Пряма на площині необхідні відомості.

У цій статті ми докладно зупинимося на одному з первинних понять геометрії – на понятті прямої лінії на площині. Спочатку визначимося з основними термінами та позначеннями. Далі обговоримо взаємне розташування прямої точки, а також двох прямих на площині, наведемо необхідні аксіоми. На закінчення розглянемо способи завдання прямої на площині і наведемо графічні ілюстрації.

Навігація на сторінці.

• Прямі на площині - концепції.
• Взаємне розташування прямої та точки.
• Взаємне розташування прямих на площині.
• Способи завдання прямої на площині.

Прямі на площині - концепції.

Перш ніж дати поняття прямий на площині, слід чітко уявляти собі, що ж являє собою площину. Уявлення про площинудозволяє отримати, наприклад, рівну поверхню столу або стіни будинку. Слід, однак, мати на увазі, що розміри столу обмежені, а площина простягається і за межі цих кордонів у нескінченність (наче у нас скільки завгодно великий стіл).

Якщо взяти добре заточений олівець і торкнутися його стрижнем до поверхні столу, ми отримаємо зображення точки. Так ми отримуємо уявлення про точку на площині.

Тепер можна переходити і до поняття прямої лінії на площині.

Покладемо на поверхню стола (на площину) аркуш чистого паперу. Для того щоб зобразити пряму лінію, нам необхідно взяти лінійку та провести олівцем лінію на скільки це дозволяють зробити розміри лінійки та аркуша паперу, що використовується. Слід зазначити, що у такий спосіб ми отримаємо лише частину прямої. Пряму лінію цілком, що тягнеться в нескінченність, ми можемо тільки уявити.

На початок сторінки

Взаємне розташування прямої та точки.

Почати слід з аксіоми: на кожній прямій та у кожній площині є точки.

Точки прийнято позначати великими латинськими літерами, наприклад точки Аі F. У свою чергу прямі лінії позначають малими латинськими літерами, наприклад, прямі aі d.

Можливі два варіанти взаємного розташування прямої та точки на площині: або точка лежить на прямій (у цьому випадку також кажуть, що пряма проходить через точку), або точка не лежить на прямій (також кажуть, що точка не належить пряма або пряма не проходить через точку).

Для позначення приналежності точки деякої прямої використовують символ " ". Наприклад, якщо точка Алежить на прямій а, можна записати . Якщо точка Ане належить прямий а, записують .

Справедливе таке твердження: через будь-які дві точки проходить єдина пряма.

Це твердження є аксіомою і його слід сприйняти як факт. До того ж це досить очевидно: відзначаємо дві точки на папері, прикладаємо до них лінійку і проводимо пряму лінію. Пряму, що проходить через дві задані точки (наприклад, через точки Аі У), можна позначати двома цими літерами (у нашому випадку пряма АВабо ВА).

Слід розуміти, що на прямій, заданій на площині, нескінченно лежить багато різних точок, причому всі ці точки лежать в одній площині. Це твердження встановлюється аксіомою: якщо дві точки прямої лежать у певній площині, всі точки цієї прямої лежать у цій площині.

Безліч всіх точок, розташованих між двома заданими на прямій точками, разом з цими точками називають відрізком прямийабо просто відрізком. Крапки, що обмежують відрізок, називаються кінцями відрізка. Відрізок позначають двома літерами, що відповідають точкам кінців відрізка. Наприклад, нехай крапки Аі Ує кінцями відрізка, тоді цей відрізок можна позначити АВабо ВА. Зверніть увагу, що таке позначення відрізка збігається із позначенням прямої. Щоб уникнути плутанини, рекомендуємо до позначення додавати слово відрізок або пряма.

Для короткого запису приналежності та не приналежності деякої точки деякому відрізку використовують ті самі символи і . Щоб показати, що деякий відрізок лежить або не лежить на прямій, користуються символами і відповідно. Наприклад, якщо відрізок АВналежить прямий аможна коротко записати .

