Из уравнений движения консервативной механической системы около устойчивого положения равновесия

в случае двух степеней свободы имеем:

(1)

(Согласно критерию Сильвестра:

(1) система дифференциальных уравнений малых свободных колебаний механической системы с двумя степенями свободы около устойчивого положения равновесия . Ее решение ищется в виде:

(2)

Подстановка этого решения в систему дифференциальных уравнений малых колебаний дает:

(3)

Относительно A и B это система однородных алгебраических уравнений. Она имеет нетривиальное решение, когда определитель системы равен нулю:

(4)

Это биквадратное уравнение называется уравнением частот, оно имеет два положительных корня , которым соответствуют два решения системы дифференциальных уравнений малых колебаний:

Таким образом, каждая обобщенная координата находится как сумма двух колебаний разной частоты, которые называются главными колебанииями . При этом, как следует из системы (3), амплитуды главных колебаний связаны между собой следующим образом:

(5)

где - коэффициенты формы главных колебаний.

В итоге решение уравнений свободных колебаний (1) окончательно принимает вид:

(6)

Входящие в(6) амплитуды , и начальные фазы , колебаний определяются из начальных условий.

Вынужденные колебания механических систем с двумя степенями свободы. Динамический гаситель колебаний

Исключение нежелательных колебаний в механических системах называется виброзащитой (демпфированием). Используемые при этом технические устройства называются виброгасителями (демпферами).

Принцип работы динамического гасителя основан на использовании явления антирезонанса, когда действие периодически изменяющейся возмущающей обобщенной силы соответствующей одной координате, нейтрализуется действием потенциальной обобщенной силы, соответствующей другой координате.

Пусть к механической системе помимо консервативных сил приложена возмущающая сила, которая изменяется с течением времени по гармоническому закону

Дифференциальные уравнения движения механической системы в этом случае имеют вид:

Общее решение системы линейных дифференциальных неоднородных(в данном случае) уравнений ищем как сумму двух решений: ,- общее решение системы однородных дифференциальных уравнений; -частное решение системы неоднородных дифференциальных уравнений.

С учетом зависимости возмущающей силы от времени частное решение ищется в виде

Подстановка его в систему дифференциальных уравнений дает:

Решая эту систему по правилу Крамера, получим

Поскольку совпадает с левой частью уравнения частот и обращается в ноль

при совпадении частоты возмущающей силы с одной из частот собственных

колебаний или Коэффициенты A и B при этом обращаются в бесконечность. Таким образом, в случае колебаний системы с двумя степенями свободы существуют две резонансные частоты

Общее решение системы дифференциальных уравнений вынужденных

колебаний при имеет вид:

Как видно, за счет выбора параметров колеблющейся системы можно добиться, например, выполнения условия А =0, т. е. амплитуда вынужденных колебаний, соответствующих первой обобщенной координате, обращается в ноль.

Такое явление и называется антирезонансом.

В рассматриваемом случае это имеет место, если

Основные понятия и гипотезы теории удара. Основное уравнение теории удара

Явление, при котором за малый промежуток времени, т.е. почти мгновенно, скорости точек материальных объектов изменяются на конечные величины, называется ударом .

Так как при ударе конечное изменение скоростей происходит за весьма малый промежуток времени, то при этом возникают очень большие ускорения, а, следовательно, и очень большие силы. Эти силы действуют в течение весьма малого промежутка времени, но их импульсы за этот промежуток времени являются конечными величинами.

Силы, возникающие при ударе в течение малого промежутка времени, но достигающие при этом большой величины, так что их импульсы за этот промежуток времени являются конечными величинами, называются ударными силами .

Малый промежуток времени, в течение которого длится удар, называется временем удара. Импульсы ударных сил за время удара называются ударными импульсами .

Пусть дана МТ массы m, которая движется под действием обычной (неударной) силы . В момент , когда рассматриваемая МТ имеет скорость – скорость до удара, на нее начинает действовать ударная сила , действие которой прекращается в момент . Определим движение МТ под действием сил и за время удара .

Применяя теорему об изменении количества движения точки, получим:

,

где – скорость точки в момент после удара.

