Идеа́льная жи́дкость - в гидродинамике - воображаемая несжимаемая жидкость, в которой отсутствуют вязкость и теплопроводность. Так как в ней отсутствует внутреннее трение, то нет касательных напряжений между двумя соседними слоями жидкости.

Моделью идеальной жидкости пользуются при теоретическом рассмотрении задач, в которых вязкость не является определяющим фактором и ею можно пренебречь. В частности, такая идеализация допустима во многих случаях течения, рассматриваемыхгидроаэромеханикой, и даёт хорошее описание реальных течений жидкостей и газов на достаточном удалении от омываемых твёрдых поверхностей и поверхностей раздела с неподвижной средой. Математическое описание течений идеальных жидкостей позволяет найти теоретическое решение ряда задач о движении жидкостей и газов в каналах различной формы, при истечении струй и при обтекании тел.

Закон Пуазейля представляет собой формулу для объемной скорости течения жидкости. Он был открыт экспериментально французским физиологом Пуазейлем, который исследовал течение крови в кровеносных сосудах. Закон Пуазейля часто называют главным законом гидродинамики.

Закон Пуазейля связывает объемную скорость течения жидкости с разностью давления в начале и конце трубки как движущей силой потока, вязкостью жидкости, радиусом и длиной трубки. Закон Пуазейля используют в случае, если течение жидкости ламинарное. Формула закона Пуазейля:

где Q - объемная скорость жидкости (м 3 /с), (P 1 - P 2) - различие давления через концы трубки (Па ), r - внутренний радиус трубки (м ),l - длина трубки (м ), η - вязкость жидкости (Па с ).

Закон Пуазейля показывает, что величина Q пропорциональна разнице давления P 1 - P 2 в начале и конце трубки. Если P 1 равняется P 2 , поток жидкости прекращается. Формула закона Пуазейля также показывает, что высокая вязкость жидкости приводит к снижению объемной скорости течения жидкости. Оно также показывает, что объемная скорость жидкости чрезвычайно зависима от радиуса трубки. Это подразумевает, что умеренные изменения радиуса кровеносных сосудов могут обеспечивать большие различия объемной скорости жидкости, протекающей через сосуд.

Формула закона Пуазейля упрощается и становится более универсальной при введении вспомогательной величины - гидродинамического сопротивления R , которое для цилиндрической трубки может быть определено по формуле:

Течение Пуазейля - ламинарное течение жидкости через тонкие цилиндрические трубки. Описывается законом Пуазейля.

Окончательно потери напора при ламинарном движении жидкости в трубе:

Несколько преобразовав формулу для определения потерь напора, получим формулу Пуазейля:

Закон установившегося течения в вязкой несжимаемой жидкости в тонкой цилиндрической трубке круглого сечения. Сформулирован впервые Готтфильхом Хагеном в 1839 и вскоре повторно выведен Ж.Л. Пуазейлем в 1840. Согласно закону, секундный объемный расход жидкости пропорционален перепаду давления на единицу длины трубки. Закон Пуазейля применим только при ламинарном течении и при условии, что длина трубки превышает так называемую длину начального участка необходимую для развития ламинарного течения в трубке.

Свойства течения Пуазейля:

Течение Пуазейля характеризуется параболическим распределением скорости по радиусу трубки.

В каждом поперечном сечении трубки средняя скорость вдвое меньше максимальной скорости в этом сечении.

Из формулы Пуазейля видно, что потери напора при ламинарном движении пропорциональны первой степени скорости или расхода жидкости.

Формулой Пуазейля пользуются при расчетах показателей транспортировки жидкостей и газов в трубопроводах различного назначения. Ламинарный режим работы нефте- и газопроводов является наиболее выгодным в энергетическом отношении. Так, в частности, коэффициент трения при ламинарном режиме практически не зависит от шероховатости внутренней поверхности трубы (гладкие трубы).

