2. Rješavanje sistema jednačina matričnom metodom (pomoću inverzne matrice).
3. Gaussova metoda za rješavanje sistema jednačina.

Cramerova metoda.

Cramerova metoda se koristi za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi ( SLAU).

Formule na primjeru sistema od dvije jednačine sa dvije varijable.
Dato: Riješite sistem koristeći Cramerovu metodu

Što se tiče varijabli X I at.
Rješenje:
Nađimo determinantu matrice, sastavljenu od koeficijenata sistema. Izračunavanje determinanti. :

Primijenimo Cramerove formule i pronađemo vrijednosti varijabli:
I .
Primjer 1:
Riješite sistem jednačina:

u vezi sa varijablama X I at.
Rješenje:


Zamenimo prvu kolonu u ovoj determinanti kolonom koeficijenata sa desne strane sistema i pronađemo njenu vrednost:

Uradimo sličnu stvar, zamjenjujući drugu kolonu u prvoj odrednici:

Primjenjivo Cramerove formule i pronađite vrijednosti varijabli:
i .
odgovor:
komentar: Ova metoda može riješiti sisteme većih dimenzija.

komentar: Ako se ispostavi da je , ali se ne može podijeliti sa nulom, onda kažu da sistem nema jedinstveno rješenje. U ovom slučaju, sistem ili ima beskonačno mnogo rješenja ili uopće nema rješenja.

Primjer 2(beskonačan broj rješenja):

Riješite sistem jednačina:

u vezi sa varijablama X I at.
Rješenje:
Nađimo determinantu matrice, sastavljenu od koeficijenata sistema:

Rješavanje sistema metodom zamjene.

Prva jednačina sistema je jednakost koja je tačna za sve vrijednosti varijabli (jer je 4 uvijek jednako 4). To znači da je ostala samo jedna jednačina. Ovo je jednadžba za odnos između varijabli.
Otkrili smo da je rješenje sistema bilo koji par vrijednosti varijabli povezanih jedna s drugom jednakošću.
Opšte rješenje će biti napisano na sljedeći način:
Konkretna rješenja se mogu odrediti odabirom proizvoljne vrijednosti y i izračunavanjem x iz ove konektivne jednakosti.

itd.
Takvih rješenja ima beskonačno mnogo.
odgovor: zajednička odluka
Privatna rješenja:

Primjer 3(nema rješenja, sistem je nekompatibilan):

Riješite sistem jednačina:

Rješenje:
Nađimo determinantu matrice, sastavljenu od koeficijenata sistema:

Cramerove formule se ne mogu koristiti. Rešimo ovaj sistem metodom zamene

Druga jednadžba sistema je jednakost koja nije tačna ni za jednu vrijednost varijabli (naravno, pošto -15 nije jednako 2). Ako jedna od jednadžbi sistema nije tačna ni za jednu vrijednost varijabli, onda cijeli sistem nema rješenja.
odgovor: nema rješenja

Gabriel Kramer je švicarski matematičar, učenik i prijatelj Johanna Bernoullija, jednog od tvoraca linearne algebre. Cramer je razmatrao sistem proizvoljnog broja linearnih jednadžbi sa kvadratnom matricom. Rešenje sistema je predstavio kao kolonu razlomaka sa zajedničkim nazivnikom – determinantom matrice. Cramerova metoda se zasniva na upotrebi determinanti u rješavanju sistema linearnih jednačina, što značajno ubrzava proces rješavanja. Ova metoda se može koristiti za rješavanje sistema od onoliko linearnih jednačina koliko ima nepoznatih u svakoj jednačini. Glavna stvar je da determinanta sistema nije jednaka "0", onda se Cramerova metoda može koristiti u rješenju, ako "0" - ova metoda se ne može koristiti. Ova metoda se također može koristiti za rješavanje sistema linearnih jednačina sa jedinstvenim rješenjem.

Cramerova teorema. Ako je determinanta sistema različita od nule, onda sistem linearnih jednačina ima jedno jedinstveno rešenje, a nepoznata je jednaka omjeru determinanti. Imenilac sadrži determinantu sistema, a brojilac sadrži determinantu dobijenu iz determinante sistema zamenom koeficijenata ove nepoznanice slobodnim članovima. Ova teorema vrijedi za sistem linearnih jednačina bilo kojeg reda.

