Вида ах 2 + bх + 0 0, где (вместо знака > может быть, разумеется, любой другой знак неравенства). Всеми необходимыми для решения таких неравенств фактами теории мы с вами располагаем, в чем сейчас и убедимся.

Пример 1 . Решить неравенство:

а) х 2 - 2х - 3 >0; б) х 2 - 2х - 3 < 0;
в) х 2 - 2х - 3 > 0; г) х 2 - 2х - 3 < 0.
Решение,

а) Рассмотрим параболу у = х 2 - 2х - 3, изображенную на рис. 117.

Решить неравенство х 2 - 2х - 3 > 0 - это значит ответить на вопрос, при каких значениях х ординаты точек параболы положительны.

Замечаем, что у > 0, т. е. график функции расположен выше оси х, при х < -1 или при х > 3.

Значит, решениями неравенства служат все точки открытого луча (- 00 , - 1), а также все точки открытого луча (3, +00).

Используя знак U (знак объединения множеств), ответ можно записать так: (-00 , - 1) U (3, +00). Впрочем, ответ можно записать и так: х < - 1; х > 3.

б) Неравенство х 2 - 2х - 3 < 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: график расположен ниже оси х, если -1 < х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

в) Неравенство х 2 - 2х - 3 > 0 отличается от неравенства х 2 - 2х - 3 > 0 тем, что в ответ надо включить и корни уравнения х 2 - 2х - 3 = 0, т. е. точки х = -1

и х = 3. Таким образом, решениями данного нестрогого неравенства являются все точки луча (-00 , - 1], а также все точки луча .

Практичные математики обычно говорят так: зачем нам, решая неравенство ах 2 + bх + с > 0, аккуратно строить параболу график квадратичной функции

у = ах 2 + bх + с (как это было сделано в примере 1)? Достаточно сделать схематический набросок графика, для чего следует лишь найти корни квадратного трехчлена (точки пересечения параболы с осью х) и определить, куда направлены ветви параболы - вверх или вниз. Этот схематический набросок даст наглядное истолкование решению неравенства.

Пример 2. Решить неравенство - 2х 2 + Зх + 9 < 0.
Решение.

1) Найдем корни квадратного трехчлена - 2х 2 + Зх + 9: х 1 = 3; х 2 = - 1,5.

2) Парабола, служащая графиком функции у = -2х 2 + Зх + 9, пересекает ось х в точках 3 и - 1,5, а ветви параболы направлены вниз, поскольку старший коэффициент - отрицательное число - 2. На рис. 118 представлен набросок графика.

3) Используя рис. 118, делаем вывод: у < 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Ответ: х < -1,5; х > 3.

Пример 3. Решить неравенство 4х 2 - 4х + 1 < 0.
Решение.

1) Из уравнения 4х 2 - 4х + 1 = 0 находим .

2) Квадратный трехчлен имеет один корень ; это значит, что парабола, служащая графиком квадратного трехчлена, не пересекает ось х, а касается ее в точке . Ветви параболы направлены вверх (рис. 119.)

3) С помощью геометрической модели, представленной на рис. 119, устанавливаем, что заданное неравенство выполняется только в точке , поскольку при всех других значениях х ординаты графика положительны.
Ответ: .
Вы, наверное, заметили, что фактически в примерах 1, 2, 3 использовался вполне определенный алгоритм решения квадратных неравенств, оформим его.

Алгоритм решения квадратного неравенства ах 2 + bх + 0 0 (ах 2 + bх + с < 0)

На первом шаге этого алгоритма требуется найти корни квадратного трехчлена. Но ведь корни могут и не существовать, что же делать? Тогда алгоритм неприменим, значит, надо рассуждать как-то по-другому. Ключ к этим рассуждениям дают следующие теоремы.

Иными словами, если D < 0, а > 0, то неравенство ах 2 + bх + с > 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с < 0 не имеет решений.
Доказательство. Графиком функции у = ах 2 + bх + с является парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку а > 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 120. Видим, что при всех х график расположен выше оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с > 0, что и требовалось доказать.

