Дріб m/nбудемо вважати нескоротним (адже скоротитий дріб завжди можна привести до нескоротного виду). Звівши обидві частини рівності у квадрат, отримаємо m^2=2n^2. Звідси укладаємо, що m^2, а потім і число m- парне. тобто. m = 2k. Тому m^2 = 4k^2 і, отже, 4 k^2 =2n^2, або 2 k^2 = n^2. Але тоді виходить, що і nтакож парне число, а цього не може бути, оскільки дріб m/nнескоротна. Виникає протиріччя. Залишається дійти невтішного висновку: наше припущення невірно і раціонального числа m/n, Рівного √2, не існує.»

Ось і весь їхній доказ.

Критична оцінка доказу давніх греків

1) У прийнятому у греків раціональному числі m/nчисла mі n- Цілі, але невідомі(чи вони парнічи то вони непарні). І це так! А щоб якось встановити між ними якусь залежність, треба точно визначитися з їх призначенням;

2) Коли давні визначилися з тим, що число m– парне, то у прийнятій ними рівності m = 2kвони (навмисне або через незнання!) не зовсім «коректно» охарактеризували число « k ». Адже тут число k– це ціле(Ціле!) і цілком відомечисло, що чітко визначає знайдене парнечисло m. І не будь цього знайденогочисла « k"давні не могли б надалі" використовувати» та число m ;

3) А коли з рівності 2 k^2 = n^2 стародавні отримали число n^2 парне, а водночас і n– парне, то їм треба було б не поспішатиз висновком про « виниклому протиріччі», а краще впевнитись у граничній точностіприйнятого ними « виборучисла n ».

А як це можна було зробити? Так просто!
Дивіться: з отриманої рівності 2 k^2 = n^2 можна було елементарно здобути і таку рівність k√2 = n. І тут ніяк немає нічого поганого – адже отримали вони з рівності m/n=√2 інша адекватна йому рівність m^2=2n^2! І ніхто їм не суперечив!

Зате в новій рівності k√2 = nпри очевидних цілих числах kі nвидно, що з нього завжди одержують число √2 - раціональне . Завжди! Оскільки в ньому числа kі n- відомі ЦІЛІ!

А ось щоб з їхньої рівності 2 k^2 = n^2 і, як наслідок цього, з k√2 = nотримати число √2 – ірраціональне (як того « побажали»Древні греки!), то в них необхідно мати, як мінімум , число « k» у вигляді нецілого (!!!) Числа. А цього у давніх греків якраз і НЕМАЄ!

Звідси і ВИСНОВОК: вищенаведений доказ ірраціональності числа √2, зроблений древніми греками 2400 років тому, відверто неправильне і математично некоректно, якщо не сказати грубо - воно просто фальшиве .

У наведеній вище невеликій брошурі Ф-6 (див. фото вище), випущеній у м. Краснодар (Росія) у 2015 році загальним тиражем 15000 прим. (очевидно, зі спонсорським вкладенням) наведено новий, гранично-коректний з погляду математики та гранично-вірний ]доказ ірраціональності числа √2, який давно міг би відбутися, якби не було жорстких " викладн" до вивчення старовин Історії.

А своє коріння вони витягли з латинського слова «ratio», що означає «розум». Виходячи з дослівного перекладу:

• Раціональне число - це "розумне число".
• Ірраціональне число, відповідно, «нерозумне число».

Загальне поняття раціонального числа

Раціональним числом вважається те число, яке можна записати у вигляді:

1. Звичайного позитивного дробу.
2. Негативного звичайного дробу.
3. У вигляді числа нуль (0).

Іншими словами, до раціонального число підійде такі визначення:

• Будь-яке натуральне число є по своїй суті раціональним, тому що будь-яке натуральне число можна подати у вигляді звичайного дробу.
• Будь-яке ціле число, включно число нуль, оскільки будь-яке ціле число можна записати як у вигляді позитивного звичайного дробу, як негативного звичайного дробу, і у вигляді числа нуль.
• Будь-який звичайний дріб, і тут не має значення позитивний він або негативний, теж безпосередньо підходить до визначення раціонального числа.
• Так само до визначення можна віднести і змішане число, кінцевий десятковий дріб або нескінченний періодичний дріб.