Pretpostavimo da nam je dat SLAE ovog tipa:

\[\left\(\begin(matrica) 3x_1 + 2x_2 =1\\ x_1 + 4x_2 = -3 \end(matrica)\desno.\]

Prema Cramerovoj teoremi dobijamo:

Odgovor: \

Gdje mogu riješiti jednačinu koristeći Cramerovu metodu koristeći online rješavač?

Jednačinu možete riješiti na našoj web stranici https://site. Besplatni online rješavač će vam omogućiti da riješite online jednadžbe bilo koje složenosti za nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je jednostavno unijeti svoje podatke u rješavač. Također možete pogledati video upute i naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako i dalje imate pitanja, možete ih postaviti u našoj VKontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, mi ćemo vam uvijek rado pomoći.

U prvom dijelu razmatrali smo teorijski materijal, metodu zamjene, kao i metodu sabiranja sistemskih jednačina po članu. Preporučujem svima koji su pristupili stranici preko ove stranice da pročitaju prvi dio. Možda će nekim posjetiteljima materijal biti prejednostavan, ali u procesu rješavanja sistema linearnih jednačina iznio sam niz vrlo važnih komentara i zaključaka u vezi sa rješavanjem matematičkih problema općenito.

Sada ćemo analizirati Cramerovo pravilo, kao i rješavanje sistema linearnih jednadžbi korištenjem inverzne matrice (matrična metoda). Svi materijali su predstavljeni jednostavno, detaljno i jasno, gotovo svi čitaoci će moći naučiti kako rješavati sisteme koristeći gore navedene metode.

Prvo ćemo pobliže pogledati Cramerovo pravilo za sistem od dvije linearne jednačine u dvije nepoznate. Za što? – Na kraju krajeva, najjednostavniji sistem se može riješiti školskom metodom, metodom sabiranja termin po član!

Činjenica je da se, iako ponekad, pojavljuje takav zadatak - riješiti sistem od dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice koristeći Cramerove formule. Drugo, jednostavniji primjer će vam pomoći da shvatite kako koristiti Cramerovo pravilo za složeniji slučaj - sistem od tri jednačine sa tri nepoznate.

Osim toga, postoje sistemi linearnih jednadžbi sa dvije varijable, koje je preporučljivo riješiti korištenjem Cramerovog pravila!

Razmotrimo sistem jednačina

U prvom koraku izračunavamo determinantu, ona se zove glavna odrednica sistema.

Gaussova metoda.

Ako je , onda sistem ima jedinstveno rješenje, a da bismo pronašli korijene moramo izračunati još dvije determinante:
I

U praksi se gore navedeni kvalifikatori mogu označiti i latiničnim slovom.

Korijene jednadžbe pronalazimo pomoću formula:
,

Primjer 7

Riješiti sistem linearnih jednačina

Rješenje: Vidimo da su koeficijenti jednadžbe prilično veliki; na desnoj strani su decimalni razlomci sa zarezom. Zarez je prilično rijedak gost u praktičnim zadacima iz matematike; ovaj sistem sam preuzeo iz ekonometrijskog problema.

Kako riješiti takav sistem? Možete pokušati izraziti jednu varijablu u terminima druge, ali u ovom slučaju ćete vjerovatno završiti sa strašnim fensi razlomcima s kojima je izuzetno nezgodno raditi, a dizajn rješenja će izgledati jednostavno užasno. Možete pomnožiti drugu jednačinu sa 6 i oduzeti član po član, ali i ovdje će se pojaviti isti razlomci.

sta da radim? U takvim slučajevima u pomoć priskaču Cramerove formule.

;

;

Odgovori: ,

Oba korijena imaju beskonačne repove i nalaze se približno, što je sasvim prihvatljivo (pa čak i uobičajeno) za probleme ekonometrije.

Komentari ovdje nisu potrebni, jer se zadatak rješava pomoću gotovih formula, međutim, postoji jedno upozorenje. Kada koristite ovu metodu, obavezna Fragment dizajna zadatka je sljedeći fragment: “To znači da sistem ima jedinstveno rješenje”. U suprotnom, recenzent vas može kazniti zbog nepoštovanja Cramerove teoreme.

Ne bi bilo suvišno provjeriti, što se zgodno može izvesti na kalkulatoru: zamjenjujemo približne vrijednosti u lijevu stranu svake jednadžbe sistema. Kao rezultat toga, uz malu grešku, trebali biste dobiti brojeve koji su na desnoj strani.