Слід також зупинитися у випадку, коли три різні точки належать одній прямій. І тут одна, і лише одна точка, лежить між двома іншими. Це є черговою аксіомою. Нехай крапки А, Уі Злежать на одній прямій, причому точка Улежить між точками Аі З. Тоді можна говорити, що точки Аі Ззнаходяться по різні боки від точки У. Також можна сказати, що точки Уі Злежать по один бік то точки А, а крапки Аі Улежать по один бік від точки З.

Для повноти картини зауважимо, що будь-яка точка пряма поділяє цю пряму на дві частини – два променя. Для цього випадку дається аксіома: довільна точка Про, Що належить прямий, ділить цю пряму на два промені, причому дві будь-які точки одного променя лежать по одну сторону від точки Про, а дві будь-які точки різних променів – по різні боки від точки Про.

На початок сторінки

Стаття розповідає про поняття пряме на площині. Розглянемо основні терміни та їх позначення. Попрацюємо із взаємним розташуванням прямої та точки та двох прямих на площині. Поговоримо про аксіоми. У результаті обговоримо способи і методи завдання прямої на площині.

Пряма на площині – поняття

Для початку необхідно мати чітке уявлення про те, що таке площина. Будь-яку поверхню чогось можна віднести до площини, тільки від предметів вона відрізняється своєю безмежністю. Якщо уявити, що площина - це стіл, то в нашому випадку він не матиме кордонів, а буде величезний.

Якщо олівцем торкнутися столу, залишиться мітка, яку можна називати «точкою». Таким чином, отримаємо уявлення про точку на площині.

Розглянемо поняття прямої лінії на площині. Якщо провести пряму на аркуші, вона відобразиться на ньому з обмеженою довжиною. Ми отримали не всю пряму, а лише її частину, тому що насправді вона не має кінця, як і площина. Тому зображення прямих та площин у зошиті формальне.

Маємо аксіому:

Визначення 1

На кожній прямій і кожній площині можуть бути позначені точки.

Крапки позначають як великими, і маленькими латинськими літерами. Наприклад, А і D або a і d.

Для точки і прямої відомі лише два варіанти розташування: точка на прямій, інакше кажучи, що пряма проходить через неї, або точка не на прямій, тобто пряма не проходить через неї.

Щоб позначити, чи належить точка площини або точка прямої, використовують знак « ∈ ». Якщо в умові дано, що точка A лежить на прямій a тоді це має таку форму запису A ∈ a . Якщо точка А не належить, тоді інший запис A ∉ a .

Справедлива думка:

Визначення 2

Через будь-які дві точки, що знаходяться в будь-яких площинах, існує єдина пряма, яка проходить через них.

Цей вислів вважається акісомою, тому не вимагає доказів. Якщо розглянути це самостійно, видно, що при існуючих двох точках є лише один варіант з'єднання. Якщо маємо дві задані точки А і В, то пряму, яка проходить через них, можна назвати даними літерами, наприклад, пряма А В. Розглянемо малюнок, наведений нижче.

Пряма, розташована на площині, має велику кількість точок. Звідси виходить аксіома:

Визначення 3

Якщо дві точки прямої лежать у площині, то й інші точки цієї прямої належать площині.

Безліч точок, що знаходиться між двома заданими, називають відрізком прямий.Він має початок та кінець. Введено позначення двома літерами.

Якщо дано, що точки А і Р - кінці відрізка, значить, його позначення набуде вигляду Р А або А Р. Оскільки позначення відрізка і прямої збігаються, рекомендовано дописувати або домовляти слова "відрізок", "пряма".

Короткий запис приналежності включає використання знаків ∈ і ∉ . Для того, щоб зафіксувати розташування відрізка щодо заданої прямої застосовують ⊂ . Якщо в умові дано, що відрізок А Р належить прямий b , отже, і запис буде виглядати так: А Р ⊂ b .

Випадок приналежності одночасно трьох точок однієї прямої має місце. Це правильно, коли одна точка лежить між двома іншими. Це твердження прийнято вважати аксіомою. Якщо дані точки А, В, С, які належать одній прямій, а точка лежить між А і С, слід, що всі задані точки лежать на одній прямій, так як лежать по обидві сторони щодо точки B .

