Формулювання та доказ теореми Вієта для квадратних рівнянь. Зворотна теорема Вієта. Теорема Вієта для кубічних рівнянь та рівнянь довільного порядку.

також: Коріння квадратного рівняння

Квадратні рівняння

Теорема Вієта

Нехай і позначають коріння наведеного квадратного рівняння
(1) .
Тоді сума коренів дорівнює коефіцієнту при взятому зі зворотним знаком. Твір коренів дорівнює вільному члену:
;
.

Зауваження щодо кратного коріння

Якщо дискримінант рівняння (1) дорівнює нулю, це рівняння має один корінь. Але, щоб уникнути громіздких формулювань, прийнято вважати, що в цьому випадку рівняння (1) має два кратні, або рівні, корені:
.

Перший доказ

Знайдемо коріння рівняння (1). Для цього застосуємо формулу для коріння квадратного рівняння:
;
;
.

Знаходимо суму коренів:
.

Щоб знайти твір, застосуємо формулу:
.
Тоді

.

Теорему доведено.

Доказ другий

Якщо числа є корінням квадратного рівняння (1), то
.
Розкриваємо дужки.

.
Таким чином, рівняння (1) набуде вигляду:
.
Порівнюючи з (1) знаходимо:
;
.

Теорему доведено.

Зворотна теорема Вієта

Нехай і є довільні числа. Тоді і є корінням квадратного рівняння
,
де
(2) ;
(3) .

Доказ зворотної теореми Вієта

Розглянемо квадратне рівняння
(1) .
Нам потрібно довести, що якщо і , то є корінням рівняння (1).

Підставимо (2) і (3) до (1):
.
Групуємо члени лівої частини рівняння:
;
;
(4) .

Підставимо в (4) :
;
.

Підставимо в (4) :
;
.
Рівняння виконується. Тобто число є коренем рівняння (1).

Теорему доведено.

Теорема Вієта для повного квадратного рівняння

Тепер розглянемо повне квадратне рівняння
(5) ,
де , І є деякі числа. Причому.

Розділимо рівняння (5) на:
.
Тобто ми отримали наведене рівняння
,
де; .

Тоді теорема Вієта для повного квадратного рівняння має такий вигляд.

Нехай і позначають коріння повного квадратного рівняння
.
Тоді сума та добуток коренів визначаються за формулами:
;
.

Теорема Вієта для кубічного рівняння

Аналогічним чином ми можемо встановити зв'язок між корінням кубічного рівняння. Розглянемо кубічне рівняння
(6) ,
де , , , є деякі числа. Причому.
Розділимо це рівняння на:
(7) ,
де , , .
Нехай , , є коріння рівняння (7) (і рівняння (6)). Тоді

.

Порівнюючи з рівнянням (7) знаходимо:
;
;
.

Теорема Вієта для рівняння n-го ступеня

У такий же спосіб можна знайти зв'язки між корінням , , ... , , рівняння n-йступеня
.

Теорема Вієта для рівняння n-го ступенямає такий вигляд:
;
;
;

.

Щоб отримати ці формули, ми записуємо рівняння в наступному вигляді:
.
Потім прирівнюємо коефіцієнти при , , , ... і порівнюємо вільний член.

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.
С.М. Микільський, М.К. Потапов та ін., Алгебра: підручник для 8 класу загальноосвітніх установ, Москва, Просвітництво, 2006.

У восьмому класі, учні знайомляться з квадратними рівняннями та способами їх вирішення. При цьому, як показує досвід, більшість учнів під час вирішення повних квадратних рівнянь застосовують лише один спосіб – формулу коренів квадратного рівняння. Для учнів, які добре володіють навичками усного рахунку, цей спосіб явно нераціональний. Вирішувати квадратні рівняння учням доводиться часто й у старших класах, а там витрачати час на розрахунок дискримінанта просто шкода. На мій погляд, при вивченні квадратних рівнянь, слід приділити більше часу та уваги застосуванню теореми Вієта (за програмою А.Г. Мордковича Алгебра-8, вивчення теми “Теорема Вієта. Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники” заплановано лише дві години).

У більшості підручників алгебри ця теорема формулюється для наведеного квадратного рівняння і свідчить, що якщо рівняння має коріння і , то їм виконуються рівності , .Потім формулюється твердження, протилежне до теореми Вієта, і пропонується ряд прикладів для опрацювання цієї теми.

