Взаємне розташування двох прямих у просторі.

Взаємне розташування двох прямих та просторі характеризується такими трьома можливостями.

Прямі лежать у одній площині і мають спільних точок — паралельні прямі.

Прямі лежать і в одній площині і мають одну загальну точку — прямі перетинаються.

У просторі дві прямі можуть бути розташовані ще так, що не лежать у жодній площині. Такі прямі називаються такими, що схрещуються (не перетинаються і не паралельні).

ПРИКЛАД:

ЗАВДАННЯ 434 У площині лежить трикутник ABC, a

У площині лежить трикутник ABC, точка D не знаходиться в цій площині. Точки М, N та K відповідно серединні точки відрізків DA, ​​DB та DC

Теорема.Якщо одна з двох прямих лежить у деякій площині, а інша перетинає цю площину та точку, яка не лежить на першій прямій, то ці прямі схрещуються.

На рис. 26 пряма a лежить у площині, а пряма з перетинає в точці N. Прямі a і с — схрещуються.

Теорема.Через кожну з двох прямих, що схрещуються, проходить тільки одна площина, паралельна іншій прямій.

На рис. 26 прямі a та b схрещуються. Черна пряма а проведена площина a (альфа) || b (у площині B (бета) вказано пряму a1 || b).

Теорема 3.2.

Дві прямі, паралельні третій, паралельні.

Ця властивість називається транзитивністюпаралельності прямих.

Доказ

Нехай прямі a і b одночасно паралельні до прямої c . Припустимо, що a не паралельна b тоді пряма a перетинається з прямою b в деякій точці A , не лежачої на прямій c за умовою. Отже, ми маємо дві прямі a і b , що проходять через точку A , що не лежить на даній прямій c і одночасно паралельні їй. Це суперечить аксіомі 3.1. Теорему доведено.

Теорема 3.3.

Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести одну і лише одну пряму, паралельну даній.

Доказ

Нехай (AB ) дана пряма, C - точка, що не лежить на ній. Пряма AC розбиває площину на дві напівплощини. Точка B лежить в одній із них. Відповідно до аксіоми 3.2 можна від променя A відкласти кут (ACD ), рівний куту(CAB), в іншу напівплощину. ACD і CAB – рівні внутрішні навхрест що лежать при прямих AB і CD і січній (AC ) Тоді з теореми 3.1 (AB ) || (CD). З урахуванням аксіоми 3.1. Теорему доведено.

Властивість паралельних прямих визначається наступною теоремою, зворотною до теореми 3.1.

Теорема 3.4.

Якщо дві паралельні прямі перетнуті третьою прямою, то внутрішні навхрест лежачі кути рівні.

Доказ

Нехай (AB) || (CD). Припустимо, що ACD ≠ BAC . Через точку A проведемо пряму AE отже EAC = ACD . Але тоді з теореми 3.1 (AE) || (CD), а за умовою – (AB) || (CD). Відповідно до теореми 3.2 (AE) || (AB). Це суперечить теоремі 3.3, за якою через точку A, що не лежить на прямій CD, можна провести єдину пряму, паралельну їй. Теорему доведено.

Малюнок 3.3.1.

З цієї теореми легко обгрунтовуються такі характеристики.

Якщо дві паралельні прямі перетнуті третьою прямою, то відповідні кути рівні.

Якщо дві паралельні прямі перетнуті третьою прямою, то сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°.

Наслідок 3.2.

Якщо пряма перпендикулярна до однієї з паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої.

Поняття паралельності дозволяє запровадити наступне нове поняття, яке надалі знадобиться у 11-му розділі.

Два промені називаються однаково спрямованимиякщо існує така пряма, що, по-перше, вони перпендикулярні цій прямій, по-друге, промені лежать в одній напівплощині щодо цієї прямої.

Два промені називаються протилежно спрямованимиякщо кожен з них однаково спрямований з променем, додатковим до іншого.

Однаково спрямовані промені AB і CD позначатимемо: а протилежно спрямовані промені AB і CD –

Малюнок 3.3.2.

Ознака прямих, що схрещуються.

Якщо одна з двох прямих лежить в деякій площині, а інша пряма перетинає цю площину в точці, що не лежить на першій прямій, то ці схрещуються.

Випадки взаємного розташуванняпрямих у просторі.