Приклади раціонального числа

Розглянемо приклади раціональних чисел:

• Натуральні числа - "4", "202", "200".
• Цілі числа - "-36", "0", "42".
• Прості дроби.

З перелічених вище прикладів цілком очевидно, що раціональні числа можуть бути як позитивними так і негативними. Звичайно, число 0 (нуль), яке теж у свою чергу є раціональним числом, в той же час не відноситься до категорії позитивного чи негативного числа.

Звідси, хотілося б нагадати загальноосвітню програму з допомогою наступного визначення: «Раціональними числами» — називаються ті числа, які можна записати як дробу х/у, де х (числитель) — ціле число, а у (знаменник) — натуральне число.

Загальне поняття та визначення ірраціонального числа

Крім «раціональних чисел» нам відомі й звані «ірраціональні числа». Коротко спробуємо дати визначення цим числам.

Ще древні математики, бажаючи визначити діагональ квадрата з його сторонам, дізналися про існування ірраціонального числа.
Виходячи з визначення про раціональні числа, можна побудувати логічний ланцюг і дати визначення ірраціональному числу.
Отже, власне, ті дійсні числа, які є раціональними, елементарно і є ірраціональними числами.
Десяткові дроби, що виражають ірраціональні числа, не періодичні і нескінченні.

Приклади ірраціонального числа

Розглянемо для наочності невеликий приклад ірраціонального числа. Як ми вже зрозуміли, нескінченні десяткові неперіодичні дроби називаються ірраціональними, наприклад:

• Число «-5,020020002 ... (Чудово видно, що двійки розділені послідовністю з одного, двох, трьох і т.д. нулів)
• Число «7,040044000444… ​​(тут ясно, що число четвірок і кількість нулів щоразу ланцюжком збільшується на одиницю).
• Всім відоме число Пі (31415 ...). Так, так – воно теж є ірраціональним.

Взагалі всі дійсні числа є як раціональними, так і ірраціональними. Говорячи простими словами, ірраціональне число не можна уявити через звичайний дроб х/у.

Загальний висновок та коротке порівняння між числами

Ми розглянули кожне число окремо, залишилася відмінність між раціональним числом та ірраціональним:

1. Ірраціональне число зустрічається при добуванні квадратного кореня, при розподілі кола на діаметр і т.д.
2. Раціональне число представляє звичайний дріб.

Укладемо нашу статтю кількома визначеннями:

• Арифметична операція, вироблена над раціональним числом, крім розподілу на 0 (нуль), зрештою призведе теж до раціонального числа.
• Кінцевий результат, при здійсненні арифметичної операції над ірраціональним числом, може призвести як до раціонального, так і до ірраціонального значення.
• Якщо ж у арифметичній операції беруть участь і ті й інші числа (крім поділу чи множення на нуль), то результат нам видасть ірраціональне число.

Що таке ірраціональні числа? Чому вони так звуться? Де вони використовуються і що являють собою? Мало хто може без роздумів відповісти на ці запитання. Але насправді відповіді на них досить прості, хоч потрібні не всім і в дуже рідкісних ситуаціях

Сутність та позначення

Ірраціональні числа являють собою нескінченні неперіодичні Необхідність введення цієї концепції обумовлена ​​тим, що для вирішення нових завдань вже було недостатньо раніше наявних понять дійсних або речових, цілих, натуральних і раціональних чисел. Наприклад, щоб обчислити, квадратом якої величини є 2, необхідно використовувати неперіодичні нескінченні десяткові дроби. Крім того, багато найпростіших рівнянь також не мають рішення без введення концепції ірраціонального числа.

Ця множина позначається як I. І, як уже ясно, ці значення не можуть бути представлені у вигляді простого дробу, в чисельнику якого буде ціле, а в знаменнику -

Вперше так чи інакше з цим явищем зіткнулися індійські математики у VII столітті, коли було виявлено, що квадратне коріння з деяких величин не може бути позначене явно. А перший доказ існування подібних чисел приписують піфагорійцеві Гіппас, який зробив це в процесі вивчення рівнобедреного прямокутного трикутника. Серйозний внесок у вивчення цієї множини зробили ще деякі вчені, які жили до нашої ери. Введення концепції ірраціональних чисел спричинило перегляд існуючої математичної системи, ось чому вони такі важливі.

