Одной из базовых геометрических фигур является треугольник. Он образуется при пересечении трех отрезков прямых. Данные отрезки прямых формируют стороны фигуры, а точки их пересечения называются вершинами. Каждый школьник, изучающий курс геометрии, обязан уметь находить периметр этой фигуры. Полученное умение будет полезным для многих и во взрослой жизни, к примеру, пригодится студенту, инженеру, строителю,

Существуют разные способы найти периметр треугольника. Выбор необходимой для вас формулы зависит от имеющихся исходных данных. Чтобы записать данную величину в математической терминологии используют специальное обозначение – Р. Рассмотрим, что такое периметр, основные способы его расчета для треугольных фигур разных видов.

Самым простым способом найти периметр фигуры, если есть данные всех сторон. В этом случае используется следующая формула:

Буквой «P» обозначается сама величина периметра. В свою очередь «a», «b» и «c» – это длины сторон.

Зная размер трех величин, достаточно будет получить их сумму, которая и является периметром.

Альтернативный вариант

В математических задачах все данные длины редко бывают известны. В таких случаях рекомендуется воспользоваться альтернативным способом поиска нужной величины. Когда в условиях указана длина двух прямых, а также угол, находящийся между ними, расчет производится через поиск третьей. Для поиска этого числа необходимо добыть квадратный корень по формуле:

.

Периметр по двум сторонам

Для расчета периметра не обязательно знать все данные геометрической фигуры. Рассмотрим способы расчета по двум сторонам.

Равнобедренный треугольник

Равнобедренным называется такой треугольник, не меньше двух сторон которого имеют одинаковую длину. Они называются боковыми, а третья сторона – основанием. Равные прямые образовывают вершинный угол. Особенностью в равнобедренном треугольникеявляется наличие одной оси симметрии. Ось – вертикальная линия, выходящая из вершинного угла и заканчивающаяся посредине основания. По своей сути ось симметрии включает в себя такие понятия:

• биссектриса вершинного угла;
• медиана к основанию;
• высота треугольника;
• срединный перпендикуляр.

Чтобы определить периметр равнобедренного вида треугольной фигуры, воспользуйтесь формулой.

В данном случае вам необходимо знать только две величины: основание и длину одной стороны. Обозначение «2а» подразумевает умножение длины боковой стороны на 2. К полученной цифре нужно добавить величину основания – «b».

В исключительном случае, когда длина основания равнобедренного треугольника равна его боковой прямой, можно воспользоваться более простым способом. Он выражается в следующей формуле:

Для получения результата достаточно умножить это число на три. Эта формула используется для того, чтобы найти периметр правильного треугольника.

Полезное видео: задачи на периметр труегольника

Треугольник прямоугольный

Главным отличием прямоугольного треугольника от других геометрических фигур этой категории является наличие угла 90°. По этому признаку и определяется вид фигуры. Прежде, чем определить, как найти периметр прямоугольного треугольника, стоит заметить, что данная величина для любой плоской геометрической фигуры составляет сумму всех сторон. Так и в этом случае самый простой способ узнать результат – суммировать три величины.

В научной терминологии те стороны, которые прилегают к прямому углу, имеют название «катеты», а противоположная к углу 90º – гипотенуза. Особенности этой фигуры исследовались еще древнегреческим ученым Пифагором. Согласно с теоремой Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

.

На основании данной теоремы выведена еще одна формула, объясняющая, как найти периметр треугольника по двум известным сторонам. Рассчитать периметр при указанной длине катетов можно, используя следующий способ.

.

Чтобы узнать периметр, имея информацию о размере одного катета и гипотенузы, нужно определить длину второй гипотенузы. С этой целью используют такие формулы:

.

Также периметр описанного вида фигуры определяется и без данных о размерах катетов.

Вам потребуется знать длину гипотенузы, а также угол, прилегающий к ней. Зная длину одного из катетов, если имеется угол, прилегающий к нему, периметр фигуры рассчитывают по формуле:

.

Как найти периметр треугольника? Таким вопросом задавался каждый из нас, учась в школе. Попробуем вспомнить все, что мы знаем об этой удивительной фигуре, а также ответить на заданный вопрос.

Ответ на вопрос о том, как найти периметр треугольника, обычно является довольно-таки простым - требуется всего-лишь выполнить процедуру сложения длин всех его сторон. Однако есть ещё несколько простых методов искомой величины.

