Нехай функція невід'ємна та безперервна на відрізку. Тоді, згідно з геометричним змістом певного інтеграла, площа криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком цієї функції, знизу – віссю, ліворуч і праворуч – прямими і (див. рис. 2) обчислюється за формулою

Приклад 9.Знайти площу фігури, обмеженою лінією і віссю.

Рішення. Графіком функції є парабола, гілки якої спрямовані вниз. Побудуємо її (рис. 3). Щоб визначити межі інтегрування, знайдемо точки перетину лінії (параболи) з віссю (прямий). Для цього вирішуємо систему рівнянь

Отримуємо: звідки ; отже, , .

Мал. 3

Площу фігури знаходимо за формулою (5):

Якщо функція непозитивна і безперервна на відрізку , то площа криволінійної трапеції, обмеженої знизу графіком даної функції, зверху - віссю , ліворуч і праворуч - прямими і обчислюється за формулою

. (6)

У разі, якщо функція безперервна на відрізку і змінює знак в кінцевому числі точок, то площа заштрихованої фігури (мал. 4) дорівнює сумі алгебри відповідних певних інтегралів:

Мал. 4

приклад 10.Обчислити площу фігури, обмеженою віссю та графіком функції при .

Мал. 5

Рішення. Зробимо креслення (рис. 5). Шукана площа являє собою суму площ та . Знайдемо кожну з цих площ. Спочатку визначимо межі інтегрування, вирішивши систему Отримаємо, . Отже:

;

.

Таким чином, площа заштрихованої фігури дорівнює

(Кв. од.).

Мал. 6

Нехай, нарешті, криволінійна трапеція обмежена зверху та знизу графіками безперервних на відрізку функцій та ,
а ліворуч і праворуч - прямими і (рис. 6). Тоді її площа обчислюється за формулою

. (8)

Приклад 11.Знайти площу фігури, обмеженою лініямита .

Рішення.Ця фігура зображена на рис. 7. Площу її обчислимо за формулою (8). Вирішуючи систему рівнянь знаходимо, ; отже, , . На відрізку маємо: . Отже, у формулі (8) як візьмемо x, а як – . Отримаємо:

(Кв. од.).

Більш складні завдання на обчислення площ вирішують шляхом розбиття фігури на частини, що не перетинаються, і обчислення площі всієї фігури як суми площ цих частин.

Мал. 7

приклад 12.Знайти площу фігури, обмеженою лініями , , .

Рішення. Зробимо креслення (рис. 8). Дану фігуру можна розглядати як криволінійну трапецію, обмежену знизу віссю , ліворуч і праворуч – прямими та , зверху – графіками функцій та . Так як фігура обмежена зверху графіками двох функцій, то для обчислення її площі розіб'ємо цю фігуру прямою на дві частини (1 – це абсцис точки перетину ліній і ). Площу кожної з цих частин знаходимо за формулою (4):

(кв. од.); (Кв. од.). Отже:

(Кв. од.).

Мал. 8

х= j ( у)

Мал. 9

На закінчення відзначимо, що якщо криволінійна трапеція обмежена прямими і віссю і безперервною на кривій (рис. 9), то її площа знаходиться за формулою

Об'єм тіла обертання

Нехай криволінійна трапеція, обмежена графіком безперервної на відрізку функції , віссю, прямими і обертається навколо осі (рис. 10). Тоді обсяг отриманого тіла обертання обчислюється за формулою

. (9)

приклад 13.Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням навколо осі криволінійної трапеції, обмеженою гіперболою, прямими і віссю.

Рішення. Зробимо креслення (рис. 11).

З умови завдання випливає, що , . За формулою (9) отримуємо

.

Мал. 10

Мал. 11

Обсяг тіла, отриманого обертанням навколо осі Оукриволінійної трапеції, обмеженої прямими у = сі у = d, віссю Оута графіком безперервної на відрізку функції (рис. 12), визначається за формулою

. (10)

х= j ( у)

Мал. 12

Приклад 14. Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням навколо осі Оукриволінійної трапеції, обмеженої лініями х 2 = 4у, у = 4, х = 0 (рис. 13).

Рішення. Відповідно до умови завдання знаходимо межі інтегрування: , . За формулою (10) отримуємо:

Мал. 13

Довжина дуги плоскої кривої.

Нехай крива , задана рівнянням , де лежить у площині (рис. 14).

