Комплекс сандардың геометриялық көрінісі және тригонометриялық түрі. Сан түзуіндегі нақты сандардың кескіні. Интервалдар Нақты сандар Нақты сандардың геометриялық көрінісі
Жүйенің экспрессивті геометриялық бейнесі рационал сандартөмендегідей алуға болады.
Белгілі бір түзу сызықта, «сандық ось» біз сегментті O-дан 1-ге дейін белгілейміз (8-сурет). Бұл, жалпы айтқанда, ерікті түрде таңдалуы мүмкін бірлік сегментінің ұзындығын белгілейді. Оң және теріс бүтін сандар сан осінде бірдей аралықтағы нүктелер жиынымен көрсетіледі, атап айтқанда оң сандар 0 нүктесінің оң жағында, ал теріс сандар сол жағында белгіленеді. n бөлгіші бар сандарды бейнелеу үшін әрқайсысын бөліңіз. нәтиже бірлік ұзындығы n кесінділері тең бөліктер; Бөлу нүктелері бөлгіші n болатын бөлшектерді көрсетеді. Егер мұны барлық натурал сандарға сәйкес келетін n мәндері үшін жасасақ, онда әрбір рационал сан сан осіндегі қандай да бір нүкте арқылы бейнеленеді. Біз бұл нүктелерді «рационалды» деп атауға келісеміз; Жалпы, біз синонимдер ретінде «рационал сан» және «рационал нүкте» терминдерін қолданамыз.
I тарауда, § 1, кез келген рационал нүктелер жұбы үшін А теңсіздік қатынасы анықталған, онда қарастырылып отырған нүктелер үшін осы геометриялық тәртіпті сақтайтындай арифметикалық теңсіздік қатынасын жалпылауға тырысу заңды. Бұл келесі анықтаманы қабылдасақ мүмкін болады: олар А рационал саны дейді Аздаурационал B санынан (A A (B>A) санынан үлкен), егер айырмашылығы VAоң. Бұл білдіреді (А A және B арасындағылар - екеуі де >A және сегмент (немесе сегмент) және [A, B] арқылы белгіленеді (және тек аралық нүктелер жиыны интервал(немесе арасында), белгіленеді (A, B)).
Оң сан ретінде қарастырылатын еркін А нүктесінің 0 басынан қашықтығы деп аталады абсолютті мән A және белгісімен белгіленеді
«Абсолюттік шама» түсінігі келесідей анықталады: егер А≥0 болса, онда |А| = A; егер А
|A + B|≤|A| + |B|,
бұл А және В белгілеріне қарамастан дұрыс.
Түпнұсқалық маңызы бар факт келесі сөйлеммен өрнектеледі: рационал нүктелер сан түзуінің барлық жерінде тығыз орналасқан. Бұл тұжырымның мағынасы: әрбір интервал қанша аз болса да, рационал нүктелерден тұрады. Берілген мәлімдеменің дұрыстығын тексеру үшін интервал берілген интервалдан (А, В) аз болатындай үлкен n санын алу жеткілікті; онда көру нүктелерінің кем дегенде біреуі осы аралық ішінде болады. Сонымен, сандар түзуінде рационал нүктелер болмайтын мұндай интервал жоқ (тіпті елестететін ең кішісі де). Бұл келесі нәтижеге әкеледі: әрбір интервалда рационал нүктелердің шексіз жиынтығы бар. Шынында да, егер белгілі бір интервалда рационал нүктелердің шектеулі саны ғана болса, онда көршілес екі осындай нүктелер құрайтын интервалдың ішінде енді рационал нүктелер болмас еді және бұл жаңа ғана дәлелденген нәрсеге қайшы келеді.
«Жиын», «элемент», «элементтің жиынға жататындығы» ұғымдары математиканың бастапқы ұғымдары болып табылады. Бір топ- кез келген объектілердің кез келген жиынтығы (жиынтығы). .
A - В жиынының ішкі жиыны,егер А жиынының әрбір элементі В жиынының элементі болса, яғни. AÌB Û (ХОА Þ ХОВ).
Екі жиын тең, егер олар бірдей элементтерден тұрса. Біз жиынтық-теориялық теңдік туралы айтып отырмыз (сандар арасындағы теңдікпен шатастырмау керек): A=B Û AÌB Ù VA.
Екі жиынтық бірлестігіжиындардың кем дегенде біреуіне жататын элементтерден тұрады, яғни. ХОАÈВ Û ХОАÚ ХОВ.
ҚиылысуА жиынына да, В жиынына да бір мезгілде тиесілі барлық элементтерден тұрады: хОАХВ Û хОА Ù хОВ.
АйырмашылықВ-ға жатпайтын А-ның барлық элементтерінен тұрады, яғни. xО A\B Û xОА ÙхПВ.
Декарттық өнім A және B жиындарының C=A´B барлық мүмкін жұптардың жиыны ( x,y), мұндағы бірінші элемент Xәрбір жұпта А және оның екінші элементі бар сағВ тиесілі.
Декарттық көбейтіндінің F ішкі жиыны A'B деп аталады A жиынын B орнатуға салыстыру , шарт орындалса: (" X OA)($! жұп ( x.y)ÎF). Сонымен бірге олар былай деп жазады: А В.
«Дисплей» және «функция» терминдері синоним болып табылады. Егер ("хОА)($! уУВ): ( x,y)ОF, содан кейін элемент сағÎ INшақырды жол X F көрсеткенде және оны келесідей жазыңыз: сағ=F( X). Элемент Xсонымен бірге прототипі (мүмкін бір) элементтер y.