Точка ділить пряму на дві частини, які називають променями.Маємо аксіому:

Визначення 4

Будь-яка точка O, що знаходиться на прямій, ділить її на два промені, причому дві будь-які точки одного променя лежать по один бік променя щодо точки O, а інші - по інший бік променя.

Розташування прямих на площині може набувати вигляду двох станів.

Визначення 5

збігатися.

Така можливість виникає, коли прямі мають спільні точки. Виходячи з аксіоми, написаної вище, маємо, що через дві точки проходить пряма і лише одна. Значить, що з проходженні 2 прямих через задані 2 точки, вони збігаються.

Визначення 6

Дві прямі на площині можуть перетинатися.

Цей випадок показує, що є одна загальна точка, яку називають перетином прямих. Вводиться позначення перетин знак ∩ . Якщо є форма запису a ∩ b = M , то звідси випливає, що задані прямі a і b перетинаються у точці M .

При перетині прямих маємо справу кутом, що утворився. Окремому розгляду піддається розділ перетину прямих на площині з утворенням кута 90 градусів, тобто прямого кута. Тоді прямі називають перпендикулярними. Форма запису двох перпендикулярних прямих така: a ⊥ b , а це означає, що пряма a перпендикулярна до прямої b .

Визначення 7

Дві прямі на площині можуть бути паралельні.

Тільки тому випадку, якщо дві задані прямі немає загальних перетинів, отже, і точок, вони паралельні. Використовується позначення, яке можна записати при заданій паралельності прямих a і b: a b.

Пряма на площині розглядається разом із векторами. Особливого значення надається нульовим векторам, які лежать на даній прямій або на будь-якій з паралельних прямих, мають назву напрямні вектори прямої. Розглянемо рисунок, розташований нижче.

Ненульові вектори, розташовані на прямих, перпендикулярних даній, інакше називають нормальними векторами прямої. Докладно є опис статті нормального вектора прямої на площині. Розглянемо малюнок нижче.

Якщо на площині дано 3 лінії, їх розташування може бути різне. Є кілька варіантів їх розташування: перетин усіх, паралельність або наявність різних точок перетину. На малюнку показано перпендикулярне перетин двох прямих щодо однієї.

Для цього наводимо необхідні фактори, що доводять їхнє взаємне розташування:

• якщо дві прямі паралельні третій, тоді вони всі паралельні;
• якщо дві прямі перпендикулярні третій, тоді ці дві прямі паралельні;
• якщо на площині пряма перетнула одну паралельну пряму, тоді перетне й іншу.

Розглянемо це малюнки.

Пряма площина може бути задана декількома способами. Все залежить від умови завдання і на чому буде ґрунтуватися її рішення. Ці знання здатні допомогти практичного розташування прямих.

Визначення 8

Пряма задається за допомогою зазначених двох точок, розташованих у площині.

З розглянутої аксіоми випливає, що через дві точки можна провести пряму і лише одну єдину. Коли прямокутна система координат вказує координати двох точок, що не збігаються, тоді можна зафіксувати рівняння прямої, що проходить через дві задані точки. Розглянемо малюнок, де маємо пряму, яка проходить через дві точки.

Визначення 9

Пряма може бути задана через точку та пряму, якою вона паралельна.

Цей спосіб має місце існування, оскільки через точку можна провести пряму, паралельну заданої, причому, лише одну. Доказ відомий ще зі шкільного курсу з геометрії.

Якщо пряма задана щодо декартової системи координат, тоді можливе складання рівняння прямої, що проходить через задану точку паралельно заданої прямої. Розглянемо принцип завдання прямої на площині.

Визначення 10

Пряма задається через вказану точку та напрямний вектор.

Коли пряма задається прямокутної системі координат, є можливість складання канонічного і параметричного рівнянь на площині. Розглянемо на малюнку розташування прямої за наявності напрямного вектора.

Четвертим пунктом завдання прямий є сенс, коли вказана точка, якою її слід накреслити, і пряма, перпендикулярна їй. З аксіоми маємо:

Визначення 11

Через задану точку, розташовану на площині, пройде лише одна пряма, перпендикулярна до заданої.

