Квадратные неравенства. Квадратные неравенства Число е – это не просто число
Число е является важной математической константой, которая является основой натурального логарифма. Число е примерно равно 2,71828 с пределом (1 + 1/n )n при n , стремящемся к бесконечности.
Введите значение х, чтобы найти значение экспоненциальной функции ex
Для вычисления чисел с буквой E используйте калькулятор преобразования экспоненциального числа в целое число
Сообщитьоб ошибке
‘; setTimeout(function() { $(‘form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first:submit:first’).css({‘display’:’inline-block’}); $(«#boxadno»).remove(); $(‘form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first:submit:first’).click(); $(‘form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first:submit:first’).css({‘display’:’none’}); $(‘form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first:submit:first’).parent().prepend(»); }, 32000); } Вам помог этот калькулятор?
Поделитесь этим калькулятором
со своими друзьями на форуме или в сети.
Тем самым Вы поможете Нам в разработке новых калькуляторов и доработке старых.
Калькулятор алгебры Расчет
Число e является важной математической константой, лежащей в основе натурального логарифма.
0,3 при мощности x, умноженной на 3 по мощности x, одинаковы
Число е составляет приблизительно 2,71828 с пределом (1 + 1 / n) n для n, которое стремится к бесконечности.
Это число также называется числом Эйлера или числом Непера.
Экспоненциальная — экспоненциальная функция f (x) = exp (x) = ex, где e — число Эйлера.
Введите значение x, чтобы найти значение экспоненциальной функции ex
Вычисление значения экспоненциальной функции в сети.
Когда число Эйлера (e) поднимается до нуля, ответ равен 1.
Когда вы поднимаете до уровня больше одного, ответ будет больше, чем исходный. Если скорость больше нуля, но меньше 1 (например, 0,5), ответ будет больше 1, но меньше оригинала (отметка E). Когда показатель возрастает до отрицательной мощности, 1 нужно разделить на число е на заданную мощность, но со знаком «плюс».
Определения
экспонент Это экспоненциальная функция y (x) = e x, производная которой совпадает с самой функцией.
Показатель отмечен как, или.
Номер e
Основанием экспоненты является число е.
Это иррациональное число. Это примерно то же самое
е
≈ 2,718281828459045 …
Число e определяется за границей последовательности. Это, так называемый, другой исключительный предел:
.
Число e также может быть представлено в виде ряда:
.
График экспонент
На графике показан показатель степени, е
в стадии х
.
y (x) = ex
График показывает, что он монотонно возрастает экспоненциально.
формула
Основные формулы те же, что и для экспоненциальной функции с базой уровня e.
Выражение экспоненциальных функций с произвольным базисом а в смысле экспоненты:
.
также отдел "Экспоненциальная функция" >>>
Частные ценности
Пусть y (x) = e x.
5 к мощности x и равна 0
Экспоненциальные свойства
Показатель имеет свойства экспоненциальной функции с базисом степени е > первый
Поле определения, набор значений
Для x определяется показатель y (x) = e x.
Его объем:
— ∞ < x + ∞.
Его значение:
0 < Y < + ∞.
Крайности, увеличение, уменьшение
Экспонента является монотонной возрастающей функцией, поэтому она не имеет экстремумов.
Его основные свойства показаны в таблице.
Обратная функция
Обратный показатель является естественным логарифмом.
;
.
Производные показателей
производное е
в стадии х
Это е
в стадии х
:
.
Производный N-порядок:
.
Выполнение формул > > >
интеграл
также отдел "Таблица неопределенных интегралов" >>>
Комплексные номера
Операции с комплексными числами выполняются с помощью Формула Эйлера
:
,
где мнимая единица:
.
Выражения через гиперболические функции
Выражения через тригонометрические функции
Расширение степенных рядов
Когда x равно нулю?
Обычный или онлайн-калькулятор
Обычный калькулятор
Стандартный калькулятор дает вам простые операции в калькуляторе, такие как добавление, вычитание, умножение и деление.