қарастырайық рационал сандар жиыны Q - барлық бүтін сандар жиыны және барлық бөлшектер жиыны (оң және теріс). Әрбір рационал санды үлес ретінде көрсетуге болады, мысалы, 1 =4/3=8/6=12/9=…. Мұндай көріністер өте көп, бірақ олардың біреуі ғана қысқартылмайтын .
IN кез келген рационал сан болуы мүмкін жалғыз жол p/q бөлшек түрінде көрсетіңіз, мұнда pÎZ, qÎN, p, q сандары қос жай.
Q жиынының қасиеттері:
1. Арифметикалық амалдардағы тұйықтық.Рационал сандарды қосудың, алудың, көбейтудің, натурал дәрежесіне көтерудің, бөлудің (0-ге бөлуден басқа) нәтижесі рационал сан болады: ; ; 
.
2. реттілік: (" x, yÎQ, x¹y)®( x
Сонымен қатар: 1) a>b, b>c Þ a>c; 2)а -б.
3. Тығыздығы. Кез келген екі рационал санның арасында x, yүшінші рационал сан бар (мысалы, c= ):
("x, yÎQ, x<ж)($cÎQ) : ( X
Q жиынында 4 арифметикалық амалды орындауға, сызықтық теңдеулер жүйесін, бірақ түрдегі квадрат теңдеулерді шешуге болады. x 2 =a, aÎ N әрқашан Q жиынында шешілмейді.
Теорема.Нөмір жоқ xÎQ, оның квадраты 2.
g Осындай бөлшек болсын X=p/q, мұндағы p және q сандары қос жай және X 2 =2. Сонда (p/q) 2 =2. Демек,
(1) оң жағы 2-ге бөлінеді, яғни p 2 жұп сан. Осылайша p=2n (n-бүтін). Сонда q тақ сан болуы керек.
(1) дегенге оралсақ, бізде 4n 2 =2q 2 болады. Сондықтан q 2 =2n 2. Сол сияқты, біз q 2-ге бөлінетініне көз жеткіземіз, яғни. q – жұп сан. Теорема қайшылық арқылы дәлелденеді.n
рационал сандардың геометриялық көрінісі. 1, 2, 3... есе координаталар басынан бірлік кесіндіні оңға қою арқылы координаталық түзуде натурал сандарға сәйкес нүктелерді аламыз. Солға ұқсас жылжу арқылы теріс бүтін сандарға сәйкес нүктелерді аламыз. Алайық 1/q(q= 2,3,4 … ) бірлік сегменттің бөлігі және біз оны координаттың екі жағына қоямыз Рбір рет. Пішіннің сандарына сәйкес сызықтың нүктелерін аламыз ±p/q (pОZ, qОN).Егер p, q салыстырмалы жай сандардың барлық жұптары арқылы өтетін болса, онда түзуде бөлшек сандарға сәйкес барлық нүктелер болады. Осылайша, Қабылданған әдіс бойынша әрбір рационал сан координаталық түзудің бір нүктесіне сәйкес келеді.
Әрбір нүкте үшін бір рационал санды көрсетуге бола ма? Жол толығымен рационал сандармен толтырылған ба?
Координаталық түзуде ешқандай рационал сандарға сәйкес келмейтін нүктелер бар екен. Бірлік кесіндіге тең қабырғалы тікбұрышты үшбұрыш саламыз. N нүктесі рационал санға сәйкес келмейді, өйткені егер ON=x- ұтымды болса x 2 = 2, ол мүмкін емес.
Түзуде N нүктесіне ұқсас шексіз көп нүктелер бар. Кесіндінің рационал бөліктерін алайық x=ON,анау. X. Егер біз оларды оңға жылжытсақ, онда бұл кесінділердің кез келген ұшына ешқандай рационал сан сәйкес келмейді. Кесіндінің ұзындығы рационал санмен өрнектеледі деп есептейміз x=, біз мұны аламыз x=- рационалды. Бұл жоғарыда дәлелденген нәрсеге қайшы келеді.
Белгілі бір рационал санды координаталық түзудің әрбір нүктесімен байланыстыру үшін рационал сандар жеткіліксіз.
Салайық нақты сандар жиыны R арқылы шексіз ондық бөлшектер.
«Бұрышты» бөлу алгоритмі бойынша кез келген рационал санды ақырлы немесе шексіз периодты ондық бөлшек түрінде беруге болады. p/q бөлігінің бөлгішінде 2 және 5-тен басқа жай көбейткіштер болмаған кезде, яғни. q=2 m ×5 k , сонда нәтиже соңғы болады ондық p/q=a 0 ,a 1 a 2 …a n . Басқа бөлшектерде тек шексіз ондық кеңейтулер болуы мүмкін.
Шексіз периодты ондық бөлшекті біле отырып, оның көрінісі болатын рационал санды табуға болады. Бірақ кез келген соңғы ондық бөлшекті келесі жолдардың бірімен шексіз ондық бөлшек ретінде көрсетуге болады:
a 0 ,a 1 a 2 …a n = a 0 ,a 1 a 2 …a n 000…=a 0 ,a 1 a 2 …(a n -1)999… (2)
Мысалы, шексіз ондық бөлшек үшін X=0,(9) бізде 10 X=9,(9). 10x санынан бастапқы санды алып тастасақ, 9 шығады X=9 немесе 1=1,(0)=0,(9).