Візьмемо конкретні приклади та простежимо на них логіку рішення за допомогою теореми Вієта.

Приклад 1. Розв'язати рівняння.

Допустимо, це рівняння має коріння, а саме, і . Тоді за теоремою Вієта одночасно повинні виконуватись рівності

Звернімо увагу, що добуток коренів – позитивне число. Отже, коріння рівняння одного знака. Оскільки сума коренів також є позитивним числом, робимо висновок, що обидва корені рівняння – позитивні. Повернемося знову до твору коріння. Припустимо, що коріння рівняння – цілі позитивні числа. Тоді отримати правильну першу рівність можна лише двома способами (з точністю до порядку множників): або . Перевіримо для запропонованих пар чисел здійсненність другого затвердження теореми Вієта: . Таким чином, числа 2 і 3 задовольняють обом рівностям, а значить, і є корінням заданого рівняння.

Відповідь: 2; 3.

Виділимо основні етапи міркувань при вирішенні наведеного квадратного рівняння за допомогою теореми Вієта:

• визначити знаки коренів рівняння. різні знаки. При цьому якщо сума коренів – позитивна, то більший за модулем корінь є позитивним числом, а якщо сума коренів менша за нуль, то більший за модулем корінь – негативне число);
• підібрати пари цілих чисел, добуток яких дає правильну першу рівність у записі (*);
• зі знайдених пар чисел вибрати ту пару, яка при підстановці на другу рівність у записі (*) дасть правильну рівність;
• вказати у відповіді знайдене коріння рівняння.

Наведемо приклади.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння .

Рішення.

Нехай і – коріння заданого рівняння. Тоді за теоремою Вієта Зауважимо, що твір – позитивний, а сума – негативне число. Отже, обидва корені – негативні числа. Підбираємо пари множників, що дають добуток 10 (-1 та -10; -2 та -5). Друга пара чисел у сумі дає -7. Значить, числа -2 та -5 є корінням даного рівняння.

Відповідь: -2; -5.

Приклад 3. Розв'яжіть рівняння .

Рішення.

Нехай і – коріння заданого рівняння. Тоді за теоремою Вієта Зауважимо, що твір – негативний. Значить, коріння – різного знака. Сума коренів також негативне число. Значить, більший за модулем корінь негативний. Підбираємо пари множників, що дають добуток -10 (1 та -10; 2 та -5). Друга пара чисел у сумі дає -3. Значить, числа 2 та -5 є корінням даного рівняння.

Відповідь: 2; -5.

Зауважимо, що теорему Вієта в принципі можна сформулювати і для повного квадратного рівняння: якщо квадратне рівняння має коріння і , то їм виконуються рівності , .Однак застосування цієї теореми досить проблематично, так як у повному квадратному рівнянні принаймні один з коренів (за їх наявності, звичайно) є дробовим числом. А працювати з підбором дробів довго та важко. Але все ж таки вихід є.

Розглянемо повне квадратне рівняння . Помножимо обидві частини рівняння перший коефіцієнт аі запишемо рівняння у вигляді . Введемо нову змінну і отримаємо наведене квадратне рівняння , коріння якого і (за їх наявності) може бути знайдено за теоремою Вієта. Тоді коріння вихідного рівняння буде. Зазначимо, що скласти допоміжне наведене рівняння дуже просто: другий коефіцієнт зберігається, а третій коефіцієнт дорівнює твору ас. При певному навичці учні одразу складають допоміжне рівняння, знаходять його коріння за теоремою Вієта та вказують коріння заданого повного рівняння. Наведемо приклади.

Приклад 4. Розв'яжіть рівняння .

Складемо допоміжне рівняння і за теоремою Вієта знайдемо його коріння. Отже, коріння вихідного рівняння .

Відповідь: .

Приклад 5. Розв'яжіть рівняння .

Допоміжне рівняння має вигляд. По теоремі Вієта його коріння. Знаходимо коріння вихідного рівняння .

Відповідь: .