Иными словами, если D < 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с > 0 не имеет решений.

Доказательство. Графиком функции у = ах 2 + bх +с является парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку а < 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

Пример 4 . Решить неравенство:

а) 2х 2 - х + 4 >0; б) -х 2 + Зх - 8 >0.

а) Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2х 2 - х + 4. Имеем D = (-1) 2 - 4 2 4 = - 31 < 0.
Старший коэффициент трехчлена (число 2) положителен.

Значит, по теореме 1, при всех х выполняется неравенство 2x 2 - х + 4 > 0, т. е. решением заданного неравенства служит вся (-00 , + 00).

б) Найдем дискриминант квадратного трехчлена - х 2 + Зх - 8. Имеем D = З2 - 4 (- 1) (- 8) = - 23 < 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Ответ: а) (-00 , + 00); б) нет решений.

В следующем примере мы познакомимся еще с одним способом рассуждений, который применяется при решении квадратных неравенств.

Пример 5. Решить неравенство Зх 2 - 10х + 3 < 0.
Решение. Разложим квадратный трехчлен Зx 2 - 10x + 3 на множители. Корнями трехчлена являются числа 3 и , поэтому воспользовавшись ах 2 + bх + с = а (х - x 1)(x - х 2),получим Зx 2 - 10х + 3 = 3(х - 3) (х - )
Отметим на числовой прямой корни трехчлена: 3 и (рис. 122).

Пусть х > 3; тогда x-3>0 и x->0, а значит, и произведение 3(х - 3)(х - ) положительно. Далее, пусть < х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Следовательно, произведение 3(х-3)(х-) отрицательно. Пусть, наконец, х <; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) положительно.

Подводя итог рассуждениям, приходим к выводу: знаки квадратного трехчлена Зx 2 - 10х + 3 изменяются так, как показано на рис. 122. Нас же интересует, при каких х квадратный трехчлен принимает отрицательные значения. Из рис. 122 делаем вывод: квадратный трехчлен Зx 2 - 10х + 3 принимает отрицательные значения для любого значения х из интервала (, 3)
Ответ (, 3), или < х < 3.

Замечание. Метод рассуждений, который мы применили в примере 5, обычно называют методом интервалов (или методом промежутков). Он активно используется в математике для решения рациональных неравенств. В 9-м классе мы изучим метод интервалов более детально.

Пример 6 . При каких значениях параметра р квадратное уравнение х 2 - 5х + р 2 = 0:
а) имеет два различных корня;

б) имеет один корень;

в) не имеет -корней?

Решение. Число корней квадратного уравнения зависит от знака его дискриминанта D. В данном случае находим D = 25 - 4р 2 .

а) Квадратное уравнение имеет два различных корня, если D>0, значит, задача сводится к решению неравенства 25 - 4р 2 > 0. Умножим обе части этого неравенства на -1 (не забыв изменить при этом знак неравенства). Получим равносильное неравенство 4р 2 - 25 < 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Знаки выражения 4(р - 2,5) (р + 2,5) указаны на рис. 123.

Делаем вывод, что неравенство 4(р - 2,5)(р + 2,5) < 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

б) квадратное уравнение имеет один корень, если D - 0.
Как мы установили выше, D = 0 при р = 2,5 или р = -2,5.

Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет только один корень.

в) Квадратное уравнение не имеет корней, если D < 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

Получаем 4р 2 - 25 > 0; 4 (р-2,5)(р + 2,5)>0, откуда (см. рис. 123) р < -2,5; р > 2,5. При этих значениях параметра р данное квадратное уравнение не имеет корней.

Ответ: а) при р (-2,5, 2,5);

б) при р = 2,5 илир = -2,5;
в) при р < - 2,5 или р > 2,5.