Барлық рационал сандар жиыны мен барлық шексіз периодты ондық бөлшектер жиынының арасында бір-бір сәйкестік орнатылады, егер периодта 9 саны бар шексіз ондық бөлшекті 0 санымен сәйкес шексіз ондық бөлшекпен сәйкестендірсек. (2) ережеге сәйкес кезең.
Периодта 9 саны жоқ осындай шексіз периодты бөлшектерді қолдануға келістік. Егер периодта 9 саны бар шексіз периодты ондық бөлшек пайымдау процесінде пайда болса, онда біз оны периодтағы нөлмен шексіз ондық бөлшекпен ауыстырамыз, яғни. 1999 орнына... 2000 аламыз...
Иррационал санның анықтамасы.Шексіз ондық периодты бөлшектерден басқа периодты емес ондық бөлшектер бар. Мысалы, 0,1010010001... немесе 27,1234567891011... (натурал сандар ондық бөлшектен кейін дәйекті түрде шығады).
±a 0, a 1 a 2 …a n … (3) түріндегі шексіз ондық бөлшекті қарастырайық.
Бұл бөлшек «+» немесе «–» таңбасын, теріс емес бүтін a 0 санын және ондық таңбалар тізбегін a 1 , a 2 ,…, a n ,… көрсету арқылы анықталады (ондық бөлшектердің жиыны он саннан тұрады : 0, 1, 2,…, 9).
(3) пішіннің кез келген бөлігін шақырайық. нақты (нақты) сан.Бөлшек (3) алдында «+» таңбасы болса, ол әдетте түсіріліп, 0 , a 1 a 2 …a n … (4) жазылады.
Біз форманың нөміріне қоңырау шаламыз (4) теріс емес нақты сан,және a 0 , a 1 , a 2 , …, a n сандарының кем дегенде біреуі нөлден өзгеше болған жағдайда, – оң нақты сан. Егер (3) өрнекте «-» таңбасы алынса, бұл теріс сан.
Рационал және жиындарының одағы иррационал сандарнақты сандар жиынын құрайды (QÈJ=R). Егер шексіз ондық бөлшек (3) периодты болса, онда ол рационал сан, ал бөлшек периодты емес болса, иррационал болады.
Екі теріс емес нақты сан a=a 0 ,a 1 a 2 …a n …, b=b 0 ,b 1 b 2 …b n ….шақырды тең(олар жазады a=b), Егер a n = b nсағ n=0,1,2… a саны b санынан кіші(олар жазады а<б), егер де а 0 немесе a 0 =b 0және мұндай сан бар м,Не a k =b k (k=0,1,2,…m-1),А а м , яғни. а Û (0 Ú ($mÎN: a k =b k (k= ), a m ). тұжырымдамасы « А>б».
Ерікті нақты сандарды салыстыру үшін біз «түсінігін енгіземіз. а санының модулі» . Нақты санның модулі a=±a 0 , a 1 a 2 …a n …мұндай теріс емес нақты сан шақырылады, бірдей шексіз ондық бөлшекпен көрсетіледі, бірақ «+» белгісімен алынады, яғни. ½ А½= a 0 , a 1 a 2 …a n …және ½ А½³0. Егер A -теріс емес, бтеріс сан, онда қарастырыңыз a>b. Егер екі сан да теріс болса ( а<0, b<0 ), онда біз мынаны аламыз: 1) a=b, егер ½ А½ = ½ б½; 2) А , егер ½ А½ > ½ б½.
R жиынының қасиеттері:
I. Тәртіптің қасиеттері:
1. Нақты сандардың әрбір жұбы үшін АЖәне ббір ғана қатынас бар: a=b, a
2. Егер а
3. Егер а , онда с саны бар, ондай а< с .
II. Қосу және азайту амалдарының қасиеттері:
4. a+b=b+a(коммутативтілік).
5. (a+b)+c=a+(b+c) (ассоциативтілік).
6. a+0=a.
7. a+(-a)= 0.
8. бастап а Þ a+c
III. Көбейту және бөлу амалдарының қасиеттері:
9. a×b=b×a .
10. (a×b)×c=a×(b×c).
11. a×1=a.
12. а×(1/а)=1 (а¹0).
13. (a+b)×c = ac + bc(тарату қабілеті).
14. егер а және c>0, содан кейін а×с
IV. Архимед қасиеті("cÎR)($nÎN) : (n>c).
cÎR саны қандай болса да, n>c болатындай nÎN бар.
В. Нақты сандардың үздіксіздік қасиеті.Екі бос емес жиын AÌR және BÌR кез келген элемент болатындай болсын АОА енді болмайды ( а£ б) кез келген bОB элементінің. Содан кейін Дедекиндтің үздіксіздік принципібарлығы үшін болатындай c санының бар екенін бекітеді АОА және bОB келесі шартты орындайды: а£c£ б:
(«AÌR, BÌR):(» аÎA, bÎB ® а£b)($cÎR): (" аÎA, bÎB® а£c£b).
Сан түзуіндегі нүктелер жиынымен R жиынын анықтаймыз, және нақты сандароларды нүкте деп атаңыз.