Гидравлическое сопротивление

в трубопроводах (a. hydraulic resistance; н. hydraulischer Widerstand; ф. resistance hydraulique; и. perdida de presion por rozamiento) - сопротивление движению жидкостей (и газов), оказываемое трубопроводом. Г. с. на участке трубопровода оценивается величиной "потерянного" давления ∆p, представляющего собой ту часть удельной энергии потока, к-рая необратимо расходуется на работу сил сопротивления. При установившемся течении жидкости (газа) в трубопроводе круглого сечения ∆p (н/м 2) определяется по формуле

где λ - коэфф. гидравлич. сопротивления трубопровода; u - ср. по сечению скорость потока, м/с; D - внутр. диаметр трубопровода, м; L - длина трубопровода, м; ρ - плотностьжидкости, кг/м 3 .
Местные Г. с. оцениваются по формуле

где ξ - коэфф. местного сопротивления.
В процессе эксплуатации магистральных трубопроводов Г. с. возрастает вследствиеотложения парафина (нефтепроводы), скоплений воды, конденсата или образования гидратов углеводородных газов (газопроводы). Для снижения Г. с. производят периодич. очистку внутр. полости трубопроводов спец. скребками или разделителями

В 1851 Джордж Стокс получил выражение для силы трения (также называемой силойлобового сопротивления), действующей на сферические объекты с очень маленькимичислами Рейнольдса (например, очень маленькие частицы) в непрерывной вязкойжидкости, решая уравнение Навье - Стокса:

· g - ускорение свободного падения (м/с²),

· ρ p - плотность частиц (кг/м³),

· ρ f - плотность жидкости (кг/м³),

· - динамическая вязкость жидкости (Па с).

Тече́ние Пуазёйля - ламинарное течение жидкости через каналы в виде прямого кругового цилиндра или слоя между параллельными плоскостями. Течение Пуазёйля - одно из самых простых точных решений уравнений Навье - Стокса . Описывается законом Пуазёйля (Хагена - Пуазёйля).

Постановка задачи

Рассматривается установившееся течение несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью в тонкой цилиндрической трубке круглого сечения под действием постоянной разности давлений . Если предположить, что течение будет ламинарным и одномерным (иметь только компоненту скорости, направленную вдоль канала), то уравнение решается аналитически, и для скорости получается параболический профиль (часто называемый профилем Пуазёйля ) - распределение скорости в зависимости от расстояния до оси канала:

texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): v\left(r\right) =\frac{p_1-p_2}{4\eta L}(R^2-r^2),

• Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): v - скорость жидкости вдоль трубопровода;
• Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): r - расстояние от оси трубопровода;
• Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): R - радиус трубопровода;
• Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): p_1-p_2 - разность давлений на входе и на выходе из трубы;
• Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \eta - вязкость жидкости;
• Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): L - длина трубы.

Такой же профиль в соответствующих обозначениях имеет скорость при течении между двумя бесконечными параллельными плоскостями. Такое течение также называют течением Пуазёйля.

Закон Пуазёйля (Гагена - Пуазёйля)

Уравнение или закон Пуазёйля (закон Хагена - Пуазёйля или закон Хагена - Пуазёйля) - закон, определяющий расход жидкости при установившемся течении вязкой несжимаемой жидкости в тонкой цилиндрической трубке круглого сечения.

Сформулирован впервые Готтхильфом Хагеном (нем. Gotthilf Hagen , иногда Гаген ) в 1839 году на основе экспериментальных данных и вскоре повторно выведен Ж. Л. Пуазёйлем (фр. J. L. Poiseuille ) в 1840 году (также на основании эксперимента). Согласно закону, секундный объёмный расход жидкости пропорционален перепаду давления на единицу длины трубки (градиенту давления в трубе) и четвёртой степени радиуса (диаметра) трубы:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): Q= \int\limits_{S} v\left(r\right) dS = 2 \pi \int\limits_0^R v\left(r\right) r dr =\frac{\pi D^4 (p_1-p_2)}{128 \eta L}=\frac{\pi R^4 (p_1-p_2)}{8 \eta L},

• Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): Q - расход жидкости в трубопроводе;
• Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): D - диаметр трубопровода;

Закон Пуазёйля работает только при ламинарном течении и при условии, что длина трубки превышает так называемую длину начального участка, необходимую для развития в трубке ламинарного течения с параболическим профилем скорости.

Свойства

• Течение Пуазёйля характеризуется параболическим распределением скорости по радиусу трубки.
• В каждом поперечном сечении трубки средняя скорость вдвое меньше максимальной скорости в этом сечении.

