Coulombov zákon popisuje elektrickú interakciu iba dvoch pokojových nábojov. Ako nájsť silu pôsobiacu na určitý náboj z niekoľkých ďalších nábojov? Odpoveď na túto otázku je daná princípom superpozície elektrických polí: Napätie elektrické pole vytvorené niekoľkými stacionárnymi bodovými nábojmiq 1 , q 2 ,..., q n , sa rovná vektorovému súčtu síl elektrického poľa
, ktorý by v prípade absencie zvyšku vytvoril každý z týchto nábojov v rovnakom mieste pozorovania:

(1.5)

Inými slovami, princíp superpozície uvádza, že sila interakcie medzi dvoma bodovými nábojmi nezávisí od toho, či sú tieto náboje vystavené pôsobeniu iných nábojov alebo nie.

Obrázok 1.6. Elektrické pole sústavy nábojov ako superpozícia polí jednotlivých nábojov

Takže pre systém N. bodové náboje (obr. 1.6) na základe princípu superpozície je výsledné pole určené výrazom

.

Sila elektrického poľa vytvoreného v mieste pozorovania sústavou nábojov je vektorový súčet sily elektrických polí vytvorených v rovnakom mieste pozorovania jednotlivými nábojmi spomínanej sústavy.

Ryža. vysvetľuje princíp superpozície na príklade elektrostatickej interakcie troch nabitých telies.

Tu sú dôležité dva body: pridanie vektora a nezávislosť poľa každého náboja od prítomnosti ďalších nábojov. Ak hovoríme o dostatočne bodových telách, o dostatočne malých veľkostiach, potom funguje superpozícia. Je však známe, že tento princíp už nefunguje v dostatočne silných elektrických poliach.

1.7. Distribúcia poplatkov

Diskrétnosť distribúcie elektrických nábojov je pri výpočte polí často bezvýznamná. V tomto prípade sú matematické výpočty značne zjednodušené, ak je skutočné rozdelenie bodových nábojov nahradené fiktívnym spojitým rozdelením.

Ak sú v objeme distribuované diskrétne náboje, potom pri prechode do kontinuálnej distribúcie sa podľa definície zavedie koncept hustoty objemového náboja

,

kde dq- náboj koncentrovaný v objeme dV(Obrázok 1.8, a).

Obrázok 1.8. Izolácia elementárneho náboja v prípade volumetrickej nabitej oblasti (a); povrchovo nabitá oblasť (b); lineárne nabitá oblasť (c)

Ak sú diskrétne náboje umiestnené v tenkej vrstve, potom sa podľa definície zavádza koncept povrchovej hustoty náboja

,

kde dq- náboj na povrchový prvok dS(Obrázok 1.8, b).

Ak sú diskrétne náboje lokalizované vo vnútri tenkého valca, zavádza sa koncept lineárnej hustoty náboja

,

kde dq- náboj na prvku dĺžky valca d l(Obrázok 1.8, c). Použitím zavedených distribúcií výraz pre elektrické pole v bode A systém poplatkov (1.5) môže byť napísaný vo forme

1,8. Príklady výpočtu elektrostatických polí vo vákuu.

1.8.1. Pole priameho segmentu vlákna (pozri Orox, príklady 1.9, 1.10) (príklad 1).

Nájdite napätieelektrické pole vytvorené tenkým segmentom, rovnomerne nabitým lineárnou hustotou nite (pozri obr.).Rohy 1 ,  2 a vzdialenosťr sú známe.

O trojbodový segment je rozdelený na malé segmenty, z ktorých každý možno vzhľadom na pozorovací bod považovať za bodový.
;

Deje sa polo nekonečný nite;

Deje sa nekonečný vlákna:

Sila elektrického poľa. Elektrické pole je detekované silami pôsobiacimi na náboj. Dá sa tvrdiť, že o poli vieme všetko, čo potrebujeme, ak poznáme silu pôsobiacu na akýkoľvek náboj v ktoromkoľvek bode poľa.