Күрделі сандар
Негізгі ұғымдар
Сан туралы алғашқы деректер тас ғасыры – палеомелит дәуіріне жатады. Бұл «бір», «аз» және «көп». Олар ойықтар, түйіндер және т.б. түрінде жазылған. Еңбек процестерінің дамуы және меншіктің пайда болуы адамды сандар мен олардың атауларын ойлап табуға мәжбүр етті. Алдымен натурал сандар пайда болды Н, заттарды санау арқылы алынған. Содан кейін адамдар санау қажеттілігімен қатар ұзындықтарды, аудандарды, көлемдерді, уақытты және басқа шамаларды өлшеу қажеттілігіне ие болды, мұнда олар қолданылатын өлшем бөліктерін есепке алу керек болды. Бөлшектер осылай пайда болды. Бөлшек және теріс сандар ұғымдарын формальды негіздеу 19 ғасырда жүзеге асырылды. Бүтін сандар жиыны З– бұл натурал сандар, минус таңбасы бар натурал сандар және нөл. Тұтас және бөлшек сандаррационал сандар жиынын құрады Q,бірақ үздіксіз өзгеретін айнымалыларды зерттеу үшін де жеткіліксіз болып шықты. Жаратылыс тағы да математиканың жетілмегендігін көрсетті: форманың теңдеуін шешудің мүмкін еместігі. X 2 = 3, сондықтан иррационал сандар пайда болды I.Рационал сандар жиынының бірігуі Qжәне иррационал сандар I– нақты (немесе нақты) сандар жиыны Р. Нәтижесінде сандар сызығы толтырылды: әрбір нақты сан ондағы нүктеге сәйкес болды. Бірақ көбінде Ртүрдегі теңдеуді шешудің жолы жоқ X 2 = – А 2. Демек, сан ұғымын кеңейту қажеттілігі қайтадан туындады. 1545 жылы күрделі сандар осылай пайда болды. Оларды жасаушы Дж.Кардано оларды «таза теріс» деп атады. «Қиял» атауын 1637 жылы француз Р.Декарт енгізді, 1777 жылы Эйлер француз санының бірінші әрпін қолдануды ұсынды. менелестету бірлігін белгілеу. Бұл таңба К.Гаусстың арқасында жалпы қолданысқа енді.
17-18 ғасырларда қиялдардың арифметикалық табиғаты мен олардың геометриялық түсіндірмесі туралы талқылау жалғасты. Даттық Г.Вессель, француз Ж.Арган және неміс К.Гаусс өз бетінше күрделі санды нүкте ретінде көрсетуді ұсынды. координаталық жазықтық. Кейінірек санды нүктенің өзімен емес, басынан бастап осы нүктеге баратын вектормен көрсету одан да ыңғайлы екені белгілі болды.
Тек 18 ғасырдың аяғы - 19 ғасырдың басында күрделі сандар өзінің лайықты орнын алды. математикалық талдау. Олардың алғашқы қолданылуы теорияда дифференциалдық теңдеулержәне гидродинамика теориясында.
Анықтама 1.Күрделі сантүрінің өрнегі деп аталады, мұндағы xЖәне жнақты сандар және мен– елестету бірлік, .
Екі күрделі сан және теңегер және тек егер,.
Егер болса, онда нөмір шақырылады таза ойдан шығарылған; егер , онда сан нақты сан болса, бұл жиынды білдіреді Р МЕН, Қайда МЕН- бір топ күрделі сандар.
Конъюгаткүрделі санды күрделі сан деп атайды.
Комплекс сандардың геометриялық кескіні.
Кез келген күрделі санды нүктемен көрсетуге болады М(x, ж) жазықтық Окси.Нақты сандар жұбы радиус векторының координаталарын да белгілейді 
, яғни. жазықтықтағы векторлар жиыны мен күрделі сандар жиыны арасында бір-бірден сәйкестік орнатуға болады: .
Анықтама 2.Нақты бөлігі X.
Белгіленуі: x= Re z(латынның Realis тілінен).
Анықтама 3.Қиял бөлігікүрделі сан – нақты сан ж.
Белгіленуі: ж= Им z(латын тілінен Imaginarius).
Re zосіне орналастырылады ( О)мен zосіне орналастырылады ( О), онда комплекс санға сәйкес вектор нүктенің радиус векторы болады М(x, ж), (немесе М(Re zмен z)) (Cурет 1).
Анықтама 4.Нүктелері күрделі сандар жиынымен байланысқан жазықтық деп аталады күрделі жазықтық. Абсцисса осі деп аталады нақты ось, өйткені ол нақты сандарды қамтиды. у осі деп аталады қиял осі, ол таза ойдан шығарылған күрделі сандарды қамтиды. Күрделі сандар жиыны белгіленеді МЕН.
Анықтама 5.Модулькүрделі сан z = (x, ж) векторының ұзындығы деп аталады: , яғни. 
.
Анықтама 6.Аргументкомплекстік сан – осьтің оң бағыты арасындағы бұрыш ( О) және векторы: 
.
§1.1. Нақты сандар
Нақты сандармен алғашқы танысу жылы болады мектеп курсыматематика. Әрбір нақты сан ақырлы немесе шексіз ондық бөлшекпен беріледі.
Нақты сандар екі класқа бөлінеді: рационал сандар класы және иррационал сандар класы. Рационалды, мұндағы пішіні бар сандар мЖәне n- бүтіндер өзара жай сандар, Бірақ 
. (Рационал сандар жиыны әріппен белгіленеді Q). Қалған нақты сандар шақырылады қисынсыз. Рационал сандар ақырлы немесе шексіз периодты бөлшекпен беріледі (бірдей жай бөлшектер), онда шексіз периодты емес бөлшектермен ұсынылатын нақты сандар иррационал болады.
Мысалы, сан 
- ұтымды және 
, 
, 
және т.б. - иррационал сандар.
Нақты сандарды алгебралық сандарға – рационал коэффициенттері бар көпмүшенің түбірлеріне де бөлуге болады (оларға, атап айтқанда, барлық рационал сандар – теңдеудің түбірлері жатады) 
) – және трансценденттіктерге – қалғандарының барлығы (мысалы, сандар 
және басқалар).
