рішень.

Отримано «чудовий доказ», але тільки для трійок піфагорових чисел. У цьому полягає нестача доказута причина відмови П. Ферма від нього.

B)Доведемо, що рівняння (2) не має рішень на безлічі трійок непіфагорових чисел, що представляє збій сімейство довільно взятої трійки піфагорових чисел z = 13, x = 12, y = 5 та сімейство довільно взятої трійки цілих позитивних чисел z = 21, x = 19, y = 16

Обидві трійки чисел є членами своїх сімейств:

	(13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1)	(10)
	(21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1)	(11)

Число членів сімейства (10) і (11) дорівнює половині твору 13 на 12 та 21 на 20, тобто 78 та 210.

У кожному члені сімейства (10) є z = 13 та змінні х і у 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1

У кожному члені сімейства (11) є z = 21 та змінні х і у які приймають значення цілих чисел 21 > x >0 , 21 > y > 0 . Змінні послідовно спадають на 1 .

Трійки чисел послідовності (10) і (11) можна подати у вигляді послідовності нерівностей третього ступеня:

	13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3
	21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3

і у вигляді нерівностей четвертого ступеня:

	13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4
	21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4

Правильність кожної нерівності засвідчується підвищенням чисел у третій та четвертий ступінь.

Куб більшої кількості неможливо розкласти на два куби менших чисел. Він або менше, або більше суми кубів двох менших чисел.

Біквадрат більшої кількості неможливо розкласти на два біквадрати менших чисел. Він або менше, або більше суми біквадратів менших чисел.

Зі зростанням показника ступеня всі нерівності, крім лівої крайньої нерівності, мають однаковий зміст:

Нерівностей вони всі мають однаковий зміст: ступінь більшого числа більший за суму ступенів менших двох чисел з тим самим показником:

	13 n > 12 n + 12 n; 13 n > 12 n + 11 n; ...; 13 n > 7 n + 4 n; ...; 13 n > 1 n + 1 n	(12)
	21 n > 20 n + 20 n; 21 n > 20 n + 19 n; ...; ;…; 21 n > 1 n + 1 n	(13)

Лівий крайній член послідовностей (12) (13) є найбільш слабкою нерівністю. Його правильність визначає правильність всіх наступних нерівностей послідовності (12) при n > 8 та послідовності (13) при n > 14 .

Серед них не може бути жодної рівності. Довільно взята трійка цілих позитивних чисел (21,19,16) перестав бути рішенням рівняння (2) великої теореми Ферма. Якщо довільно взята трійка цілих позитивних чисел є рішенням рівняння, то рівняння немає рішень на безлічі цілих позитивних чисел, як і вимагалося довести.

С)У коментарі Ферма до завдання Діофанта стверджується, що неможливо розкласти взагалі, ніякий ступінь, більший за квадрат, на два ступені з тим же показником».

Цілуюступінь, більший за квадрат, дійсно неможливо розкласти на два ступені з тим же показником. Нецілуюступінь, більшу за квадрат можна розкласти на два ступені з тим же показником.

Будь-яка довільно взята трійка цілих позитивних чисел (z, x, y) може належати до сімейства, кожен член якого складається з постійного числа z і двох чисел, менших z . Кожен член сімейства може бути представлений у формі нерівності, а всі отримані нерівності - у вигляді послідовності нерівностей:

z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1 n + 1 n

(14)

Послідовність нерівностей (14) починається нерівностями, у яких ліва сторона менша за праву сторону, а закінчується нерівностями, у яких права сторона менша від лівої сторони. Зі зростанням показника ступеня n > 2 число нерівностей правої сторони послідовності (14) збільшується. При показнику ступеня n = k всі нерівності лівої сторони послідовності змінюють свій зміст і набувають сенсу нерівностей правої сторони нерівностей послідовності (14). В результаті зростання показника ступеня у всіх нерівностей ліва сторона виявляється більшою за праву сторону:

z k > (z-1) k + (z-1) k; z k > (z-1) k + (z-2) k; ...; z k > 2 k + 1 k; z k > 1 k + 1 k

(15)

При подальшому зростанні показника ступеня n > k жодна з нерівностей не змінює свого сенсу і не звертається до рівності. На цій підставі можна стверджувати, що будь-яка довільно взята трійка цілих позитивних чисел (z, x, y) при n > 2 , z > x , z > y

У довільно взятій трійці цілих позитивних чисел z може бути як завгодно великим натуральним числом. Для всіх натуральних чисел, які не більше z , велику теорему Ферма доведено.

D)Яким би не було більшим числом z , в натуральному ряду чисел до нього є велика, але кінцева множина цілих чисел, а після нього - безліч цілих чисел.

Доведемо, що все безліч натуральних чисел, великих z , утворюють трійки чисел, які є рішеннями рівняння великий теореми Ферма, наприклад, довільно взята трійка цілих позитивних чисел (z + 1, x, y) , в якій z + 1 > x і z + 1 > y при всіх значеннях показника ступеня n > 2 не є рішенням рівняння великої теореми Ферма.

Довільно взята трійка цілих позитивних чисел (z + 1, x, y) може належати до сімейства трійок чисел, кожен член якого складаються з постійного числа z + 1 та двох чисел х і у , що приймають різні значення, менші z + 1 . Члени сімейства можуть бути представлені у формі нерівностей, у яких постійна ліва сторона менша або більше правої сторони. Нерівності можна впорядковано розташувати як послідовності нерівностей:

При подальшому зростанні показника ступеня n > k до нескінченності жодна з нерівностей послідовності (17) не змінює свого сенсу і не звертається до рівності. У послідовності (16) нерівність, утворена з довільно взятої трійки цілих позитивних чисел (z + 1, x, y) , може у її правої частини як (z + 1) n > x n + y n або перебувати у її лівій частині у вигляді (z + 1) n< x n + y n .

