з рівними сторонами. Ромб з прямими кутами є квадратом .

Ромб розглядають як вид паралелограма з двома суміжними рівними сторонами або з взаємно перпендикулярними діагоналями, або з діагоналями ділять кут на 2 рівні частини.

Властивості ромба.

1. Ромб- це паралелограм, тому протилежні сторони мають однакову довжину і паралельні попарно, АВ | CD, AD | НД.

2. Кут перетину діагоналейромба є прямим (AC⊥ BD)і точкою перетину поділяються на дві однакові частини. Тобто діагоналі ділять ромб на 4 трикутники – прямокутні.

3. Діагоналі ромба- це бісектриси його кутів (∠ DCA =∠ BCA,∠ ABD =∠ CBDі т.д. ).

4. Сума квадратів діагоналейдорівнює квадрату сторони, помноженому на чотири (висновок з тотожності паралелограма).

Ознаки ромба.

Паралелограм ABCDбуде називатися ромбом тільки у разі виконання хоча б однієї з умов:

1. 2 його суміжні сторони мають однакову довжину (тобто всі сторони ромба рівні, AB=BC=CD=AD).

2. Кут перетину діагоналей прямий ( AC⊥ BD).

3. Одна з діагоналей ділить кути, які її містять навпіл.

Нехай ми не знаємо, що чотирикутник виявляється паралелограмом, проте відомо, що всі його сторони рівні. Значить, цей чотирикутник є ромбом.

Симетрія ромба.

Ромб симетричнийщодо всіх своїх діагоналей, найчастіше його використовують в орнаментах та паркетах.

Периметр ромба.

Периметр геометричної фігури- Сумарна довжина меж плоскої геометричної фігури. У периметра та сама розмірність величин, як і в довжини.

1. – пряма. Відповідно, розв'язанням нерівності
, є напівплощина, що лежить нижче або вище цієї прямої.

2.
- Гіпербола, т.к. звідси
. Ця гіпербола ділить площину на 3 (!!!) області, тому знак нерівності треба перевіряти у кожному їх.

3.
- «лежача парабола», тобто. парабола, повернена на 90 за годинниковою стрілкою. Поділяє площину на 2 частини (всередині параболи і поза нею.)

4.
- Коло з центром на початку координат, радіуса R (де R>0). Розв'язанням нерівності
є коло (тобто вся область, що лежить усередині кола, разом із кордоном), а нерівності
- область поза коло.

5.
- при а > 0 - квадрат з вершинами в точках (а; 0), (0; а), (-а; 0), (0; -а). Відповідно, розв'язанням нерівності
є область всередині квадрата, а нерівності
- область поза квадратом.

Перетворення графіків:
1 f(x-a; y-b)=0, треба спочатку побудувати графік рівняння f(x; y)=0, а потім змістити його на аодиниць по осі Ох,і на bодиниць по осі Оy.
2 . Щоб побудувати графік рівняння
, треба виконати симетрію графіка рівняння f(x; y)=0 щодо осі Оy (не забувши при цьому стерти частину вихідного графіка, що лежить ліворуч від осі Оy).
3 . Щоб побудувати графік рівняння
треба виконати симетрію графіка рівняння f(x; y)=0 щодо осі Ох (не забувши при цьому стерти частину вихідного графіка, що лежить нижче осі Ох).
4. Відповідно, щоб побудувати графік рівняння
, треба спочатку побудувати графік рівняння f(x; y)=0 (тобто. прибрати всі модулі) першої чверті, а потім виконати симетрію цього графіка щодо всіх осей.
Нерівності із двома змінними.

Найчастіше для вирішення використовують метод областей. Тобто спочатку в нерівності замінюють знак нерівності на знак = і зображують отриманий графік на координатній площині. Потім «методом пробної точки» перевіряють знак нерівності в кожній з областей, що утворилися.

Крім цього, окремо можна розглянути нерівності виду
і
. Для їх вирішення спочатку будують графік функції
. Тоді рішенням першої нерівності будуть точки, що лежать нижче цього графіка, а рішенням другої, відповідно, точки, що лежать вище.

Можна ще виділити нерівності виду
. (Знак нерівності може бути іншим). Щоб його вирішити, потрібно суцільною лінією зобразити графік рівняння
та пунктирною лінією - графік рівняння
і перевірити знак нерівності в кожній області (вибравши будь-яку точку з кожної області).