1. Можливі чотири різні випадки розташування двох прямих у просторі:

   
   

   - Прямі схрещуються, тобто. не лежать у одній площині;

   - Прямі перетинаються, тобто. лежать в одній площині та мають одну загальну точку;

   - Прямі паралельні, тобто. лежать в одній площині та не перетинаються;

   - Прямі збігаються.

   
   

   Отримаємо ознаки цих випадків взаємного розташування прямих, заданих канонічними рівняннями

   
   
   де - точки, що належать прямимі відповідно, a- Напрямні вектори (рис.4.34). Позначимо черезвектор, що з'єднує задані точки.
   
   

   Перерахованим вище випадкам взаємного розташування прямих і відповідають такі ознаки:

   
   

   - Прямі і схрещуються вектори не компланарні;

   
   

   - Прямі і перетинаються вектори компланарні, а вектори не колінеарні;

   
   

   - Прямі і паралельні вектори колінеарні, а вектори не колінеарні;

   
   

   - Прямі і збігаються вектори колінеарні.

   
   

   Ці умови можна записати, використовуючи властивості змішаного та векторного творів. Нагадаємо, що змішаний твірвекторів у правій прямокутній системі координат знаходиться за формулою:

   
   
   і перетинаються визначник дорівнює нулю, а другий і третій рядки не пропорційні, тобто.
   

   – прямі та паралельні другий і третій рядки визначника пропорційні, тобто. а перші два рядки не пропорційні, тобто.

   
   

   - Прямі і збігаються всі рядки визначника пропорційні, тобто.

Доказ ознаки прямих, що схрещуються.

Якщо одна з двох прямих лежить у площині, а інша перетинає цю площину в точці, що не належить першій прямій, ці дві прямі схрещуються.

Доказ

Нехай a належить α, b перетинається α = A, A не належить a (креслення 2.1.2). Припустимо, що прямі a і b не схрещуються, тобто перетинаються. Тоді існує площина β, якій належать прямі a та b. У цій площині лежать пряма a і точка A. Оскільки пряма a і точка A поза нею визначають єдину площину, то β = α. Але b водить β і b не належить α, отже, рівність β = α неможлива.

прямі l1 і l2 називаються такими, що схрещуються, якщо вони не лежать в одній площині. Нехай а та b - напрямні вектори цих прямих, а точки M1 та M2 належать відповідно прямим і l1 та l2

Тоді вектори а, b, M1M2> не компланарні, і тому їхнє змішане твір не дорівнює нулю, тобто (а, b, M1M2>) = / = 0. Правильно і зворотне твердження: якщо (а, b, M1M2> ) =/= 0, то вектори а, b, M1M2> не компланарні, і, отже, прямі l1 і l2 не лежать в одній площині, тобто схрещуються. Отже, дві прямі схрещуються тоді і тільки тоді, коли виконано умова(а, b, M1M2>) =/= 0, де а і b - напрямні вектори прямих, а M1 і M2 - точки, що належать відповідно до даних прямим. Умова(а, b, M1M2>) = 0 є необхідною та достатньою умовою того, що прямі лежать в одній площині. Якщо прямі задані своїми канонічними рівняннями

то а = (а1; а2; а3), b = (b1; b2; b3), М1 (x1; у1; z1), М2 (х2; у2; z2) і умова (2) записується наступним чином:

Відстань між схрещуючими прямими

це відстань між однією з прямих, що схрещуються, і паралельною їй площиною, що проходить через іншу пряму. Відстань між схрещувальними прямими - це відстань від деякої точки однієї з схрещуваних прямих до площини, що проходить через іншу пряму паралельно першій прямій.

26.Визначення еліпса, канонічне рівняння. Виведення канонічного рівняння. Властивості.

Еліпсом називається геометричне місце точок площини, для яких сума відстаней до двох фокусованих точок F1 і F2 цієї площини, званих фокусами є величина постійна. При цьому не виключається збіг фокусів еліпсису. систему координат таку, що еліпс описуватиметься рівнянням (канонічне рівняння еліпса):

Воно описує еліпс із центром на початку координат, осі якого збігаються з осями координат.

Якщо ж у правій частині стоїть одиниця зі знаком мінус, то рівняння, що вийшло:

описує уявний еліпс. Позначимо фокуси через F1 і F2, а відстань між ними через 2с, а суму відстаней від довільної точки еліпса до фокусів - через 2а

Для виведення рівняння еліпса виберемо систему координат Оху так, щоб фокуси F1 та F2 лежали на осі Ох, а початок координат збігався із серединою відрізка F1F2. Тоді фокуси матимуть наступні координати: і Нехай М (х; у) - довільна точка еліпса. Тоді, згідно з визначенням еліпса, тобто.