См. также

Напишите отзыв о статье "Течение Пуазёйля"

Литература

• Касаткин А. Г. Основные процессы и аппараты химической технологии. - М.: ГХИ, - 1961. - 831 с.

Ссылки

Отрывок, характеризующий Течение Пуазёйля

– Мы недавно... Он всё время приносит новых людей, а иногда и маленьких зверей, и потом они пропадают, а он приносит новых.
Я с ужасом посмотрела на Стеллу:
– Это самый настоящий, реальный мир, и совершенно реальная опасность!.. Это уже не та невинная красота, которую мы создавали!.. Что будем делать?
– Уходить. – Опять упорно повторила малышка.
– Мы ведь можем попробовать, правда? Да и бабушка нас не оставит, если уж будет по-настоящему опасно. Видимо пока мы ещё можем выбраться сами, если она не приходит. Ты не беспокойся, она нас не бросит.
Мне бы её уверенность!.. Хотя обычно я была далеко не из пугливых, но эта ситуация заставляла меня очень сильно нервничать, так как здесь находились не только мы, но и те, за кем мы пришли в эту жуть. А как из данного кошмара выкарабкиваться – я, к сожалению, не знала.
– Здесь нету времени, но он приходит обычно через одинаковый промежуток, примерно как были сутки на земле. – Вдруг ответил на мои мысли мальчик.
– А сегодня уже был? – явно обрадованная, спросила Стелла.
Мальчонка кивнул.
– Ну что – пошли? – она внимательно смотрела на меня и я поняла, что она просит «надеть» на них мою «защиту».
Стелла первая высунула свою рыжую головку наружу...
– Никого! – обрадовалась она. – Ух ты, какой же это ужас!..
Я, конечно, не вытерпела и полезла за ней. Там и правда был настоящий «ночной кошмар»!.. Рядом с нашим странным «местом заточения», совершенно непонятным способом, повешенные «пучками» вниз головой, висели человеческие сущности... Они были подвешены за ноги, и создавали как бы перевёрнутый букет.
Мы подошли ближе – ни один из людей не показывал признаков жизни...
– Они же полностью «откачаны»! – ужаснулась Стелла. – У них не осталось даже капельки жизненной силы!.. Всё, давайте удирать!!!
Мы понеслись, что было сил, куда-то в сторону, абсолютно не зная – куда бежим, просто подальше бы от всей этой, замораживающей кровь, жути... Даже не думая о том, что можем снова вляпаться в такую же, или же ещё худшую, жуть...
Вдруг резко потемнело. Иссиня-чёрные тучи неслись по небу, будто гонимые сильным ветром, хотя никакого ветра пока что не было. В недрах чёрных облаков полыхали ослепительные молнии, красным заревом полыхали вершины гор... Иногда набухшие тучи распарывало о злые вершины и из них водопадом лилась тёмно-бурая вода. Вся эта страшная картинка напоминала, самый жуткий из жутких, ночной кошмар....
– Папочка, родимый, мне так страшно! – тоненько взвизгивал, позабыв свою былую воинственность, мальчонка.
Вдруг одна из туч «порвалась», и из неё полыхнул ослепительно яркий свет. А в этом свете, в сверкающем коконе, приближалась фигурка очень худого юноши, с острым, как лезвие ножа, лицом. Вокруг него всё сияло и светилось, от этого света чёрные тучи «плавились», превращаясь в грязные, чёрные лоскутки.
– Вот это да! – радостно закричала Стелла. – Как же у него это получается?!.
– Ты его знаешь? – несказанно удивилась я, но Стелла отрицательно покачала головкой.
Юноша опустился рядом с нами на землю и ласково улыбнувшись спросил:
– Почему вы здесь? Это не ваше место.
– Мы знаем, мы как раз пытались выбраться на верх! – уже во всю щебетала радостная Стелла. – А ты поможешь нам вернуться наверх?.. Нам обязательно надо быстрее вернуться домой! А то нас там бабушки ждут, и вот их тоже ждут, но другие.

Ламинарное течение вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе

Анимация

Описание

Вследствие ламинарного (слоистого) характера течения вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе скорость потока некоторым образом распределена по сечению трубы (рис. 1).

