Урок та презентація на тему: "Властивості функції. Зростання та зменшення функції"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 9 класу
Інтерактивний навчальний посібник для 9 класу "Правила та вправи з геометрії"
Електронний навчальний посібник "Зрозуміла геометрія" для 7-9 класів

Діти, ми продовжуємо вивчати числові функції. Сьогодні ми зупинимося на такій темі як властивості функції. Функції мають багато властивостей. Згадайте, які властивості ми з вами нещодавно вивчили. Правильно, область визначення та область значень, є одними з ключових властивостей. Ніколи не забувайте про них і пам'ятайте, що функція завжди має ці властивості.

У цьому розділі ми визначимо деякі властивості функцій. Порядок, в якому ми будемо їх визначати, рекомендую дотримуватись і при вирішенні завдань.

Зростання та зменшення функції

Перша властивість, яку ми визначимо, це зростання та зменшення функції.

Функція називається зростаючою на множині Х⊂D(f), якщо для будь-яких х1 і х2, таких, що х1< x2 - выполняется неравенство f(x1) < f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.
Функція називається спадною на множині Х⊂D(f), якщо для будь-яких х1 і х2, таких, що х1< x2 - выполняется неравенство f(x1)>f(x2). Тобто більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.

Поняття "зростання" та "зменшення" функції дуже легко зрозуміти, якщо уважно подивитися на графіки функції. Для зростаючої функції: ми ніби піднімаємося в гірку, для спадної відповідно - спускаємося. Загальний вид зростаючих та спадних функцій представлений на графіках нижче.

Зростання та зменшення функції в загальному випадку називається монотонністю.Тобто, наше завдання - це знайти проміжки спадання та зростання функції. Загалом це формулюється так: знайти проміжки монотонності чи досліджувати функцію на монотонність.

Дослідити на монотонність функцію $y=3x+2$.
Рішення: Перевіримо функцію для будь-яких х1 та х2 та нехай х1< x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
Оскільки, х1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.

Обмеженість функції

Функцію $y=f(x)$ називають обмеженою знизу на множині Х⊂D(f), якщо є така кількість а, що з будь-яких хϵХ виконується нерівність f(x)< a.

Функцію $y=f(x)$ називають обмеженою зверху на множині Х⊂D(f), якщо існує таке число а, що для будь-яких хХХ виконується нерівність f(x)< a.

Якщо проміжок Х не вказується, то вважають, що функція обмежена по всій області визначення. Функція обмежена і згори, і знизу називається обмеженою.

Обмеженість функції легко читається за графіком. Можна провести деяку пряму
$у=а$, і якщо функція вища за цю пряму, то обмеженість знизу. Якщо нижче, відповідно зверху. Нижче наведено графік обмеженої знизу функції. Графік обмеженої функції, хлопці, спробуйте малювати самі.

Дослідити на обмеженість функцію $y=\sqrt(16-x^2)$.
Рішення: Корінь квадратний з деякого числа більше або дорівнює нулю. Очевидно, що наша функція, також більша або дорівнює нулю, тобто обмежена знизу.
Корінь квадратний ми можемо витягувати тільки з негативного числа, тоді $16-x^2≥0$.
Розв'язанням нашої нерівності буде проміжок [-4; 4]. На цьому відрізку $16-x^2≤16$ або $\sqrt(16-x^2)≤4$, але це означає обмеженість зверху.
Відповідь: наша функція обмежена двома прямими $у=0$ і $у=4$.

Найбільше та найменше значення

Найменшим значення функції y= f(x) на множині Х⊂D(f) називається деяке число m, таке, що:

б) Для будь-якого ХХХ, виконується $f(x)≥f(x0)$.

Найбільшим значення функції y=f(x) на множині Х⊂D(f) називається деяке число m, таке що:
a) Існує деяке x0, що $f(x0)=m$.
б) Для будь-якого ХХХ, виконується $f(x)≤f(x0)$.

Найбільше та найменше значення прийнято позначати y наиб. та y найм. .

Поняття обмеженості та найбільшого з найменшим значенням функції тісно пов'язані. Виконуються такі твердження:
а) Якщо є найменше значення у функції, вона обмежена знизу.
б) Якщо є найбільше значення у функції, вона обмежена зверху.
в) Якщо функція не обмежена зверху, найбільшого значення не існує.
г) Якщо функція не обмежена знизу, найменшого значення не існує.

Знайти найбільше та найменше значення функції $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$.
Рішення: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
При $х=4$ $f(4)=5$, за всіх інших значеннях функція приймає менші значення чи немає, тобто це найбільше значення функції.
За визначенням: $9-4x^2+16x≥0$. Знайдемо коріння квадратного тричлена $(2х+1)(2х-9)≥0$. При $х=-0,5$ і $х=4,5$ функція звертається в нуль, у всіх інших точках вона більша за нуль. Тоді, за визначенням, найменше значення функції дорівнює нулю.
Відповідь: y наиб. =5 і y найм. =0.