Мордкович А. Г., Алгебра . 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.- 3-е изд., доработ. - М.: Мнемозина, 2001. - 223 с: ил.

Помощь школьнику онлайн , Математика для 8 класса скачать , календарно-тематическое планирование

Для начала — немного лирики, чтобы почувствовать проблему, которую решает метод интервалов. Допустим, нам надо решить вот такое неравенство:

(x − 5)(x + 3) > 0

Какие есть варианты? Первое, что приходит в голову большинству учеников — это правила «плюс на плюс дает плюс» и «минус на минус дает плюс». Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда обе скобки положительны: x − 5 > 0 и x + 3 > 0. Затем также рассмотрим случай, когда обе скобки отрицательны: x − 5 < 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Более продвинутые ученики вспомнят (может быть), что слева стоит квадратичная функция, график которой — парабола. Причем эта парабола пересекает ось OX в точках x = 5 и x = −3. Для дальнейшей работы надо раскрыть скобки. Имеем:

x 2 − 2x − 15 > 0

Теперь понятно, что ветви параболы направлены вверх, т.к. коэффициент a = 1 > 0. Попробуем нарисовать схему этой параболы:

Функция больше нуля там, где она проходит выше оси OX . В нашем случае это интервалы (−∞ −3) и (5; +∞) — это и есть ответ.

Обратите внимание: на рисунке изображена именно схема функции , а не ее график. Потому что для настоящего графика надо считать координаты, рассчитывать смещения и прочую хрень, которая нам сейчас совершенно ни к чему.

Почему эти методы неэффективны?

Итак, мы рассмотрели два решения одного и того же неравенства. Оба они оказались весьма громоздкими. В первом решении возникает — вы только вдумайтесь! — совокупность систем неравенств. Второе решение тоже не особо легкое: нужно помнить график параболы и еще кучу мелких фактов.

Это было очень простое неравенство. В нем всего 2 множителя. А теперь представьте, что множителей будет не 2, а хотя бы 4. Например:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9) < 0

Как решать такое неравенство? Перебирать все возможные комбинации плюсов и минусов? Да мы уснем быстрее, чем найдем решение. Рисовать график — тоже не вариант, поскольку непонятно, как ведет себя такая функция на координатной плоскости.

Для таких неравенств нужен специальный алгоритм решения, который мы сегодня и рассмотрим.

Что такое метод интервалов

Метод интервалов — это специальный алгоритм, предназначенный для решения сложных неравенств вида f (x ) > 0 и f (x ) < 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Решить уравнение f (x ) = 0. Таким образом, вместо неравенства получаем уравнение, которое решается намного проще;
2. Отметить все полученные корни на координатной прямой. Таким образом, прямая разделится на несколько интервалов;
3. Выяснить знак (плюс или минус) функции f (x ) на самом правом интервале. Для этого достаточно подставить в f (x ) любое число, которое будет правее всех отмеченных корней;
4. Отметить знаки на остальных интервалах. Для этого достаточно запомнить, что при переходе через каждый корень знак меняется.

Вот и все! После этого останется лишь выписать интервалы, которые нас интересуют. Они отмечены знаком «+», если неравенство имело вид f (x ) > 0, или знаком «−», если неравенство имеет вид f (x ) < 0.

На первый взгляд может показаться, что метод интервалов — это какая-то жесть. Но на практике все будет очень просто. Стоит чуть-чуть потренироваться — и все станет понятно. Взгляните на примеры — и убедитесь в этом сами:

Задача. Решите неравенство:

(x − 2)(x + 7) < 0

Работаем по методу интервалов. Шаг 1: заменяем неравенство уравнением и решаем его:

(x − 2)(x + 7) = 0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Получили два корня. Переходим к шагу 2: отмечаем эти корни на координатной прямой. Имеем:

Теперь шаг 3: находим знак функции на самом правом интервале (правее отмеченной точки x = 2). Для этого надо взять любое число, которое больше числа x = 2. Например, возьмем x = 3 (но никто не запрещает взять x = 4, x = 10 и даже x = 10 000). Получим:

f (x ) = (x − 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 · 10 = 10;

Получаем, что f (3) = 10 > 0, поэтому в самом правом интервале ставим знак плюс.

