Ступінна функція

Ступінна функція визначається формулою y = x a.

Вигляд графіків та властивості функції залежать від значення показника ступеня.

• коли статечна функція має цілий показник a , то вид графіка статечної функції та її властивості залежать від того, парний чи непарний показник ступеня, а також того, який знак має показник ступеня. Розглянемо всі ці окремі випадки докладніше нижче;
• показник ступеня може бути дробовим чи ірраціональним – залежно від цього також варіюється вид графіків та властивості функції. Ми розберемо окремі випадки, поставивши кілька умов: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• статечна функція може мати нульовий показник, цей випадок також нижче розберемо докладніше.

Розберемо статечну функцію y = x a , коли a – непарне позитивне число, наприклад, a = 1 , 3 , 5 …

Для наочності вкажемо графіки таких статечних функцій: y = x (чорний колір графіка), y = x 3 ( синій колірграфіка), y = x 5 (червоний колір графіка), y = x7 (зелений колір графіка). Коли a = 1 отримуємо лінійну функцію y = x.

Визначення 6

Властивості статечної функції, коли показник ступеня – непарний позитивний

• функція є зростаючою за x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• функція має опуклість при x ∈ (- ∞ ; 0 ) і увігнутість при x ∈ [ 0 ; + ∞) (виключаючи лінійну функцію);
• точка перегину має координати (0; 0) (виключаючи лінійну функцію);
• асимптоти відсутні;
• точки проходження функції: (- 1; - 1), (0; 0), (1; 1).

Розберемо статечну функцію y = x a коли а – парне позитивне число, наприклад, a = 2 , 4 , 6 …

Для наочності вкажемо графіки таких статечних функцій: y = x 2 (чорний колір графіка), y = x 4 (синій колір графіка), y = x 8 (червоний колір графіка). Коли a = 2 отримуємо квадратичну функцію, графік якої – квадратична парабола

Визначення 7

Властивості статечної функції, коли показник ступеня – парний позитивний:

• область визначення: x ∈ (- ∞ ; + ∞);
• спадаючою при x ∈ (- ∞; 0];
• функція має увігнутість при x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• окуляри перегину відсутні;
• асимптоти відсутні;
• точки проходження функції: (- 1; 1), (0; 0), (1; 1).

На малюнку нижче наведено приклади графіків статечної функції y = x a коли а – непарне негативне число: y = x – 9 (чорний колір графіка); y = x – 5 (синій колір графіка); y = x – 3 (червоний колір графіка); y = x – 1 (зелений колір графіка). Коли a = - 1 отримуємо зворотну пропорційність, графік якої - гіпербола.

Визначення 8

Властивості статечної функції, коли показник ступеня – непарний негативний:

Коли х = 0 отримуємо розрив другого роду, оскільки lim x → 0 - 0 x a = - ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 1, - 3, - 5, …. Отже, пряма x = 0 – вертикальна асимптота;

• область значень: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• функція є непарною, оскільки y(-x) = -y(x);
• функція є спадною при x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0; + ∞);
• функція має опуклість при x ∈ (- ∞ ; 0) і увігнутість при x ∈ (0 ; + ∞) ;
• точки перегину відсутні;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, коли а = - 1, - 3, - 5,. . . .

• точки проходження функції: (- 1; - 1), (1; 1).

На малюнку нижче наведено приклади графіків статечної функції y = x a , коли a – парне від'ємне число: y = x – 8 (чорний колір графіка); y = x – 4 (синій колір графіка); y = x – 2 (червоний колір графіка).

Визначення 9

Властивості статечної функції, коли показник ступеня – парний негативний:

• область визначення: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Коли х = 0 отримуємо розрив другого роду, оскільки lim x → 0 - 0 x a = + ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 2, - 4, - 6, …. Отже, пряма x = 0 – вертикальна асимптота;

• функція є парною, оскільки y(-x) = y(x);
• функція є зростаючою при x ∈ (- ∞ ; 0) і спадною при x ∈ 0 ; + ∞;
• функція має увігнутість при x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• точки перегину відсутні;
• горизонтальна асимптота - пряма y = 0, оскільки:

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, коли a = - 2, - 4, - 6, . . . .

• точки проходження функції: (- 1; 1), (1; 1).