І останній пункт, що відноситься до завдання прямої на площині, це при зазначеній точці, через яку проходить пряма, і за наявності нормального вектора прямої. При відомих координатах точки, яка розташована на заданій прямій, і координати нормального вектора є можливість записування загального рівняння прямої.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Дане видання допоможе систематизувати отримані раніше знання, а також підготуватися до іспиту чи заліку та успішно їх скласти.

2. Умова перебування трьох точок на одній прямій. Рівняння прямої. Взаємне розташування точок та прямий. Пучок прямий. Відстань від точки до прямої

1. Нехай дані три точки А 1 (х 1 , у 1), А 2 (х 2 , у 2), А 3 (х 3 , у 3), тоді умова знаходження їх на одній прямій:

або ( х 2 – х 1) (у 3 – у 1) – (х 3 – x 1) (у 2 – у 1) = 0.

2. Нехай дані дві точки А 1 (х 1 , у 1), А 2 (х 2 , у 2), тоді у рівняння прямої, що проходить через ці дві точки:

(х 2 – х 1)(у – у 1) – (х – х 1)(у 2 – у 1) = 0 або ( х – х 1) / (х 2 – х 1) = (у – у 1) / (у 2 – у 1).

3. Нехай є крапка М (х 1 , у 1) та деяка пряма L, подана рівнянням у = ах + з. Рівняння прямої, що проходить паралельно даній прямій L через дану точку М:

у – у 1 = а(х – х 1).

Якщо пряма Lзадана рівнянням Ах + Ву + З М, описується рівнянням А(х – х 1) + У(у – у 1) = 0.

Рівняння прямої, що проходить перпендикулярно даній прямій L через дану точку М:

у – у 1 = –(х – х 1) / а

а(у – у 1) = х 1 – х.

Якщо пряма Lзадана рівнянням Ах + Ву + З= 0, то паралельна їй пряма, що проходить через точку М(х 1 , у 1), описується рівнянням А (у – у 1) – У(х – х 1) = 0.

4. Нехай дані дві точки А 1 (х 1 , у 1), А 2 (х 2 , у 2) і пряма, задана рівнянням Ах + Ву + З = 0. Взаємне розташування точок щодо цієї прямої:

1) точки А 1 , А 2 лежать по одну сторону від даної прямої, якщо вирази ( Ах 1 + Ву 1 + З) та ( Ах 2 + Ву 2 + З) мають однакові знаки;

2) точки А 1 ,А 2 лежать по різні боки від даної прямої, якщо вирази ( Ах 1 + Ву 1 + З) та ( Ах 2 + Ву 2 + З) мають різні знаки;

3) одна або обидві точки А 1 , А 2 лежать на даній прямій, якщо один або обидва вирази відповідно ( Ах 1 + + Ву 1 + З) та ( Ах 2 + Ву 2 + З) набувають нульового значення.

5. Центральний пучок- Це безліч прямих, що проходять через одну точку М (х 1 , у 1), звану центром пучка. Кожна з прямих пучок описується рівнянням пучка у – у 1 = до(х – х 1) (параметр пучка додля кожної прямий свій).

Всі прямі пучки можна уявити рівнянням: l(y – y 1) = m(x – x 1), де l, m- Не рівні одночасно нулю довільні числа.

Якщо дві прямі пучки L 1 та L 2 відповідно мають вигляд ( А 1 х + У 1 у+ З 1) = 0 та ( А 2 х+ У 2 у+ З 2) = 0, то рівняння пучка: m 1 (А 1 х + У 1 у + З 1) + m 2 (А 2 х + У 2 у + З 2) = 0. Якщо прямі L 1 та L 2 перетинаються, то центральний пучок, якщо прямі паралельні, то і пучок паралельний.

6. Нехай дані точки М(х 1 ,у 1) і пряма, задана рівнянням Ах + Ву + С = 0. Відстань dвідцією крапки М до прямої:

• 1. Основні поняття. Системи координат. Прямі лінії та їх взаємне розташування
• 2. Умова перебування трьох точок на одній прямій. Рівняння прямої. Взаємне розташування точок та прямий. Пучок прямий. Відстань від точки до прямої