Переходим к последнему пункту — надо отметить знаки на остальных интервалах. Помним, что при переходе через каждый корень знак должен меняться. Например, справа от корня x = 2 стоит плюс (мы убедились в этом на предыдущем шаге), поэтому слева обязан стоять минус.

Этот минус распространяется на весь интервал (−7; 2), поэтому справа от корня x = −7 стоит минус. Следовательно, слева от корня x = −7 стоит плюс. Осталось отметить эти знаки на координатной оси. Имеем:

Вернемся к исходному неравенству, которое имело вид:

(x − 2)(x + 7) < 0

Итак, функция должна быть меньше нуля. Значит, нас интересует знак минус, который возникает лишь на одном интервале: (−7; 2). Это и будет ответ.

Задача. Решите неравенство:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) < 0

Шаг 1: приравниваем левую часть к нулю:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Помните: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Именно поэтому мы вправе приравнять к нулю каждую отдельную скобку.

Шаг 2: отмечаем все корни на координатной прямой:

Шаг 3: выясняем знак самого правого промежутка. Берем любое число, которое больше, чем x = 1. Например, можно взять x = 10. Имеем:

f (x ) = (x + 9)(x − 3)(1 − x );
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = −1197 < 0.

Шаг 4: расставляем остальные знаки. Помним, что при переходе через каждый корень знак меняется. В итоге наша картинка будет выглядеть следующим образом:

Вот и все. Осталось лишь выписать ответ. Взгляните еще раз на исходное неравенство:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) < 0

Это неравенство вида f (x ) < 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Это и есть ответ.

Замечание по поводу знаков функции

Практика показывает, что наибольшие трудности в методе интервалов возникают на последних двух шагах, т.е. при расстановке знаков. Многие ученики начинают путаться: какие надо брать числа и где ставить знаки.

Чтобы окончательно разобраться в методе интервалов, рассмотрим два замечания, на которых он построен:

1. Непрерывная функция меняет знак только в тех точках, где она равна нулю . Такие точки разбивают координатную ось на куски, внутри которых знак функции никогда не меняется. Вот зачем мы решаем уравнение f (x ) = 0 и отмечаем найденные корни на прямой. Найденные числа — это «пограничные» точки, отделяющие плюсы от минусов.
2. Чтобы выяснить знак функции на каком-либо интервале, достаточно подставить в функцию любое число из этого интервала. Например, для интервала (−5; 6) мы вправе брать x = −4, x = 0, x = 4 и даже x = 1,29374, если нам захочется. Почему это важно? Да потому что многих учеников начинают грызть сомнения. Мол, что если для x = −4 мы получим плюс, а для x = 0 — минус? А ничего — такого никогда не будет. Все точки на одном интервале дают один и тот же знак. Помните об этом.

Вот и все, что нужно знать про метод интервалов. Конечно, мы разобрали его в самом простом варианте. Существуют более сложные неравенства — нестрогие, дробные и с повторяющимися корнями. Для них тоже можно применять метод интервалов, но это тема для отдельного большого урока.

Теперь хотел бы разобрать продвинутый прием, который резко упрощает метод интервалов. Точнее, упрощение затрагивает только третий шаг — вычисление знака на самом правом куске прямой. По каким-то причинам этот прием не проходят в школах (по крайней мере, мне никто такого не объяснял). А зря — ведь на самом деле этот алгоритм очень прост.

