Формула відстані між точкою та площиною. Завдання c2 єдиного державного іспиту з математики на відстань від точки до площини. Метод. Координатний метод
Нехай існує площина 
. Проведемо нормаль 
через початок координат О. Нехай задані 
- Кути, утворені нормаллю 
з осями координат. 
. Нехай 
- Довжина відрізка нормалі 
до перетину з площиною. Вважаючи відомими напрямні косинуси нормалі 
, виведемо рівняння площини 
.
Нехай 
) – довільна точка площини. Вектор окремої нормалі має координати. Знайдемо проекцію вектора 
на нормаль.
Оскільки точка Мналежить площині, то
.
Це і є рівняння заданої площини, що називається нормальним .
Відстань від точки до площини
Нехай дана площина 
,М*
- Точка простору, d
- Відстань від площини.
Визначення.
Відхиленням
крапки М*від площини називається число ( +
d),
якщо M*
лежить по той бік від площини, куди вказує позитивний напрямок нормалі 
, і число (- d), якщо точка розташована з іншого боку площини:
.
Теорема.
Нехай площина 
з одиничною нормаллю 
задана нормальним рівнянням:
Нехай М*
- Точка простору Відхилення т.з. M* від площини задається виразом
Доказ.Проекцію т.п. 
* на нормаль позначимо Q.
Відхилення точки М*від площини одно
.
Правило.Щоб знайти відхилення
т. M* Від площини, потрібно в нормальне рівняння площини підставити координати т.п. M*
. Відстань від точки до площини дорівнює 
.
Приведення загального рівняння площини до нормального вигляду
Нехай та сама площина задана двома рівняннями:
Загальне рівняння,
Нормальне рівняння.
Оскільки обидва рівняння задають одну площину, їх коефіцієнти пропорційні:
Перші три рівності зведемо у квадрат і складемо:
Звідси знайдемо 
– нормуючий множник:
. (10)
Помноживши загальне рівняння площини на множник, що нормує, отримаємо нормальне рівняння площини:
Приклади завдань на тему Площина.
приклад 1.Скласти рівняння площини 
, що проходить через задану точку 
(2,1,-1) та паралельної площині.
Рішення. Нормаль до площини 
:
. Оскільки площини паралельні, то нормаль 
є і нормаллю до шуканої площини 
. Використовуючи рівняння площини, що проходить через задану точку (3), отримаємо для площини 
рівняння:
Відповідь:
приклад 2.Підставою перпендикуляра, опущеного з початку координат на площину 
, є точка 
. Знайти рівняння площини 
.
Рішення. Вектор 
є нормаллю до площини 
. Крапка М 0
належить площині. Можна скористатися рівнянням площини, що проходить через задану точку (3):
Відповідь:
приклад 3.Побудувати площину 
, що проходить через точки 
та перпендикулярну площині 
:.
Отже, щоб деяка точка М
(x,
y,
z) належала площині 
, необхідно, щоб три вектори 
були компланарні:
=0.
Залишилося розкрити визначник та навести отриманий вираз до виду загального рівняння (1).
приклад 4.Площина 
задана загальним рівнянням:
Знайти відхилення точки 
від заданої поверхні.
Рішення. Наведемо рівняння поверхні до нормального вигляду.
,
.
Підставимо в отримане нормальне рівняння координати точки М*.
.
Відповідь: 
.
Приклад 5.Чи перетинає площину відрізок.
Рішення. Щоб відрізок АВперетинав площину, відхилення 
і 
від площини 
повинні мати різні знаки:
.
Приклад 6.Перетин трьох площин в одній точці.
.
Система має єдине рішення, отже три площини мають одну загальну точку.
Приклад 7.Знаходження бісектрис двогранного кута, утвореного двома заданими площинами.
Нехай 
і 
- відхилення певної точки 
від першої та другої площин.
На одній із біссектральних площин (що відповідає тому кутку, в якому лежить початок координат) ці відхилення рівні за модулем і знаком, а на іншій – рівні за модулем і протилежні за знаком.
Це рівняння першої біссектральної площини.
Це рівняння другої біссектральної площини.
приклад 8.Визначення розташування двох даних точок 
і 
щодо двогранних кутів, утворених даними площинами.
Нехай 
. Визначити: в одному, у суміжних або вертикальних кутах знаходяться точки 
і 
.