По теореме о среднем значении определенного интеграла можно написать:

,

где и есть средние значения сил и в некоторый промежуток времени. При этом является конечной величиной; ударная сила за время удара достигает весьма большой величины (порядка ). Поэтому произведение будет пренебрежимо мало по сравнению с произведением , являющимся величиной конечной.

Пусть дана система с двумя степенями свободы и - обобщенные координаты. Кинетическая и потенциальная энергия системы дается формулами (10.2):

Функции Т и П определенно положительны, а потому:

Подставив (10.2) в (10.12), получим дифференциальные уравнения малых колебаний системы с двумя степенями свободы:

Система имеет нулевое решение A=B=0, соответствующее устойчивому положению равновесия. Для ненулевых решений составим из (10.15) отношение:

Квадратное (относительно ) уравнение (10.18) в силу неравенств устойчивости имеет два вещественных положительных корня. Расположим их в порядке возрастания:

Для второго главного колебания:

(10.21)

Главные колебания являются колебаниями гармоническими.

Подставив поочередно и в (10.16), найдем связи между амплитудами A и B в главных колебаниях: . Множители и называют коэффициентами собственных форм (коэффициентами распределения амплитуд). Они могут быть как положительными, так и отрицательными. При обе координаты в главном колебании находятся в одной фазе; при - в противофазе.

Результирующее движение по каждой координате будет суммой двух главных колебаний:

(10.22)

где - зависят от начальных условий, - от начальных условий не зависят и определяются параметрами самой колебательной системы. В общем случае частоты и несоизмеримы, а потому результирующее движение не будет периодическим.

1. Определить собственные частоты и собственные формы колебаний (малых) двойного математического маятника, образованного двумя материальными точками равной массы m и двумя стержнями длиной каждый.

Подобная система в общем виде была рассмотрена в примере 2 (§34). Воспользуемся полученными там формулами (2) и (3).

При , получим:

Так как колебания малые, то с точностью до малых второго порядка включительно:

(3)

С учетом (3) из (1), замечаем:

(4)

Сравнивая (4) и (2), замечаем:

Раскрывая уравнение (7.52) частот, получим:

Из (9.50) находим коэффициенты распределения: .

Первое главное колебание:

Движение в фазе - в каждое мгновение стержни вращаются в одном направлении.

Второе главное колебание:

Движение в противофазе – в каждое мгновение стержни вращаются в прямо противоположных направлениях.

Формы колебаний показаны на рис. 50. Во втором главном колебании имеется особенная точка F, которая остается неподвижной. Такие точки называют узлами. Концевая точка O к узлам не относится.

2. Два твердых тела с массами и и две пружины, жесткостью и , объединены в систему, которая располагается на гладкой горизонтальной плоскости и может совершать малые прямолинейные колебания.

Первое главное колебание:

Тела движутся в фазе, либо вправо либо влево. Амплитуда колебаний второго тела в 1,62 раза больше.

Второе главное колебание:

Тела движутся в противофазе: либо навстречу друг другу, к узлу, либо расходятся от узла. Амплитуда колебаний второго тела составляет 0,62 амплитуды первого.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

УДК 531.8:621.8

Д.М.Кобылянский, В.Ф.Горбунов, В.А.Гоголин

СОВМЕСТИМОСТЬ ВРАЩЕНИЯ И КОЛЕБАНИЙ ТЕЛ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

Рассмотрим плоское тело Т, на которое наложены три идеальные связи, препятствующие только перемещениям тела по всем направлениям, как показано на рис.1а. Связями являются точки А, В, С, расположенные в вершинах равностороннего треугольника. Выбрав систему координат так, чтобы ее центр совпадал с центром треугольника и был совмещен с ним (рис.1а), имеем координаты связей: А(0;Я), Б(^л/3 /2; -Я/2), С^-Лд/э /2; -Я/2), где Я есть расстояние от центра треугольника до его вершин, то есть радиус окружности проходящей через точки А, В, С. В таком положении тело будет иметь одну степень свободы, только в том случае, если нормали к ее границе в точках А, В, С пересекаются в одной точке, которая будет мгновенным центром скоростей. В противном случае число степеней свободы тела равно нулю и оно не может не только поступательно перемещаться, но и совершать вращательное движение. Когда тело имеет одну степень свободы, оно может начать вращение с мгновенным центром вращения в точке пересечения указанных выше нормалей. Пусть эта точка будет началом координат, точкой О. Если мгновенный центр вращения не изменяет своего положения, то единственно возможная форма тела Т -круг радиуса Я с центром в точке О.