Ak striedavo umiestnime malé nabité telesá do rovnakého bodu poľa a zmeriame sily, zistí sa, že sila pôsobiaca na náboj zo strany poľa je priamo úmerná tomuto náboju. Skutočne nech je pole vytvorené bodovým nábojom. Podľa Coulombovho zákona (8.2) na náboj pôsobí sila úmerná náboju. Preto je pomer sily pôsobiacej na náboj umiestnený v danom bode poľa tento poplatok za každý bod poľa nezávisí od poradia a môže byť považovaný za charakteristiku poľa ... Táto charakteristika sa nazýva sila elektrického poľa. Rovnako ako sila, aj sila poľa je vektorová

rozsah. Označuje sa písmenom E. Ak je náboj umiestnený v poli označený namiesto potom, podľa definície je intenzita rovná:

Sila poľa sa rovná pomeru sily, ktorou pole pôsobí na bodový náboj k tomuto náboju.

Sila pôsobiaca na náboj zo strany elektrického poľa je teda rovná:

Smer vektora sa zhoduje so smerom sily pôsobiacej na kladný náboj a opačne ako smer sily pôsobiacej na záporný náboj.

Sila poľa bodového náboja. Nájdeme silu elektrického poľa vytvoreného bodovým nábojom. Podľa Coulombovho zákona bude tento náboj pôsobiť na iný náboj so silou rovnajúcou sa:

Modul sily poľa bodového náboja vo vzdialenosti od neho je:

Vektor intenzity v ktoromkoľvek bode elektrického poľa je nasmerovaný pozdĺž priamky spájajúcej tento bod a náboj, od náboja, ak a k náboju, ak (obr. 100).

Princíp superpozície polí. Ak na telo pôsobí niekoľko síl, potom podľa zákonov mechaniky je výsledná sila rovná geometrickému súčtu síl:

Zapnuté elektrické náboje pôsobia sily z elektrického poľa. Ak pri prekrývaní polí z niekoľkých nábojov tieto polia na seba navzájom nepôsobia, výsledná sila zo všetkých polí by sa mala rovnať geometrickému súčtu síl z každého poľa. Presne to sa deje v realite. To znamená, že sily poľa sa sčítavajú geometricky, pretože podľa (8.9) sú sily priamo úmerné silám.

Zvážte spôsob určenia hodnoty a smeru vektora napätia E v každom bode elektrostatického poľa vytvoreného sústavou stacionárnych nábojov q 1 , q 2 , ..., Q n .

Prax ukazuje, že princíp nezávislosti pôsobenia síl uvažovaný v mechanike (pozri časť 6) je aplikovateľný na Coulombove sily, t.j. čistá sila F pôsobiaci z poľa na testovací náboj Q 0, sa rovná vektorovému súčtu síl F i, aplikované na to z každého z poplatkov Q i:

Podľa (79.1), F= Q 0 E a F i, = Q 0 E ja, kde E je intenzita výsledného poľa a E i je sila poľa vytvoreného nábojom Q i. Nahradením posledných výrazov v (80.1) získame

Vzorec (80.2) vyjadruje princíp superpozície (superpozície) elektrostatických polí, podľa akého napätia E výsledné pole vytvorené systémom nábojov sa rovná geometrický súčet sily polí vytvorených v danom bode každým z nábojov zvlášť.

Princíp superpozície je použiteľný na výpočet elektrostatického poľa elektrického dipólu. Elektrický dipól- sústava dvoch rovnakých v absolútnej hodnote na rozdiel od bodových nábojov (+ Q, - Q), vzdialenosť l medzi ktorými je vzdialenosť k uvažovaným bodom poľa oveľa menšia. Vektor smerujúci pozdĺž osi dipólu (priamka prechádzajúca oboma nábojmi) z záporný náboj sa nazýva pozitívna a rovnaká vzdialenosť medzi nimi rameno dipólul . Vektor

zhodujúce sa v smere s ramenom dipólu a rovnajúce sa súčinu náboja

| Q| na ramene l sa volá elektrický moment dipólu p alebo dipólového momentu(obr. 122).

Podľa princípu superpozície (80.2) napätie E dipólové pole v ľubovoľnom bode

E=E + + E - ,

kde E+ a E- - intenzita polí vytvorených kladnými a zápornými nábojmi. Pomocou tohto vzorca vypočítame silu poľa pozdĺž predĺženia osi dipólu a kolmo na stred jeho osi.

1. Sila poľa pozdĺž predĺženia osi dipólu v bode A(obr. 123). Ako je zrejmé z obrázku, sila poľa dipólu v bode A je nasmerovaný pozdĺž osi dipólu a je rovný absolútnej hodnote

E A = E + -E - .

Označením vzdialenosti od bodu A do stredu osi dipólu cez l, na základe vzorca (79.2) pre vákuum je možné písať

Podľa definície dipólu, l/2<

2. Sila poľa na kolmici, obnovená na os od jej stredu, v bode V.(obr. 123). Bod V. v rovnakej vzdialenosti od nábojov, preto

kde r" - vzdialenosť od bodu V. do stredu dipólového ramena. Z podoby rovných

zmeraných trojuholníkov ležiacich na ramene dipólu a vektorov e, získame

E B = E + l/ r". (80.5)

Nahradením hodnoty (80,4) výrazom (80,5) získame

Vektor E B má smer opačný k elektrickému momentu dipólu (vektor R. smerované z negatívneho na pozitívne).

Princíp superpozície

Povedzme, že máme trojbodové obvinenia. Tieto náboje na seba pôsobia. Môžete experimentovať a merať sily, ktoré pôsobia na každý náboj. Aby bolo možné nájsť celkovú silu, s ktorou druhý a tretí pôsobia na jeden náboj, je potrebné sčítať sily, s ktorými každý z nich pôsobí podľa pravidla rovnobežníka. Vzniká otázka, či je nameraná sila, ktorá pôsobí na každý z nábojov, rovná súčtu síl z ostatných dvoch, ak sú sily vypočítané podľa Coulombovho zákona. Štúdie ukázali, že nameraná sila sa rovná súčtu vypočítaných síl v súlade s Coulombovým zákonom na strane dvoch nábojov. Tento empirický výsledok je vyjadrený vo forme vyhlásení:

• interakčná sila dvoch bodových nábojov sa nemení, ak sú prítomné ďalšie náboje;
• sila pôsobiaca na bodový náboj zo strany dvoch bodových nábojov sa rovná súčtu síl, ktoré naň pôsobia zo strany každého z bodových nábojov v neprítomnosti druhého.

Toto tvrdenie sa nazýva princíp superpozície. Tento princíp je jedným zo základov doktríny elektriny. Je rovnako dôležitý ako Coulombov zákon. Jeho zovšeobecnenie na prípad viacnásobných poplatkov je zrejmé. Ak existuje niekoľko zdrojov poľa (počet nábojov N), potom výslednú silu pôsobiacu na testovací náboj q možno nájsť ako:

\ [\ overrightarrow (F) = \ sum \ limits ^ N_ (i = 1) (\ overrightarrow (F_ (ia))) \ left (1 \ right), \]

kde $ \ overrightarrow (F_ (ia)) $ je sila, s ktorou náboj $ q_i $ pôsobí na náboj q, ak neexistujú žiadne ďalšie poplatky N-1.

Princíp superpozície (1) umožňuje pomocou zákona interakcie medzi bodovými nábojmi vypočítať silu interakcie medzi nábojmi na tele konečných rozmerov. Na to je potrebné rozdeliť každý z nábojov na malé náboje dq, ktoré je možné považovať za bodové, vziať ich do dvojíc, vypočítať interakčnú silu a vykonať vektorové sčítanie získaných síl.

Terénna interpretácia princípu superpozície

Princíp superpozície má interpretáciu poľa: intenzita poľa dvoch bodových nábojov sa rovná súčtu intenzít, ktoré sú vytvorené každým z nábojov, pri absencii druhého.

Vo všeobecnom prípade možno princíp superpozície vzhľadom na intenzity napísať takto:

\ [\ overrightarrow (E) = \ sum (\ overrightarrow (E_i)) \ left (2 \ right). \]

kde $ (\ overrightarrow (E)) _ i = \ frac (1) (4 \ pi (\ varepsilon) _0) \ frac (q_i) (\ varepsilon r ^ 3_i) \ overrightarrow (r_i) \ $ is intenzita i-tý bodový náboj, $ \ overrightarrow (r_i) \ $ je vektor polomeru nakreslený od i-tého náboja do bodu v priestore. Výraz (1) znamená, že intenzita poľa ľubovoľného počtu bodových nábojov sa rovná súčtu intenzít poľa každého z bodových nábojov, ak ostatné chýbajú.