У будь-якому випадку трійка цілих позитивних чисел (z + 1, x, y) при n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y в послідовності (16) являє собою нерівність і не може являти собою рівності, тобто не може бути рішенням рівняння великої теореми Ферма.

Легко і просто зрозуміти походження послідовності статечних нерівностей (16), в якій остання нерівність лівої сторони і перша нерівність правої сторони є нерівністю протилежного сенсу. Навпаки, нелегко і непросто школярам, ​​старшокласнику та старшокласниці, зрозуміти, яким чином із послідовності нерівностей (16) утворюється послідовність нерівностей (17), у якій усі нерівності однакового змісту.

У послідовності (16) збільшення цілого ступенянерівностей на 1 одиницю звертає остання нерівність лівої сторони у першу нерівність протилежного сенсу правої сторони. Таким чином, кількість нерівностей сторони послідовності зменшується, а кількість нерівностей правої сторони збільшується. Між останнім і першим статечними нерівностями протилежного сенсу обов'язково перебуває статечна рівність. Його ступінь може бути цілим числом, оскільки між двома послідовними натуральними числами перебувають лише нецілі числа. Ступінна рівність нецілого ступеня, за умовою теореми, не може вважатися рішенням рівняння (1).

Якщо в послідовності (16) продовжувати збільшення ступеня на 1 одиницю, то остання нерівність її лівої сторони звернеться до першої нерівності протилежного сенсу правої сторони. В результаті не залишиться жодної нерівності лівої сторони і залишаться тільки нерівності правої сторони, які являтимуть собою послідовність статечних нерівностей, що посилюються (17). Подальше збільшення їхнього цілого ступеня на 1 одиницю лише посилює її статечні нерівності і категорично виключає можливість появи рівності в цілому ступені.

Отже, взагалі, жодну цілу міру натурального числа (z+1) послідовності статечних нерівностей (17) неможливо розкласти на два цілих ступеня з тим самим показником. Тому рівняння (1) немає рішень на нескінченному безлічі натуральних чисел, що потрібно було довести.

Отже, велику теорему Ферма доведено у всій загальності:

• у розділі А) для всіх трійок (z, x, y) піфагорових чисел (відкритий Ферма воістину чудовий доказ),
• у розділі В) для всіх членів сімейства будь-якої трійки (z, x, y) піфагорових чисел,
• у розділі С) для всіх трійок чисел (z, x, y) , невеликих числа z
• у розділі D) для всіх трійок чисел (z, x, y) натурального ряду чисел.

Зміни внесено 05.09.2010 р.

Які теореми можна і які не можна довести від протилежного

У тлумачному словнику математичних термінів дано визначення доказу від протилежної теореми, протилежної зворотній теоремі.

«Доказ від протилежного – метод доказу теореми (пропозиції), що полягає в тому, що доводять не саму теорему, а їй рівносильну (еквівалентну), протилежну зворотній (зворотній протилежній) теорему. Доказ протилежного використовують щоразу, коли пряму теорему довести важко, а протилежну зворотній легше. За підтвердження протилежного укладання теореми замінюється її запереченням, і шляхом міркування приходять до заперечення умови, тобто. до протиріччя, до протилежного (протилежного до того, що дано; це приведення до абсурду і доводить теорему».

Доказ протилежного дуже часто застосовується в математиці. Доказ від протилежного заснований на законі виключеного третього, що полягає в тому, що з двох висловлювань (затверджень) А і А (заперечення А) одне з них є істинним, а інше хибним»./Тлумачний словник математичних термінів: Посібник для вчителів/О. В. Мантуров [та ін]; за ред. В. А. Діткіна. - М.: Просвітництво, 1965. - 539 с.: Іл.-C.112 /.

Не краще було б відкрито заявити про те, що метод доказу протилежного не є математичним методом, хоча й використовується в математиці, що він є логічним методом і належить логіці. Чи можна стверджувати, що доказ від протилежного «використовують щоразу, коли пряму теорему довести важко», коли насправді його використовують тоді, і лише тоді, коли немає заміни.

Заслуговує на особливу увагу і характеристика ставлення один до одного прямою і зворотною їй теорем. «Зворотна теорема для даної теореми (або цієї теореми) — теорема, у якій умовою є висновок, а висновком – умова даної теореми. Ця теорема по відношенню до зворотної теореми називається прямою теоремою (вихідною). У той самий час зворотна теорема до зворотної теоремі буде даної теоремою; тому пряма та зворотна теореми називаються взаємно зворотними. Якщо пряма (дана) теорема вірна, то зворотна теорема який завжди правильна. Наприклад, якщо чотирикутник – ромб, його діагоналі взаємно перпендикулярні (пряма теорема). Якщо у чотирикутнику діагоналі взаємно перпендикулярні, то чотирикутник є ромб – це не так, тобто зворотна теорема неправильна»./Тлумачний словник математичних термінів: Посібник для вчителів/О. В. Мантуров [та ін]; за ред. В. А. Діткіна.- М.: Просвітництво, 1965.- 539 с.: Іл.-C.261/.