Итак, знак функции на правом куске числовой оси. Этот кусок имеет вид (a ; +∞), где a — самый большой корень уравнения f (x ) = 0. Чтобы не взрывать мозг, рассмотрим конкретный пример:

(x − 1)(2 + x )(7 − x ) < 0;
f (x ) = (x − 1)(2 + x )(7 − x );
(x − 1)(2 + x )(7 − x ) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Мы получили 3 корня. Перечислим их в порядке возрастания: x = −2, x = 1 и x = 7. Очевидно, что наибольший корень — это x = 7.

Для тех, кому легче рассуждать графически, я отмечу эти корни на координатной прямой. Посмотрим, что получится:

Требуется найти знак функции f (x ) на самом правом интервале, т.е. на (7; +∞). Но как мы уже отмечали, для определения знака можно взять любое число из этого интервала. Например, можно взять x = 8, x = 150 и т.д. А теперь — тот самый прием, который не проходят в школах: давайте в качестве числа возьмем бесконечность. Точнее, плюс бесконечность , т.е. +∞.

«Ты че, обкурился? Как можно подставить в функцию бесконечность?» — возможно, спросите вы. Но задумайтесь: нам ведь не нужно само значение функции, нам нужен только знак. Поэтому, например, значения f (x ) = −1 и f (x ) = −938 740 576 215 значат одно и то же: функция на данном интервале отрицательна. Поэтому все, что от вас требуется — найти знак, который возникает на бесконечности, а не значение функции.

На самом деле, подставлять бесконечность очень просто. Вернемся к нашей функции:

f (x ) = (x − 1)(2 + x )(7 − x )

Представьте, что x — это очень большое число. Миллиард или даже триллион. Теперь посмотрим, что будет происходить в каждой скобке.

Первая скобка: (x − 1). Что будет, если из миллиарда вычесть единицу? Получится число, не особо отличающееся от миллиарда, и это число будет положительным. Аналогично со второй скобкой: (2 + x ). Если к двойке прибавить миллиард, по получим миллиард с копейками — это положительное число. Наконец, третья скобка: (7 − x ). Здесь будет минус миллиард, от которого «отгрызли» жалкий кусочек в виде семерки. Т.е. полученное число мало чем будет отличаться от минус миллиарда — оно будет отрицательным.

Осталось найти знак всего произведения. Поскольку в первых скобках у нас был плюс, а в последней — минус, получаем следующую конструкцию:

(+) · (+) · (−) = (−)

Итоговый знак — минус! И неважно, чему равно значение самой функции. Главное, что это значение — отрицательное, т.е. на самом правом интервале стоит знак минус. Осталось выполнить четвертый шаг метода интервалов: расставить все знаки. Имеем:

Исходное неравенство имело вид:

(x − 1)(2 + x )(7 − x ) < 0

Следовательно, нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. Выписываем ответ:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Вот и весь прием, который я хотел рассказать. В заключение — еще одно неравенство, которое решается методом интервалов с привлечением бесконечности. Чтобы визуально сократить решение, я не буду писать номера шагов и развернутые комментарии. Напишу только то, что действительно надо писать при решении реальных задач:

Задача. Решите неравенство:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Заменяем неравенство уравнением и решаем его:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Отмечаем все три корня на координатной прямой (сразу со знаками):

Справа на координатной оси стоит плюс, т.к. функция имеет вид:

f (x ) = x (2x + 8)(x − 3)

А если подставить бесконечность (например, миллиард), получим три положительных скобки. Поскольку исходное выражение должно быть больше нуля, нас интересуют только плюсы. Осталось выписать ответ:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

Например, неравенством является выражение \(x>5\).

Виды неравенств:

Если \(a\) и \(b\) – это числа или , то неравенство называется числовым . Фактически это просто сравнение двух чисел. Такие неравенства подразделяются на верные и неверные .

Например:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) - неверное числовое неравенство, так как \(17+3=20\), а \(20\) меньше \(115\) (а не больше или равно).