Це, власне, і є рівняння еліпса.

27.Визначення гіперболи, канонічне рівняння. Виведення канонічного рівняння. Властивості

Гіперболою називається геометричне місце точок площини, для якої абсолютна величина різниці відстані до двох фіксованих точок F1 і F2 цієї площини, званих фокусами, є постійна величина. Нехай M(x;y) - довільна точка гіперболи. Тоді згідно з визначенням гіперболи |MF 1 – MF 2 |=2a або MF 1 – MF 2 =±2a,

28.Визначення параболи, канонічне рівняння. Виведення канонічного рівняння. Властивості. Параболою називається ГМТ площини, для яких відстань до деякої фіксованої точки F цієї площини дорівнює відстані до деякої фіксованої прямої, також розташованої в площині, що розглядається. F – фокус параболи; фіксована пряма – директриса параболи. r=d,

r=; d=x+p/2; (x-p/2) 2 + y 2 = (x + p/2) 2; x 2 -xp+p 2 /4+y 2 =x 2 +px+p 2 /4; y 2 = 2px;

Властивості: 1.Парабола має вісь симетрії (вісь параболи); 2.Вся

парабола розташована в правій напівплощині площині Oxy при p>0, і в лівій

якщо p<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.

"

У цій статті спочатку дамо визначення кута між прямими, що схрещуються, і наведемо графічну ілюстрацію. Далі відповімо на запитання: «Як знайти кут між прямими схрещуються, якщо відомі координати напрямних векторів цих прямих у прямокутній системі координат»? У висновку попрактикуємося у знаходженні кута між прямими, що схрещуються, при вирішенні прикладів і завдань.

Навігація на сторінці.

Кут між прямими схрещуються - визначення.

До визначення кута між прямими, що схрещуються, будемо підходити поступово.

Спочатку нагадаємо визначення прямих, що схрещуються: дві прямі в тривимірному просторі називаються схрещуютьсяякщо вони не лежать в одній площині. З цього визначення випливає, що прямі, що схрещуються, не перетинаються, не паралельні, і, тим більше, не збігаються, інакше вони обидві лежали б в деякій площині.

Наведемо ще допоміжні міркування.

Нехай у тривимірному просторі задані дві прямі, що схрещуються, a і b . Побудуємо прямі a 1 і b 1 так, щоб вони були паралельні прямим a і b, що схрещуються, відповідно і проходили через деяку точку простору M 1 . Таким чином, ми отримаємо дві прямі, що перетинаються, a 1 і b 1 . Нехай кут між прямими, що перетинаються, a 1 і b 1 дорівнює куту . Тепер побудуємо прямі a 2 і b 2 паралельні схрещується прямим a і b відповідно, що проходять через точку М 2 відмінну від точки М 1 . Кут між прямими, що перетинаються, a 2 і b 2 також буде дорівнює куту . Це твердження справедливе, оскільки прямі a 1 і b 1 збігатимуться з прямими a 2 і b 2 відповідно, якщо виконати паралельне перенесення, при якому точка М 1 перейде в точку М 2 . Таким чином, міра кута між двома перетинаються в точці М прямими, відповідно паралельними заданим прямим, що схрещується, не залежить від вибору точки М .

Тепер ми готові до того, щоб дати визначення кута між прямими, що схрещуються.

Визначення.

Кут між схрещувальними прямими– це кут між двома перетинаючими прямими, які відповідно паралельні заданим прямим, що схрещується.

З визначення випливає, що кут між прямими схрещуються також не залежатиме від вибору точки M . Тому в якості точки М можна взяти будь-яку точку, що належить одній з прямих, що схрещуються.

Наведемо ілюстрацію визначення кута між прямими, що схрещуються.

Знаходження кута між прямими, що схрещуються.

Так як кут між схрещуються прямими визначається через кут між прямими, що перетинаються, то перебування кута між схрещуються прямими зводиться до знаходження кута між відповідними перетинаються прямими в тривимірному просторі.

Безсумнівно, знаходження кута між схрещуються прямими підходять методи, вивчені під час уроків геометрії середній школі. Тобто, виконавши необхідні побудови, можна пов'язати шуканий кут з будь-яким відомим з умови кутом, ґрунтуючись на рівності чи подобі фігур, у деяких випадках допоможе теорема косінусів, а іноді до результату призводить визначення синуса, косинуса та тангенсу кутапрямокутний трикутник.

Однак дуже зручно вирішувати задачу знаходження кута між прямими методом координат, що схрещуються. Саме його й розглянемо.

Нехай у тривимірному просторі запроваджено Oxyz (щоправда, у багатьох завданнях її доводиться вводити самостійно).

Поставимо собі завдання: знайти кут між схрещуються прямими a і b , яким відповідають у прямокутної системі координат Oxyz деякі рівняння прямий у просторі .

Вирішимо її.

Візьмемо довільну точку тривимірного простору М і вважатимемо, що через неї проходять прямі a 1 і b 1 паралельні схрещується прямим a і b відповідно. Тоді шуканий кут між схрещуючими прямими a і b дорівнює куту між прямими, що перетинаються, a 1 і b 1 за визначенням.

Таким чином, нам залишилося знайти кут між прямими, що перетинаються, a 1 і b 1 . Щоб застосувати формулу для знаходження кута між двома прямими, що перетинаються, в просторі нам потрібно знати координати напрямних векторів прямих a 1 і b 1 .

Як ми їх можемо отримати? А дуже просто. Визначення напрямного вектора прямої дозволяє стверджувати, що безлічі напрямних векторів паралельних прямих збігаються. Отже, як напрямні вектори прямих a 1 і b 1 можна прийняти напрямні вектори і прямих a та b відповідно.

Отже, кут між двома схрещуючими прямими a і b обчислюється за формулою
, де і - Спрямовують вектори прямих a і b відповідно.

Формула для знаходження косинуса кута між прямими, що схрещуються. a і b має вигляд .

Дозволяє знайти синус кута між прямими схрещуються, якщо відомий косинус: .

Залишилося розібрати приклади.

приклад.

Знайдіть кут між схрещувальними прямими a і b , які визначені у прямокутній системі координат Oxyz рівняннями і .

Рішення.

Канонічні рівняння прямої у просторі дозволяють відразу визначити координати напрямного вектор цієї прямої – їх дають числа у знаменниках дробів, тобто, . Параметричні рівняння прямої у просторі також дають можливість відразу записати координати напрямного вектора – вони рівні коефіцієнтам перед параметром, тобто, - напрямний вектор прямий . Таким чином, ми маємо всі необхідні дані для застосування формули, за якою обчислюється кут між схрещуються прямими:

Відповідь:

Кут між заданими схрещуються прямими дорівнює.

приклад.

Знайдіть синус і косинус кута між прямими, що схрещуються, на яких лежать ребра AD і BC піраміди АВСD , якщо відомі координати її вершин: .

Рішення.

Напрямними векторами прямих AD і BC, що схрещуються, є вектори і . Обчислимо їх координати як різницю відповідних координат точок кінця та початку вектора:

За формулою ми можемо обчислити косинус кута між зазначеними прямими, що схрещуються:

Тепер обчислимо синус кута між прямими, що схрещуються:

Відповідь:

У висновку розглянемо розв'язання задачі, в якій потрібно відшукати кут між прямими, що схрещуються, а прямокутну систему координат доводиться вводити самостійно.

приклад.

Дано прямокутний паралелепіпед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , у якого АВ=3 , АD=2 та AA 1 =7 одиниць. Точка E лежить на ребрі АА 1 і ділить його щодо 5 до 2 рахуючи від точки А . Знайдіть кут між прямими ВЕ і А1С, що схрещуються.

Рішення.

Так як ребра прямокутного паралелепіпеда при одній вершині взаємно перпендикулярні, то зручно ввести прямокутну систему координат, і визначити кут між зазначеними прямими методом координат, що схрещуються, через кут між напрямними векторами цих прямих.

Введемо прямокутну систему координат Oxyz наступним чином: нехай початок координат збігається з вершиною А, вісь Ox збігається з прямою АD, вісь Oy - з прямою АВ, а вісь Oz - з прямою АА1.

Тоді точка має координати , точка Е - (при необхідності дивіться статтю ), точка А 1 - , а точка С - . За координатами цих точок ми можемо обчислити координати векторів та . Маємо , .

Залишилося застосувати формулу для знаходження кута між схрещувальними прямими координатами напрямних векторів:

Відповідь:

Список литературы.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Кисельова Л.С., Позняк Е.Г. Геометрія. Підручник для 10–11 класів середньої школи.
• Погорєлов А.В., Геометрія. Підручник для 7-11 класів загальноосвітніх закладів.
• Бугров Я.С., Микільський С.М. Вища математика. Том перший: елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії.
• Ільїн В.А., Позняк Е.Г. Аналітична геометрія.

Лекція: Пересічні, паралельні і прямі, що схрещуються; перпендикулярність прямих

Пересічні прямі

Якщо на площині є кілька прямих, то вони рано чи пізно перетнуться довільно, або під прямим кутом, або будуть паралельними. Давайте розберемося з кожним випадком.

Пересічний можна назвати ті прямі, у яких буде хоча б одна точка перетину.

Ви запитаєте, чому хоча б одна, не може ж пряма перетнути іншу пряму дві чи три рази. Ви маєте рацію! Але прямі можуть повністю збігтися один з одним. У такому разі загальних точок буде безліч.

Паралельність

Паралельнимиможна назвати ті прямі, які ніколи не перетнуться, навіть на нескінченності.

Іншими словами, паралельні – це ті, які не мають жодної спільної точки. Дане визначення справедливе тільки в тому випадку, якщо прямі знаходяться в одній площині, якщо ж вони не мають спільних точок, перебуваючи в різних площинах, то вони вважаються такими, що схрещуються.

Приклади паралельних прямих у житті: два протилежні краї екрану монітора, лінії в зошитах, а також багато інших речей, що мають квадратну, прямокутну та інші форми.

Коли хочуть показати листі, що одна пряма паралельна другий, використовують наступне позначення a||b. Цей запис говорить, що пряма а паралельна прямий b.

При вивченні цієї теми важливо зрозуміти ще одне твердження: через деяку точку на площині, яка не належить цій прямій, можна провести єдину паралельну пряму. Але зверніть увагу, знову виправлення – на площині. Якщо розглядати тривимірний простір, то можна провести безліч прямих, які не будуть перетинатися, але будуть схрещуватися.

Твердження, яке було описано вище, називається аксіомою про паралельність прямих.

Перпендикулярність

Прямі можна назвати лише у тому випадку перпендикулярнимиякщо вони перетинаються під кутом, рівним 90 градусів.

У просторі через деяку точку на прямій можна провести безліч перпендикулярних прямих. Однак, якщо йдеться про площину, то через одну точку на прямій можна провести єдину перпендикулярну пряму.

Схрещені прямі. Сікуча

Якщо деякі прямі перетинаються у певній точці під довільним кутом, їх можна назвати схрещуються.

У будь-яких прямих, що схрещуються, є вертикальні кути і суміжні.

Якщо у кутів, які утворені двома прямими, що схрещуються, одна сторона загальна, то вони називаються суміжними:

Суміжні кути у сумі дають 180 градусів.

Прямі, що схрещуються. Великий Енциклопедичний словник

схрещувальні прямі- Прямі в просторі, що не лежать в одній площині. * * * Прямі, що схрещуються Прямі схрещуються Прямі, прямі в просторі, що не лежать в одній площині … Енциклопедичний словник

Схрещувальні прямі- Прямі в просторі, що не лежать в одній площині. Через С. п. можна провести паралельні площини, відстань між якими називається відстанню між С. п. Вона дорівнює найкоротшій відстані між точками С. п. Велика радянська енциклопедія

Прямі, що схрещуються.- Прямі в просторі, що не лежать в одній площині. Кутом між С. п. зв. будь-який з кутів між двома паралельними їм прямими, що проходять через довільну точку простору. Якщо а і b напрямні вектори С. п., то косинус кута між С. п. Математична енциклопедія

Прямі, що схрещуються.- Прямі в просторі, що не лежать в одній площині ... Природознавство. Енциклопедичний словник

Паралельні прямі- Зміст 1 В Євклідовій геометрії 1.1 Властивості 2 В геометрії Лобачевського … Вікіпедія

Ультрапаралельні прямі- Зміст 1 В евклідовій геометрії 1.1 Властивості 2 В геометрії Лобачевського 3 Див.

РИМАНА ГЕОМЕТРІЯ- е л і п т і ч е с к а я г е про метр і, одна з неевклідових геометрій, тобто геометрич, теорія, заснована на аксіомах, вимоги до рих відмінні від вимог аксіом евклідової геометрії . На відміну від евклідової геометрії в Р. р. Математична енциклопедія