Зміст уроку

Додавання дробів з однаковими знаменниками

Додавання дробів буває двох видів:

1. Додавання дробів з однаковими знаменниками;
2. Додавання дробів з різними знаменниками.

Спочатку вивчимо складання дробів з однаковими знаменниками. Тут все просто. Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, потрібно скласти їх числа, а знаменник залишити без зміни.

Наприклад, складемо дроби і . Складаємо чисельники, а знаменник залишаємо без зміни:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на чотири частини. Якщо до піци додати піци, то вийде піци:

приклад 2.Скласти дроби та .

У відповіді вийшов неправильний дріб. Якщо настає кінець завдання, то неправильних дробів прийнято позбавлятися. Щоб позбутися неправильного дробу, потрібно виділити в ньому цілу частину. У нашому випадку ціла частина виділяється легко – два розділити на два буде один:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на дві частини. Якщо до піци додати ще піци, то вийде одна ціла піца:

Приклад 3. Скласти дроби та .

Знову ж складаємо чисельники, а знаменник залишаємо без зміни:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на три частини. Якщо до піци додати ще піци, то вийде піци:

приклад 4.Знайти значення виразу

Цей приклад вирішується так само, як і попередні. Чисельники необхідно скласти, а знаменник залишити без зміни:

Спробуємо зобразити рішення за допомогою малюнка. Якщо до піци додати піци і додати піци, то вийде 1 ціла і ще піци.

Як бачите у додаванні дробів з однаковими знаменниками немає нічого складного. Достатньо розуміти такі правила:

1. Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, потрібно скласти їх числа, а знаменник залишити без зміни;

Додавання дробів з різними знаменниками

Тепер навчимося складати дроби з різними знаменниками. Коли складають дроби, знаменники цих дробів мають бути однаковими. Але однаковими вони не завжди.

Наприклад, дроби і скласти можна, оскільки вони мають однакові знаменники.

А ось дроби і одразу скласти не можна, оскільки у цих дробів різні знаменники. У таких випадках дроби потрібно наводити до однакового (загального) знаменника.

Існує кілька способів приведення дробів до однакового знаменника. Сьогодні ми розглянемо лише один із них, оскільки інші способи можуть здатися складними для початківця.

Суть цього способу полягає в тому, що спочатку шукається (НОК) знаменників обох дробів. Потім НОК ділять на знаменник першого дробу та отримують перший додатковий множник. Аналогічно надходять і з другим дробом - НОК ділять на знаменник другого дробу та отримують другий додатковий множник.

Потім чисельники та знаменники дробів множаться на свої додаткові множники. В результаті цих дій, дроби у яких були різні знаменники, звертаються до дробів, у яких однакові знаменники. А як складати такі дроби ми знаємо.

Приклад 1. Складемо дроби та

Насамперед знаходимо найменше загальне кратне знаменників обох дробів. Знаменник першого дробу це число 3, а знаменник другого дробу — число 2. Найменше загальне кратне цих чисел дорівнює 6

НОК (2 та 3) = 6

Тепер повертаємось до дробів та . Спочатку розділимо НОК на знаменник першого дробу та отримаємо перший додатковий множник. НОК це число 6, а знаменник першого дробу це число 3. Ділимо 6 на 3, отримуємо 2.

Отримане число 2 це перший додатковий множник. Записуємо його до першого дробу. Для цього робимо невелику косу лінію над дробом і записуємо над нею знайдений додатковий множник:

Аналогічно чинимо і з другим дробом. Ділимо НОК на знаменник другого дробу та отримуємо другий додатковий множник. НОК це число 6, а знаменник другого дробу - число 2. Ділимо 6 на 2, отримуємо 3.

Отримане число 3 це другий додатковий множник. Записуємо його до другого дробу. Знову ж таки робимо невелику косу лінію над другим дробом і записуємо над нею знайдений додатковий множник:

Тепер у нас все готове до складання. Залишилося помножити чисельники та знаменники дробів на свої додаткові множники:

Подивіться уважно до чого ми прийшли. Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби у яких однакові знаменники. А як складати такі дроби ми знаємо. Давайте дорішаємо цей приклад остаточно:

Отже, приклад завершується. Додати виходить.

Спробуємо зобразити рішення за допомогою малюнка. Якщо до піци додати піци, то вийде одна ціла піца та ще одна шоста піци:

Приведення дробів до однакового (загального) знаменника також можна зобразити малюнком. Привівши дроби до спільного знаменника, ми отримали дроби і . Ці два дроби зображатимуться тими ж шматками піци. Відмінність буде лише в тому, що цього разу вони будуть поділені на однакові частки (наведені до однакового знаменника).

