Побудова епюр поздовжніх сил та нормальних напруг. Побудова епюр поздовжніх зусиль при розтягуванні (стисканні) Розрахунок поздовжніх сил та нормальних напружень
Все різноманіття існуючих опорних пристроїв схематизується у вигляді ряду основних типів опор, з яких
найчастіше зустрічаються: шарнірно-рухливаопора(Можливі позначення для неї представлені на рис.1, а), шарнірно-нерухома опора(рис.1,б) та жорстке затискання, або закладення(Рис.1, в).
У шарнірно-рухомій опорі виникає одна опорна реакція, перпендикулярна до опорної площини. Така опора позбавляє опорний переріз одного ступеня свободи, тобто перешкоджає зсуву в напрямку опорної площини, але допускає переміщення перпендикулярному напрямку і поворот опорного перерізу.
У шарнірно-нерухомій опорі виникають вертикальна та горизонтальна реакції. Тут неможливі переміщення за напрямками опорних стрижнів, але допускається поворот опорного перерізу.
У жорсткому закладенні виникають вертикальна та горизонтальна реакції та опорний (реактивний) момент. При розрахунку опорний переріз не може зміщуватися і повертатися. При розрахунку систем, що містять жорстке загортання, опорні реакції, що виникають, можна не визначати, вибираючи при цьому відсічену частину так, щоб закладення з невідомими реакціями в неї не потрапляла. При розрахунку систем на шарнірних опорах реакції опор повинні бути обов'язково визначені. Рівняння статики, що використовуються для цього, залежать від виду системи (балка, рама та ін.) та будуть наведені у відповідних розділах цього посібника.
2. Побудова епюр поздовжніх сил Nz
Поздовжня сила в перерізі чисельно дорівнює сумі алгебри проекцій всіх сил, прикладених по одну сторону від аналізованого перерізу, на поздовжню вісь стрижня.
Правило знаків для Nz: умовимося вважати поздовжню силу в перерізі позитивною, якщо зовнішнє навантаження, прикладене до розглянутої відсіченої частини стрижня, викликає розтяг і негативну - в іншому випадку.
приклад 1.Побудувати епюру поздовжніх сил для жорстко защемленої балки(Рис.2).
Порядок розрахунку:
1. Намічаємо характерні перерізи, нумеруючи їх від вільного кінця стрижня до загортання.
2. Визначаємо подовжню силу Nz у кожному характерному перерізі. При цьому розглядаємо завжди ту відсічену частину, в яку не потрапляє жорстка загортання.
За знайденими значеннями будуємо епюру Nz. Позитивні значення відкладаються (у вибраному масштабі) над віссю епюри, негативні – під віссю.
3. Побудова епюр крутних моментів Мкр.
Крутний моментв перерізі чисельно дорівнює сумі алгебри зовнішніх моментів, прикладених по одну сторону від аналізованого перерізу, щодо поздовжньої осі Z.
Правило знаків для Мкр: умовимося вважати крутний моментв перерізі позитивним, якщо при погляді на переріз з боку відсіченої частини, що розглядається, зовнішній момент видно спрямованим проти руху годинникової стрілки і негативним - в іншому випадку.
приклад 2.Побудувати епюру крутних моментів для жорстко затиснутого стрижня(Рис.3, а).
порядок розрахунку.
Слід зазначити, що алгоритм і принципи побудови епюри моментів, що крутять, повністю збігаються з алгоритмом і принципами. побудови епюри поздовжніх сил.
1. Намічаємо характерні перерізи.
2.Визначаємо крутний момент у кожному характерному перерізі.
За знайденими значеннями будуємо епюру Мкр(Рис.3, б).
4. Правила контролю епюр Nz та Мкр.
Для епюр поздовжніх силі моментів, що крутять, характерні певні закономірності, знання яких дозволяє оцінити правильність виконаних побудов.
1. Епюри Nz та Мкр завжди прямолінійні.
2. На ділянці, де немає розподіленого навантаження, епюра Nz(Мкр) – пряма, паралельна осі, а на ділянці під розподіленим навантаженням – похила пряма.
3. Під точкою докладання зосередженої сили на епюрі Nz обов'язково має бути стрибок на величину цієї сили, аналогічно під точкою докладання зосередженого моменту на епюрі Мкр буде стрибок на величину цього моменту.
5. Побудова епюр поперечних сил Qy та згинальних моментів Mx у балках
Стрижень, що працює на вигин, називається балкою. У перерізах балок, завантажених вертикальними навантаженнями, виникають, як правило, два внутрішні силові фактори. Qy та згинальниймомент Mx.
Поперечна силав перерізі чисельно дорівнює сумі алгебри проекцій зовнішніх сил, прикладених по одну сторону від аналізованого перерізу, на поперечну (вертикальну) вісь.
Правило знаків для Qy:умовимося вважати поперечну силу в перерізі позитивною, якщо зовнішнє навантаження, прикладена до розглянутої відсіченої частини, прагне повернути цей переріз за годинниковою стрілкою і негативною - інакше.
Схематично це правило знаків можна подати у вигляді
Згинальний момент Mx в перерізі чисельно дорівнює сумі алгебри моментів зовнішніх сил, прикладених по одну сторону від аналізованого перерізу, щодо осі x , що проходить через даний переріз.
Правило знаків для Mx: умовимося вважати згинальний момент у перерізі позитивним, якщо зовнішнє навантаження, прикладене до розсіченої відсіченої частини, призводить до розтягування в даному перерізі нижніх волокон балки та негативної - в іншому випадку.
Схематично це правило знаків можна представити у вигляді:
Слід зазначити, що з використанням правил символів для Mx у зазначеному вигляді, епюра Mx завжди виявляється побудованою з боку стиснених волокон балки.