Ця характеристикаВідношення прямої та зворотної теорем не враховує того, що умова прямої теореми приймається як дана, без доказу, так що її правильність не має гарантії. Умова зворотної теореми не сприймається як це, оскільки вона є висновком доведеної прямої теореми. Його правильність засвідчена доказом прямої теореми. Це істотне логічне відмінність умов прямої та зворотної теорем виявляється вирішальним у питанні які теореми можна і які не можна довести логічним методом від протилежного.

Припустимо, що у прикметі є пряма теорема, яку довести традиційним математичним шляхом можна, але складно. Сформулюємо її у загальному вигляді у короткої формітак: з Аслід Е . Символ А має значення даної умовитеореми, прийнятої без доказу. Символ Е має значення укладання теореми, яке потрібно довести.

Доводити пряму теорему будемо від протилежного, логічнимметодом. Логічним методом доводиться теорема, яка має не математичнеумова, а логічнеумова. Його можна отримати, якщо математична умова теореми з Аслід Е , доповнити прямо протилежною умовою з Ане слід Е .

В результаті вийшло логічне суперечливе умова нової теореми, що містить у собі дві частини: з Аслід Е і з Ане слід Е . Отримана умова нової теореми відповідає логічному закону виключеного третього та відповідає доказу теореми методом протилежного.

Відповідно до закону, одна частина суперечливої ​​умови є хибною, інша частина є істинною, а третє – виключено. Доказ від протилежного має своє завдання і метою встановити, саме яка частина з двох частин умови теореми є хибною. Як тільки буде визначено помилкову частину умови, так буде встановлено, що інша частина є справжньою частиною, а третя — виключена.

Згідно з тлумачним словником математичних термінів, «доказ є міркування, під час якого встановлюється істинність чи хибність будь-якого твердження (судження, висловлювання, теореми)». Доказ від протилежногоє міркування, під час якого встановлюється хибність(абсурдність) висновку, що випливає з хибногоумови теореми, що доводиться.

Дано: з Аслід Еі з Ане слід Е .

Довести: з Аслід Е .

Доказ: Логічна умова теореми полягає в собі протиріччя, яке вимагає свого вирішення Протиріччя умови має знайти свій дозвіл у доказі та його результаті. Результат виявляється хибним при бездоганному та безпомилковому міркуванні. Причиною помилкового висновку при логічно правильному міркуванні може бути лише суперечлива умова: з Аслід Е і з Ане слід Е .

Немає і тіні сумніву, що одна частина умови є хибною, а інша в цьому випадку є істинною. Обидві частини умови мають однакове походження, прийняті як дані, припущені, однаково можливі, однаково допустимі і т. д. У ході логічного міркування не виявлено жодної логічної ознаки, яка б відрізняла одну частину умови від іншої. Тому в одній і тій же мірі може бути з Аслід Е і може бути з Ане слід Е . Твердження з Аслід Е можливо хибнимтоді затвердження з Ане слід Е буде справжнім. Твердження з Ане слід Е може бути хибним, тоді твердження з Аслід Е буде справжнім.

Отже, пряму теорему методом протилежного довести неможливо.

Тепер цю пряму теорему доведемо звичайним математичним методом.

Дано: А .

Довести: з Аслід Е .

Доказ.

1. З Аслід Б

2. З Бслід У (По раніше доведеній теоремі)).

3. З Услід Г (За раніше доведеною теореми).

4. З Гслід Д (За раніше доведеною теореми).

5. З Дслід Е (За раніше доведеною теореми).

На підставі закону транзитивності, з Аслід Е . Пряма теорема підтверджена простим способом.

Нехай доведена пряма теорема має правильну зворотну теорему: з Еслід А .

Доведемо її звичайним математичнимметодом. p align="justify"> Доказ зворотної теореми можна виразити в символічній формі у вигляді алгоритму математичних операцій.

Дано: Е

Довести: з Еслід А .

Доказ.

1. З Еслід Д

2. З Дслід Г (По раніше доведеній зворотній теоремі).

3. З Гслід У (По раніше доведеній зворотній теоремі).

4. З Уне слід Б (Зворотна теорема неправильна). Тому й з Бне слід А .

У цій ситуації продовжувати математичне підтвердження зворотної теореми немає сенсу. Причина виникнення ситуації – логічна. Неправильну зворотну теорему нічим замінити неможливо. Отже, цю зворотну теорему довести звичайним математичним методом неможливо. Вся надія – на підтвердження цієї зворотної теореми шляхом протилежного.

Щоб її довести шляхом протилежного, потрібно замінити її математичне умова логічним суперечливим умовою, що укладає у собі за змістом дві частини – хибну і істинну.

Зворотна теоремастверджує: з Ене слід А . Її умова Е , з якого випливає висновок А , є наслідком докази прямої теореми звичайним математичним методом. Цю умову необхідно зберегти та доповнити твердженням з Еслід А . В результаті доповнення виходить суперечлива умова нової зворотної теореми: з Еслід А і з Ене слід А . Виходячи з цього логічносуперечливої ​​умови, зворотну теорему можна довести за допомогою правильного логічногоміркування тільки, і тільки, логічнимметодом від неприємного. У доказі від неприємного будь-які математичні діїі операції підпорядковані логічним і тому не йдуть.

У першій частині суперечливого твердження з Еслід А умова Е було підтверджено доказом прямої теореми. У другій його частині з Ене слід А умова Е було припущено та прийнято без доказу. Одне з них одне є хибним, інше – істинним. Потрібно довести, яке з них є хибним.