Мал. 14

Визначення. Під довжиною дуги розуміється межа, якого прагне довжина ламаної лінії, вписаної у цю дугу, коли кількість ланок ламаної прагне нескінченності, а довжина найбільшої ланки прагне нулю.

Якщо функція та її похідна безперервні на відрізку, то довжина дуги кривої обчислюється за формулою

. (11)

Приклад 15. Обчислити довжину дуги кривої , укладеної між точками, для яких .

Рішення. З умови завдання маємо . За формулою (11) отримуємо:

.

4. Невласні інтеграли
з нескінченними межами інтегрування

При введенні поняття певного інтеграла передбачалося, що виконуються такі дві умови:

а) межі інтегрування аі є кінцевими;

б) підінтегральна функція обмежена на відрізку.

Якщо хоча б одна з цих умов не виконується, то інтеграл називається невласним.

Розглянемо спочатку невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування.

Визначення. Нехай функція визначена і безперервна на проміжку, тодіта необмеженою праворуч (рис. 15).

Якщо невласний інтеграл сходиться, ця площа є кінцевою; якщо невласний інтеграл розходиться, ця площа нескінченна.

Мал. 15

Аналогічно визначається невласний інтеграл з нескінченною нижньою межею інтегрування:

. (13)

Цей інтеграл сходиться, якщо межа у правій частині рівності (13) існує і кінець; в іншому випадку інтеграл називається розбіжним.

Невласний інтеграл із двома нескінченними межами інтегрування визначається наступним чином:

, (14)

де с – будь-яка точка інтервалу. Інтеграл сходиться лише у тому випадку, коли сходяться обидва інтеграли у правій частині рівності (14).

;

г) = [Виділимо в знаменнику повний квадрат: ] = [Заміна:

] =

Отже, невласний інтеграл сходиться та його значення одно .

Введіть функцію, для якої потрібно знайти інтеграл

Калькулятор надає ДЕТАЛЬНЕ рішення певних інтегралів.

Цей калькулятор знаходить рішення певного інтеграла від функції f(x) з верхніми і нижніми межами.

Приклади

Із застосуванням ступеня
(квадрат і куб) та дроби

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Квадратний корінь

Sqrt(x)/(x + 1)

Кубічний корінь

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Із застосуванням синуса та косинуса

2*sin(x)*cos(x)

Арксинус

X*arcsin(x)

Арккосінус

X*arccos(x)

Застосування логарифму

X * log (x, 10)

Натуральний логарифм

експонента

Tg(x)*sin(x)

Котангенс

Ctg(x)*cos(x)

Ірраціональне дроби

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Арктангенс

X*arctg(x)

Арккотангенс

X*arcctg(x)

Гіберболічний синус та косинус

2*sh(x)*ch(x)

Гіберболічні тангенс та котангенс

Ctgh(x)/tgh(x)

Гіберболічні арксинус та арккосинус

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Гіберболічні арктангенс та арккотангенс

X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Правила введення виразів та функцій

Вирази можуть складатися з функцій (позначення наведено в алфавітному порядку): absolute(x)Абсолютне значення x
(модуль xабо |х|) arccos(x)Функція - арккосинус від x arccosh(x)Арккосинус гіперболічний від x arcsin(x)Арксинус від x arcsinh(x)Арксинус гіперболічний від x arctg(x)Функція - арктангенс від x arctgh(x)Арктангенс гіперболічний від x e eчисло, яке приблизно дорівнює 2.7 exp(x)Функція - експонента від x(що і e^x) log(x) or ln(x)Натуральний логарифм від x
(Щоб отримати log7(x), треба ввести log(x)/log(7) (або, наприклад, для log10(x)=log(x)/log(10)) piЧисло - "Пі", яке приблизно дорівнює 3.14 sin(x)Функція - Сінус від x cos(x)Функція - Косинус від x sinh(x)Функція - Синус гіперболічний від x cosh(x)Функція - Косинус гіперболічний від x sqrt(x)Функція - квадратний корінь з x sqr(x)або x^2Функція - Квадрат x tg(x)Функція - Тангенс від x tgh(x)Функція - Тангенс гіперболічний від x cbrt(x)Функція - кубічний корінь з x

У виразах можна застосовувати такі операції: Справжні числа вводити у вигляді 7.5 , не 7,5 2*x- множення 3/x- розподіл x^3- Зведення в ступінь x + 7- додавання x - 6- віднімання
Інші функції: floor(x)Функція - округлення xу меншу сторону (приклад floor(4.5)==4.0) ceiling(x)Функція - округлення xу велику сторону (приклад ceiling(4.5)==5.0) sign(x)Функція - Знак x erf(x)Функція помилок (або інтеграл імовірності) laplace(x)Функція Лапласа

Будь-який певний інтеграл (який існує) має дуже хороший геометричний зміст. На уроці я говорив, що певний інтеграл це число. А зараз настав час констатувати ще один корисний факт. З погляду геометрії певний інтеграл – це ПЛОЩА.