Походження назви

Якщо ratio у перекладі з латини - це "дроб", "ставлення", то приставка "ір"
надає цьому слову протилежне значення. Таким чином, назва багатьох цих чисел говорить про те, що вони не можуть бути співвіднесені з цілим або дробовим, мають окреме місце. Це і випливає з їхньої сутності.

Місце у загальній класифікації

Ірраціональні числа поряд із раціональними належить до групи речових чи дійсних, які у свою чергу відносяться до комплексних. Підмножин немає, проте розрізняють алгебраїчну та трансцендентну різновид, про які йтиметься нижче.

Властивості

Оскільки ірраціональні числа - це частина безлічі дійсних, то до них застосовні всі властивості, які вивчаються в арифметиці (їх також називають основними алгебраїчними законами).

a + b = b + a (комутативність);

(a + b) + c = a + (b + c) (асоціативність);

a + (-a) = 0 (існування протилежного числа);

ab = ba (переміщувальний закон);

(ab)c = a(bc) (дистрибутивність);

a(b+c) = ab + ac (розподільчий закон);

a x 1/a = 1 (існування зворотного числа);

Порівняння також проводиться відповідно до загальних закономірностей та принципів:

Якщо a > b і b > c, a > c (транзитивність співвідношення) и. т.д.

Вочевидь, все ірраціональні числа може бути перетворені з допомогою основних арифметичних процесів. Жодних особливих правил при цьому немає.

Крім того, на ірраціональні числа поширюється дія аксіоми Архімеда. Вона говорить, що для будь-яких двох величин a і b справедливе твердження, що, взявши a як доданок достатню кількість разів, можна перевершити b.

Використання

Незважаючи на те, що в звичайному житті не так часто доводиться стикатися з ними, ірраціональні числа не піддаються рахунку. Їх безліч, але вони практично непомітні. Нас всюди оточують ірраціональні числа. Приклади, знайомі всім, - це число пі, що дорівнює 3,1415926..., або e, що є основою натурального логарифму, 2,718281828... В алгебрі, тригонометрії і геометрії використовувати їх доводиться постійно. До речі, знамените значення "золотого перерізу", тобто відношення як більшої частини до меншої, так і навпаки, також

відноситься до цієї множини. Менш відоме "срібне" - теж.

На числовій прямій вони розташовані дуже щільно, тому між будь-якими двома величинами, віднесеними до безлічі раціональних, обов'язково зустрічається ірраціональна.

Досі існує маса невирішених проблем, пов'язаних із цим безліччю. Існують такі критерії, як міра ірраціональності та нормальність числа. Математики продовжують досліджувати найбільш значні приклади щодо належності їх до тієї чи іншої групи. Наприклад, вважається, що е - нормальне число, т. е. ймовірність появи у його запису різних цифр однакова. Що ж до пі, то щодо його поки що ведуться дослідження. Мірою ірраціональності називають величину, що показує, наскільки добре те чи інше число може бути наближено раціональними числами.

Алгебраїчні та трансцендентні

Як вже було згадано, ірраціональні числа умовно поділяються на алгебраїчні та трансцендентні. Умовно, оскільки, строго кажучи, ця класифікація використовується для розподілу множини C.

Під цим позначенням ховаються комплексні числа, які включають дійсні або речові.

Отже, алгебраїчним називають таке значення, яке є коренем багаточлена, що не дорівнює тотожному нулю. Наприклад, квадратний корінь із 2 буде відноситися до цієї категорії, оскільки він є рішенням рівняння x 2 - 2 = 0.

Все ж таки інші речові числа, що не задовольняють цій умові, називаються трансцендентними. До цього різновиду відносяться і найбільш відомі і вже згадані приклади - число пі та основа натурального логарифму e.

Що цікаво, ні одне, ні друге були спочатку виведені математиками в цій якості, їх ірраціональність і трансцендентність були доведені через багато років після їх відкриття. Для підтвердження було наведено в 1882 році і спрощено в 1894, що поклало кінець суперечкам про проблему квадратури кола, які тривали протягом 2,5 тисяч років. Воно досі до кінця не вивчене, тому сучасним математикам є над чим працювати. До речі, перший досить точне обчислення цього значення провів Архімед. До нього всі розрахунки були надто приблизними.

Для е (числа Ейлера або Непера) доказ його трансцендентності було знайдено в 1873 році. Воно використовується у вирішенні логарифмічних рівнянь.

Серед інших прикладів – значення синуса, косинуса та тангенсу для будь-яких алгебраїчних ненульових значень.

Приклад:
\(4\) - раціональне число,т.к.його можна записати як \(\frac(4)(1)\);
\(0,0157304\) - теж раціональне,т.к.його можна записати у вигляді \(\frac(157304)(10000000)\);
\(0,333(3)…\)-і це раціональне число: можна уявити як \(\frac(1)(3)\);
\(\sqrt(\frac(3)(12))\) - раціональне, тому що можна уявити як \(\frac(1)(2)\) . Справді, ми можемо провести ланцюжок перетворень \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(=\) \ (\frac(1)(2)\)

Ірраціональне число- Це число, яке неможливо записати у вигляді дробу з цілим чисельником і знаменником.

Неможливо, бо це нескінченнідроби, та ще й неперіодичні. Тому немає таких цілих чисел, які поділилися б один на одного, дали б ірраціональне число.

Приклад:
\(\sqrt(2)≈1,414213562…\) -ірраціональне число;
\(π≈3,1415926 ... \) -ірраціональне число;
\(\log_(2)(5)≈2,321928…\)-ірраціональне число.

приклад (Завдання з ОДЕ). Значення якого з виразів є числом раціональним?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2) ((sqrt (9)-sqrt (14)) (sqrt (9) + sqrt (14)));
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

Рішення:

1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) - корінь з \(14\) взяти не можна, значить і уявити число як дробу з цілими числами теж не можна, отже число ірраціонально.

2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14 = -5 \) - Коренів не залишилося, число легко уявити у вигляді дробу, наприклад такий \(\frac(-5)(1)\) , означає воно раціональне.

3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11) \) - Корінь не можна отримати - число ірраціональне.

4) \(sqrt(54)+3sqrt(6)=sqrt(9cdot 6)+3sqrt(6)=3sqrt(6)+3sqrt(6)=6sqrt (6) \) - теж ірраціональне.

Матеріал цієї статті є початковою інформацією про ірраціональні числа. Спочатку ми дамо визначення ірраціональних чисел і роз'яснимо його. Далі наведемо приклади ірраціональних чисел. Нарешті, розглянемо деякі підходи до з'ясування, чи задане число є ірраціональним чи ні.

Навігація на сторінці.

Визначення та приклади ірраціональних чисел

Під час вивчення десяткових дробів ми окремо розглянули нескінченні неперіодичні десяткові дроби. Такі дроби виникають при десятковому вимірі довжин відрізків, несумірних з одиничним відрізком. Також ми відзначили, що нескінченні неперіодичні десяткові дроби не можуть бути переведені в звичайні дроби (дивіться переведення звичайних дробів у десяткові і назад), отже, ці числа не є раціональними числами, вони представляють так звані ірраціональні числа.

Так ми підійшли до визначення ірраціональних чисел.

Визначення.

Числа, які в десятковому записі є нескінченними неперіодичними десятковими дробами, називаються ірраціональними числами.

Озвучене визначення дозволяє навести приклади ірраціональних чисел. Наприклад, нескінченний неперіодичний десятковий дріб 4,10110011100011110000… (кількість одиниць і нулів щоразу збільшується на одну) є ірраціональним числом. Наведемо ще приклад ірраціонального числа: −22,353335333335… (кількість трійок, що розділяють вісімки, щоразу збільшується на дві).

Слід зазначити, що ірраціональні числа досить рідко зустрічаються у вигляді нескінченних неперіодичних десяткових дробів. Зазвичай вони зустрічаються у вигляді , і т.п., а також у вигляді спеціально введених букв. Найвідомішими прикладами ірраціональних чисел у такому записі є арифметичний квадратний корінь із двох , число «пі» π=3,141592…, число e=2,718281… та золоте число.

Ірраціональні числа також можна визначити через дійсні числа, які поєднують раціональні та ірраціональні числа.