Доводимо за допомогою правильного логічногоміркування і виявляємо, що його результатом є хибне, абсурдне висновок. Причиною хибного логічного висновку є суперечлива логічна умова теореми, що містить у собі дві частини – хибну та істинну. Хибною частиною може бути лише твердження з Ене слід А , в якому Е було прийнято без підтвердження. Саме цим воно відрізняється від Е затвердження з Еслід А , який підтверджено доказом прямої теореми.

Отже, істинним є твердження: з Еслід А , Що й потрібно було довести.

Висновок: логічним методом від протилежного доводиться лише обернена теорема, яка має доведену математичним методом пряму теорему і яку математичним методом довести неможливо.

Отриманий висновок набуває виняткового за важливістю значення щодо методу доказу від противного великої теореми Ферма. Переважна більшість спроб її довести має у своїй основі не звичайний математичний метод, а логічний метод доказу протилежного. Доказ великої теореми Ферма Уайлса не є винятком.

Дмитро Абраров у статті "Теорема Ферма: феномен доказів Уайлса" опублікував коментар до доказу великої теореми Ферма Уайлсом. За Абраровом, Уайлс доводить велику теорему Ферма за допомогою чудової знахідки німецького математика Герхарда Фрея (р. 1944), який пов'язав потенційне рішення рівняння Ферма x n + y n = z n , де n > 2 , З іншим, зовсім несхожим на нього, рівнянням. Це нове рівняння задається спеціальною кривою (названою еліптичною кривою Фрея). Крива Фрея задається рівнянням дуже простого виду:
.

«А саме Фрей зіставив будь-якому рішенню (a, b, c)рівняння Ферма, тобто числам, що задовольняють співвідношення a n + b n = c n, Вказану вище криву. І тут звідси випливала б велика теорема Ферма».(Цитата з: Абраров Д. «Теорема Ферма: феномен доказів Уайлса»)

Іншими словами, Герхард Фрей припустив, що рівняння великої теореми Ферма x n + y n = z n , де n > 2 має рішення в цілих позитивних числах. Цими ж рішення є, за припущенням Фрея, рішеннями його рівняння
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0 , що задається його еліптичною кривою.

Ендрю Вайлз прийняв цю чудову знахідку Фрея та з її допомогою за допомогою математичногоМетод довів, що цієї знахідки, тобто еліптичної кривої Фрея, не існує. Тому немає рівняння та її рішень, які задаються неіснуючої еліптичної кривої, Тому Уайлсу слід було б прийняти висновок у тому, що немає рівняння великої теореми Ферма і самої теореми Ферма. Однак їм приймається більш скромний висновок про те, що рівняння великої теореми Ферма не має рішень у цілих позитивних числах.

Незаперечним фактом може бути те, що Уайлсом прийнято припущення, прямо протилежне за змістом тому, що затверджується великою теоремою Ферма. Воно зобов'язує Уайлса доводити велику теорему Ферма методом протилежного. Наслідуємо і ми його приклад і подивимося, що з цього виходить.

У великій теоремі Ферма стверджується, що рівняння, x n + y n = z n , де n > 2 , немає рішень у цілих позитивних числах.

Згідно з логічним методом доказу від протилежного, це твердження зберігається, приймається як дане без доказу, а потім доповнюється протилежним за змістом твердженням: рівняння x n + y n = z n , де n > 2 має рішення в цілих позитивних числах.

Припущене твердження також приймається як це, без доказу. Обидва твердження, що розглядаються з погляду основних законів логіки, є однаково допустимими, рівноправними та однаково можливими. За допомогою правильної міркування потрібно встановити, саме яке їх є хибним, щоб потім встановити, що інше твердження є істинним.

Правильне міркування завершується хибним, абсурдним висновком, логічною причиною якого може бути лише суперечлива умова доказуваної теореми, що містить у собі дві частини прямо протилежного сенсу. Вони й стали логічною причиною абсурдного ув'язнення, результату доказу протилежного.

Однак у ході логічно правильного міркування був виявлено жодного ознаки, яким можна було б встановити, яке саме твердження є хибним. Їм може бути твердження: рівняння x n + y n = z n , де n > 2 , має рішень у цілих позитивних числах На цій же підставі ним може бути твердження: рівняння x n + y n = z n , де n > 2 , немає рішень у цілих позитивних числах.

У результаті міркування висновок може бути лише один: велику теорему Ферма методом від неприємного довести неможливо.

Було б зовсім інше діло, якби велика теорема Ферма була зворотної теоремияка має пряму теорему, доведену звичайним математичним методом. І тут її можна було довести від протилежного. А оскільки вона є прямою теоремою, то її доказ повинен мати у своїй основі не логічний метод доказу протилежного, а звичайний математичний метод.

За словами Д. Абрарова, найвідоміший із сучасних російських математиківакадемік В. І. Арнольд на доказ Уайлса відреагував «активно скептично». Академік заявив: «це справжня математика – справжня математика геометрична і сильна зв'язками з фізикою».(Цитата по: Абраров Д. «Теорема Ферма: феномен доказів Уайлса». Заява академіка висловлює саму сутність нематематичного докази Уайлса великий теорема.

Методом протилежного неможливо довести ні те, що рівняння великий теореми Ферма немає рішень, ні те, що має рішення. Помилка Уайлса не математична, а логічна - використання докази від противного там, де його використання немає сенсу і великий теореми Ферма не доводить.

Не доводиться велика теорема Ферма і з допомогою звичайного математичного методу, якщо у ній дано: рівняння x n + y n = z n , де n > 2 , немає рішень у цілих позитивних числах, і якщо у ній потрібно довести: рівняння x n + y n = z n , де n > 2 , немає рішень у цілих позитивних числах. У такій формі є не теорема, а тавтологія, позбавлена ​​сенсу.