приклад 1.

№ 9.20 (г)

Зобразіть розв'язання нерівності
і визначте всі значення а, у яких ця нерівність має хоча одне рішення.

Рішення.

Ця нерівність рівносильна наступному:
.


Для цього спочатку збудуємо графік рівняння
.

а) У свою чергу, для побудови цього графіка скористаємося правилом 4 перетворення графіків. Тут f(x; a) = 5x + 2a. Графіком цього рівняння є пряма, що перетинає осі координат у точках (2, 0) та (0, 5). Т.к. ми розглядаємо випадок без модулів (тобто x
та y), то візьмемо лише частину цієї прямої, що лежить у першій чверті.

б) щоб побудувати графік рівняння, виконаємо симетрію отриманого відрізка щодо всіх координатних осей та початку координат. Отримаємо ромб із «центром» на початку координат.

б) Тепер змістимо цей графік на 3 одиниці вправо та на 1 одиницю вниз.

Отримали графік рівняння

1. 
   Бачимо, що координатна площина виявилася розбита на 2 області, всередині ромба і поза ним. Бачимо, що, наприклад, точка (3,-1) належить внутрішній ділянці. Підставимо її координати в нерівність. Переконуємося, що нерівність у цій точці виконано. Отже, всі точки цієї галузі задовольняють нерівність. Для перевірки підставимо і точку із зовнішньої області у нерівність. Наприклад, точка (0, 8). При даних значеннях змінних нерівність перетворюється на неправильну числову нерівність, отже, жодна точка із зовнішньої області не задовольняє нерівності. Остаточно отримуємо, що розв'язанням нерівності є «начинка» ромба. Показуємо це штрихуванням.

Відповідь:дана нерівність має рішення при

Приклад 2. Зобразити на координатній площині безліч точок, що задовольняють нерівність
.

Рішення

1. Побудуємо лінії, що обмежують графік нерівності. Це будуть лінії, які є зображенням множини тих точок, в яких чисельник і знаменник звертаються до 0. Тобто. побудуємо графіки рівнянь

(А)

і
(Б)

А) Графіком цього рівняння є коло із центром у точці (2, -3) і радіусом, рівним 4 – зображується суцільною лінією, т.к. нерівність непогана.

Б) Графік цього рівняння – «лежача парабола», опущена на 1 одиницю вниз – зображується пунктирною лінією в силу область визначення нерівності.

2. Нехай,
. Тоді наша нерівність набуває вигляду
.

Коло і парабола розбивають координатну площину на 4 області.

Зауважимо, що область усередині кола відповідає нерівності
, тобто.
. Область поза колом – нерівністю
, тобто.
.

Аналогічно, область «всередині», або правіше параболи відповідає нерівності
або
, а область «поза», або лівіше параболи – нерівності
або
.

І, нарешті, області IV і , тобто. дріб непозитивний і нерівність не виконано.

Таким чином, рішенням нерівності є об'єднання областей І та ІІІ.

короткий зміст інших презентацій

"Завдання на ознаки подібності трикутників" - Подібність трикутників. Визначення висоти предмета дзеркала. Визначення висоти предмета по калюжі. Вирішення практичних завдань. Тінь від палиці. Визначення висоти предмета. Вимірювання висоти великих об'єктів. Девіз уроку. Розв'язання задач за готовими кресленнями. Самостійна робота. Гімнастика для очей Спосіб Фалеса. Індивідуальні карти. Визначення висоти піраміди. Назвати такі трикутники.

"Властивості чотирикутників" - Назви чотирикутників. Усі кути прямі. Властивості чотирикутників. Трапеція. Квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні. Паралелограма елементів. Діагоналі ділять кути навпіл. Чотирикутник. Диктант. Діагональ. Протилежні кути. Допоможіть Незнайці виправити двійку. Історичні відомості. Чотирикутники та їх властивості. Діагоналі. Ромб. Протилежні сторони. Сторони.

"Ромб" - Ознаки. Периметр. Поява ромба. Казка про ромб. Ромб. Ромб, у якому проведено діагоналі. Що таке ромб. Формули площі. Цікаві факти. Властивості ромба. Ромб у житті.