Тобто, певному інтегралу (якщо він існує) геометрично відповідає площа деякої фігури. Наприклад, розглянемо певний інтеграл. Підінтегральна функція задає на площині деяку криву (її можна завжди за бажанням накреслити), а сам певний інтеграл чисельно дорівнює площівідповідної криволінійної трапеції.

Приклад 1

Це типове формулювання завдання. Перший та найважливіший момент рішення – побудова креслення. Причому креслення необхідно побудувати ПРАВИЛЬНО.

При побудові креслення я рекомендую наступний порядок: спочаткукраще побудувати всі прямі (якщо вони є) і тільки потім– параболи, гіперболи, графіки інших функцій. Графіки функцій вигідніше будувати крапково, з технікою поточкової побудови можна ознайомитись у довідковий матеріал.

Там же можна знайти дуже корисний стосовно нашого уроку матеріал – як швидко побудувати параболу.

У цій задачі рішення може мати такий вигляд.
Виконаємо креслення (зверніть увагу, що рівняння задає вісь):

Штрихувати криволінійну трапецію я не буду, тут очевидно, про яку площу йдеться. Рішення продовжується так:

На відрізку графік функції розташований над віссютому:

Відповідь:

У кого виникли труднощі з обчисленням певного інтеграла та застосуванням формули Ньютона-Лейбніца, зверніться до лекції Певний інтеграл. Приклади рішень.

Після того, як завдання виконане, завжди корисно поглянути на креслення і прикинути, чи реальна вийшла відповідь. У цьому випадку «на око» підраховуємо кількість клітинок у кресленні – ну, приблизно 9 набереться, схоже на правду. Цілком зрозуміло, що якби в нас вийшла, скажімо, відповідь: 20 квадратних одиниць, то, зрозуміло, десь допущена помилка – в розглянуту постать 20 клітинок вочевидь вміщується, від сили десяток. Якщо відповідь вийшла негативною, то завдання теж вирішено некоректно.

Приклад 2

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , , та віссю

Це приклад для самостійного рішення. Повне рішеннята відповідь наприкінці уроку.

Що робити, якщо криволінійна трапеція розташована під віссю?

Приклад 3

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями і координатними осями.

Рішення: Виконаємо креслення:

Якщо криволінійна трапеція повністю розташована під віссю, то її площу можна знайти за формулою:
В даному випадку:

Увага! Не слід плутати два типи завдань:

1) Якщо Вам запропоновано вирішити просто певний інтеграл без жодного геометричного сенсу, він може бути негативним.

2) Якщо Вам запропоновано знайти площу фігури за допомогою певного інтеграла, то площа завжди позитивна! Саме тому у щойно розглянутій формулі фігурує мінус.

На практиці найчастіше фігура розташована і у верхній і нижній півплощині, а тому, від найпростіших шкільних завдань переходимо до більш змістовних прикладів.

Приклад 4

Знайти площу плоскої фігури, обмеженою лініями , .

Рішення: Спочатку потрібно виконати креслення. Загалом кажучи, при побудові креслення у завданнях на площу нас найбільше цікавлять точки перетину ліній. Знайдемо точки перетину параболи та прямий. Це можна зробити двома способами. Перший спосіб – аналітичний. Вирішуємо рівняння:

Значить, нижня межа інтегрування, верхня межа інтегрування.
Цим способом краще, наскільки можна, не користуватися.

Набагато вигідніше і швидше побудувати лінії поточечно, у своїй межі інтегрування з'ясовуються хіба що «самі собою». Техніка поточкової побудови для різних графіків детально розглянута у довідці Графіки та властивості елементарних функцій . Тим не менш, аналітичний спосіб знаходження меж все-таки доводиться іноді застосовувати, якщо, наприклад, графік досить великий, або поточена побудова не виявила меж інтегрування (вони можуть бути дрібними або ірраціональними). І такий приклад ми теж розглянемо.