Примітка.Мій доказ БТФ обговорювався на одному із форумів. Один із учасників Trotil, фахівець у теорії чисел, зробив таку авторитетну заяву під назвою: «Короткий переказ того, що зробив Миргородський». Наводжу його дослівно:

« А. Він довів, що якщо z 2 = x 2 + y , то z n > x n + y n . Це добре відомий і очевидний факт.

Ст. Він узяв дві трійки — піфагорову і піфагорову і показав простим перебором, що з конкретного, певного сімейства трійок (78 і 210 штук) БТФ виконується (і тільки йому).

З. А потім автором опущений той факт, що з < в подальшому може виявитися = , а не тільки > . Простий контрприклад - перехід n = 1 в n = 2 у піфагоровій трійці.

D. Цей пункт нічого суттєвого на доказ БТФ не вносить. Висновок: БТФ не доведено».

Розгляну його висновок щодо пунктів.

А.У ньому доведено БТФ для всього нескінченної множинитрійок піфагорових чисел. Доведена геометричним методом, який, на мою думку, мною не відкритий, а перевідкритий. А відкритий він був, на мою думку, самим П. Ферма. Саме його міг мати на увазі Ферма, коли писав:

«Я відкрив цьому справді чудовий доказ, але ці поля для нього надто вузькі». Дане моє припущення засноване на тому, що в задачі Діофанта, проти якої, на полях книги, писав Ферма, йдеться про рішення діофантового рівняння, якими є трійки чисел піфагорових.

Нескінченна безліч трійок піфагорових чисел є рішеннями діофатового рівняння, а теоремі Ферма, навпаки, жодне з рішень може бути рішенням рівняння теореми Ферма. І до цього факту справді чудовий доказ Ферма має безпосереднє відношення. Пізніше Ферма міг поширити свою теорему на множину всіх натуральних чисел. На багатьох натуральних чисел БТФ не належить до «багато винятково красивих теорем». Це моє припущення, яке ні довести, ні спростувати неможливо. Його можна і приймати, і відкидати.

Ст.У цьому пункті мною доводиться, що як сімейство довільно взятої піфагорової трійкичисел, так і сімейство довільно взятої не піфагорової трійки чисел БТФ виконується. Це — необхідна, але недостатня і проміжна ланка в моєму доказі БТФ. Взяті приклади сімейства трійки піфагорових чисел і сімейства трійки не піфагорових чисел мають значення конкретних прикладів, що передбачають і не виключають існування аналогічних інших прикладів.

Твердження Trotil, що я «показав простим перебором, що для конкретного, певного сімейства трійок (78 і 210 штук) БТФ виконується (і тільки для нього) позбавлено підстави. Він не може спростувати того факту, що я з таким самим успіхом можу взяти інші приклади піфагорової і піфагорової трійки для отримання конкретного певного сімейства однієї і іншої трійки.

Яку б пару трійок я не взяв би, перевірка їх придатності для вирішення завдання може бути здійснена, на мій погляд, лише методом «простого перебору». Якийсь інший метод мені не відомий і не потрібний. Якщо він припав не до смаку Trotil, то йому слід запропонувати інший метод, чого він не робить. Не пропонуючи нічого натомість, засуджувати «простий перебір», який у цьому випадку незамінний, некоректно.

З.Мною опущено = між< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), в якому ступінь n > 2 — ціле позитивне число. З рівності, що перебуває між нерівностями, випливає обов'язковерозгляд рівняння (1) при нецілому значенні ступеня n > 2 . Trotil, вважаючи обов'язковимрозгляд рівності між нерівностями, фактично вважає необхідниму доказі БТФ розгляд рівняння (1) при неціломзначенні ступеня n > 2 . Я це зробив для себе і виявив, що рівняння (1) при неціломзначенні ступеня n > 2 має рішенням трійку чисел: z, (z-1), (z-1) при нецілому показнику ступеня.

Для цілих чисел n більше 2 рівняння x n + y n = z n немає ненульових рішень у натуральних числах.

Ви, мабуть, пам'ятаєте зі шкільних часів теорему Піфагора: квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює суміквадратів катетів. Можливо, ви пам'ятаєте і класичний прямокутний трикутникзі сторонами, довжини яких співвідносяться як 3:4:5. Для нього теорема Піфагора виглядає так:

Це приклад рішення узагальненого рівняння Піфагора в ненульових цілих числах при n= 2. Велика теорема Ферма (її також називають «Великою теоремою Ферма» та «Останньою теоремою Ферма») полягає у твердженні, що при значеннях n> 2 рівняння виду x n + y n = z nне мають ненульових рішень у натуральних числах.

Історія Великої теореми Ферма дуже цікава і повчальна, і не лише для математиків. П'єр де Ферма зробив внесок у розвиток різних галузей математики, проте основна частина його наукової спадщинибула опублікована лише посмертно. Справа в тому, що математика для Ферма була чимось подібним до хобі, а не професійним заняттям. Він листувався з провідними математиками свого часу, проте публікувати свої роботи не прагнув. Наукові праціФерма в основному виявлені у формі приватного листування та уривчастих записів, часто зроблених на полях різних книг. Саме на полях (другого тому давньогрецької «Арифметики» Діофанта. - Прим. перекладача) Незабаром після смерті математика нащадки і виявили формулювання знаменитої теореми та приписку:

« Я знайшов цьому справді чудовий доказ, але ці поля для нього надто вузькі».