6. Консольні балки
При побудові епюр Qy та Mxу консольних, або жорстко защемлених, балках немає необхідності (як і в розглянутих раніше прикладах) обчислювати опорні реакції, що виникають у жорсткому закладенні, але вибирати відсічену частину потрібно так, щоб закладення в неї не потрапляла.
приклад 3.Побудувати епюри Qy та Mx(Рис.4).
Порядок розрахунку.
1. Намічаємо характерні перерізи.
Мал. 1.3 Стрижень
Порядок побудови епюр:
1. Визначаємо реакції опор.
2. Розбиваємо стрижень на ділянки.
Ділянка - частина стрижня між точками докладання зосереджених сил, включаючи опорні реакції.
3. Записуємо аналітичні висловлювання для внутрішніх силових чинників.
4. Будуємо графік (епюру) (рис. 1.4).
Мал. 1.4 Побудова епюри нормальних сил
Епюра -графік, заштрихований лініями, перпендикулярними до осі.
Використовуючи метод РОЗУ, відкидають ту частину, де більше навантаження.
Внутрішній фактор -рівнодіюча внутрішніх сил.
N z2 = P-3P = -2P
Nz2 = P-3P = -2P
Приклад 2 (рис. 1.5).
Побудувати епюру нормальних сил N.
q – інтенсивність рівномірно – розподіленого навантаження.
Небезпечне перетин у закладенні, т.к. там найбільше значення N.
Мал. 1.5 Побудова епюри нормальних сил
Побудуємо епюру нормальних сил
Побудова епюр крутних моментів
Під крученням розуміється такий вид навантаження, при якому в поперечних перерізах стрижня виникає тільки момент, що крутить, а інші силові фактори рівні нулю. Для моменту, що крутить, незалежно від форми перерізу, прийнято наступне правило знаків.
Мал. 1.6 Правило знаків для моменту, що крутить
Якщо з боку зовнішньої нормалі до перерізу обертання здійснюється проти годинникової стрілки, то момент, що крутить, позитивний (рис.1.6).
Правило знаків має формальний характер (можна встановити довільно).
Стрижень, що здебільшого працює на кручення, називається валом.
Рис.1.7 Схематичне зображення крутного моменту (проти годинникової стрілки).
Приклад (К - 1)
Побудувати епюру моментів, що крутять (рис 1.9).
Рис.1.9 Побудова епюри крутних моментів
Приклад на побудову епюри моментів, що крутять (рис 1.10).
Мал. 1.10 Побудова епюри крутних моментів
Побудова епюр поперечних сил Q та згинальних моментів M для балок
Балка - стрижень, що здебільшого працює на вигин. При розрахунку балку прийнято замінювати її віссю, всі навантаження наводяться до цієї осі, а силова площина співпадатиме з площиною креслення.
Вал - стрижень переважно працює на кручення.
Види опор:
Шарнірно-рухлива опора- Опора, в якій може виникати тільки одна складова реакції, спрямована вздовж опорного стрижня (рис.1.11).
Мал. 1.11 Шарнірно-рухлива опора
Шарнірно-нерухома опора -опора, в якій можуть виникати дві складові реакції: вертикальна та горизонтальна (рис.1.12).
Рис.1.13 Закладення
|
|
|
|
|
|
1.3.2 Правило символів для М
Епюру для М будують на стиснених волокнах.
Мал. 1.14 Розрахункова схема
Обчислимо реакції опор.
Звільнимо балку від зв'язків та замінимо їх дію реакціями.
Y: R A - P - q · 2a + R B = 0
Складемо рівняння рівноваги:
Сума моментів усіх сил щодо точки А дорівнює
Сума моментів усіх сил щодо точки В дорівнює
Розділимо балку на чотири ділянки. Застосуємо метод перерізів на кожній із ділянок і запишемо вирази для внутрішніх зусиль
Внутрішні зусилля другою ділянці рівні
На третій ділянці
Внутрішні зусилля на четвертій ділянці дорівнюють
Будуємо епюри для M та Q (рис 1.15). Для перевірки правильності отриманих епюр можуть бути використані наслідки диференціальних залежностей між Q і M.
Мал. 1.15 Побудова епюр Q та M
Диференціальні залежності при згинанні
Нехай стрижень закріплений довільним чином та навантажений розподіленим навантаженням q = f(z), прийнятий напрямок q вважати позитивним (рис. 2.1).
Мал. 2.1 Стрижень із розподіленим навантаженням
Виділимо зі стрижня елемент довжиною dz і в проведених перерізах прикладемо моменти M та M + dM, а також поперечні сили Q та Q + dQ (рис. 2.2). У межах малого відрізка dz навантаження q вважатимуться рівномірно розподіленої.
Мал. 2.2 Елемент довжиною dz стрижня
Прирівнюємо нулю суму проекцій усіх сил на вертикальну вісь y та суму моментів щодо поперечної осі:
Після спрощення отримаємо:
З отриманих співвідношень можна зробити деякі загальні висновки про характер епюр згинальних моментів та поперечних сил для прямого стрижня.
Правила перевірки епюр
1. Якщо ділянці відсутня розподілене навантаження, тобто q = 0, = > Q = const = C 1 ; => M = C 1 × z + D 1 то епюра поперечних сил постійна, а епюра згинальних моментів М змінюється за лінійним законом (рис. 2.3).
Мал. 2.3 Епюра поперечних сил і згинальних моментів
2. Якщо в перерізі прикладена зосереджена сила, то на епюрі Q стрибок на величину цієї сили, від початку попереднього до початку наступного. А на епюрі М злам, спрямований назустріч цій силі.
3. Якщо перша похідна позитивна, то момент зростає ліворуч, якщо негативна, то навпаки: +Q => M- -Q => M¯.
Якщо в перерізі прикладено зосереджений момент М i , то на епюрі Q немає жодних змін, а на епюрі Мстрибок на величину цього моменту (рис. 2.4).