І ще один випадок, коли застосування теореми Вієта дозволяє усно знайти коріння повного квадратного рівняння. Неважко довести, що число 1 є коренем рівняння тоді і тільки тоді, коли. Другий корінь рівняння знаходиться за теоремою Вієта і дорівнює. Ще одне твердження: щоб число –1 було коренем рівняння необхідно і достатньо, щоб. Тоді другий корінь рівняння за теоремою Вієта дорівнює. Аналогічні твердження можна сформулювати і наведеного квадратного рівняння.

Приклад 6. Розв'яжіть рівняння .

Зауважимо, що сума коефіцієнтів рівняння дорівнює нулю. Значить, коріння рівняння .

Відповідь: .

Приклад 7. Розв'яжіть рівняння .

Для коефіцієнтів цього рівняння виконується властивість (Дійсно, 1-(-999)+(-1000)=0). Значить, коріння рівняння .

Відповідь: ..

Приклади застосування теореми Вієта

Завдання 1. Розв'яжіть наведене квадратне рівняння за допомогою теореми Вієта.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Завдання 2. Розв'яжіть повне квадратне рівняння за допомогою переходу до допоміжного квадратного рівняння.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Завдання 3. Розв'яжіть квадратне рівняння за допомогою властивості .

Практично будь-яке квадратне рівняння можна перетворити до виду. Однак це можливо, якщо спочатку розділити кожне доданок на коефіцієнт перед. Крім того, можна ввести нове позначення:

\[(\frac(b)(a))= p\] і \[(\frac(c)(a)) = q\]

Завдяки чому будемо мати рівняння, що зветься в математиці наведеним квадратним рівнянням. Коріння даного рівняння і коефіцієнти взаємопов'язані між собою, що підтверджено теоремою Вієта.

Теорема Вієта: Сума коренів наведеного квадратного рівняння \ дорівнює другому коефіцієнту \ взятому з протилежним знаком, а добуток коренів - вільному члену \

Для наочності вирішимо рівняння такого виду:

Вирішимо це квадратне рівняння за допомогою виписаних правил. Проаналізувавши вихідні дані, можна зробити висновок, що рівняння матиме два різні корені, оскільки:

Тепер із усіх множників числа 15 (1 і 15, 3 і 5) вибираємо ті, різниця яких дорівнює 2. Під цю умову потрапляють числа 3 і 5. Перед меншим числом ставимо знак "мінус". Таким чином, отримаємо коріння рівняння.

Відповідь: \[x_1=-3 та x_2=5\]

Де можна вирішити рівняння за теоремою Вієта онлайн?

Вирішити рівняння можна на нашому сайті https://сайт. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити рівняння онлайн будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити – це просто ввести свої дані у вирішувачі. Також ви можете переглянути відео інструкцію та дізнатися, як вирішити рівняння на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, ви можете задати їх у нашій групі Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте до нашої групи, ми завжди раді допомогти вам.

Для початку сформулюємо саму теорему: Нехай ми маємо наведене квадратне рівняння виду x^2+b*x + c = 0. Припустимо, це рівняння містить коріння x1 і x2. Тоді за теоремою такі твердження допустимі:

1) Сума коренів x1 і x2 дорівнюватиме негативному значеннюкоефіцієнта b.

2) Твір цього самого коріння даватиме нам коефіцієнт c .

Але що таке наведене рівняння

Наведеним квадратним рівнянням називається квадратне рівняння, коефіцієнт старшого ступеня, який дорівнює одиниці, тобто. це рівняння виду x^2 + b * x + c = 0. (А рівняння a * x ^ 2 + b * x + c = 0 ненаведене). Іншими словами, щоб привести рівняння до наведеного виду, ми повинні розділити це рівняння на коефіцієнт при старшому ступені (a). Завдання привести дане рівняння до наведеного вигляду:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1,5 * x ^ 2 + 7,5 * x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

Поділимо кожне рівняння на коефіцієнт старшого ступеня, отримаємо:

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3,5*x − 5,5 = 0.

Як можна побачити з прикладів, навіть рівняння, що містять дроби, можна привести до наведеного вигляду.

Використання теореми Вієта

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1 * x2 = 6;

одержуємо коріння: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1 * x2 = 8;

в результаті одержуємо коріння: x1 = -2; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1 * x2 = 4;

одержуємо коріння: x1 = −1; x2 = -4.