Перший малюнок зображує дріб (чотири шматочки із шести), а другий малюнок зображує дріб (три шматочки із шести). Склавши ці шматочки ми отримуємо (сім шматочків із шести). Цей дріб неправильний, тому ми виділили в ньому цілу частину. В результаті отримали (одну цілу піцу та ще одну шосту піци).

Зазначимо, що ми з вами розписали цей приклад дуже докладно. У навчальних закладах не заведено писати так розгорнуто. Потрібно вміти швидко знаходити НОК обох знаменників та додаткові множники до них, а також швидко множити знайдені додаткові множники на чисельники та знаменники. Знаходячись у школі, цей приклад нам довелося б записати так:

Але є й зворотний бік медалі. Якщо перших етапах вивчення математики не робити докладних записів, то починають виникати питання роду «А звідки от та цифра?», «Чому дроби раптом перетворюються зовсім на інші дроби? «.

Щоб легше було складати дроби з різними знаменниками, можна скористатися наступною покроковою інструкцією:

1. Знайти НОК знаменників дробів;
2. Розділити НОК на знаменник кожного дробу та отримати додатковий множник для кожного дробу;
3. Помножити чисельники та знаменники дробів на свої додаткові множники;
4. Скласти дроби, які мають однакові знаменники;
5. Якщо у відповіді вийшов неправильний дріб, то виділити її цілу частину;

приклад 2.Знайти значення виразу .

Скористайтеся інструкцією, яка наведена вище.

Крок 1. Знайти НОК знаменників дробів

Знаходимо НОК знаменників обох дробів. Знаменники дробів це числа 2, 3 та 4

Крок 2. Розділити НОК на знаменник кожного дробу та отримати додатковий множник для кожного дробу

Ділимо НОК на знаменник першого дробу. НОК це число 12, а знаменник першого дробу це число 2. Ділимо 12 на 2, отримуємо 6. Отримали перший додатковий множник 6. Записуємо його над першим дробом:

Тепер ділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 12, а знаменник другого дробу це число 3. Ділимо 12 на 3, отримуємо 4. Отримали другий додатковий множник 4. Записуємо його над другим дробом:

Тепер ділимо НОК на знаменник третього дробу. НОК це число 12, а знаменник третього дробу це число 4. Ділимо 12 на 4, отримуємо 3. Отримали третій додатковий множник 3. Записуємо його над третім дробом:

Крок 3. Помножити чисельники та знаменники дробів на свої додаткові множники

Помножуємо чисельники та знаменники на свої додаткові множники:

Крок 4. Скласти дроби, у яких однакові знаменники

Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби, у яких однакові (загальні) знаменники. Залишилося скласти ці дроби. Складаємо:

Додавання не помістилося на одному рядку, тому ми перенесли вираз, що залишився, на наступний рядок. Це допускається у математиці. Коли вираз не міститься на один рядок, його переносять на наступний рядок, при цьому треба обов'язково поставити знак рівності (=) на кінці першого рядка та на початку нового рядка. Знак рівності на другому рядку говорить про те, що це продовження виразу, який був на першому рядку.

Крок 5. Якщо у відповіді вийшов неправильний дріб, то виділити в ньому цілу частину

У нас у відповіді вийшов неправильний дріб. Ми маємо виділити в неї цілу частину. Виділяємо:

Отримали відповідь

Віднімання дробів з однаковими знаменниками

Віднімання дробів буває двох видів:

1. Віднімання дробів з однаковими знаменниками
2. Віднімання дробів з різними знаменниками

Спочатку вивчимо віднімання дробів з однаковими знаменниками. Тут все просто. Щоб відняти з одного дробу інший, потрібно від числа першого числа вирахувати чисельник другого дробу, а знаменник залишити колишнім.

Наприклад, знайдемо значення виразу. Щоб розв'язати цей приклад, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити без зміни. Так і зробимо:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на чотири частини. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци:

приклад 2.Знайти значення виразу.

Знову ж таки з чисельника першого дробу віднімаємо чисельник другого дробу, а знаменник залишаємо без зміни:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на три частини. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци:

приклад 3.Знайти значення виразу

Цей приклад вирішується так само, як і попередні. З чисельника першого дробу треба відняти чисельники інших дробів:

Як бачите у відніманні дробів з однаковими знаменниками нічого складного немає. Достатньо розуміти такі правила:

1. Щоб відняти від одного дробу інший, потрібно від чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити без зміни;
2. Якщо у відповіді вийшов неправильний дріб, то потрібно виділити в ньому цілу частину.