На жаль, судячи з усього, Ферма так і не спромігся записати знайдений ним «чудовий доказ», і нащадки безуспішно шукали його три з лишком століття. З усієї розрізненої наукової спадщини Ферма, що містить чимало дивовижних тверджень, саме Велика теорема вперто не піддавалася рішенню.

Хто тільки не брався за доказ Великої теореми Ферма – марно! Інший великий французький математик, Рене Декарт (René Descartes, 1596-1650), називав Ферма «хвалько», а англійський математикДжон Уолліс (John Wallis, 1616-1703) - і зовсім «чортовим французом». Сам Ферма, щоправда, таки залишив після себе доказ своєї теореми для випадку n= 4. З підтвердженням для n= 3 впорався великий швейцарсько-російський математик XVIII століття Леонард Ейлер (1707-83), після чого, не зумівши знайти доказів n> 4, жартома запропонував влаштувати обшук у будинку Ферма, щоб знайти ключ до втраченого доказу. У XIX столітті нові методи теорії чисел дозволили довести твердження для багатьох цілих чисел у межах 200, проте, знову ж таки, не для всіх.

У 1908 році було засновано премію у розмірі 100 000 німецьких марок за вирішення цього завдання. Призовий фонд був заповіданий німецьким промисловцем Паулем Вольфскелем (Paul Wolfskehl), який, за переказами, збирався покінчити життя самогубством, але так захопився Великою теоремою Ферма, що передумав помирати. З появою арифмометрів, а потім комп'ютерів планка значень nстала підніматися все вище - до 617 на початок Другої світової війни, до 4001 у 1954 році, до 125 000 у 1976 році. Наприкінці XX століття найпотужніші комп'ютери військових лабораторій у Лос-Аламосі (Нью-Мексико, США) були запрограмовані на вирішення завдання Ферма у фоновому режимі (за аналогією до режиму екранної заставки персонального комп'ютера). Таким чином вдалося показати, що теорема вірна для неймовірно великих значень x, y, zі nАле суворим доказом це послужити не могло, оскільки будь-які наступні значення nчи трійки натуральних чисел могли спростувати теорему загалом.

Нарешті 1994 року англійський математик Ендрю Джон Уайлс (Andrew John Wiles, р. 1953), працюючи в Прінстоні, опублікував доказ Великої теореми Ферма, яке, після деяких доробок, було визнано вичерпним. Доказ зайняв понад сто журнальних сторінок та ґрунтувався на використанні сучасного апарату вищої математики, який у епоху Ферма розроблено був. То що тоді мав на увазі Ферма, залишаючи на полях книги повідомлення про те, що доказ їм знайдено? Більшість математиків, з якими я розмовляв на цю тему, вказували, що за століття нагромадилося більш ніж досить некоректних доказів Великої теореми Ферма, і що, швидше за все, сам Ферма знайшов подібний доказ, проте не зміг побачити помилку. Втім, не виключено, що таки є якийсь короткий і витончений доказ Великої теореми Ферма, який ніхто досі не знайшов. З упевненістю можна стверджувати лише одне: сьогодні ми точно знаємо, що теорема вірна. Більшість математиків, я думаю, беззастережно погодяться з Ендрю Уайлсом, який помітив щодо свого доказу: «Тепер нарешті мій розум спокійний».

Багато років тому я отримав листа з Ташкента від Валерія Муратова, судячи з почерку, людину юнацького віку, яка тоді проживала на вулиці Комуністичній у будинку № 31. Хлопець був налаштований рішуче: "Одразу до справи. Скільки ви мені заплатите за доказ теореми Ферма? Мене? влаштовує не менше 500 рублів. Інший час я б довів вам безкоштовно, але зараз мені потрібні гроші..."

Дивовижний парадокс: мало хто знає, хто такий Ферма, коли він жив і що зробив. Ще менше людейможуть навіть у найзагальніших словах описати його велику теорему. Але всім відомо, що є якась теорема Ферма, доказ якої математики всього світу б'ються вже понад 300 років, а довести не можуть!

Людей честолюбних багато, і сама свідомість того, що є щось, чого інші зробити не можуть, ще більше підганяє їх честолюбство. Тому в академії, наукові інститутиі навіть редакції газет усього світу приходили і приходять тисячі (!) доказів Великої теореми, — небачений і ніколи не побитий рекорд псевдонаукової самодіяльності. Існує навіть термін: "ферматисти", тобто люди, одержимі бажанням довести Велику теорему, які змучили математиків-професіоналів вимогами оцінити їх праці. Відомий німецький математик Едмунд Ландау навіть заготовив стандартку, за якою і відповідав: "У вашому доказі теореми Ферма помилка на сторінці...", а номер сторінки проставляли його аспіранти. І ось влітку 1994 року газети всього світу повідомляють щось сенсаційне: Велика теорема доведена!

Отже, хто такий Ферма, у чому суть проблеми і чи вирішена вона справді? П'єр Ферма народився в 1601 році в сім'ї шкіряника, людини заможної і шанованої, - він обіймав посаду другого консула в рідному містечку Бомоне, - це щось на зразок помічника мера. П'єр навчався спочатку у ченців-францисканців, потім на юридичному факультеті в Тулузі, де згодом займався адвокатурою. Однак коло інтересів Ферма виходило далеко за межі юриспруденції. Особливо займала його класична філологія, відомі його коментарі до текстів давніх авторів. І друга пристрасть – математика.