Возникает задача - существуют ли другие формы тела, позволяющие ему вращаться относительно некоторого подвижного центра так, чтобы гра-

ница тела непрерывно проходила через три точки А, В, С без нарушения этих связей? В известной нам литературе такая задача не рассматривалась и по-видимому решается впервые.

Для решения этой задачи рассмотрим сначала движение треугольника АВС как жесткого тела, относительно системы координат Х1О1У1, связанной с телом Т (рис.1б). Тогда, если движение треугольника происходит так, что его вершины непрерывно остаются на границе тела при полном повороте треугольника на 360°, то и обратно тело будет совершать требуемое движение относительно неподвижного треугольника АВС и связанной с ним системы координат ХОУ.

Движение треугольника АВС зададим как поворот относительно центра О и перемещения центра О по оси ОіХі на/(г), по оси ОіУі на g(t). Тогда параметрическое уравнение траектории точки А будет иметь вид: х=гяШ +/(г) ; уі=г-єо,?ґ +g(t), ґє (1)

Так как при г=0 точка О должна совпадать с точкой О1, то должно выполнятся условие /(0)= g(0)=0. Потребуем, чтобы при повороте на угол г=2п/3 точка А совпадет с точкой В1, точка В - с точкой Сі, а точка С

С точкой А1. При повороте на угол г=4п/3 точка А должна перейти в точку С1, точка В - в точку А1, а точка С - в точку В1. Объединение данных требований на движение вершин треугольника приводит к условиям на значения функций перемещения центра вращения /(0)=/(2 п/3)=/(4 п/3)=0; g0)=g(2л/3)=g(4л/3)=0 . (2) Условиям (2) удовлетворяет широкий класс функций, в частности функции вида sin(3mt/2), где т целое, и их линейные комбинации с переменными в общем случае коэффициентами вида:

Н (г) = ^ Ьт (г) 8Іп(3тґ / 2)

Кроме того, в качестве

Рис.1. Расчетная схема: а) - положение неподвижного тела и его связей в системе ХОУ; б) - положение неподвижной системы Х1О1У1, связанной с телом, и подвижной системы ХОУ, связанной с треугольником АВС

Теоретическая механика

Рис.2. Формы тел и траектории движения их центров вращения

Рис. 3. Положение тела при повороте на угол ри соответствующая траектория движения его центра вращения

функций перемещения могут быть взяты функции, определяющие замкнутые кривые, такие например, как циклоиды, трохоиды, лемнискаты, с подходящими по условию (2) параметрами. При этом все возможные функции должны быть периодическими с периодом 2п/3.

Таким образом, система параметрических уравнений (1) с условиями на значения функций /(^, g(t) (2) или в их виде (3) дает искомое уравнение границы тела Т. На рис.2 представлены примеры возможных форм тела, удовлетворяющих условиям поставленной задачи. В центре каждого рисунка показана траектория центра вращения О1, а точечные связи А, В, С увеличены для их лучшей визуализации. Эти примеры показывают, что даже простые виды функций из класса, определяемого выражением (3) с постоянными коэффициентами, дают нам достаточно широкий набор кривых, описывающих границы тел, совершающих вращение и

колебания одновременно при наличии только одной степени свободы. Граничные кривые а), в) на рис.2 соответствуют перемещению центра вращения только по горизонтальной оси

ОіХі по гармоническому закону, и как видно имеют две оси симметрии и могут быть как чисто выпуклыми, овальными (рис. 2а), так и сочетать выпуклость с вогнутостью (рис.2б). При вертикальном и горизонтальном гармоническом законе с одинаковой амплитудой перемещения центра вращения граничные кривые теряют симметричность (рис. 2 в,г). Существенное влияние частоты гармонических колебаний на форму граничной кривой тела показано на рис.2 д, е. Не проводя в данной работе полный анализ влияния амплитуды и частоты на форму и геометрические свойства граничных кривых, хотелось отметить, что представленные примеры на рис.2 уже показывают возможность решения технических задач по выбору нужной формы

тела для совмещения его вращательного движения с колебаниями в плоскости вращения.