Віднімання дробів з різними знаменниками

Наприклад, від дробу можна відняти дріб, оскільки у цих дробів однакові знаменники. А ось від дробу не можна відняти дріб, оскільки у цих дробів різні знаменники. У таких випадках дроби потрібно наводити до однакового (загального) знаменника.

Загальний знаменник знаходять за тим самим принципом, яким ми користувалися при складанні дробів із різними знаменниками. Насамперед знаходять НОК знаменників обох дробів. Потім НОК ділять на знаменник першого дробу та отримують перший додатковий множник, який записується над першим дробом. Аналогічно НОК ділять на знаменник другого дробу та отримують другий додатковий множник, який записується над другим дробом.

Потім дроби множаться на додаткові множники. В результаті цих операцій, дроби у яких були різні знаменники, звертаються до дробів, у яких однакові знаменники. А як вичитати такі дроби ми вже знаємо.

приклад 1.Знайти значення виразу:

Ці дроби мають різні знаменники, тому потрібно привести їх до однакового (загального) знаменника.

Спочатку знаходимо НОК знаменників обох дробів. Знаменник першого дробу це число 3, а знаменник другого дробу — число 4. Найменше загальне кратне цих чисел дорівнює 12

НОК (3 та 4) = 12

Тепер повертаємось до дробів і

Знайдемо додатковий множник для першого дробу. Для цього розділимо НОК на знаменник першого дробу. НОК це число 12, а знаменник першого дробу - число 3. Ділимо 12 на 3, отримуємо 4. Записуємо четвірку над першим дробом:

Аналогічно чинимо і з другим дробом. Ділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 12, а знаменник другого дробу - число 4. Ділимо 12 на 4, отримуємо 3. Записуємо трійку над другим дробом:

Тепер у нас все готове для віднімання. Залишилося помножити дроби на додаткові множники:

Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби у яких однакові знаменники. А як вичитати такі дроби ми вже знаємо. Давайте дорішаємо цей приклад остаточно:

Отримали відповідь

Спробуємо зобразити рішення за допомогою малюнка. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци

Це докладна версія рішення. Знаходячись у школі, нам довелося б вирішити цей приклад коротше. Виглядало б таке рішення в такий спосіб:

Приведення дробів і до спільного знаменника може бути зображено за допомогою малюнка. Привівши ці дроби до спільного знаменника, ми отримали дроби та . Ці дроби будуть зображуватись тими ж шматочками піци, але цього разу вони будуть розділені на однакові частки (приведені до однакового знаменника):

Перший малюнок зображує дріб (вісім шматочків із дванадцяти), а другий малюнок — дріб (три шматочки із дванадцяти). Відрізавши від восьми шматочків три шматочки ми отримуємо п'ять шматочків із дванадцяти. Дріб і описує ці п'ять шматочків.

приклад 2.Знайти значення виразу

Ці дроби мають різні знаменники, тому спочатку потрібно привести їх до однакового (загального) знаменника.

Знайдемо НОК знаменників цих дробів.

Знаменники дробів це числа 10, 3 і 5. Найменше загальне кратне цих чисел дорівнює 30

НОК (10, 3, 5) = 30

Тепер знаходимо додаткові множники для кожного дробу. Для цього розділимо НОК на знаменник кожного дробу.

Знайдемо додатковий множник для першого дробу. НОК це число 30, а знаменник першого дробу - число 10. Ділимо 30 на 10, отримуємо перший додатковий множник 3. Записуємо його над першим дробом:

Тепер знаходимо додатковий множник для другого дробу. Розділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 30, а знаменник другого дробу - число 3. Ділимо 30 на 3, отримуємо другий додатковий множник 10. Записуємо його над другим дробом:

Тепер знаходимо додатковий множник для третього дробу. Розділимо НОК на знаменник третього дробу. НОК це число 30, а знаменник третього дробу - число 5. Ділимо 30 на 5, отримуємо третій додатковий множник 6. Записуємо його над третім дробом:

Тепер все готове для віднімання. Залишилося помножити дроби на додаткові множники:

Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби у яких однакові (загальні) знаменники. А як вичитати такі дроби ми вже знаємо. Давайте вирішуємо цей приклад.

Продовження прикладу не поміститься на одному рядку, тому переносимо продовження на наступний рядок. Не забуваємо про знак рівності (=) на новому рядку:

У відповіді вийшов правильний дріб, і начебто нас все влаштовує, але він занадто громіздкий і некрасивий. Треба зробити її простіше. А що можна зробити? Можна скоротити цей дріб.

Щоб скоротити дріб, потрібно розділити його чисельник і знаменник на (НД) чисел 20 і 30.

