Егер m = 1, n = 1 болса, онда сипаттаманы аламыз

деп аталады центрден тепкіш моментинерция.

Центрден тепкіш инерция моментікоординаталық осьтерге қатысты – элементар аудандардың көбейтінділерінің қосындысы дАолардың осы осьтерге дейінгі арақашықтықта, көлденең қиманың бүкіл ауданында алынады А.

Егер осьтердің кем дегенде біреуі болса жнемесе zқиманың симметрия осі, осы осьтерге қатысты мұндай қиманың центрден тепкіш инерция моменті нөлге тең (өйткені бұл жағдайда әрбір оң шама z y dAбіз корреспонденцияға дәл солай, бірақ теріс, қиманың симметрия осінің екінші жағына қоюға болады, суретті қараңыз).

Жоғарыда аталған негізгілерден алуға болатын қосымша геометриялық сипаттамаларды қарастырыңыз, сонымен қатар беріктік пен қаттылықты есептеулерде жиі қолданылады.

Полярлық инерция моменті

Полярлық инерция моменті J бсипатын атаңыз

Басқа жақтан,

Полярлық инерция моменті(берілген нүктеге қатысты) - элементар аудандардың туындыларының қосындысы дАолардың қашықтықтарының квадраттары бойынша осы нүктеге дейін бүкіл көлденең қиманың аумағын алады А.

Инерция моменттерінің өлшемі СИ-де m 4.

Қарсыласу сәті

Қарсыласу сәтікейбір оське қатысты - қашықтыққа қатысты бірдей оське қатысты инерция моментіне тең шама ( y макснемесе z макс) осы осьтен ең алыс нүктеге дейін

Қарсылық моменттерінің өлшемі СИ-де m 3.

Гирация радиусы

Гирация радиусыБелгілі бір оське қатысты қима қатынасы бойынша анықталатын шама деп аталады:

Гирация радиустары SI өлшем бірліктерімен өрнектеледі.

Пікір:Қазіргі заманғы құрылымдардың элементтерінің кесінділері көбінесе физика курсынан белгілі Янг модулімен сипатталатын серпімді деформацияларға әртүрлі төзімділігі бар материалдардың белгілі бір құрамын білдіреді. E... Біртекті емес қиманың ең жалпы жағдайында Янг модулі - бұл кесінді нүктелерінің координаттарының үздіксіз функциясы, яғни. E = E (z, y)... Сондықтан серпімділік қасиеттері бойынша біртекті емес кесіндінің қаттылығы біртекті қиманың геометриялық сипаттамаларына қарағанда күрделірек сипаттамалармен сипатталады, атап айтқанда серпімді-геометриялық

2.2. Геометриялық сипаттамаларды есептеу қарапайым пішіндер

Тік бұрышты кесінді

Тіктөртбұрыштың оське қатысты осьтік инерция моментін анықтаңыз z... Тіктөртбұрыштың ауданын өлшемдері бар элементар аймақтарға бөлеміз б(ені) және dy(биіктігі). Сонда мұндай қарапайым тіктөртбұрыштың ауданы (көлеңкеленген) тең болады dA = b dy... Мәнді ауыстыру дАбірінші формулада біз аламыз

Аналогия бойынша біз оське қатысты осьтік моментті жазамыз сағ:

Тіктөртбұрыштың осьтік кедергі моменттері:

;

Сол сияқты, басқа қарапайым фигуралар үшін геометриялық сипаттамалар алуға болады.

Дөңгелек бөлім

Бастапқыда табу ыңғайлы полярлық инерция моменті J p.

Содан кейін шеңбер үшін берілген J z = J y, а J p = J z + J y, табыңыз J z =Дж ж = J б / 2.

Біз шеңберді қалыңдығы бар шексіз аз сақиналарға бөлеміз dρжәне радиусы ρ ; мұндай сақинаның ауданы дА = 2 ∙ π ∙ ρ ∙ dρ... Өрнегін ауыстыру дАүшін өрнекке J бжәне интеграциялау, біз аламыз

2.3. Параллель осьтер бойынша инерция моменттерін есептеу

zжәне ж:

Бұл қиманың «жаңа» осьтерге қатысты инерция моменттерін анықтау талап етіледі z 1және ж 1орталықтарға параллель және олардан қашықтықта орналасқан ажәне бтиісінше:

«Жаңа» координаттар жүйесіндегі кез келген нүктенің координаталары z 1 0 1 y 1«ескі» осьтердегі координаталар арқылы көрсетуге болады zжәне жСонымен:

Осьтерден бері zжәне ж- орталық, содан кейін статикалық момент S з = 0.

Ақырында, осьтерді параллель аудару үшін «өтпелі» формулаларды жаза аламыз:

Координаттарға назар аударыңыз ажәне болардың таңбасын ескере отырып ауыстырылуы керек (координаталар жүйесінде z 1 0 1 y 1).

2.4. Координаталық осьтерді айналдыру кезіндегі инерция моменттерін есептеу

Қатысты ерікті қиманың инерция моменттері болсын орталық осьтер з, ж:

; ;

Осьтерді айналдырайық z, жбұрышта α сағат тіліне қарсы, осьтердің осы бағытта айналу бұрышын оң деп есептей отырып.

«Жаңа» (айналдырылған) осьтерге қатысты инерция моменттерін анықтау талап етіледі z 1және ж 1:

Бастапқы сайт координаттары дА«жаңа» координаттар жүйесінде z 1 0y 1«ескі» осьтердегі координаталар арқылы келесідей көрсетуге болады:

Біз бұл мәндерді «жаңа» осьтердегі инерция моменттерінің формулаларына ауыстырамыз және терминді термин бойынша біріктіреміз:

Қалған өрнектермен ұқсас түрлендірулер жасай отырып, біз координат осьтері айналған кезде «өтпелі» формулаларды жазамыз:

Назар аударыңыз, егер біз алғашқы екі теңдеуді қоссақ, аламыз

яғни инерцияның полярлық моменті – шама инвариантты(басқаша айтқанда, координат осьтері айналғанда өзгермейді).

2.5. Бас осьтер және бас инерция моменттері

Осы уақытқа дейін еркін координаталар жүйесіндегі қималардың геометриялық сипаттамалары қарастырылды, алайда, кесінді геометриялық сипаттамалардың ең аз санымен сипатталатын координаталар жүйесі ең үлкен практикалық қызығушылық тудырады. Мұндай «арнайы» координаталар жүйесі қиманың негізгі осьтерінің орнымен белгіленеді. Ұғымдарды енгізейік: негізгі осьтержәне инерцияның негізгі моменттері.

Негізгі осьтер- өзара перпендикуляр екі ось, оларға қатысты центрден тепкіш инерция моменті нөлге тең, ал осьтік инерция моменттері экстремалды мәндерді (максималды және минималды) қабылдайды.

Қиманың ауырлық центрі арқылы өтетін негізгі осьтер деп аталады негізгі орталық осьтер.

Негізгі осьтерге қатысты инерция моменттері деп аталады инерцияның негізгі моменттері.

Негізгі орталық осьтер әдетте әріптермен белгіленеді uжәне v; инерцияның негізгі сәттері J uжәне Дж в(а- приорит J uv = 0).