Мал. 2.4 Епюра поперечних сил і згинальних моментів
Якщо ділянці прикладено рівномірно розподілене навантаження q = const, то Q - похила пряма, а М - парабола, опуклість якої спрямована назустріч навантаженню (рис. 2.5).
Мал. 2.5 Епюра поперечних сил та згинальних моментів
6. Якщо ділянці епюра Q змінює знак і перетинає вісь, то епюра М має екстремум у точці перетину Q з віссю.
7. Якщо гілки епюри Q сполучаються без стрибка на межах ділянки, то гілки епюри М на кордоні цих ділянок сполучаються без зламів (рис. 2.6).
Мал. 2.6 Епюра поперечних сил та згинальних моментів
8. Якщо дільниці стрижня Q дорівнює нулю, то (рис. 2.7)
Мал. 2.7 Епюра поперечних сил і згинальних моментів
Введемо осі координат Ox, Oy, Oz. Виділимо елементарний майданчик DF у площині поперечного перерізу бруса (рис. 3.1). На неї діє довільна сила, яка може бути розкладена на складові DN (DNëëxOy) та DT (DTÎxOy).
Центральним розтягуванням (стисненням)називається такий вид деформації, при якому в поперечних перерізах бруса (стрижня) виникає лише поздовжня (нормальна) сила. Вважається, що внутрішня поздовжня сила діє вздовж осі стрижня, перпендикулярно його поперечним перерізам. Чисельні значення поздовжніх сил Nвизначають дільницями, використовуючи метод перерізів, складаючи рівняння рівноваги суми проекцій на вісь бруса (z) всіх сил, що діють на відсічену частину.
Розглянемо (рис. 1.2, а)прямий брус постійної товщини, закріплений одним кінцем і навантажений на іншому кінці силою Р, спрямованої вздовж осі. Під дією закріплення та зовнішньої сили Рбрус розтягується (деформується). При цьому в закріпленні виникає деяке зусилля, завдяки якому верхній край бруса залишається нерухомим. Це зусилля називають реакцією закріплення на зовнішнє навантаження. Замінимо вплив закріплення на стрижень еквівалентно чинною силою. Ця сила дорівнює реакції закріплення R(Рис. 1.2, б).
Рі невідомої поки реакції R-
При побудові рівнянь загальної рівноваги механіки прийнято таке правило знаків: проекція зусилля на вісь позитивна, якщо її напрямок збігається з обраним напрямом цієї осі, проекція негативна, якщо спрямована у протилежний бік.
п-п(Рис. 1.2, б). n-пнормальної сили N(Рис. 1.2, в).Рівняння рівноваги нижньої відсіченої частини бруса:
Графік зміни поздовжньої сили вздовж осі бруса показано на рис. 1.2, м.Графік, що показує зміну поздовжніх сил за довжиною осі бруса, називається епюрою поздовжніх сил (епюрою N ).
приклад.Побудувати епюру внутрішніх нормальних сил, які під дією трьох зовнішніх сил (див. рис. 1.3): Р 1 = 5кН, P 2= 8 кН, Р 3 = 7 кН (див. рис. 1.3, а).
Використовуючи метод перерізів, визначимо значення внутрішньої сили у характерних поперечних перерізах бруса.
Рівняння рівноваги нижньої відлікової частини бруса:
переріз II-II
перетин I-I
перетин III-III
ƩZ = 0; -N + Р 1 - Р 2 + Р 3 = 0або N=Р 1 -Р 2 + Р 3= 4 кН.
Будуємо епюру нормальних сил (див. рис. 1.3, б)
Поздовжня силаN,що виникає в поперечному перерізі бруса, являє собою рівнодіючу внутрішніх нормальних сил, розподілених по площі поперечного перерізу, і пов'язана з нормальними напругами залежністю, що виникають у цьому перерізі
Під дією двох зовнішніх впливів: відомої сили Рі невідомої поки реакції R-брус знаходиться у рівновазі. Рівняння рівноваги бруса
При побудові рівнянь загальної рівноваги механіки прийнято таке правило знаків: проекція зусилля на вісь позитивна, якщо її напрямок збігається з обраним напрямом цієї осі, проекція негативна, якщо спрямована у протилежний бік.
Подумки розріжемо стрижень на дві частини за цікавим для нас перерізом п-п(Рис. 1.2, б).Вплив на нижню частину верхньої частини уявімо дією на нижню частину в її верхньому торці п-пнормальної сили N(Рис. 1.2, в).Рівняння рівноваги нижньої відсіченої частини бруса
Поздовжня силаN,що виникає в поперечному перерізі бруса, являє собою рівнодіючу внутрішніх нормальних сил, розподілених по площі поперечного перерізу, і пов'язана з нормальними напругами залежністю, що виникають у цьому перерізі
тут σ - нормальна напруга у довільній точці поперечного перерізу, що належить елементарному майданчику dF; F-площа поперечного перерізу бруса.
Твір σdF=dNє елементарною внутрішньою силою, що припадає на майданчик dF.
Значення поздовжньої сили Nу кожному окремому випадку легко можна визначити за допомогою методу перерізів. Для знаходження напруг у кожній точці поперечного перерізу бруса треба знати закон їхнього розподілу за цим перерізом.
Проведемо на бічній поверхні бруса до його навантаження лінії, перпендикулярні до осі бруса (рис. 1.4, а).
Кожну таку лінію можна розглядати як слід площині поперечного перерізу бруса. При навантаженні бруса осьовою силою Рці лінії, як показує досвід, залишаються прямими та паралельними між собою (їх положення після навантаження бруса показані на рис. 1.4, б).
Це дозволяє вважати, що поперечні перерізи бруса, плоскі до його
навантаження, залишаються плоскими та при дії навантаження. Такий досвід
Мал. 1.4. Деформування бруса
підтверджує гіпотезу плоских перерізів (гіпотезу Бернуллі).