Отже, знаходимо НОД чисел 20 та 30:

Тепер повертаємось до нашого прикладу і ділимо чисельник та знаменник дробу на знайдений НОД, тобто на 10

Отримали відповідь

Розмноження дробу на число

Щоб помножити дріб на число, чисельник цього дробу помножити на це число, а знаменник залишити без змін.

Приклад 1. Помножити дріб на число 1 .

Помножимо чисельник дробу на число 1

Запис можна розуміти як взяти половину 1 раз. Наприклад, якщо піци взяти 1 раз, то вийде піци

З законів множення знаємо, що й множимое і множник поміняти місцями, то твір не зміниться. Якщо вираз, записати як, то твір як і раніше буде рівним. Знову ж таки спрацьовує правило перемноження цілого числа і дробу:

Цей запис можна розуміти, як взяття половини від одиниці. Наприклад, якщо є одна ціла піца і ми візьмемо від неї половину, то у нас виявиться піци:

Приклад 2. Знайти значення виразу

Помножимо чисельник дробу на 4

У відповіді вийшов неправильний дріб. Виділимо в ній цілу частину:

Вираз можна розуміти як взяття двох чвертей 4 рази. Наприклад, якщо піци взяти 4 рази, то вийде дві цілі піци

А якщо поміняти множимо і множник місцями, то отримаємо вираз . Воно теж дорівнюватиме 2. Цей вираз можна розуміти, як взяття двох піц від чотирьох цілих піц:

Число, яке множиться на дріб, і знаменник дробу дозволяється, якщо вони мають спільний дільник, більший за одиницю.

Наприклад, вираз можна обчислити двома способами.

Перший спосіб. Помножити число 4 на чисельник дробу, а знаменник дробу залишити без змін:

Другий спосіб. Чотирку, що множиться, і четвірку, що знаходиться в знаменнику дробу, можна скоротити. Скоротити ці четвірки можна на 4, оскільки найбільший спільний дільник для двох четвірок є сама четвірка:

Вийшов той самий результат 3. Після скорочення четвірок, їх місці утворюються нові числа: дві одиниці. Але перемноження одиниці із трійкою, і далі поділ на одиницю нічого не змінює. Тому рішення можна записати коротше:

Скорочення може бути виконано навіть тоді, коли ми вирішили скористатися першим способом, але на етапі перемноження числа 4 і 3 вирішили скористатися скороченням:

А ось наприклад вираз можна обчислити тільки першим способом - помножити 7 на знаменник дробу, а знаменник залишити без змін:

Пов'язано це з тим, що число 7 і знаменник дробу не мають спільного дільника, більшого за одиницю, і відповідно не скорочуються.

Деякі учні помилково скорочують число, що множиться, і чисельник дробу. Робити це не можна. Наприклад, наступний запис не є правильним:

Скорочення дробу передбачає, що і чисельник та знаменникбуде поділено на одне й те саме число. У ситуації з виразом поділ виконано лише в чисельнику, оскільки записати це все одно, що записати. Бачимо, що розподіл виконано лише в чисельнику, а в знаменнику ніякого поділу не відбувається.

Розмноження дробів

Щоб перемножити дроби, потрібно перемножити їх чисельники та знаменники. Якщо у відповіді вийде неправильний дріб, потрібно виділити в ньому цілу частину.

приклад 1.Знайти значення виразу.

Отримали відповідь. Бажано скоротити цей дріб. Дроб можна скоротити на 2. Тоді остаточне рішення набуде наступного вигляду:

Вираз можна розуміти як взяття піци від половини піци. Допустимо, у нас є половина піци:

Як узяти від цієї половини дві третини? Спочатку потрібно поділити цю половину на три рівні частини:

І взяти від цих трьох шматочків два:

У нас вийде піца. Згадайте, як виглядає піца, розділена на три частини:

Один шматок від цієї піци та взяті нами два шматочки матимуть однакові розміри:

Іншими словами, йдеться про один і той же розмір піци. Тому значення виразу дорівнює

Приклад 2. Знайти значення виразу

Помножуємо чисельник першого дробу на чисельник другого дробу, а знаменник першого дробу на знаменник другого дробу:

У відповіді вийшов неправильний дріб. Виділимо в ній цілу частину:

приклад 3.Знайти значення виразу

Помножуємо чисельник першого дробу на чисельник другого дробу, а знаменник першого дробу на знаменник другого дробу:

У відповіді вийшов правильний дріб, але буде добре, якщо його скоротити. Щоб скоротити цей дріб, потрібно чисельник та знаменник даного дробу розділити на найбільший спільний дільник (НДД) чисел 105 та 450.

Отже, знайдемо НОД чисел 105 і 450:

Тепер ділимо чисельник та знаменник нашої відповіді на НОД, яку ми зараз знайшли, тобто на 15

Подання цілого числа у вигляді дробу

Будь-яке ціле число можна подати у вигляді дробу. Наприклад, число 5 можна як . Від цього п'ятірка свого значення не змінить, оскільки вираз означає «число п'ять розділити на одиницю», а це, як відомо, одно п'ятірці:

Зворотні числа

Зараз ми познайомимося з дуже цікавою темою математики. Вона називається «зворотні числа».

Визначення. Зворотнім доa називається число, яке при множенні наa дає одиницю.

Давайте підставимо на це визначення замість змінної aчисло 5 і спробуємо прочитати визначення:

Зворотнім до 5 називається число, яке при множенні на 5 дає одиницю.

Чи можна знайти таке число, яке при множенні на 5 дає одиницю? Виявляється, можна. Представимо п'ятірку у вигляді дробу:

Потім помножити цей дріб на саму себе, тільки поміняємо місцями чисельник та знаменник. Іншими словами, помножимо дріб на саму себе, тільки перевернутий:

Що вийде внаслідок цього? Якщо ми продовжимо вирішувати цей приклад, то отримаємо одиницю:

Значить зворотним до 5, є число , оскільки при множенні 5 виходить одиниця.

Зворотне число можна знайти також будь-якого іншого цілого числа.

Знайти зворотне число можна також для будь-якого іншого дробу. Для цього достатньо перевернути її.

Розподіл дробу на число

Допустимо, у нас є половина піци:

Розділимо її порівну на двох. Скільки піци дістанеться кожному?

Видно, що після поділу половини піци вийшло два рівні шматочки, кожен з яких складає піци. Значить кожному дістанеться піци.

Минулого разу ми навчилися складати та віднімати дроби (див. урок «Складання та віднімання дробів»). Найбільш складним моментом у тих діях було приведення дробів до спільного знаменника.

Тепер настав час розібратися з множенням і поділом. Хороша новина полягає в тому, що ці операції виконуються навіть простіше, ніж додавання та віднімання. Спочатку розглянемо найпростіший випадок, коли є два позитивні дроби без виділеної цілої частини.

Щоб помножити два дроби, треба окремо помножити їх чисельники та знаменники. Перше число буде чисельником нового дробу, а друге – знаменником.

Щоб розділити два дроби, треба перший дріб помножити на «перевернутий» другий.

Позначення:

З визначення випливає, що розподіл дробів зводиться до множення. Щоб «перевернути» дріб, достатньо поміняти місцями чисельник та знаменник. Тому весь урок ми розглядатимемо переважно множення.

В результаті множення може виникнути (і найчастіше дійсно виникає) скоротитий дріб - його, зрозуміло, треба скоротити. Якщо після всіх скорочень дріб виявився неправильним, у ньому слід виділити цілу частину. Але чого точно не буде при множенні, так це приведення до спільного знаменника: жодних методів «хрест-навхрест», найбільших множників та найменших спільних кратних.

За визначенням маємо:

Розмноження дробів з цілою частиною та негативних дробів

Якщо в дробах є ціла частина, їх треба перевести в неправильні - і тільки потім множити за схемами, викладеними вище.

Якщо в чисельнику дробу, у знаменнику або перед ним стоїть мінус, його можна винести за межі множення або взагалі прибрати за такими правилами:

1. Плюс мінус дає мінус;
2. Мінус на мінус дає плюс.

Досі ці правила зустрічалися тільки при складанні та відніманні негативних дробів, коли потрібно було позбутися цілої частини. Для твору їх можна узагальнити, щоб спалювати відразу кілька мінусів:

1. Викреслюємо мінуси парами доти, доки вони повністю не зникнуть. У крайньому випадку, один мінус може вижити – той, якому не знайшлося пари;
2. Якщо мінусів не залишилося, операція виконана – можна приступати до множення. Якщо ж останній мінус не закреслено, оскільки йому не знайшлося пари, виносимо його за межі множення. Вийде негативний дріб.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Усі дроби переводимо в неправильні, а потім виносимо мінуси за межі множення. Те, що залишилося, множимо за звичайними правилами. Отримуємо:

Ще раз нагадаю, що мінус, який стоїть перед дробом із виділеною цілою частиною, відноситься саме до всього дробу, а не лише до його цілої частини (це стосується двох останніх прикладів).

Також зверніть увагу на негативні числа: при множенні вони полягають у дужках. Це зроблено для того, щоб відокремити мінуси від знаків множення і зробити весь запис більш обережним.

Скорочення дробів «на льоту»

Множення - дуже трудомістка операція. Числа тут виходять досить великі, і щоб спростити завдання, можна спробувати скоротити ще до множення. Адже по суті чисельники і знаменники дробів - це звичайні множники, і, отже, їх можна скорочувати, використовуючи основну властивість дробу. Погляньте на приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразу:

За визначенням маємо:

У всіх прикладах червоним кольором відзначені числа, які зазнали скорочення, і те, що від них залишилося.

Зверніть увагу: у першому випадку множники скоротилися повністю. На їхньому місці залишилися одиниці, які, власне кажучи, можна не писати. У другому прикладі повного скорочення досягти не вдалося, але сумарний обсяг обчислень все одно зменшився.

Однак ні в якому разі не використовуйте цей прийом при складанні та відніманні дробів! Так, іноді там трапляються схожі числа, які так і хочеться скоротити. Ось, подивіться:

Так не можна робити!

Помилка виникає через те, що при додаванні в чисельнику дробу з'являється сума, а не добуток чисел. Отже, застосовувати основну властивість дробу не можна, оскільки в цій властивості йдеться саме про множення чисел.

Інших підстав для скорочення дробів просто не існує, тому правильне вирішення попереднього завдання виглядає так:

Правильне рішення:

Як бачите, правильна відповідь виявилася не такою гарною. Загалом будьте уважні.

6 клас

ТЕМА: «Поділ звичайних дробів», 6 клас.

МЕТА УРОКУ: Узагальнити та систематизувати теоретичні та практичні

знання, вміння та навички учнів. Організувати роботу з

ліквідації прогалин у знаннях учнів. Поліпшити, розширити

та поглибити знання учнів на тему.

ТИП УРОКУ: Урок узагальнення та систематизації знань, умінь та навичок

Устаткування: На дошці тема, ціль, план уроку

ХІД УРОКУ.

У кожного учня на парті лежить «Листок контролю»

1. домашня робота -

2. питання щодо повторення –

3. усний рахунок -

4. робота у класі –

5. самостійна робота -

1. Перевірка домашньої роботи:

а) робота у парах з питань:

1) Додавання, віднімання звичайних дробів;

2) Як помножити дріб на дріб;

3) множення двох дробів;

4) Примноження змішаних дробів;

5) Правило розподілу дробів;

6) Розподіл змішаних дробів;

7) Що зв. скороченням дробів.

б) перевірка домашнього завдання з готового рішення на дошці:

№ 620(а), 624, 619(г).

Ціль: виявити ступінь засвоєння домашнього завдання. Визначити типові недоліки.

Оцінки виставити в листок контролю

Оголосити мету уроку: Узагальнити та систематизувати знання, вміння та навички з

темі: «Поділ звичайних дробів».

Теорію повторили, перевіримо знання практично.

2. Усний рахунок.

а) За картками: 1) Скоротити дріб: ; ; ; …

2) Звернути в неправильний дріб: ; ; …

3) Виділити цілу частину: ; ; …

б) Числова драбинка. Хто швидше дістанеться до 6-го поверху, той дізнається:

побудови геометрії (Евклід)

2 варіант - людину, яка хотіла бути і юристом, і офіцером, і філософом, але

став математиком (Декарт)

л 0,1: ½ 0,4: 0,1 а

і д д о л к к а в р е т

Оцінки в листок контролю за: 2" - "5", 3" - "4", 4" - "3".

Хто виконав «драбинку», робить у зошитах №606. Перший із учнів на крилі дошки робить №606. Потім перевіряє клас.

3.

а)№ 581 (б, г), 587 (з коментуванням), 591 (л, м, до), 600, 602, 593 (г, до, д, і)

Завдання виконуються у зошитах та на дошці.

б)Розв'язати задачу: За кг цукерок заплатили тис. рублів. Скільки коштують

Кг таких цукерок?

4.

№ 1 . Виконати дії:

: відповіді: 1) 2) 3) 4) .

№ 2 . Уявити дріб у вигляді звичайного дробу та виконати дії:

0,375: відповіді: 1) 2) 3) 4)

№ 3 . Розв'яжіть рівняння: відповіді: 1) 2) 3) 4) 2

№ 4 . Першого дня турист пройшов усього шляху, а другого — решту. У

скільки разів більша частина дороги, пройдена туристом у перший день, ніж у

другий? Відповіді: 1) 2) 5 3) 4)

№ 5. Подати у вигляді дробу:

: відповідь: 1) 2) 3) 4)

Перевірити рішення за шаблоном: №1 -4; №2 - 1; №3 – 4; №4 – 4; №5 - 3.

Оцінки виставити в аркуш контролю.

Зібрати аркуші контролю. Підбити підсумки. Оголосити оцінки за урок.

5. Підсумок уроку:

Які основні правила ми сьогодні повторили?

6. Домашнє завдання:

№ 619 (в), 620 (б), 627, індивідуальне завдання № 617 (а, д, ж).

Завантажити:

Попередній перегляд:

МОУ «Гімназія №7»

м. Торжок Тверської обл.

ВІДКРИТИЙ УРОК ЗА ТЕМОЮ:

«ПОДІЛ ЗВИЧАЙНИХ ДРОБІВ»

6 клас

Відкритий урок на міському МО м. Торжка

(Атестація, 2001р.)

Вчитель математики: Уфімцева Н.А.

2001 р.

ТЕМА: « Розподіл звичайних дробів», 6 клас.

МЕТА УРОКУ : Узагальнити та систематизувати теоретичні та практичні

Знання, вміння та навички учнів. Організувати роботу з

Ліквідації прогалин у знаннях учнів. Поліпшити, розширити

І поглибити знання учнів на тему.

ТИП УРОКУ : Урок узагальнення та систематизації знань, умінь та навичок

Устаткування : На дошці тема, ціль, план уроку

ХІД УРОКУ.

У кожного учня на парті лежить «Листок контролю»

1. домашня робота –
2. питання щодо повторення –
3. усний рахунок -
4. робота у класі –
5. самостійна робота –

1. Перевірка домашньої роботи:

А) робота в парах з питань:

1) Додавання, віднімання звичайних дробів;

2) Як помножити дріб на дріб;

3) множення двох дробів;

4) Примноження змішаних дробів;

5) Правило розподілу дробів;

6) Розподіл змішаних дробів;

7) Що зв. скороченням дробів.

Б) перевірка домашнього завдання з готового рішення на дошці:

№ 620(а), 624, 619(г).

Ціль : Виявити ступінь засвоєння домашнього завдання Визначити типові недоліки.

Оцінки виставити в листок контролю

Оголосити мету уроку: Узагальнити та систематизувати знання, вміння та навички з

Темі: «Поділ звичайних дробів».

Теорію повторили, перевіримо знання практично.

1. Усний рахунок.

А) За картками: 1) Скоротити дріб: ; ; ; …

2) Звернути в неправильний дріб: ; ; …

3) Виділити цілу частину: ; ; …

Б) Числова драбинка. Хто швидше дістанеться до 6-го поверху, той дізнається:

Побудови геометрії (Евклід)

2 варіант - людину, яка хотіла бути і юристом, і офіцером, і філософом, але

Став математиком (Декарт)

Д т

І р

Л 0,1: ½ 0,4: 0,1 а

До до

В е

Од

3 2 4 5

І д я л к к а в р е т

Оцінки в листок контролю за: 2" - "5", 3" - "4", 4" - "3".

Хто виконав «драбинку», робить у зошитах №606. Перший із учнів на крилі дошки робить №606. Потім перевіряє клас.

1. Повторення та систематизація основних теоретичних положень:

а) № 581 (б, г), 587 (з коментуванням), 591 (л, м, до), 600, 602, 593 (г, до, д, і)

Завдання виконуються у зошитах та на дошці.

Б) Розв'язати задачу: За кг цукерок заплатили тис. рублів. Скільки коштують

Кг таких цукерок?

1. Самостійна робота. Мета: перевірити засвоєння цієї теми.

№ 1 . Виконати дії:

: відповіді: 1) 2) 3) 4) .

№ 2 . Уявити дріб у вигляді звичайного дробу та виконати дії:

0,375: відповіді: 1) 2) 3) 4)

№ 3 . Розв'яжіть рівняння: відповіді: 1) 2) 3) 4) 2

№ 4 . Першого дня турист пройшов всього шляху, а другого — решту. У

Скільки разів більша частина дороги, пройдена туристом у перший день, ніж у

Другий? Відповіді: 1) 2) 5 3) 4)

№ 5. Подати у вигляді дробу:

: відповідь: 1) 2) 3) 4)

Перевірити рішення за шаблоном: №1 -4; №2 - 1; №3 – 4; №4 – 4; №5 - 3.

Оцінки виставити в аркуш контролю.

Зібрати аркушики контролю. Підбити підсумки. Оголосити оцінки за урок.

1. Підсумок уроку:

Які основні правила ми сьогодні повторили?

1. Домашнє завдання:

№ 619 (в), 620 (б), 627, індивідуальне завдання № 617 (а, д, ж)

КУРСОВА РОБОТА

ПО АЛГЕБРІ І ПОЧАТКАМ АНАЛІЗІ

ПО ТЕМІ

«ТРИГОНОМЕТРІЧНІ ФУНКЦІЇ»

Творча група кафедри математиків

"Гімназія № 3" м. Удомля.

Урок № 3-4 розроблений учителем математики

Уфімцева Н.А.

2000 р.

МОУ «Гімназія №7»

м. Торжок Тверської обл.

ВІДКРИТИЙ УРОК

1. Щоб поділити один дріб на другий, необхідно ділене помножити на число, яке назад дільнику.

Для правильних і неправильних дробів правило розподілу таке:

Щоб поділити звичайний дріб, необхідно чисельник ділимого помножити на знаменник дільника, а знаменник ділимого помножити на чисельник дільника. Перший твір беремо чисельником, а другий - знаменником.

Розподіл дробу на дріб.

Щоб розділити один звичайний дріб на другий, не рівний нулю, необхідно:

• чисельник 1-го дробу помножити на знаменник 2-го дробу і записати твір у чисельник одержаного дробу;
• знаменник 1-го дробу помножити на чисельник 2-го дробу і записати твір у знаменник отриманого дробу.

Іншими словами, розподіл дробів переходить до множення.

Щоб розділити 1-ну дріб на другу, потрібно ділене (1-ну дріб) помножити на зворотний дріб дільнику.

Розподіл дробу на число.

Схематично розподіл дробу на натуральне число виглядає так:

Щоб поділити дріб на натуральне число, використовують такий метод:

Виражаємо натуральне число як неправильний дріб з чисельником, який дорівнює самому числу, а знаменник дорівнює 1-ці.

Розмноження десяткових дробів

Десяткова форма запису дозволяє виконувати множення дробів практично за тими самими правилами, за якими множать натуральні числа. Відмінність полягає в тому, що необхідно визначати місце коми в отриманому творі.

Пояснимо сказане з прикладу; обчислимо добуток 2,5 1,02.

Перенесемо кому в першому множнику на одну цифру вправо, а в другому на дві цифри вправо. Тим самим перший множник збільшиться в 10 разів, другий-в 10 2 = 100 разів, а твір-у 10 100 = 1000 разів.

Визначимо добуток натуральних чисел 25 та 102:

25 102 = 2550.

Це число в 1000 разів більше, ніж потрібний твір. Тому необхідно число 2550 зменшити в 1000 = 10 3 разів, тобто перенести в цьому числі кому вліво на 3 цифри. Таким чином,

2,5 1,02 = 2,550 = 2,55.

Можна міркувати інакше:

Таким чином, щоб перемножити два десяткові дроби9 достатньо, не звертаючи уваги на коми, перемножити їх як натуральні числа9 а потім в отриманому творі праворуч відокремити коми стільки цифр, скільки їх було після ком в обох множниках разом.

Наприклад,

Розподіл десяткових дробів

Розглянемо приклад розподілу десяткового дробу на натуральне число.

приклад. Обчислити 46,8: 2.

Рішення. 4 десятки ділимо на 2-отримуємо цифру частки 2 (2 десятки).

6 одиниць ділимо на 2 - отримуємо цифру частки 3 (3 одиниці).

Розподіл цілої частини закінчено-відокремлюємо у приватному цілу частину коми.

8 десятих ділимо на 2 - отримуємо цифру частки 4 (4 десятих). Залишок дорівнює 0-поділ закінчено.

Розподіл десяткового дробу на десятковий дріб зводиться до поділу на натуральне число перенесенням ком у ділимому і дільнику на стільки цифр вправо, щоб дільник став натуральним числом.

приклад. Обчислити 4,42:0,2.

Рішення. Так як у дільнику одна цифра після коми, то достатньо перенести коми в ділимо і дільнику на 1 цифру вправо. Тим самим ділене та дільник збільшуються в 10 разів, тому приватне не зміниться. При цьому дільник буде натуральним числом.

Можна міркувати і таким чином:

Але не завжди виходить точний результат при розподілі десяткових дробів. Найчастіше доводиться задовольнятися наближеним приватним.

приклад. Знайти частки 1,723:0,03.

Рішення. Звільнимось від коми у дільнику: 1,723:0,03 = 172,3:3. Виконаємо поділ.

Починаючи з розряду сотих, цифра 3 у приватному повторюється без кінця, тому що залишок, починаючи з третього етапу процесу поділу, весь час дорівнює тому самому числу 1.

Якщо залишити в частці перші дві цифри після коми, то вийде наближена рівність: 172,3:3 ≈ 57,43.