Распределение скоростей у входа в трубу при ламинарном течении

Рис. 1

L1 - длина начального участка формирования постоянного профиля скоростей.

Закон Пуазейля (математическим выражением которого является формула Пуазейля ) устанавливает зависимость между объемом жидкости, протекающим через трубу в единицу времени (расходом), длиной и радиусом трубы, и перепадом давления в ней.

Пусть ось трубы совпадает с осью Oz прямоугольной декартовой системы координат. При ламинарном течении скорость v жидкости во всех точках трубы параллельна оси Oz , т.е. v x = v y = 0, v z = v . Из уравнения неразрывности

dv /dt =F - (1/ r )grad p ,

где F - напряженность поля массовых сил;

р - давление;

r - плотность жидкости,

следует, что

дv/дz = 0, т.е. v = f(x,y) .

Из уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости (Навье-Стокса) следует:

дp/дx = дp/дy= 0,

дp/дz = dp/dz = h(д 2 v/дx 2 + д 2 v/дy 2 ) = const = -(D p/l) ,

где D p - падение давления на участке трубы длиной l .

Для круглой цилиндрической трубы данное уравнение можно представить в виде

(1/r)d(r(dv/dr))/dr = - D p/ h l ,

где r = sqr(x 2 + y 2 ) - расстояние от оси трубы.

Распределение скоростей по сечению трубы является параболическим и выражается формулой:

v(r) = (D p / 4 h l) (R 2 - r 2 ) ,

где R - радиус трубы;

r - расстояние от оси до рассматриваемой точки поперечного сечения;

h - динамическая вязкость жидкости;

D p - падение давления на участке трубы длиной l .

Секундный объемный расход жидкости определяется по формуле Пуазейля :

Q c = [(p R 4 ) /8 h l] D p.

Данная формула справедлива для ламинарных потоков, условие существования которых характеризуются критическим числом Рейнольдса Re кр (Re = 2Q c /p R n , n - кинематическая вязкость). При Re = Re кр ламинарное течение переходит в турбулентное. Для гладких круглых труб Re кр » 2300.

Временные характеристики

Время инициации (log to от -1 до 1);

Время существования (log tc от -1 до 5);

Время деградации (log td от -1 до 1);

Время оптимального проявления (log tk от 0 до 2).

Диаграмма:

Технические реализации эффекта

Закон Пуазейля применяется для определения коэффициентов различных жидкостей при различных температурах посредством капиллярных вискозиметров.

Техническая реализация эффекта

Рис. 2

Обозначения:

1 - контрольный участок трубы;

2 - баллон;

3 - редуктор;

4 - регулятор давления;

5 - манометр;

6 - вентиль;

7 - расходомер.

Уравнение Пуазейля играет важную роль в физиологии нашего кровообращения.

Применение эффекта

Формулой Пуазейля пользуются при расчетах показателей транспортировки жидкостей и газов в трубопроводах различного назначения. Ламинарный режим работы нефте- и газопроводов является наиболее выгодным в энергетическом отношении. Так, в частности, коэффициент трения при ламинарном режиме практически не зависит от шероховатости внутренней поверхности трубы (гладкие трубы).

Литература

1.Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред.- М.: Наука, 1982.

2. Разработка и эксплуатация нефтяных, газовых и газоконденсатных месторождений / Под ред. Ш.К. Гиматудинова.- М.: Недра, 1988.

Ключевые слова

• вязкость
• давление
• динамическая вязкость
• гидродинамика
• жидкость вязкая
• ламинарное течение
• напор
• перепад давления
• труба
• Пуазейля закон
• Пуазейля формула
• число Рейнольдса
• число Рейнольдса критическое

Разделы естественных наук:

Оглавление

1. Постановка задачи

2. Уравнение неразрывности

4. Установившееся ламинарное течение между параллельным плоскостями

5. Течение Куэтта

6. Течение Пуазейля

7. Общий случай течения между параллельными стенками

8. Пример задачи

Постановка задачи

Ламинарные течения, некоторые из которых рассмотрены в данном курсовом проекте, встречаются в разнообразных технических задачах, в частности, в зазорах и малых полостях машин. В особенности при течении таких вязких жидкостей как масло, нефть, различные жидкости для гидропередач образуются устойчивые ламинарные течения, для описания которых надежной базой могут послужить уравнения Навье–Стокса. Течение Гартмана, подобное течению Пуазейля, применяется, к примеру, в МГД-насосах. В этом случае рассматривается плоское стационарное течение электропроводящей жидкости между двумя изолированными пластинами в поперечном магнитном поле.