Значення теореми Вієта

Теорема Вієта дозволяє вирішити будь-яке квадратне наведене рівняння практично за секунди. На перший погляд це здається досить складним завданням, але після 5-10 рівнянь, можна навчитися бачити коріння відразу.

З наведених прикладів, і користуючись теоремою, видно як можна значно спростити розв'язання квадратних рівнянь, адже використовуючи цю теорему, можна вирішити квадратне рівняння практично без складних розрахунків і обчислення дискримінанта, а як відомо чим менше розрахунків, тим складніше припуститися помилки, що важливо.

У всіх прикладах ми використовували це правило, спираючись на два важливі припущення:

Наведене рівняння, тобто. коефіцієнт при старшому ступені дорівнює одиниці (ця умова легко уникнути. Можна використовувати ненаведений вид рівняння, тоді будуть допустимі наступні твердження x1+x2=-b/a; x1*x2=c/a, але зазвичай складніше вирішувати:))

Коли рівняння матиме два різні корені. Ми припускаємо, що нерівність вірна і дискримінант строго більше за нуль.

Тому ми можемо скласти загальний алгоритмрішення з теореми Вієта.

Загальний алгоритм рішення з теореми Вієта

Наводимо квадратне рівняння до виду, якщо рівняння дано нам у ненаведеному вигляді. Коли коефіцієнти у квадратному рівнянні, яке раніше ми представили як наведене, вийшли дробовими (не десятковими), то тут слід вирішувати наше рівняння через дискримінант.

Також трапляються випадки коли повернення до початкового рівняння дозволяє нам працювати зі “зручними” числами.

У квадратних рівняннях існує цілий рядспіввідношень. Основними є відносини між корінням та коефіцієнтами. Також у квадратних рівняннях працює ряд співвідношень, які задаються теоремою Вієта.

У цій темі ми наведемо саму теорему Вієта та її доказ для квадратного рівняння, теорему, обернену до теореми Вієта, розберемо ряд прикладів розв'язання задач. Особливу увагу в матеріалі ми приділимо розгляду формул Вієта, які задають зв'язок між дійсним корінням алгебраїчного рівнянняступеня nта його коефіцієнтами.

Формулювання та доказ теореми Вієта

Формула коренів квадратного рівняння a · x 2 + b · x + c = 0виду x 1 = - b + D 2 · a , x 2 = - b - D 2 · a де D = b 2 − 4 · a · c, встановлює співвідношення x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a. Це підтверджує і теорема Вієта.

Теорема 1

У квадратному рівнянні a · x 2 + b · x + c = 0, де x 1і x 2– коріння, сума коренів дорівнюватиме співвідношення коефіцієнтів bі a, яке було взято з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнюватиме відношенню коефіцієнтів cі a, тобто. x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a.

Доказ 1

Пропонуємо вам наступну схему проведення доказу: візьмемо формулу коренів, складемо суму і добуток коренів квадратного рівняння і потім перетворимо отримані вирази для того, щоб переконатися, що вони рівні - b aі c aвідповідно.

Складемо суму коренів x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a. Наведемо дроби до спільному знаменнику- b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Розкриємо дужки в чисельнику отриманого дробу і наведемо подібні доданки: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . Скоротимо дріб на: 2 - ba = - ba .

Так ми довели перше співвідношення теореми Вієта, яке відноситься до суми коренів квадратного рівняння.

Тепер давайте перейдемо до другого співвідношення.

Для цього нам необхідно скласти добуток коренів квадратного рівняння: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a .

Згадаймо правило множення дробів і запишемо останній твір наступним чином: - b + D · - b - D 4 · a 2 .

Проведемо в чисельнику дробу множення дужки на дужку або скористаємося формулою різниці квадратів для того, щоб перетворити цей твір швидше: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .

Скористаємося визначенням квадратного кореня для того, щоб здійснити наступний перехід: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Формула D = b 2 − 4 · a · cвідповідає дискримінанту квадратного рівняння, отже, в дріб замість Dможна підставити b 2 − 4 · a · c:

b 2 - D 4 · a 2 = b 2 - (b 2 - 4 · a · c) 4 · a 2

Розкриємо дужки, наведемо подібні доданки та отримаємо: 4 · a · c 4 · a 2 . Якщо скоротити її на 4 · a, то залишається c a . Так ми довели друге співвідношення теореми Вієта для коріння.