Primjer 8

Odgovor predstaviti u običnim nepravilnim razlomcima. Proveri.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti (primjer konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije).

Hajdemo dalje da razmotrimo Cramerovo pravilo za sistem od tri jednačine sa tri nepoznanice:

Pronalazimo glavnu odrednicu sistema:

Ako je , onda sistem ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan (nema rješenja). U ovom slučaju, Cramerovo pravilo neće pomoći, morate koristiti Gaussovu metodu.

Ako je , tada sistem ima jedinstveno rješenje i da bismo pronašli korijene moramo izračunati još tri determinante:
, ,

I konačno, odgovor se izračunava pomoću formula:

Kao što vidite, slučaj "tri po tri" se suštinski ne razlikuje od slučaja "dva po dva"; kolona slobodnih pojmova uzastopno "šeta" s lijeva na desno duž stupaca glavne determinante.

Primjer 9

Riješite sistem koristeći Cramerove formule.

Rješenje: Rešimo sistem koristeći Cramerove formule.

, što znači da sistem ima jedinstveno rješenje.

Odgovori: .

Zapravo, ovdje se opet nema šta posebno komentirati, s obzirom na to da rješenje slijedi gotove formule. Ali ima par komentara.

Dešava se da se kao rezultat proračuna dobiju "loši" nesvodljivi razlomci, na primjer: .
Preporučujem sljedeći algoritam "liječenja". Ako nemate računar pri ruci, uradite ovo:

1) Možda postoji greška u proračunima. Čim naiđete na "loš" razlomak, odmah morate provjeriti Da li je uslov ispravno napisan?. Ako je uslov prepisan bez grešaka, onda morate ponovo izračunati determinante koristeći proširenje u drugom redu (koloni).

2) Ako se ne identifikuju greške kao rezultat provjere, onda je najvjerovatnije došlo do greške u kucanju u uslovima zadatka. U ovom slučaju, mirno i PAŽLJIVO odradite zadatak do kraja, a zatim obavezno provjeri a mi to sastavljamo na čist list nakon odluke. Naravno, provjera razlomaka odgovora je neugodan zadatak, ali će to biti razoružavajući argument za nastavnika, koji zaista voli dati minus za svako sranje poput . Kako postupati s razlomcima detaljno je opisano u odgovoru na primjer 8.

Ako imate računar pri ruci, koristite automatizirani program za provjeru, koji možete besplatno preuzeti na samom početku lekcije. Inače, najisplativije je koristiti program odmah (čak i prije pokretanja rješenja); odmah ćete vidjeti međukorak u kojem ste pogriješili! Isti kalkulator automatski izračunava rješenje sistema koristeći matričnu metodu.

Druga primjedba. S vremena na vrijeme postoje sistemi u čijim jednačinama nedostaju neke varijable, na primjer:

Ovdje u prvoj jednačini nema varijable, u drugoj nema varijable. U takvim slučajevima veoma je važno pravilno i PAŽLJIVO zapisati glavnu odrednicu:
– nule se stavljaju na mjesto varijabli koje nedostaju.
Inače, racionalno je otvarati determinante sa nulama prema redu (koloni) u kojem se nula nalazi, jer je primjetno manje izračunavanja.

Primjer 10

Riješite sistem koristeći Cramerove formule.

Ovo je primjer za samostalno rješenje (uzorak konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije).

Za slučaj sistema od 4 jednačine sa 4 nepoznate, Cramerove formule se pišu po sličnim principima. Primjer uživo možete vidjeti u lekciji Svojstva determinanti. Smanjenje reda determinante - pet determinanti 4. reda je sasvim rješivo. Iako zadatak već jako podsjeća na profesorsku cipelu na grudima srećnog studenta.

Rješavanje sistema korištenjem inverzne matrice

Metoda inverzne matrice je u suštini poseban slučaj matrična jednačina(Vidi primjer br. 3 navedene lekcije).

Da biste proučavali ovaj odjeljak, morate biti u stanju proširiti determinante, pronaći inverznu vrijednost matrice i izvršiti množenje matrice. Relevantne veze će biti dostupne kako objašnjenja budu napredovala.