З самого початку зверніть увагу на наступний аспект: у випадку, коли a – позитивний дріб з непарним знаменником, деякі автори приймають за область визначення цієї статечної функції інтервал - ∞; + ∞ , застерігаючи при цьому, що показник a – нескоротний дріб. на даний моментавтори багатьох навчальних виданьз алгебри та початків аналізу НЕ ВИЗНАЧАЮТЬ статечні функції, де показник – дріб з непарним знаменником при негативних значенняхаргументу. Далі ми дотримаємося саме такої позиції: візьмемо за область визначення статечних функцій з дрібними позитивними показниками ступеня безліч [0; + ∞). Рекомендація для учнів: з'ясувати погляд викладача на цей момент, щоб уникнути розбіжностей.

Отже, розберемо статечну функцію y = x a , коли показник ступеня – раціональний або ірраціональне числоза умови, що 0< a < 1 .

Проілюструємо графіками статечні функції y = x a коли а = 11 12 (чорний колір графіка); a = 5 7 (червоний колір графіка); a = 13 (синій колір графіка); a = 2 5 (зелений колір графіка).

Інші значення показника ступеня a (за умови 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Визначення 10

Властивості статечної функції при 0< a < 1:

• область значень: y ∈ [0; + ∞);
• функція є зростаючою при x ∈ [0; + ∞);
• функція має опуклість при x ∈ (0; + ∞);
• точки перегину відсутні;
• асимптоти відсутні;

Розберемо статечну функцію y = x a , коли показник ступеня – неціле раціональне чи ірраціональне число за умови, що a > 1 .

Проілюструємо графіками статечну функцію y = x a у заданих умовах на прикладі таких функцій: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (чорний, червоний, синій, зелений колір графіків відповідно).

Інші значення показника ступеня, а за умови a > 1, дадуть схожий вид графіка.

Визначення 11

Властивості статечної функції при a > 1:

• область визначення: x ∈ [0; + ∞);
• область значень: y ∈ [0; + ∞);
• дана функція – функція загального вигляду(не є ні непарною, ні парною);
• функція є зростаючою при x ∈ [0; + ∞);
• функція має увігнутість при x ∈ (0 ; + ∞) (коли 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• точки перегину відсутні;
• асимптоти відсутні;
• точки проходження функції: (0; 0), (1; 1).

Звертаємо вашу увагу! Коли a – негативний дріб з непарним знаменником, у роботах деяких авторів зустрічається погляд, що область визначення в даному випадку- Інтервал - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) із застереженням, що показник ступеня a – нескоротний дріб. На даний момент автори навчальних матеріалівз алгебри та початків аналізу НЕ ВИЗНАЧАЮТЬ статечні функції з показником у вигляді дробу з непарним знаменником при негативних значеннях аргументу. Далі ми дотримуємося саме такого погляду: візьмемо за область визначення статечних функцій з дрібними негативними показниками безліч (0; + ∞). Рекомендація для учнів: уточніть бачення вашого викладача на цей момент, щоб уникнути розбіжностей.

Продовжуємо тему та розбираємо статечну функцію y = x a за умови: - 1< a < 0 .

Наведемо креслення графіків наступних функцій: y = x - 5 6 y = x - 2 3 y = x - 1 2 2 y = x - 1 7 (чорний, червоний, синій, зелений колір ліній відповідно).

Визначення 12

Властивості статечної функції при - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , коли - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• область значень: y ∈ 0; + ∞;
• дана функція - функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• точки перегину відсутні;

На кресленні нижче наведені графіки статечних функцій y = x - 5 4 y = x - 5 3 y = x - 6 y = x - 24 7 (чорний, червоний, синій, зелений кольорикривих відповідно).

Визначення 13

Властивості статечної функції при a< - 1:

• область визначення: x ∈ 0; + ∞;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , коли a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• область значень: y ∈ (0; + ∞);
• дана функція - функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• функція є спадною при x ∈ 0; + ∞;
• функція має увігнутість при x ∈ 0; + ∞;
• точки перегину відсутні;
• горизонтальна асимптота - пряма y = 0;
• точка проходження функції: (1; 1) .

Коли a = 0 і х ≠ 0 отримаємо функцію y = x 0 = 1 , що визначає пряму, з якої виключена точка (0 ; 1) (умовилися, що виразу 0 0 не надаватиметься ніякого значення).