У XVII столітті, як, втім, і через довгі роки, не існувало такої професії: математик. Тому всі великі математики того часу були математиками за сумісництвом: Рене Декарт служив в армії, Франсуа Вієт був юристом, Франческо Кавальєрі - ченцем. Наукових журналівтоді не було, і класик науки П'єр Ферма за життя не опублікував жодної наукової роботи. Існував досить вузьке коло "любителів", які вирішували різні для них цікаві завдання і писали з цього приводу листи один одному, іноді сперечалися (як Ферма з Декартом), але в основному залишалися однодумцями. Вони й стали фундаторами нової математики, сіячами геніальних зерен, з яких пішло в зріст, набираючи сили і гілкуючись, могутнє дерево сучасних математичних знань.

Так от, таким самим "любителем" був і Ферма. У Тулузі, де він прожив 34 роки, всі знали його насамперед як радника слідчої палати та досвідченого юриста. У 30 років він одружився, мав трьох синів та двох дочок, іноді відлучався у службові відрядження і під час однієї з них раптово помер у віці 63 років. Усі! Життя цієї людини, сучасника "Трьох мушкетерів", дивовижно бідне подіями і позбавлене пригод. Пригоди дісталися його Великої теореми. Не будемо говорити про всю математичну спадщину Ферма, та й важко розповісти про неї популярно. Повірте на слово: спадщина ця велика і різноманітна. Твердження, що Велика теорема — вершина його творчості, дуже суперечливе. Просто доля Великої теореми напрочуд цікава, і величезний світлюдей, непосвячених у таїнства математики, завжди цікавила не сама теорема, а все, що навколо неї...

Коріння всієї цієї історії треба шукати в античності, настільки улюбленій Ферма. Приблизно в III столітті жив в Олександрії грецький математик Діофант, - вчений своєрідно, нестандартно мислячий і нестандартно викладає думки свої. З 13 томів його "Арифметики" до нас дійшло лише 6. Саме коли Ферма виповнилося 20 років, вийшов новий переклад його творів. Ферма дуже захоплювався Діофант, і ці твори були його настільною книгою. На її полях Ферма і записав свою Велику теорему, яка у найпростішому сучасному вигляді виглядає так: рівняння Xn + Yn = Zn не має рішення в цілих числах при п - більше 2. (При п = 2 рішення очевидно: З2 + 42 = 52 ). Там же, на полях Діофантова тома, Ферма додає: "Я відкрив це справді чудовий доказ, але ці поля для нього надто вузькі".

На перший погляд, річ простенька, але коли інші математики почали доводити цю "простеньку" теорему, ні в кого нічого не виходило років сто. Нарешті, великий Леонард Ейлер довів її п = 4, потім через 20 (!) років — п = 3. І знову робота застопорилася багато років. Наступна перемога належить німцю Петеру Діріхле (1805—1859) і французу Андрієну Лежандру (1752—1833), — вони визнали, що Ферма має рацію за п = 5. Потім француз Габріель Ламе (1795—1870) зробив те саме для п = 7. Нарешті, в середині минулого століття німець Ернст Куммер (1810-1893) довів Велику теорему для всіх значень п менше або рівних 100. Причому довів методами, які не могли бути відомі Ферма, чим ще більше посилив флер таємничості навколо Великої теореми.

Таким чином, виходило, що доводили теорему Ферма "по шматочках", а "цілком" ні в кого не виходило. Нові спроби доказів призводили лише до кількісного збільшення значень п. Усі розуміли, що, витративши прірву праці, можна довести Велику теорему на скільки завгодно великої кількостіп, але Ферма-то говорив про будь-яке його значення більше 2! Ось у цій різниці між "скільки завгодно великим" і "будь-яким" і зосереджувався весь сенс проблеми.

Однак треба відзначити, що спроби довести теорему Фермга не були просто якоюсь математичною грою, розширенням складного ребуса. У процесі цих доказів відкривалися нові математичні горизонти, виникали і вирішувалися завдання, які ставали новими гілками математичного дерева. Великий німецький математик Давид Гільберт (1862-1943) наводив Велику теорему, як приклад того, "який спонукаючий вплив на науку може надати спеціальна і на погляд малозначна проблема". Той самий Куммер, працюючи над теоремою Ферма, сам довів теореми, які лягли в фундамент теорії чисел, алгебри та теорії функцій. Тож доказ Великої теорсеми — не спорт, а справжня наука.

Час минав, і на допомогу професійним "фсрматнтстам" прийшла електроніка. Електронні мізки нових методів вигадати не могли, зате брали швидкість. Приблизно до початку 80-х років теорема Ферма за допомогою ЕОМ була доведена для n меншою або рівною 5500. Поступово ця цифра зросла до 100 000, але всі розуміли, що подібне "нагромадження" - справа чистої техніки, що нічого не дає ні розуму ні серцю. . Фортеця Великої теореми "в лоб" узяти не змогли, ще почали шукати обхідні маневр'я.

У середині 80-х років молодий німецький математик Г. Філітінгс довів так звану "гіпотезу Морделла", яка, до речі, теж "не давалася в руки" нікому з математиків 61 рік. Виникла надія, що тепер, так би мовити, "атакою з флангу", може бути вирішена і теорема Ферма. Однак тоді нічого не вийшло. 1986 року німецький математик Герхард Фрей в Ессещі запропонував новий метод доказу. Не беруся пояснити його строго, але не маатематичним, а загальнолюдською мовою він звучить приблизно так: якщо ми переконаємося, що доказ якоїсь іншої теореми є непрямим, якимось чином трансформований доказ теореми Ферма, то, отже, доведемо Велику теорему. Через рік американець Кеннет Рібет з Берклі показав, що Фрей має рацію і, справді, можна один доказ звести до іншого. Цим шляхом пішли багато математиків у різних країнахсвіту. В нас дуже багато для доказу Великої теореми зробив Віктор Олександрович Коліванов. Трисотлітні стіни неприступної фортеці захиталися. Математики зрозуміли, що вона довго не встоїть.