Вы можете использовать быстрый математический калькулятор
Научный калькулятор позволяет выполнять более сложные операции, а также калькулятор, такой как синус, косинус, инверсный синус, обратный косинус, который касается, тангенс, показатель экспоненты, показатель, логарифм, интерес, а также бизнес в веб-калькуляторе памяти.
Вы можете вводить непосредственно с клавиатуры, сначала нажмите на область с помощью калькулятора.
Он выполняет простые операции с числами, а также более сложные, такие как
математический калькулятор онлайн
.
0 + 1 = 2.
Вот два калькулятора:
- Вычислить первое как обычно
- Другой вычисляет его как инженерное
Правила применяются к калькулятору, рассчитанному на сервере
Правила ввода терминов и функций
Зачем мне этот онлайн-калькулятор?
Онлайн-калькулятор — как он отличается от обычного калькулятора?
Во-первых, стандартный калькулятор не подходит для транспорта, а во-вторых — теперь интернет практически повсюду, это не означает, что есть проблемы, зайдите на наш сайт и используйте веб-калькулятор.
Онлайн-калькулятор — как он отличается от java-калькулятора, а также от других калькуляторов для операционных систем?
— снова — мобильность. Если вы находитесь на другом компьютере, вам не нужно его переустанавливать
Итак, используйте этот сайт!
Выражения могут состоять из функций (запись в алфавитном порядке):
абсолютный (x)
Абсолютное значение х
(модуль х
или | x |
) arccos (x)
Функция — аркоксин из х
arccosh (x)
Арксозин является гиперболическим из х
arcsin (x)
Отдельный сын х
arcsinh (x)
HyperX гиперболический х
arctg (x)
Функция — арктангенс из х
arctgh (x)
Арктангенс является гиперболическим х
е
е
число — около 2,7 exp (x)
Функция — показатель х
(как е
^х
) log (x)
или ln (x)
Естественный логарифм х
(Да log7 (x)
, Необходимо ввести log (x) / log (7) (или, например, для log10 (x)
= log (x) / log (10)) пи
Число «Pi», которое составляет около 3,14 sin (x)
Функция — Синус х
cos (x)
Функция — Конус от х
sinh (x)
Функция — Синус гиперболический х
cosh (x)
Функция — косинус-гиперболический х
sqrt (x)
Функция представляет собой квадратный корень из х
sqr (x)
или x ^ 2
Функция — квадрат х
tg (x)
Функция — Тангенс от х
tgh (x)
Функция — касательная гиперболическая от х
cbrt (x)
Функция представляет собой кубический корень х
почва (х)
Функция округления х
на нижней стороне (пример почвы (4.5) == 4.0) символ (x)
Функция — символ х
erf (x)
Функция ошибки (Лаплас или интеграл вероятности)
Следующие операции можно использовать в терминах:
Реальные числа введите в форму 7,5 , не 7,5 2 * x — умножение 3 / x — разделение x ^ 3 — eksponentiacija x + 7 — Кроме того, x — 6 — обратный отсчет
Скачать PDF
Показательные уравнения – это уравнения вида
x -неизвестный показатель степени,
a иb – некоторые числа.
Примеры показательного уравнения:
А уравнения:
уже не будут являться показательными.
Рассмотрим примеры решения показательных уравнений:
Пример 1.
Найдите корень уравнения:
Приведем степени к одинаковому основанию, чтобы воспользоваться свойством степени с действительным показателем
Тогда можно будет убрать основание степени и перейти к равенству показателей.
Преобразуем левую часть уравнения:
Преобразуем правую часть уравнения:
Используем свойство степени
Ответ: 4,5.
Пример 2.
Решите неравенство:
Разделим обе части уравнения на
Обратная замена:
Ответ: x=0.
Решите уравнение и найдите корни на заданном промежутке:
Приводим все слагаемые к одинаковому основанию:
Замена:
Ищем корни уравнения, путём подбора кратных свободному члену:
– подходит, т.к.
равенство выполняется.
– подходит, т.к.
Как решить? e^(x-3) = 0 е в степени х-3
равенство выполняется.
– подходит, т.к. равенство выполняется.
– не подходит, т.к. равенство не выполняется.
Обратная замена:
Число обращается в 1, если его показатель равен 0
Не подходит, т.к.