Задача данного курсового проекта – рассмотрение и нахождение основных характеристик плоского стационарного ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости при параболическом распределении скоростей (течения Пуазейля).

Уравнение неразрывности

Закон сохранения массы для движущейся произвольным образом жидкости выражается уравнением неразрывности или сплошности, которое является одним из фундаментальных уравнений гидромеханики. Для его вывода проведем в жидкости фиксированную в пространстве замкнутую поверхность S, ограничивающую объем W, и выделим на ней элементарную площадкуdS.Черезn обозначим единичный вектор внешней к Sнормали. Тогда произведение сV n dSбудет представлять собой массу, вытекающую из объема Wили поступившую в него за единицу времени, в зависимости от направления скорости на площадкеdS.Так какnвнешняя нормаль, тоV п > 0 на тех площадкахdS, где жидкость вытекает из объема W, и V п < 0 на той части поверхности S, через которую она втекает в этот объем. Следовательно, интеграл представляет собой разность масс жидкости, вытекшей из объема и поступившей в него за единицу времени.

Это изменение массы можно подсчитать и иным способом. Для этого выделим элементарный объем dW. Масса жидкости в этом объеме может изменяться из-за неодинаковости притока и оттока. Секундное изменение массы в объеме dW будет равно а секундное изменение массы в объеме W выразится интегралом .

Получившиеся выражения можно приравнять, так как они дают одну и ту же величину. При этом следует учесть, что первый интеграл положителен, если через поверхность S вытекает жидкости больше, чем втекает, а второй при этом же условии – отрицателен, так как ввиду сплошности течения в рассматриваемом в рассматриваемом случае плотность уменьшается во времени .

По теореме Остроградского – Гаусса:

В векторном анализе сумма частных производных от проекций вектора по одноименным координатам называется дивергенцией или расхождением вектора. В данном случае

поэтому уравнение (1) можно переписать в виде

Так как объем Wпроизвольный, подынтегральная функция равна нулю, т.е.

(2)

Уравнение (2) является уравнением неразрывности в дифференциальной форме для произвольного движения сжимаемой жидкости. Соотношение (1) можно рассматривать как интегральную форму уравнения неразрывности.

Если будем рассматривать условие сохранения массы движущегося жидкого объема, то придем также к уравнению (2), которому в этом случае можно придать иной вид.

Поскольку с = с (x, y, z, t) и при движении жидкого объема х = х(t),

у = у (t), z =z (t), то

т. е. уравнение (2) будет иметь вид

(3)

гдеdс/dt- полная производная плотности.

Для установившегося движения сжимаемой жидкости∂с/∂t = 0 и. следовательно, из уравнения (2) получаем

Для любого движения несжимаемой жидкости с = const и, следовательно

(5)

3. Уравнение движения вязкой жидкости в форме Навье-Стокса

Уравнение движения жидкости в напряжениях:

Согласно закону Ньютона вязкостные напряжения при прямолинейном движении жидкости пропорциональны скоростям угловых деформаций. Обобщением этого факта на случай произвольного движения является гипотеза о том, что касательные напряжения, а также зависящие от ориентации площадок части нормальных напряжений пропорциональны соответствующим скоростям деформаций. Иными словами, предполагается во всех случаях движения жидкости линейная связь между вязкостными напряжениями и скоростями деформаций. При этом коэффициент пропорциональности в формулах, выражающих эту связь, должен быть динамический коэффициент вязкости м. Воспользовавшись гипотезой, что в точке жидкости (она косвенно подтверждается на практике), можно написать выражения для нормальных и касательных напряжений в вязкой жидкости:

(7)

Внося в уравнение (6) выражения (7), получим

Группируя члены со вторыми производными, деля на с и используя оператор Лапласа, запишем:

Эти уравнения называются уравнениями Навье - Стокса; их используют для описания движений вязких сжимаемых жидкостей и газов.

Уравнения движения невязких жидкостей и газов легко получить из уравнений Навье - Стокса как частный случай при м=const; для несжимаемых жидкостей следует принять с = const.

Система уравнений Навье - Стокса незамкнута, так как содержит шесть неизвестных:V x , V y , V z , р, с и м. Еще одним уравнением, связывающим эти неизвестные, является уравнение неразрывности (3).

В качестве уравнений, замыкающих систему, используют уравнения состояния среды и зависимости вязкости от параметров состояния. Во многих случаях приходится применять также другие термодинамические соотношения.

Для несжимаемой жидкости divV = 0, получим выражения, напрямую следующие из системы (8)

В векторной форме уравнение Навье-Стокса для несжимаемой жидкости примет вид:

Установившееся ламинарное течение между параллельным плоскостями

Пусть вязкая жидкость течет в канале, образованном двумя параллельными стенками, одна из которых движется в своей плоскости с постоянной скоростью (см. рисунок).

а – схема течения; б – распределение скоростей при отсутствии градиента давления (течение Куэтта); в – распределение скоростей в случае неподвижных граничных плоскостей (течение в плоском канале).

Размер канала по направлению нормали к плоскости чертежа (вдоль оси z) считаем достаточно большим, чтобы можно было не учитывать влияние стенок, параллельных плоскости хОу. Кроме того, допускаем, что движение вызвано не только перемещением одной из стенок канала, но и перепадом (или градиентом) давления по направлению оси х. Влиянием массовых сил пренебрегаем, т.к. число Фруда мало из-за малости h, а линии тока считаем прямыми, параллельными оси х.

Тогда исходные условия задачи выражаем в виде:

Из уравнения неразрывности сразу заключим, что а поскольку это будет выполнено во всех точках, то и Ввиду отсутствия движения вдоль оси z все производные по этой координате также обратятся в нуль, и уравнение Навье-Стокса в проекции на ось z можно не писать.

Тогда система уравнений движения сведется к двум уравнениям:

Первое получается из проекции уравнения Навье-Стокса на координатную ось x, а второе из этих уравнений свидетельствует, что давление зависит только от х, т.е. p(y)=p(z)=0, и так как то можно перейти от частных производных к полным:

Обозначим , проинтегрируем это уравнение дважды, получим:

Так как в соответствии с рисунком и принятыми допущениями давление зависит только от координаты x. Для отыскания постоянных интегрирования и используем граничные условия:

Таким образом закон распределения скоростей в плоском канале запишется в виде:

(10)

Течение Куэтта

Течение Куэтта – безградиентное течение В этом случае единственной причиной движения служит перемещение пластины. Течение характеризуется линейным законом распределения скоростей (рис. б).

Касательное (вязкое) напряжение будет постоянным по толщине слоя, а величина удельного расхода, т.е. расхода через живое течение S=h·1, увлекаемого движущейся пластиной, равна:

6. Течение Пуазейля

Это случай напорного течения в плоском канале с параболическим распределением скоростей (рис. в). В соответствии с уравнением (10) получим:

Максимальная скорость на оси (при y=h/2) ввиду параболического распределения скоростей:

(12)

Разделив (11) на (12), получим закон распределения скорости

Нетрудно вычислить и другие характеристики течения. Касательное напряжение

На стенках, т.е при y=0 и при y=h, принимает максимальные значения

А на оси при y=h/2 обращается в нуль. Как видно из этих формул, имеет место линейный закон распределения касательных напряжений по толщине слоя

Удельный расход жидкости определится формулой

Средняя скорость

(13)

Средняя скорость будет в полтора раза меньше максимальной.

Проинтегрировав (13) по х, в предположении, что при х=0 давление р=р 0 * , получаем искомую разность давления:

Нетрудно также вычислить интенсивность вихревой составляющей движения. Поскольку в данном случае V y =V z =0 и V x =V, то

Учитывая, что dp/dx<0, мы получи:

· при y < h/2, щ z < 0, т.е. частицы вращаются по часовой стрелке;

· при y > h/2, щ z > 0, т.е. частицы вращаются против часовой стрелки (рис. в).

Таким образом, рассматриваемый поток является завихренным во всех точках, упорядоченные вихревые линии представляют собой прямые, нормальные плоскости течения.

Общий случай течения между параллельными стенками

Для этого случая характерно

Распределение скоростей определяется уравнением (10), где градиент давления dp/dx может быть как отрицательным, так и положительным. В первом случае давление падает в направлении скорости пластины V 0 , во втором – возрастает. Наличие положительного градиента давления может вызывать возвратные течения. Уравнение (10) удобно представить в безразмерной форме

которая графически изображается семейством кривых с одним параметром

Безразмерные профили скоростей для общего случая течения между параллельными стенками.

Пример задачи

Рассмотрим течение Пуазейля применительно к МГД-генератору.

Магнитогидродинамический генератор,МГД-генератор - энергетическая установка, в которой энергия рабочего тела (жидкой или газообразной электропроводящей среды), движущегося в магнитном поле, преобразуется непосредственно в электрическую энергию. Скорость движения вязкой среды может быть как дозвуковой, так и сверхзвуковой, выберем скорость равную V max =300 м/c. Пусть длина линейного канала будет равна 10 метров . Расстояние между обкладками, в которых протекает плазма, равно 1 метр . Максимальное значение вязкости плазмы примем 3·10 -4 Па·Чс=8,3·10 -8 Па·с .

Подставляя данные в формулу для разности давлений, учитывая, что средняя скорость в полтора раза меньше максимальной, получим:

Такова потеря давления при прохождении рабочего тела через линейный канал МГД-генератора.

Список используемой литературы

1. Бекнев В.С., Панков О.М., Янсон Р.А. – М.: Машиностроение, 1973г. – 389 с.

2. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика. – М.: Машиностроение, 1978г. – 458 с.

3. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика. – М.: Машиностроение, 1987г. – 438 с.

4. http://ru-patent.info/21/20-24/2123228.html

5. http://ligis.ru/effects/science/83/index.htm

Течение в длинной трубе кругового сечения под действием разности давлений на концах трубы было изучено Гагеном в 1839 г. и Пуазейлем в 1840 г. Можно считать, что течение, как и граничные условия, имеет осевую симметрию, так что - функция только расстояния от оси трубы. Соответствующее решение Уравнения (4.2.4) таково:

При в этом решении имеется нереальная особенность (связанная с конечной силой, действующей на жидкость на единицу

длины отрезка оси), если постоянная А не равна нулю; поэтому выберем именно это значение А. Выбирая постоянную В такой, чтобы получить на границе трубы при находим

Практический интерес представляет объемный поток жидкости через любое сечение трубы, величина которого

где (модифицированные) давления в начальном и концевом сечениях отрезка трубы, имеющего длину Гаген и Пуазейль установили в экспериментах с водой, что поток зависит от первой степени перепада давления и четвертой степени радиуса трубы (половина этой степени получается вследствие зависимости площади поперечного сечения трубы от ее радиуса, а другая половина связана с увеличением скорости и для данной результирующей силы вязкости при увеличении радиуса трубы). Точность, с которой получено постоянство отношения в наблюдениях, убедительно подтверждает предположение об отсутствии скольжения частиц жидкости на стенке трубы, а также косвенно подтверждает гипотезу о линейной зависимости вязкого напряжения от скорости деформации в данных условиях.

Касательное напряжение на стенке трубы равно

так что полная сила трения в направлении течения на участке трубы длиной I равна

Такого выражения для полной силы трения на стенке трубы и следовало ожидать, так как все элементы жидкости внутри этой части трубы в данный момент времени находятся в состоянии установившегося движения под действием нормальных сил на двух концевых сечениях и силы трения на стенке трубы. Кроме того, из выражения (4.1.5) видно, что скорость диссипации механической энергии на единицу массы жидкости под влиянием вязкости определяется в данном случае выражением

Таким образом, полная скорость диссипации в жидкости, заполняющей в данный момент отрезок круговой трубы длиной I, равна

В случае, в котором среда в трубе представляет собой капельную жидкость и на обоих концах трубы действует атмосферное давление (как если бы жидкость поступала в трубу из мелкого открытого резервуара и вытекала из конца трубы), градиент давления вдоль трубы создается силой тяжести. Абсолютное давление в данном случае одно и то же на обоих ее концах и поэтому постоянно во всей жидкости, так что модифицированное давление равно а и