Primjer 11

Riješite sistem matričnim metodom

Rješenje: Zapišimo sistem u matričnom obliku:
, Gdje

Molimo pogledajte sistem jednačina i matrica. Mislim da svi razumiju princip po kojem upisujemo elemente u matrice. Jedini komentar: ako neke varijable nedostaju u jednadžbi, onda bi nule morale biti postavljene na odgovarajuća mjesta u matrici.

Inverznu matricu pronalazimo pomoću formule:
, gdje je transponirana matrica algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata matrice.

Prvo, pogledajmo determinantu:

Ovdje je determinanta proširena na prvi red.

Pažnja! Ako je , tada inverzna matrica ne postoji i nemoguće je riješiti sistem matričnim metodom. U ovom slučaju sistem se rješava metodom eliminacije nepoznanica (Gaussova metoda).

Sada trebamo izračunati 9 minora i upisati ih u matricu minora

referenca: Korisno je znati značenje dvostrukih indeksa u linearnoj algebri. Prva cifra je broj reda u kojem se element nalazi. Druga znamenka je broj kolone u kojoj se element nalazi:

To jest, dvostruki indeks označava da se element nalazi u prvom redu, trećem stupcu i, na primjer, element je u 3 reda, 2 stupca

Da biste savladali ovaj paragraf, morate biti u stanju otkriti determinante “dva po dva” i “tri po tri”. Ako ste loši sa kvalifikacijama, molimo vas da proučite lekciju Kako izračunati determinantu?

Prvo ćemo pobliže pogledati Cramerovo pravilo za sistem od dvije linearne jednačine u dvije nepoznate. Za što? – Na kraju krajeva, najjednostavniji sistem se može riješiti školskom metodom, metodom sabiranja termin po član!

Činjenica je da se, iako ponekad, pojavljuje takav zadatak - riješiti sistem od dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice koristeći Cramerove formule. Drugo, jednostavniji primjer će vam pomoći da shvatite kako koristiti Cramerovo pravilo za složeniji slučaj - sistem od tri jednačine sa tri nepoznate.

Osim toga, postoje sistemi linearnih jednadžbi sa dvije varijable, koje je preporučljivo riješiti korištenjem Cramerovog pravila!

Razmotrimo sistem jednačina

U prvom koraku izračunavamo determinantu, ona se zove glavna odrednica sistema.

Gaussova metoda.

Ako je , onda sistem ima jedinstveno rješenje, a da bismo pronašli korijene moramo izračunati još dvije determinante:
I

U praksi se gore navedeni kvalifikatori mogu označiti i latiničnim slovom.

Korijene jednadžbe pronalazimo pomoću formula:
,

Primjer 7

Riješiti sistem linearnih jednačina

Rješenje: Vidimo da su koeficijenti jednadžbe prilično veliki; na desnoj strani su decimalni razlomci sa zarezom. Zarez je prilično rijedak gost u praktičnim zadacima iz matematike; ovaj sistem sam preuzeo iz ekonometrijskog problema.

Kako riješiti takav sistem? Možete pokušati izraziti jednu varijablu u terminima druge, ali u ovom slučaju ćete vjerovatno završiti sa strašnim fensi razlomcima s kojima je izuzetno nezgodno raditi, a dizajn rješenja će izgledati jednostavno užasno. Možete pomnožiti drugu jednačinu sa 6 i oduzeti član po član, ali i ovdje će se pojaviti isti razlomci.

sta da radim? U takvim slučajevima u pomoć priskaču Cramerove formule.

;

;

Odgovori: ,

Oba korijena imaju beskonačne repove i nalaze se približno, što je sasvim prihvatljivo (pa čak i uobičajeno) za probleme ekonometrije.

Komentari ovdje nisu potrebni, jer se zadatak rješava pomoću gotovih formula, međutim, postoji jedno upozorenje. Kada koristite ovu metodu, obavezna Fragment dizajna zadatka je sljedeći fragment: “To znači da sistem ima jedinstveno rješenje”. U suprotnom, recenzent vas može kazniti zbog nepoštovanja Cramerove teoreme.

Ne bi bilo suvišno provjeriti, što se zgodno može izvesti na kalkulatoru: zamjenjujemo približne vrijednosti u lijevu stranu svake jednadžbe sistema. Kao rezultat toga, uz malu grešku, trebali biste dobiti brojeve koji su na desnoj strani.