Запис доказу теореми Вієта може мати дуже короткий вигляд, якщо опустити пояснення:

x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a , x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .

При дискримінанті квадратного рівняння рівному нулю рівняння матиме лише один корінь. Щоб мати можливість застосувати до такого рівняння теорему Вієта, ми можемо припустити, що рівняння при дискримінанті, що дорівнює нулю, має два однакові корені. Справді, за D = 0корінь квадратного рівняння дорівнює: - b 2 · a , тоді x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a і x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2 , а так як D = 0 , тобто b 2 - 4 · a · c = 0 , звідки b 2 = 4 · a · c , то b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .

Найчастіше на практиці теорема Вієта застосовується по відношенню до наведеного квадратного рівняння виду x 2 + p · x + q = 0де старший коефіцієнт a дорівнює 1 . У зв'язку з цим формулюють теорему Вієта саме для рівнянь такого виду. Це не обмежує спільності через те, що будь-яке квадратне рівняння може бути замінене рівносильним рівнянням. Для цього необхідно поділити обидві його частини на число a, відмінне від нуля.

Наведемо ще одне формулювання теореми Вієта.

Теорема 2

Сума коренів у наведеному квадратному рівнянні x 2 + p · x + q = 0дорівнюватиме коефіцієнту при x , який узятий з протилежним знаком, твір коренів дорівнюватиме вільному члену, тобто. x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q.

Теорема, зворотна теоремі Вієта

Якщо уважно подивитися на друге формулювання теореми Вієта, то можна побачити, що для коріння x 1і x 2наведеного квадратного рівняння x 2 + p · x + q = 0будуть справедливі співвідношення x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q. З цих співвідношень x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q випливає, що x 1і x 2– це коріння квадратного рівняння x 2 + p · x + q = 0. Так ми приходимо до твердження, яке є оберненим теоремі Вієта.

Пропонуємо тепер оформити це твердження як теорему та провести її доказ.

Теорема 3

Якщо числа x 1і x 2такі, що x 1 + x 2 = − pі x 1 · x 2 = q, то x 1і x 2є корінням наведеного квадратного рівняння x 2 + p · x + q = 0.

Доказ 2

Заміна коефіцієнтів pі qна їх вираз через x 1і x 2дозволяє перетворити рівняння x 2 + p · x + q = 0у рівносильне йому .

Якщо в отримане рівняння підставити число x 1замість x, то ми отримаємо рівність x 1 2 − (x 1 + x 2) · x 1 + x 1 · x 2 = 0. Ця рівність за будь-яких x 1і x 2перетворюється на вірну числову рівність 0 = 0 , так як x 1 2 − (x 1 + x 2) · x 1 + x 1 · x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 · x 1 + x 1 · x 2 = 0. Це означає, що x 1- Корінь рівняння x 2 − (x 1 + x 2) · x + x 1 · x 2 = 0, і що x 1також є коренем рівносильного йому рівняння x 2 + p · x + q = 0.

Підстановка рівняння x 2 − (x 1 + x 2) · x + x 1 · x 2 = 0числа x 2замість x дозволяє здобути рівність x 2 2 − (x 1 + x 2) · x 2 + x 1 · x 2 = 0. Цю рівність можна вважати вірною, оскільки x 2 2 − (x 1 + x 2) · x 2 + x 1 · x 2 = x 2 2 − x 1 · x 2 − x 2 2 + x 1 · x 2 = 0. Виходить, що x 2є коренем рівняння x 2 − (x 1 + x 2) · x + x 1 · x 2 = 0, а значить, і рівняння x 2 + p · x + q = 0.

Теорема, обернена до теореми Вієта, доведена.

Приклади використання теореми Вієта

Давайте тепер приступимо до аналізу найбільш типових прикладів по темі. Почнемо з аналізу завдань, які вимагають застосування теореми, зворотній теореміВієта. Її можна застосовувати для перевірки чисел, отриманих під час обчислень, щодо того, чи є вони корінням заданого квадратного рівняння. Для цього необхідно обчислити їх суму та різницю, а потім перевірити справедливість співвідношень x 1 + x 2 = - b a , x 1 · x 2 = a c .