Згідно з гіпотезою плоских перерізів, всі поздовжні волокна бруса розтягуються однаково, значить їх розтягують однакові за величиною сили про dF = dN,отже, у всіх точках поперечного перерізу нормальна напруга має постійне значення.
У поперечних перерізах бруса при центральному розтягуванні або стиску виникають рівномірно розподілені нормальні напруги, рівні відношенню поздовжньої сили до площі поперечного перерізу .
Для наочного зображення зміни нормальних напруг у поперечних перерізах стрижня (за його довжиною) будується епюра нормальних напруг . Осі цієї епюри є відрізок прямої, рівний довжині стрижня і паралельний його осі. При стрижні постійного перерізу епюра нормальних напруг має такий самий вигляд, як і епюра поздовжніх сил (вона відрізняється від неї лише прийнятим масштабом). При стрижні змінного перерізу вигляд цих двох епюр різний; зокрема, для стрижня зі ступінчастим законом зміни поперечних перерізів епюру нормальних напруг має стрибки не тільки в перерізах, в яких прикладені зосереджені осьові навантаження (де має стрибки епюра поздовжніх сил), а й у місцях зміни розмірів поперечних перерізів.
Рішення.
1. Побудова епюри N.
На брус діють три сили, отже, поздовжня сила за його довжиною змінюватиметься. Розбиваємо брус на ділянки, в межах яких поздовжня сила буде постійною. У разі кордонами ділянок є перерізи, у яких прикладені сили. Позначимо перерізи літерами А, В, З, D,починаючи з вільного кінця, у разі правого.
Для визначення поздовжньої сили кожному ділянці розглядаємо довільний поперечний переріз, сила у якому визначається за правилом, наведеному раніше. Щоб не визначати попередньо реакцію в закладенні D, починаємо розрахунки з вільного кінця бруса А.
Ділянка АВ, перетин 1-1 . Праворуч від перерізу діє розтягуюча сила P 1 (рис. 15, а). Відповідно до згаданого раніше правила, отримуємо
N AB = P 1 = 40 кН.
Ділянка НД, перетин 2-2 . Праворуч від нього розташовані дві сили, спрямовані у різні боки. З урахуванням правила знаків, отримаємо
N B З = + P 1 -P 2 = 40-90 = -50 кН.
Ділянка СD, перетин 3-3: аналогічно отримуємо
N D =+P 1 -P 2 -P 3 =40-90-110=-160 кН.
За знайденими значеннями Nу вибраному масштабі будуємо епюру, враховуючи, що в межах кожної ділянки поздовжня сила стала (рис.15, б)
Позитивні значення Nвідкладаємо вгору від осі епюри, негативні – вниз.
2. Побудова епюри напругσ .
Обчислюємо напруги в поперечному перерізі для кожної ділянки бруса:
При обчисленні нормальних напруг значення поздовжніх сил Nберуться по епюрі з урахуванням їхніх знаків. Знак плюс відповідає розтягуванню, мінус – стиску. Епюра напруги показана на рис. 15, в.
3. Побудова епюри поздовжніх переміщень.
Для побудови епюри переміщень обчислюємо абсолютні подовження окремих ділянок бруса, використовуючи закон Гука:
Визначаємо переміщення перерізів, починаючи з закріпленого нерухомого кінця. Перетин Dрозташоване в закладенні, воно не може зміщуватися і його переміщення дорівнює нулю:
Перетин Зпереміститься внаслідок зміни довжини ділянки CD.Переміщення перерізу Звизначається за формулою
∆ C =∆ l CD =-6,7∙10 -4 м.
При негативній (стискаючій) силі точка Ззміститься вліво.
Переміщення перерізу Ує результатом зміни довжин DCі CB. Складаючи їх подовження, отримуємо
∆ B =∆ l CD +∆ l BC =-6,7∙10 -4 -2,1∙10 -4 = -8,8∙10 -4 м.
Розмірковуючи аналогічно, обчислюємо переміщення перерізу А:
∆ A =∆ l CD +∆ l BC +∆ l AB =-6,7∙10 -4 -2,1∙10 -4 +0,57∙10 -4 = -8,23∙10 -4 м.
У вибраному масштабі відкладаємо від вихідної осі значення обчислених переміщень. З'єднавши отримані точки прямими лініями, будуємо епюру переміщень (рис.15, г).
4. Перевірка міцності бруса.
Умова міцності записується у такому вигляді:
Максимальну напругу σ max знаходимо по епюрі напруги, вибираючи максимальну за абсолютною величиною:
σ max =267 МПа.
Ця напруга діє на ділянці DC, всі перерізи якого є небезпечним.
Допустиму напругу обчислюємо за формулою:
Порівнюючи σ max і [σ], бачимо, що умова міцності не виконується, оскільки максимальна напруга перевищує допустиме.
Приклад 4
Підібрати з умов міцності та жорсткості розміри прямокутного поперечного перерізу чавунного стрижня (див. рис. 16, а).
Дано: F = 40 кН; l=0,4 м; [σ p] = 350 МПа; [σ с] = 800 МПа; Е=1,2∙10 5 МПа; [∆l]=l/200; h/b=2 де h – висота, b – ширина поперечного перерізу.
Рис.16
Рішення.
1. Побудова епюри внутрішніх зусильN
Стрижень розділений на 3 ділянки залежно від зміни зовнішнього навантаження та площі поперечного перерізу. Застосовуючи метод перерізів, визначаємо поздовжню силу кожному ділянці.
На ділянці 1: N 1 = F = -40 кН.
На ділянці 2: N 2 = -F + 3F = 2F = 80 кН.
На ділянці 3: N 3 =-F+3F-2F=F=40 кН.
Епюра Nнаведено на рис. 16, б.
2. Побудова епюри нормальних напруг
Знайдемо напруги на ділянках стрижня.