Если же \(a\) и \(b\) – это выражения, содержащие переменную, то у нас неравенство с переменной . Такие неравенства разделяют по типам в зависимости от содержимого:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Переменная только в первой степени
\(3x^2-x+5>0\)				Есть переменная во второй степени (квадрате), но нет старших степеней (третьей, четвертой и т.д.)
\(\log_{4}{(x+1)}<3\)
\(2^{x}\leq8^{5x-2}\)

... и так далее.

Что такое решение неравенства?

Если в неравенство вместо переменной подставить какое-нибудь число, то оно превратится в числовое.

Если данное значение для икса превращает исходное неравенство верное числовое, то оно называется решением неравенства . Если же нет - то данное значение решением не является. И чтобы решить неравенство – нужно найти все его решения (или показать, что их нет).

Например, если мы в линейное неравенство \(x+6>10\), подставим вместо икса число \(7\) –получим верное числовое неравенство: \(13>10\). А если подставим \(2\), будет неверное числовое неравенство \(8>10\). То есть \(7\) – это решение исходного неравенства, а \(2\) – нет.

Однако, неравенство \(x+6>10\) имеет и другие решения. Действительно, мы получим верные числовые неравенства при подстановке и \(5\), и \(12\), и \(138\)... И как же нам найти все возможные решения? Для этого используют Для нашего случая имеем:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

То есть нам подойдет любое число больше четырех. Теперь нужно записать ответ. Решения неравенств, как правило, записывают числовыми , дополнительно отмечая их на числовой оси штриховкой. Для нашего случая имеем:

Ответ: \(x\in(4;+\infty)\)

Когда в неравенстве меняется знак?

В неравенствах есть одна большая ловушка, в которую очень «любят» попадаться ученики:

При умножении (или делении) неравенства на отрицательное число, меняется на противоположный («больше» на «меньше», «больше или равно» на «меньше или равно» и так далее)

Почему так происходит? Чтобы это понять, давайте посмотрим преобразования числового неравенства \(3>1\). Оно верное, тройка действительно больше единицы. Сначала попробуем умножить его на любое положительное число, например, двойку:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Как видим, после умножения неравенство осталось верным. И на какое бы положительное число мы не умножали – всегда будем получать верное неравенство. А теперь попробуем умножить на отрицательное число, например, минус тройку:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Получилось неверное неравенство, ведь минус девять меньше, чем минус три! То есть, для того, чтобы неравенство стало верным (а значит, преобразование умножения на отрицательное было «законным»), нужно перевернуть знак сравнения, вот так: \(−9<− 3\).
С делением получится аналогично, можете проверить сами.

Записанное выше правило распространяется на все виды неравенств, а не только на числовые.

Пример: Решить неравенство \(2(x+1)-1<7+8x\)
Решение:

\(2x+2-1<7+8x\)	Перенесем \(8x\) влево, а \(2\) и \(-1\) вправо, не забывая при этом менять знаки
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Поделим обе части неравенства на \(-6\), не забыв поменять с «меньше» на «больше»
	Отметим на оси числовой промежуток. Неравенство , поэтому само значение \(-1\) «выкалываем» и в ответ не берем
	Запишем ответ в виде интервала

Ответ: \(x\in(-1;\infty)\)

Неравенства и ОДЗ

Неравенства, также как и уравнения могут иметь ограничения на , то есть на значения икса. Соответственно, из промежутка решений должны быть исключены те значения, которые недопустимы по ОДЗ.

Пример: Решить неравенство \(\sqrt{x+1}<3\)

Решение: Понятно, что для того чтоб левая часть была меньше \(3\), подкоренное выражение должно быть меньше \(9\) (ведь из \(9\) как раз \(3\)). Получаем:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Все? Нам подойдет любое значение икса меньшее \(8\)? Нет! Потому что если мы возьмем, например, вроде бы подходящее под требование значение \(-5\) – оно решением исходного неравенства не будет, так как приведет нас к вычислению корня из отрицательного числа.