а). Якщо 
і 
лежать по один бік від 
і від 
, то вони лежать в одному двогранному кутку.
б). Якщо 
і 
лежать по один бік від 
і по різні від 
, то вони лежать у суміжних кутах.
в). Якщо 
і 
лежать по різні боки від 
і 
, то вони лежать у вертикальних кутах.
Системи координат 3
Лінії на площині 8
Лінії першого ладу. Прямі на площині. 10
Кут між прямими 12
Загальне рівняння прямої 13
Неповне рівняння першого ступеня 14
Рівняння прямої "у відрізках" 14
Спільне дослідження рівнянь двох прямих 15
Нормаль до прямої 15
Кут між двома прямими 16
Канонічне рівняння прямої 16
Параметричні рівняння прямої 17
Нормальне (нормоване) рівняння прямої 18
Відстань від точки до прямої 19
Рівняння пучка прямих 20
Приклади завдань на тему «пряма на площині» 22
Векторний твір векторів 24
Властивості векторного твору 24
Геометричні властивості 24
Алгебраїчні властивості 25
Вираз векторного твору через координати співмножників 26
Змішаний твір трьох векторів 28
Геометричний зміст змішаного твору 28
Вираз змішаного твору через координати векторів 29
Приклади розв'язання задач
Пошук відстані від точки до площини - часта задача, що виникає при вирішенні різних завдань аналітичної геометрії, наприклад, до цього завдання можна звести знаходження відстані між двома прямими, що схрещуються, або між прямою і паралельною їй площиною.
Розглянемо площину $β$ і точку $M_0$ з координатами $(x_0;y_0; z_0)$, яка не належить площині $β$.
Визначення 1
Найкоротшою відстанню між точкою та площиною буде перпендикуляр, опущений з точки $М_0$ на площину $β$.
Малюнок 1. Відстань від точки до площини. Автор24 - інтернет-біржа студентських робіт
Нижче розглянуто, як знайти відстань від точки до площини координатним методом.
Висновок формули для координатного методу пошуку відстані від точки до площини у просторі
Перпендикуляр з точки $M_0$, що перетинається з площиною $β$ у точці $M_1$ з координатами $(x_1;y_1; z_1)$, лежить на прямій, напрямним вектором якої є нормальний вектор площини $β$. У цьому довжина одиничного вектора $n$ дорівнює одиниці. Відповідно до цього, відстань від $β$ до точки $M_0$ складе:
$ρ= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\right)$, де $\vec(M_1M_0)$ - нормальний вектор площини $β$, а $\vec(n)$ - одиничний нормальний вектор аналізованої площини.
У разі коли рівняння площини задано в загальному вигляді $Ax+ By + Cz + D=0$, координати нормального вектора площини є коефіцієнтами рівняння $\(A;B;C\)$, а одиничний нормальний вектор у цьому випадку має координати , що обчислюються за наступним рівнянням:
$\vec(n)= \frac(\(A;B;C\))(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\left(2\right)$.
Тепер можна знайти координати нормального вектора $\vec(M_1M_0)$:
$\vec(M_0M_1)= \(x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1\)\left(3\right)$.
Також виразимо коефіцієнт $D$, використовуючи координати точки, що лежить у площині $β$:
$D= Ax_1+By_1+Cz_1$
Координати одиничного нормального вектора з рівності $(2)$ можна підставити рівняння площині $β$, тоді маємо:
$ρ= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2)) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2 +B^2+C^2))\left(4\right)$
Рівність $(4)$ є формулою знаходження відстані від точки до площині у просторі.
Загальний алгоритм знаходження відстані від точки $M_0$ до площині
- Якщо рівняння площини встановлено не у загальній формі, спочатку необхідно привести його до загальної.
- Після цього необхідно виразити із загального рівняння площини нормальний вектор даної площини через точку $M_0$ і точку, що належить заданій площині, для цього потрібно скористатися рівністю $(3)$.
- Наступний етап - пошук координат одиничного нормального вектора площини за формулою $ (2) $.
- Нарешті, можна розпочати пошуку відстані від точки до площині, це здійснюється за допомогою обчислення скалярного добутку векторів $\vec(n)$ і $\vec(M_1M_0)$.