Виконання обох співвідношень свідчить, що числа, отримані під час обчислень, є корінням рівняння. Якщо ж ми бачимо, що хоча б одна з умов не виконується, то ці цифри не можуть бути корінням квадратного рівняння, даного за умови завдання.

Приклад 1

Яка з пар чисел 1) x 1 = − 5 , x 2 = 3 , або 2) x 1 = 1 - 3 , x 2 = 3 + 3, або 3) x 1 = 2 + 7 2 , x 2 = 2 - 7 2 є парою коренів квадратного рівняння 4 · x 2 − 16 · x + 9 = 0?

Рішення

Знайдемо коефіцієнти квадратного рівняння 4 · x 2 - 16 · x + 9 = 0 .Це a = 4, b = − 16, c = 9. Відповідно до теореми Вієта сума коренів квадратного рівняння повинна дорівнювати - b a, тобто, 16 4 = 4 , а добуток коренів має бути рівним c a, тобто, 9 4 .

Перевіримо отримані числа, обчисливши суму та добуток чисел із трьох заданих пар та порівнявши їх з отриманими значеннями.

У першому випадку x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2. Це значення відмінно від 4, отже, перевірку можна продовжувати. Відповідно до теореми, зворотної теоремі Вієта, можна одразу зробити висновок про те, що перша пара чисел не є корінням даного квадратного рівняння.

У другий випадок x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4 . Ми бачимо, що перша умова виконується. А ось друга умова немає: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3 . Значення, яке ми отримали, відмінне від 9 4 . Це означає, що друга пара чисел не є корінням квадратного рівняння.

Перейдемо до розгляду третьої пари. Тут x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 і x 1 · x 2 = 2 + 7 2 · 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4 . Виконуються обидві умови, а це означає, що x 1і x 2є корінням заданого квадратного рівняння.

Відповідь: x 1 = 2 + 7 2 , x 2 = 2 - 7 2

Ми також можемо використовувати теорему, обернену до теореми Вієта, для підбору коренів квадратного рівняння. Найбільш простий спосіб - це підбір цілих коренів наведених квадратних рівнянь із цілими коефіцієнтами. Можна й інші варіанти. Але це може суттєво ускладнити проведення обчислень.

Для підбору коренів ми використовуємо те що, що й сума двох чисел дорівнює другому коефіцієнту квадратного рівняння, взятому зі знаком мінус, а добуток цих чисел дорівнює вільному члену, ці цифри є корінням даного квадратного рівняння.

Приклад 2

Як приклад використовуємо квадратне рівняння x 2 − 5 · x + 6 = 0. Числа x 1і x 2можуть бути корінням цього рівняння у тому випадку, якщо виконуються дві рівності x 1 + x 2 = 5і x 1 · x 2 = 6. Підберемо такі числа. Це числа 2 і 3, оскільки 2 + 3 = 5 і 2 · 3 = 6. Виходить, що 2 та 3 – коріння даного квадратного рівняння.

Теорему, обернену до теореми Вієта, можна використовувати для знаходження другого кореня, коли перший відомий або очевидний. Для цього ми можемо використовувати співвідношення x 1 + x 2 = - a, x 1 · x 2 = a.

Приклад 3

Розглянемо квадратне рівняння 512 · x 2 − 509 · x − 3 = 0. Необхідно знайти коріння цього рівняння.

Рішення

Першим коренем рівняння є 1 так як сума коефіцієнтів цього квадратного рівняння дорівнює нулю. Виходить, що x 1 = 1.

Тепер знайдемо друге коріння. Для цього можна використати співвідношення x 1 · x 2 = c a. Виходить, що 1 · x 2 = − 3 512, звідки x 2 = - 3512.

Відповідь:коріння заданого за умови завдання квадратного рівняння 1 і - 3 512 .

Підбирати коріння, використовуючи теорему, обернену до теореми Вієта, можна лише у простих випадках. В інших випадках краще проводити пошук із використанням формули коренів квадратного рівняння через дискримінант.

Завдяки теоремі, зворотній теоремі Вієта, ми також можемо складати квадратні рівняння за наявним корінням x 1і x 2. Для цього нам необхідно обчислити суму коренів, яка дає коефіцієнт при xз протилежним знаком наведеного квадратного рівняння, та добуток коріння, яке дає вільний член.