\(\sqrt{-5+1}<3\)
\(\sqrt{-4}<3\)

Поэтому мы должны еще учесть ограничения на значения икса – он не может быть таким, чтоб под корнем было отрицательное число. Таким образом, имеем второе требование на икс:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

И чтобы икс был окончательным решением, он должен удовлетворять сразу обоим требованиям: он должен быть меньше \(8\) (чтобы быть решением) и больше \(-1\) (чтобы быть допустимым в принципе). Нанося на числовую ось, имеем окончательный ответ:

Ответ: \(\left[-1;8\right)\)

Неравенство – это числовое соотношение, иллюстрирующее величину чисел относительно друг друга. Неравенства широко используются при поиске величин в прикладных науках. Наш калькулятор поможет вам разобраться с такой непростой темой, как решение линейных неравенств.

Что такое неравенство

Неравные соотношения в реальной жизни соотносятся с постоянным сравнением различных объектов: выше или ниже, дальше или ближе, тяжелее или легче. Интуитивно или зрительно мы можем понять, что один объект больше, выше или тяжелее другого, однако фактически речь всегда идет о сравнении чисел, которые характеризуют соответствующие величины. Сравнивать объекты можно по любому признаку и в любом случае мы можем составить числовое неравенство.

Если неизвестные величины при конкретных условиях равны, то для их численного определения мы составляем уравнение. Если же нет, то вместо знака «равно» мы можем указать любое другое соотношение между этими величинами. Два числа или математических объекта могут быть больше «>», меньше «<» или равны «=» относительно друг друга. В этом случае речь идет о строгих неравенствах. Если же в неравных соотношениях присутствует знак равно и числовые элементы больше или равны (a ≥ b) или меньше или равны (a ≤ b), то такие неравенства называются нестрогими.

Знаки неравенств в их современном виде придумал британский математик Томас Гарриот, который в 1631 году выпустил книгу о неравных соотношениях. Знаки больше «>» и меньше «<» представляли собой положенные на бок буквы V, поэтому пришлись по вкусу не только математикам, но и типографам.

Решение неравенств

Неравенства, как и уравнения, бывают разных типов. Линейные, квадратные, логарифмические или показательные неравные соотношения развязываются различными методами. Однако вне зависимости от метода, любое неравенство вначале требуется привести к стандартному виду. Для этого используются тождественные преобразования, идентичные видоизменениям равенств.

Тождественные преобразования неравенств

Такие трансформации выражений очень похожи на привидение уравнений, однако они имеют нюансы, которые важно учитывать при развязывании неравенств.

Первое тождественное преобразование идентично аналогичной операции с равенствами. К обеим сторонам неравного соотношения можно прибавить или отнять одно и то же число или выражение с неизвестным иксом, при этом знак неравенства останется прежним. Чаще всего этот метод применяется в упрощенной форме как перенос членов выражения через знак неравенства со сменой знака числа на противоположный. Имеется в виду смена знака самого члена, то есть +R при переносе через любой знак неравенства изменится на – R и наоборот.

Второе преобразование имеет два пункта:

1. Обе стороны неравного соотношения разрешается умножить или разделить на одно и то же положительное число. Знак самого неравенства при этом не изменится.
2. Обе стороны неравенства разрешается разделить или умножить на одно и то же отрицательное число. Знак самого неравенства изменится на противоположный.

Второе тождественное преобразование неравенств имеет серьезные различия с видоизменением уравнений. Во-первых, при умножении/делении на отрицательное число знак неравного выражения всегда изменяется на обратный. Во-вторых, разделить или умножить части отношения разрешается только на число, а не на любое выражение, содержащее неизвестное. Дело в том, что мы не можем точно знать, число больше или меньше нуля скрывается за неизвестным, поэтому второе тождественное преобразование применяется к неравенствам исключительно с числами. Рассмотрим эти правила на примерах.

Примеры развязывания неравенств

В заданиях по алгебре встречаются самые разные задания на тему неравенств. Пусть нам дано выражение:

6x − 3(4x + 1) > 6.