Показова функція має вигляд y = a x , де а > 0 і а ≠ 1 і графік цієї функції виглядає по-різному, виходячи зі значення підстави a . Розглянемо окремі випадки.

Спочатку розберемо ситуацію, коли основа показової функції має значення від нуля до одиниці (0< a < 1) . Наочним прикладомпослужать графіки функцій при a = 1 2 (синій колір кривої) та a = 5 6 (червоний колір кривої).

Подібний вигляд матимуть графіки показової функції за інших значень основи за умови 0< a < 1 .

Визначення 14

Властивості показової функції, коли основа менше одиниці:

• область значень: y ∈ (0; + ∞);
• дана функція - функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• показова функція, у якої основа менше одиниці, є спадною по всій області визначення;
• точки перегину відсутні;
• горизонтальна асимптота - пряма y = 0 при змінній x, що прагне + ∞;

Тепер розглянемо випадок, коли основа показової функції більше ніж одиниця (а > 1) .

Проілюструємо цей окремий випадокграфіком показових функцій y = 3 2 x (синій колір кривої) та y = e x (червоний колір графіка).

Інші значення основи, великі одиниці, дадуть аналогічний вид графіка показової функції.

Визначення 15

Властивості показової функції, коли основа більше одиниці:

• область визначення - все безліч дійсних чисел;
• область значень: y ∈ (0; + ∞);
• дана функція - функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• показова функція, у якої основа більша за одиницю, є зростаючою при x ∈ - ∞ ; + ∞;
• функція має увігнутість при x ∈ - ∞; + ∞;
• точки перегину відсутні;
• горизонтальна асимптота - пряма y = 0 при змінній x, що прагне до - ∞;
• точка проходження функції: (0; 1) .

Логарифмічна функція має вигляд y = log a (x), де a > 0, a ≠1.

Така функція визначена лише за позитивних значень аргументу: при x ∈ 0 ; + ∞.

Графік логарифмічної функції має різний вигляд, Виходячи зі значення підстави а.

Розглянемо спочатку ситуацію, коли 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Інші значення підстави, невеликі одиниці, дадуть аналогічний вид графіка.

Визначення 16

Властивості логарифмічної функції, коли основа менше одиниці:

• область визначення: x ∈ 0; + ∞. Коли х прагне до нуля праворуч, значення функції прагнуть + ∞ ;
• область значень: y ∈ - ∞; + ∞;
• дана функція - функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• логарифмічна
• функція має увігнутість при x ∈ 0; + ∞;
• точки перегину відсутні;
• асимптоти відсутні;

Тепер розберемо окремий випадок, коли основа логарифмічної функції більше одиниці: а > 1 . На кресленні нижче – графіки логарифмічних функцій y = log 3 2 x і y = ln x (синій та червоний кольори графіків відповідно).

Інші значення основи більше одиниці дадуть аналогічний вид графіка.

Визначення 17

Властивості логарифмічної функції, коли основа більше одиниці:

• область визначення: x ∈ 0; + ∞. Коли х прагне нуля праворуч, значення функції прагнуть до - ∞ ;
• область значень: y ∈ - ∞; + ∞ (все безліч дійсних чисел);
• дана функція - функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• логарифмічна функція є зростаючою при x ∈ 0; + ∞;
• функція має опуклість при x ∈ 0; + ∞;
• точки перегину відсутні;
• асимптоти відсутні;
• точка проходження функції: (1; 0) .

Тригонометричні функції – це синус, косинус, тангенс та котангенс. Розберемо властивості кожної з них та відповідні графіки.

Загалом всім тригонометричних функцій характерна властивість періодичності, тобто. коли значення функцій повторюються при різних значенняхаргументи, що відрізняються один від одного на величину періоду f(x + T) = f(x) (T – період). Таким чином, у списку властивостей тригонометричних функцій додається пункт найменший позитивний період. Крім цього, будемо вказувати такі значення аргументу, у яких відповідна функція перетворюється на нуль.

1. Функція синусу: y = sin (х)

Графік цієї функції називається синусоїда.

Визначення 18

Властивості функції синус:

• область визначення: всі множини дійсних чисел x ∈ - ∞ ; + ∞;
• функція перетворюється на нуль, коли x = π · k , де k ∈ Z (Z – безліч цілих чисел);
• функція є зростаючою при x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z і спадної при x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• функція синус має локальні максимуми в точках π 2 + 2 π · k; 1 і локальні мінімуми в точках - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
• функція синус увігнута, коли x ∈ - π + 2 π · k; 2 π · k , k ∈ Z і опукла, коли x ∈ 2 π · k ; π + 2 π · k, k ∈ Z;
• асимптоти відсутні.

1. Функція косинус: y = cos(х)

Графік цієї функції називається косінусоїда.

Визначення 19

Властивості функції косинус:

• область визначення: x ∈ - ∞; + ∞;
• найменший позитивний період: Т = 2 π;
• область значень: y ∈ - 1; 1;
• дана функція – парна, оскільки y(-x) = y(x);
• функція є зростаючою при x ∈ - π + 2 π · k; 2 π · k , k ∈ Z і спадної при x ∈ 2 π · k ; π + 2 π · k, k ∈ Z;
• функція косинус має локальні максимуми в точках 2 π · k; 1 , k ∈ Z та локальні мінімуми в точках π + 2 π · k ; - 1, k ∈ z;
• функція косинус увігнута, коли x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z і опукла, коли x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• точки перегину мають координати π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
• асимптоти відсутні.

1. Функція тангенс: y = tg(х)

Графік цієї функції називається тангенсоїду.

Визначення 20

Властивості функції тангенс:

• область визначення: x ∈ - π 2 + π · k; π 2 + π · k , де k ∈ Z (Z – безліч цілих чисел);
• Поведінка функції тангенс на межі області визначення lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Таким чином, прямі x = π 2 + π · k k ∈ Z – вертикальні асимптоти;
• функція перетворюється на нуль, коли x = π · k при k ∈ Z (Z – безліч цілих чисел);
• область значень: y ∈ - ∞; + ∞;
• дана функція - непарна, оскільки y(-x) = -y(x);
• функція є зростаючою при - π 2 + π · k; π 2 + π · k, k ∈ Z;
• функція тангенс є увігнутою при x ∈ [π · k; π 2 + π · k), k ∈ Z і опуклою при x ∈ (- π 2 + π · k; π · k], k ∈ Z;
• точки перегину мають координати π · k; 0, k ∈ Z;

1. Функція котангенс: y = ctg(х)

Графік цієї функції називається котангенсоіда .

Визначення 21

Властивості функції котангенс:

• область визначення: x ∈ (π · k ; π + π · k) , де k ∈ Z (Z - безліч цілих чисел);

Поведінка функції котангенсу на межі області визначення lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Таким чином, прямі x = π · k k ∈ Z – вертикальні асимптоти;

• найменший позитивний період: Т = π;
• функція перетворюється на нуль, коли x = π 2 + π · k при k ∈ Z (Z – безліч цілих чисел);
• область значень: y ∈ - ∞; + ∞;
• дана функція - непарна, оскільки y(-x) = -y(x);
• функція є спадною при x ∈ π · k; π + π · k, k ∈ Z;
• функція котангенс є увігнутою при x ∈ (π · k ; π 2 + π · k ] , k ∈ Z і опуклою при x ∈ [ - π 2 + π · k ;
• точки перегину мають координати π 2 + π · k; 0, k ∈ Z;
• похилі та горизонтальні асимптоти відсутні.

Зворотні тригонометричні функції– це арксинус, арккосинус, арктангенс та арккотангенс. Найчастіше у зв'язку з наявністю приставки «арк» у назві зворотні тригонометричні функції називають аркфункціями. .

1. Функція арксинус: y = a r c sin (x)

Визначення 22

Властивості функції арксинус:

• дана функція - непарна, оскільки y(-x) = -y(x);
• функція арксинус має увігнутість при x ∈ 0; 1 і опуклість при x ∈ - 1; 0;
• точки перегину мають координати (0 ; 0), вона ж – нуль функції;
• асимптоти відсутні.

1. Функція арккосинус: y = r c cos (х)

Визначення 23

Властивості функції арккосинус:

• область визначення: x ∈ - 1; 1;
• область значень: y ∈ 0; π;
• дана функція - загального виду (ні парна, ні непарна);
• функція є спадною по всій області визначення;
• функція арккосинус має увігнутість при x ∈ - 1; 0 і опуклість при x ∈ 0; 1;
• точки перегину мають координати 0; π 2;
• асимптоти відсутні.

1. Функція арктангенс: y = r c t g (х)

Визначення 24

Властивості функції арктангенс:

• область визначення: x ∈ - ∞; + ∞;
• область значень: y ∈ - π 2; π 2;
• дана функція - непарна, оскільки y(-x) = -y(x);
• функція є зростаючою по всій області визначення;
• функція арктангенс має увігнутість при x ∈ (- ∞ ; 0 ) і опуклість при x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• точка перегину має координати (0 ; 0), вона ж – нуль функції;
• горизонтальні асимптоти – прямі y = - π 2 за x → - ∞ і y = π 2 за x → + ∞ (на малюнку асимптоти – це лінії зеленого кольору).

1. Функція арккотангенс: y = r c c t g (х)

Визначення 25

Властивості функції арккотангенсу:

• область визначення: x ∈ - ∞; + ∞;
• область значень: y ∈ (0; π);
• дана функція – загального виду;
• функція є спадною по всій області визначення;
• функція арккотангенс має увігнутість при x ∈ [0; + ∞) і опуклість при x ∈ (- ∞; 0];
• точка перегину має координати 0; π 2;
• горизонтальні асимптоти – прямі y = π при x → - ∞ (на кресленні – лінія зеленого кольору) та y = 0 при x → + ∞ .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Тема уроку: Ступенева функція та її графік.

Як алгебраїсти замість АА, ААА, … пишуть А 2, А 3, … так я замість пишу а-1, а-2, а-3, … Ньютон І.

у = х х у у = х 2 х у у = х 3 х у х у Пряма Парабола Кубічна парабола Гіпербола Нам знайомі функції: Всі ці функції є окремими випадками статечної функції

де р - задане дійсне число Визначення: Ступеневою функцією називається функція виду у = х p Властивості та графік статечної функції залежать від властивостей ступеня з дійсним показником, і зокрема від того, при яких значеннях х і р має сенс ступінь х р.

Функція у = х 2 n парна, т.к. (– х) 2 n = х 2 n Функція зменшується на проміжку Функція зростає на проміжку Ступінева функція: Показник р = 2n – парне натуральне число у = х 2 , у = х 4 , у = х 6 , у = х 8 , … 1 0 х у у = х 2

y x - 1 0 1 2 у = х 2 у = х 6 у = х 4 Ступенева функція: Показник р = 2n - парне натуральне число у = х 2, у = х 4, у = х 6, у = х 8, …

Функція у = х 2 n -1 непарна, т.к. (– х) 2 n -1 = – х 2 n -1 Функція зростає на проміжку Ступінева функція: Показник р = 2n-1 – непарне натуральне число у = х 3 , у = х 5 , у = х 7 , у = х 9 , … 1 0

Ступенева функція: y x ​​- 1 0 1 2 у = х 3 у = х 7 у = х 5 Показник р = 2n-1 - непарне натуральне число у = х 3, у = х 5, у = х 7, у = х 9 , …

Функція у = х-2 n парна, т.к. (– х) -2 n = х -2 n Функція зростає на проміжку Функція зменшується на проміжку Ступінева функція: Показник р = -2n – де n натуральне число у = х -2 , у = х -4 , у = х -6 , у = х -8, … 0 1

1 0 1 2 у = х -4 у = х -2 у = х -6 Ступенева функція: Показник р = -2n – де n натуральне число у = х -2 , у = х -4 , у = х -6 , у = х -8, … y x

Функція зменшується на проміжку Функція у=х -(2 n -1) непарна, т.к. (– х) –(2 n -1) = – х –(2 n -1) Функція зменшується на проміжку Ступінева функція: Показник р = -(2n-1) – де n натуральне число у = х -3 , у = х -5, у = х -7, у = х -9, … 1 0

у = х -1 у = х -3 у = х -5 Ступенева функція: Показник р = -(2n-1) – де n натуральне число у = х -3, у = х -5, у = х -7, у = х -9 … y x - 1 0 1 2

Ступінна функція: Показник р - позитивне дійсне неціле число у = х 1,3, у = х 0,7, у = х 2,2, у = х 1/3, ... 0 1 х у Функція зростає на проміжку