Бас осьтердің орнын және негізгі инерция моменттерінің шамасын табуға мүмкіндік беретін өрнектерді шығарайық. Соны білу J uv= 0, біз (2.3) теңдеуін қолданамыз:

Инъекция α 0 кез келген орталық осьтерге қатысты негізгі осьтердің орнын анықтайды zжәне ж... Инъекция α 0 осьтер арасында орналасады zжәне ось uжәне сағат тіліне қарсы бағытта оң болып саналады.

Назар аударыңыз, егер егер қимада симметрия осі болса, онда центрден тепкіш инерция моментінің қасиетіне сәйкес (2.1 тараудың 4 тарауын қараңыз) мұндай ось әрқашан қиманың негізгі осі болады.

Бұрышты қоспағанда α (2.1) және (2.2) өрнектерінде (2.4) көмегімен негізгі осьтік инерция моменттерін анықтайтын формулаларды аламыз:

Ережені жазайық: максимум ось әрқашан осьтердің бұрышымен (z немесе y) кішірек бұрыш жасайды, оған қатысты инерция моменті үлкенірек.

2.6. Рационал қима пішіндері

Ерікті нүктедегі қалыпты кернеулер көлденең қиматікелей иілудегі арқалықтар мына формуламен анықталады:

, (2.5)

қайда М- қарастырылатын қимадағы иілу моменті; сағ- қарастырылатын нүктеден иілу моментінің әсер ету жазықтығына перпендикуляр негізгі орталық оське дейінгі қашықтық; J x- қиманың негізгі орталық инерция моменті.

Берілген көлденең қимадағы ең үлкен созылу және қысу қалыпты кернеулері бейтарап осьтен ең алыс нүктелерде пайда болады. Олар мына формулалармен анықталады:

; ,

қайда 1-дежәне 2-де- негізгі орталық осьтен арақашықтықтар Н.Сең алыс созылған және сығылған талшықтарға дейін.

Пластикалық материалдардан жасалған арқалықтар үшін [σ p] = [σ c] ([σ p], [σ c] сәйкесінше, кернеу мен сығылу кезінде арқалық материалының рұқсат етілген кернеуі болып табылады), келесі бөлімдерді пайдаланыңыз: орталық оське қатысты симметриялы. Бұл жағдайда беріктік шарты келесідей:

≤ [σ], (2.6)

қайда W x = J x / y макс- сәуленің көлденең қимасының негізгі орталық осіне қатысты кедергі моменті; y макс = сағ / 2(h- қима биіктігі); M макс- абсолютті мәндегі ең үлкен иілу моменті; [σ] – материалдың рұқсат етілген иілу кернеуі.

Беріктік жағдайынан басқа, арқалық экономикалық жағдайды да қанағаттандыруы керек. Ең үнемді болып кедергі моментінің ең үлкен мәні ең аз материал шығынымен (немесе көлденең қимасының ең кіші ауданымен) алынатын қима пішіндері болып табылады. Бөлімнің пішіні ұтымды болуы үшін, мүмкін болса, бөлімді негізгі орталық осьтен әрі қарай бөлу қажет.

Мысалы, стандартты I-сәуле бір материалдан жасалған сол аумақтың шаршы арқалығынан шамамен жеті есе күшті және отыз есе қатты.

Секцияның орны әрекет етуші жүктемеге қатысты өзгерген кезде, қиманың ауданы өзгеріссіз қалғанымен, сәуленің беріктігі айтарлықтай өзгеретінін есте ұстаған жөн. Демек, кесінді күш сызығы инерция моменті ең аз болатын негізгі осьтер сызығымен сәйкес келетіндей орналасуы керек. Ол штанганың иілісі оның ең қаттылығы жазықтығында өтуге ұмтылуы керек.

Сонда барлық жерде бірдей

J a = ρ ∫ (V) r 2 d V. (\ displaystyle J_ (a) = \ rho \ int \ limits _ ((V)) r ^ (2) dV.)

Гюйгенс – Штайнер теоремасы

Қатты дененің кез келген оське қатысты инерция моменті дененің массасына, пішініне және өлшеміне, сондай-ақ дененің осы оське қатысты орналасуына байланысты. Гюйгенс - Штайнер теоремасы бойынша дененің инерция моменті Джерікті ось туралы сомасына теңбұл дененің инерция моменті J cқарастырылып отырған оське параллель дененің массалар центрі арқылы өтетін оське қатысты және дене массасының көбейтіндісі мшаршы қашықтыққа dосьтер арасында:

J = J c + m d 2, (\ displaystyle J = J_ (c) + md ^ (2),)

қайда м-толық дене массасы.

Мысалы, стерженьнің оның ұшынан өтетін оське қатысты инерция моменті:

J = J c + m d 2 = 1 12 м л 2 + м (l 2) 2 = 1 3 м л 2. (\ displaystyle J = J_ (c) + md ^ (2) = (\ frac (1) (12)) ml ^ (2) + m \ сол жақ ((\ frac (l) (2)) \ оң) ^ (2) = (\ frac (1) (3)) мл ^ (2).)

Кейбір денелердің осьтік инерция моменттері

Инерция моменттерікейбір айналу осьтеріне қатысты ең қарапайым пішінді біртекті денелер

Дене	Сипаттама	Ось позициясы а	Инерция моменті Дж а
	Материалдық массалық нүкте м	Қашықтықта rбір нүктеден, қозғалыссыз
	Қуыс жұқа қабырғалы цилиндр немесе радиус сақинасы rжәне массалар м	Цилиндр осі	m r 2 (\ displaystyle mr ^ (2))
	Қатты цилиндр немесе радиусы бар диск rжәне массалар м	Цилиндр осі	1 2 м r 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (2)) mr ^ (2))
	Қуыс қалың қабырғалы массалық цилиндр мсыртқы радиусы бар r 2 және ішкі радиус r 1	Цилиндр осі	m r 2 2 + r 1 2 2 (\ displaystyle m (\ frac (r_ (2) ^ (2) + r_ (1) ^ (2)) (2)))
	Қатты цилиндр ұзындығы л, радиусы rжәне массалар м		1 4 м ⋅ r 2 + 1 12 м ⋅ l 2 (\ displaystyle (1 \ 4-тен жоғары) m \ cdot r ^ (2) + (1 \ 12-ден жоғары) m \ cdot l ^ (2))
	Қуыс жұқа қабырғалы цилиндр (сақина) ұзындығы л, радиусы rжәне массалар м	Ось цилиндрге перпендикуляр және оның массалық центрі арқылы өтеді	1 2 м ⋅ r 2 + 1 12 м ⋅ l 2 (\ дисплей стилі (1 \ 2-ден жоғары) m \ cdot r ^ (2) + (1 \ 12-ден жоғары) m \ cdot l ^ (2))
	Тікелей жіңішке штанганың ұзындығы лжәне массалар м	Ось стерженьге перпендикуляр және оның масса центрі арқылы өтеді	1 12 м l 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (12)) ml ^ (2))
	Тікелей жіңішке штанганың ұзындығы лжәне массалар м	Ось жолаққа перпендикуляр және оның ұшынан өтеді	1 3 м л 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (3)) мл ^ (2))
	Радиусы жұқа қабырғалы шар rжәне массалар м	Ось шардың ортасынан өтеді	2 3 m r 2 (\ displaystyle (\ frac (2) (3)) mr ^ (2))
	Радиусы бар шар rжәне массалар м	Ось доптың ортасынан өтеді	2 5 м r 2 (\ displaystyle (\ frac (2) (5)) mr ^ (2))
	Радиус конусы rжәне массалар м	Конус осі	3 10 м r 2 (\ displaystyle (\ frac (3) (10)) mr ^ (2))
	Биіктігі бар тең қабырғалы үшбұрыш h, негізі ажәне массасы м	Ось үшбұрыштың жазықтығына перпендикуляр және шыңы арқылы өтеді	1 24 м (a 2 + 12 сағ 2) (\ displaystyle (\ frac (1) (24)) м (a ^ (2) + 12 сағ ^ (2))
	Қабырғасы бар тұрақты үшбұрыш ажәне массасы м	Ось үшбұрыштың жазықтығына перпендикуляр және массалар центрі арқылы өтеді	1 12 м a 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (12)) ma ^ (2))
	Бүйір жағы бар шаршы ажәне массасы м	Ось квадрат жазықтығына перпендикуляр және массалар центрі арқылы өтеді	1 6 м a 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (6)) ma ^ (2))
	Бүйірлері бар төртбұрыш ажәне бжәне массасы м	Ось тіктөртбұрыштың жазықтығына перпендикуляр және массалар центрі арқылы өтеді	1 12 м (a 2 + b 2) (\ displaystyle (\ frac (1) (12)) m (a ^ (2) + b ^ (2))
	Тұрақты радиус n-гон rжәне массасы м	Ось жазықтыққа перпендикуляр және масса центрі арқылы өтеді	m r 2 6 [1 + 2 cos ⁡ (π / n) 2] (\ displaystyle (\ frac (mr ^ (2)) (6)) \ сол жақта)
	Бағыттаушы шеңбер радиусы бар торус (шұңқыр). Р, генерациялаушы шеңбердің радиусы rжәне массасы м	Ось торустың бағыттаушы шеңберінің жазықтығына перпендикуляр және массалар центрі арқылы өтеді	I = m (3 4 r 2 + R 2) (\ Displaystyle I = m \ солға ((\ frac (3) (4)) \, r ^ (2) + R ^ (2) \ оңға))

