Рівняння із модулями, методи рішень. Частина 1

Перш ніж братися до безпосереднього вивчення технік розв'язання таких рівнянь, важливо зрозуміти суть модуля, його геометричне значення. Саме у розумінні визначення модуля та його геометричному сенсі закладено основні методи розв'язання таких рівнянь. Так званий метод інтервалів при розкритті модульних дужок настільки ефективний, що використовуючи його можливо вирішити абсолютно будь-яке рівняння або нерівність з модулями. У цій частині ми докладно вивчимо два стандартні методи: метод інтервалів та метод заміни рівняння сукупністю.

Однак, як ми переконаємося, ці методи завжди ефективні, але не завжди зручні і можуть призводити до довгих і навіть не дуже зручних обчислень, які природно вимагатимуть більшого часу на їх вирішення. Тому важливо знати й ті методи, які вирішення певних структур рівнянь значно спрощують. Зведення обох частин рівняння квадрат, метод введення нової змінної, графічний метод, Вирішення рівнянь, що містять модуль під знаком модуля. Ці методи ми розглянемо у наступній частині.

Визначення модуля числа. Геометричний зміст модуля.

Насамперед познайомимося з геометричним змістом модуля:

Модулем числа а (|а|)називають відстань на числовій прямій від початку координат (точки 0) до точки А(а).

Виходячи з цього визначення, розглянемо деякі приклади:

|7| - це відстань від 0 до точки 7, звичайно вона дорівнює 7. → | 7 |=7

|-5|- цевідстань від 0 до точки -5 і воно дорівнює: 5. → |-5| = 5

Усі ми розуміємо відстань не може бути негативною! Тому |х| ≥ 0 завжди!

Розв'яжемо рівняння: |х |=4

Це рівняння можна прочитати так: відстань від точки 0 до точки x дорівнює 4. Ага, виходить, від 0 ми можемо рухатися як вліво так і вправо, значить рухаючись вліво на відстань 4 ми опинимося в точці: -4, а рухаючись вправо опинимося у точці: 4. Дійсно, |-4 |=4 і |4 |=4.

Звідси відповідь х=±4.

При уважному вивченні попереднього рівняння можна помітити, що: відстань вправо по числовій прямій від 0 до точки дорівнює самій точці, а відстань вліво від 0 до числа дорівнює протилежному числу! Розуміючи, що праворуч від 0 позитивні числа, а вліво від 0 негативні, сформулюємо визначення модуля числа: модулем (абсолютною величиною) числа х(|х|) називається саме число х, якщо х ≥0, та число – х, якщо х<0.

Тут нам треба знайти безліч точок на числовій прямій відстань від 0 до яких буде менше 3, давайте представимо числову пряму, на ній точка 0, йдемо вліво і рахуємо один (-1), два (-2) і три (-3), стоп. Далі підуть точки, які лежать далі 3 або відстань до яких від 0 більше 3, тепер йдемо вправо: один, два, три, знову стоп. Тепер виділяємо всі наші точки та отримуємо проміжок х:(-3;3).

Важливо, щоб ви це чітко бачили, якщо поки не виходить, намалюйте на папері і подивіться, щоб ця ілюстрація була вам цілком зрозуміла, не полінуйтеся і спробуйте побачити рішення наступних завдань:

|х |=11, x=? |х|=-5, х=?

|х |<8, х-? |х| <-6, х-?

|x |>2, х-? |x|> -3, х-?

|π-3|=? |-х ²-10 | =?

|√5-2|=? | 2х-х ²-3 | =?

|х²+2|=? |х²+4|=0

|х²+3х+4|=? |-х ² +9 | ≤0

Звернули увагу на дивні завдання у другому стовпці? Справді, відстань може бути негативним тому: |х|=-5- немає рішень, звісно ж може бути і менше 0, тому: |х|<-6 тоже не имеет решений, ну и естественно, что любое расстояние будет больше отрицательного числа, значит решением |x|>-3 є всі числа.

Після того, як ви навчитеся швидко бачити малюнки з рішеннями читайте далі.