Для начала раскроем скобки и перенесем все неизвестные влево, а все числа – вправо.

6x − 12x > 6 + 3

Нам требуется поделить обе части выражения на −6, поэтому при нахождении неизвестного икса знак неравенства изменится на противоположный.

При решении этого неравенства мы использовали оба тождественных преобразования: перенесли все числа справа от знака и разделили обе стороны соотношения на отрицательное число.

Наша программа представляет собой калькулятор решения числовых неравенств, которые не содержат неизвестных. В программу заложены следующие теоремы для соотношений трех чисел:

• если A < B то A–C< B–C;
• если A > B, то A–C > B–C.

Вместо вычитания членов A–C вы можете указать любое арифметическое действие: сложение, умножение или деление. Таким образом, калькулятор автоматически представит неравенства сумм, разностей, произведений или дробей.

Заключение

В реальной жизни неравенства встречаются также часто, как и уравнения. Естественно, что в быту знания о разрешении неравенств могут и не понадобиться. Однако в прикладных науках неравенства и их системы находят широкое применение. К примеру, различные исследования проблем глобальной экономики сводятся к составлению и развязыванию систем линейных или квадратных неравенств, а некоторые неравные отношения служат однозначным способом доказательства существования определенных объектов. Пользуйтесь нашими программами для решения линейных неравенств или проверки собственных выкладок.

Решение неравенств онлайн

Перед тем как решать неравенства, необходимо хорошо усвоить как решаются уравнения .

Не важно каким является неравенство – строгим () или нестрогим (≤, ≥), первым делом приступают к решению уравнения, заменив знак неравенства на равенство (=).

Поясним что означает решить неравенство?

После изучения уравнений в голове у школьника складывается следующая картина: нужно найти такие значения переменной, при которых обе части уравнения принимают одинаковые значения. Другими словами, найти все точки, в которых выполняется равенство. Всё правильно!

Когда говорят о неравенствах, имеют в виду нахождение интервалов (отрезков), на которых выполняется неравенство. Если в неравенстве две переменные, то решением будут уже не интервалы, а какие-то площади на плоскости. Догадайтесь сами, что будет решением неравенства от трех переменных?

Как решать неравенства?

Универсальным способом решения неравенств считают метод интервалов (он же метод промежутков), который заключается в определении всех интервалов, в границах которых будет выполняться заданное неравенство.

Не вдаваясь в тип неравенства, в данном случае это не суть, требуется решить соответствующее уравнение и определить его корни с последующим обозначением этих решений на числовой оси.

Как правильно записывать решение неравенства?

Когда вы определили интервалы решений неравенства, нужно грамотно выписать само решение. Есть важный нюанс – входят ли границы интервалов в решение?

Тут всё просто. Если решение уравнения удовлетворяет ОДЗ и неравенство является нестрогим, то граница интервала входит в решение неравенства. В противном случае – нет.

Рассматривая каждый интервал, решением неравенства может оказаться сам интервал, либо полуинтервал (когда одна из его границ удовлетворяет неравенству), либо отрезок – интервал вместе с его границами.

Важный момент

Не думайте, что решением неравенства могут быть только интервалы, полуинтервалы и отрезки. Нет, в решение могут входить и отдельно взятые точки.

Например, у неравенства |x|≤0 всего одно решение – это точка 0.

А у неравенства |x|

Для чего нужен калькулятор неравенств?

Калькулятор неравенств выдает правильный итоговый ответ. При этом в большинстве случаев приводится иллюстрация числовой оси или плоскости. Видно, входят ли границы интервалов в решение или нет – точки отображаются закрашенными или проколотыми.

Благодаря онлайн калькулятору неравенств можно проверить правильно ли вы нашли корни уравнения, отметили их на числовой оси и проверили на интервалах (и границах) выполнение условия неравенства?

Если ваш ответ расходится с ответом калькулятора, то однозначно нужно перепроверить свое решение и выявить допущенную ошибку.