у = х 0,7 Ступенева функція: Показник р - позитивне дійсне неціле число у = х 1,3 , у = х 0,7 , у = х 2,2 , у = х 1/3 , ... y x - 1 0 1 2 у = х 0,5 у = х 0,84

Ступінна функція: Показник р – позитивне дійсне неціле число у = х 1,3 , у = х 0,7 , у = х 2,2 , у = х 1/3 , ... y x - 1 0 1 2 у = х 1, 5 у = х 3,1 у = х 2,5

Ступінна функція: Показник р - негативне дійсне неціле число у = х -1,3, у = х -0,7, у = х -2,2, у = х -1 / 3, ... 0 1 х у Функція зменшується на проміжку

у = х -0,3 у = х -2,3 у = х -3,8 Ступенева функція: Показник р - негативне дійсне неціле число у = х -1,3, у = х -0,7, у = х -2,2 , у = х -1/3 , ... y x - 1 0 1 2 у = х -1,3

За темою: методичні розробки, презентації та конспекти

Застосування інтеграції в навчальному процесіяк способу розвитку аналітичних та творчих здібностей.

Ви знайомі з функціями y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/xі т. д. Всі ці функції є окремими випадками статечної функції, тобто функції y=x pде p - задане дійсне число. Властивості та графік статечної функції суттєво залежить від властивостей ступеня з дійсним показником, і зокрема від того, за яких значень xі pмає сенс ступінь x p. Перейдемо до такого розгляду різних випадків залежно від показника ступеня p.

Показник p=2n-парне натуральне число.

У цьому випадку статечна функція y=x 2n, де n- натуральне число, має такі

властивостями:

область визначення - всі дійсні числа, тобто множина R;

безліч значень - невід'ємні числа, тобто y більше або 0;

функція y=x 2nпарна, оскільки x 2n =(-x) 2n

функція є спадною на проміжку x<0 і зростаючою на проміжку x>0.

Графік функції y=x 2nмає такий самий вигляд, як наприклад графік функції y=x 4 .

2. Показник p=2n-1- непарне натуральне число У цьому випадку статечна функція y=x 2n-1, де натуральне число, має наступні властивості:

область визначення - множина R;

безліч значень - множина R;

функція y=x 2n-1непарна, оскільки (- x) 2n-1 =x 2n-1 ;

функція є зростаючою на всій дійсній осі.

Графік функції y=x2n-1має такий самий вигляд, як, наприклад, графік функції y=x3.

3.Показник p=-2n, де n -натуральне число.

У цьому випадку статечна функція y=x -2n =1/x 2n має такі властивості:

множина значень - позитивні числа y>0;

функція y =1/x 2nпарна, оскільки 1/(-x) 2n =1/x 2n ;

функція зростає на проміжку x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Графік функції y =1/x 2nмає такий самий вигляд, як, наприклад, графік функції y =1/x 2 .

4.Показник p=-(2n-1), де n- Натуральне число. У цьому випадку статечна функція y=x -(2n-1)має такі властивості:

область визначення - множина R, крім x=0;

безліч значень - множина R, крім y=0;

функція y=x -(2n-1)непарна, оскільки (- x) -(2n-1) =-x -(2n-1) ;

функція є спадною на проміжках x<0 і x>0.

Графік функції y=x -(2n-1)має такий самий вигляд, як, наприклад, графік функції y=1/x 3 .

1. Зворотні тригонометричні функції, їх властивості та графіки.

Зворотні тригонометричні функції, їх властивості та графіки.Зворотні тригонометричні функції (кругові функції, аркфункції) - математичні функції, що є зворотними до тригонометричних функцій.

1. Функція arcsin

Графік функції .

Арксинусомчисла mназивається таке значення кута x, для якого

Функція безперервна і обмежена на всій своїй числовій прямій. Функція є строго зростаючою.

1. [ред.]Властивості функції arcsin

1. [ред.]Отримання функції arcsin

Дана функція На всій своїй області визначеннявона є шматково-монотонної, і, отже, зворотна відповідність функцією не є. Тому ми розглянемо відрізок, на якому вона строго зростає та приймає всі значення області значень- . Оскільки функції на інтервалі кожному значенню аргументу відповідає єдине значення функції, то цьому відрізку існує зворотна функція графік якої симетричний графіку функції на відрізку щодо прямої