Inžinierska prax dokázala, že princíp superpozície sa dodržiava až do veľmi vysokých intenzít poľa. Polia v atómoch a jadrách majú veľmi významné sily (rádovo $ (10) ^ (11) - (10) ^ (17) \ frac (B) (m) $), ale princíp superpozície sa používal aj pre pri výpočte energetických hladín atómov a vypočítané údaje sa zhodovali s experimentálnymi údajmi s vysokou presnosťou. Je však potrebné poznamenať, že na veľmi malých vzdialenostiach (rádovo $ \ sim (10) ^ (- 15) m $) a extrémne silných poliach nemusí byť princíp superpozície splnený. Napríklad na povrchu ťažkých jadier napätie dosahuje rádovo $ \ sim (10) ^ (22) \ frac (B) (m) $, princíp superpozície je splnený, ale s napätím $ ( 10) ^ (20) \ frac (B) (m) $ vznikajú kvantovo mechanické nelinearity interakcie.

Ak je náboj distribuovaný nepretržite (nie je potrebné brať do úvahy diskrétnosť), potom sa celková intenzita poľa zistí ako:

\ [\ overrightarrow (E) = \ int (d \ overrightarrow (E)) \ \ left (3 \ right). \]

V rovnici (3) sa integrácia vykonáva v oblasti distribúcie náboja. Ak sú náboje rozdelené pozdĺž čiary ($ \ tau = \ frac (dq \) (dl) -lineárne \ hustota \ distribúcia \ poplatok $), integrácia v (3) sa vykoná pozdĺž čiary. Ak sú náboje distribuované po povrchu a hustota rozloženia povrchu $ \ sigma = \ frac (dq \) (dS) $, integrujte ich po povrchu. Integrácia sa vykonáva cez objem, ak máme do činenia s objemovým rozložením náboja: $ \ rho = \ frac (dq \) (dV) $, kde $ \ rho $ je hustota distribúcie objemového náboja.

Princíp superpozície v zásade umožňuje určiť $ \ overrightarrow (E) $ pre akýkoľvek bod v priestore zo známej distribúcie priestorového náboja.

Príklad 1

Úloha: Rovnaké bodové náboje q sa nachádzajú na vrcholoch štvorca so stranou a. Určte, aká sila pôsobí na každý náboj z ostatných troch nábojov.

Znázornime sily pôsobiace na jeden z nábojov na vrchole štvorca (výber nie je dôležitý, pretože náboje sú rovnaké) (obr. 1). Výsledná sila pôsobiaca na náboj $ q_1 $ je zapísaná ako:

\ [\ overrightarrow (F) = (\ overrightarrow (F)) _ (12) + (\ overrightarrow (F)) _ (14) + (\ overrightarrow (F)) _ (13) \ \ left (1.1 \ right ). \]

Sily $ (\ overrightarrow (F)) _ (12) $ a $ (\ overrightarrow (F)) _ (14) $ sú rovnaké v absolútnej hodnote a možno ich nájsť ako:

\ [\ left | (\ overrightarrow (F)) _ (12) \ right | = \ left | (\ overrightarrow (F)) _ (14) \ right | = k \ frac (q ^ 2) (a ^ 2 ) \ \ vľavo (1,2 \ vpravo), \]

kde $ k = 9 (10) ^ 9 \ frac (Hm ^ 2) ((Kl) ^ 2). $

Zistíme, že modul sily $ (\ overrightarrow (F)) _ (13) $, tiež podľa Coulombovho zákona, s vedomím, že uhlopriečka štvorca je rovná:

preto máme:

\ [\ left | (\ overrightarrow (F)) _ (13) \ right | = k \ frac (q ^ 2) (2a ^ 2) \ \ left (1.4 \ right) \]

Nasmerujme os OX, ako je znázornené na obr. 1, navrhneme rovnicu (1.1), nahradíme získané moduly síl a dostaneme:

Odpoveď: Sila pôsobiaca na každý z nábojov vo vrcholoch štvorca je: $ F = \ frac (kq ^ 2) (a ^ 2) \ left (\ frac (2 \ sqrt (2) +1) (2 ) \ vpravo). $

Príklad 2

Úloha: Elektrický náboj je rovnomerne rozložený po tenkom vlákne v rovnomernej lineárnej hustote $ \ tau $. Nájdite výraz pre intenzitu poľa vo vzdialenosti $ a $ od konca vlákna na jeho predĺžení. Dĺžka vlákna je $ l $.