"Рішення теореми Піфагора" - Доказ методом розкладання. Площа квадратів. Найпростіший доказ. Підтвердження Перигаля. Піфагорійці. Діагональ. Доказ 9 століття н. Послідовники. Висота. Діаметр. Повноцінний доказ. Мотив. Шестикутники. Доказ методом віднімання. Квадрат. Прямокутник. Можливості застосування теореми. Доказ Гутхейля. Застосування теореми. Завдання про лотос. Історія теореми.

«Площа прямокутника» 8 клас» - Площа квадрата дорівнює квадрату його сторони. Площа. Знайдіть площу та периметр квадрата. Одиниці виміру площ. Багатокутник складається з кількох багатокутників. Знайти площу трикутника. Сторони кожного із прямокутників. Одиниці. Знайдіть площу квадрата. АBCD та DСМK – квадрати. Площа ромба дорівнює половині твору його діагоналей. На боці АВ побудовано паралелограм. Знайдіть площу шестикутника.

«Трапеція» 8 клас - Трапецієподібні м'язи обох сторін спини разом мають форму трапеції. Завдання для усної роботи. Чи є чотирикутники трапеціями. Властивості рівнобедреної трапеції. Ознаки рівнобедреної трапеції. Види трапецій. Площа трапеції. Елементи трапеції. Визначення. Середня лінія трапеції. Трапеція. Геометрична фігура була названа так на зовнішній схожості з маленьким столом.

Ромб- Одна з найпростіших геометричних фігур. Ми настільки часто зустрічаємося з ромбом у геометричних завданнях, що слова «фантастика» та «ромб» здаються нам несумісними поняттями. А тим часом, дивовижне, як то кажуть, поряд… у Британії. Але для початку, давайте згадаємо, що ж таке «ромб», його ознаки та властивості.

Термін «ромб» у перекладі з давньогрецької означає «бубон». І це невипадково. А справа ось у чому. Бубон хоч раз у житті, але бачили всі. І всі знають, що він круглий. Але давним-давно бубни робили якраз у формі квадрата чи ромба. Більше того, назва масті бубни пов'язана саме з цим фактом.

З геометрії ми уявляємо, як виглядає ромб. Це чотирикутник, який зображується у вигляді нахиленого квадрата. Але плутати ромб і квадрат у жодному разі не можна. Правильніше сказати, що ромб – це окремий випадок паралелограма. Відмінність лише тому, що всі сторони ромба рівні. Щоб швидко і правильно вирішувати завдання з геометрії, необхідно пам'ятати про властивості ромба. До речі, ромб має всі властивості паралелограма. Отже:

Властивості ромба:

1. протилежні сторони рівні;
2. протилежні кути рівні;
3. діагоналі ромба перетинаються під прямим і у точці перетину діляться навпіл;
4. сума кутів, що прилягають до однієї сторони, дорівнює 180 °;
5. сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів усіх сторін;
6. діагоналі є бісектрисами його кутів.

Ознаки ромба:

1. якщо діагоналі паралелограм перпендикулярні, то паралелограм - ромб;
2. якщо діагональ паралелограма є бісектрисою його кута, то паралелограм – ромб.

І ще один важливий момент, без знання якого неможливо вдало вирішити завдання, - формули. Нижче наведені формули для знаходження площі будь-якого ромба, які використовуються в залежності від відомих даних: висота, діагональ, сторона, радіус вписаного кола. У таких формулах прийнято умовні позначення: a – сторона ромба, h a – висота, проведена до сторони а, а- Кут між сторонами, d 1 d 2 - діагоналі ромба.

Основні формули:

S = a 2 sin а

S = 1/2 (d 1 d 2)

S = 4r 2 /sin a

Є ще одна формула, яка вживається не так часто, але корисна:

d 1 2 + d 2 2 = 4a 2 або сума квадратів діагоналей дорівнює квадрату сторони, помноженій на 4.

А тепер саме час повернутися до початку. Що ж такого дивного може бути у цій фігурці? Виявляється, у ХІХ столітті при археологічних розкопках було знайдено ромб. Та не простий, а золотий, до того ж, у прямому значенні цього слова! Цю знахідку з великобританського кургану Баш було знайдено в районі Вілсфорда, неподалік від знаменитого Стоунхенджа. Загадковий ромб є відполірованою платівкою, на якій вигравіровані незвичайні візерунки. Розмір його 15,2 х 17,8 см (ромб лише з невеликим застереженням). У пластини крім окантовки є ще три менші ромбоподібні візерунки, які нібито вкладені одна в одну. При цьому в центрі останнього вигравірувано ромбічна сітка. По краях ромба зображено шевронний малюнок – по дев'ять символів на кожній стороні ромба. Усього таких трикутників тридцять шість.