Визначення.

Ірраціональні числа– це дійсні числа, які є раціональними.

Чи є це число ірраціональним?

Коли число задано над вигляді десяткового дробу, а вигляді деякого , кореня, логарифма тощо., відповісти питанням, чи є воно ірраціональним, у часто досить складно.

Безперечно, при відповіді на поставлене питання дуже корисно знати, які числа не є ірраціональними. З визначення ірраціональних чисел випливає, що ірраціональними числами є раціональні числа. Таким чином, ірраціональними числами НЕ є:

• кінцеві та нескінченні періодичні десяткові дроби.

Також не є ірраціональним числом будь-яка композиція раціональних чисел, пов'язаних знаками арифметичних операцій (+, −, ·, :). Це тим, що сума, різницю, добуток і частки двох раціональних чисел є раціональним числом. Наприклад, значення виразів є раціональними числами. Тут же зауважимо, що якщо в подібних виразах серед раціональних чисел міститься одне ірраціональне число, то значення всього виразу буде ірраціональним числом. Наприклад, у виразі число - ірраціональне, а інші числа раціональні, отже - ірраціональне число. Якби було раціональним числом, то з цього випливала б раціональність числа, а воно не є раціональним.

Якщо вираз, яким задано число, містить кілька ірраціональних чисел, знаки кореня, логарифми, тригонометричні функції, числа π, e тощо, то потрібно проводити доказ ірраціональності або раціональності заданого числа в кожному конкретному випадку. Однак існує низка вже отриманих результатів, якими можна скористатися. Перелічимо основні їх.

Доведено, що корінь ступеня k із цілого числа є раціональним числом лише тоді, коли число під коренем є k-им ступенем іншого цілого числа, в інших випадках такий корінь задає ірраціональне число. Наприклад, числа і - ірраціональні, тому що не існує цілого числа, квадрат якого дорівнює 7 і не існує цілого числа, зведення якого в п'яту ступінь дає число 15 . А числа і є ірраціональними, оскільки і .

Що стосується логарифмів, то довести їхню ірраціональність іноді вдається методом від протилежного. Наприклад доведемо, що log 2 3 є ірраціональним числом.

Припустимо, що log 2 3 раціональне число, а чи не ірраціональне, тобто його можна у вигляді звичайного дробу m/n . і дозволяють записати наступний ланцюжок рівностей: . Остання рівність неможлива, тому що в його лівій частині непарне число, а правої частини – парне. Так ми дійшли протиріччя, отже, наше припущення виявилося неправильним, і цим доведено, що log 2 3 - ірраціональне число.

Зауважимо, що lna за будь-якого позитивного і відмінному від одиниці раціональному a є ірраціональним числом. Наприклад, і – ірраціональні числа.

Також доведено, що число e a при будь-якому відмінному від нуля раціональному a є ірраціональним, і що π z при будь-якому відмінному від нуля цілому z є ірраціональним. Наприклад, числа – ірраціональні.

Ірраціональними числами також є тригонометричні функції sin, cos, tg і ctg при будь-якому раціональному і відмінному від нуля значенні аргументу. Наприклад, sin1 , tg(−4) , cos5,7 є ірраціональними числами.

Існують і інші доведені результати, на які ми обмежимося вже перерахованими. Слід також сказати, що за доказі озвучених вище результатів застосовується теорія, пов'язана з алгебраїчними числамиі трансцендентними числами.

Насамкінець зазначимо, що не варто робити поспішних висновків щодо ірраціональності заданих чисел. Наприклад, здається очевидним, що ірраціональне число в ірраціональному ступені є ірраціональне число. Однак, це не завжди так. Як підтвердження озвученого факту наведемо ступінь. Відомо, що ірраціональне число, а також доведено, що ірраціональне число, але раціональне число. Також можна навести приклади ірраціональних чисел, сума, різницю, твір і приватне яких є раціональними числами. Більше того, раціональність чи ірраціональність чисел π+e , π−e , π·e , π π , π e та багатьох інших досі не доведена.

Список литературы.

• Математика. 6 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Н. Я. Віленкін та ін.]. - 22-ге вид., Випр. – К.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників у технікуми): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.