ЗАВДАННЯ C2 ЄДИНОГО ДЕРЖАВНОГО ЕКЗАМЕНУ З МАТЕМАТИКИ НА ЗНАХОДЖЕННЯ ВІДСТАНИ ВІД ТОЧКИ ДО ПЛОЩИНИ
Куликова Анастасія Юріївна
студент 5 курсу, кафедра мат. аналізу, алгебри та геометрії ЄІ КФУ, РФ, Республіка Татарстан, м. Єлабуга
Ганєєва Айгуль Рифівна
науковий керівник, канд. пед. наук, доцент ЄІ КФУ, РФ, Республіка Татарстан, м. Єлабуга
У завданнях ЄДІ з математики останніми роками постають завдання на обчислення відстані від точки до площини. У цій статті на прикладі одного завдання розглянуто різні методи знаходження відстані від точки до площини. Для вирішення різних завдань можна використати найбільш підходящий метод. Розв'язавши завдання одним методом, іншим методом можна перевірити правильність отриманого результату.
Визначення.Відстань від точки до площини, що не містить цієї точки, є довжина відрізка перпендикуляра, опущеного з цієї точки на дану площину.
Завдання.Даний прямокутний паралелепіпед АBЗDA 1 B 1 C 1 D 1 зі сторонами AB=2, BC=4, AA 1 =6. Знайдіть відстань від точки Dдо площини АСD 1 .
1 спосіб. Використовуючи визначення. Знайти відстань r( D, АСD 1) від точки Dдо площини АСD 1 (рис. 1).
Рисунок 1. Перший спосіб
Проведемо DH⊥АС, отже по теремі про три перпендикуляри D 1 H⊥АСі (DD 1 H)⊥АС. Проведемо пряму DTперпендикулярно D 1 H. Пряма DTлежить у площині DD 1 H, отже DT⊥AC. Отже, DT⊥АСD 1.
АDCзнайдемо гіпотенузу АСта висоту DH
З прямокутного трикутника D 1 DH знайдемо гіпотенузу D 1 Hта висоту DT
Відповідь: .
2 спосіб.Метод обсягів (використання допоміжної піраміди). Завдання даного типу можна звести до завдання про обчислення висоти піраміди, де висота піраміди є відстанню від точки до площини. Довести, що ця висота і є відстань, яку шукає; знайти обсяг цієї піраміди двома способами та виразити цю висоту.
Зазначимо, що з даному методі немає потреби у побудові перпендикуляра з цієї точки до даної площині.
Прямокутний паралелепіпед - паралелепіпед, усі грані якого є прямокутниками.
AB=CD=2, BC=AD=4, AA 1 =6.
Шуканою відстанню буде висота hпіраміди ACD 1 D, опущеної з вершини Dна основу ACD 1 (рис. 2).
Обчислимо обсяг піраміди ACD 1 Dдвома способами.
Обчислюючи, першим способом за основу приймемо ∆ ACD 1 , тоді
Обчислюючи, другим способом за основу приймемо ∆ ACDтоді
Прирівняємо праві частини останніх двох рівностей, отримаємо
Рисунок 2. Другий спосіб
З прямокутних трикутників АСD, ADD 1 , CDD 1 знайдемо гіпотенузи, використовуючи теорему Піфагора
ACD
Обчислимо площу трикутника АСD 1 , використовуючи формулу Герона
Відповідь: .
3 спосіб. Координатний метод.
Нехай дана точка M(x 0 ,y 0 ,z 0) та площина α , задана рівнянням ax+by+cz+d=0 у прямокутній декартовій системі координат. Відстань від точки Mдо площини можна обчислити за формулою:
Введемо систему координат (рис. 3). Початок координат у точці У;
Пряма АВ- вісь хпряма НД- вісь yпряма BB 1 - вісь z.
3. Третій спосіб
B(0,0,0), А(2,0,0), З(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).
Нехай aх+by+ cz+ d=0 – рівняння площини ACD 1 . Підставляючи в нього координати точок A, C, D 1 отримаємо:
Рівняння площини ACD 1 набуде вигляду
Відповідь: .
4 спосіб. Векторний метод.
Введемо базис (рис. 4), .
Малюнок 4. Четвертий спосіб
Умови паралельності та перпендикулярності
1°. Умова компланарності двох площин
Нехай дані дві площини:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, n 1 = {A 1 ; B 1 ; C 1 } ≠ 0 ;(1)
A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, n 2 = {A 2 ; B 2 ; C 2 } ≠ 0 .(2)
Коли вони компланарні (тобто паралельні чи збігаються)? Очевидно, це буде тоді і тільки тоді, коли їхні нормальні вектори є колінеарними. Застосовуючи критерій компланарності, отримуємо
Пропозиція 1.Дві площини компланарні тоді і лише тоді, коли векторний добуток їх нормальних векторів дорівнює нульовому вектору:
[n 1 , n 2 ] = 0 .
2 °. Умова збігу двох площин
Пропозиція 2.Площини (1) і (2) збігаються тоді і лише тоді, коли всі чотири їх коефіцієнти пропорційні, тобто існує таке число λ, що
A 2 = λ A 1 , B 2 = λ B 1 , C 2 = λ C 1 , D 2 = λ D 1 . (3)
Доказ.Нехай умови (3) виконані. Тоді рівняння другої площини може бути записано так:
λ A 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + λ D 1 = 0.
λ ≠ 0, інакше було б A 2 = B 2 = C 2 = D 2 = 0, що суперечить умові n 2 ≠ 0 . Отже, останнє рівняння еквівалентне рівнянню (1), а це означає, що дві площини збігаються.
Нехай тепер, навпаки, відомо, що ці площини збігаються. Тоді їх нормальні вектори колінеарні, тобто існує таке число таке, що
A 2 = λ A 1 , B 2 = λ B 1 , C 2 = λ C 1 .
Рівняння (2) можна тепер переписати у вигляді:
λ A 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + D 2 = 0.
Помножимо рівняння (1) на λ, отримаємо рівносильне рівняння першої площини (бо λ ≠ 0):
λ A 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + λ D 1 = 0.
Візьмемо якусь точку ( x 0 , y 0 , z 0) з першої (а отже, і другої) площини та підставимо її координати в останні два рівняння; отримаємо вірні рівності:
λ A 1 x 0 + λ B 1 y 0 + λ C 1 z 0 + D 2 = 0 ;
λ A 1 x 0 + λ B 1 y 0 + λ C 1 z 0 + λ D 1 = 0.
Віднімаючи з верхнього нижнє, отримаємо D 2 − λ D 1 = 0, тобто. D 2 = λ D 1, QED.
3 °. Умови перпендикулярності двох площин
Очевидно, для цього необхідно достатньо, щоб нормальні вектори були перпендикулярні.
Пропозиція 3.Дві площини перпендикулярні тоді й тільки тоді, коли скалярний добуток нормальних векторів дорівнює нулю:
(n 1 , n 2) = 0 .
Нехай дано рівняння площини
Ax + By + Cz + D = 0, n = {A; B; C} ≠ 0 ,
і крапка M 0 = (x 0 , y 0 , z 0). Виведемо формулу відстані від точки до площини:
Візьмемо довільну точку Q = (x 1 , y 1 , z 1), що лежить у цій площині. Її координати задовольняють рівняння площини:
Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0.
Зауважимо тепер, що відстань, яку шукає dдорівнює абсолютній величині проекції вектора на напрямок вектора n (тут ми беремо проекцію як числову величину, а чи не як вектор). Далі застосовуємо формулу для обчислення проекції:
Аналогічна формула справедлива на відстані dвід крапки M 0 = (x 0 , y 0) площині до прямої, заданої загальним рівнянням Ax + By + C = 0.
Ця стаття розповідає про визначення відстані від точки до площини. зробимо розбір методом координат, який дозволить знаходити відстань від заданої точки тривимірного простору. Для закріплення розглянемо приклади кількох завдань.
Відстань від точки до площини знаходиться за допомогою відомої відстані від точки до точки, де одна з них задана, а інша проекція на задану площину.
Коли в просторі задається точка М 1 з площиною , то через точку можна провести перпендикулярну пряму площині. Н 1 є загальною точкою їхнього перетину. Звідси отримуємо, що відрізок М 1 Н 1 – це перпендикуляр, який провели з точки М 1 до площини, де точка Н 1 – основа перпендикуляра.
Визначення 1
Називають відстань від заданої точки до основи перпендикуляра, який провели із заданої точки до заданої площини.
Визначення може бути записане різними формулюваннями.
Визначення 2
Відстань від точки до площининазивають довжину перпендикуляра, який провели із заданої точки до заданої площини.
Відстань від точки М 1 до площини χ визначається так: відстань від точки М 1 до площини буде найменшою від заданої точки до будь-якої точки площини. Якщо точка Н 2 розташовується в площині χ і не дорівнює точці Н 2 тоді отримуємо прямокутний трикутник виду М 2 H 1 H 2 , Що є прямокутним, де є катет М 2 H 1 , М 2 H 2 - Гіпотенуза. Отже, звідси випливає, що M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 вважається похилою, яка проводиться з точки М 1 до площини . Ми маємо, що перпендикуляр, проведений із заданої точки до площини, менше похилої, яку проводять із точки до заданої площини. Розглянемо цей випадок малюнку, наведеному нижче.
Відстань від точки до площини – теорія, приклади, рішення
Існує ряд геометричних завдань, розв'язання яких повинні містити відстань від точки до площини. Способи виявлення цього можуть бути різними. Для вирішення застосовують теорему Піфагора чи подібності трикутників. Коли за умовою необхідно розрахувати відстань від точки до площини, задані прямокутної системі координат тривимірного простору, вирішують методом координат. Цей пункт розглядає цей метод.
За умовою завдання маємо, що задана точка тривимірного простору з координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) з площиною χ необхідно визначити відстань від М 1 до площини χ . Для вирішення застосовується кілька способів розв'язання.
Перший спосіб
Цей спосіб ґрунтується на знаходженні відстані від точки до площини за допомогою координат точки Н 1 , які є основою перпендикуляра з точки М 1 до площини. Далі необхідно обчислити відстань між М1 і Н1.
Для вирішення завдання другим способом застосовують нормальне рівняння заданої площини.
Другий спосіб
За умовою маємо, що Н 1 є основою перпендикуляра, який опустили з точки М 1 на площину . Тоді визначаємо координати (x2, y2, z2) точки Н1. Відстань від М 1 до площини χ знаходиться за формулою M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 , де M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і H 1 (x 2 , y 2 , z 2) . Для вирішення необхідно дізнатись координати точки Н 1 .
Маємо, що Н 1 є точкою перетину площини з прямою a , яка проходить через точку М 1 , розташовану перпендикулярно площині . Звідси випливає, що необхідно складання рівняння прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно заданій площині. Саме тоді зможемо визначити координати точки Н1. Необхідно провести обчислення координат точки перетину прямої та площини.
Алгоритм знаходження відстані від точки з координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) до площини χ :
Визначення 3
- скласти рівняння прямої а, що проходить через точку М1 і одночасно
- перпендикулярної до площини;
- знайти і обчислити координати (x 2 , y 2 , z 2) точки Н 1 є точками
- перетину прямий a з площиною ;
- обчислити відстань від М 1 до χ використовуючи формулу M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 .
Третій спосіб
У заданій прямокутній системі координат О х у z є площина , тоді отримуємо нормальне рівняння площини виду cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . Звідси отримуємо, що відстань M 1 H 1 з точкою M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , проведеною на площину χ , що обчислюється за формулою M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z-p. Ця формула справедлива, оскільки це встановлено завдяки теоремі.
Теорема
Якщо задана точка M 1 (x 1 , y 1 , z 1) у тривимірному просторі, що має нормальне рівняння площини χ виду cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 тоді обчислення відстані від точки до площині M 1 H 1 виробляється з формули M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, так як x = x 1, y = y 1, z = z 1 .
Доказ
Доказ теореми зводиться до знаходження відстані від точки до прямої. Звідси отримуємо, що відстань від M 1 до площини - це і є модуль різниці числової проекції радіус-вектора M 1 з відстанню від початку координат до площини . Тоді отримуємо вираз M 1 H 1 = n p n → O M → - p. Нормальний вектор площини має вигляд n → = cos α , cos β , cos γ , а його довжина дорівнює одиниці, n p n → O M → - числова проекція вектора O M → = (x 1 , y 1 , z 1) у напрямку, що визначається вектором n → .
Застосуємо формулу обчислення векторів скалярних. Тоді одержуємо вираз для знаходження вектора виду n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , оскільки n → = cos α , cos β , cos γ · z та O M → = (x 1, y 1, z 1). Координатна форма запису набуде вигляду n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , тоді M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p. Теорему доведено.