Безперечно, цей виріб дуже дорого коштує, але також очевидно, що створення такого ромба переслідувало якусь певну мету. От тільки якусь, вчені довго не могли розгадати.

Одна з правдоподібних і прийнятих версій стосується безпосередньо Стоунхенджа. Відомо, що споруди Стоунхенджа зводилися поступово протягом кількох століть. Вважається, що будівництво розпочалося близько 3000 року до н. Слід зважити на те, що золото в Британії стало відомо вже десь з 2800 року до н.е. Звідси можна припустити, що золотий ромб цілком міг бути інструментом жерця. Зокрема візира. Таку гіпотезу запропонував до уваги сучасних учених професор А. Том, відомий дослідник Стоунхенджа, в останній чверті ХХ століття.

Не всі можуть уявити, що древні будівельники могли з точністю визначити кути на місцевості. Проте англійський дослідник Д. Фарлонг запропонував метод, яким, на його думку, могли користуватися давні єгиптяни. Наші предки використовували заздалегідь підібрані співвідношення сторін у прямокутних трикутниках. Адже давно відомо, що єгиптяни широко застосовували трикутник із сторонами у три, чотири та п'ять мірних одиниць. Очевидно, безліч подібних прийомів знали і давні жителі Британських островів.

Що ж, навіть якщо уявити, що люди, які будували Стоунхендж, були чудовими геодезистами, як міг допомогти їм золотий ромб? Чи якийсь сучасний геодезист зможе відповісти на це питання. Найімовірніше, той факт, що Фарлонг був геодезистом за фахом, дав можливість йому розгадати цю загадку. Після уважного вивчення дослідник дійшов висновку, що відполірований золотий ромб із розміткою відмінно підходить для застосування його як відбивач сонячних променів, інакше кажучи, особливого мірного дзеркала.

Було доведено, що для швидкого визначення азимуту на місцевості з невеликими похибками необхідно було використовувати два подібні дзеркала. Схема була така: один жрець, наприклад, ставав на вершині одного пагорба, а інший у прилеглій долині. Потрібно було також заздалегідь встановити відстань між жерцями. Це можна зробити просто кроками. Хоча зазвичай користувалися мірною тростиною, оскільки результати були більш достовірними. Два ромбоподібні металеві дзеркала забезпечують прямий кут. А потім вже легко відміряти практично будь-які необхідні кути. Д. Фарлонг навів навіть таблицю таких пар цілих чисел, яка дозволяє задати будь-який кут із похибкою в один градус. Найімовірніше, що саме в такий спосіб користувалися жерці епохи Стоунхенджа. Звичайно, для підтвердження цієї гіпотези потрібно було б знайти другий, парний золотий ромб, але, мабуть, цього не варто. Адже докази й так цілком очевидні. Крім обчислення азимутів на місцевості була виявлена ​​ще одна здатність дивовижного золотого ромба. Ця дивовижна штучка дозволяється обчислювати моменти зимового та літнього сонцестояння, весняного та осіннього рівнодення. Це було незамінним якістю життя стародавніх єгиптян, які поклонялися тоді насамперед Сонцю.

Цілком імовірно, що значний вигляд ромба був не тільки незамінним інструментом для жерців, але був також ефектною прикрасою для його власника. Взагалі кажучи, абсолютна більшість знайдених на перший вид дорогих на сьогоднішній день прикрас є, як дізнається пізніше, вимірювальними інструментами.

Отже, людей завжди приваблювала невідомість. І, зважаючи на те, що так багато залишається загадкового і не доведеного в нашому світі, людина ще довго намагатиметься відшукати розгадки давнини. І це дуже чудово! Адже у наших предків можна багато чого навчитися. Для цього потрібно багато знати, вміти та вчитися. Адже неможливо стати таким висококваліфікованим фахівцем без базових знань. Зрештою, адже кожен великий археолог, відкривач колись ходив до школи!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.