На ділянці 1:
На ділянці 2: 
На ділянці 3:
Епюра σ наведена на рис. 16, в.
3. Знаходження площі поперечного перерізу за умови міцності
Найбільші напруги, що розтягують, виникають на ділянці 2, найбільші стискаючі напруги – на ділянці 1. Для обчислення площі поперечного перерізу використовуємо умови міцності max. p ≤[σ p ] та σ max .с ≤[σ с ].
Напруження на ділянці 1 рівні
Отже,
Напруження на ділянці 2 рівні
За умовою міцності 
Напруження на ділянці 3 рівні
Отже,
Необхідну площу перерізу слід прийняти з умови міцності при розтягуванні:
При заданому співвідношенні h/b=2 площа поперечного перерізу можна записати, як A=h∙b=2b 2 . Розміри поперечного перерізу дорівнюватимуть:
4. Знаходження площі поперечного перерізу за умови жорсткості
При розрахунку жорсткість слід враховувати, що переміщення у точці d дорівнюватиме сумі деформацій всіх ділянок стрижня. Величину абсолютної деформації для кожної ділянки знайдемо за формулою
або
На ділянці 1:
На ділянці 2:
На ділянці 3:
Абсолютна деформація всього стрижня:
Із умови жорсткості ∆ l≤[∆l], знайдемо
, звідки
Розміри поперечного перерізу дорівнюватимуть:
Зіставляючи результати розрахунку міцність і жорсткість, приймаємо більше значення площі поперечного перерізу A=2,65 см 2 .
5. Побудова епюри переміщень𝜆
Для визначення переміщення будь-якого перерізу стрижня будують
епюру переміщень 
𝜆
.
За початок відліку приймаємо переріз у закладенні, оскільки переміщення цього перерізу дорівнює нулю. При побудові епюри послідовно визначаємо переміщення характерних перерізів стрижня, які дорівнюють сумі алгебри змін довжин всіх ділянок від початку відліку до аналізованого перерізу.
Перетин а:
Переріз b:
Перетин з:
Перетин d:
Епюра переміщень представлена на рис.16, г.
Приклад 5
Для ступінчастого бруса (рис. 17, а) при Е=2∙10 5 Мпа, σ Т = 240 МПа, потрібно визначити:
1. Внутрішні поздовжні сили за його довжиною та побудувати епюру поздовжніх сил.
2. Нормальні напруги в поперечних перерізах і побудувати епюру нормальних напруг.
3. Запас міцності для небезпечного перерізу.
4. Переміщення перерізів та побудувати епюру переміщень.
Дано: F 1 = 30кН; F 2 = 20кН; F3 = 60 кН; l 1 = 0,5 м; l 2 = 1,5 м; l 3 = 1м; l 4 = 1м; l 5 = l 6 = 1м; d 1 = 4см; d 2 = 2см.
Рис.17
Рішення.
1. Визначення поздовжніх сил у характерних перерізах бруса, та побудова епюри поздовжніх сил.
Зображаємо розрахункову схему (рис. 17, а) і визначаємо реакцію опори в закладенні, яку направляємо із зовнішнього боку закладення вліво. Якщо в результаті визначення реакції R Увиявиться негативною, це вказує на те, що її напрямок протилежний. Ступінчастий брус під дією сил F 1 , F 2 , F 3 та реакції R Уперебувають у рівновазі, тому для визначення R Удостатньо скласти одне рівняння проекцій усіх сил на вісь х, що збігається з віссю бруса.
ΣF ix =-F 1 -F 2 +F 3 -R B =0
Звідки R B = -F 1 -F 2 + F 3 = -30-20 +60 = 10 кН
Розмежуємо брус на ділянки. Межами ділянок є перерізи, у яких прикладені зовнішні сили, а напруг також місця зміни розмірів поперечного перерізу (рис. 17,а)
Користуючись методом перерізів, визначаємо для кожної ділянки величину та знак поздовжньої сили. Проведемо переріз 1–1 і розглянемо рівновагу правої відсіченої частини бруса (рис. 17, б). Внутрішні сили у кожному перерізі умовно спрямовуємо убік відкинутої частини. Якщо внутрішня поздовжня сила позитивна дільниці, має місце деформація розтягування; негативна – стиск.
Розглядаючи праву відсічену частину, знаходимо
∑F ix =-N 1 -R B =0; N 1 =-R B =-10 кН (стиск)
Значення поздовжньої сили межах першої ділянки залежить від цього, яку з відсічених частин ми розглядали. Доцільніше завжди розглядати ту частину бруса, до якої прикладено менше сил. Провівши перерізи в межах другої, третьої та четвертої ділянок, аналогічно знайдемо:
для перерізу 2-2 (рис. 17, в)
∑F ix =-N 2 +F 3 -R B =0; N 2 = F 3 -R B = 60-10 = 50 кН (розтяг).
для перерізу 3-3, розглядаємо ліву частину бруса (рис. 17, г)
ΣF ix =-F 1 -N 3 =0; N 3 = F 1 = 30 кН (розтяг).
для перерізу 4-4 (рис. 17, д)
ΣF ix =N 4 =0; N 4 =0 ця частина бруса не відчуває деформації.
Після визначення внутрішніх поздовжніх сил у характерних перерізах будують графік їх розподілу по довжині бруса. Графік, що показує, як змінюються поздовжні сили ( N) під час переходу від одного перерізу до іншого, тобто. графік, що зображує закон зміни Nвздовж осі бруса, називається епюрою поздовжніх сил.
Епюра поздовжньої сили будується у наступній послідовності. У розмежованому на ділянки брусі провести через точки докладання зовнішніх сил лінії перпендикулярні його осі. На деякій відстані від осі бруса провести лінію паралельну осі: на перпендикулярі до цієї лінії відкласти в обраному масштабі відрізок, що відповідає поздовжній силі для кожної ділянки: позитивні вгору від осі епюри, негативні - вниз. Через кінці відрізків провести лінії, паралельні осі. Вісь епюри проводять тонкою лінією, а саму епюру окреслюють товстими лініями, епюру штрихують тонкими лініями, перпендикулярними до її осі. У масштабі кожна лінія дорівнює поздовжній силі у відповідному перерізі бруса. На епюрі вказують знаки плюс і мінус і в характерних точках, де змінюється сила, проставляють її значення. У перерізах, в яких прикладені зосереджені сили, на епюрі є стрибки - різка зміна поздовжньої сили "Скачок" поздовжньої сили дорівнює зовнішній силі, прикладеної в цьому перерізі, що є перевіркою правильності побудованої епюри. На (рис. 18,б) побудована епюра поздовжніх сил заданого ступеневого бруса.
2. Визначення нормальних напруг у поперечних перерізах бруса та побудова епюри нормальних напруг.
Нормальну напругу на кожній ділянці визначаємо за формулою σ=N/A, підставляючи в її значення сил (у Н) та площ (у мм 2 ). Площа поперечних перерізів бруса визначаємо за формулою A=πd 2 /4
Нормальна напруга на ділянках I–VI дорівнює відповідно:
I. т.к. N 4 = 0
У межах кожної ділянки напруга однакова, оскільки однакові у всіх перерізах значення поздовжньої сили та площі поперечного перерізу. Епюра окреслена прямими, паралельними її осі. Побудова за обчисленими значеннями епюри представлена (рис. 18, в).
3. Визначення запасу міцності для небезпечного перерізу.
З епюри нормальних напруг, побудованої по довжині бруса видно, що найбільша напруга виникає в межах четвертої ділянки max = 159,2 Н/мм 2 , отже, запас міцності
4. Визначення переміщень перерізів та побудова епюри переміщень.
Для побудови епюри переміщень достатньо визначити переміщення крайніх перерізів кожної ділянки. Переміщення перерізу визначимо як суму алгебри деформацій ділянок стрижня, розташованих між цим перетином і закладенням, тобто. нерухомим перетином.
Абсолютні переміщення перерізів обчислимо за формулами:
Епюра поздовжніх переміщень представлена (рис. 18, г). У разі перевірки жорсткості слід порівняти отримане максимальне значення ∆ l = 1,55 ммз допустимим [∆ l] для цього бруса.
Рис.18
Приклад 6
Для ступінчастого бруса (мал.19) потрібно:
1. Побудувати епюру поздовжніх сил
2. Визначити нормальну напругу в поперечних перерізах і побудувати епюру
3. Побудувати епюру переміщень поперечних перерізів.
Дано: 
Рис.19
Рішення.
1. Визначимо нормальні зусилля
Ділянка AB:
Ділянка BC:
Ділянка CD:
Епюра поздовжніх сил показано на рис.20.
2. Визначимо нормальну напругу
Ділянка AB:
Ділянка BC:
Ділянка CD:
Епюра нормальних напруг показана на рис.20.
3. Визначимо переміщення поперечних перерізів
Епюра переміщень показана на рис.20.
|
|
|
|
Рис.20
Приклад 7
Для ступінчастого сталевого стрижня (мал.21) потрібно:
1. Побудувати епюри поздовжніх сил N та нормальних напруг σ.
2. Визначити поздовжню деформацію стрижня ∆ l.
Е = 2∙10 5 МПа; А 1 = 120 мм 2; А 2 = 80 мм 2; А 3 = 80 мм 2; а 1 = 0,1 м; а 2 = 0,2 м; а 3 = 0,2 м; F1 = 12 кН; F2 = 18 кН; F3 = -12 кН.
Рішення.
1. Побудова епюрNіσ
Застосовуємо метод перерізів.
Ділянка 1.
ΣХ = 0 → -N 1 + F 1 = 0; N 1 = F 1 = 12 кН;
Ділянка 2
ΣХ = 0 → -N 2 + F 2 + F 1 = 0;
N 2 = F 2 + F 1 = 18 + 12 = 30 кН;
Ділянка 3
ΣХ = 0 → - N 3 - F 3 + F 2 + F 1 = 0;
N 3 = - F 3 + F 2 + F 1 = -12 + 18 + 12 = 18 кН;
2. Розрахункова схема із справжнім напрямом зовнішнього навантаження та розрахунковими епюрами.
Рис.21
3. Визначення поздовжньої деформації стрижня
Приклад 8
Для бруса, жорстко заробленого обома кінцями і навантаженого вздовж осі силами F 1 і F 2 прикладеними в його проміжних перерізах (рис. 22, а), потрібно
1) Побудувати епюри поздовжніх сил,
2) Побудувати епюри нормальних напруг
3) Побудувати епюри переміщень поперечних перерізів
4) Перевірити міцність бруса.
Дано: якщо матеріал – сталь ст.3, F = 80 кН, т = 240 МПа, А = 4 см 2 , а = 1 м, необхідний коефіцієнт запасу [ n] = 1,4, Е= 2∙10 5 МПа.
Рис.22
Рішення.
1. Статичний бік завдання.
Оскільки сили F 1 і F 2 діють вздовж осі стрижня з його кінцях, під впливом сил F 1 і F 2 у закладенні можуть виникнути тільки горизонтальні опорні реакції R Аі R У. В даному випадку маємо систему сил, спрямованих по одній прямій (рис. 22, а), на яку статика дає лише одне рівняння рівноваги.
ΣF ix = -R А + F 1 + F 2 - R В = 0; R А + R В = F 1 + F 2 = 3F (1)
Невідомих реактивних сил дві R Аі R У, Отже, система один раз статично невизначена, тобто. необхідно скласти одне додаткове рівняння переміщень.
2. Геометрична сторона задачі.
Для розкриття статичної невизначеності, тобто. складання рівняння переміщень, відкинемо одну із закладень, наприклад праву (рис. 22, б). Отримуємо статично визначний брус, закріплений одним кінцем. Такий брус називають основною системою. Дію відкинутої опори замінюємо реакцією R У = Х. В результаті маємо статично визначний брус, навантажений, крім заданих сил. F 1 і F 2 невідомою реактивною силою R У = Х. Цей статично визначний брус навантажений як і заданий статично невизначений, тобто. еквівалентний йому. Еквівалентність цих двох брусів дозволяє стверджувати, що другий брус деформується як і, як перший, тобто. переміщення ∆ У– перерізи Удорівнює нулю, тому що фактично (в заданому брусі) воно жорстко закріплено: ∆ У = 0.
На основі принципу незалежності дії сил (результатом дії на тіло системи сил не залежить від послідовності їх застосування та дорівнює сумі результатів дії кожної сили окремо) переміщення перерізу Упредставимо як алгебраїчну суму переміщень від сил F 1 , F 2 і Х, тобто. рівняння спільності деформацій набуде вигляду:
∆ B =∆ BF1 +∆ BF2 +∆ BX =0 (2)
У позначеннях переміщень перша літера індексу вказує про переміщення якого перетину йдеться; друга – причину, що викликає це переміщення (сили F 1 , F 2 і Х).
3. Фізична сторона задачі.
На підставі закону Гука виражаємо переміщення перерізу В,через чинні сили F 1 , F 2 та невідому реакцію Х.
На (рис. 22, в, г, д), показані схеми навантаження бруса кожної із сил окремо та переміщення перерізу Увід цих сил.
Користуючись цими схемами, визначаємо переміщення:
дорівнює подовженню ділянки АС;
одно подовження ділянок АТі ДЕ;
дорівнює сумі укорочень ділянок АТ, ДК, КВ.
4. Синтез.
Підставимо значення , у рівняння (2), маємо
Отже:
Підставляючи R Ув рівняння (1), отримаємо:
R А + 66,7 = 3∙80 = 240
звідси R А =240-66,7=173,3 кН, R А = 173,3 кН, таким чином, статична невизначеність розкрита - маємо статично визначний брус, зароблений одним кінцем, навантажений відомими силами F 1 , F 2 і Х = 66,7 кн.
Епюру поздовжніх сил будуємо як для статично визначного бруса. На підставі методу перерізів внутрішні поздовжні сили у характерних ділянках рівні:
N АС = R А = 173,3 кН;
N РЄ = R А - 2F = 173,3 - 80∙2 = 13,3 кН;
N ЕВ = -R А = - 66,7 кН.
Епюра поздовжніх сил представлена (рис. 22, е). Значення нормальних напруг у характерних перерізах визначаємо за формулою
Для ділянки АС
для ділянки ЦД
для ділянки ДЕ
для ділянки ЄК
для ділянки КВ
У межах кожного із учасників напруги постійні, тобто. епюра "σ" - пряма, паралельна осі бруса (рис.22, ж).
При розрахунку на міцність інтерес становлять перерізи, в яких виникають найбільші напруги. У розглянутому прикладі вони не збігаються з тими перерізами, в яких максимальні поздовжні сили, найбільша напруга виникає на ділянці ЄКде σ мах = - 166,8 МПа.
З умови завдання випливає, що гранична напруга для бруса
σ перед = σ т = 240 МПа, тому допустима напруга
Звідси випливає, що розрахункова напруга = 166,8 МПа< 171,4 МПа, т.е. условие прочности выполняется. Разница между расчетным напряжением и допускаемым составляет:
Перевантаження або недовантаження допускається не більше ±5%.
При побудові епюри переміщень достатньо визначити переміщення перерізів ділянок, що збігаються з межами, оскільки між зазначеними перерізами епюру ∆ lмає лінійний характер. Починаємо будувати епюру переміщень від лівого защемленого кінця бруса, в якому А = 0; тому що воно нерухоме.
Отже, на правому кінці бруса у перерізі У, ордината епюри ∆ lдорівнює нулю, так як у заданому брусі цей перетин жорстко защемлено, за обчисленими значеннями побудована епюра ∆ l(Рис.22, з).
Приклад 9
Для складеного ступінчастого бруса, що складається з міді та сталі та навантаженого зосередженою силою F (рис. 23, а), визначити внутрішні поздовжні сили та побудувати їх епюри, якщо відомі модулі пружності матеріалу: для сталі E c , для міді E M .
Рис.23
Рішення.
1. Складають рівняння статичної рівноваги:
ΣZ=0;R B -F+R D =0. (1)
Завдання один раз статично невизначиме, оскільки обидві реакції можуть бути визначені лише з одного рівняння.
2. Умова спільності переміщень має висловити те що, що загальна довжина бруса не змінюється, тобто. переміщення, наприклад, перерізу
Використовуючи закон Гука σ=Eε, з урахуванням того факту, що переміщення будь-якого поперечного перерізу бруса чисельно рівні подовженню або укороченню його ділянок, розташованих між закладенням Bі переміщенням перерізом D, перетворять рівняння (2) на вигляд:
Звідси R D = 0,33F. (4)
Підставивши (4) до (1), визначають
R B = F-R D = F-0,33F = 0,67F. (5)
Тоді, застосувавши метод перерізів, згідно з виразом N i = F i , отримують:
N DC = -R D; NBC = R B .
Прийнявши для наочності рішення
l M = l; l c =2 l; A M = 4A C; E C = 2E M.
з урахуванням (4) одержують N DC =-R D = -0,33F,
a з урахуванням (5) одержують N BC =R B =0,67F.
Епюра поздовжніх сил показана на рис. 16, б.
Розрахунок на міцність після цього виконують згідно з умовою міцності 
Приклад 10
Брус ступінчасто-змінного перерізу, розрахункова схема якого показана на малюнку 24, знаходиться в умовах центрального (осьового) розтягування-стиску під дією заданого навантаження.
Потрібно:
1) Розкрити статичну невизначеність;
2) Побудувати епюри нормальних сил і нормальних напруг (у буквальному вираженні величин);
3) Підібрати переріз бруса за умовою міцності;
4) Побудувати епюру поздовжніх переміщень поперечних перерізів.
Вплив своєї ваги бруса знехтувати, опорні пристрої вважати абсолютно жорсткими.
матеріал – чавун, допустимі напруги (розрахункові опори):
Прийняти:для чавуну
Параметр F підлягає визначенню з умов міцності, а параметр P при виконанні п.3 завдання прийняти.
Визначення переміщень
Завдання
Для заданого статично визначального сталевого бруса потрібно:
1) побудувати епюри поздовжніх сил Nі нормальних напруг σ, записавши у загальному вигляді для кожної ділянки виразу Nі σ і вказавши на епюрах їх значення у характерних перерізах;
2) визначити загальне переміщення бруса і побудувати епюру переміщень поперечних перерізів, прийнявши модуль пружності Е = 2 · 10 МПа.
Мета роботи – навчитися будувати епюри поздовжніх сил і нормальних напруг, та визначати переміщення.
Теоретичне обґрунтування
Види навантаження бруса, при якому в його поперечному перерізі виникає тільки один внутрішній силовий фактор - , розтягуванням або стиском . Рівнодія зовнішніх сил прикладається в центрі тяжкості поперечного перерізу і діє вздовж поздовжньої осі. Внутрішні сили визначаються методом перерізів. Нормальна сила в перерізі бруса є рівнодією нормальних напруг, що діють у площині поперечного перерізу
N = ∑F (5.1).
Величина поздовжніх сил у різних перерізах бруса неоднакова. Графік, що показує зміну величини поздовжніх сил у перерізі бруса за його довжиною, називається епюрою поздовжніх сил.
Закон розподілу напруги може бути визначений з експерименту. Встановлено, що якщо на стрижень нанести прямокутну сітку, то після застосування поздовжнього навантаження вид сітки не зміниться, вона залишиться прямокутною, а всі лінії прямими. Тому можна зробити висновок про рівномірний за перерізом розподіл поздовжніх деформацій, а на підставі закону Гука ( σ = Eε) та нормальних напруг S = const. Тоді N = S F , звідки отримаємо формулу для визначення нормальних напруг у поперечному перерізі при розтягуванні
σ = МПа (5.2)
A - площа біля розглянутої ділянки бруса;
N– рівнодіюча внутрішніх сил у межах цього майданчика (згідно з методом перерізів).
Для забезпечення міцності стрижня має виконуватися умова міцності - конструкція буде міцною, якщо максимальна напруга в жодній точці навантаженої конструкції не перевищує допустимої величини, яка визначається властивостями даного матеріалу та умовами роботи конструкції, тобто
σ ≤ [σ ], τ ≤ [τ] (5.3)
При деформації бруса змінюється його довжина та поперечний розмір – на . Ці величини залежить і від початкових розмірів бруса.
Тому розглядають
- Поздовжня деформація; (5.4)
- Поперечна деформація. (5.5)
Експериментально показано, що де μ = 0, …, 0,5 – коефіцієнт Пуассона. Приклади: μ = 0 - пробка, μ = 0,5 - гума, - сталь.
У межах пружної деформації виконується закон Гука: де E – модуль пружності, або модуль Юнга.
Порядок виконання роботи
1. Розбиваємо брус на ділянки, обмежені точками докладання сил (нумерацію ділянок ведемо від незакріпленого кінця);
2. Використовуючи метод перерізів, визначаємо величину поздовжніх сил у перерізі кожної ділянки: N = ∑F;
3. Вибираємо масштаб і будуємо епюру поздовжніх сил, тобто. під зображенням бруса (або поруч) проводимо пряму, паралельну осі, і від цієї прямої проводимо перпендикулярні відрізки, відповідні в обраному масштабі поздовжнім силам (позитивне значення відкладаємо вгору (або вправо), негативне - вниз (або вліво).
4. Визначаємо загальне переміщення бруса і будуємо епюру переміщень поперечних перерізів.
5. Відповісти на контрольні питання.
Контрольні питання
1. Що називається стрижнем?
2. Який вид навантаження стрижня називаються осьовим розтягуванням (стисненням)?
3. Як обчислюється значення поздовжньої сили у довільному поперечному перерізі стрижня?
4. Що таке епюра поздовжніх сил і як вона будується?
5. Як розподілено нормальну напругу в поперечних перерізах центрально-розтягнутого або центрально-стисненого стрижня, і за якою формулою вони визначаються?
6. Що називається подовженням стрижня (абсолютною поздовжньою деформацією)? Що таке відносна поздовжня деформація? Які розмірності абсолютної та відносної поздовжніх деформацій?
7. Що називається модулем пружності Е? Як впливає величина Е на деформацію стрижня?
8. Сформулюйте закон Гука. Напишіть формули для абсолютної та відносної поздовжніх деформацій стрижня.
9. Що відбувається з поперечними розмірами стрижня при розтягуванні (стисненні)?
10. Що таке коефіцієнт Пуассона? У яких межах він змінюється?
11. З якою метою проводяться механічні випробування матеріалів? Які напруги є небезпечними для пластичних та крихких матеріалів?
Приклад виконання
Побудувати епюри поздовжніх сил та нормальних напруг для навантаженого сталевого бруса (рис. 5.1). Визначити подовження (укорочення) бруса, якщо E 
Рис.5.1
Дано: F = 2 kH, F = 5 kH, F = 2 kH, A = 2 см, А, l= 100 мм, l = 50 мм, l= 200 мм,