Повертаємося до нашого завдання: раціональніше спочатку побудувати пряму і лише потім параболу. Виконаємо креслення:

Повторюся, що з поточечному побудові межі інтегрування найчастіше з'ясовуються «автоматом».

А тепер робоча формула:Якщо на відрізку деяка безперервна функція більше або дорівнюєдеякої безперервної функції , то площу відповідної фігури можна знайти за формулою:

Тут уже не треба думати, де розташована постать - над віссю або під віссю, і, грубо кажучи, важливо, який графік Вище(щодо іншого графіка), а який – НИЖЧЕ.

У прикладі очевидно, що на відрізку парабола розташовується вище прямої, а тому необхідно відняти

Завершення рішення може мати такий вигляд:

Потрібна фігура обмежена параболою зверху і прямою знизу.

Відповідь:

Насправді шкільна формула для площі криволінійної трапеції у нижній напівплощині (див. простенький приклад №3) – окремий випадокформули. Оскільки вісь задається рівнянням, а графік функції розташований нижче за осі, то

А зараз пара прикладів для самостійного вирішення

Приклад 5

Приклад 6

Знайти площу фігури, обмеженою лініями , .

У ході вирішення завдань на обчислення площі за допомогою певного інтегралу іноді трапляється кумедний казус. Креслення виконано правильно, розрахунки – правильно, але через неуважність… знайдено площу не тієї фігури, саме так кілька разів лажався ваш покірний слуга. Ось реальний випадок із життя:

Приклад 7

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , , , .

Спочатку виконаємо креслення:

Фігура, площу якої нам потрібно знайти, заштрихована синім кольором(Уважно дивіться на умову – чим обмежена фігура!). Але на практиці через неуважність нерідко виникає, що потрібно знайти площу фігури, яка заштрихована зеленим кольором!

Цей приклад ще й корисний тим, що в ньому площа фігури вважається двома певними інтегралами. Дійсно:

1) На відрізку над віссю розташований графік прямий;

2) На відрізку над віссю розташований графік гіперболи.

Цілком очевидно, що площі можна (і потрібно) приплюсувати, тому:

Відповідь:

Приклад 8

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями ,
Представимо рівняння в «шкільному» вигляді і виконаємо поточковий креслення:

З креслення видно, що верхню межу ми «хороший»: .
Але чому дорівнює нижня межа?! Зрозуміло, що це ціле число, але яке? Можливо? Але де гарантія, що креслення виконано з ідеальною точністю, цілком може виявитися . Або корінь. А якщо ми взагалі неправильно збудували графік?

У таких випадках доводиться витрачати додатковий час та уточнювати межі інтегрування аналітично.

Знайдемо точки перетину прямої та параболи.
Для цього розв'язуємо рівняння:

Отже, .

Подальше рішення тривіально, головне, не заплутатися у підстановках та знаках, обчислення тут не найпростіші.

На відрізку , за відповідною формулою:

Ну, і на закінчення уроку, розглянемо два завдання складніше.

Приклад 9

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , ,

Рішення: Зобразимо цю фігуру на кресленні.

Для поточкового побудови креслення необхідно знати зовнішній виглядсинусоїди (і взагалі корисно знати графіки всіх елементарних функцій), а також деякі значення синуса, їх можна знайти в тригонометричної таблиці. У ряді випадків (як у цьому) допускається побудова схематичного креслення, на якому принципово правильно повинні бути відображені графіки та межі інтегрування.

З межами інтегрування тут проблем немає, вони випливають з умови: – «ікс» змінюється від нуля до «пі». Оформлюємо подальше рішення:

На відрізку графік функції розташований над віссю, тому:

(1) Як інтегруються синуси та косинуси у непарних ступенях можна подивитися на уроці Інтеграли від тригонометричних функцій . Це типовий прийом, відщипуємо один синус.

(2) Використовуємо основне тригонометричне тотожність у вигляді

(3) Проведемо заміну змінної , тоді:

Нові переді інтегрування:

У кого зовсім погані справи із замінами, прошу пройти на урок Метод заміни у невизначеному інтегралі . Кому не дуже зрозумілий алгоритм заміни у певному інтегралі, відвідайте сторінку Певний інтеграл. Приклади рішень. Приклад 5: Рішення: , тому:

Відповідь:

Примітка:зверніть увагу, як береться інтеграл від тангенсу в кубі, тут використано наслідок основного тригонометричного тотожності.

Розглянемо криволінійну трапецію, обмежену віссю Ох, кривою y=f(x) та двома прямими: х=а та х=Ь (рис. 85). Візьмемо довільне значення х (тільки не а і не Ь). Дамо йому збільшення h = dx і розглянемо смужку, обмежену прямими АВ і CD, віссю Ох і дугою BD, що належить кривою, що розглядається. Цю смужку називатимемо елементарною смужкою. Площа елементарної смужки відрізняється від площі прямокутника ACQB на криволінійний трикутник BQD, а площа останнього менша за площу прямокутника BQDM зі сторонами BQ = = h = dx) QD = Ay і площею, що дорівнює hAy = Ay dx. Зі зменшенням сторони h сторона Ду також зменшується і одночасно з h прагне нуля. Тому площа BQDM є нескінченно малою другого порядку. Площа елементарної смужки є збільшення площі, а площа прямокутника ACQB, рівна АВ-АС==((х) dx> є диференціал площі. Отже, саму площу знайдемо, інтегруючи її диференціал. У межах аналізованої фігури незалежне змінне л: змінюється від а до b, тому шукана площа 5 дорівнюватиме 5= \f(x) dx. (I) Приклад 1. Обчислимо площу, обмежену параболою у - 1 -х *, прямими X = - Fj-, х = 1 і віссю О * (рис. 86). у Мал. 87. Мал. 86. 1 Тут f(x)= 1 - л?, межі інтегрування а = - і £=1, тому J [*-т]\- -fl -- Г -1-±Л_ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Приклад 2. Обчислимо площу, обмежену синусоїдою y = sinXy віссю Ох і прямою (рис. 87). Застосовуючи формулу (I), отримуємо Л 2 S= J sinxdx = [-cos x] Q =0 -(-1) = lf Приклад 3. Обчислимо площу, обмежену дугою синусоїди ^у = sin jc, укладеної між двома сусідніми точками перетину з віссю Ох (наприклад, між початком координат і крапкою з абсцисою я). Зауважимо, що з геометричних міркувань ясно, що ця площа буде вдвічі більше площіпопереднього прикладу. Однак зробимо обчислення: я 5 = | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos я-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. о Дійсно, наше припущення виявилося справедливим. Приклад 4. Обчислити площу, обмежену синусоїдою і віссю Ох на одному періоді (рис. 88). Попередні розрис судження дозволяють припустити, що площа вийде в чотири рази більше, ніж у пр. 2. Однак, зробивши обчислення, отримаємо «я Г, * я S - \ sin х dx = [ - cos х] 0 = = - cos 2л -(-cos 0) = - 1 + 1 = 0. Цей результат потребує роз'яснень. Для з'ясування суті справи обчислюємо ще площу, обмежену тією самою синусоїдою у = sin л: і віссю Ох не більше від л до 2я. Застосовуючи формулу (I), отримуємо 2л $2л sin хdx=[ - cosх]л =-cos 2я~)-с05я=- 1-1 =-2. Таким чином, бачимо, що ця площа вийшла негативною. Порівнюючи її з площею, обчисленою в пр. 3, отримуємо, що їх абсолютні величиниоднакові, а різні знаки. Якщо застосувати властивість V (див. гл. XI, § 4), то отримаємо 2л я 2л J sin xdx = J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0 Те, що вийшло в цьому прикладі, не є випадковістю. Завжди площа, розташована нижче осі Ох, за умови, що незалежне змінне змінюється ліворуч, виходить при обчисленні за допомогою інтегралів негативною. У цьому курсі ми завжди розглядатимемо площі без знаків. Тому відповідь у щойно розібраному прикладі буде такою: площа, що шукається, дорівнює 2 + |-2| = 4. Приклад 5. Обчислимо площу ОАВ, вказану на рис. 89. Ця площа обмежена віссю Ох параболою у = - хг і прямий у - =-х + \. Площа криволінійної трапеції Шукана площа ОАВ складається з двох частин: ОАМ та МАВ. Так як точка А є точкою перетину параболи та прямою, то її координати знайдемо, розв'язуючи систему рівнянь 3 2 У = тх. (Нам потрібно знайти тільки абсцис точки А). Вирішуючи систему, знаходимо л; = ~. Тому площу доводиться обчислювати частинами, спочатку пл. ОАМ, та був пл. МАВ: .... Г 3 2 , 3 Г хП 3 1/2 У 2 . QAM-^х)