Діти ми з вами ще вивчали поняття опуклості функції. При вирішенні деяких завдань нам ця властивість може знадобитися. Ця властивість також легко визначається за допомогою графіків.

Функція опукла вниз, якщо будь-які дві точки графіка вихідної функції з'єднати, і графік функції виявиться нижче лінії з'єднання точок.

Функція опукла вгору, якщо будь-які дві точки графіка вихідної функції з'єднати, і графік функції виявиться вище лінії з'єднання точок.

Функція безперервна, якщо графік нашої функції немає розривів, наприклад, як графік функції вище.

Якщо потрібно знайти властивості функції, то послідовність пошуку властивостей така:
а) Область визначення.
б) монотонність.
в) Обмеженість.
г) Найбільше та найменше значення.
д) Безперервність.
е) Область значень.

Знайти властивості функції $y=-2x+5$.
Рішення.
а) Область визначення D(y)=(-∞;+∞).
б) монотонність. Перевіримо для будь-яких значень х1 та х2 та нехай х1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Оскільки х1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
в) Обмеженість. Очевидно, що функція не обмежена.
г) Найбільше та найменше значення. Оскільки функція не обмежена, то найбільшого та найменшого значень не існує.
д) Безперервність. Графік нашої функції немає розривів, тоді функція безперервна.
е) Область значень. Е(у)=(-∞;+∞).

Завдання на властивості функції для самостійного вирішення

Знайти властивості функції:
а) $ y = 2x + 7 $,
б) $ y = 3x ^ 2 $,
в) $ y = \ frac (4) (x) $.

Будемо називати функцію y=f(x) ОБМЕЖЕНОЇ НАВЕРХУ (ЗНИЗУ) на множині А з області визначення D(f), якщо існує таке число M , що для будь-яких x з цієї множини виконується умова

За допомогою логічних символів визначення може бути записане у вигляді:

f(x) – обмежена зверху на безлічі

(f(x) – обмежена знизу на безлічі

Вводяться до розгляду та функції, обмежені за модулем або просто обмежені.

Будемо називати функцію ОБМЕЖЕНОЮ на множині А з області визначення , якщо існує позитивне число M, що

Мовою логічних символів

f(x) – обмежена на безлічі

Функція, яка не є обмеженою, називається необмеженою. Ми знаємо, що визначення, дані через заперечення малозмістовні. Щоб сформулювати це твердження як визначення, скористаємось властивостями кванторних операцій (3.6) та (3.7). Тоді заперечення обмеженості функції мовою логічних символів дасть:

f(x) – обмежена на безлічі

Отриманий результат дозволяє сформулювати таке визначення.

Функція називається НЕОБМЕЖЕНОЮ на множині А, що належить області визначення функції, якщо на цій множині для будь-якого позитивного числа М знайдеться таке значення аргументу х , що значення однаково перевершить величину М, тобто .

Як приклад розглянемо функцію

Вона визначена на всій дійсній осі. Якщо взяти відрізок [–2;1] (множина А), то вона буде обмежена і зверху, і знизу.

Справді, щоб показати її обмеженість згори, треба розглянути предикат

і показати, що знайдеться (існує) таке М, що всім x, взятих на відрізку [–2;1], буде справедливо

Знайти таке М не важко. Можна вважати М = 7, квантор існування передбачає віднайдення хоча б одного значення М. Наявність такого М і підтверджує той факт, що функція на відрізку [-2; 1] обмежена зверху.

Щоб довести її обмеженість знизу, треба розглянути предикат

Значенням М, що забезпечує істинність даного предикату, є, наприклад, М = -100.

Можна довести, що функція буде обмежена і по модулю: для всіх x з відрізка [-2; 1] значення функції збігаються зі значеннями , тому як М можна взяти, наприклад, колишнє значення М = 7.

Покажемо, що та сама функція, але на проміжку , буде необмеженою, тобто

Щоб показати, що такі існують, розглянемо твердження

Знаходячи шукані значення x серед позитивних значень аргументу, отримаємо

Це означає, що хоч би яке позитивне Мми не брали, значення x, що забезпечують виконання нерівності

виходять із співвідношення.

Розглядаючи функцію по всій дійсної осі, можна показати, що вона необмежена по модулю.

Справді, з нерівності

Тобто яким би великим не було позитивне M або забезпечать виконання нерівності .

ЕКСТРЕМУМ ФУНКЦІЇ.

Функція має у точці з локальний максимум (мінімум), якщо існує така околиця цієї точки, що для x¹ з з цієї околиці виконується нерівність

особливо, що точка екстремуму може бути лише внутрішньою точкою проміжку і f(x) у ній має бути обов'язково визначено. Можливі випадки відсутності екстремуму зображено на рис. 8.8.

Якщо функція зростає (зменшується) на деякому проміжку і зменшується (зростає) на деякому проміжку , то точка з є точкою локального максимуму (мінімуму).

Відсутність максимуму функції f(x) у точці з можна сформулювати так:

_______________________

f(x) має максимум у точці c

Це означає, що якщо точка c не є точка локального максимуму, то якою б не була околиця, що включає в себе точку як внутрішню, в ній знайдеться хоча б одне значення x не рівне c, при якому . Таким чином, якщо в точці c немає максимуму, то в цій точці екстремуму може не бути взагалі або це точка мінімуму (рис. 8.9).

Поняття екстремуму дає порівняльну оцінку значення функції у будь-якій точці стосовно близьким. Подібне порівняння значень функцій можна провести і для всіх точок певного проміжку.

Найбільшим (найменшим) значенням функції на множині будемо називати її значення в точці з цієї множини таке, що при . Найбільше значення функції досягається у внутрішній точці відрізка, а найменше – на його лівому кінці.

Щоб визначити найбільше (найменше) значення функції, заданої на відрізку, треба серед усіх значень її максимумів (мінімумів), а також значень, що приймаються на кінцях проміжку, вибрати найбільше (найменше) число. Воно і буде максимальним (найменшим) значенням функції. Це правило буде уточнено надалі.

Проблема відшукання найбільшого та найменшого значень функції на відкритому проміжку не завжди вирішується досить легко. Наприклад, функція

в інтервалі (рис. 8.11) їх немає.

Переконаємось, наприклад, що ця функція не має найбільшого значення. Насправді, враховуючи монотонність функції , можна стверджувати, що як би близько ми не задавали зліва від одиниці значення х, знайдуться інші х, в яких значення функції будуть більшими за її значення у взятих фіксованих точках, але все ж менше одиниці.

Теорема про межі монотонної функції. Наводиться доказ теореми, використовуючи два методи. Також дано визначення строго зростаючої, неубутньої, строго спадної та незростаючої функцій. Визначення монотонної функції.

Зміст

Функція не обмежена зверху

1.1. Нехай число b кінцеве: .
1.1.2. Нехай функція не обмежена згори.

.

при .

Позначимо. Тоді для будь-кого існує, так що
при .
Це означає, що межа зліва в точці b дорівнює (див. "Визначення односторонніх нескінченних меж функції в кінцевій точці").

b рано плюс нескінченності

Функція обмежена зверху

1. Нехай функція не зменшується на інтервалі.
1.2.1. Нехай функція обмежена зверху числом M: при.
Доведемо, що у цьому випадку існує межа .

Оскільки функція обмежена зверху, існує кінцева верхня грань
.
Відповідно до визначення точної верхньої грані, виконуються такі умови:
;
для будь-якого позитивного існує такий аргумент, для якого
.

Оскільки функція не зменшується, то при . Тоді за . Або
при .

Отже, ми виявили, що для будь-якого існує число , так що
при .
"Визначення односторонніх меж на нескінченності").

Функція не обмежена зверху

1. Нехай функція не зменшується на інтервалі.
1.2. Нехай число b дорівнює плюс нескінченності: .
1.2.2. Нехай функція не обмежена згори.
Доведемо, що у цьому випадку існує межа .

Оскільки функція не обмежена зверху, то для будь-якого числа M існує такий аргумент, для якого
.

Оскільки функція не зменшується, то при . Тоді за .

Отже, для будь-якого існує число, так що
при .
Це означає, що межа при дорівнює (див. "Визначення односторонніх нескінченних меж на нескінченності").

Функція не зростає

Тепер розглянемо випадок, коли функція не збільшується. Можна, як і вище, розглянути кожен варіант окремо. Але ми охопимо їх одразу. Для цього використовуємо. Доведемо, що у цьому випадку існує межа .

Розглянемо кінцеву нижню грань безлічі значень функції:
.
Тут B може бути як кінцевим числом, так і віддаленою точкою . Відповідно до визначення точної нижньої грані, виконуються такі умови:
;
для будь-якої околиці точки B існує такий аргумент, для якого
.
За умовою теореми, . Тому.

Оскільки функція не зростає, то за . Оскільки , то
при .
Або
при .
Далі помічаємо, що нерівність визначає ліву проколоту околицю точки b .

Отже, ми знайшли, що для будь-якої околиці точки існує така проколота ліва околиця точки b , що
при .
Це означає, що межа зліва в точці b дорівнює :

(Див. універсальне визначення межі функції по Коші).

Межа в точці a

Тепер покажемо, що є межа в точці a і знайдемо його значення.

Розглянемо функцію. За умовою теореми, функція є монотонною при . Замінимо змінну x на - x (або зробимо підстановку, а потім замінимо змінну t на x). Тоді функція є монотонною при . Помножуючи нерівності на -1 і змінюючи їхній порядок приходимо до висновку, що функція є монотонною при .

Аналогічним способом легко показати, що якщо не зменшується, то не зростає. Тоді згідно з доведеним вище, існує межа
.
Якщо не зростає, то не зменшується. У цьому випадку існує межа
.

Тепер залишилося показати, що й існує межа функції при , існує межа функції при , і ці межі рівні:
.

Введемо позначення:
(1) .
Виразимо f через g:
.
Візьмемо довільне позитивне число. Нехай є епсілон околиця точки A . Епсилон околиця визначається як кінцевих, так нескінченних значень A (див. «Навколо точки»). Оскільки існує межа (1), то, згідно з визначенням межі, для будь-якого існує таке, що
при .

Нехай a – кінцеве число. Висловимо ліву проколоту околицю точки-a , використовуючи нерівності:
при .
Замінимо x на -x і врахуємо, що :
при .
Останні дві нерівності визначають проколоту праву околицю точки a. Тоді
при .

Нехай a – нескінченне число, . Повторюємо міркування.
при;
при;
при;
при .

Отже, ми знайшли, що для будь-кого існує таке, що
при .
Це означає, що
.

Теорему доведено.

також:

1) Область визначення функції та область значень функції.

Область визначення функції - це безліч всіх допустимих дійсних значень аргументу x(змінною x), при яких функція y = f(x)визначено. Область значень функції - це безліч усіх дійсних значень y, що приймає функцію.

В елементарної математики вивчаються функції лише з безлічі дійсних чисел.

2) Нулі функції.

Нуль функції – таке значення аргументу, у якому значення функції дорівнює нулю.

3) Проміжки знакостійності функції.

Проміжки знакостійності функції – такі безлічі значень аргументу, у яких значення функції лише позитивні чи лише негативні.

4) Монотонність функції.

Зростаюча функція (у певному проміжку) - функція, яка має більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше значення функції.

Зменшуюча функція (у деякому проміжку) - функція, яка має більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає менше значення функції.

5) парність (непарність) функції.

Четна функція - функція, у якої область визначення симетрична щодо початку координат та для будь-якого хв галузі визначення виконується рівність f(-x) = f(x). Графік парної функції симетричний щодо осі ординат.

Непарна функція - функція, у якої область визначення симетрична щодо початку координат та для будь-якого хв галузі визначення справедлива рівність f(-x) = - f(x). Графік непарної функції симетричний щодо початку координат.

6) Обмежена та необмежена функції.

Функція називається обмеженою, якщо є таке позитивне число M, що |f(x)| ≤ M для всіх значень x. Якщо такої кількості немає, то функція - необмежена.

7) Періодичність функції.

Функція f(x) - періодична, якщо існує таке відмінне від нуля число T, що для будь-якого x з області визначення функції має місце: f(x+T) = f(x). Таке найменше називається періодом функції. Усі тригонометричні функції є періодичними. (Тригонометричні формули).

19. Основні елементарні функції, їх властивості та графіки. Застосування функцій економіки.

Основні елементарні функції. Їх властивості та графіки

1. Лінійна функція.

Лінійною функцією називається функція виду , де х - змінна, а і b - дійсні числа.

Число аназивають кутовим коефіцієнтом прямої, він дорівнює тангенсу кута нахилу цієї прямої до позитивного напрямку осі абсцис. Графік лінійної функції є пряма лінія. Вона визначається двома точками.

Властивості лінійної функції

1. Область визначення - безліч всіх дійсних чисел: Д(y) = R

2. Безліч значень - безліч всіх дійсних чисел: Е(у) = R

3. Функція набуває нульового значення при або.

4. Функція зростає (зменшується) по всій області визначення.

5. Лінійна функція безперервна по всій області визначення, диференційована і .

2. Квадратична функція.

Функція виду , де х – змінна, коефіцієнти а, b, с – дійсні числа, називається квадратичні.

Коефіцієнти а, b, свизначають розташування графіка на координатній площині

Коефіцієнт а визначає напрямок гілок. Графік квадратичної функції – парабола. Координати вершини параболи знаходяться за формулами:

Властивості функції:

2. Безліч значень одного з проміжків: або.

3. Функція набуває нульових значень при , де дискримінант обчислюється за такою формулою:.

4. Функція безперервна по всій області визначення і похідна функції дорівнює .