Формулаларды шығару

Жұқа қабырғалы цилиндр (сақина, құрсау)

Формула шығару

Дененің инерция моменті оның құрамдас бөліктерінің инерция моменттерінің қосындысына тең. Жұқа қабырғалы цилиндрді массасы бар элементтерге бөлейік dmжәне инерция моменттері dJ i... Содан кейін

J = ∑ d J i = ∑ R i 2 d m. (1). (\ Displaystyle J = \ sum dJ_ (i) = \ sum R_ (i) ^ (2) дм. \ qquad (1).)

Жұқа қабырғалы цилиндрдің барлық элементтері айналу осінен бірдей қашықтықта орналасқандықтан, формула (1) пішінге түрлендіріледі.

J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2. (\ Displaystyle J = \ sum R ^ (2) dm = R ^ (2) \ sum dm = mR ^ (2).)

Қалың қабырғалы цилиндр (сақина, құрсау)

Формула шығару

Сыртқы радиусы бар біртекті сақина болсын Р, ішкі радиусы Р 1, қалың hжәне тығыздығы ρ. Оны жуан жұқа сақиналарға бөлейік доктор... Радиусы бар жұқа сақинаның массасы мен инерция моменті rболады

d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r; d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r. (\ displaystyle dm = \ rho dV = \ rho \ cdot 2 \ pi rhdr; \ qquad dJ = r ^ (2) dm = 2 \ pi \ rho hr ^ (3) dr.)

Интеграл ретінде жуан сақинаның инерция моментін табамыз

J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 dr = (\ displaystyle J = \ int _ (R_ (1)) ^ (R) dJ = 2 \ pi \ rho h \ int _ (R_ (1)) ^ (R) r ^ (3) dr =) = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ сағ (R 4 - R 1 4) = 1 2 π ρ сағ (R 2 - R 1 2) (R 2 + R 1 2). (\ displaystyle = 2 \ pi \ rho h \ сол. (\ frac (r ^ (4)) (4)) \ оң | _ (R_ (1)) ^ (R) = (\ frac (1) (2) )) \ pi \ rho h \ солға (R ^ (4) -R_ (1) ^ (4) \ оңға) = (\ frac (1) (2)) \ pi \ rho h \ солға (R ^ (2) ) -R_ (1) ^ (2) \ оң) \ сол жақ (R ^ (2) + R_ (1) ^ (2) \ оң).)

Сақинаның көлемі мен массасы тең болғандықтан

V = π (R 2 - R 1 2) сағ; m = ρ V = π ρ (R 2 - R 1 2) h, (\ displaystyle V = \ pi \ сол жақ (R ^ (2) -R_ (1) ^ (2) \ оң) h; \ qquad m = \ rho V = \ pi \ rho \ солға (R ^ (2) -R_ (1) ^ (2) \ оңға) h,)

біз сақинаның инерция моментінің соңғы формуласын аламыз

J = 1 2 м (R 2 + R 1 2). (\ Displaystyle J = (\ frac (1) (2)) m \ солға (R ^ (2) + R_ (1) ^ (2) \ оңға).)

Біртекті диск (тұтас цилиндр)

Формула шығару

Цилиндрді (дискіні) ішкі радиусы нөлдік сақина ретінде қарастыру ( Р 1 = 0), цилиндрдің (дискінің) инерция моменті формуласын аламыз:

J = 1 2 м R 2. (\ Displaystyle J = (\ frac (1) (2)) mR ^ (2).)

Қатты конус

Формула шығару

Конусты қалың жұқа дискілерге бөлейік dhконус осіне перпендикуляр. Мұндай дискінің радиусы

r = R h H, (\ displaystyle r = (\ frac (Rh) (H)),)

қайда Р- конус табанының радиусы, Х- конустың биіктігі; hКонустың жоғарғы бөлігінен дискіге дейінгі қашықтық. Мұндай дискінің массасы мен инерция моменті болады

d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h; (\ displaystyle dJ = (\ frac (1) (2)) r ^ (2) dm = (\ frac (1) (2)) \ pi \ rho r ^ (4) dh = (\ frac (1) ( 2)) \ pi \ rho \ сол ((\ frac (Rh) (H)) \ оң) ^ (4) dh;)

Интеграциялау, біз аламыз

J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 h 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 м R 2. (\ displaystyle (\ begin (тураланған) J = \ int _ (0) ^ (H) dJ = (\ frac (1) (2)) \ pi \ rho \ left ((\ frac (R) (H)) \ оң) ^ (4) \ int _ (0) ^ (H) h ^ (4) dh = (\ frac (1) (2)) \ pi \ rho \ солға ((\ frac (R) (H) ) \ оң) ^ (4) \ сол. (\ frac (h ^ (5)) (5)) \ оң | _ (0) ^ (H) == (\ frac (1) (10)) \ pi \ rho R ^ (4) H = \ сол (\ rho \ cdot (\ frac (1) (3)) \ pi R ^ (2) H \ оң) (\ frac (3) (10)) R ^ ( 2) = (\ frac (3) (10)) mR ^ (2). \ Соңы (тураланған)))

Біртекті қатты шар

Формула шығару

Допты жуан жіңішке дискілерге бөлейік dhайналу осіне перпендикуляр. Мұндай дискінің радиусы биіктікте орналасқан hшардың центрінен формула бойынша табамыз

r = R 2 - h 2. (\ displaystyle r = (\ sqrt (R ^ (2) -h ^ (2))).)

Мұндай дискінің массасы мен инерция моменті болады

d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d сағ; (\ displaystyle dm = \ rho dV = \ rho \ cdot \ pi r ^ (2) dh;) d J = 1 2 r 2 дм = 1 2 π ρ r 4 dh = 1 2 π ρ (R 2 - h 2) 2 dh = 1 2 π ρ (R 4 - 2 R 2 h 2 + h 4) d h . (\ Displaystyle dJ = (\ frac (1) (2)) r ^ (2) dm = (\ frac (1) (2)) \ pi \ rho r ^ (4) dh = (\ frac (1) ( 2)) \ pi \ rho \ солға (R ^ (2) -h ^ (2) \ оңға) ^ (2) dh = (\ frac (1) (2)) \ pi \ rho \ солға (R ^ ( 4) -2R ^ (2) h ^ (2) + h ^ (4) \ оң) dh.)

Доптың инерция моментін интегралдау арқылы табамыз:

J = ∫ - RR d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 - 2 R 2 h 2 + h 4) dh = = π ρ (R 4 h - 2 3 R 2 h 3 + 1 5 сағ 5) | 0 R = π ρ (R 5 - 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 м R 2. (\ displaystyle (\ begin (тураланған) J & = \ int _ (- R) ^ (R) dJ = 2 \ int _ (0) ^ (R) dJ = \ pi \ rho \ int _ (0)) ^ ( R ) \ солға (R ^ (4) -2R ^ (2) h ^ (2) + h ^ (4) \ оңға) dh = \\ & = \ pi \ rho \ солға. \ солға (R ^ (4) ) h - (\ frac (2) (3)) R ^ (2) h ^ (3) + (\ frac (1) (5)) h ^ (5) \ оң) \ оң | _ (0) ^ ( R) = \ pi \ rho \ солға (R ^ (5) - (\ frac (2) (3)) R ^ (5) + (\ frac (1) (5)) R ^ (5) \ оң ) = (\ frac (8) (15)) \ pi \ rho R ^ (5) = \\ & = \ сол ((\ frac (4) (3)) \ pi R ^ (3) \ rho \ оң ) \ cdot (\ frac (2) (5)) R ^ (2) = (\ frac (2) (5)) mR ^ (2). \ соңы (тураланған)))

Жұқа қабырғалы шар

Формула шығару

Шығару үшін радиусы біртекті шардың инерция моменті формуласын қолданамыз. Р :

J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5. (\ displaystyle J_ (0) = (\ frac (2) (5)) MR ^ (2) = (\ frac (8) (15)) \ pi \ rho R ^ (5).)

Шарттың инерция моменті қанша өзгеретінін есептейік, егер тұрақты тығыздық ρ кезінде оның радиусы шексіз аз мөлшерге өссе. dR .

J = d J 0 d R d R = dd R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 м R 2. (\ дисплей стилі (\ бастау (тураланған) J & = (\ frac (dJ_ (0)) (dR)) dR = (\ frac (d) (dR)) \ сол жақ ((\ frac (8) (15)) \ pi \ rho R ^ (5) \ оң) dR = \\ & = (\ frac (8) (3)) \ pi \ rho R ^ (4) dR = \ солға (\ rho \ cdot 4 \ pi R ^ (2) dR \ оң) (\ frac (2) (3)) R ^ (2) = (\ frac (2) (3)) mR ^ (2). \ Соңы (тураланған))

Жіңішке өзек (ось ортасынан өтеді)

Формула шығару

Таяқшаны ұзындықтағы кішкене бөліктерге бөлейік доктор... Мұндай фрагменттің массасы мен инерция моменті тең

d m = m d r l; d J = r 2 d m = m r 2 d r l. (\ displaystyle dm = (\ frac (mdr) (l)); \ qquad dJ = r ^ (2) dm = (\ frac (mr ^ (2) dr) (l)).)

Интеграциялау, біз аламыз

J = ∫ - l / 2 л / 2 d J = 2 ∫ 0 л / 2 d J = 2 м л ∫ 0 л / 2 r 2 d r = 2 м л r 3 3 | 0 л / 2 = 2 м л л 3 24 = 1 12 м л 2. (\ Displaystyle J = \ int _ (- l / 2) ^ (l / 2) dJ = 2 \ int _ (0) ^ (l / 2) dJ = (\ frac (2m) (l)) \ int _ (0) ^ (l / 2) r ^ (2) dr = (\ frac (2м) (л)) \ сол. (\ Фрак (r ^ (3)) (3)) \ оң | _ (0) ^ (l / 2) = (\ frac (2m) (l)) (\ frac (l ^ (3)) (24)) = (\ frac (1) (12)) ml ^ (2).)

Жіңішке өзек (ось соңынан өтеді)

Формула шығару

Айналу осін штанганың ортасынан оның соңына дейін жылжытқанда, сырықтың ауырлық центрі оське қатысты қашықтыққа жылжиды. l ⁄ 2... Штайнер теоремасы бойынша жаңа инерция моменті тең болады

J = J 0 + m r 2 = J 0 + m (l 2) 2 = 1 12 м л 2 + 1 4 м л 2 = 1 3 м л 2. (\ displaystyle J = J_ (0) + mr ^ (2) = J_ (0) + m \ сол ((\ frac (l) (2)) \ оң) ^ (2) = (\ frac (1) ( 12)) мл ^ (2) + (\ frac (1) (4)) мл ^ (2) = (\ frac (1) (3)) мл ^ (2).)

Планеталар мен серіктердің өлшемсіз инерция моменттері

Инерцияның өлшемсіз моменттері планеталар мен олардың серіктерінің ішкі құрылымын зерттеу үшін үлкен маңызға ие. Радиусы бар дененің өлшемсіз инерция моменті rжәне массалар мқашықтықта орналасқан қозғалмайтын айналу осіне қатысты массасы бірдей материалдық нүктенің айналу осіне қатысты оның инерция моментінің инерция моментіне қатынасына тең. r(тең Мырза 2). Бұл мән массаның таралу тереңдігін көрсетеді. Оны планеталар мен спутниктерде өлшеу әдістерінің бірі - берілген планетаның немесе жер серігінің айналасында ұшатын АМС арқылы берілетін радиосигналдың доплерлік ығысуын анықтау. Жіңішке қабырғалы шар үшін өлшемсіз инерция моменті 2/3 (~ 0,67), біртекті шар үшін - 0,4, ал жалпы алғанда, аз. үлкен массадене оның ортасына шоғырланған. Мысалы, Айдың өлшемсіз инерция моменті 0,4-ке жақын (0,391-ге тең), сондықтан ол салыстырмалы түрде біртекті деп есептеледі, оның тығыздығы тереңдікте аз өзгереді. Жердің өлшемсіз инерция моменті біртекті сфераға қарағанда аз (0,335-ке тең), бұл ондағы тығыз ядроның болуын жақтайтын дәлел.

Центрден тепкіш инерция моменті

Тік бұрышты декарттық координаттар жүйесінің осьтеріне қатысты дененің центрден тепкіш инерция моменттері келесі шамалар болып табылады:

J xy = ∫ (m) xydm = ∫ (V) xy ρ d V, (\ displaystyle J_ (xy) = \ int \ limits _ ((m)) xydm = \ int \ limits _ ((V)) xy \ rho dV,) J xz = ∫ (m) xzdm = ∫ (V) xz ρ d V, (\ displaystyle J_ (xz) = \ int \ limits _ ((m)) xzdm = \ int \ limits _ ((V)) xz \ rho dV,) J yz = ∫ (m) yzdm = ∫ (V) yz ρ d V, (\ displaystyle J_ (yz) = \ int \ limits _ ((m)) yzdm = \ int \ limits _ ((V)) yz \ rho dV,)

қайда x , жжәне z- көлемі бар дененің кіші элементінің координаталары dV, тығыздығы ρ және массасы dm .

OX осі деп аталады дененің негізгі инерция осіцентрден тепкіш инерция моменттері болса J xyжәне J xzбір уақытта нөлге тең. Дененің әрбір нүктесі арқылы үш негізгі инерция осін жүргізуге болады. Бұл осьтер бір-біріне перпендикуляр. Дененің инерция моменттерісалыстырмалы үш негізгіерікті нүктеде сызылған инерция осьтері Oденелер деп аталады инерцияның негізгі моменттеріберілген дененің.

Дененің массалар центрі арқылы өтетін негізгі инерция осьтері деп аталады дененің негізгі орталық инерция осьтері, ал осы осьтерге қатысты инерция моменттері оның инерцияның негізгі орталық моменттері... Біртекті дененің симметрия осі әрқашан оның негізгі орталық инерция осінің бірі болып табылады.

Геометриялық инерция моменттері

Көлемнің геометриялық инерция моменті

J V a = ∫ (V) r 2 d V, (\ displaystyle J_ (Va) = \ int \ limits _ ((V)) r ^ (2) dV,)

қайда, бұрынғыдай r- элементтен қашықтық dVосіне а .

Ауданның геометриялық инерция моментіось туралы - формуламен өрнектелетін дененің геометриялық сипаттамасы:

J S a = ∫ (S) r 2 d S, (\ displaystyle J_ (Sa) = \ int \ limits _ ((S)) r ^ (2) dS,)

мұнда интеграция бетінде орындалады С, а dSосы беттің элементі болып табылады.

Өлшем J Sa- төртінші дәрежеге дейінгі ұзындық ( d i m J S a = L 4 (\ displaystyle \ mathrm (dim) J_ (Sa) = \ mathrm (L ^ (4)))), сәйкесінше, SI бірлігі 4. Құрылыс есептеулерінде, әдебиеттерде және металл бұйымдарының ассортиментінде ол жиі см 4 көрсетіледі.

Ауданның геометриялық инерция моменті арқылы қиманың кедергі моменті өрнектеледі:

W = J S a r m a x. (\ Displaystyle W = (\ frac (J_ (Sa)) (r_ (макс.))).)

Мұнда r макс- бетінен оське дейінгі максималды қашықтық.

Кейбір фигуралар ауданының геометриялық инерция моменттері
Тіктөртбұрыш биіктігі h (\ Displaystyle h)және ені b (\ дисплей стилі b):	J y = b h 3 12 (\ displaystyle J_ (y) = (\ frac (bh ^ (3)) (12))) J z = h b 3 12 (\ displaystyle J_ (z) = (\ frac (hb ^ (3)) (12)))
Сыртқы контурлар бойымен биіктігі мен ені бар төртбұрышты қорап бөлімі H (\ дисплей стилі H)және B (\ дисплей стилі B), және ішкі h (\ Displaystyle h)және b (\ дисплей стилі b)тиісінше	J z = BH 3 12 - bh 3 12 = 1 12 (BH 3 - bh 3) (\ displaystyle J_ (z) = (\ frac (BH ^ (3)) (12)) - (\ frac (bh ^ () 3)) (12)) = (\ frac (1) (12)) (BH ^ (3) -bh ^ (3))) J y = HB 3 12 - hb 3 12 = 1 12 (HB 3 - hb 3) (\ displaystyle J_ (y) = (\ frac (HB ^ (3)) (12)) - (\ frac (hb ^ () 3)) (12)) = (\ frac (1) (12)) (HB ^ (3) -hb ^ (3)))
Шеңбер диаметрі d (\ дисплей стилі d)	J y = J z = π d 4 64 (\ displaystyle J_ (y) = J_ (z) = (\ frac (\ pi d ^ (4)) (64)))

Жазықтыққа қатысты инерция моменті

Қатты дененің белгілі бір жазықтыққа қатысты инерция моменті деп дененің әрбір нүктесінің массаларының осы нүктеден қарастырылып отырған жазықтыққа дейінгі қашықтықтың квадратына көбейтіндісінің қосындысына тең скаляр шаманы айтады.

Егер ерікті нүкте арқылы O (\ дисплей стилі O)координаталық осьтерді сызыңыз x, y, z (\ displaystyle x, y, z), сосын қатысты инерция моменттері жазықтықтарды координациялау x O y (\ displaystyle xOy), y O z (\ displaystyle yOz)және z O x (\ displaystyle zOx)формулалармен өрнектеледі:

J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2, (\ displaystyle J_ (xOy) = \ sum _ (i = 1) ^ (n) m_ (i) z_ (i) ^ (2) \,) J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2, (\ displaystyle J_ (yOz) = \ қосынды _ (i = 1) ^ (n) m_ (i) x_ (i) ^ (2) \,) J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2. (\ displaystyle J_ (zOx) = \ sum _ (i = 1) ^ (n) m_ (i) y_ (i) ^ (2) \.)

Қатты дене жағдайында қосынды интегралдаумен ауыстырылады.

Орталық инерция моменті

Орталық инерция моменті (О нүктесіне қатысты инерция моменті, полюске қатысты инерция моменті, полярлық инерция моменті) J O (\ дисплей стилі J_ (O))өрнекпен анықталатын мән:

J a = ∫ (m) r 2 дм = ∫ (V) ρ r 2 d V, (\ displaystyle J_ (a) = \ int \ limits _ ((m)) r ^ (2) dm = \ int \ шектер _ ((V)) \ rho r ^ (2) дВ,)

Орталық инерция моментін инерцияның негізгі осьтік моменттерімен, сондай-ақ жазықтықтарға қатысты инерция моменттерімен көрсетуге болады:

JO = 1 2 (J x + J y + J z), (\ displaystyle J_ (O) = (\ frac (1) (2)) \ сол (J_ (x) + J_ (y) + J_ (z)) \ оң),) J O = J x O y + J y O z + J x O z. (\ Displaystyle J_ (O) = J_ (xOy) + J_ (yOz) + J_ (xOz).)

Инерция тензоры мен инерция эллипсоиды

Массалар центрі арқылы өтетін және бірлік вектормен берілген бағыты бар дененің еркін оське қатысты инерция моменті s → = ‖ s x, s y, s z ‖ T, | s → | = 1 (\ дисплей стилі (\ vec (s)) = \ солға \ Верт s_ (x), s_ (y), s_ (z) \ оңға \ Верт ^ (T), \ солға \ верт (\ vec (s)) ) \ оң \ верт = 1), квадраттық (бисызықты) форма ретінде ұсынылуы мүмкін:

I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s →, (\ displaystyle I_ (s) = (\ vec (s)) ^ (T) \ cdot (\ hat (J)) \ cdot (\ vec (s)) , \ qquad) (1)

инерция тензоры қайда. Инерция тензорының матрицасы симметриялы, өлшемдері бар 3 × 3 (\ дисплей стилі 3 \ есе 3)және орталықтан тепкіш моменттердің құрамдас бөліктерінен тұрады:

J ^ = ‖ J xx - J xy - J xz - J yx J yy - J yz - J zx - J zy J zz ‖, (\ дисплей стилі (\ қалпақ (J)) = \ сол жақта \ Верт (\ бастау (массив) ) (ccc) J_ (xx) & - J_ (xy) & - J_ (xz) \\ - J_ (yx) & J_ (yy) & - J_ (yz) \\ - J_ (zx) & - J_ (zy) ) & J_ (zz) \ end (массив)) \ оң \ Шың,) J xy = J yx, J xz = J zx, J zy = J yz, (\ displaystyle J_ (xy) = J_ (yx), \ quad J_ (xz) = J_ (zx), \ quad J_ (zy) = J_ (yz), \ төрттік)J x x = ∫ (m) (y 2 + z 2) d m, J y y = ∫ (m) (x 2 + z 2) d m, J z z = ∫ (m) (x 2 + y 2) d m. (\ Displaystyle J_ (xx) = \ int \ limits _ ((m)) (y ^ (2) + z ^ (2)) dm, \ quad J_ (yy) = \ int \ limits _ ((m)) (x ^ (2) + z ^ (2)) дм, \ квад J_ (zz) = \ int \ шектеулер _ ((m)) (x ^ (2) + y ^ (2)) дм.)

Сәйкес координаталар жүйесін таңдау арқылы инерция тензорының матрицасын диагональды түрге келтіруге болады. Ол үшін тензорлық матрица үшін меншікті мән есебін шешу керек J ^ (\ дисплей стилі (\ қалпақ (J))):

J ^ d = Q ^ T ⋅ J ^ ⋅ Q ^, (\ дисплей стилі (\ қалпақ (J)) _ (d) = (\ қалпақ (Q)) ^ (T) \ cdot (\ қалпақ (J)) \ cdot (\ қалпақ (Q)),) J ^ d = ‖ JX 0 0 0 JY 0 0 0 JZ ‖, (\ дисплей стилі (\ қалпақ (J)) _ (d) = \ сол жақ \ Верт (\ бастау (массив) (ccc) J_ (X) & 0 & 0 \ \ 0 & J_ (Y) & 0 \\ 0 & 0 & J_ (Z) \ соңы (массив)) \ оңға \ Верт,)

қайда Q ^ (\ дисплей стилі (\ қалпақ (Q)))инерция тензорының тиісті негізіне өтудің ортогональды матрицасы болып табылады. Өз негізінде координаталық осьтер инерция тензорының негізгі осьтері бойымен бағытталған, сонымен қатар инерция тензоры эллипсоидының негізгі жартылай осьтерімен сәйкес келеді. Мөлшері J X, J Y, J Z (\ Displaystyle J_ (X), J_ (Y), J_ (Z))- инерцияның негізгі моменттері. (1) өрнектің өзіндік координаталар жүйесінде мынадай түрі бар:

I s = JX ⋅ sx 2 + JY ⋅ sy 2 + JZ ⋅ sz 2, (\ displaystyle I_ (s) = J_ (X) \ cdot s_ (x) ^ (2) + J_ (Y) \ cdot s_ (y) ) ^ (2) + J_ (Z) \ cdot s_ (z) ^ (2),)

осыдан меншікті координаталардағы эллипсоид теңдеуі алынады. Теңдеудің екі жағын да бөлу I s (\ displaystyle I_ (s))

(sx I с) 2 ⋅ JX + (sy I s) 2 ⋅ JY + (sz I s) 2 ⋅ JZ = 1 (\ displaystyle \ left ((s_ (x) \ over (\ sqrt (I_ (s))) )) \ оң) ^ (2) \ cdot J_ (X) + \ сол жақ ((s_ (y) \ астам (\ sqrt (I_ (s)))) \ оң) ^ (2) \ cdot J_ (Y) + \ солға ((s_ (z) \ астам (\ sqrt (I_ (s)))) \ оң) ^ (2) \ cdot J_ (Z) = 1)

және ауыстырулар жасау:

ξ = sx I s, η = sy I s, ζ = sz I s, (\ displaystyle \ xi = (s_ (x) \ үстінде (\ sqrt (I_ (s))), \ eta = (s_ (y) ) \ over (\ sqrt (I_ (s))))), \ zeta = (s_ (z) \ over (\ sqrt (I_ (s)))),))

координаталардағы эллипсоидтық теңдеудің канондық түрін аламыз ξ η ζ (\ displaystyle \ xi \ eta \ zeta):

ξ 2 ⋅ JX + η 2 ⋅ JY + ζ 2 ⋅ JZ = 1. (\ displaystyle \ xi ^ (2) \ cdot J_ (X) + \ eta ^ (2) \ cdot J_ (Y) + \ zeta ^ ( 2) \ cdot J_ (Z) = 1.)

Эллипсоид центрінен оның кейбір нүктелеріне дейінгі қашықтық эллипсоид центрі арқылы өтетін түзу бойындағы дененің инерция моментінің мәніне және осы нүктеге байланысты:

r 2 = ξ 2 + η 2 + ζ 2 = (s x I s) 2 + (s y I s) 2 + (s z I s) 2 = 1 I с. (\ displaystyle r ^ (2) = \ xi ^ (2) + \ eta ^ (2) + \ zeta ^ (2) = \ солға ((s_ (x) \ астам (\ sqrt (I_ (s))) ) \ оң) ^ (2) + \ сол жақ ((s_ (y) \ үстінде (\ sqrt (I_ (s)))) \ оң) ^ (2) + \ сол жақ ((s_ (z) \ үстінде (\ sqrt (I_ (s)))) \ оң) ^ (2) = (1 \ астам I_ (s)).)

Екі координат осіне қатысты центрден тепкіш инерция моменті дененің әрбір нүктесінің массаларының сәйкес осьтер бойындағы координаталар бойынша көбейтінділерінің қосындысы деп аталады.

Егер денеде симметрия осі болса, онда дененің центрден тепкіш инерция моменті нөлге тең және у, х осьтері негізгі болып табылады.

17. Параллель осьтерге қатысты моменттерді есептеу туралы Гюйгенс-Штайнер теоремасы.

Қатты дененің массалар центрі арқылы өтпейтін оське қатысты инерция моменті массалар центрі арқылы өтетін және берілгенге параллель центр осіне қатысты инерция моменттерінің қосындысына және дененің көбейтіндісіне тең. осьтер арасындағы қашықтықтың квадратымен массасы.

JC - дененің массалар центрі арқылы өтетін оське қатысты белгілі инерция моменті,

J - параллель оське қатысты қажетті инерция моменті,

м - дене салмағы,

d – көрсетілген осьтер арасындағы қашықтық.

18. Біртекті денелердің инерция моменттерін есептеу: жұқа пластина, жіңішке сырық, сақина, цилиндр, конус.

Жіңішке таяқша: Жұқа цилиндр:

Жұқа табақ: Конус:

Жіңішке сақина: Доп:

Ерікті осьтерге қатысты инерция моменттерін есептеу.

Координат осьтері мен көмір компоненттері арқылы өтетін кез келген оське қатысты инерция моментін табуға мүмкіндік береді

Осы осьтермен осьтердің осьтік және центрифугалық инерция моменттерінің мәндері арқылы.

Инерция эллипсоиды. Инерцияның орталық осьтері. Инерция моменттерінің экстремалды қасиеттері.

Эллипсоидтың центрі координат басында орналасқан.

Эллипсоидтың 3 симметрия осі бас инерция осі, бас осьтерге қатысты инерция моменттері бас инерция моменттері деп аталады.

Егер координат осьтері ретінде бас инерция осьтерін алсақ, онда осы осьтерге қатысты центрден тепкіш инерция моменттері нөлге тең болады.

ИНЕРЦИЯ ЭЛЛИПСОИДАСЫ – қозғалмайтын О нүктесі арқылы өтетін осьтер шоғына қатысты дененің инерция моменттерінің таралуын сипаттайтын бет. геом сияқты. OK = 1 / кесінділерінің ұштарының орны О нүктесінен Ол бойымен салынған, мұндағы Ol - О нүктесі арқылы өтетін кез келген ось; Il – дененің осы оське қатысты инерция моменті (сурет). Орталық E. және. О нүктесімен сәйкес келеді және оның еркін сызылған координаталық осьтердегі теңдеуі Oxyz түрінде болады.

мұнда Ix, Iy, Iz - осьтік, ал Ixу, Iyz, Lzx - көрсетілген координат осьтеріне қатысты дененің центрден тепкіш инерция моменттері. Өз кезегінде, білу Е. және. О нүктесі үшін осы нүкте арқылы өтетін кез келген Оl осіне қатысты инерция моментін Il = 1 / R2 теңдігінен R = OK арақашықтықты тиісті бірліктерде өлшеу арқылы табуға болады.

ТЕК БӨЛІМДЕРДІҢ ГЕОМЕТРИКАЛЫҚ СИПАТТАМАЛАРЫ.

Тәжірибе көрсеткендей, штанганың әртүрлі деформацияларға төзімділігі тек көлденең қиманың өлшемдеріне ғана емес, сонымен қатар пішінге де байланысты.

Көлденең қиманың өлшемдері мен пішіні әртүрлі геометриялық сипаттамалармен сипатталады: көлденең қиманың ауданы, статикалық моменттері, инерция моменттері, қарсылық моменттері және т.б.

1. Ауданның статикалық моменті(бірінші дәрежелі инерция моменті).

Статикалық инерция моментікез келген оське қатысты аудан – бүкіл ауданға таралған осы оське дейінгі қашықтық бойынша элементар аудандардың көбейтінділерінің қосындысы (1-сурет)

1-сурет

Ауданның статикалық моментінің қасиеттері:

1. Ауданның статикалық моменті үшінші дәрежелі ұзындық бірліктерімен өлшенеді (мысалы, см 3).

2. Статикалық момент нөлден кіші, нөлден үлкен, демек нөлге тең болуы мүмкін. Статикалық момент нөлге тең осьтер қиманың ауырлық центрі арқылы өтеді және орталық осьтер деп аталады.

Егер x cжәне y c- ауырлық центрінің координаталары, онда

3. Кез келген оське қатысты күрделі қиманың статикалық инерция моменті құраушы жай қималардың бір оське қатысты статикалық моменттерінің қосындысына тең.

Күш туралы ғылымда инерцияның статикалық моменті ұғымы қималардың ауырлық центрінің орнын анықтау үшін қолданылады, дегенмен симметриялы қималарда ауырлық центрі симметрия осьтерінің қиылысында болатынын есте ұстаған жөн.

2. Жазық қималардың инерция моменті (фигуралар) (екінші дәрежелі инерция моменттері).

а) осьтік(экваторлық) инерция моменті.

Осьтік инерция моментіфигураның кез келген оське қатысты ауданы - бүкіл аудан бойынша осы таралу осіне дейінгі қашықтықтың квадратына қарапайым аудандардың көбейтіндісінің қосындысы (1-сурет)

Инерцияның осьтік моменті қасиеттері.

1. Ауданның осьтік инерция моменті төртінші дәреженің ұзындық бірліктерімен өлшенеді (мысалы, см 4).

2. Осьтік инерция моменті әрқашан нөлден үлкен.

3. Кез келген оське қатысты күрделі қиманың осьтік инерция моменті бір оське қатысты жай қималардың құрамдас бөліктерінің осьтік моменттерінің қосындысына тең:

4. Осьтік инерция моментінің шамасы белгілі бір қимадағы сырықтың (жолақтың) иілуге ​​қарсы тұру қабілетін сипаттайды.

б) Полярлық инерция моменті.

Полярлық инерция моментіфигураның кез келген полюске қатысты ауданы - бүкіл аумаққа таралған полюске дейінгі қашықтықтың квадратына элементар аудандардың көбейтіндісінің қосындысы (1-сурет).

Полярлық инерция моменті қасиеттері:

1. Ауданның полярлық инерция моменті төртінші дәреженің ұзындық бірліктерімен өлшенеді (мысалы, см 4).

2. Полярлық инерция моменті әрқашан нөлден үлкен болады.

3. Кез келген полюске (центрге) қатысты күрделі қиманың полярлық инерция моменті осы полюске қатысты құраушы қарапайым қималардың полярлық моменттерінің қосындысына тең.

4. Қиманың полярлық инерция моменті осы қиманың полюс арқылы өтетін өзара перпендикуляр екі оське қатысты осьтік инерция моменттерінің қосындысына тең.

5. Полярлық инерция моментінің шамасы көлденең қиманың белгілі бір пішініндегі сырықтың (жолақтың) бұралуға қарсы тұру қабілетін сипаттайды.

в) Центрифугалық инерция моменті.

Кез келген координаталық жүйеге қатысты фигураның ауданының инерциясының ОРТАЛЫҚ МОМЕНТІ - координаттар бойынша элементар аймақтардың көбейтіндісі, бүкіл ауданға таралған (1 -сурет).

Инерцияның центрифугалық моменті:

1. Ауданның центрден тепкіш инерция моменті төртінші дәрежелі ұзындық бірліктерімен өлшенеді (мысалы, см 4).

2. Центрден тепкіш инерция моменті нөлден үлкен, нөлден кіші және нөлге тең болуы мүмкін. Центрден тепкіш инерция моменті нөлге тең болатын осьтер негізгі инерция осьтері деп аталады. Ең болмағанда біреуі симметрия осі болатын өзара перпендикуляр екі ось бас осьтер болады. Ауданның ауырлық центрінен өтетін негізгі осьтер бас орталық осьтер, ал ауданның осьтік инерция моменттері бас орталық инерция моменттері деп аталады.

3. Кез келген координаталар жүйесіндегі күрделі қиманың центрден тепкіш инерция моменті сол координаталар жүйесіндегі құраушы фигуралардың центрден тепкіш инерция моменттерінің қосындысына тең.

ПАРАЛЛЬДІК БАҚТАРҒА ҚАТЫСТЫ ИНЕРТИЯ МОМЕНТТЕРІ.

2-сурет

Берілген: осьтер x, y- орталық;

анау. орталыққа параллель оське қатысты кесіндідегі осьтік инерция моменті оның орталық осіне қатысты осьтік моментке плюс аудан мен осьтер арасындағы қашықтықтың квадратының көбейтіндісіне тең. Бұдан шығатыны, центрлік оське қатысты қиманың осьтік инерция моменті параллель осьтер жүйесінде минималды мәнге ие болады.

Центрден тепкіш инерция моменті үшін ұқсас есептеулер жүргізе отырып, біз мынаны аламыз:

J x1y1 = J xy + Aab

анау. параллель осьтерге қатысты қиманың центрден тепкіш инерция моменті орталық жүйекоординаталар орталық координаттар жүйесіндегі центрден тепкіш моментке және ауданның осі мен осьтер арасындағы қашықтыққа тең.