Барлық натурал, бүтін және нақты сандар жиындары сәйкесінше келесідей белгіленеді: НЗ, Р
(Naturel, Zahl, Reel сөздерінің бас әріптері).
§1.2. Сан түзуіндегі нақты сандардың кескіні. Интервалдар
Геометриялық түрде (анық болу үшін) нақты сандар шексіз (екі бағытта) түзу сызықтағы нүктелер арқылы көрсетіледі. сандық
ось. Осы мақсатта қарастырылатын түзуде нүкте алынады (бастапқы нүкте 0), оң бағыт көрсетіледі, стрелкамен (әдетте оңға қарай) бейнеленеді және шектеусіз шетке қойылған масштаб бірлігі таңдалады. 0 нүктесінің екі жағында. Бүтін сандар осылай бейнеленген. Бір ондық таңбалы санды көрсету үшін әрбір сегментті он бөлікке бөлу керек және т.б. Осылайша, әрбір нақты сан сандар түзуіндегі нүктемен бейнеленеді. Әр нүктеге оралу 
кесіндінің ұзындығына тең нақты санға сәйкес келеді 
және нүктенің координаттың оң немесе сол жағында орналасуына байланысты «+» немесе «–» белгісімен алынады. Осылайша, барлық нақты сандар жиыны мен сан осіндегі барлық нүктелер жиыны арасында жеке сәйкестік орнатылады. «Нақты сан» және «сан осі нүктесі» терминдері ретінде пайдаланылады синонимдер.
Таңба 
Нақты санды да, оған сәйкес нүктені де белгілейміз. Оң сандар 0 нүктесінің оң жағында, терісі сол жақта орналасқан. Егер 
, содан кейін сан осінде нүкте 
нүктенің сол жағында жатыр 
. Нүкте болсын 
санына сәйкес келсе, онда сан нүктенің координатасы деп аталады, жаз 
; Көбінесе нүктенің өзі санмен бірдей әріппен белгіленеді. 0 нүктесі координаталар басы болып табылады. Ось сонымен қатар әріппен белгіленеді 
(1.1-сурет).
Күріш. 1.1. Сан осі.
Барлық өтірік сандар жиыны арасындаберілген сандар және интервал немесе аралық деп аталады; ұштары оған тиесілі болуы да, болмауы да мүмкін. Осыны нақтылап көрейік. Болсын 
. Шартты қанағаттандыратын сандар жиыны 
, таңбамен белгіленген интервал (тар мағынада) немесе ашық интервал деп аталады 
(1.2-сурет).
Күріш. 1.2. Интервал
Мұндай сандар жиынтығы 
тұйық интервал (сегмент, кесінді) деп аталады және арқылы белгіленеді 
; сан осінде ол келесідей белгіленеді:
Күріш. 1.3. Жабық интервал
Ол ашық саңылаудан тек екі нүктемен (ұштарымен) және . Бірақ бұл айырмашылық іргелі, маңызды, оны кейінірек көретініміздей, мысалы, функциялардың қасиеттерін зерттегенде.
«Барлық сандар жиыны (нүкте)» деген сөздерді алып тастау xосындай» және т.б., біз әрі қарай атап өтеміз:
Және 
, белгіленген 
Және 
жартылай ашық немесе жартылай жабық интервалдар (кейде: жартылай интервалдар);
немесе 
білдіреді: 
немесе 
және тағайындалады 
немесе 
;
немесе 
білдіреді 
немесе 
және тағайындалады 
немесе 
;
, белгіленген 
барлық нақты сандар жиыны. Белгілер 
«шексіздік» таңбалары; олар бұрыс немесе идеалды сандар деп аталады. 
§1.3. Нақты санның абсолютті мәні (немесе модулі).
Анықтама. Абсолютті мән (немесе модуль)санның өзі болса деп аталады 
немесе 
Егер 
. Абсолютті мән таңбамен көрсетіледі 
. Сонымен, 
Мысалы, 
, 
, 
.
Геометриялық тұрғыдан нүктелік қашықтықты білдіреді ашығу тегіне. Егер бізде екі және нүктесі болса, онда олардың арасындағы қашықтықты мына түрде көрсетуге болады 
(немесе 
). Мысалы, 
содан кейін қашықтық 
.
Қасиеттер абсолютті мәндер.
1. Анықтамадан былай шығады 
, 
, яғни 
.
2. Қосынды мен айырманың абсолютті мәні абсолютті мәндердің қосындысынан аспайды: 
.
1) Егер 
, Бұл 
. 2) Егер 
, Бұл. ▲
3. 
.
, содан кейін 2-қасиет бойынша: 
, яғни. 
. Сол сияқты, егер сіз елестетсеңіз 
, сонда біз теңсіздікке келеміз 
▲
4. 
– анықтамадан шығады: істерді қарастыру 
Және 
.
5. 
, бұл жағдайда 
Анықтамадан да солай.
6. Теңсіздік 
,
, білдіреді 
. Бұл теңсіздік арасында жатқан нүктелер қанағаттандырылады 
Және 
.
7. Теңсіздік 
теңсіздікке тең 
, яғни. . Бұл ұзындық нүктесінде центрленген интервал 
. деп аталады 
нүктенің маңайы (сан). Егер 
, онда маңай тесілген деп аталады: бұл немесе 
. (1.4-сурет).
8. 
осыдан теңсіздік шығады 
(
) теңсіздікке тең 
немесе 
; және теңсіздік 
үшін нүктелер жиынын анықтайды 
, яғни. бұл сегменттен тыс жатқан нүктелер 
, дәл: 
Және 
.