Рассматривая теперь перемещение тела относительно неподвижной системы координат ХОУ, связанной с треугольником АВС, то есть переходя из системы координат Х1О1У1 в систему координат ХОУ, получим следующие параметрические уравнения граничной кривой тела при заданном угле поворота p x=cosp-

Cos p (4)

или с учетом уравнений (1) уравнения (4) принимают вид x = cosp-

- [ R cos(t) + g (t) - g (p)] sin p, y = sin p +

Cos p.

Уравнения (5) позволяют описать траекторию любой точки тела по ее заданным поляр-

t-g.i м*4<. п-і

t-ÍLÍtWM. д-0

Рис. 4. Варианты форм тел с различным числом связей, обеспечивающие совместность вращения и колебания тел

ным координатам R,t. В частности при R=0, t=0 имеем точку, совпадающую с началом координат Оь то есть центр вращения, траектория движения которого в рассматриваемой схеме описывается уравнениями, следующими из (5):

*0 = -f (ф) cos ф + g (ф) sin ф, y0 = - f (ф) sin ф- g (ф) cos р.

На рис.3 показан пример положений тела (рис.2б) при его повороте на угол ф, а в центре каждого рисунка показана траектория центра вращения

Оі , соответствующая повороту тела на этот угол. Технически несложно сделать анимацию

показанного движения тела на рис.3 вместо физической модели, однако рамки журнальной статьи могут это позволить только в электронном варианте. Показанный пример был все-таки

Обобщением рассмотренной задачи является система п идеальных связей в виде точек, расположенных в вершинах правильного «-угольника, препятствующих только поступательным перемещениям тела. Поэтому, как и в случае с треугольником, тело может начать совершать поворот относительно центра вращения, являющегося точкой пересечения нормалей к границе тела в точках связи. В этом случае уравнение траектории точки тела А, находящейся на оси ОУ, и отстоящей от центра вращения на расстоянии Я, будет иметь такой же вид как и (1). Условия на значения функций перемещения центра вращения (2) в этом случае примут

Кобылянский Горбунов

Дмитрий Михайлович Валерий Федорович

Аспирант каф. стационарных и - докт. техн. наук, проф. каф. ста-

транспортных машин ционарных и транспортных машин

f(2kп/п)=g(2kп/п)=0. (7)

Условию (7) соответствуют периодические функции с периодом 2п/п, например 8т(п-т4/2), а также их линейные комбинации вида (3) и другие функции, описывающие замкнутые кривые. Аналогичные, указанным выше, рассуждения приводят к тем же уравнениям (4-6), позволяющим рассчитать форму тела, его положения при повороте и траекторию центра вращения при согласованных с вращением колебаниях тела. Примером таких расчетов служит рис.4, на котором пунктирной линией показано начальное положение тел, сплошной линией - положение тел при повороте на угол л/3 , а в центре каждого рисунка полная траектория центра вращения при полном повороте тела. И хотя в этом примере рассмотрено только горизонтальное перемещение центра вращения О, как центра п-угольника, полученные результаты показывают широкий спектр возможных форм тела с одной степенью свободы, сочетающего вращательное движение с колебаниями при наличии четырех, пяти и шести связей.

Полученная методика расчета совместности движений вращения и колебания тел с одной степенью свободы может также быть без каких-либо дополнений использована и для пространственных тел, у которых запрещены перемещения по третьей координате и повороты в других координатных плоскостях.

Гоголин Вячеслав Анатольевич

Докт. техн. наук, проф. каф. прикладной математик и

Колебания с несколькими степенями свободы.

Краткие сведения из теории.