Влітку 1993 року в старовинному Кембриджі, в Інституті математичних наук імені Ісаака Ньютона зібралися 75 найвідоміших математиків світу, щоб обговорити свої проблеми. Серед них був і американський професор Ендрю Уайлс із Прінстонського університету, — великий фахівець у теорії чисел. Всі знали, що він уже багато років займається Великою теоремою. Уайлз зробив три доповіді і на останній — 23 червня 1993 року — наприкінці, відвернувшись від дошки, сказав з усмішкою:

— Мабуть, я не продовжуватиму...

Спочатку настала мертва тиша, потім обвал оплесків. Ті, хто сидів у залі, були достатньо кваліфіковані, щоб зрозуміти: Велика теорема Ферма доведена! У всякому разі, ніхто з присутніх не виявив у наведеному доказі будь-яких похибок. Заступник директора Ньютонівського інституту Пітер Годдард заявив журналістам:

— Більшість експертів не думали, що дізнаються про розгадку до кінця свого життя. Це одне з найбільших досягнень математики нашого сторіччя.

Минуло кілька місяців, жодних зауважень та спростувань не було. Щоправда, Вайлз докази свого не опублікував, а лише розіслав, так звані, припрінт своєї роботи дуже вузькому колу своїх колег, що, природно, заважає математикам коментувати цю наукову сенсацію, і я розумію академіка Людвіга Дмитровича Фаддєєва, який сказав:

— Зможу стверджувати, що сенсація сталася, коли побачу доказ на власні очі.

Фаддєєв вважає, що ймовірність перемоги Уайлса дуже велика.

— Мій батько, відомий фахівець у теорії чисел, був, наприклад, упевнений, що теорема буде доведена, але не елементарними засобами, — додав він.

Скептично поставився до новини інший наш академік, — Віктор Павлович Маслов, який вважає, що доказ Великої теореми взагалі не є актуальною математичною проблемою. За своїми науковими інтересами Маслов — голова ради прикладної математики- Далекий від "ферматистів", і, коли він говорить про те, що повне рішенняВеликої теореми є лише спортивний інтерес, його зрозуміти можна. Проте смію зауважити, що поняття актуальності у будь-якій науці є величина змінна. 90 років тому Резерфорду, напевно, теж казали: "Ну, гаразд, ну теорія радіоактивного розпаду… І що? Яка від неї користь?.."

Праця над доказом Великої теореми вже дала дуже багато математики, і можна сподіватися, що дасть ще.

- Те, що зробив Уайлз, просуне математиків в інші області, - сказав Пітер Годдард. — Швидше, це не закриває один із напрямків думки, а ставить нові питання, які вимагатимуть відповіді...

Професор МДУ Михайло Ілліч Зелікін так пояснив мені сьогоднішню ситуацію:

Ніхто не бачить у роботі Уайлса якихось помилок. Але щоб ця робота стала науковим фактомНеобхідно, щоб кілька авторитетних математиків незалежно один від одного повторили цей доказ і підтвердили його правильність. Це неодмінна умова усвідомлення роботи Уайлса математичною громадськістю.

Як багато часу знадобиться для цього?

Це питання я поставив одному з провідних наших фахівців з теорії чисел, доктору фізико-математичних наук Олексію Миколайовичу Паршину.

— У Ендрю Уайлса ще багато часу попереду.

Справа в тому, що 13 вересня 1907 німецький математик П. Вольфскель, який, на відміну від переважної більшості математиків, був людина багата, заповідав тому, хто в найближчі 100 років доведе Велику теорему, 100 тисяч марок. На початку століття відсотки із заповіданої суми йшли до скарбниці знаменитого Гетгангентського університету. На ці гроші запрошували провідних математиків для читання лекцій, вели наукову роботу. На той час головою комісії з присудження премії був згадуваний мною Давид Гільберт. Виплачувати премію йому не хотілося.

- На щастя, - говорив великий математик, - здається, у нас немає математика, крім мене, якому було б під силу це завдання, я ж ніколи не наважуся зарізати курку, яка несе нам золоті яйця.

До терміну - 2007 року, позначеного Вольфскелем, залишилося кілька років, і, мені здається, над "куркою Гільберта" нависла серйозна небезпека. Але не в премії, власне, річ. Справа в допитливості думки та людській завзятості. Триста з гаком років билися, а все ж довели!

І ще. Для мене найцікавіше в цій історії: як довів свою Велику теорему сам Ферма? Адже всі сьогоднішні математичні хитрощі були йому невідомі. І чи довів він її взагалі? Адже є версія, що довів начебто, але сам знайшов помилку, а тому докази іншим математикам розсилати не став, а закреслити запис на полях Діофантова тома забув. Тому мені здається, що доказ Великої теореми, очевидно, відбувся, але таємниця теореми Ферма залишилася, і навряд чи ми колись розкриємо її...

Можливо, Ферма і помилився тоді, але він не помилявся, коли писав: "Мабуть, потомство буде вдячне мені за те, що я показав йому, що давні не всі знали, і це може проникнути у свідомість тих, які прийдуть після мене. для передачі смолоскипа синам..."