§1.4. Кейбір ұғымдар мен белгілер
Жиын теориясынан, математикалық логикадан және қазіргі математиканың басқа салаларынан кейбір кеңінен қолданылатын ұғымдар мен белгілерді көрсетейік.
1 . Тұжырымдама жинақтарматематикадағы іргелілердің бірі, бастапқы, әмбебап - сондықтан оны анықтау мүмкін емес. Оны тек сипаттауға болады (синонимдермен ауыстырылады): бұл кейбір белгілермен біріктірілген кейбір заттардың, заттардың жиынтығы, жиынтығы. Бұл объектілер деп аталады элементтерікөп. Мысалдар: жағадағы көптеген құм түйірлері, Ғаламдағы жұлдыздар, сыныптағы оқушылар, теңдеудің түбірлері, кесінді нүктелері. Элементтері сандардан тұратын жиындар шақырылады сандық жиындар. Кейбір стандартты жиынтықтар үшін арнайы белгілер енгізіледі, мысалы, Н,З,R-§ 1.1 қараңыз.
Болсын А– көп және xоның элементі болса, олар былай жазады: 
; оқиды» xтиесілі А» ( 
элементтер үшін қосу белгісі). Егер объект xкірмейді А, содан кейін олар жазады 
; оқиды: « xтиесілі емес А" Мысалы, 
Н; 8,51
Н; бірақ 8.51 
Р.
Егер xжиын элементтерінің жалпы белгісі болып табылады А, содан кейін олар жазады 
. Егер барлық элементтердің белгіленуін жазу мүмкін болса, онда жазыңыз 
, 
т.б. Құрамында бір элементі жоқ жиын бос жиын деп аталады және символымен белгіленеді; мысалы, теңдеудің түбірлерінің жиыны (нақты). 
бос бар.
Жиын деп аталады финал, егер ол элементтердің соңғы санынан тұрса. Қандай натурал саны N алынса да жиында Аонда N-ден көп элементтер бар Ашақырды шексізжиын: онда шексіз көп элементтер бар.
Жиынның әрбір элементі болса ^Акөпке тиесілі Б, Бұл 
жиынның бөлігі немесе ішкі жиыны деп аталады Бжәне жазыңыз 
; оқиды» Ақұрамында қамтылған Б» ( 
жиынтықтар үшін қосу белгісі бар). Мысалы, НЗР.Егер 
, содан кейін олар жиынтықтар деп айтады АЖәне Бтең және жазады 
. Әйтпесе олар жазады 
. Мысалы, егер 
, А 
теңдеудің түбірлерінің жиыны 
, Бұл.
Екі жиынның элементтерінің жиыны АЖәне Бшақырды біріктіружинайды және белгіленеді 
(Кейде 
). және-ге жататын элементтер жиыны АЖәне Б, деп аталады қиылысыжинайды және белгіленеді 
. Жиынның барлық элементтерінің жиыны ^Ақұрамында жоқ Б, деп аталады айырмашылықжинайды және белгіленеді 
. Бұл операцияларды схемалық түрде келесідей көрсетуге болады:
Егер жиындардың элементтері арасында бір-біріне сәйкестік орнатуға болатын болса, онда олар бұл жиындарды эквивалент деп айтады және жазады. 
. Кез келген жиынтық А, жиынына тең натурал сандар Н= шақырылады есептелетіннемесе есептелетін.Басқаша айтқанда, егер оның элементтерін нөмірлеуге және шексіздікке орналастыруға болатын жиын есептелетін деп аталады кейінгі реттілік 
, барлық мүшелері әртүрлі: 
сағ 
, және ол түрінде жазылуы мүмкін. Басқа шексіз жиындар деп аталады сансыз. Жиынның өзінен басқа санауға болады N,мысалы, жиынтықтар болады 
, З.Барлық рационал және алгебралық сандардың жиындары есептелетін, ал барлық иррационал, трансцендентальды, нақты сандар мен кез келген интервалдың нүктелерінің баламалы жиындары саналмайтын болып шығады. Олар соңғысының континуумдық күшке ие екенін айтады (қуат - бұл элементтердің саны (саны) туралы түсініктің жалпылауы. шексіз сан).
2
. Екі мәлімдеме, екі факт болсын: және 
. Таңба 
білдіреді: «егер шын болса, онда шын және» немесе «мұнан кейін», «теңдеу түбірі ағылшын тілінен алынған қасиетке ие екенін білдіреді Бар- бар.
Кіру: 
, немесе 
, білдіреді: қасиеті бар (кем дегенде бір) нысан бар 
. Және жазба 
, немесе 
, білдіреді: әркімнің мүлкі бар. Атап айтқанда, біз жаза аламыз: 
Және .
Барлық түрлердің үлкен алуан түрінен жинақтардеп аталатындар ерекше қызығушылық тудырады сандар жиыны, яғни элементтері сандар болатын жиындар. Олармен ыңғайлы жұмыс істеу үшін жаза білу керек екені анық. Біз бұл мақаланы белгілеуден және сандық жиындарды жазу принциптерінен бастаймыз. Әрі қарай, координаталық түзуде сандық жиындар қалай бейнеленгенін қарастырайық.
Бетті шарлау.
Сандық жиындарды жазу
Қабылданған белгіден бастайық. Белгілі болғандай, жиындарды белгілеу үшін біз қолданамыз бас әріптерЛатын әліпбиі. сияқты сандар жиыны жеке оқиғажиындар да белгіленеді. Мысалы, A, H, W және т.б. сандар жиындары туралы айтуға болады. Олар үшін натурал, бүтін, рационал, нақты, күрделі сандар жиындары ерекше маңызға ие болды;
- N – барлық натурал сандар жиыны;
- Z – бүтін сандар жиыны;
- Q – рационал сандар жиыны;
- J – иррационал сандар жиыны;
- R – нақты сандар жиыны;
- С – күрделі сандар жиыны.
Осы жерден, мысалы, 5 және −7 екі санынан тұратын жиынды Q ретінде белгілемеу керек екені түсінікті, бұл белгілеу жаңылыс болады, өйткені Q әрпі әдетте барлық рационал сандар жиынын білдіреді. Көрсетілген сандық жиынды белгілеу үшін басқа «бейтарап» әріпті қолданған дұрыс, мысалы, А.
Белгілеу туралы сөз болғандықтан, бұл жерде бос жиынның, яғни элементтері жоқ жиынның белгіленуін де еске түсірейік. Ол ∅ белгісімен белгіленеді.
Сондай-ақ элементтің жиынға тиесілі немесе тиесілі еместігінің белгіленуін еске түсірейік. Ол үшін ∈ - тиесілі және ∉ - тиесілі емес белгілерін қолданыңыз. Мысалы, 5∈N белгісі 5 саны натурал сандар жиынына жататынын білдіреді, ал 5,7∉Z – ондық бөлшек 5,7 бүтін сандар жиынына жатпайды.
Бір жиынды екіншісіне қосу үшін қабылданған белгіні де еске түсірейік. N жиынының барлық элементтері Z жиынына кіретіні анық, осылайша N сандар жиыны Z құрамына кіреді, бұл N⊂Z деп белгіленеді. Сондай-ақ Z⊃N белгісін қолдануға болады, яғни Z барлық бүтін сандар жиынына N жиыны кіреді. Қосылмаған және қосылмаған қатынастар сәйкесінше ⊄ және таңбаларымен белгіленеді. ⊆ және ⊇ түріндегі қатаң емес қосу белгілері де қолданылады, сәйкесінше енгізілген немесе сәйкес келетін және кіретін немесе сәйкес келетін мағынасы бар.
Біз белгілеу туралы айттық, енді сандық жиындардың сипаттамасына көшейік. Бұл жағдайда біз тәжірибеде жиі қолданылатын негізгі жағдайларға ғана тоқталамыз.
Ақырғы және аз элементтер саны бар сандық жиындардан бастайық. Элементтердің ақырғы санынан тұратын сандық жиындарды олардың барлық элементтерін тізімдеу арқылы сипаттау ыңғайлы. Барлық сан элементтері үтірмен бөлініп жазылады және жалпыға сәйкес келеді жиындарды сипаттау ережелері. Мысалы, 0, −0,25 және 4/7 үш санынан тұратын жиынды (0, −0,25, 4/7) деп сипаттауға болады.
Кейде сандық жиынның элементтерінің саны айтарлықтай көп болса, бірақ элементтері белгілі бір заңдылыққа бағынғанда, сипаттау үшін эллипс қолданылады. Мысалы, 3-тен 99-ға дейінгі барлық тақ сандар жиынын (3, 5, 7, ..., 99) түрінде жазуға болады.
Сонымен, біз элементтерінің саны шексіз болатын сандық жиындардың сипаттамасына оңай жақындадық. Кейде оларды бірдей эллипстердің көмегімен сипаттауға болады. Мысалы, барлық натурал сандар жиынын сипаттайық: N=(1, 2. 3, …) .
Сондай-ақ олар сандық жиындардың сипаттамасын оның элементтерінің қасиеттерін көрсету арқылы пайдаланады. Бұл жағдайда (x| қасиеттері) белгісі қолданылады. Мысалы, белгілеу (n| 8·n+3, n∈N) 8-ге бөлгенде 3 қалдығын қалдыратын натурал сандар жиынын көрсетеді. Дәл осы жиынды (11,19, 27, ...) деп сипаттауға болады.
Ерекше жағдайларда элементтерінің шексіз саны бар сандық жиындар белгілі N, Z, R және т.б. немесе сан аралықтары. Негізінде сандық жиындар ретінде көрсетіледі Одақолардың құрамдас жеке сандық интервалдары және элементтерінің шектеулі саны бар сандық жиындар (бұл туралы біз жоғарыда айттық).
Мысал көрсетейік. Сандар жиыны −10, −9, −8,56, 0 сандарынан, [−5, −1,3] кесіндінің барлық сандарынан және ашық сандар жолының (7, +∞) сандарынан құралсын. Жиындар бірлестігінің анықтамасына байланысты көрсетілген сандық жиынды былай жазуға болады {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Бұл белгілеу шын мәнінде жиындардың барлық элементтерін (−10, −9, −8,56, 0), [−5, −1,3] және (7, +∞) қамтитын жиынды білдіреді.
Сол сияқты әртүрлі сан интервалдары мен жеке сандар жиынын біріктіру арқылы кез келген сандар жиынын (нақты сандардан тұратын) сипаттауға болады. Бұл жерде интервал, жартылай интервал, кесінді, ашық сияқты сандық интервал түрлерінің неліктен екені түсінікті болады сандық сәулежәне сандық сәуле: олардың барлығы жеке сандар жиындарының белгілеулерімен қосылып, олардың бірігуі арқылы кез келген сандық жиындарды сипаттауға мүмкіндік береді.