Ми вже знаємо, що безліч дійсних чисел$R$ утворюють раціональні та ірраціональні числа.

Раціональні числа завжди можна подати у вигляді десяткових дробів (кінцевих або нескінченних періодичних).

Ірраціональні числа записуються у вигляді нескінченних, але неперіодичних десяткових дробів.

До множини дійсних чисел $R$ належать також елементи $-\infty $ і $+\infty $, для яких виконуються нерівності $-\infty

Розглянемо методи уявлення дійсних чисел.

Звичайні дроби

Звичайні дроби записують за допомогою двох натуральних чисел та горизонтальної дробової риси. Дробова характеристика практично замінює символ поділу. Число під межею - це знаменник дробу (дільник), число над межею - чисельник (ділене).

Визначення

Дроб називається правильним, якщо його чисельник менший за знаменник. І навпаки, дріб називається неправильним, якщо його чисельник більший за знаменник або дорівнює йому.

Для звичайних дробів існують прості, практично очевидні правила порівняння ($m$,$n$,$p$ - натуральні числа):

1. з двох дробів з однаковими знаменниками більше та, у якої чисельник більший, тобто $ frac(m) (p) > frac (n) (p) $ при $ m> n $;
2. з двох дробів з однаковими чисельниками більша та, у якої знаменник менший, тобто $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ при $ m
3. правильний дріб завжди менше одиниці; неправильний дрібзавжди більше одиниці; дріб, у якого чисельник дорівнює знаменнику, дорівнює одиниці;
4. будь-який неправильний дріб більше будь-якої правильної.

Десяткові числа

Запис десяткового числа ( десяткового дробу) має вигляд: ціла частина, десяткова кома, дробова частина. Десятковий записзвичайного дробу можна отримати, виконавши розподіл "кутом" чисельника на знаменник. При цьому може вийти або кінцевий десятковий дріб, або нескінченний періодичний десятковий дріб.

Визначення

Цифри дробової частини називають десятковими знаками. У цьому перший розряд після коми називають розрядом десятих, другий - розрядом сотих, третій - розрядом тисячних тощо.

Приклад 1

Визначаємо значення десяткового числа 3,74. Отримуємо: $ 3,74 = 3 + frac (7) (10) + frac (4) (100) $.

Десяткова кількістьможна округлити. У цьому слід зазначити розряд, до якого виконується округлення.

Правило округлення ось у чому:

1. усі цифри правіше за цей розряд замінюють нулями (якщо ці цифри знаходяться до коми) або відкидають (якщо ці цифри знаходяться після коми);
2. якщо перша цифра, яка йде за даним розрядом, менше 5, то цифру даного розряду не змінюють;
3. якщо перша цифра, яка йде за даним розрядом, 5 і більше, то цифру даного розряду збільшують на одиницю.

Приклад 2

1. Округлимо число 17302 до тисяч: 17000.
2. Округлимо число 17378 до сотень: 17400.
3. Округлимо число 17378,45 до десятків: 17380.
4. Округлимо число 378,91434 до сотих: 378,91.
5. Округлимо число 378,91534 до сотих: 378,92.

Перетворення десяткового числа на звичайний дріб.

Випадок 1

Десятичне число являє собою кінцевий десятковий дріб.

Спосіб перетворення демонструє такий приклад.

Приклад 2

Маємо: $ 3,74 = 3 + frac (7) (10) + frac (4) (100) $.

Наводимо до спільному знаменникуі отримуємо:

Дроб можна скоротити: $3,74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.

Випадок 2

Десятичне число являє собою нескінченний періодичний десятковий дріб.

Спосіб перетворення заснований на тому, що періодичну частину періодичного десяткового дробу можна розглядати як суму членів нескінченної спадної геометричної прогресії.

Приклад 4

$0,\left(74right)=frac(74)(100) +frac(74)(10000) +frac(74)(1000000) +ldots $. Перший член прогресії $ a = 0,74 $, знаменник прогресії $ Q = 0,01 $.

Приклад 5

$0,5\left(8\right)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . Перший член прогресії $ a = 0,08 $, знаменник прогресії $ Q = 0,1 $.