Приклад 4

Напишіть квадратне рівняння, корінням якого є числа − 11 і 23 .

Рішення

Приймемо, що x 1 = − 11і x 2 = 23. Сума та добуток цих чисел дорівнюватимуть: x 1 + x 2 = 12і x 1 · x 2 = − 253. Це означає, що другий коефіцієнт - 12 , вільний член − 253.

Складаємо рівняння: x 2 − 12 · x − 253 = 0.

Відповідь: x 2 − 12 · x − 253 = 0 .

Ми можемо використовувати теорему Вієта для вирішення завдань, пов'язаних із знаками коренів квадратних рівнянь. Зв'язок між теоремою Вієта пов'язаний зі знаками коренів наведеного квадратного рівняння x 2 + p · x + q = 0наступним чином:

• якщо квадратне рівняння має дійсне коріння і якщо вільний член qє позитивним числом, то це коріння матиме однаковий знак «+» або «-»;
• якщо квадратне рівняння має коріння і якщо вільний член qє негативним числом, один корінь буде « + » , а другий « - » .

Обидва ці твердження є наслідком формули x 1 · x 2 = qта правила множення позитивних та негативних чисел, а також чисел із різними знаками.

Приклад 5

Чи є коріння квадратного рівняння x 2 − 64 · x − 21 = 0позитивними?

Рішення

По теоремі Вієта коріння даного рівняння не може бути обидва позитивними, тому що для них має виконуватися рівність x 1 · x 2 = − 21. Це неможливо за позитивних x 1і x 2.

Відповідь:Ні

Приклад 6

При яких значеннях параметра rквадратне рівняння x 2 + (r + 2) · x + r − 1 = 0матиме два дійсні корені з різними знаками.

Рішення

Почнемо з того, що знайдемо значення яких r, при яких у рівнянні буде два корені. Знайдемо дискримінант і подивимося, за яких умов rвін прийматиме позитивні значення. D = (r + 2) 2 − 4 · 1 · (r − 1) = r 2 + 4 · r + 4 − 4 · r + 4 = r 2 + 8. Значення виразу r 2 + 8позитивно за будь-яких дійсних r, отже, дискримінант буде більше нуля за будь-яких дійсних r. Це означає, що вихідне квадратне рівняння матиме два корені за будь-яких дійсних значень параметра r.

Тепер подивимося, коли коріння матиме різні знаки. Це можливо у тому випадку, якщо їхній твір буде негативним. Відповідно до теореми Виета добуток коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює вільному члену. Значить, правильним рішеннямбудуть ті значення r, При яких вільний член r − 1 негативний. Вирішимо лінійна нерівність r − 1< 0 , получаем r < 1 .

Відповідь:при r< 1 .

Формули Вієта

Існує ряд формул, які застосовні для здійснення дій з корінням та коефіцієнтами не тільки квадратних, але також кубічних та інших видів рівнянь. Їх називають формулами Вієта.

Для рівняння алгебри ступеня nвиду a 0 · x n + a 1 · x n - 1 +. . . + a n - 1 · x + a n = 0 вважається, що рівняння має nдійсних коренів x 1 , x 2 , … , x n, Серед яких можуть бути збігаються:
x 1 + x 2 + x 3 +. . . + x n = - a 1 a 0, x 1 · x 2 + x 1 · x 3 +. . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0, x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 +. . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0

Визначення 1

Отримати формули Вієта нам допомагають:

• теорема про розкладання многочлена на лінійні множники;
• визначення рівних многочленів через рівність їх відповідних коефіцієнтів.

Так, многочлен a 0 x n + a 1 x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n та його розкладання на лінійні множники виду a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (X - x n) рівні.

Якщо ми розкриваємо дужки в останньому творі та прирівнюємо відповідні коефіцієнти, то одержуємо формули Вієта. Прийнявши n = 2 ми можемо отримати формулу Вієта для квадратного рівняння: x 1 + x 2 = - a 1 a 0 , x 1 · x 2 = a 2 a 0 .

Визначення 2

Формула Вієта для кубічного рівняння:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0 , x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + x 2 · x 3 = a 2 a 0 , x 1 · x 2 · x 3 = - a 3 a 0

Ліва частина запису формул Вієта містить так звані елементарні симетричні багаточлени.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter