Застосування рівнянь широко поширене в нашому житті. Вони використовуються в багатьох розрахунках, будівництві споруд і навіть спорті. Рівняння людина використовувала ще в давнину і з тих пір їх застосування тільки зростає. У математиці досить часто зустрічаються рівняння вищих ступенів з цілими коефіцієнтами. Щоб вирішити даного роду рівняння необхідно:

Визначити раціональні коріння рівняння;

Розкласти на множники многочлен, який знаходиться в лівій частині рівняння;

Знайти корені рівняння.

Припустимо, нам дано рівняння такого вигляду:

Знайдемо всі дійсні його коріння. Помножимо ліву і праву частини рівняння на \\

Виконаємо заміну змінних \\

Таким чином, у нас вийшло наведене рівняння четвертого ступеня, яке вирішується за стандартним алгоритмом: перевіряємо подільники, проводимо розподіл і в результаті з'ясовуємо, що рівняння має два дійсних кореня \\ і два комплексних. Отримаємо таку відповідь нашого рівняння четвертого ступеня:

Де можна вирішити рівняння вищих ступенів онлайн вирішувачів?

Вирішити рівняння ви можете на нашому сайті https: // сайт. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити рівняння онлайн будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити - це просто ввести свої дані в вирішувача. Так само ви можете подивитися відео інструкцію і дізнатися, як вирішити рівняння на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, то ви можете задати їх в нашій групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу групу, ми завжди раді допомогти вам.

клас: 9

Головні цілі:

1. Закріпити поняття цілого раціонального рівняння -го степеня.
2. Сформулювати основні методи вирішення рівнянь вищих ступенів (n > 3).
3. Навчити основним методам вирішення рівнянь вищих ступенів.
4. Навчити по виду рівняння визначати найбільш ефективний спосіб його вирішення.

Форми, методи та педагогічні прийоми, які використовуються вчителем на уроці:

• Лекційно-семінарська система навчання (лекції - пояснення нового матеріалу, семінари - рішення задач).
• Інформаційно-комунікаційні технології (фронтальне опитування, усна робота з класом).
• Диференційоване навчання, групові та індивідуальні форми.
• Використання дослідницького методу в навчанні, спрямованого на розвиток математичного апарату і розумових здібностей кожного конкретного учня.
• Друкований матеріал - індивідуальний короткий конспект уроку (основні поняття, формули, затвердження, матеріал лекцій стисло у вигляді схем або таблиць).

План уроку:

1. Організаційний момент.
   Мета етапу: включити учнів в навчальну діяльність, визначити змістовні рамки уроку.
2. Актуалізація знань учнів.
   Мета етапу: актуалізувати знання учнів по вивченим раніше суміжних тем
3. Вивчення нової теми (лекція). Мета етапу: сформулювати основні методи вирішення рівнянь вищих ступенів (n > 3)
4. Підведення підсумків.
   Мета етапу: ще раз виділити ключові моменти в матеріалі, вивченому на уроці.
5. Домашнє завдання.
   Мета етапу: сформулювати домашнє завдання для учнів.

конспект уроку

1. Організаційний момент.

Формулювання теми уроку: "Рівняння вищих ступенів. Методи їх вирішення ".

2. Актуалізація знань учнів.

Теоретичне опитування - бесіда. Повторення деяких раніше вивчених відомостей з теорії. Учні формулюють основні визначення і дають формулювання необхідних теорем. Наводять приклади, демонструючи рівень отриманих раніше знань.

• Поняття рівняння з однією змінною.
• Поняття кореня рівняння, рішення рівняння.
• Поняття лінійного рівняння з однією змінною, поняття квадратного рівняння з однією змінною.
• Поняття равносильности рівнянь, рівняння-наслідку (поняття сторонніх коренів), перехід не по слідству (випадок втрати коренів).
• Поняття цілого раціонального виразу з однією змінною.
• Поняття цілого раціонального рівняння n-го ступеня. Стандартний вид цілого раціонального рівняння. Наведене ціле раціональне рівняння.
• Перехід до сукупності рівнянь нижчих ступенів шляхом розкладання вихідного рівняння на множники.
• поняття многочлена n-го ступеня від x. Теорема Безу. Наслідки з теореми Безу. Теореми про коріння ( Z-корні і Q-корні) цілого раціонального рівняння з цілими коефіцієнтами (відповідно наведеного та неприведення).
• Схема Горнера.

3. Вивчення нової теми.

Будемо розглядати ціле раціональне рівняння n-го ступеня стандартного виду з однієї невідомої змінної x: P n (x) \u003d 0, де P n (x) \u003d a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0 - многочлен n-го ступеня від x, a n ≠ 0. якщо a n \u003d 1 то таке рівняння називають наведеним цілим раціональним рівнянням n-го ступеня. Розглянемо такі рівняння при різних значеннях n і перерахуємо основні методи їх вирішення.

n \u003d 1 - лінійне рівняння.

n \u003d 2 - квадратне рівняння. Формула дискримінанту. Формула для обчислення коренів. Теорема Вієта. Виділення повного квадрата.

n \u003d 3 - кубічне рівняння.

Метод угруповання.

приклад: x 3 - 4x 2 - x+ 4 \u003d 0 (x - 4) (x 2– 1) = 0 x 1 = 4 , x 2 = 1, x 3 = -1.

Ще Одне кубічне рівняння виду ax 3 + bx 2 + bx + a \u003d 0. Вирішуємо, об'єднуючи члени з однаковими коефіцієнтами.

приклад: x 3 – 5x 2 – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x 2 – 6x + 1) = 0 x 1 = -1, x 2 = 3 + 2, x 3 = 3 – 2.

Підбір Z-коренів на підставі теореми. Схема Горнера. При застосуванні цього методу необхідно зробити акцент на тому, що перебір в даному випадку кінцевий, і коріння ми підбираємо за певним алгоритмом відповідно до теореми про Z-корнях наведеного цілого раціонального рівняння з цілими коефіцієнтами.

приклад: x 3 – 9x 2 + 23x- 15 \u003d 0. Рівняння наведене. Випишемо подільники вільного члена ( + 1; + 3; + 5; + 15). Застосуємо схему Горнера:

	x 3	x 2	x 1	x 0	висновок
	1	-9	23	-15
1	1	1 х 1 - 9 \u003d -8	1 х (-8) + 23 \u003d 15	1 х 15 - 15 \u003d 0	1 - корінь
	x 2	x 1	x 0

отримуємо ( x – 1)(x 2 – 8x + 15) = 0 x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 5.

Рівняння з цілими коефіцієнтами. Підбір Q-коренів на підставі теореми. Схема Горнера. При застосуванні цього методу необхідно зробити акцент на тому, що перебір в даному випадку кінцевий і коріння ми підбираємо за певним алгоритмом відповідно до теореми про Q-корнях неприведення цілого раціонального рівняння з цілими коефіцієнтами.

Приклад: 9 x 3 + 27x 2 – x - 3 \u003d 0. Рівняння неприведення. Випишемо подільники вільного члена ( + 1; + 3). Випишемо подільники коефіцієнта при старшій ступеня невідомого. ( + 1; + 3; + 9) Отже, коріння будемо шукати серед значень ( + 1; + ; + ; + 3). Застосуємо схему Горнера:

	x 3	x 2	x 1	x 0	висновок
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 \u003d 36	1 x 36 - 1 \u003d 35	1 x 35 - 3 \u003d 32 ≠ 0	1 - не корінь
-1	9	-1 x 9 + 27 \u003d 18	-1 x 18 - 1 \u003d -19	-1 x (-19) - 3 \u003d 16 ≠ 0	-1 - не корінний
	9	x 9 + 27 \u003d 30	x 30 - 1 \u003d 9	x 9 - 3 \u003d 0	корінь
	x 2	x 1	x 0

отримуємо ( x – )(9x 2 + 30x + 9) = 0 x 1 = , x 2 = - , x 3 = -3.

Для зручності підрахунку при підборі Q -корней буває зручно зробити заміну змінної, перейти до наведеного рівняння і підбирати Z -корні.

• Якщо вільний член дорівнює 1

.

• Якщо можна скористатися заміною виду y \u003d kx

.

Формула Кардано. Існує універсальний метод вирішення кубічних рівнянь - це формула Кардано. Цю формулу пов'язують з іменами італійських математиків Джироламо Кардано (1501-1576), Ніколо Тарталья (1500-1557), Сципіона дель Ферро (1465-1526). Ця формула лежить за рамками нашого курсу.

n \u003d 4 - рівняння четвертого ступеня.

Метод угруповання.

приклад: x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x – 12 = 0 (x 4 + 2x 3) + (5x 2 + 10x) – (6x + 12) = 0 (x + 2)(x 3 + 5x - 6) = 0 (x + 2)(x– 1)(x 2 + x + 6) = 0 x 1 = -2, x 2 = 1.

Метод заміни змінної.

• Біквадратне рівняння виду ax 4 + bx 2 + з = 0 .

приклад: x 4 + 5x 2 - 36 \u003d 0. Заміна y = x 2. Звідси y 1 = 4, y 2 \u003d -9. Тому x 1,2 = + 2 .

• Одне рівняння четвертого ступеня виду ax 4 + bx 3 + c x 2 + bx + a = 0.

Вирішуємо, об'єднуючи члени з однаковими коефіцієнтами, шляхом заміни виду

• ax 4 + bx 3 + cx 2 – bx + a = 0.

• Узагальнене ще одне рівняння четвертого ступеня виду ax 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k 2a \u003d 0.

• Заміна загального вигляду. Деякі стандартні заміни.

приклад 3 . Заміна загального вигляду (Випливає з виду конкретного рівняння).

n = 3.

Рівняння з цілими коефіцієнтами. Підбір Q-коренів n = 3.

Формула загального вигляду. Існує універсальний метод вирішення рівнянь четвертого ступеня. Цю формулу пов'язують з ім'ям Людовіко Феррарі (1522-1565). Ця формула лежить за рамками нашого курсу.

n > 5 - рівняння п'ятого і більш високих ступенів.

Рівняння з цілими коефіцієнтами. Підбір Z-коренів на підставі теореми. Схема Горнера. Алгоритм аналогічний розглянутому вище для n = 3.

Рівняння з цілими коефіцієнтами. Підбір Q-коренів на підставі теореми. Схема Горнера. Алгоритм аналогічний розглянутому вище для n = 3.

Симетричні рівняння. Будь-яке ще одне рівняння непарного степеня має корінь x \u003d -1 і після розкладання його на множники отримуємо, що один співмножник має вигляд ( x + 1), а другий співмножник - ще одне рівняння парного степеня (його ступінь на одиницю менше, ніж ступінь вихідного рівняння). Будь-яке ще одне рівняння парного степеня разом з коренем виду x \u003d φ містить і корінь виду. Використовуючи ці твердження, вирішуємо завдання, знижуючи ступінь досліджуваного рівняння.

Метод заміни змінної. Використання однорідності.

Не існує формули загального вигляду для вирішення цілих рівнянь п'ятого ступеня (це показали італійський математик Паоло Руффини (1765-1822) і норвезький математик Нільс Хенрік Абель (1802-1829)) і більш високих ступенів (це показав французький математик Еваріст Галуа (1811-1832 )).

• Нагадаємо ще раз, що на практиці можливе використання комбінації перерахованих вище методів. Зручно переходити до сукупності рівнянь нижчих ступенів шляхом розкладання вихідного рівняння на множники.
• За рамками нашого сьогоднішнього обговорення залишилися широко використовуються на практиці графічні методи рішення рівнянь і методи наближеного рішення рівнянь вищих ступенів.
• Бувають ситуації, коли у рівняння немає R-коренів.
Тоді рішення зводиться до того, щоб показати, що рівняння коренів не має. Для доказу аналізуємо поведінку даних функцій на проміжках монотонності. Приклад: рівняння x 8 – x 3 + 1 \u003d 0 не має коренів.
• Використання властивості монотонності функцій
. Бувають ситуації, коли використання різних властивостей функцій дозволяє спростити поставлене завдання.
Приклад 1: рівняння x 5 + 3x - 4 \u003d 0 має один корінь x\u003d 1. По властивості монотонності аналізованих функцій інших коренів немає.
Приклад 2: рівняння x 4 + (x - 1) 4 \u003d 97 має коріння x 1 \u003d -2 і x 2 \u003d 3. Проаналізувавши поведінку відповідних функцій на проміжках монотонності, робимо висновок, що інших коренів немає.

4. Підведення підсумків.

Резюме: Тепер ми оволоділи основними методами вирішення різних рівнянь вищих ступенів (для n > 3). Наше завдання навчитися ефективно використовувати перераховані вище алгоритми. Залежно від виду рівняння ми повинні будемо навчитися визначати, який спосіб розв'язання в даному випадку є найбільш ефективним, а також правильно застосовувати обраний метод.

5. Домашнє завдання.

: П.7, стор. 164-174, №№ 33-36, 39-44, 46,47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Можливі теми доповідей або рефератів з даної тематики:

• Формула Кардано
• Графічний метод розв'язання рівнянь. Приклади розв'язання.
• Методи наближеного рішення рівнянь.

Аналіз засвоєння матеріалу і інтересу учнів до теми:

Досвід показує, що інтерес учнів в першу чергу викликає можливість підбору Z-корней і Q-корней рівнянь за допомогою досить простого алгоритму з використанням схеми Горнера. Також учні цікавляться різними стандартними типами заміни змінних, які дозволяють істотно спрощувати вид завдання. Особливий інтерес зазвичай викликають графічні методи вирішення. У цьому випадку додатково можна розібрати завдання на графічний метод рішення рівнянь; обговорити загальний вигляд графіка для многочлена 3, 4, 5 ступеня; проаналізувати, як пов'язано число коренів рівнянь 3, 4, 5 ступеня з видом відповідного графіка. Нижче наведено список книг, в яких можна знайти додаткову інформацію з даної тематики.

Список літератури:

1. Виленкин Н.Я. та ін. "Алгебра. Підручник для учнів 9 класів з поглибленим вивченням математики "- М., Просвітництво, 2007 - 367 с.
2. Виленкин Н.Я., Шібасов Л.П., Шібасова З.Ф. "За сторінками підручника математики. Арифметика. Алгебра. 10-11 клас "- М., Просвітництво, Рік випуску 2008 - 192 с.
3. Вигодський М.Я. "Довідник з математики" - М., АСТ, 2010 - 1055 с.
4. Галицький М.Л."Збірник завдань з алгебри. Навчальний посібник для 8-9 класів з поглибленим вивченням математики "- М., Просвітництво, Рік випуску 2008 - 301 с.
5. Звавич Л.І. та ін. "Алгебра і початки аналізу. 8-11 кл. Посібник для шкіл і класів з поглибленим вивченням математики "- М., Дрофа, 1999 - 352 с.
6. Звавич Л.І., Авер'янов Д.І., Пигарев Б.П., Трушаніна Т.Н. "Завдання з математики для підготовки до письмового іспиту в 9 класі" - М., Просвітництво, 2007 - 112 с.
7. Іванов А.А., Іванов А.П. "Тематичні тести для систематизації знань з математики" ч.1 - М., Фізматкніга, 2006 - 176 с.
8. Іванов А.А., Іванов А.П. "Тематичні тести для систематизації знань з математики" ч.2 - М., Фізматкніга, 2006 - 176 с.
9. Іванов А.П. "Тести і контрольні роботи з математики. Навчальний посібник". - М., Фізматкніга, 2008 - 304 с.
10. Лейбсон К.Л. "Збірник практичних завдань з математики. Частина 2-9 клас "- М., МЦНМО 2009 - 184 с.
11. Макаричєв Ю.М., Міндюк Н.Г."Алгебра. Додаткові глави до шкільного підручника 9 класу. Навчальний посібник для учнів шкіл і класів з поглибленим вивченням математики. " - М., Просвітництво, 2006 - 224 с.
12. Мордкович А.Г. "Алгебра. Поглиблене вивчення. 8 клас. Підручник "- М., Мнемозина, 2006 - 296 с.
13. Савін А.П. "Енциклопедичний словник юного математика" - М., Педагогіка, 1985 - 352 с.
14. Сурвилло Г.С., Симонов А.С. "Дидактичні матеріали з алгебри для 9 класу з поглибленим вивченням математики" - М., Просвітництво, 2006 - 95 с.
15. Чулков П.В. "Рівняння і нерівності в шкільному курсі математик. Лекції 1-4 "- М., Перше вересня, 2006 - 88 с.
16. Чулков П.В. "Рівняння і нерівності в шкільному курсі математик. Лекції 5-8 "- М., Первое сентября 2009 - 84 с.

Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій створіть собі аккаунт (обліковий запис) Google і увійдіть в нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Рівняння вищих ступенів (коріння многочлена від однієї змінної).

П лан лекції. № 1. Рівняння вищих ступенів в шкільному курсі математики. № 2. Стандартний вид многочлена. № 3 .метою коріння многочлена. Схема Горнера. № 4. Дробові коріння многочлена. № 5. Рівняння виду: (х + а) (х + у) (х + с) ... \u003d А № 6. Зворотні рівняння. № 7. Однорідні рівняння. № 8. Метод невизначених коефіцієнтів. № 9. Функціонально - графічний метод. № 10. Формули Вієта для рівнянь вищих ступенів. № 11. Дослідження нестандартних методів рішення рівнянь вищих ступенів.

Рівняння вищих ступенів в шкільному курсі математики. 7 клас. Стандартний вид многочлена. Дії з многочленами. Розкладання многочлена на множники. У звичайному класі 42 години, в спец класі 56 годин. 8 спецкласс. Цілі коріння багаточлена, розподіл многочленів, поворотні рівняння, різниця і сума п - их ступенів двочлена, метод невизначених коефіцієнтів. Ю.Н. Макаричєв «Додаткові глави до шкільного курсу алгебри 8 класу», М.Л.Галіцкій Збірник завдань з алгебри 8 - 9 клас ». 9 спецкласс. Раціональні корені многочлена. Узагальнені поворотні рівняння. Теорема Вієта для рівнянь вищих ступенів. Н.Я. Виленкин «Алгебра 9 клас з поглибленим вивченням. 11 спецкласс. Тотожність многочленів. Многочлен від декількох змінних. Функціонально - графічний метод рішення рівнянь вищих ступенів.

Стандартний вид многочлена. Многочлен Р (х) \u003d а ⁿ х ⁿ + а п-1 х п-1 + ... + а₂х ² + а₁х + а₀. Називається многочленом стандартного вигляду. а п х ⁿ - старший член многочлена а п - коефіцієнт при старшому члені многочлена. При а п \u003d 1 Р (х) називається наведеним многочленом. а ₀ - вільний член многочлена Р (х). п - ступінь многочлена.

Цілі коріння багаточлена. Схема Горнера. Теорема № 1. Якщо ціле число а є коренем многочлена Р (х), то а - дільник вільного члена Р (х). Приклад № 1. Розв'яжіть рівняння. Х⁴ + 2х³ \u003d 11х² - 4х - 4 Наведемо рівняння до стандартного вигляду. Х⁴ + 2х³ - 11х² +4 х + 4 \u003d 0. Маємо многочлен Р (х) \u003d х ⁴ + 2х³ - 11х² +4 х + 4 Подільники вільного члена: ± 1, ± 2, ± 4. х \u003d 1 корінь рівняння тому Р (1) \u003d 0, х \u003d 2 корінь рівняння тому Р (2) \u003d 0 Теорема Безу. Залишок від ділення многочлена Р (х) на двочлен (х - а) дорівнює Р (а). Слідство. Якщо а - корінь многочлена Р (х), то Р (х) ділиться на (х - а). У нашому рівнянні Р (х) ділиться на (х - 1) і на (х - 2), а значить і на (х - 1) (х - 2). При розподілі Р (х) на (х ² - 3х + 2) в приватному виходить тричлен х ² + 5х + 2 \u003d 0, який має коріння х \u003d (- 5 ± √17) / 2

Дробові корені многочлена. Теорема №2. Якщо р / g корінь многочлена Р (х), то р - дільник вільного члена, g - дільник коефіцієнта старшого члена Р (х). Приклад № 2. Розв'яжіть рівняння. 6х³ - 11х² - 2х + 8 \u003d 0. Подільники вільного члена: ± 1, ± 2, ± 4, ± 8. Жодне з цих чисел не задовольняє рівняння. Цілих коренів немає. Натуральні подільники коефіцієнта старшого члена Р (х): 1, 2, 3, 6. Можливі дробові корені рівняння: ± 2/3, ± 4/3, ± 8/3. Перевіркою переконуємося, що Р (4/3) \u003d 0. Х \u003d 4/3 корінь рівняння. За схемою Горнера розділимо Р (х) на (х - 4/3).

Приклади для самостійного рішення. Вирішіть рівняння: 9х³ - 18х \u003d х - 2, х ³ - х ² \u003d х - 1, х ³ - 3х² -3х + 1 \u003d 0, Х ⁴ - 2х³ + 2х - 1 \u003d 0, Х⁴ - 3х² + 2 \u003d 0 , х ⁵ + 5х³ - 6х² \u003d 0, х ³ + 4х² + 5х + 2 \u003d 0, Х⁴ + 4х³ - х ² - 16х - 12 \u003d 0 4х³ + х ² - х + 5 \u003d 0 3х⁴ + 5х³ - 9х² - 9х + 10 \u003d 0. Відповіді: 1) ± 1/3; 2 + 2) ± 1, 3) -1; 2 ± √3, 4) ± 1, 5) ± 1; ± √2, 6) 0; 1 7) -2; -1, 8) -3; -1; ± 2, 9) - 5/4 10) -2; - 5/3; 1.

Рівняння виду (х + а) (х + у) (х + с) (х + d) ... \u003d А. Приклад №3. Розв'яжіть рівняння (х + 1) (х + 2) (х + 3) (х + 4) \u003d 24. а \u003d 1, в \u003d 2, с \u003d 3, d \u003d 4 а + d \u003d в + с. Перемножуємо першу дужку з четвертої і другу з третьою. (Х + 1) (х + 4) (х + 20 (х + 3) \u003d 24. (х ² + 5х + 4) (х ² + 5х + 6) \u003d 24. Нехай х ² + 5х + 4 \u003d у , тоді у (у + 2) \u003d 24, у² + 2у - 24 \u003d 0 у₁ \u003d - 6, у₂ \u003d 4. х ² + 5х + 4 \u003d -6 або х ² + 5х + 4 \u003d 4. х ² + 5х + 10 \u003d 0, Д

Приклади для самостійного рішення. (Х + 1) (х + 3) (х + 5) (х + 7) \u003d -15, х (х + 4) (х + 5) (х + 9) + 96 \u003d 0, х (х + 3 ) (х + 5) (х + 8) + 56 \u003d 0, (х - 4) (х - 3) (х - 2) (х - 1) \u003d 24, (х - 3) (х -4) ( х - 5) (х - 6) \u003d 1680, (х ² - 5х) (х + 3) (х - 8) + 108 \u003d 0, (х + 4) ² (х + 10) (х - 2) + 243 \u003d 0 (х ² + 3х + 2) (х ² + 9х + 20) \u003d 4, Вказівка: х + 3х + 2 \u003d (х + 1) (х + 2), х ² + 9х + 20 \u003d (х + 4) (х + 5) Відповіді: 1) -4 ± √6; - 6; - 2. 6) - 1; 6; (5 ± √97) / 2 7) -7; -1; -4 ± √3.

Зворотні рівняння. Визначення №1. Рівняння виду: ах⁴ + вх ³ + сх ² + вх + а \u003d 0 називається поворотним рівнянням четвертого ступеня. Визначення №2. Рівняння виду: ах⁴ + вх ³ + сх ² + КВХ + к² а \u003d 0 називається узагальненим поворотним рівнянням четвертого ступеня. к² а: а \u003d к²; кв: в \u003d к. Приклад №6. Розв'яжіть рівняння х ⁴ - 7х³ + 14х² - 7х + 1 \u003d 0. Ділимо обидві частини рівняння на х ². х ² - 7х + 14 - 7 / х + 1 / х ² \u003d 0, (х ² + 1 / х ²) - 7 (х + 1 / х) + 14 \u003d 0. Нехай х + 1 / х \u003d у. Зводимо обидві частини рівності в квадрат. х ² + 2 + 1 / х ² \u003d у², х ² + 1 / х ² \u003d у² - 2. Отримуємо квадратне рівняння у² - 7у + 12 \u003d 0, у₁ \u003d 3, у₂ \u003d 4. х + 1 / х \u003d 3 або х + 1 / х \u003d 4. Отримуємо два рівняння: х ² - 3х + 1 \u003d 0, х ² - 4х + 1 \u003d 0. Приклад №7. 3х⁴ - 2х³ - 31х² + 10х + 75 \u003d 0. 75: 3 \u003d 25, 10: (- 2) \u003d -5, (-5) ² \u003d 25. Умова узагальненого поворотного рівняння виконується к \u003d -5. Вирішується аналогічно прикладу №6. Ділимо обидві частини рівняння на х ². 3х⁴ - 2х - 31 + 10 / х + 75 / х ² \u003d 0, 3 (х ⁴ + 25 / х ²) - 2 (х - 5 / г) - 31 \u003d 0. Нехай х - 5 / г \u003d у, зводимо обидві частини рівності в квадрат х ² - 10 + 25 / х ² \u003d у², х ² + 25 / х ² \u003d у² + 10. Маємо квадратне рівняння 3у² - 2у - 1 \u003d 0, у₁ \u003d 1, у₂ \u003d - 1 / 3. х - 5 / г \u003d 1 або х - 5 / г \u003d -1/3. Отримуємо два рівняння: х ² - х - 5 \u003d 0 і 3х² + х - 15 \u003d 0

Приклади для самостійного рішення. 1. 78х⁴ - 133х³ + 78х² - 133х + 78 \u003d 0, 2. х ⁴ - 5х³ + 10х² - 10х + 4 \u003d 0, 3. х ⁴ - х ³ - 10х² + 2х + 4 \u003d 0, 4. 6х⁴ + 5х³ - 38х² -10х + 24 \u003d 0, 5. х ⁴ + 2х³ - 11х² +4 х + 4 \u003d 0, 6. х ⁴ - 5х³ + 10х² -10х + 4 \u003d 0. Відповіді: 1) 2/3; 3/2, 2) 1; 2 3) -1 ± √3; (3 ± √17) / 2, 4) -1 ± √3; (7 ± √337) / 12 5) 1; 2; (-5 ± √17) / 2, 6) 1; 2.

Однорідні рівняння. Визначення. Рівняння виду а₀ u³ + а₁ u² v + а₂ uv² + а₃ v³ \u003d 0 називається однорідним рівнянням третього ступеня щодо u v. Визначення. Рівняння виду а₀ u⁴ + а₁ u³v + а₂ u²v² + а₃ uv³ + а₄ v⁴ \u003d 0 називається однорідним рівнянням четвертого ступеня відносно u v. Приклад №8. Розв'яжіть рівняння (х ² - х + 1) ³ + 2х⁴ (х ² - х + 1) - 3х⁶ \u003d 0 Однорідне рівняння третього ступеня щодо u \u003d х ²- х + 1, v \u003d х ². Ділимо обидві частини рівняння на х ⁶. Попередньо перевірили, що х \u003d 0 не є коренем рівняння. (Х ² - х + 1 / х ²) ³ + 2 (х ² - х + 1 / х ²) - 3 \u003d 0. (х ² - х + 1) / х ²) \u003d у, у³ + 2у - 3 \u003d 0, у \u003d 1 корінь рівняння. Ділимо многочлен Р (х) \u003d у³ + 2у - 3 на у - 1 за схемою Горнера. У приватному отримуємо тричлен, який не має коренів. Відповідь: 1.

Приклади для самостійного рішення. 1. 2 (х ² + 6х + 1) ² + 5 (Х² + 6Х + 1) (Х² + 1) + 2 (Х² + 1) ² \u003d 0, 2. (Х + 5) ⁴ - 13Х² (Х + 5) ² + 36Х⁴ \u003d 0, 3. 2 (Х² + Х + 1) ² - 7 (Х - 1) ² \u003d 13 (Х³ - 1), 4. 2 (Х -1) ⁴ - 5 (Х² - 3Х + 2) ² + 2 (х - 2) ⁴ \u003d 0, 5. (х ² + х + 4) ² + 3х (х ² + х + 4) + 2х² \u003d 0, Відповіді: 1) -1; -2 ± √3, 2) -5/3; -5/4; 5/2; 5 3) -1; -1/2; 2, 4 4) ± √2; 3 ± √2, 5) Корній немає.

Метод невизначених коефіцієнтів. Теорема №3. Два многочлена Р (х) і G (х) тотожні тоді і тільки тоді, коли вони мають однаковий ступінь і коефіцієнти при однойменних ступенях змінної в обох многочленах рівні. Приклад №9. Розкласти на множники многочлен у⁴ - 4у³ + 5у² - 4у + 1. у⁴ - 4у³ + 5у² - 4у + 1 \u003d (у² + ву + с) (у² + в₁у + с₁) \u003d у ⁴ + у³ (в₁ + в) + у² (с₁ + з + в₁в) + у (нд ₁ + св ₁) + сс ₁. Згідно з теоремою №3 маємо систему рівнянь: в₁ + в \u003d -4, с₁ + з + в₁в \u003d 5, нд ₁ + св ₁ \u003d -4, сс ₁ \u003d 1. Необхідно вирішити систему в цілих числах. Останнє рівняння в цілих числах може мати рішення: з \u003d 1, с₁ \u003d 1; з \u003d -1, с₁ \u003d -1. Нехай з \u003d з ₁ \u003d 1, тоді з першого рівняння маємо в₁ \u003d -4 -в. Підставляємо в друге рівняння системи в² + 4в + 3 \u003d 0, в \u003d -1, в₁ \u003d -3 або в \u003d -3, в₁ \u003d -1. Дані значення підходять третього рівняння системи. При с \u003d з ₁ \u003d -1 Д

Приклад №10. Розкласти на множники многочлен у³ - 5у + 2. у³ -5у + 2 \u003d (у + а) (у² + ву + с) \u003d у³ + (а + в) у² + (ав + с) у + ас. Маємо систему рівнянь: а + в \u003d 0, ав + с \u003d -5, ас \u003d 2. Можливі цілі рішення третього рівняння: (2; 1), (1; 2), (-2; -1), (-1 ; -2). Нехай а \u003d -2, з \u003d -1. З першого рівняння системи в \u003d 2, що задовольняє другого рівняння. Підставляючи дані значення в шукане рівність отримаємо відповідь: (у - 2) (у² + 2у - 1). Другий спосіб. У³ - 5у + 2 \u003d у³ -5у + 10 - 8 \u003d (у³ - 8) - 5 (у - 2) \u003d (у - 2) (у² + 2у -1).

Приклади для самостійного рішення. Розкладіть на множники многочлени: 1. у⁴ + 4у³ + 6у² + 4у -8, 2. у⁴ - 4у³ + 7у² - 6У + 2, 3. х ⁴ + 324, 4. у⁴ -8у³ + 24у² -32у + 15, 5. Розв'яжіть рівняння, використовуючи метод розкладання на множники: а) х ⁴ -3х² + 2 \u003d 0, б) х ⁵ + 5х³ -6х² \u003d 0. Відповіді: 1) (у² + 2у -2) (у² + 2у +4), 2) (у - 1) ² (у² -2у + 2), 3) (х ² -6х + 18) (х ² + 6х + 18), 4) (у - 1) (у - 3) (у² - 4у + 5), 5а) ± 1; ± √2, 5б) 0; 1.

Функціонально - графічний метод рішення рівнянь вищих ступенів. Приклад №11. Розв'яжіть рівняння х ⁵ + 5х -42 \u003d 0. Функція у \u003d х ⁵ зростаюча, функція у \u003d 42 - 5х спадна (до

Приклади для самостійного рішення. 1. Використовуючи властивість монотонності функції, доведіть, що рівняння має єдиний корінь, і знайдіть цей корінь: а) х ³ \u003d 10 - х, б) х ⁵ + 3х³ - 11√2 - х. Відповіді: а) 2, б) √2. 2. Розв'яжіть рівняння, використовуючи функціонально - графічний метод: а) х \u003d ³ √х, б) l х l \u003d ⁵ √х, в) 2 \u003d 6 - х, г) (1/3) \u003d х +4, д ) (х - 1) ² \u003d log₂ х, е) log \u003d (х + ½) ², ж) 1 - √х \u003d ln х, з) √х - 2 \u003d 9 / х. Відповіді: а) 0; ± 1, б) 0; 1, в) 2, г) -1, д) 1; 2, е) ½, ж) 1, з) 9.

Теорема Вієта для рівнянь вищих ступенів. Теорема №5 (Теоремі Вієта). Якщо рівняння а х ⁿ + а х ⁿ + ... + а₁х + а₀ має n різних дійсних коренів х ₁, х ₂, ..., х, то вони задовольняють равенствам: Для квадратного рівняння ах² + вх + с \u003d про: х ₁ + х ₂ \u003d -в / а, х₁х ₂ \u003d с / а; Для кубічного рівняння а₃х ³ + а₂х ² + а₁х + а₀ \u003d про: х ₁ + х ₂ + х ₃ \u003d -а₂ / а₃; х₁х ₂ + х₁х ₃ + х₂х ₃ \u003d а₁ / а₃; х₁х₂х ₃ \u003d -а₀ / а₃; ..., для рівняння n-го ступеня: х ₁ + х ₂ + ... х \u003d - а / а, х₁х ₂ + х₁х ₃ + ... + х х \u003d а / а, ..., х₁х ₂ · ... · х \u003d (- 1 ) ⁿ а₀ / а. Виконується і зворотна теорема.

Приклад №13. Напишіть кубічне рівняння, коріння якого протилежні кореням рівняння х ³ - 6х² + 12х - 18 \u003d 0, а коефіцієнт при х ³ дорівнює 2. 1. За теоремою Вієта для кубічного рівняння маємо: х ₁ + х ₂ + х ₃ \u003d 6, х₁х ₂ + х₁х ₃ + х₂х ₃ \u003d 12, х₁х₂х ₃ \u003d 18. 2. Складаємо зворотні величини даними коріння і для них застосовуємо зворотний теорему Вієта. 1 / х ₁ + 1 / х ₂ + 1 / х ₃ \u003d (х₂х ₃ + х₁х ₃ + х₁х ₂) / х₁х₂х ₃ \u003d 12/18 \u003d 2/3. 1 / х₁х ₂ + 1 / х₁х ₃ + 1 / х₂х ₃ \u003d (х ₃ + х ₂ + х ₁) / х₁х₂х ₃ \u003d 6/18 \u003d 1/3, 1 / х₁х₂х ₃ \u003d 1/18. Отримуємо рівняння х ³ + 2 / 3х² + 1 / 3х - 1/18 \u003d 0 · 2 Відповідь: 2х³ + 4 / 3х² + 2 / 3х -1/9 \u003d 0.

Приклади для самостійного рішення. 1. Напишіть кубічне рівняння, коріння якого протилежні квадратах коренів рівняння х ³ - 6х² + 11х - 6 \u003d 0, а коефіцієнт при х ³ дорівнює 8. Відповідь: 8х³ - 98 / 9х² + 28 / 9х -2/9 \u003d 0. Нестандартні методи рішень рівнянь вищих ступенів. Приклад №12. Розв'яжіть рівняння х ⁴ -8х + 63 \u003d 0. Розкладемо ліву частину рівняння на множники. Виділимо точні квадрати. Х⁴ - 8х + 63 \u003d (х ⁴ + 16х² + 64) - (16х² + 8х + 1) \u003d (х ² + 8) ² - (4х + 1) ² \u003d (х ² + 4х + 9) (х ² - 4х + 7) \u003d 0. Обидва дискримінанту негативні. Відповідь: немає коренів.

Приклад №14. Розв'яжіть рівняння 21х³ + х ² - 5х - 1 \u003d 0. Якщо вільний член рівняння дорівнює ± 1, то рівняння перетворюється в наведене рівняння за допомогою заміни х \u003d 1 / у. 21 / у³ + 1 / у² - 5 / у - 1 \u003d 0 · у³, у³ + 5у² -у - 21 \u003d 0. у \u003d -3 корінь рівняння. (У + 3) (у² + 2у -7) \u003d 0, у \u003d -1 ± 2√2. х ₁ \u003d -1/3, х ₂ \u003d 1 / -1 + 2√2 \u003d (2√2 + 1) / 7, Х₃ \u003d 1 / -1 -2√2 \u003d (1-2√2) / 7 . Приклад №15. Розв'яжіть рівняння 4х³-10х² + 14х - 5 \u003d 0. Помножимо обидві частини рівняння на 2. 8х³ -20х² + 28х - 10 \u003d 0, (2х) ³ - 5 (2х) ² + 14 · (2х) -10 \u003d 0. введемо нову змінну у \u003d 2х, отримаємо наведене рівняння у³ - 5у² + 14У -10 \u003d 0, у \u003d 1 корінь рівняння. (У - 1) (у² - 4у + 10) \u003d 0, Д

Приклад №16. Довести, що рівняння х ⁴ + х ³ + х - 2 \u003d 0 має один позитивний корінь. Нехай f (х) \u003d х ⁴ + х ³ + х - 2, f '(х) \u003d 4х³ + 3х² + 1\u003e про при х\u003e о. Функція f (х) зростає при х\u003e о, а значення f (о) \u003d -2. Очевидно, що рівняння має один позитивний корінь ч.т.д. Приклад №17. Розв'яжіть рівняння 8х (2х² - 1) (8х⁴ - 8х² + 1) \u003d 1. І.Ф.Шаригін «Факультативний курс з математики для 11 класу». М. Просвітництво тисяча дев'ятсот дев'яносто один стр90. 1. l х l 1 2х² - 1\u003e 1 і 8х⁴ -8х² + 1\u003e 1 2. Зробимо заміну х \u003d cosy, у € (0; п). При інших значеннях у, значення х повторюються, а рівняння має не більше 7 коренів. 2х² - 1 \u003d 2 cos²y - 1 \u003d cos2y, 8х⁴ - 8х² + 1 \u003d 2 (2х² - 1) ² - 1 \u003d 2 cos²2y - 1 \u003d cos4y. 3. Рівняння набуває вигляду 8 cosycos2ycos4y \u003d 1. Множимо обидві частини рівняння на siny. 8 sinycosycos2ycos4y \u003d siny. Застосовуючи 3 рази формулу подвійного кута отримаємо рівняння sin8y \u003d siny, sin8y - siny \u003d 0

Закінчення рішення прикладу №17. Застосовуємо формулу різниці синусів. 2 sin7y / 2 · cos9y / 2 \u003d 0. З огляду на, що у € (0; п), у \u003d 2ПК / 3, к \u003d 1, 2, 3 або у \u003d п / 9 + 2ПК / 9, к \u003d 0, 1, 2, 3. Повертаючись до змінної х отримуємо відповідь: Cos2 п / 7, cos4 п / 7, cos6 п / 7, cos п / 9, ½, cos5 п / 9, cos7 п / 9. Приклади для самостійного рішення. Знайти всі значення а, при яких рівняння (х ² + х) (х ² + 5х + 6) \u003d а має рівно три кореня. Відповідь: 9/16. Вказівка: побудувати графік лівої частини рівняння. F max \u003d f (0) \u003d 9/16. Пряма у \u003d 9/16 перетинає графік функції в трьох точках. Розв'яжіть рівняння (х ² + 2х) ² - (х + 1) ² \u003d 55. Відповідь: -4; 2. Розв'яжіть рівняння (х + 3) ⁴ + (х + 5) ⁴ \u003d 16. Відповідь: -5; -3. Розв'яжіть рівняння 2 (х ² + х + 1) ² -7 (х - 1) ² \u003d 13 (х ³ - 1) .Відповідь: -1; -1/2, 2, 4 Знайдіть число дійсних коренів рівняння х ³ - 12х + 10 \u003d 0 на [-3; 3/2]. Вказівка: знайти похідну і досліджувати на монот.

Приклади для самостійного рішення (продовження). 6. Знайдіть число дійсних коренів рівняння х ⁴ - 2х³ + 3/2 \u003d 0. Відповідь: 2 7. Нехай х ₁, х ₂, х ₃ - коріння многочлена Р (х) \u003d х ³ - 6х² -15х + 1. Знайдіть Х₁² + х ₂² + х ₃². Відповідь: 66. Вказівка: застосуйте теорему Вієта. 8. Доведіть, що при а\u003e про і довільному матеріальному в рівняння х ³ + ах + в \u003d про має тільки один речовий корінь. Вказівка: проведіть доказ від протилежного. Застосуйте теорему Вієта. 9. Розв'яжіть рівняння 2 (х ² + 2) ² \u003d 9 (х ³ + 1). Відповідь: ½; 1; (3 ± √13) / 2. Вказівка: приведіть рівняння до однорідного, використовуючи рівності Х² + 2 \u003d х + 1 + х ² - х + 1, х ³ + 1 \u003d (х + 1) (х ² - х + 1). 10. Вирішіть систему рівнянь х + у \u003d х ², 3у - х \u003d у². Відповідь: (0; 0), (2; 2), (√2; 2 - √2), (- √2; 2 + √2). 11. Вирішіть систему: 4у² -3ху \u003d 2х-у, 5х² - 3у² \u003d 4х - 2у. Відповідь: (о; о), (1; 1), (297/265; - 27/53).

Контрольна робота. 1 варіант. 1. Розв'яжіть рівняння (х ² + х) - 8 (х ² + х) + 12 \u003d 0. 2. Розв'яжіть рівняння (х + 1) (х + 3) (х + 5) (х + 7) \u003d - 15 . 3. Вирішіть рівняння 12х² (х - 3) + 64 (х - 3) ² \u003d х ⁴. 4. Розв'яжіть рівняння х ⁴ - 4х³ + 5х² - 4х + 1 \u003d 0 5. Вирішіть систему аравненій: х ² + 2у² - х + 2у \u003d 6, 1,5х² + 3у² - х + 5у \u003d \u200b\u200b12.

2 варіант 1. (х ² - 4х) ² + 7 (х ² - 4х) + 12 \u003d 0. 2. х (х + 1) (х + 5) (х + 6) \u003d 24. 3. х ⁴ + 18 (х + 4) ² \u003d 11х² (х + 4). 4. х ⁴ - 5х³ + 6х² - 5х + 1 \u003d 0. 5. х ² - 2ху + у² + 2х²у - 9 \u003d 0, х - у - х²у + 3 \u003d 0. 3 варіант. 1. (х ² + 3х) ² - 14 (х ² + 3х) + 40 \u003d 0 2. (х - 5) (х-3) (х + 3) (х + 1) \u003d - 35. 3. х4 + 8х² (х + 2) \u003d 9 (х + 2) ². 4. х ⁴ - 7х³ + 14х² - 7х + 1 \u003d 0. 5. х + у + х ² + у ² \u003d 18, ху + х ² + у² \u003d 19.

4 варіант. (Х ² - 2х) ² - 11 (х ² - 2х) + 24 \u003d о. (Х -7) (х-4) (х-2) (х + 1) \u003d -36. Х⁴ + 3 (х -6) ² \u003d 4х² (6 - х). Х⁴ - 6х³ + 7х² - 6х + 1 \u003d 0. Х² + 3ху + у² \u003d - 1, 2х² - 3ху - 3у² \u003d - 4. Додаткове завдання: Залишок від ділення многочлена Р (х) на (х - 1) дорівнює 4, залишок від ділення на (х + 1) равен2, а при діленні на (х - 2) дорівнює 8. Знайти залишок від ділення Р (х) на (х ³ - 2х² - х + 2).

Відповіді та вказівки: варіант № 1 № 2. № 3. № 4. № 5. 1. - 3; ± 2; 1 + 1; 2; 3. -5; -4; 1; 2. Однорідне рівняння: u \u003d x -3, v \u003d x² -2; -1; 3; 4. (2; 1); (2/3; 4/3). Вказівка: 1 · (-3) + 2 · 2 2. -6; -2; -4 ± √6. -3 ± 2√3; - 4; - 2. 1 ± √11; 4; - 2. Однорідне рівняння: u \u003d x + 4, v \u003d x² 1; 5; 3 ± √13. (2; 1); (0; 3); (- 3; 0). Вказівка: 2 · 2 + 1. 3. -6; 2; 4; 12 -3; -2; 4; 12 -6; -3; -1; 2. Однорідне u \u003d x + 2, v \u003d x² -6; ± 3; 2 (2; 3), (3; 2), (-2 + √7; -2 - √7); (-2 - √7; -2 + √7). Вказівка: 2 -1. 4. (3 ± √5) / 2 2 ± √3 2 ± √3; (3 ± √5) / 2 (5 ± √21) / 2 (1; -2), (-1; 2). Вказівка: 1 · 4 + 2.

Рішення додаткового завдання. По теоремі Безу: Р (1) \u003d 4, Р (-1) \u003d 2, Р (2) \u003d 8. Р (х) \u003d G (x) (х ³ - 2х² - х + 2) + ах² + вх + с. Підставляємо 1; - 1; 2. Р (1) \u003d G (1) · 0 + а + в + с \u003d 4, а + в + с \u003d 4. Р (-1) \u003d а - в + с \u003d 2, Р (2) \u003d 4а² + 2в + з \u003d 8. Вирішуючи отриману систему з трьох рівнянь отримаємо: а \u003d в \u003d 1, с \u003d 2. Відповідь: х ² + х + 2.

Критерій № 1 - 2 бали. 1 бал - одна обчислювальна помилка. № 2,3,4 - по 3 бали. 1 бал - привели до квадратного рівняння. 2 бали - одна обчислювальна помилка. № 5. - 4 бали. 1 бал - висловили одну змінну через іншу. 2 бали - отримали одне з рішень. 3 бали - одна обчислювальна помилка. Додаткове завдання: 4 бали. 1 бал - застосували теорему Безу для всіх чотирьох випадків. 2 бали - склали систему рівнянь. 3 бали - одна обчислювальна помилка.

Розглянемо рішення рівнянь з однією змінною мірою вище другий.

Ступенем рівняння Р (х) \u003d 0 називається ступінь многочлена Р (х), тобто найбільша з ступенів його членів з коефіцієнтом, не рівним нулю.

Так, наприклад, рівняння (х 3 - 1) 2 + х 5 \u003d х 6 - 2 має п'яту ступінь, тому що після операцій розкриття дужок і приведення подібних одержимо рівносильне рівняння х 5 - 2х 3 + 3 \u003d 0 п'ятого ступеня.

Згадаймо правила, які знадобляться для вирішення рівнянь ступеня вище другий.

Твердження про коріння многочлена і його делителях:

1. Многочлен n-го ступеня має число коренів що не перевищує число n, причому коріння кратності m зустрічаються рівно m раз.

2. Многочлен непарного степеня має хоча б один дійсний корінь.

3. Якщо α - корінь Р (х), то Р n (х) \u003d (х - α) · Q n - 1 (x), де Q n - 1 (x) - многочлен ступеня (n - 1).

4.

5. Наведений многочлен з цілими коефіцієнтами не може мати дробових раціональних коренів.

6. Для многочлена третього ступеня

Р 3 (х) \u003d ах 3 + bx 2 + cx + d можливо одне з двох: або він розкладається в добуток трьох Двочленні

Р 3 (x) \u003d а (х - α) (х - β) (х - γ), або розкладається в добуток двочлена і квадратного тричлена Р 3 (x) \u003d а (х - α) (х 2 + βх + γ ).

7. Будь многочлен четвертого ступеня розкладається в добуток двох квадратних тричленів.

8. Многочлен f (x) ділиться на многочлен g (х) без залишку, якщо існує многочлен q (x), що f (x) \u003d g (x) · q (x). Для поділу многочленів застосовується правило «поділу куточком».

9. Для подільності багаточлена P (x) на двочлен (x - c) необхідно і достатньо, щоб число з було коренем P (x) (Слідство теореми Безу).

10. Теорема Вієта: Якщо х 1, х 2, ..., х n - дійсні корені многочлена

Р (х) \u003d а 0 х n + а 1 х n - 1 + ... + а n, то мають місце такі рівності:

х 1 + х 2 + ... + х n \u003d -а 1 / а 0,

х 1 · х 2 + х 1 · х 3 + ... + х n - 1 · х n \u003d a 2 / а 0,

х 1 · х 2 · х 3 + ... + х n - 2 · х n - 1 · х n \u003d -a 3 / а 0,

х 1 · х 2 · х 3 · х n \u003d (-1) n a n / а 0.

рішення прикладів

Приклад 1.

Знайти залишок від ділення Р (х) \u003d х 3 + 2/3 x 2 - 1/9 на (х - 1/3).

Рішення.

За слідству з теореми Безу: «Залишок від ділення многочлена на двочлен (х - с) дорівнює значенню многочлена від с». Знайдемо Р (1/3) \u003d 0. Отже, залишок дорівнює 0 і число 1/3 - корінь многочлена.

Відповідь: R \u003d 0.

Приклад 2.

Розділити «куточком» 2х 3 + 3x 2 - 2х + 3 на (х + 2). Знайти залишок і неповну частку.

Рішення:

2х 3 + 3x 2 - 2х + 3 | х + 2

2х 3 + 4 x 2 2x 2x

X 2 - 2 x

Відповідь: R \u003d 3; частное: 2х 2х.

Основні методи вирішення рівнянь вищих ступенів

1. Введення нової змінної

Метод введення нової змінної вже знаком на прикладі біквадратних рівнянь. Він полягає в тому, що для вирішення рівняння f (x) \u003d 0 вводять нову змінну (підстановку) t \u003d x n або t \u003d g (х) і висловлюють f (x) через t, отримуючи нове рівняння r (t). Вирішуючи потім рівняння r (t), знаходять коріння:

(T 1, t 2, ..., t n). Після цього отримують сукупність n рівнянь q (x) \u003d t 1, q (x) \u003d t 2, ..., q (x) \u003d t n, з яких знаходять коріння вихідного рівняння.

Приклад 1.

(Х 2 + х + 1) 2 - 3х 2 - 3x - 1 \u003d 0.

Рішення:

(Х 2 + х + 1) 2 - 3 (х 2 + x) - 1 \u003d 0.

(Х 2 + х + 1) 2 - 3 (х 2 + x + 1) + 3 - 1 \u003d 0.

Заміна (х 2 + х + 1) \u003d t.

t 2 - 3t + 2 \u003d 0.

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. Зворотній заміна:

х 2 + х + 1 \u003d 2 або х 2 + х + 1 \u003d 1;

х 2 + х - 1 \u003d 0 або х 2 + х \u003d 0;

Відповідь: З першого рівняння: х 1, 2 \u003d (-1 ± √5) / 2, з другого: 0 і -1.

2. Розкладання на множники методом угруповання і формул скороченого множення

Основа даного методу також не нова і полягає в угрупованні доданків таким чином, щоб кожна група містила загальний множник. Для цього іноді доводиться застосовувати деякі штучні прийоми.

Приклад 1.

х 4 - 3x 2 + 4х - 3 \u003d 0.

Рішення.

Уявімо - 3x 2 \u003d -2x 2 - x 2 і згрупуємо:

(Х 4 - 2x 2) - (x 2 - 4х + 3) \u003d 0.

(Х 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4х + 3 + 1 - 1) \u003d 0.

(Х 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 \u003d 0.

(Х 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(Х 2 - 1 - х + 2) (х 2 - 1 + х - 2) \u003d 0.

(Х 2 - х + 1) (х 2 + х - 3) \u003d 0.

х 2 - х + 1 \u003d 0 або х 2 + х - 3 \u003d 0.

Відповідь: В першому рівнянні немає коренів, з другого: х 1, 2 \u003d (-1 ± √13) / 2.

3. Розкладання на множник методом невизначених коефіцієнтів

Суть методу полягає в тому, що вихідний многочлен розкладається на множники з невідомими коефіцієнтами. Використовуючи властивість, що многочлени рівні, якщо рівні їх коефіцієнти при однакових ступенях, знаходять невідомі коефіцієнти розкладання.

Приклад 1.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 \u003d 0.

Рішення.

Многочлен 3-го ступеня можна розкласти в добуток лінійного і квадратного множників.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 \u003d (х - а) (x 2 + b х + c),

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 \u003d х 3 + bx 2 + cх - ax 2 - abх - ac,

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 \u003d х 3 + (b - a) x 2 + (cх - ab) х - ac.

Вирішивши систему:

(B - a \u003d 4,
(C - ab \u003d 5,
(-Ac \u003d 2,

(A \u003d -1,
(B \u003d 3,
(C \u003d 2, тобто

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 \u003d (х + 1) (x 2 + 3х + 2).

Коріння рівняння (х + 1) (x 2 + 3х + 2) \u003d 0 знаходяться легко.

Відповідь: -1; -2.

4. Метод підбору кореня по старшому і вільному коефіцієнту

Метод спирається на застосування теорем:

1) Всякий цілий корінь многочлена з цілими коефіцієнтами є дільником вільного члена.

2) Для того, щоб нескоротний дріб p / q (p - ціле, q - натуральне) була коренем рівняння з цілими коефіцієнтами, необхідно, щоб число p було цілим дільником вільного члена а 0, а q - натуральним дільником старшого коефіцієнта.

Приклад 1.

6х 3 + 7x 2 - 9х + 2 \u003d 0.

Рішення:

6: q \u003d 1, 2, 3, 6.

Отже, p / q \u003d ± 1, ± 2, ± 1/2, ± 1/3, ± 2/3, ± 1/6.

Знайшовши один корінь, наприклад - 2, інші корені знайдемо, використовуючи розподіл куточком, метод невизначених коефіцієнтів або схему Горнера.

Відповідь: -2; 1/2; 1/3.

Залишилися питання? Не знаєте, як вирішувати рівняння?
Щоб отримати допомогу репетитора - зареєструйтеся.
Перший урок - безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Схема Горнера

У ВИРІШЕННІ РІВНЯНЬ З ПАРАМЕТРАМИ
З ГРУПИ «С» ПІД ЧАС ПІДГОТОВКИ ДО ЗНО

Казанцева Людмила Вікторівна

учитель математики МБОУ «Уярская ЗОШ № 3»

На факультативних заняттях необхідно розширити коло наявних знань за рахунок вирішення завдань підвищеної складності групи «С».

Даная робота висвітлює частина питань, що розглядаються на додаткових заняттях.

Доцільно ввести схему Горнера після вивчення теми «Ділення многочлена на многочлен». Цей матеріал дозволяє розв'язувати рівняння вищих порядків способом угруповання многочленів, а більш раціональним шляхом, що економить час.

План занять.

Заняття 1.

1. Пояснення теоретичного матеріалу.

2. Рішення прикладів а Б В Г).

Заняття 2.

1. Рішення рівнянь а Б В Г).

2. Знаходження раціональних коренів многочлена

Застосування схеми Горнера при вирішенні рівнянь з параметрами.

Заняття 3.

завдання а Б В).

Заняття 4.

1. Завдання г), д), е), ж), з).

Рішення рівнянь вищих ступенів.

Схема Горнера.

теорема : Нехай нескоротний дріб є коренем рівняння

a o x n + a 1 x n-1 + ... + a n-1 x 1 + a n = 0

c цілими коефіцієнтами. тоді число рє дільником старшого коефіцієнта а про .

слідство: Будь-який цілий корінь рівняння з цілими коефіцієнтами є дільником його вільного члена.

слідство: Якщо старший коефіцієнт рівняння з цілими коефіцієнтами дорівнює 1 , То всі раціональні корені, якщо вони існують - цілі.

приклад 1. 2х 3 - 7х 2 + 5х - 1 \u003d 0

Нехай нескоротний дріб є коренем рівняння, тодір є дільником числа1: ± 1

q є дільником старшого члена: ± 1; ± 2

Раціональні корені рівняння треба шукати серед чисел:± 1; ±.

f (1) \u003d 2 - 7 + 5 - 1 \u003d - 1 ≠ 0

f (-1) \u003d -2 - 7 - 5 - 1 ≠ 0

f () = – + – 1 = – + – = 0

Коренем є число .

розподіл многочлена Р (х) \u003d а про х п + a 1 x n -1 + … + a n на двочлен ( х - £) зручно виконувати за схемою Горнера.

Позначимо неповну частку Р (х)на ( х - £)через Q (x ) = b o x n -1 + b 1 x n -2 + … b n -1 ,

а залишок через b n

Р (х) \u003dQ (x ) (x – £) + b n , То має місце тотожність

а про х п + a 1 x n-1 + ... + a n \u003d (B o x n-1 + … + b n-1 ) (х - £) +b n

Q (x ) - многочлен, ступінь якого на 1 нижче ступеня вихідного многочлена. коефіцієнти многочлена Q (x ) визначаються за схемою Горнера.

а про

a 1

a 2

a n-1

a n

b o \u003d a про

b 1 = a 1 + £· b o

b 2 = a 2 + £· b 1

b n-1 \u003d a n-1 + £· b n-2

b n \u003d a n + £· b n-1

У першому рядку цієї таблиці записують коефіцієнти многочлена Р (х).

Якщо якась ступінь змінної відсутній, то у відповідній клітині таблиці пишеться 0.

Старший коефіцієнт приватного дорівнює старшому коефіцієнту діленого ( а про = b o ). якщо £ є коренем многочлена, то в останньої клітці виходить 0.

приклад 2. Розкласти на множники з цілими коефіцієнтами

Р (х) \u003d 2х 4 - 7х 3 - 3х 2 + 5х - 1

± 1.

підходить - 1.

ділимо Р (х) на (Х + 1)

2

– 7

– 3

5

– 1

– 1

2

– 9

6

– 1

0

2х 4 - 7х 3 - 3х 2 + 5х - 1 \u003d (х + 1) (2х 3 - 9х 2 + 6х - 1)

Шукаємо цілі корені серед вільного члена: ± 1

Так як старший член дорівнює 1, то корінням можуть бути дробові числа: - ; .

підходить .

2

– 9

6

– 1

2

– 8

2

0

2х 3 - 9х 2 + 6х - 1 \u003d (х -) (2х 2 - 8х + 2) \u003d (2х - 1) (х 2 - 4х + 1)

Трехчлен х 2 - 4х + 1на множники з цілими коефіцієнтами НЕ розкладається.

завдання:

1. Розкладіть на множники з цілими коефіцієнтами:

а) х 3 - 2х 2 - 5х + 6

q: ± 1;

р: ± 1; ± 2; ± 3; ± 6

: ± 1; ± 2; ± 3; ± 6

Знаходимо раціональні корені многочлена f (1) = 1 – 2 – 5 + 6 = 0

х \u003d 1

1

– 2

– 5

6

1

1

– 1

– 6

0

х 3 - 2х 2 - 5х + 6 \u003d (х - 1) (х 2х - 6) \u003d (х - 1) (х - 3) (х + 2)

Визначимо корені квадратного рівняння

х 2 - х - 6 \u003d 0

х \u003d 3; х \u003d - 2

б) 2х 3 + 5х 2 + Х - 2

р: ± 1; ± 2

q: ± 1; ± 2

: ± 1; ± 2; ±

Знайдемо коріння многочлена третього ступеня

f (1) \u003d 2 + 5 + 1 - 2 ≠ 0

f (-1) \u003d - 2 + 5 - 1 - 2 \u003d 0

Один з коренів рівняння х \u003d - 1

2

5

1

– 2

– 1

2

3

– 2

0

2х 3 + 5х 2 + х - 2 \u003d (х + 1) (2х 2 + 3х - 2) \u003d (х + 1) (х + 2) (2х - 1)

Розкладемо квадратний тричлен 2х 2 +3 х - 2на множники

2х 2 +3 х - 2 \u003d 2 (х + 2) (х -)

D \u003d 9 + 16 \u003d 25

х 1 \u003d - 2; х 2 \u003d

в) х 3 - 3х 2 + Х + 1

р: ± 1

q: ± 1

: ± 1

f (1) \u003d 1 - 3 + 1 - 1 \u003d 0

Одним з коренів многочлена третього ступеня є х \u003d 1

1

– 3

1

1

1

1

– 2

– 1

0

х 3 - 3х 2 + х + 1 \u003d (х - 1) (х 2 - 2х - 1)

Знайдемо коріння рівняння х 2 - 2х - 1 \u003d 0

D \u003d 4 + 4 = 8

х 1 = 1 –

х 2 = 1 +

х 3 - 3х 2 + Х + 1 \u003d (х - 1) (х - 1 +
) (Х - 1 -
)

г) х 3 - 2х - 1

р: ± 1

q: ± 1

: ± 1

Визначимо корені многочлена

f (1) \u003d 1 - 2 - 1 \u003d - 2

f (-1) \u003d - 1 + 2 - 1 \u003d 0

перший корінь х \u003d - 1

1

0

– 2

– 1

– 1

1

– 1

– 1

0

х 3 - 2х - 1 \u003d (х + 1) (х 2х - 1)

х 2 - х - 1 \u003d 0

D \u003d 1 + 4 \u003d 5

х 1,2 =

х 3 - 2х - 1 \u003d (х + 1) (х -
) (Х -
)

2. Вирішити рівняння:

а) х 3 - 5х + 4 \u003d 0

Визначимо корені многочлена третього ступеня

: ± 1; ± 2; ± 4

f (1) \u003d 1 - 5 + 4 \u003d 0

Одним з коренів є х \u003d 1

1

0

– 5

4

1

1

1

– 4

0

х 3 - 5х + 4 \u003d 0

(Х - 1) (х 2 + х - 4) \u003d 0

х 2 + Х - 4 \u003d 0

D \u003d 1 + 16 \u003d 17

х 1 =
; х 2 =

відповідь: 1;
;

б) х 3 - 8х 2 + 40 = 0

Визначимо корені многочлена третього ступеня.

: ± 1; ± 2; ± 4; ± 5; ± 8; ± 10; ± 20; ± 40

f (1) ≠ 0

f (-1) ≠ 0

f (-2) \u003d - 8 - 32 + 40 \u003d 0

Одним з коренів є х \u003d - 2

1

– 8

0

40

– 2

1

– 10

20

0

Розкладемо многочлен третього ступеня на множники.

х 3 - 8х 2 + 40 \u003d (х + 2) (х 2 - 10х + 20)

Знайдемо коріння квадратного рівняння х 2 - 10х + 20 \u003d 0

D \u003d 100 - 80 \u003d 20

х 1 = 5 –
; х 2 = 5 +

Відповідь: - 2; 5 –
; 5 +

в) х 3 - 5х 2 +3 х + 1 \u003d 0

Шукаємо цілі корені серед дільників вільного члена: ± 1

f (-1) \u003d - 1 - 5 - 3 + 1 ≠ 0

f (1) \u003d 1 - 5 + 3 + 1 \u003d 0

підходить х \u003d 1

1

– 5

3

1

1

1

– 4

– 1

0

х 3 - 5х 2 + 3х + 1 \u003d 0

(Х - 1) (х 2 - 4х - 1) \u003d 0

Визначаємо коріння квадратного рівняння х 2 - 4х - 1 \u003d 0

D \u003d 20

х \u003d 2 +
; х \u003d 2 -

відповідь: 2 –
; 1; 2 +

г) 2х 4 - 5х 3 + 5х 2 – 2 = 0

р: ± 1; ± 2

q: ± 1; ± 2

: ± 1; ± 2; ±

f (1) \u003d 2 - 5 + 5 - 2 \u003d 0

Один з коренів рівняння х \u003d 1

2

– 5

5

0

– 2

1

2

– 3

2

2

0

2х 4 - 5х 3 + 5х 2 - 2 \u003d 0

(Х - 1) (2х 3 - 3х 2 + 2х + 2) \u003d 0

Знаходимо за такою ж схемою коріння рівняння третього ступеня.

2х 3 - 3х 2 + 2х + 2 \u003d 0

р: ± 1; ± 2

q: ± 1; ± 2

: ± 1; ± 2; ±

f (1) \u003d 2 - 3 + 2 + 2 ≠ 0

f (-1) \u003d - 2 - 3 - 2 + 2 ≠ 0

f (2) \u003d 16 - 12 + 4 + 2 ≠ 0

f (-2) \u003d - 16 - 12 - 4 + 2 ≠ 0

f() = – + 1 + 2 ≠ 0

f(–) = – – – 1 + 2 ≠ 0

Наступний корінь рівняннях \u003d -

2

– 3

2

2

2

– 4

4

0

2х 3 - 3х 2 + 2х + 2 \u003d 0

(Х +) (2х 2 - 4х + 4) \u003d 0

Визначимо корені квадратного рівняння 2х 2 - 4х + 4 \u003d 0

х 2 - 2х + 2 \u003d 0

D \u003d - 4< 0

Отже, корінням вихідного рівняння четвертого ступеня є

1 і –

відповідь: –; 1

3. Знайдіть раціональні корені многочлена

а) х 4 - 2х 3 - 8х 2 + 13х - 24

q: ± 1

: ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24

Підберемо один з коренів многочлена четвертого ступеня:

f (1) \u003d 1 - 2 - 8 + 13 - 24 ≠ 0

f (-1) \u003d 1 + 2 - 8 - 13 - 24 ≠ 0

f (2) \u003d 16 - 16 - 32 + 26 - 24 ≠ 0

f (-2) \u003d 16 + 16 - 72 - 24 ≠ 0

f (-3) \u003d 81 + 54 - 72 - 39 - 24 \u003d 0

Один з коренів многочлена х 0= – 3.

х 4 - 2х 3 - 8х 2 + 13х - 24 \u003d (х + 3) (х 3 - 5х 2 + 7х + 8)

Знайдемо раціональні корені многочлена

х 3 - 5х 2 + 7х + 8

р: ± 1; ± 2; ± 4; ± 8

q: ± 1

f (1) \u003d 1 - 5 + 7 + 8 ≠ 0

f (-1) \u003d - 1 - 5 - 7 - 8 ≠ 0

f (2) \u003d 8 - 20 + 14 + 8 ≠ 0

f (-2) \u003d - 8 - 20 - 14 + 8 ≠ 0

f (-4) \u003d 64 - 90 - 28 + 8 ≠ 0

f (4) ≠ 0

f (-8) ≠ 0

f (8) ≠ 0

Крім числа x 0 = – 3 інших раціональних коренів немає.

б) х 4 - 2х 3 - 13х 2 - 38х - 24

р: ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24

q: ± 1

f (1) \u003d 1 + 2 - 13 - 38 - 24 ≠ 0

f (–1) = 1 – 2 – 13 + 38 – 24 = 39 – 39 = 0, тобто х \u003d - 1корінь многочлена

1

2

– 13

– 38

– 24

– 1

1

1

– 14

– 24

0

х 4 - 2х 3 - 13х 2 - 38х - 24 \u003d (х + 1) (х 3 - х 2 - 14х - 24)

Визначимо корені многочлена третього ступеня х 3 - х 2 - 14х - 24

р: ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24

q: ± 1

f (1) \u003d - 1 + 1 + 14 - 24 ≠ 0

f (-1) \u003d 1 + 1 - 14 - 24 ≠ 0

f (2) \u003d 8 + 4 - 28 - 24 ≠ 0

f (-2) \u003d - 8 + 4 + 28 - 24 ≠ 0

Значить, другий корінь многочлена х \u003d - 2

1

1

– 14

– 24

– 2

1

– 1

– 12

0

х 4 - 2х 3 - 13х 2 - 38х - 24 \u003d (х + 1) (х 2 + 2) (х 2х - 12) \u003d

\u003d (Х + 1) (х + 2) (х + 3) (х - 4)

відповідь: – 3; – 2; – 1; 4

Застосування схеми Горнера при вирішенні рівнянь з параметром.

Знайдіть найбільше ціле значення параметра а,при якому рівняння f (Х) \u003d 0має три різні корені, один з яких х 0 .

а) f (Х) \u003d х 3 + 8х 2 + Ах +b , х 0 = – 3

Так один з коренів х 0 = – 3 , То за схемою Горнера маємо:

1

8

а

b

– 3

1

5

– 15 + а

0

0 \u003d - 3 (- 15 + а) + b

0 \u003d 45 - 3а + b

b \u003d 3а - 45

х 3 + 8х 2 + ах + b \u003d (х + 3) (х 2 + 5х + (а - 15))

рівняння х 2 + 5х + (а - 15) \u003d 0 D > 0

а \u003d 1; b \u003d 5; з \u003d (а - 15),

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 - 4 (a - 15) \u003d 25 + 60 - 4a\u003e 0,

85 - 4a\u003e 0;

4a< 85;

a< 21

Найбільше ціле значення параметра а,при якому рівняння

f (Х) \u003d 0має три кореня, а \u003d 21

відповідь: 21.

б) f (x) \u003d x 3 - 2x 2 + Ax + b, x 0 = – 1

Так як один з коренів х 0= – 1, то за схемою Горнера маємо

1

– 2

a

b

– 1

1

– 3

3 + а

0

x 3 - 2x 2 + ax + b \u003d (x + 1) (x 2 - 3x + (3 + a))

рівняння x 2 – 3 x + (3 + a ) = 0 повинно мати два кореня. Це виконується тільки в тому випадку, коли D > 0

a \u003d 1; b \u003d - 3; c \u003d (3 + a),

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 9 - 4 (3 + a) \u003d 9 - 12 - 4a \u003d - 3 - 4a\u003e 0,

– 3 - 4a\u003e 0;

– 4a< 3;

a < –

найбільше значення а \u003d - 1 а \u003d 40

відповідь: а \u003d 40

г) f (x) \u003d x 3 - 11x 2 + Ax + b, x 0 = 4

Так як один з коренів х 0 = 4 , То за схемою Горнера маємо

1

– 11

a

b

4

1

– 7

– 28 + а

0

x 3 - 11x 2 + ax + b \u003d (x - 4) (x 2 - 7x + (a - 28))

f (x ) = 0, якщо х \u003d 4або x 2 – 7 x + (a – 28) = 0

D > 0, тобто

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 49 - 4 (a - 28) \u003d 49 + 112 - 4a \u003d 161 - 4a\u003e 0,

161 - 4a\u003e 0;

– 4a< – 161; f x 0 = – 5 , То за схемою Горнера маємо

1

13

a

b

– 5

1

8

– 40 + а

0

x 3 + 13x 2 + ax + b \u003d (x + 5) (x 2 + 8x + (a - 40))

f (x ) = 0, якщо х \u003d - 5або x 2 + 8 x + (a – 40) = 0

Рівняння має два корені, якщо D > 0

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 64 - 4 (a - 40) \u003d 64 + 1 60 - 4a \u003d 224 - 4a\u003e 0,

224 - 4a\u003e 0;

a< 56

рівняння f (x ) має три кореня при найбільшому значенні а \u003d 55

відповідь: а \u003d 55

ж) f (x ) = x 3 + 19 x 2 + ax + b , x 0 = – 6

Так як один з коренів – 6 , То за схемою Горнера маємо

1

19

a

b

– 6

1

13

а - 78

0

x 3 + 19x 2 + ax + b \u003d (x +6) (x 2 + 13x + (a - 78)) \u003d 0

f (x ) = 0, якщо х \u003d - 6або x 2 + 13 x + (a – 78) = 0

Друге рівняння має два кореня, якщо