Сума членів нескінченної спадної геометричної прогресії обчислюється за формулою $s=\frac(a)(1-q) $, де $a$ - перший член, а $q$ - знаменник прогресії $ \left (0

Приклад 6

Перекладемо нескінченний періодичний десятковий дріб $0,\left(72\right)$ у звичайний.

Перший член прогресії $ a = 0,72 $, знаменник прогресії $ Q = 0,01 $. Отримуємо: $s = frac (a) (1-q) = frac (0,72) (1-0,01) = frac (0,72) (0,99) = frac (72) ( 99) = frac (8) (11) $. Таким чином, $0,\left(72\right)=\frac(8)(11) $.

Приклад 7

Перекладемо нескінченний періодичний десятковий дріб $0,5\left(3\right)$ у звичайний.

Перший член прогресії $ a = 0,03 $, знаменник прогресії $ Q = 0,1 $. Отримуємо: $ s = frac (a) (1-q) = frac (0,03) (1-0,1) = frac (0,03) (0,9) = frac (3) ( 90) = frac (1) (30) $.

Таким чином, $0,5\left(3\right)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac( 1) (30) = frac (15) (30) + frac (1) (30) = frac (16) (30) = frac (8) (15) $.

Справжні числа можна зображувати точками числової осі.

У цьому числовій віссю ми називаємо нескінченну пряму, де обрано початок відліку (точка $O$), позитивний напрямок (вказується стрілкою) і масштаб (для відображення значень).

Між усіма дійсними числами та всіма точками числової осі існує взаємно однозначна відповідність: кожній точці відповідає однинаі, навпаки, кожному числу відповідає єдина точка. Отже, безліч дійсних чисел є безперервним і нескінченним так само, як безперервна та нескінченна числова вісь.

Деякі підмножини множини дійсних чисел називають числовими проміжками. Елементами числового проміжку є числа $x\in R$, що задовольняють певну нерівність. Нехай $a\in R$, $b\in R$ і $a\le b$. У цьому випадку різновиди проміжків можуть бути такими:

1. Інтервал $ \ left (a, \; b \ right) $. При цьому $a
2. Відрізок $ \ left $. У цьому $a\le x\le b$.
3. Напіввідрізки або напівінтервали $\left$. При цьому $ a \le x
4. Нескінченні проміжки, наприклад, $a

Важливе значення має також різновид проміжку, що називається околицею точки. Околиця даної точки $x_(0) \in R$ -- це довільний інтервал $\left(a,\; b\right)$, що містить цю точку в собі, тобто $a 0$ - його радіусом.

Абсолютна величина числа

Абсолютною величиною (або модулем) дійсного числа $x$називається невід'ємне дійсне число $\left|x\right|$, що визначається за формулою: $\left|x\right|=\left\(\begin(array)(c) (\; \; x\; \; (\rm при)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm при)\; \; x;

Геометрично $\left|x\right|$ означає відстань між точками $x$ і 0 на числовій осі.

Властивості абсолютних величин:

1. з визначення слідує, що $ \ left | x \ right | \ ge 0 $, $ \ left | x \ right | = \ left | -x \ right | $;
2. для модуля суми і для модуля різниці двох чисел справедливі нерівності $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, $\left|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, а також $\left|x+y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$,$\ left|x-y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$;
3. для модуля твору і модуля приватного двох чисел справедливі рівності $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$ і $\left|\frac(x)( y) \right|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\right|) $.

На підставі визначення абсолютної величини для довільного числа $a>0$ можна встановити рівносильність наступних пар нерівностей:

1. якщо $ \ left | x \ right |
2. якщо $\left|x\right|\le a$, то $-a\le x\le a$;
3. якщо $\left|x\right|>a$, або $xa$;
4. якщо $\left|x\right|\ge a$, або $x\le -a$, або $x\ge a$.

Приклад 8

Вирішити нерівність $\left|2\cdot x+1\right|

Ця нерівність дорівнює нерівностям $-7

Звідси отримуємо: $-8

Відеоурок «Геометричний зміст модуля дійсного числа» – наочний посібник для уроку математики з відповідної теми. У відеоуроці детально та наочно розглядається геометричний змістмодуля, після чого на прикладах розкривається, як знаходиться модуль дійсного числа, причому рішення супроводжується малюнком. Матеріал може бути використаний на етапі пояснення нової темияк окрема частина уроку або забезпечення наочністю пояснення вчителя. Обидва варіанти сприяють підвищенню ефективності уроку математики, допомагають вчителю досягти цілей уроку.

У даному відеоуроці є побудови, які наочно демонструють геометричний зміст модуля. Щоб демонстрація була наочнішою, ці побудови виконуються із застосуванням анімаційних ефектів. Щоб навчальний матеріаллегше запам'ятовувався, важливі тези виділені кольором. Докладно розглядається рішення прикладів, яке з допомогою анімаційних ефектів подається структуровано, послідовно, зрозуміло. Під час складання відео було використано інструменти, які допомагають зробити відеоурок ефективним сучасним інструментом навчання.

Вигляд починається з подання теми уроку. На екрані виконується побудова - зображено промінь, на якому відзначені точки aі b, відстань між якими відзначено як ρ(a;b). Нагадується, що відстань вимірюється на координатному промені відніманням з більшого числа меншого, тобто для даної побудови відстань дорівнює b-a для b>a і a-b при a>b. Нижче демонструється побудова, на якому зазначена точка а лежить правіше за b, тобто відповідне їй числове значення більше за b. Нижче зазначено ще один випадок, коли положення точок a і b збігається. І тут відстань між точками дорівнює нулю ρ(a;b)=0. Всі ці випадки описуються однією формулою ρ(a;b)=|a-b|.

Далі розглядається рішення завдань, у яких застосовуються знання геометричному сенсі модуля. У першому прикладі необхідно вирішити рівняння | х-2 | = 3. Зазначається, що це аналітична форма запису даного рівняння, яку для пошуку рішення перекладаємо геометричною мовою. Геометрично дане завданняозначає, що потрібно визначити точки х, котрим буде правильна рівність ρ(х;2)=3. На координатній прямій це означатиме рівновіддаленість точок х від точки х=2 на відстані 3. Щоб продемонструвати рішення на координатній прямій, зображується промінь, на якому зазначено точку 2. На відстані 3 від точки х=2 відзначаються точки -1 і 5. Очевидно , що дані зазначені точки і будуть рішенням рівняння.

Для вирішення рівняння |x+3,2|=2 пропонується привести його спочатку до виду |a-b|, щоб вирішити завдання координатної прямої. Після перетворення рівняння набуває вигляду |х-(-3,2)|=2. Це означає, що відстань між точкою -3,2 і точками, що шукаються, буде дорівнює 2, тобто ρ(х;-3,2)=2. На координатній прямій відзначається точка -3,2. Від неї з відривом 2 розташовуються точки -1,2 і -5,2. Ці точки відзначаються на координатній прямій та вказані як розв'язання рівняння.

Рішення ще одного рівняння |x|=2,7 розглядає випадок, коли шукані точки розташовуються з відривом 2,7 від точки 0. Рівняння переписується як |x-0|=2,7. При цьому зазначено, що відстань до точок, що шукаються, визначається як ρ(х;0)=2,7. На координатній прямій відзначається початок відліку точка 0. З відривом 2,7 від точки 0 розміщуються точки -2,7 і 2,7. Ці точки відзначаються на побудованій прямій, вони є рішеннями рівняння.

Для вирішення наступного рівняння |x-√2|=0 не потрібна геометрична інтерпретація, тому що якщо модуль виразу дорівнює нулю, Це означає, що це вираз дорівнює нулю, тобто x-√2 = 0. З рівняння слід, що х=√2.

У прикладі розглядається рішення рівнянь, які перед рішенням вимагають перетворення. У першому рівнянні |2x-6|=8 перед х є числовий коефіцієнт 2. Щоб позбавитися коефіцієнта і перевести рівняння геометричний мову ρ(х;а)=b, виносимо загальний множник за дужки, отримуючи |2(x-3) | = 2 | x-3 |. Після цього права та ліва частини рівняння скорочуються на 2. Отримуємо рівняння виду | x-3 | = 4. Це рівняння аналітичного виду перекладається геометричною мовою ρ(х;3)=4. На координатній прямій відзначаємо точку 3. Від цієї точки відкладаємо точки, розташовані на відстані 4. Розв'язанням рівняння будуть точки -1 та 7, які відзначаються на координатній прямій. Друге розглянуте рівняння |5-3x|=6 також містить числовий коефіцієнт перед змінною х. Щоб розв'язати рівняння, коефіцієнт 3 виноситься за дужки. Рівняння набуває вигляду |-3(x-5/3)|=3|x-5/3|. Права та ліва частини рівняння можуть бути скорочені на 3. Після цього виходить рівняння виду | x-5/3 | = 2. Переходимо від аналітичної форми геометричної інтерпретації ρ(х;5/3)=2. До рішення будується малюнок, у якому зображується координатна пряма. На цій прямій відзначається точка 5/3. З відривом 2 від точки 5/3 розташовуються точки -1/3 і 11/3. Ці точки є рішеннями рівняння.

Останнє розглянуте рівняння | 4x + 1 | = -2. Для вирішення цього рівняння не потрібно перетворень та геометричного уявлення. У лівій частині рівняння очевидно виходить не негативне числоа права частина містить число -2. Тому це рівняння немає рішень.

Відеоурок "Геометричний зміст модуля дійсного числа" може застосовуватися на традиційному уроці математики в школі. Матеріал може стати корисним вчителю, який здійснює дистанційна освіта. Детальне зрозуміле пояснення рішення завдань, у яких використовується функція модуля, допоможе освоїти матеріал учню, який освоює тему самостійно.

Назад Вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Цілі:

Устаткування: проектор, екран, персональний комп'ютер, мультимедійна презентація

Хід уроку

1. Організаційний момент.

2. Актуалізація знань учнів.

2.1. Відповісти на запитання учнів за домашнім завданням.

2.2. Розгадати кросворд (повторення теоретичного матеріалу) (Слайд 2):

– Розгадавши кросворд, у виділеному вертикальному стовпці прочитайте назву теми сьогоднішнього уроку. (Слайди 3, 4)

3. Пояснення нової теми.

3.1. - Хлопці, ви вже зустрічалися з поняттям модуля, користувалися позначенням | a| . Раніше йшлося тільки про раціональних числах. Тепер треба запровадити поняття модуля для будь-якого дійсного числа.

Кожному дійсному числу відповідає єдина точка числової прямої, і, навпаки, кожній точці числової прямої відповідає єдине дійсне число. Усі основні властивості дій над раціональними числами зберігаються і для дійсних чисел.

Запроваджується поняття модуля дійсного числа. (Слайд 5).

Визначення. Модулем невід'ємного дійсного числа xназивають саме це число: | x| = x; модулем негативного дійсного числа хназивають протилежне число: | x| = – x .

– Запишіть у зошитах тему уроку, визначення модуля:

На практиці використовують різні властивості модулівнаприклад. (Слайд 6) :

Виконати усно № 16.3 (а, б) – 16.5 (а, б) застосування визначення, властивості модуля. (Слайд 7) .

3.4. Для будь-якого дійсного числа хможна обчислити | x| , тобто. можна говорити про функцію y = |x| .

Завдання 1. Побудувати графік та перерахувати властивості функції y = |x| (Слайди 8, 9).

Один учень на дошці будує графік функції

Рис 1.

Властивості перераховуються учнями. (Слайд 10)

1) Область визначення – (– ∞; + ∞) .

2) у = 0 при х = 0; y > 0 при x< 0 и x > 0.

3) Функція безперервна.

4) у найм = 0 при х = 0, у наиб немає.

5) Функція обмежена знизу, не обмежена згори.

6) Функція зменшується на промені (– ∞; 0) і зростає на промені )