Советы

В том случае, если радиус (r) окружности, которая вписана в треугольник, и его площадь (S) известны, то ответить на вопрос о том, как найти периметр треугольника, довольно просто. Для этого вам необходимо воспользоваться обычной формулой:

Если известны два угла, допустим, α и β, которые прилегают к стороне, и сама длина стороны, то периметр можно найти с помощью весьма и весьма популярной формулы, которая имеет вид:

sinβ∙а/(sin(180° - β - α)) + sinα∙а/(sin(180° - β - α)) + а

Если вы знаете длины смежных сторон и угол β, находящийся между ними, то для того, чтобы найти периметр, требуется воспользоваться теоремой косинусов. Периметр вычисляется по формуле:

P = b + a + √(b2 + a2 - 2∙b∙а∙cosβ),

где b2 и а2 являются квадратами длин смежных сторон. Подкоренное выражение - это длина третьей стороны, которая неизвестна, выраженная посредством теоремы косинусов.

Если вы не знаете, как найти периметр равнобедренного треугольника, то здесь, на самом деле, нет ничего сложного. Вычислите его по формуле:

где b - основание треугольника, а - его боковые стороны.

Для нахождения периметра правильного треугольника следует воспользоваться простейшей формулой:

где а - длина стороны.

Как найти периметр треугольника, если известны только радиусы окружностей, которые описаны около него или вписаны в него? Если треугольник является равносторонним, то тогда следует применить формулу:

P = 3R√3 = 6r√3,

где R и r являются радиусами описанной и вписанной окружности соответственно.

Если треугольник является равнобедренным, то для него применима формула:

P=2R (sinβ + 2sinα),

где α - это угол, который лежит у основания, а β - угол, который противолежит основанию.

Зачастую для решения математических задач требуется глубочайший анализ и специфическое умение находить и выводить требуемые формулы, а это, как многим известно, довольно непростая работа. Хотя некоторые задачи можно решить всего лишь с помощью одной-единственной формулы.

Давайте рассмотрим формулы, которые являются базовыми для ответа на вопрос о том, как найти периметр треугольника, по отношению к самым разнообразным типам треугольников.

Безусловно, главное правило для нахождения периметра треугольника - это данное утверждение: для нахождения периметра треугольника требуется сложить длины всех его сторон по соответствующей формуле:

где b, a и с - это длины сторон треугольника, а Р - периметр треугольника.

Есть несколько частных случаев данной формулы. Допустим, ваша задача формулируется следующим образом: «как найти периметр прямоугольного треугольника?» В таком случае вам следует воспользоваться следующей формулой:

P = b + a + √(b2 + a2)

В этой формуле b и а являются непосредственными длинами катетов прямоугольного треугольника. Несложно догадаться, что вместо стороны с (гипотенузы) используется выражение, полученное по теореме великого ученного древности - Пифагора.

Если требуется решить задачу, где треугольники являются подобными, то логично было бы воспользоваться данным утверждением: отношение периметров соответствует коэффициенту подобия. Допустим, у вас есть два подобных треугольника - ΔABC и ΔA1B1C1. Тогда для нахождения коэффициента подобия необходимо разделить периметр ΔABC на периметр ΔA1B1C1.

В заключение можно отметить, что периметр треугольника можно найти при помощи самых различных методик, в зависимости от тех исходных данных, которые у вас имеются. Необходимо добавить, что существуют некоторые частные случаи для прямоугольных треугольников.

Любого треугольника равен сумме длин трёх его сторон. Общая формула для нахождения периметра треугольников:

P = a + b + c

где P - это периметр треугольника, a , b и c - его стороны.

Можно найти сложив последовательно длины его сторон или умножив длину боковой стороны на 2 и прибавив к произведению длину основания. Общая формула для нахождения периметра равнобедренных треугольников будет выглядеть так:

P = 2a + b

где P - это периметр равнобедренного треугольника, a - любая из боковых сторон, b - основание.

Можно найти сложив последовательно длины его сторон или умножив длину любой его стороны на 3. Общая формула для нахождения периметра равносторонних треугольников будет выглядеть так:

P = 3a

где P - это периметр равностороннего треугольника, a - любая из его сторон.

Площадь

Для измерения площади треугольника можно сравнить его с параллелограммом . Рассмотрим треугольник ABC :

Если взять равный ему треугольник и приставить его так, чтобы получился параллелограмм, то получится параллелограмм с той же высотой и основанием, что и у данного треугольника:

В данном случае общая сторона сложенных вместе треугольников является диагональю образованного параллелограмма. Из свойства параллелограммов известно, что диагональ всегда делит параллелограмм на два равных треугольника, значит площадь каждого треугольника равна половине площади параллелограмма.

Так как площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, то площадь треугольника будет равна половине этого произведения. Значит для ΔABC площадь будет равна

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник:

Два равных прямоугольных треугольника можно сложить в прямоугольник, если прислонить их друг к другу гипотенузой. Так как площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон, то площадь данного треугольника равна:

Из это можно сделать вывод, что площадь любого прямоугольного треугольника равна произведению катетов, разделённому на 2.