Vyberieme bodový náboj $ dq $ na vlákne, napíšeme preň z Coulombovho zákona výraz pre silu elektrostatického poľa:

V danom bode sú všetky vektory napätia nasmerované rovnakým spôsobom pozdĺž osi X, preto máme:

Pretože je náboj rovnomerne rozložený na vlákno s lineárnou hustotou $ \ tau $, podľa vyhlásenia o probléme môžeme napísať nasledujúce:

Náhradník (2.4) do rovnice (2.1) integrujte:

Odpoveď: Sila poľa vlákna v uvedenom bode sa vypočíta podľa vzorca: $ E = \ frac (k \ tau l) (a (l + a)). $

Elektrostatické pole- pole vytvorené elektrickými nábojmi nehybnými v priestore a konštantnými v čase (bez elektrických prúdov).

Elektrické pole je špeciálny druh hmoty spojenej s elektrickými nábojmi a vzájomným prenosom akcií nábojov.

Ak je v priestore sústava nabitých telies, potom v každom bode tohto priestoru je silové elektrické pole. Stanovuje sa pomocou sily pôsobiacej na testovací náboj umiestnený v tomto poli. Skúšobný náboj musí byť malý, aby neovplyvňoval charakteristiky elektrostatického poľa.

Sila elektrického poľa je vektorová fyzikálna veličina, ktorá charakterizuje elektrické pole v danom bode a je číselne rovnaká ako pomer sily pôsobiacej na stacionárny testovací náboj umiestnený v danom bode poľa k hodnote tohto náboja:

Táto definícia ukazuje, prečo sa sila elektrického poľa niekedy nazýva silová charakteristika elektrického poľa (všetok rozdiel od vektora sily pôsobiacej na nabitú časticu je iba v konštantnom faktore).

V každom bode priestoru v danom časovom okamihu existuje jeho vlastná hodnota vektora (vo všeobecnosti sa líši v rôznych bodoch priestoru), takže je to vektorové pole. Formálne je to vyjadrené v zázname

reprezentujúca silu elektrického poľa ako funkciu priestorových súradníc (a času, pretože sa môže časom meniť). Toto pole spolu s poľom vektora magnetickej indukcie je elektromagnetické pole a zákony, ktorými sa riadi, sú predmetom elektrodynamiky.

Intenzita elektrického poľa v SI sa meria vo voltoch na meter [V / m] alebo v newtonoch na coulomb [N / C].

Počet čiar vektora E, prenikajúcich cez nejaký povrch S, sa nazýva tok vektora intenzity N.

Na výpočet toku vektora E je potrebné rozdeliť oblasť S na elementárne oblasti dS, v ktorých bude pole rovnomerné (obrázok 13.4).

Tok napätia cez takú elementárnu oblasť bude podľa definície rovnaký (obrázok 13.5).

kde je uhol medzi siločarou a normálou k miestu dS; je priemet miesta dS na rovinu kolmú na siločiary. Potom bude tok sily poľa celým povrchom miesta S rovný

Odvtedy

kde je priemet vektora na normál a na povrch dS.

Princíp superpozície- jeden z najvšeobecnejších zákonov v mnohých odvetviach fyziky. Princíp superpozície vo svojej najjednoduchšej forme znie:

výsledkom pôsobenia na častice niekoľkých vonkajších síl je vektorový súčet pôsobenia týchto síl.

Najslávnejší je princíp superpozície v elektrostatike, v ktorom to tvrdí sila elektrostatického poľa vytvoreného v danom bode sústavou nábojov je súčtom síl polí jednotlivých nábojov.

Princíp superpozície môže mať aj iné formulácie, ktoré úplne ekvivalentné vyššie:

Interakcia medzi týmito dvoma časticami sa nemení, keď sa zavedie tretia častica, ktorá tiež interaguje s prvými dvoma časticami.

Interakčná energia všetkých častíc v mnohočasticovom systéme je jednoducho súčtom energií párové interakcie medzi všetkými možnými pármi častíc. Systém nie viacčasticové interakcie.

Rovnice popisujúce správanie sa viacčasticového systému sú lineárne počtom častíc.

Práve linearita základnej teórie v uvažovanej oblasti fyziky je dôvodom vzniku princípu superpozície v nej.