АЙНАЛҒАН КООРДИНАТ ЖҮЙЕСІНДЕГІ ИНЕРЦИЯ МӘМЕНТТЕРІ

анау. қиманың осьтік инерция моменттерінің қосындысы тұрақты шама болып табылады, координаталық осьтердің айналу бұрышына тәуелді емес және басына қатысты инерцияның полярлық моментіне тең. Центрден тепкіш инерция моменті оның мәнін өзгерте алады және «0» -ге айналады.

Орталықтан тепкіш момент нөлге тең болатын осьтер инерцияның негізгі осьтері болады, ал егер олар ауырлық центрі арқылы өтетін болса, онда олар бас инерция осьтері деп аталады және белгіленеді. сіз «және» «.

Негізгі орталық осьтерге қатысты инерция моменттері бас орталық инерция моменттері деп аталады және олармен белгіленеді. , ал инерцияның негізгі орталық моменттері экстремалды мәндерге ие, яғни. бірі «мин», екіншісі «макс».

«a 0» бұрышы негізгі осьтердің орнын сипаттайтын болсын, онда:

осы тәуелділікке сәйкес негізгі осьтердің орнын анықтаймыз. Кейбір түрлендірулерден кейінгі негізгі инерция моменттерінің шамасы келесі тәуелділікпен анықталады:

ИНТЕРТИЯНЫҢ ОКСИАЛЬДЫҚ МОМЕНТТЕРІН, ПОЛЯРЛЫҚ ИНЕРТИЯЛЫҚ МҰНТТАРДЫ ЖӘНЕ ЖАЙҚЫ ФИГУРАЛАРҒА ҚАРСЫЛЫҚ МОМЕНТТЕРІН АНЫҚТАУ МЫСАЛДАРЫ.

1. Тік бұрышты кесінді

Осьтер xжәне y — мұнда және басқа мысалдарда — инерцияның бас орталық осьтері.

Қарсылықтың осьтік моменттерін анықтайық:

2. Дөңгелек тұтас кесінді. Инерция моменттері.

Сізде О нүктесі мен ОХ осьтері бар координаттар жүйесі бар делік; OY; OZ. Осы осьтерге қатысты центрден тепкіш инерция моменттері (инерция туындылары) теңдіктермен анықталатын шамалар деп аталады:

бұқара қайда материалдық нүктелерденесі сынған; - сәйкес материалдық нүктелердің координаталары.

Центрден тепкіш инерция моменті симметрия қасиетіне ие, бұл оның анықтамасынан шығады:

Дененің орталықтан тепкіш моменттері оң және теріс болуы мүмкін; OXYZ осьтерінің белгілі бір таңдауымен олар жойылып кетуі мүмкін.

Центрден тепкіш инерция моменттері үшін Стейнберг теоремасының аналогы бар. Егер екі координат жүйесін қарастырсақ: және. Осы жүйелердің бірінің басы дене массаларының орталығында (С нүктесі) болады, координаталық жүйелердің осьтері жұптық параллель (). Координаталар жүйесінде дене массасының центрінің координаттары () болсын, онда:

дене салмағы қайда.

Дененің негізгі инерция осьтері

Біртекті дененің симметрия осі болсын. ОЖ осі дененің симметрия осі бойымен бағытталған етіп координаталар осьтерін тұрғызайық. Сонда, симметрияның салдары ретінде дененің массасы мен координаталары бар әрбір нүктесі индексі басқа, бірақ массасы мен координаталары бірдей нүктеге сәйкес келеді:. Нәтижесінде біз мынаны аламыз:

өйткені бұл қосындыларда барлық мүшелердің шамасы бойынша өздеріне тең, бірақ таңбалары қарама-қарсы жұп болады. Өрнектер (4) жазуға тең:

Біз мұны алдық осьтік симметрия OZ осіне қатысты массаның таралуы екі центрден тепкіш инерция моментінің (5) нөлге теңдігімен сипатталады, олардың индекстерінің арасында осы остің атауы бар. Бұл жағдайда OZ осі О нүктесі үшін дененің бас инерция осі деп аталады.

Инерцияның негізгі осі әрқашан дененің симметрия осі бола бермейді. Егер денеде симметрия жазықтығы болса, онда осы жазықтыққа перпендикуляр кез келген ось осі жазықтықпен қиылысатын О нүктесі үшін инерцияның негізгі осі болып табылады. (5) теңдіктер OZ осі О нүктесі (бастапқы) үшін дененің негізгі инерция осі болатын жағдайларды көрсетеді. Егер шарттар орындалса:

онда OY осі О нүктесі үшін негізгі инерция осі болады.

Теңдіктер дұрыс болған жағдайда:

онда OXYZ координаталар жүйесінің барлық үш координат осі координаталар басы үшін дененің бас инерция осі болып табылады.

Дененің бас инерция осьтеріне қатысты инерция моменттері дененің бас инерция моменттері деп аталады. Дененің масса центрі үшін салынған бас инерция осьтері дененің бас орталық инерция осі деп аталады.

Егер денеде симметрия осі болса, онда ол дененің инерциясының негізгі орталық осьтерінің бірі болып табылады, өйткені массаның орталығы осы осьте орналасқан. Егер денеде симметрия жазықтығы болса, онда осы жазықтыққа нормаль және дененің масса центрі арқылы өтетін ось дененің негізгі орталық инерция осінің бірі болып табылады.

Қатты дене динамикасындағы инерцияның бас осьтері туралы түсінік өте маңызды. Егер олардың бойымен OXYZ координаталық осьтер бағытталған болса, онда барлық центрден тепкіш инерция моменттері нөлге тең болады және динамика есептерін шешуде қолданылатын формулалар айтарлықтай жеңілдетілген. Негізгі инерция осьтері туралы түсінік айналу кезіндегі дененің динамикалық теңдеуі және әсер ету центрі туралы есептерді шешумен байланысты.

Халықаралық бірліктер жүйесінде дененің инерция моменті (және де центрден тепкіш) мына түрде өлшенеді:

Секцияның центрден тепкіш инерция моменті

Екі өзара қалыпты осьтерге (OX және OY) қатысты қиманың (жазық фигура) центрден тепкіш инерция моменті мынаған тең шама деп аталады:

(8) өрнекте кесіндінің өзара перпендикуляр осьтерге қатысты центрден тепкіш инерция моменті элементар аудандардың () олардан қарастырылып отырған осьтерге дейінгі арақашықтыққа, бүкіл S ауданындағы көбейтінділерінің қосындысы екенін айтады.

СИ-де қиманың инерция моменттерінің өлшем бірлігі:

Кез келген екі өзара қалыпты оське қатысты күрделі қиманың центрден тепкіш инерция моменті оның құрамдас бөліктерінің осы осьтерге қатысты центрден тепкіш инерция моменттерінің қосындысына тең.

Мәселені шешудің мысалдары

МЫСАЛ 1

Жаттығу	Тік бұрышты қиманың осьтерге (Х, У) қатысты центрден тепкіш инерция моменті үшін өрнекті алыңыз.
Шешім	Сурет салайық. Центрден тепкіш инерция моментін анықтау үшін бар тіктөртбұрыштан оның ауданының элементін таңдаңыз (1-сурет), оның ауданы мынаған тең: Есепті шешудің бірінші кезеңінде біз биіктігі мен ені бар тік жолақтың центрден тепкіш инерция моментін табамыз, ол Y осінен қашықтықта орналасқан (барлық тораптар үшін біріктіру кезінде ескереміз) таңдалған тік жолақта мән тұрақты):