Из данных примеров можно сделать вывод, что площадь любого треугольника равна произведению длин основания и высоты, опущенной на основание, разделённому на 2 . Общая формула для нахождения площади треугольников будет выглядеть так:

где S - это площадь треугольника, a - его основание, h a - высота, опущенная на основание a .

P=a+b+c Как найти периметр треугольника: Всем известно, что периметр найти проще простого – надо всего лишь сложить все три стороны треугольника. Однако существует несколько других способов, с помощью которых можно найти сумму длин сторон треугольника. 1 шаг При известных радиусе вписанной в треугольник окружности и его площади найти периметр по формуле P=2S/r. 2 шаг Если ты знаешь два угла, например, α и β, прилежащих к стороне, и длину этой стороны, то для нахождения периметра используй формулу а+sinα∙а/(sin(180°-α-β)) + sinβ∙а/(sin(180°-α-β)). 3 шаг Если в условии указаны смежные стороны и угол β между ними, при нахождении периметра учитывай теорему косинусов. Тогда P=a+b+√(a^2+b^2-2∙a∙b∙cosβ), где a^2 и b^2 – квадраты длин смежных сторон. Выражение под корнем – длина третьей неизвестной стороны, выраженная через теорему косинусов. 4шаг Для равнобедренного треугольника формула периметра принимает вид P=2a+b, где а – боковые стороны, а b – его основание. 5 шаг Периметр правильного треугольника рассчитай по формуле P=3a. 6 шаг Найди периметр с помощью радиусов вписанных в треугольник или описанных около него окружностей. Так, для равностороннего треугольника помни и используй формулу P=6r√3=3R√3, где r – радиус вписанной окружности, а R – радиус описанной окружности. 7 шаг Для равнобедренного треугольника примени формулу P=2R(2sinα+sinβ), в которой α – угол при основании, а β – угол, противолежащий основанию.

Определение треугольника

Треугольник - это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, последовательно соединенных между собой.

Треугольник имеет три стороны и три угла.

Существует множество видов треугольников, и все они обладают разными свойствами. Перечислим основные виды треугольников:

1. Разносторонний (все стороны разной длины);
2. Равнобедренный (две стороны равны, два угла при основании равны);
3. Равносторонний (все стороны и все углы равны).

Однако для всех видов треугольников действует одна универсальная формула нахождения периметра треугольника – это сумма длин всех сторон треугольника.

Онлайн-калькулятор

Формула периметра треугольника

P = a + b + c P = a + b + c P = a + b + c

A , b , c a, b, c a , b , c - длины сторон треугольника.

Разберем задачи на нахождение периметра треугольника.

Треугольник имеет стороны: a = 28 см, b = 46 см, c = 51 см. Чему равен периметр треугольника?

Решение
Воспользуемся формулой нахождения периметра треугольника и подставим вместо a a a , b b b и c c c их численные значения:
P = a + b + c P = a + b + c P = a + b + c
P = 28 + 46 + 51 = 125 см P = 28 + 46 + 51 = 125\text{ см} P = 2 8 + 4 6 + 5 1 = 1 2 5 см

Ответ:
P = 125 см. P = 125 \text{ см.} P = 1 2 5 см .

Треугольник является равносторонним со стороной 23 см. Чему равен периметр треугольника?

Решение

P = a + b + c P = a + b + c P = a + b + c

Но по условию у нас равносторонний треугольник, то есть все стороны у него равны. В этом случае формула примет следующий вид:

P = a + a + a = 3 a P = a + a + a = 3a P = a + a + a = 3 a

Подставляем в формулу численное значение и находим периметр треугольника:

P = 3 ⋅ 23 = 69 см P = 3\cdot23 = 69\text{ см} P = 3 ⋅ 2 3 = 6 9 см

Ответ
P = 69 см. P = 69 \text{ см.} P = 6 9 см .

В равнобедренном треугольнике боковая сторона b равна 14 см, а основание a – 9 см. Найти периметр треугольника.

Решение
Воспользуемся формулой нахождения периметра треугольника:

P = a + b + c P = a + b + c P = a + b + c

Но по условию у нас равнобедренный треугольник, то есть боковые стороны у него равны. В этом случае формула примет следующий вид:

P = a + b + b = 2 b + a P = a + b + b = 2b + a P = a + b + b = 2 b + a

Подставляем в формулу численные значения и находим периметр треугольника:

P = 2 ⋅ 14 + 9 = 28 + 9 = 37 см P = 2 \cdot 14 + 9 = 28 + 9 = 37 \text{ см} P = 2 ⋅ 1 4 + 9 = 2 8 + 9 = 3 7 см

Ответ
P = 37 см. P = 37\text{ см.} P = 3 7 см .