Правая часть равна 1, т.к.
Отсюда:
Решите уравнение:
Замена: , тогда
Обратная замена:
1 уравнение:
если основания чисел равны, то их показатели будут равны, то
2 уравнение:
Логарифмируем обе части по основанию 2:
Показатель степени встаёт перед выражение, т.к.
Левая часть равна 2x, т.к.
Отсюда:
Решите уравнение:
Преобразуем левую часть:
Перемножаем степени по формуле:
Упростим: по формуле:
Представим в виде :
Замена:
Переведём дробь в неправильную:
a2 -не подходит, т.к.
Обратная замена:
Приводим к общему основанию:
Если
Ответ: x=20.
Решите уравнение:
О.Д.З.
Преобразуем левую часть по формуле:
Замена:
Вычисляем корень из дискриминанта:
a2-не подходит, т.к.
а не принимает отрицательные значения
Приводим к общему основанию:
Если
Возводим в квадрат обе части:
Редакторы статьи: Гаврилина Анна Викторовна, Агеева Любовь Александровна
Вернутся к темам
Перевод большой статьи «An Intuitive Guide To Exponential Functions & e»
Число e всегда волновало меня - не как буква, а как математическая константа.
Что число е означает на самом деле?
Разные математические книги и даже моя горячо любимая Википедия описывает эту величественную константу совершенно бестолковым научным жаргоном:
Математическая константа е является основанием натурального логарифма.
Если заинтересуетесь, что такое натуральный логарифм, найдете такое определение:
Натуральный логарифм, ранее известный как гиперболический логарифм, является логарифмом с основанием е, где е – иррациональная константа, приблизительно равная 2.718281828459.
Определения, конечно, правильные.
Но понять их крайне сложно. Конечно, Википедия в этом не виновата: обычно математические пояснения сухи и формальны, составляются по всей строгости науки. Из-за этого новичкам сложно осваивать предмет (а когда-то каждый был новичком).
С меня хватит! Сегодня я делюсь своими высокоинтеллектуальными соображениями о том, что такое число е , и чем оно так круто! Отложите свои толстые, наводящие страх математические книжки в сторону!
Число е – это не просто число
Описывать е как «константу, приблизительно равную 2,71828…» - это все равно, что называть число пи «иррациональным числом, приблизительно равным 3,1415…».
Несомненно, так и есть, но суть по-прежнему ускользает от нас.
Число пи - это соотношение длины окружности к диаметру, одинаковое для всех окружностей . Это фундаментальная пропорция, свойственная всем окружностям, а следовательно, она участвует в вычислении длины окружности, площади, объема и площади поверхности для кругов, сфер, цилиндров и т.д.
Пи показывает, что все окружности связаны, не говоря уже о тригонометрических функциях, выводимых из окружностей (синус, косинус, тангенс).
Число е является базовым соотношением роста для всех непрерывно растущих процессов. Число е позволяет взять простой темп прироста (где разница видна только в конце года) и вычислить составляющие этого показателя, нормальный рост, при котором с каждой наносекундой (или даже быстрее) всё вырастает еще на немного.
Число е участвует как в системах с экспоненциальным, так и постоянным ростом: население, радиоактивный распад, подсчет процентов, и много-много других.
Даже ступенчатые системы, которые не растут равномерно, можно аппроксимировать с помощью числа е.
Также, как любое число можно рассматривать в виде «масштабированной» версии 1 (базовой единицы), любую окружность можно рассматривать в виде «масштабированной» версии единичной окружности (с радиусом 1).
Дано уравнение: е в степени х = 0. Чему равен х?
И любой коэффициент роста может быть рассмотрен в виде «масштабированной» версии е («единичного» коэффициента роста).
Так что число е – это не случайное, взятое наугад число. Число е воплощает в себе идею, что все непрерывно растущие системы являются масштабированными версиями одного и того же показателя.
Понятие экспоненциального роста
Давайте начнем с рассмотрения базовой системы, которая удваивается за определенный период времени.