Primjer 8

Odgovor predstaviti u običnim nepravilnim razlomcima. Proveri.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti (primjer konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije).

Hajdemo dalje da razmotrimo Cramerovo pravilo za sistem od tri jednačine sa tri nepoznanice:

Pronalazimo glavnu odrednicu sistema:

Ako je , onda sistem ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan (nema rješenja). U ovom slučaju, Cramerovo pravilo neće pomoći, morate koristiti Gaussovu metodu.

Ako je , tada sistem ima jedinstveno rješenje i da bismo pronašli korijene moramo izračunati još tri determinante:
, ,

I konačno, odgovor se izračunava pomoću formula:

Kao što vidite, slučaj "tri po tri" se suštinski ne razlikuje od slučaja "dva po dva"; kolona slobodnih pojmova uzastopno "šeta" s lijeva na desno duž stupaca glavne determinante.

Primjer 9

Riješite sistem koristeći Cramerove formule.

Rješenje: Rešimo sistem koristeći Cramerove formule.

, što znači da sistem ima jedinstveno rješenje.

Odgovori: .

Zapravo, ovdje se opet nema šta posebno komentirati, s obzirom na to da rješenje slijedi gotove formule. Ali ima par komentara.

Dešava se da se kao rezultat proračuna dobiju "loši" nesvodljivi razlomci, na primjer: .
Preporučujem sljedeći algoritam "liječenja". Ako nemate računar pri ruci, uradite ovo:

1) Možda postoji greška u proračunima. Čim naiđete na "loš" razlomak, odmah morate provjeriti Da li je uslov ispravno napisan?. Ako je uslov prepisan bez grešaka, onda morate ponovo izračunati determinante koristeći proširenje u drugom redu (koloni).

2) Ako se ne identifikuju greške kao rezultat provjere, onda je najvjerovatnije došlo do greške u kucanju u uslovima zadatka. U ovom slučaju, mirno i PAŽLJIVO odradite zadatak do kraja, a zatim obavezno provjeri a mi to sastavljamo na čist list nakon odluke. Naravno, provjera razlomaka odgovora je neugodan zadatak, ali će to biti razoružavajući argument za nastavnika, koji zaista voli dati minus za svako sranje poput . Kako postupati s razlomcima detaljno je opisano u odgovoru na primjer 8.

Ako imate računar pri ruci, koristite automatizirani program za provjeru, koji možete besplatno preuzeti na samom početku lekcije. Inače, najisplativije je koristiti program odmah (čak i prije pokretanja rješenja); odmah ćete vidjeti međukorak u kojem ste pogriješili! Isti kalkulator automatski izračunava rješenje sistema koristeći matričnu metodu.

Druga primjedba. S vremena na vrijeme postoje sistemi u čijim jednačinama nedostaju neke varijable, na primjer:

Ovdje u prvoj jednačini nema varijable, u drugoj nema varijable. U takvim slučajevima veoma je važno pravilno i PAŽLJIVO zapisati glavnu odrednicu:
– nule se stavljaju na mjesto varijabli koje nedostaju.
Inače, racionalno je otvarati determinante sa nulama prema redu (koloni) u kojem se nula nalazi, jer je primjetno manje proračuna.

Primjer 10

Riješite sistem koristeći Cramerove formule.

Ovo je primjer za samostalno rješenje (uzorak konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije).

Za slučaj sistema od 4 jednačine sa 4 nepoznate, Cramerove formule se pišu po sličnim principima. Primjer uživo možete vidjeti u lekciji Svojstva determinanti. Smanjenje reda determinante - pet determinanti 4. reda je sasvim rješivo. Iako zadatak već jako podsjeća na profesorsku cipelu na grudima srećnog studenta.

Rješavanje sistema korištenjem inverzne matrice

Metoda inverzne matrice je u suštini poseban slučaj matrična jednačina(Vidi primjer br. 3 navedene lekcije).

Da biste proučavali ovaj odjeljak, morate biti u stanju proširiti determinante, pronaći inverznu vrijednost matrice i izvršiti množenje matrice. Relevantne veze će biti dostupne kako objašnjenja budu napredovala.

Primjer 11

Riješite sistem matričnim metodom

Rješenje: Zapišimo sistem u matričnom obliku:
, Gdje

Molimo pogledajte sistem jednačina i matrica. Mislim da svi razumiju princip po kojem upisujemo elemente u matrice. Jedini komentar: ako neke varijable nedostaju u jednadžbi, onda bi nule morale biti postavljene na odgovarajuća mjesta u matrici.

Inverznu matricu pronalazimo pomoću formule:
, gdje je transponirana matrica algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata matrice.

Prvo, pogledajmo determinantu:

Ovdje je determinanta proširena na prvi red.

Pažnja! Ako je , tada inverzna matrica ne postoji i nemoguće je riješiti sistem matričnim metodom. U ovom slučaju sistem se rješava metodom eliminacije nepoznanica (Gaussova metoda).

Sada trebamo izračunati 9 minora i upisati ih u matricu minora

referenca: Korisno je znati značenje dvostrukih indeksa u linearnoj algebri. Prva cifra je broj reda u kojem se element nalazi. Druga znamenka je broj kolone u kojoj se element nalazi:

To jest, dvostruki indeks označava da se element nalazi u prvom redu, trećem stupcu i, na primjer, element je u 3 reda, 2 stupca

Prilikom rješavanja bolje je detaljno opisati obračun maloljetnika, iako se uz određeno iskustvo možete naviknuti da ih usmeno računate s greškama.

Cramerova metoda se koristi za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE) u kojima je broj nepoznatih varijabli jednak broju jednačina, a determinanta glavne matrice nije nula. U ovom članku ćemo analizirati kako se nepoznate varijable pronalaze korištenjem Cramerove metode i dobivamo formule. Nakon ovoga, prijeđimo na primjere i detaljno opišemo rješenja sistema linearnih algebarskih jednadžbi korištenjem Cramerove metode.

Navigacija po stranici.

Cramerova metoda - izvođenje formula.

Trebamo riješiti sistem linearnih jednačina oblika

Gdje su x 1, x 2, …, x n nepoznate varijable, a i j, i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- numerički koeficijenti, b 1, b 2, ..., b n - slobodni termini. Rješenje za SLAE je takav skup vrijednosti x 1 , x 2 , …, x n za koji sve jednačine sistema postaju identični.

U matričnom obliku, ovaj sistem se može zapisati kao A ⋅ X = B, gdje je - glavna matrica sistema, njeni elementi su koeficijenti nepoznatih varijabli, - matrica je kolona slobodnih termina, i - matrica je kolona nepoznatih varijabli. Nakon pronalaženja nepoznatih varijabli x 1, x 2, …, x n, matrica postaje rješenje sistema jednačina i jednakost A ⋅ X = B postaje identitet.

Pretpostavićemo da je matrica A nesingularna, odnosno da je njena determinanta različita od nule. U ovom slučaju, sistem linearnih algebarskih jednačina ima jedinstveno rješenje koje se može naći Cramerovom metodom. (Metode za rješavanje sistema za razmatrane su u odjeljku rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina).

Cramerova metoda se zasniva na dva svojstva determinante matrice:

Dakle, počnimo s pronalaženjem nepoznate varijable x 1. Da bismo to uradili, pomnožimo oba dela prve jednačine sistema sa A 1 1, oba dela druge jednačine sa A 2 1, i tako dalje, oba dela n-te jednačine sa A n 1 (tj. pomnožite jednačine sistema odgovarajućim algebarskim komplementama prvog stupca matrice A):

Hajde da saberemo sve leve strane sistemske jednačine, grupišemo pojmove za nepoznate varijable x 1, x 2, ..., x n, i izjednačimo ovaj zbir sa zbirom svih desnih strana jednačina:

Ako se osvrnemo na prethodno navedena svojstva determinante, imamo

a prethodna jednakost poprima oblik

gdje

Slično, nalazimo x 2. Da bismo to učinili, množimo obje strane sistemske jednačine sa algebarskim komplementama drugog stupca matrice A:

Sabiramo sve jednadžbe sistema, grupišemo pojmove za nepoznate varijable x 1, x 2, ..., x n i primjenjujemo svojstva determinante:

Gdje
.

Preostale nepoznate varijable nalaze se na sličan način.

Ako odredimo

Onda dobijamo formule za pronalaženje nepoznatih varijabli korištenjem Cramerove metode .

Komentar.

Ako je sistem linearnih algebarskih jednadžbi homogen, tj , tada ima samo trivijalno rješenje (na ). Zaista, za nula slobodnih termina, sve determinante će biti jednaka nuli, jer će sadržavati kolonu nultih elemenata. Dakle, formule će dati .

Algoritam za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina primjenom Cramerove metode.

Hajde da to zapišemo algoritam za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina primjenom Cramerove metode.

Primjeri rješavanja sistema linearnih algebarskih jednačina primjenom Cramerove metode.

Pogledajmo rješenja na nekoliko primjera.

Primjer.

Pronađite rješenje nehomogenog sistema linearnih algebarskih jednadžbi koristeći Cramerovu metodu .

Rješenje.

Glavna matrica sistema ima oblik . Izračunajmo njegovu determinantu koristeći formulu :

Pošto je determinanta glavne matrice sistema različita od nule, SLAE ima jedinstveno rešenje, a ono se može naći Cramerovom metodom. Zapišimo determinante i . Prvi stupac glavne matrice sistema zamjenjujemo kolonom slobodnih pojmova i dobijamo determinantu . Slično, zamjenjujemo drugu kolonu glavne matrice kolonom slobodnih pojmova i dobivamo .

Izračunavamo ove determinante:

Nađite nepoznate varijable x 1 i x 2 koristeći formule :

Hajde da proverimo. Zamenimo dobijene vrednosti x 1 i x 2 u originalni sistem jednačina:

Obje jednačine sistema postaju identični, stoga je rješenje pronađeno ispravno.

odgovor:

.

Neki elementi glavne matrice SLAE mogu biti jednaki nuli. U ovom slučaju, odgovarajuće nepoznate varijable će biti odsutne iz jednačina sistema. Pogledajmo primjer.

Primjer.

Pronađite rješenje za sistem linearnih jednačina koristeći Cramerovu metodu .

Rješenje.

Hajde da prepišemo sistem u formi , tako da glavna matrica sistema postane vidljiva . Nađimo njegovu determinantu koristeći formulu

Imamo

Determinanta glavne matrice nije nula, stoga sistem linearnih jednadžbi ima jedinstveno rješenje. Pronađimo ga koristeći Cramerovu metodu. Izračunajmo determinante :

dakle,

odgovor:

Oznake nepoznatih varijabli u sistemskim jednačinama mogu se razlikovati od x 1, x 2, ..., x n. Ovo ne utiče na proces odlučivanja. Ali redoslijed nepoznatih varijabli u jednadžbi sistema je vrlo važan pri sastavljanju glavne matrice i potrebnih determinanti Cramerove metode. Pojasnimo ovu tačku na primjeru.

Primjer.

Koristeći Cramerovu metodu, pronađite rješenje za sistem od tri linearne algebarske jednadžbe u tri nepoznate .

Rješenje.

U ovom primjeru, nepoznate varijable imaju drugačiju notaciju (x, y i z umjesto x1, x2 i x3). To ne utječe na rješenje, ali budite oprezni s promjenljivim oznakama. NE MOŽETE ga uzeti kao glavnu matricu sistema . Potrebno je prvo poredati nepoznate varijable u svim jednačinama sistema. Da bismo to učinili, prepisujemo sistem jednačina kao . Sada je glavna matrica sistema jasno vidljiva . Izračunajmo njegovu determinantu:

Determinanta glavne matrice nije nula, stoga sistem jednadžbi ima jedinstveno rješenje. Pronađimo ga koristeći Cramerovu metodu. Zapišimo determinante (obratite pažnju na notaciju) i izračunajte ih:

Ostaje pronaći nepoznate varijable koristeći formule :

Hajde da proverimo. Da biste to učinili, pomnožite glavnu matricu s rezultirajućim rješenjem (ako je potrebno, pogledajte odjeljak):

Kao rezultat, dobili smo kolonu slobodnih članova originalnog sistema jednačina, tako da je rješenje pronađeno ispravno.

odgovor:

x = 0, y = -2, z = 3.

Primjer.

Riješite sistem linearnih jednačina koristeći Cramerovu metodu , gdje su a i b neki realni brojevi.

Rješenje.

odgovor:

Primjer.

Pronađite rješenje sistema jednačina po Cramerovoj metodi, - neki realni broj.

Rješenje.

Izračunajmo determinantu glavne matrice sistema: . izraz je interval, dakle za sve realne vrijednosti. Shodno tome, sistem jednačina ima jedinstveno rješenje koje se može naći Cramerovom metodom. Računamo i: