5. Зображення кола:

Зображенням кола з центром у точці О1 є еліпс із центром у точці О, що належить площині проекції α

Загальним перпендикуляром двох прямих, що схрещуються.називається відрізок з кінцями цих прямих, перпендикулярний кожної їх.

Відстанню між схрещуючими прямиминазивається довжина їхнього загального перпендикуляра. Воно дорівнює відстані між паралельними площинами, що проходять через ці прямі.

Кутом між схрещуються прямиминазивається кут між прямими, що перетинаються, паралельними даним схрещується прямими.

Узагальнена теорема про три перпендикуляри

Будь-яка пряма на площині, перпендикулярна до проекції похилої на цю площину, перпендикулярна і похилій.

І навпаки: якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна до проекції похилої.

Кутом між прямою та площиноюназивається кут між прямою та її проекцією на площині (кут φ).

Кутом між двома площинами, що перетинаються.називається кут між прямою перетину цих площин з

площиною перпендикулярної лінії перетину даних площин (кут φ').

Площа ортогональної проекції багатокутника на площинудорівнює добутку його площі на косинус кута між площиною багатокутника та площею проекції.

Завдання 1. Через точку Про перетину діагоналей квадрата АВСD проведено до його площини перпендикуляр МО довжиною 15 см. Знайдіть відстань від точки М до сторін квадрата, якщо його сторона дорівнює 16 см.

Відповідь: 17 см.

Завдання 2. Відрізок AS, що дорівнює 12 см, перпендикулярний до площини трикутника АВС, в якому АВ=АС=20 см, ВС=24 см. Знайдіть відстань від точки S до прямої ВС.

Відповідь: 20 см.

Завдання 3. До площини прямокутника ABCD, площа якого 180 см2 проведено перпендикуляр SD, SD=12 см, ВС=20 см. Знайдіть відстань від точки S до сторін прямокутника.

Відповідь: 12 см, 12 см, 15 см, 4 34 см.

Завдання 4. Катет АС прямокутного трикутникадорівнює а, кут дорівнює φ. Через вершину прямого кутапроведено до площини цього трикутника перпендикуляр МС завдовжки а. Знайдіть відстань від кінців перпендикуляра до гіпотенузи.

Відповідь: a cosϕ; a 1+ cos2 ϕ .

Завдання 5. У трикутнику АВС сторони АВ=13 см, ВС=14 см, АС=15 см. З вершини А проведено до його площини перпендикуляр AD довжиною 5 см. Знайдіть відстань від точки D до сторони ВС.

Відповідь: 13 см.

Завдання 6. До площини ромба ABCD, у якого А=45°, АВ=8 см, проведено перпендикуляр МС завдовжки 7 см. Знайдіть відстань від точки М до сторін ромба.

Відповідь: 7 см, 7 см, 9 см, 9 см.

Завдання 7. Побудуйте загальні перпендикуляри до прямих АВ та CD на зображенні куба.

Завдання 8. Через бік АС рівностороннього трикутникаАВС проведено площину. Кут між висотою BD трикутника та цією площиною дорівнює φ. Знайдіть кут між прямою АВ та площиною α.

Завдання 9. Через центр Про правильного трикутника АВС проведено його площині

перпендикуляр МО. АВ = а 3 . Кут між прямою МА та площиною трикутника дорівнює 45°. Знайдіть кут між площинами: 1) АМО та ВМО; 2) ВМС та АВС.

Відповідь: 1) 60 °; 2) arctg 2.

Завдання 10. Площини рівносторонніх трикутників АВС та ABD перпендикулярні. Знайдіть кут:

1) між прямою DC та площиною АВС; між площинами ADC та BDC.

Відповідь: 1) 45 °; 2) arccos 1 5 .

Завдання 11. Доведіть теорему про площу проекції багатокутника для випадку, коли багатокутником є ​​трикутник, у якого жодна зі сторін не паралельна площині проекції.

Завдання 12. Ребро куба дорівнює а. Знайдіть площу перерізу куба площиною, що проходить через вершину основи під кутом 30° до цієї основи і перетинає всі бічні ребра.

Відповідь: 2 3 a 2 .

Задача 13. Сторони прямокутника дорівнюють 20 і 25 см. Його проекція на площину подібна до нього. Знайдіть периметр проекції.

Відповідь: 72 см або 90 см.

Завдання 14. Рівнобедрений трикутник з висотою 16 см перегнули по середній лінії MN, паралельній основі АС, так, що вершина віддалена від площини чотирикутника ACNM на 4 см.

а) Знайдіть кут між площинами AMC та MBN;

б) Побудуйте лінійний кут двогранного кута BMNC і знайдіть кутову міру, якщо ортогональна проекція вершини на площину чотирикутника AMNC лежить за його межами;

в) Порівняйте кутові заходи двогранного кута BMNC та кута BMA; г) Знайдіть відстань від точки до прямої АС;

д) Знайдіть відстань від прямої MN до площини АВС;

е) Побудуйте лінію перетину площин АМВ та BNC.

3. Завдання для самоконтролю

1. Ребро куба дорівнює 10 см. Знайдіть відстань між прямими а та b.

2. Через вершину А трикутника АВС проведено пряму а, перпендикулярну площині трикутника. Знайдіть відстань між прямими а і ПС, якщо АВ=13 см, ВС=14 см, АС=15 см.

Відповідь: 12 см.

3. До площини квадрата ABCD проведено перпендикуляр KD. Сторона квадрата дорівнює 5 см. Знайдіть відстань між прямими: 1) АВ та KD; 2) KD та АС.

Відповідь: 1) 5 см; 2) 5 2 2 див.

4. Кут між площинами і β дорівнює 30°. Точка А, що лежить у площині α, віддалена від лінії перетину площин на 12 см. Знайдіть відстань від точки А до площини β.

Відповідь: 6 см.

5 . Через центр квадрата ABCD проведений до його площини перпендикуляр SO. Кут між прямою SC та площиною квадрата дорівнює 60°, АВ=18 см. Знайдіть кут між площинами АВС та BSC.

Відповідь: arctg 6.

6. Квадрат зі стороною 4 2 см перегнули по прямій, яка проходить через середини М і N сторін DC і ВС, так, що вершина віддалена від площини

AMN на 1 див.

а) знайдіть кут між площинами ADM та СMN;

б) побудуйте лінійний кут двогранного кута BMNC і знайдіть його кутовий захід, якщо ортогональна проекція вершини С на площину п'ятикутника ABNMD лежить за його межами;

в) порівняйте кутові заходи двогранного кута BMNC та кута CNB; г) знайдіть відстань від точки С до прямої BD;

д) знайдіть відстань від прямої MN до площини BDC;

е) побудуйте лінію перетину площин BNC та DMC.

Відповідь: а) 30 °; г) 2 × 2 + 3 см; д) 2 - 3 см.

7. Вершини А і D паралелограма ABCD лежать у площині α, а дві інші – поза цією площиною, АВ=15 см, ВС=19 см. Проекції діагоналей паралелограма на площину α дорівнюють 20 см і 22 см. Знайдіть відстань від сторони ВС до площині?

Вказівки : скористайтеся теоремою про суму квадратів діагоналей паралелограма.

Відповідь: 12 см.

8. Точка М віддалена від кожної сторони рівнобедреної трапеції на відстань 12 см. Основи трапеції дорівнюють 18 см і 32 см. Знайдіть відстань від точки М до площини трапеції.

Відповідь: точка М лежить у площині трапеції.

9. Через вершину А прямокутника ABCD проведено похилу АМ до площини прямокутника, що становить кут 50° зі сторонами AD та АВ. Знайдіть кут між цією похилою та площиною прямокутника.

Відповідь: 32 ° 57 '.

10. Кінці відрізка АВ=25 см лежать на гранях двогранного кута, що дорівнює 60°. З точок А та В опущені перпендикуляри АС та BD на ребро двогранного кута, АС=5 см, BD=8 см. Знайдіть СD.

Відповідь: 24 см.

Заняття №7

Тема заняття: «Декартова система координат у просторі»

- закріпити шкільні знання студентів про прямокутну систему координат у просторі;

- систематизувати знання про рівняння фігур у просторі;

- закріпити навички розв'язання задач на складання рівнянь геометричних образів у просторі.

1. Короткий викладтеоретичного матеріалу

т.о - початок координат; Ох - вісь абсцис; Оу - вісь ординат; Оz - вісь аплікат. xy , xz u yz – координатні площини

Відстань між двома точками

Координати середини відрізка

Фігура F задається цим рівнянням у прямокутних координатахякщо точка належить фігурі F тоді і тільки тоді, коли координати цієї точки задовольняють даному рівнянню. Це означає, що виконуються 2 умови:

1) якщо точка належить фігурі F, її координати задовольняють рівнянню;

2) якщо числа x, y, z задовольняють даному рівнянню, то точка з такими координатами належить фігурі F.

Сферою називається безліч точок простору, віддалених від даної точки на

задану позитивну відстань. При цьому ця точка називається центром сфери, а ця відстань – її радіусом.

Сфера радіуса R з центром у точці А (a; b; c) задається рівнянням (за визначенням)

( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 + ( z - c ) 2 = R 2 .

Якщо центр сфери збігається з початком координат, то a=b=c=0 і рівняння сфери має вигляд: x 2 + y 2 + z 2 = R2.

Рівняння площини

Теорема. Площина у просторі визначається системі прямокутних координат x, y, z рівнянням виду Ax+By+Cz+D=0, за умови, що А2 +В2 +С2 >0.

Правильне і зворотне твердження: рівняння Ax+By+Cz+D=0 за умови, що А2 +В2 +С2 >0 задає у просторі площину системі прямокутних координат.

Рівняння прямої

Пряма у просторі – лінія перетину двох площин.

ì A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0; í î A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.

Якщо пряма АВ, що проходить через точки А (x1; y1; z1) і B (x2; y2; z2), не паралельна жодній координатної площини, то її рівняння має вигляд:

2. Система завдань для аудиторних занять

Завдання 1. Сторона куба дорівнює 10. Знайдіть координати його вершин.

Завдання 2. Знайдіть периметр трикутника АВС, якщо А(7;1;-5), В(4;-3;-4), С(1;3;-2).

Відповідь: 14+26.

Завдання 3. Чи лежать три точки А, В, С на одній прямій, якщо А(3; 2; 2), В (1; 1; 1),

Відповідь: Так.

Завдання 4. Яка з точок – А(2; 1; 5) або В (-2; 1; 6) – лежать ближче до початку координат? Відповідь: Точка А.

Завдання 5. Дано точки К(0;2;1), Р(2;0;3) і Т(-1;y;0). Знайдіть таке значення, щоб виконувалася умова: КТ = РТ.

Відповідь: -3.

Завдання 6. Знайдіть координати середин сторін трикутника АВС, якщо А(2;0;2),

В(2;2;0), С(2;2;2).

Відповідь: А1 (2; 2; 1), В1 (2; 1; 2), С1 (2; 1; 1).

Завдання 7. Знайдіть довжину медіани АМ трикутника АВС, якщо А(2;1;3), В(2;1;5),

Відповідь: АМ = 1.

Завдання 8. Які з наведених нижче рівнянь є рівняннями сфери:

Завдання 9. Напишіть рівняння площини, що проходить через: а) вісь Ох та точку А(1;1;1);

б) точки О(0; 0; 0); А(1;2;-3) і В(2;-2;5).

Завдання 10. Площина та сфера задані рівняннями 4х+3у–4=0 та x2+y2+z2 –2x+8y+8=0. Чи належить центр сфери цієї площини?

Завдання 11. Складіть рівняння прямої, що проходить через точки А(1;3;2) і

Знайдіть їхні точки перетину.

Завдання 13. Знайдіть відстань від вершини тетраедра D ABCD до його грані АВС,

якщо АС=СВ=10, АВ=12, DA=7, DB= 145 DC= 29 .

Відповідь: 3.

Завдання 14. Знайдіть довжину ребра AD тетраедра ABCD, якщо АВ=АС=ВС=10,

DB=2 29 , DC= 46 та відстань від вершини D до площини грані АВС дорівнює

Відповідь : 214 або 206 .

3. Завдання для самоконтролю

1. Дані точки К(0; 1; 1); Р(2;-1;3) і Т(-1;у;0). Знайдіть таке значення, щоб виконувалася умова: КТ = РТ.

2 . Дано точки А (1; 2; 3) і В (3; -6; 7). Знайдіть координати середини відрізка АВ.

3 . Знайдіть координати точки, яка лежить на осі Оу і рівновіддалена від точок А(4; -1; 3) і В (1; 3; 0).

4. Знайдіть точки, рівновіддалені від точок А(0;0;1), В(0;1;0), С(1;0;0) і віддаленої від площини yz на відстань 2.

8. Складіть рівняння площини, паралельної площині ху і проходить через точку А(2;3;4).

9. Точки О(0; 0; 0); А(3;0;0); В(0;4;0) та Про 1 (0; 0; 5) - вершини прямокутного паралелепіпеда. Складіть рівняння площин усіх його граней.

10. Складіть рівняння прямої, що проходить через точки А(1; 1; 2) іВ(-3;2;7).

11 . На якій відстані від основи куба розташований паралельний основи відрізок довжиною b, якщо один кінець відрізка лежить на діагоналі куба, інший – на боковій грані, що схрещується з нею, діагоналі? Довжина ребра куба.

Відповідь : ( 2a ± 5b 2 − a 2 ) ÷ 5 .

12. ABCDA1 B1 C1 D1 – прямокутний паралелепіпед, АВ=ВС=а, АА1 =2а. Знайдіть довжину відрізка МК, паралельно грані АВВ1 А1, якщо М AD1 , K DB1 , AM:AD1 =2:3.

Відповідь: a 3 5 .

Заняття №8

Тема заняття: «Вектори у просторі та векторний метод вирішення стереометричних завдань»

- узагальнити та поглибити шкільні знання студентів про вектори, дії над ними;

- продовжити вивчення векторного методу розв'язання планиметричних та стереометричних задач; a для "a, b.

Властивість 2: (xa) x b = x (a x b) для "a, b, x. Властивість 3: (a + b) x c = a x c + b x c для "a, b, c.

Два окремі випадки:

1) a = b; a × a = a2 = a2.

2) a × b = 0 тоді і лише тоді, коли вектори a та b перпендикулярні. Якщо a чи b є нульовий вектор, він за визначенням, перпендикулярний будь-якому вектору.

Якщо a = (а1; а2; а3); b = (b1; b2; b3), то a x b = a 1 × b 1 + a 2 × b 2 + a 3 × b 3 .

Кола рівні. Знайдіть площу паралелограма. Частина. Діагональ. Чотирикутник. Паралелограм. Кути. Центри кіл. Окружність. Доказ. Трикутники. Два кола. Властивість паралелограма. Висота паралелограма. Геометрія. Площа. Площа паралелограма. Властивості паралелограма. Рівність відрізків. Крапки. Завдання. Стосовно кола. Гострий кут. Середня лінія. Ознаки паралелограма.

"Двогранний кут, перпендикулярність площин" - Всі шість граней - прямокутники. Відстань між прямими, що схрещуються. Ознака перпендикулярності двох площин. Знайдіть відстань. Лінійний кут двогранного кута. Знайдіть кут. Площина перпендикулярна до прямої. Планіметрія. Двогранні кути. Пряма а перпендикулярна до площини. Ребро куб. Паралелепіпед. Перетин. Площини АВС1 та А1В1D перпендикулярні. Знайдіть тангенс кута. Діагональ.

"Наслідки з аксіом стереометрії" - Розділ геометрії. Перетин прямий із площиною. Площина та пряма. Площини. Побудуйте зображення куба. Скільки граней проходить через одну, дві, три, чотири точки. Пояснення нового матеріалу. Проведіть пряму. Доказ. Рішення. Усна робота. Твердження. Аксіоми стереометрії та деякі наслідки з них. Що таке стереометрія | Аксіоми планіметрії. Знайдіть пряме перетинання площин.

"Поняття піраміди" - Грані піраміди. Контрольні питання. Бічні ребра піраміди. Чудеса Гізи. Багатогранник. Рівні кути. Піраміда економіки. Подорожі подорожі. В основі піраміди лежить мастаб. Бічна грань. Єгипетські піраміди. Піраміди у хімії. Заснування піраміди. Ступінчасті піраміди. Модель сучасного промислового підприємства. Віртуальна подорож у світ пірамід. Бокове ребро. Будова молекули метану. Суміжні бічні грані.

"Приклади центральної симетрії" - Візерунки на килимах. Відрізок. Кут із заданим градусним заходом. Площина. Відрізок заданої довжини. Центральна симетріяу шестикінцевій зірці. Центральна симетрія. Центральна симетрія у квадратах. Готель «Прибалтійський». Ромашка. Приклади симетрії у рослинах. Пряма. Центральна симетрія у прямокутній системі координат. Центральна симетрія у транспорті. Аксіоми стереометрії. Центральна симетрія у зоології.

Аксіоми стереометрії 10 клас - Аксіоми стереометрії. А, В, З? однієї прямої А, В, С? ? ? - Єдина площина. Через дві прямі, що перетинаються, проходить площину, і притому тільки одна. Завдання Даний тетраедр МАBC, кожне ребро якого дорівнює 6 см. Назвіть пряму, по якій перетинаються площини: А) (МАВ) та (MFC) Б) (MCF) та (АВС). Наслідки із аксіом стереометрії. 4. Обчисліть довжини відрізків АК та АВ1, якщо АD=a. 2. Знайдіть довжину відрізка CF та площу трикутника АВС.

Слайд 2

Відкритий урок: «Двогранні кути» для учнів 10-11 класів, які вивчають геометрію за підручником Л.С. Атанасяна

Слайд 3

Інструкція роботи з презентацією:

Слайди виводяться за допомогою мишки. Можна розпочинати роботу з будь-якого слайду. Ви можете вибрати частину слайдів. Можна скопіювати необхідний матеріал.

Слайд 4

Двогранні кути. 10-ий клас 2008 рік

Слайд 5

Цілі уроку:1. Розширити поняття: «Кут» 2. Вивести визначення двогранних кутів.3. Навчитися вимірювати двогранні кути4. Навчитися застосовувати властивості двогранних кутів під час вирішення завдань.

Слайд 6

Повторення.1. Визначення лінійного кута.2.Теорема трьох перпендикулярів.3.Похилі та проекція.4.Визначення тригонометричних функцій.4. Властивості прямокутного трикутника.

Слайд 7

Кути виводимо поступово, по команді мишки, тому повторюємо визначення та властивості. Лінійний кут (гострий, прямий, тупий). Вертикальні кути.

Слайд 8

Слайд 9

Перпендикуляр, похила та проекція. Теорема трьох перпендикулярів. Властивості похилих та проекцій. Повторити ці питання в задачах.

Слайд 10

В САК Н Перпендикуляр, похила і проекція пов'язані теоремою Піфагора Теорема трьох перпендикулярів для прямої КС. Площина АВС КС Рівні похилі мають …….. Велика похила………

Слайд 11

А З D V H P N A B C D E F M H S O P R Знайдіть кут між прямою HD (AO) і площиною основи та бічною гранню

Слайд 12

А D C B F Провести перпендикуляр до DC та AD з точки F ABCD –квадрат, ромб. Як пов'язані між собою перпендикуляр, похила та проекція похилої?

Слайд 13

A B C D F Де можна побачити теорему трьохперпендикулярів?

Слайд 14

Завдання.

Через вершину квадрата ABCD проведений перпендикуляр ВМ. Відомо, що МА=4см MD=5см Знайти відстань від М до площини; Відстань між МВ та DC. A B C D M

Слайд 15

Основна частина уроку.

Завдання практичні: Усі взяли файловий аркуш, зігнули на дві нерівні частини, зробили висновок-дві напівплощини, що перетинаються, із загальною прямою називають двогранним кутом. Як його виміряти? Проведемо загальну пряму, згадаємо аксіому площин, Відзначимо на ребрі точку. Проведемо перпендикуляри до ребра з цієї точки у кожній грані. Знову згинаємо по ребру і робимо висновок, що кути різні, отже, їх потрібно відрізняти, як? Беремо ножиці і робимо зріз-клацання по перпендикулярах, вставляємо лист у щілинку і бачимо лінійний кут. Переглядаємо слайди, що надають відповіді на отримані пропозиції. Даємо визначення виміру двогранних кутів. Показуємо двоє кути на моделях пірамід, призм і на таблицях.

Слайд 16

Двогранні кути Відомо, що мірою двогранного кута називають міру його лінійного кута. Якщо на ребрі двогранного кута відзначити якусь точку в кожній грані з цієї точки провести промені перпендикулярно до ребра, то отримаємо лінійний кут. М

Слайд 17

Крапка на ребрі може бути довільна.