Например:
- Бактерии делятся и «удваиваются» в количестве каждые 24 часа
- Мы получаем вдвое больше лапшинок, если разламываем их пополам
- Ваши деньги каждый год увеличиваются вдвое, если вы получаете 100% прибыли (везунчик!)
И выглядит это примерно так:
Деление на два или удваивание – это очень простая прогрессия. Конечно, мы можем утроить или учетверить, но удваивание более удобно для пояснения.
Математически, если у нас есть х разделений, мы получаем в 2^x раз больше добра, чем было вначале.
Если сделано только 1 разбиение, получаем в 2^1 раза больше. Если разбиений 4, у нас получится 2^4=16 частей. Общая формула выглядит так:
Другими словами, удвоение – это 100% рост.
Мы можем переписать эту формулу так:
рост = (1+100%)x
Это то же равенство, мы только разделили «2» на составные части, которыми в сущности и является это число: начальное значение (1) плюс 100%. Умно, да?
Конечно, мы можем подставить и любое другое число (50%, 25%, 200%) вместо 100% и получить формулу роста для этого нового коэффициента.
Общая формула для х периодов временного ряда будет иметь вид:
рост = (1+прирост)x
Это просто означает, что мы используем норму возврата, (1 + прирост), «х» раз подряд.
Приглядимся поближе
Наша формула предполагает, что прирост происходит дискретными шагами. Наши бактерии ждут, ждут, а потом бац!, и в последнюю минуту они удваиваются в количестве. Наша прибыль по процентам от депозита магическим образом появляется ровно через 1 год.
На основе формулы, написанной выше, прибыль растет ступенчато. Зеленые точки появляются внезапно.
Но мир не всегда таков.
Если мы увеличим картинку, мы увидим, что наши друзья-бактерии делятся постоянно:
Зеленый малый не возникает из ничего: он медленно вырастает из синего родителя. После 1 периода времени (24 часа в нашем случае), зеленый друг уже полностью созрел. Повзрослев, он стает полноценным синим членом стада и может создавать новые зеленые клеточки сам.
Эта информация как-то изменит наше уравнение?
В случае с бактериями, полусформированные зеленые клетки все же не могут ничего делать, пока не вырастут и совсем не отделятся от своих синих родителей. Так что уравнение справедливо.
В следующий статье мы посмотрим на пример экспоненциального роста ваших денег.
В кубическом уравнении наивысшим показателем степени является 3, у такого уравнения 3 корня (решения) и оно имеет вид . Некоторые кубические уравнения не так просто решить, но если применить правильный метод (при хорошей теоретической подготовке), можно найти корни даже самого сложного кубического уравнения - для этого воспользуйтесь формулой для решения квадратного уравнения, найдите целые корни или вычислите дискриминант.
Шаги
Как решить кубическое уравнение без свободного члена
- В нашем примере подставьте значения коэффициентов a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} ( 3 {\displaystyle 3} , − 2 {\displaystyle -2} , 14 {\displaystyle 14} ) в формулу: − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) {\displaystyle {\frac {-(-2)\pm {\sqrt {((-2)^{2}-4(3)(14)}}}{2(3)}}} 2 ± 4 − (12) (14) 6 {\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {4-(12)(14)}}}{6}}} 2 ± (4 − 168 6 {\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {(4-168}}}{6}}} 2 ± − 164 6 {\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {-164}}}{6}}}
- Первый корень: 2 + − 164 6 {\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {-164}}}{6}}} 2 + 12 , 8 i 6 {\displaystyle {\frac {2+12,8i}{6}}}
- Второй корень: 2 − 12 , 8 i 6 {\displaystyle {\frac {2-12,8i}{6}}}
-
Используйте ноль и корни квадратного уравнения в качестве решений кубического уравнения. У квадратных уравнений два корня, а у кубических - три. Два решения вы уже нашли - это корни квадратного уравнения. Если же вы вынесли «х» за скобки, третьим решением будет .
Как найти целые корни с помощью множителей
-
Удостоверьтесь, что в кубическом уравнении есть свободный член d {\displaystyle d} . Если в уравнении вида a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} есть свободный член d {\displaystyle d} (который не равен нулю), вынести «х» за скобки не получится. В данном случае воспользуйтесь методом, изложенным в этом разделе.
Выпишите множители коэффициента a {\displaystyle a} и свободного члена d {\displaystyle d} . То есть найдите множители числа при x 3 {\displaystyle x^{3}} и числа перед знаком равенства. Напомним, что множителями числа являются числа, при перемножении которых получается это число.
Разделите каждый множитель a {\displaystyle a} на каждый множитель d {\displaystyle d} . В итоге получится множество дробей и несколько целых чисел; корнями кубического уравнения будет одно из целых чисел или отрицательное значение одного из целых чисел.
- В нашем примере разделите множители a {\displaystyle a} (1 и 2 ) на множители d {\displaystyle d} (1 , 2 , 3 и 6 ). Вы получите: 1 {\displaystyle 1} , , , , 2 {\displaystyle 2} и . Теперь в этот список добавьте отрицательные значения полученных дробей и чисел: 1 {\displaystyle 1} , − 1 {\displaystyle -1} , 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} , − 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} , 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} , − 1 3 {\displaystyle -{\frac {1}{3}}} , 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} , − 1 6 {\displaystyle -{\frac {1}{6}}} , 2 {\displaystyle 2} , − 2 {\displaystyle -2} , 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}} и − 2 3 {\displaystyle -{\frac {2}{3}}} . Целыми корнями кубического уравнения являются какие-то числа из этого списка.
-
Подставьте целые числа в кубическое уравнение. Если при этом равенство соблюдается, подставленное число является корнем уравнения. Например, подставьте в уравнение 1 {\displaystyle 1} :
Воспользуйтесь методом деления многочленов по схеме Горнера , чтобы быстрее найти корни уравнения. Сделайте это, если не хотите вручную подставлять числа в уравнение. В схеме Горнера целые числа делятся на значения коэффициентов уравнения a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} и d {\displaystyle d} . Если числа делятся нацело (то есть остаток равен ), целое число является корнем уравнения.
-
Выясните, есть ли в кубическом уравнении свободный член d {\displaystyle d} . Кубическое уравнение имеет вид a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} . Чтобы уравнение считалось кубическим, достаточно, чтобы в нем присутствовал только член x 3 {\displaystyle x^{3}} (то есть других членов может вообще не быть).
Вынесите за скобки x {\displaystyle x} . Так как в уравнении нет свободного члена, каждый член уравнения включает переменную x {\displaystyle x} . Это означает, что один x {\displaystyle x} можно вынести за скобки, чтобы упростить уравнение. Таким образом, уравнение запишется так: x (a x 2 + b x + c) {\displaystyle x(ax^{2}+bx+c)} .
Разложите на множители (на произведение двух биномов) квадратное уравнение (если возможно). Многие квадратные уравнения вида a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} можно разложить на множители . Такое уравнение получится, если вынести x {\displaystyle x} за скобки. В нашем примере:
Решите квадратное уравнение с помощью специальной формулы. Сделайте это, если квадратное уравнение нельзя разложить на множители. Чтобы найти два корня уравнения, значения коэффициентов a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} подставьте в формулу .
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Что такое "квадратное неравенство"? Не вопрос!) Если взять любое квадратное уравнение и заменить в нём знак "=" (равно) на любой значок неравенства (> ≥ < ≤ ≠ ), получится квадратное неравенство. Например:
1. x 2 -8x+12 ≥ 0
2. -x 2 +3x > 0
3. x 2 ≤ 4
Ну, вы поняли...)
Я не зря здесь связал уравнения и неравенства. Дело в том, что первый шаг в решении любого квадратного неравенства - решить уравнение, из которого это неравенство сделано. По этой причине - неспособность решать квадратные уравнения автоматически приводит к полному провалу и в неравенствах. Намёк понятен?) Если что, посмотрите, как решать любые квадратные уравнения. Там всё подробно расписано. А в этом уроке мы займёмся именно неравенствами.
Готовое для решения неравенство имеет вид: слева - квадратный трёхчлен ax 2 +bx+c , справа - ноль. Знак неравенства может быть абсолютно любой. Первые два примера здесь уже готовы к решению. Третий пример надо ещё подготовить.
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.