Системами с п степенями свободы принято в динамике называть такие системы, для полной фиксации геометрического состояния которых в любой момент времени требуется задать п параметров, например положение (прогибы) п точек. Положение прочих точек определяется обычными статическими приемами.

Примером системы с п степенями свободы может служить балка или плоская рама, если массы ее отдельных частей или элементов условно (для облегчения динамического расчета) считаются сосредоточенными в п точках, или если она несет п больших масс (двигатели, моторы), по сравнению с которыми возможно пренебречь собственным весом элементов. Если отдельные сосредоточенные («точечные») массы могут при колебаниях совершать перемещения по двум направлениям, то число степеней свободы системы будет равно числу связей, которые следует наложить на систему, чтобы ликвидировать смещения всех масс.

Если вывести из равновесия систему с п степенями свободы, то она будет совершать свободные колебания , причем каждая «точка» (масса) будет совершать сложные полигармонические колебания типа:

Постоянные Аi и Вi зависят от начальных условий движения (отклонений масс от статического уровня и скоростей в момент времени t =0). Лишь в некоторых, особых, случаях возбуждения колебаний полигармоническое движение для отдельных масс может перейти в гармоническое, т.е. как в системе с одной степенью свободы:

Число собственных частот системы равно числу ее степеней свободы.

Для вычисления собственных частот необходимо решить так называемый определитель частот, записываемый в таком виде:

Это условие в развернутом виде дает уравнение п -ой степени для определения п значений ω 2 , которое называется уравнением частот.

Через δ 11 , δ 12 , δ 22 и т.д. обозначены возможные перемещения. Так, δ 12 есть перемещение по первому направлению точки расположения первой массы от единичной силы, приложенной по второму направлению к точке расположения второй массы и т.д.

При двух степенях свободы уравнение частот получает вид:

Откуда для двух частот имеем:

В том случае, когда отдельные массы М i могут совершать в совокупности с линейными перемещениями также вращательные или только вращательные движения, то i -той координатой будет угол вращения, и в определителе частот массу

М i надлежит заменить моментом инерции массы J i ; соответственно возможные перемещения по направлению i -той координаты (δ i 2 , δ i 2 и т.д.) будут являтся угловыми перемещениями.

Если какая-либо масса будет совершать колебания по нескольким направлениям - i -му и k -му (например, по вертикальному и горизонтальному), то такая масса участвует в определителе несколько раз под номерами М i и М k и ей соответствует несколько возможных перемещений (δ ii , δ kk , δ ik , и т.д.).

Заметим, что каждой собственной частоте присуща своя особая форма колебаний(характер изогнутой оси, линии прогибов, перемещений и т.п.), которая отдельных, особых, случаях может оказаться действительной формой колебаний, если только надлежащим образом или возбуждены свободные колебания (надлежащий подбор импульсов, точек их приложения и т.п.). В этом случае колебания системы будут совершаться по законам движения системы с одной степенью свободы.

В общем случае, как это вытекает из выражения (9.1), система совершает полигармонические колебания, но, очевидно, что всякая сложная упругая линия, в которой отражается влияние всех собственных частот, может быть разложена на отдельные составляющие формы, каждая из которых соответствует своей собственной частоте. Процесс такого разложения истинной формы колебаний на составляющие (что необходимо при решении сложных задач строительной динами) носит название разложения по формам собственных колебаний.

Если в каждой массе, точнее – по направлению каждой степени свободы, приложить возмущающую силу, изменяющуюся по времени по гармоническому закону

или , что для дальнейшего безразлично, причем амплитуды сил при каждой масс различны, а частота и фаз одинаковы, то при продолжительном действии таких возмущающих сил система будет совершать установившееся вынужденные колебания с частотой вынуждающей силы. Амплитуды перемещений по направлению любой i -той степени в этом случае будет:

где определитель D записывается по (9.2) с заменой ω на θ и, следовательно, D≠0; D i определяется выражением:

т.е. i -й столбец определителя D заменяется столбцо, составленным из членом вида: Для случая двух степеней свободы: (9.6)

И соответственно

При расчете на вынужденные колебания балок постоянного сечения, несущих сосредоточенные массы (рис.9.1).

Проще, однако, пользоваться нижеуказанными формулами для амплитуд прогиба, угла поворота, изгибающего момента и поперечной силы в любом сечении балки:

(9.7)

где y 0 , φ 0 , M 0 , Q 0 – амплитуды прогиба, поворота, момента и поперечной силы начального сечения (начальные параметры); M i и J i - масса и ее момент инерции (сосредоточенные массы); знак ∑ распространяется на все силы и сосредоточенные массы, расположенные от начального сечения до обследуемого.

Указанными формулами (9.7) можно пользоваться и при вычислении собственных частот, для чего необходимо считать возмущающие силы ∑ Р i и моменты ∑ М i равными нулю, заменить частоту вынужденных колебаний θ частотой собственных колебаний ω и, предполагая существование колебаний (свободных колебаний), написать выражения (9.7) применительно к сечениям, где расположены сосредоточенные массы и уже известны амплитуды (опорные сечения, ось симметрии и т.д.). Получим систему однородных линейных уравнений. Приравнивая к нулю определитель этой системы, получим возможность вычислить собственные частоты.

Целесообразным, оказывается использовать выражения (9.4) и (9.5) для определения амплитуд (y 0 , φ 0 , и т.п.) при х =0, а затем с помощью (9.7) вычислить все остальные элементы прогиба.

Более сложной является задача расчета движений системы с несколькими степенями свободы на действие произвольной нагрузки, изменяющейся во времени и приложенной к различным массам.

При решении такой задачи надлежит поступать следующим образом:

а) определить собственные частоты и формы собственных колебаний;

б) заданную нагрузку перегруппировать между массами или, как принято говорить, разложить по формам собственных колебаний. Число групп нагрузок равняется числу собственных частот системы;

в) после выполнения указанных выше двух вспомогательных операций сделать расчет для каждой группы нагрузок по известным формулам из теории колебаний системы с одной степенью свободы, причем частота собственных колебаний в этих формулах принимается та, которой соответствует данная группа нагрузки;

г) частные решения от каждой категории нагрузок суммируют, чем и определяется окончательное решение задачи.

Определение собственных частот выполняется согласно (9.2). Что касается выявления форм собственных колебаний, то здесь необходимо руководствоваться тем основным свойством любой формы собственных колебаний, что она представляет собой линию влияния прогиба от сил (число которых равно числу степеней свободы), пропорциональных произведению масс на ординаты прогибов точек прикрепления масс. При равных массах форма собственных колебаний представляет линию прогиба от сил, пропорциональных ординатам прогиба; эпюра нагрузки подобна эпюре прогиба.

Низшей частоте соответствует наиболее простая форма колебаний. Для балок чаще всего эта форма близко отвечает изогнутой оси системы под влиянием собственного веса. Если данная конструкция оказывается менее жесткой в каком-либо направлении, например в горизонтальном, то для выявления характера искомой изогнутой оси надлежит условно собственный вес приложить в этом направлении.

Как известно, тело, ничем не ограниченное в движениях, называется свободным, так как может двигаться в любом направлении. Отсюда, каждое свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы движения. Оно обладает возможностью производить следующие перемещения: три перемещения поступательного характера, соответственно трем основным системам координат, и три вращательных движения вокруг этих трех координатных осей.

Наложение связей (закрепление) уменьшает количество степеней свободы. Так, если тело в одной своей точке закреплено, оно не может производить перемещение вдоль координатных осей, его движения ограничиваются лишь вращением вокруг этих осей, т.е. тело имеет три степени свободы. В том случае, когда закрепленными являются две точки, тело обладает только одной степенью свободы, оно может лишь вращаться вокруг линии (оси), проходящей через обе эти точки. И наконец, при трех закрепленных точках, не лежащих на одной линии, количество степеней свободы равно нулю, и никаких движений тела быть не может. У человека пассивный аппарат движения составляют части его тела, называемые звеньями. Все они соединены между собой, поэтому теряют возможность к трем видам движений вдоль координатных осей. У них остаются только возможности вращения вокруг этих осей. Таким образом, максимальное количество степеней свободы, которым может обладать одно звено тела по отношению к другому звену, смежному с ним, равняется трем.

Это относится к наиболее подвижным суставам человеческого тела, имеющим шаровидную форму.

Последовательно или разветвленные соединения частей тела (звеньев) образуют кинематические цепи.

У человека различают:

• - открытые кинематические цепи , имеющие свободный подвижный конец, закрепленный лишь на одном своем конце (например, рука по отношению к туловищу);
• - замкнутые кинематические цепи , закрепленные на обоих концах (например, позвонок - ребро - грудина - ребро - позвонок).

Следует отметить, что это касается потенциально возможных размахов движений в суставах. В действительности же у живого человека эти показатели всегда меньше, что доказано многочисленными работами отечественных исследователей - П. Ф. Лесгафтом, М. Ф. Иваницким, М. Г. Привесом, Н. Г. Озолиным и др. На величину подвижности в соединениях костей у живого человека влияет ряд факторов, связанных с возрастом, полом, индивидуальными особенностями, функциональным состоянием нервной системы, степенью растяжения мышц, температурой окружающей среды, временем дня и, наконец, что важно для спортсменов, степенью тренированности. Так, во всех соединениях костей (прерывных и непрерывных) степень подвижности у лиц молодого возраста больше, чем у старшего возраста; у женщин в среднем больше, чем у мужчин. На величину подвижности оказывает влияние степень растяжения тех мышц, которые находятся на стороне, противоположной движению, а также сила мышц, производящих данное движение. Чем эластичнее первые из названных мышц и сильнее вторые, тем размах движений в данном соединении костей больше, и наоборот. Известно, что в холодном помещении движения имеют меньший размах, чем в теплом, утром они меньше, чем вечером. Применение различных упражнений по-разному влияет на подвижность соединений. Так, систематические тренировки упражнениями «на гибкость» увеличивают амплитуду движений в соединениях, тогда как «силовые» упражнения, наоборот, уменьшают ее, приводя, к «закрепощению» суставов. Однако уменьшение амплитуды движений в суставах при применении силовых упражнений не является абсолютно неизбежным. Его можно предотвратить правильным сочетанием силовых упражнений с упражнениями на растяжение тех же самых мышечных групп.

В открытых кинематических цепях человеческого тела подвижность исчисляется десятками степеней свободы. Например, подвижность запястья относительно лопатки и подвижность предплюсны относительно таза насчитывает по семь степеней свободы, а кончики пальцев кисти относительно грудной клетки - 16 степеней свободы. Если суммировать все степени свободы конечностей и головы относительно туловища, то это выразится числом 105, слагающимся из следующих позиций:

• - голова - 3 степени свободы;
• - руки - 14 степеней свободы;
• - ноги - 12 степеней свободы;
• - кисти и стопы - 76 степеней свободы.

Для сравнения укажем, что преобладающее большинство машин обладает всего одной степенью свободы движений.

В шаровидных суставах возможны вращения около трех взаимно перпендикулярных осей. Общее же количество осей, около которых возможны в этих суставах вращения, до бесконечности велико. Следовательно, относительно шаровидных суставов можно сказать, что сочленяющиеся в них звенья из возможных шести степеней свободы движений имеют три степени свободы и три степени связанности.

Меньшей подвижностью обладают суставы с двумя степенями свободы движений и четырьмя степенями связанности. К ним относятся суставы яйцевидной или эллипсовидной и седловиной форм, т.е. двухосные. В них возможны движения вокруг этих двух осей.

Одну степень свободы подвижности и вместе с этим пять степеней связанности имеют звенья тела в тех суставах, которые обладают одной осью вращения, т.е. имеют две закрепленные точки.

В преобладающей части суставов тела человека две или три степени свободы. При нескольких степенях свободы движений (двух или более) возможно бесчисленное множество траекторий. Соединения костей черепа имеют шесть степеней связанности и являются неподвижными. Соединение костей при помощи хрящей и связок (синхондрозы и синдесмозы) могут иметь в некоторых случаях значительную подвижность, которая зависит от эластичности и от размеров хрящевых или соединительнотканных образований, находящихся между данными костями.