Сандар жиынын жазғанда оны құрайтын сандар мен сандық интервалдар өсу ретімен реттелгенін ескеріңіз. Бұл қажет емес, бірақ қалаған шарт, өйткені реттелген сандық жиынды координаталық түзуде елестету және бейнелеу оңайырақ. Сондай-ақ, мұндай жазбаларда сандық интервалдар пайдаланылмайтынын ескеріңіз ортақ элементтер, өйткені мұндай жазбаларды жалпы элементтері жоқ сандық интервалдарды біріктіру арқылы ауыстыруға болады. Мысалы, [−10, 0] және (−5, 3) ортақ элементтері бар сандық жиындардың бірігуі жартылай интервал [−10, 3) болып табылады. Бұл бірдей шекаралық сандармен сандық интервалдардың бірігуіне де қатысты, мысалы, (3, 5]∪(5, 7] жиыны (3, 7] ) , біз бұған үйрену кезінде бөлек тоқталамыз. сандық жиындардың қиылысуын және бірігуін табыңыз
Координаталық түзуде сандар жиынын бейнелеу
Тәжірибеде сандық жиындардың геометриялық кескіндерін - олардың кескіндерін пайдалану ыңғайлы. Мысалы, қашан теңсіздіктерді шешу, онда ODZ ескеру қажет, олардың қиылысуын және/немесе бірігуін табу үшін сандық жиындарды бейнелеу қажет. Сондықтан координаталық түзуде сандық жиындарды бейнелеудің барлық нюанстарын жақсы түсіну пайдалы болады.
Координаталық түзудің нүктелері мен нақты сандар арасында бір-бірден сәйкестік болатыны белгілі, бұл координаталық түзудің өзі барлық R нақты сандар жиынының геометриялық моделі екенін білдіреді. Осылайша, барлық нақты сандар жиынын бейнелеу үшін оның бүкіл ұзындығы бойынша көлеңкеленген координаталық сызықты салу керек:
Көбінесе олар бастапқы және бірлік сегментін көрсетпейді: 
Енді жеке сандардың белгілі бір шекті санын бейнелейтін сандық жиындардың бейнесіне тоқталайық. Мысалы, сандар жиынын (−2, −0,5, 1,2) бейнелейік. Бұл жиынның −2, −0,5 және 1,2 үш санынан тұратын геометриялық бейнесі сәйкес координаталары бар координаталық түзудің үш нүктесі болады: 
Әдетте практикалық мақсаттар үшін сызбаны дәл орындаудың қажеті жоқ екенін ескеріңіз. Көбінесе схемалық сызба жеткілікті, бұл масштабты сақтаудың қажеті жоқ екенін білдіреді және тек сақтау маңызды. өзара реттеубір-біріне қатысты нүктелер: координатасы кіші кез келген нүкте координатасы үлкенірек нүктенің сол жағында болуы керек. Алдыңғы сызба схемалық түрде келесідей болады: 
Сандық жиындардың барлық түрлерінен бөлек, олардың геометриялық кескіндерін көрсететін сандық интервалдар (интервалдар, жартылай интервалдар, сәулелер және т.б.) бөлінеді, біз оларды бөлімде егжей-тегжейлі қарастырдық; Біз бұл жерде өзімізді қайталамаймыз.
Ал бірнеше сандық интервалдар мен жеке сандардан тұратын жиындардың бірігуі болып табылатын сандық жиындардың бейнесіне тоқталу ғана қалады. Мұнда күрделі ештеңе жоқ: бұл жағдайларда одақтың мағынасына сәйкес координаталық түзуде берілген сандық жиынның жиынының барлық құрамдастарын бейнелеу қажет. Мысал ретінде сандар жиынының суретін көрсетейік (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪
(лог 2 5, 5)∪(17, +∞) : 
Бір немесе бірнеше нүктелерді қоспағанда, бейнеленген сандық жиынтық нақты сандар жиынын білдіретін жиі кездесетін жағдайларға тоқталайық. Мұндай жиындар көбінесе x≠5 немесе x≠−1, x≠2, x≠3,7 және т.б. сияқты шарттармен белгіленеді. Бұл жағдайларда геометриялық түрде олар сәйкес нүктелерді қоспағанда, бүкіл координаталық сызықты көрсетеді. Басқаша айтқанда, бұл нүктелерді координаталық түзуден «алып тастау» керек. Олар ортасы бос шеңберлер түрінде бейнеленген. Түсінікті болу үшін шарттарға сәйкес келетін сандық жиынды көрсетейік 
(бұл жиын негізінен бар): 
Қорытындылау. Ең дұрысы, алдыңғы абзацтардағы ақпарат жеке сандық интервалдардың көрінісі сияқты сандық жиындарды жазу мен бейнелеудің бірдей көрінісін қалыптастыруы керек: сандық жиынды жазу координаталық түзуде оның бейнесін дереу беруі керек, ал келесі суреттен координаталық түзу жеке интервалдар мен жеке сандардан тұратын жиындардың бірігуі арқылы сәйкес сандық жиынды оңай сипаттауға дайын болуымыз керек.
Әдебиеттер тізімі.
- Алгебра:оқулық 8 сыныпқа арналған. жалпы білім беру мекемелер / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; өңдеген С.А.Теляковский. - 16-шы басылым. – М.: Білім, 2008. – 271 б. : науқас. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А.Г.Алгебра. 9 сынып. 14.00 1-бөлім. Оқушыларға арналған оқулық оқу орындары/ А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. - 13-ші басылым, өшірілген. - М.: Мнемосине, 2011. - 222 б.: сырқат. ISBN 978-5-346-01752-3.