Звідси отримуємо, що відстань від точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) до площини χ обчислюється за допомогою підстановки в ліву частину нормального рівняння площини cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 замість х, у, z координати x 1 , y 1 z 1, Що відносяться до точки М 1 , Взявши абсолютну величину отриманого значення.
Розглянемо приклади знаходження відстані від точки із координатами до заданої площини.
Приклад 1
Обчислити відстань від крапки з координатами M 1 (5 , - 3 , 10) до площини 2 x - y + 5 z - 3 = 0 .
Рішення
Розв'яжемо задачу двома способами.
Перший спосіб почнеться з обчислення напрямного вектора прямий a. За умовою маємо, що задане рівняння 2 x - y + 5 z - 3 = 0 є рівнянням площини загального виду, а n → = (2, - 1, 5) є нормальним вектором заданої площини. Його застосовують як напрямний вектор прямої a , яка перпендикулярна щодо заданої площини. Слід записати канонічне рівняння прямої в просторі, що проходить через M 1 (5 - 3 10) з напрямним вектором з координатами 2 - 1 5 .
Рівняння набуде вигляду x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 .
Слід визначити точки перетину. Для цього ніжно об'єднати рівняння в систему для переходу від канонічного до рівнянь двох прямих, що перетинаються. Цю точку приймемо за Н1. Отримаємо, що
x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0
Після цього необхідно дозволити систему
x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3
Звернемося до правила вирішення системи щодо Гаусса:
1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 · 10 + 2 · z = - 1, x = - 1 - 2 · y = 1
Отримуємо, що H 1 (1, - 1, 0).
Здійснюємо обчислення відстані від заданої точки до площини. Беремо точки M 1 (5, - 3, 10) і H 1 (1, - 1, 0) і отримуємо
M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30
Другий спосіб рішення полягає в тому, щоб спочатку привести задане рівняння 2 x - y + 5 z - 3 = 0 до нормального вигляду. Визначаємо нормуючий множник та отримуємо 1 2 2 + (-1) 2 + 5 2 = 1 30 . Звідси виводимо рівняння площини 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0. Обчислення лівої частини рівняння проводиться за допомогою підстановки x = 5, y = - 3, z = 10, причому потрібно взяти відстань від M 1 (5, - 3, 10) до 2 x - y + 5 z - 3 = 0 по модулю. Отримуємо вираз:
M 1 H 1 = 2 30 · 5 - 1 30 · - 3 + 5 30 · 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30
Відповідь: 2 30 .
Коли площина задається одним із способів розділу способи завдання площини, тоді потрібно для початку отримати рівняння площини і обчислювати відстань, що шукається за допомогою будь-якого методу.
Приклад 2
У тривимірному просторі задаються точки з координатами M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1). Обчислити розтягнення від М 1 до площини АВС.
Рішення
Для початку необхідно записати рівняння площини, що проходить через задані три точки з координатами M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1).
x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0
Звідси випливає, що завдання має аналогічне до попереднього рішення. Отже, відстань від точки М 1 до площини АВС має значення 2 30 .
Відповідь: 2 30 .
Знаходження відстані від заданої точки на площині або площині, яким вони паралельні, зручніше, застосувавши формулу M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Звідси отримаємо, що нормальні рівняння площин одержують кілька дій.
Приклад 3
Знайти відстань від заданої точки з координатами M 1 (- 3 , 2 , - 7) до координатної площини О х у z та площині, заданої рівнянням 2 y - 5 = 0 .
Рішення
Координатна площина О у z відповідає рівнянню виду х = 0. Для площини О у z воно нормальне. Тому необхідно підставити в ліву частину виразу значення х = - 3 і взяти модуль значення відстані від точки з координатами M 1 (- 3, 2, - 7) до площини. Отримуємо значення, що дорівнює - 3 = 3 .
Після перетворення нормальне рівняння площини 2 y - 5 = 0 набуде вигляду y - 5 2 = 0 . Тоді можна знайти відстань від точки з координатами M 1 (- 3 , 2 , - 7) до площини 2 y - 5 = 0 . Підставивши та обчисливши, отримуємо 2 - 5 2 = 5 2 - 2 .
Відповідь:Відстань від M 1 (- 3 , 2 , - 7) до О у z має значення 3 , а до 2 y - 5 = 0 має значення 5 2 - 2 .
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter