При вирішенні геометричних задач в просторі часто виникає проблема визначення відстані між площиною і точкою. У деяких випадках це необхідно для комплексного вирішення. Цю величину можна обчислити, якщо знайти проекцію на площину точки. Розглянемо це питання докладніше в статті.

Рівняння для опису площині

Перед тим як перейти до розгляду питання щодо того, як знайти проекцію точки на площину, слід познайомитися з видами рівнянь, які задають останню в тривимірному просторі. Детальніше - нижче.

Рівнянням загального вигляду, що визначає всі крапки, які належать даній площині, є наступне:

A * x + B * y + C * z + D \u003d 0.

Перші три коефіцієнти - це координати вектора, який називається напрямних для площині. Він збігається з нормаллю для неї, тобто є перпендикулярним. Цей вектор позначають n¯ (A; B; C). Вільний коефіцієнт D однозначно визначається зі знання координат будь-якої точки, що належить площині.

Поняття про проекції точки і її обчислення

Припустимо, що задана деяка точка P (x 1; y 1; z 1) і площину. Вона визначена рівнянням в загальному вигляді. Якщо провести перпендикулярну пряму з P до заданої площини, то очевидно, що вона перетне останню в одній певній точці Q (x 2; y 2; z 2). Q називається проекцією P на розглянуту площину. Довжина відрізка PQ називається відстанню від точки P до площини. Таким чином, сам PQ є перпендикулярним площині.

Як можна знайти координати проекції точки на площину? Зробити це не складно. Для початку слід скласти рівняння прямої, яка буде перпендикулярна площині. Їй буде належати точка P. Оскільки вектор нормалі n¯ (A; B; C) цієї прямої повинен бути паралельний, то рівняння для неї у відповідній формі запишеться так:

(X; y; z) \u003d (x 1; y 1; z 1) + λ * (A; B; C).

Де λ - дійсне число, Яке прийнято називати параметром рівняння. Змінюючи його, можна отримати будь-яку точку прямої.

Після того як записано векторне рівняння для перпендикулярної площині лінії, необхідно знайти спільну точку перетину для розглянутих геометричних об'єктів. Її координати і будуть проекцією P. Оскільки вони повинні задовольняти обом равенствам (для прямої і для площини), то задача зводиться до вирішення відповідної системи лінійних рівнянь.

Поняття проекції часто використовується при вивченні креслень. На них зображуються бічні і горизонтальні проекції деталі на площині zy, zx, і xy.

Обчислення відстані від площини до точки

Як вище було зазначено, знання координат проекції на площину точки дозволяє визначити дистанцію між ними. Використовуючи позначення, введені в попередньому пункті, отримуємо, що шукане відстань дорівнює довжині відрізка PQ. Для його обчислення досить знайти координати вектора PQ¯, а потім розрахувати його модуль за відомою формулою. Кінцеве вираз для d відстані між P точкою і площиною набирає вигляду:

d \u003d | PQ¯ | \u003d √ ((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).

Отримане значення d представлено в одиницях, в яких задається поточна декартова координатна система xyz.

приклад завдання

Припустимо, є точка N (0; -2; 3) і площину, яка описується наступним рівнянням:

Слід знайти точки проекцію на площину і обчислити між ними відстань.

В першу чергу складемо рівняння прямої, яка перетинає площину під кутом 90 o. маємо:

(X; y; z) \u003d (0; -2; 3) + λ * (2; -1; 1).

Записуючи це рівність в явному вигляді, приходимо до наступної системи рівнянь:

Підставляючи значення координат з перших трьох рівностей в четверте, отримаємо значення λ, що визначає координати загальної точки прямої і площини:

2 * (2 * λ) - (-2 - λ) + λ + 3 + 4 \u003d 0 \u003d\u003e

6 * λ + 9 \u003d 0 \u003d\u003e

λ \u003d 9/6 \u003d 3/2 \u003d 1,5.

Підставами знайдений параметр в і знайдемо координати проекції вихідної точки на площину:

(X; y; z) \u003d (0; -2; 3) + 1,5 * (2; -1; 1) \u003d (3; -3,5; 4,5).

Для обчислення дистанції між заданими в умові завдання геометричними об'єктами застосуємо формулу для d:

d \u003d √ ((3 - 0) 2 + (-3,5 + 2) 2 + (4,5 - 3) 2) \u003d 3,674.

У цьому завданню ми показали, як знаходити проекцію точки на довільну площину і як обчислювати між ними відстань.

Інтегрування - це одна з основних операцій в Матаналіз. Таблиці відомих первісних можуть бути корисні, але зараз вони, після появи систем комп'ютерної алгебри, втрачають свою значущість. Нижче знаходиться список найбільше зустрічаються первісних.

Таблиця основних інтегралів

Інший, компактний варіант

Таблиця інтегралів від тригонометричних функцій

Від раціональних функцій

Від ірраціональних функцій

Інтеграли від трансцендентних функцій

"C" - довільна константа інтегрування, яка визначається, якщо відомо значення інтеграла в будь-якій точці. Кожна функція має нескінченну кількість первісних.

У більшості школярів і студентів бувають проблеми з обчисленням інтегралів. На цій сторінці зібрані таблиці інтегралів від тригонометричних, раціональних, ірраціональних і трансцендентних функцій, які допоможуть у вирішенні. Ще вам допоможе таблиця похідних.

Відео - як знаходити інтеграли

Якщо вам не зовсім зрозуміла ця тема, подивіться відео, в якому все детально пояснюється.

\u003e\u003e Методи інтегрування

Основні методи інтегрування

Визначення інтеграла, певний і невизначений інтеграл, таблиця інтегралів, формула Ньютона-Лейбніца, інтегрування по частинах, приклади обчислення інтегралів.

невизначений інтеграл

Функція F (x), диференційована в даному проміжку X, називається первісною для функції f (x), або інтегралом від f (x), якщо для будь-якого x ∈X справедливо рівність:

F "(x) \u003d f (x). (8.1)

Знаходження всіх первісних для даної функції називається її інтеграцією. Невизначеним інтегралом функціїf (x) на даному проміжку Х називається безліч всіх первісних функцій для функції f (x); позначення -

Якщо F (x) - якась первобразная для функції f (x), то ∫ f (x) dx \u003d F (x) + C, (8.2)

де С- довільна постійна.

Таблиця інтегралів

Безпосередньо з визначення отримуємо основні властивості не певного інтеграла і список табличних інтегралів:

1) d∫f (x) dx \u003d f (x)

2) ∫df (x) \u003d f (x) + C

3) ∫af (x) dx \u003d a∫f (x) dx (a \u003d const)

4) ∫ (f (x) + g (x)) dx \u003d ∫f (x) dx + ∫g (x) dx

Список табличних інтегралів

1. ∫x m dx \u003d x m + 1 / (m + 1) + C; (M ≠ -1)

3.∫a x dx \u003d a x / ln a + C (a\u003e 0, a ≠ 1)

4.∫e x dx \u003d e x + C

5.∫sin x dx \u003d cosx + C

6.∫cos x dx \u003d - sin x + C

7. \u003d arctg x + C

8. \u003d arcsin x + C

10. \u003d - ctg x + C

заміна змінної

Для інтегрування багатьох функцій застосовують метод заміни змінної або підстановки,дозволяє приводити інтеграли до табличній формі.

Якщо функція f (z) неперервна на [α, β], функція z \u003d g (x) має на безперервну похідну і α ≤ g (x) ≤ β, то

∫ f (g (x)) g "(x) dx \u003d ∫f (z) dz, (8.3)

причому після інтегрування в правій частині слід зробити підстановку z \u003d g (x).

Для доказу досить записати вихідний інтеграл у вигляді:

∫ f (g (x)) g "(x) dx \u003d ∫ f (g (x)) dg (x).

наприклад:

1)

2) .

Метод інтегрування частинами

Нехай u \u003d f (x) і v \u003d g (x) - функції, що мають безперервні. Тоді, по твору,

d (uv)) \u003d udv + vdu або udv \u003d d (uv) - vdu.

Для вираження d (uv) первісної, очевидно, буде uv, тому має місце формула:

∫ udv \u003d uv - ∫ vdu (8.4.)

Ця формула виражає правило інтегрування по частинах. Воно призводить інтегрування виразу udv \u003d uv "dx до інтегрування виразу vdu \u003d vu" dx.

Нехай, наприклад, потрібно знайти ∫xcosx dx. Покладемо u \u003d x, dv \u003d cosxdx, так що du \u003d dx, v \u003d sinx. тоді

∫xcosxdx \u003d ∫x d (sin x) \u003d x sin x - ∫sin x dx \u003d x sin x + cosx + C.

Правило інтегрування частинами має більш обмежену сферу застосування, ніж заміна змінної. Але є цілі класи інтегралів, наприклад,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax та інші, які обчислюються саме за допомогою інтегрування частинами.

Визначений інтеграл

Поняття визначеного інтеграла вводиться наступним чином. Нехай на відрізку визначена функція f (x). Розіб'ємо відрізок [a, b] на n частин точками a \u003d x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i \u003d x i - x i-1. Сума виду f (ξ i) Δ x i називається інтегральної сумою, А її межа при λ \u003d maxΔx i → 0, якщо він існує і кінцевий, називається певним інтеграломфункції f (x) від a до b і позначається:

F (ξ i) Δx i (8.5).

Функція f (x) в цьому випадку називається інтегрованою на відрізку, Числа a і b носять назву нижнього і верхнього меж інтеграла.

Для певного інтеграла справедливі такі властивості:

4), (k \u003d const, k∈R);

5)

6)

7) f (ξ) (b-a) (ξ∈).

Остання властивість називається теоремою про середнє значення.

Нехай f (x) неперервна на. Тоді на цьому відрізку існує невизначений інтеграл

∫f (x) dx \u003d F (x) + C

і має місце формула Ньютона-Лейбніца, Cвязивающая певний інтеграл з невизначеним:

F (b) - F (a). (8.6)

Геометрична інтерпретація: певний інтеграл являє собою площу криволінійної трапеції, обмеженої зверху кривою y \u003d f (x), прямими x \u003d a і x \u003d b і відрізком осі Ox.

невласні інтеграли

Інтеграли з нескінченними межами і інтеграли від розривних (необмежених) функцій називаються невласними. Невласні інтеграли I роду - це інтеграли на нескінченному проміжку, що визначаються наступним чином:

(8.7)

Якщо ця межа існує і кінцевий, то називається сходящимся невласних інтегралом від f (x) на інтервалі [а, + ∞), а функцію f (x) називають інтегрованою на нескінченному проміжку[А, + ∞). В іншому випадку про інтеграл кажуть, що він не існує або розходиться.

Аналогічно визначаються невласні інтеграли на інтервалах (-∞, b] і (-∞, + ∞):

Визначимо поняття інтеграла від необмеженої функції. Якщо f (x) неперервна для всіх значень x відрізка, крім точки с, в якій f (x) має нескінченний розрив, то невласних інтегралом II роду від f (x) в межах від a до b називається сума:

якщо ці межі існують і кінцеві. позначення:

Приклади обчислення інтегралів

Приклад 3.30. Обчислити ∫dx / (x + 2).

Рішення. Позначимо t \u003d x + 2, тоді dx \u003d dt, ∫dx / (x + 2) \u003d ∫dt / t \u003d ln | t | + C \u003d ln | x + 2 | + C.

приклад 3.31. Знайти ∫ tgxdx.

Рішення.∫ tgxdx \u003d ∫sinx / cosxdx \u003d - ∫dcosx / cosx. Нехай t \u003d cosx, тоді ∫ tgxdx \u003d -∫ dt / t \u003d - ln | t | + C \u003d -ln | cosx | + C.

приклад3.32 . Знайти ∫dx / sinx

Рішення.

приклад3.33. Знайти.

Рішення. =

.

приклад3.34 . Знайти ∫arctgxdx.

Рішення. Інтегруємо частинами. Позначимо u \u003d arctgx, dv \u003d dx. Тоді du \u003d dx / (x 2 +1), v \u003d x, звідки ∫arctgxdx \u003d xarctgx - ∫ xdx / (x 2 +1) \u003d xarctgx + 1/2 ln (x 2 +1) + C; так як
∫xdx / (x 2 +1) \u003d 1/2 ∫d (x 2 +1) / (x 2 +1) \u003d 1/2 ln (x 2 +1) + C.

приклад3.35 . Обчислити ∫lnxdx.

Рішення. Застосовуючи формулу інтегрування частинами, отримаємо:
u \u003d lnx, dv \u003d dx, du \u003d 1 / x dx, v \u003d x. Тоді ∫lnxdx \u003d xlnx - ∫x 1 / x dx \u003d
\u003d Xlnx - ∫dx + C \u003d xlnx - x + C.

приклад3.36 . Обчислити ∫e x sinxdx.

Рішення. Позначимо u \u003d e x, dv \u003d sinxdx, тоді du \u003d e x dx, v \u003d ∫sinxdx \u003d - cosx → ∫ e x sinxdx \u003d - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Інтеграл ∫e x cosxdx також інтегруємо частинами: u \u003d e x, dv \u003d cosxdx, du \u003d e x dx, v \u003d sinx. маємо:
∫ e x cosxdx \u003d e x sinx - ∫ e x sinxdx. Отримали співвідношення ∫e x sinxdx \u003d - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, звідки 2∫e x sinx dx \u003d - e x cosx + e x sinx + С.

приклад 3.37. Обчислити J \u003d ∫cos (lnx) dx / x.

Рішення.Так як dx / x \u003d dlnx, то J \u003d ∫cos (lnx) d (lnx). Замінюючи lnx через t, приходимо до табличного інтегралу J \u003d ∫ costdt \u003d sint + C \u003d sin (lnx) + C.

приклад 3.38 . Обчислити J \u003d.

Рішення. З огляду на, що \u003d d (lnx), виробляємо підстановку lnx \u003d t. Тоді J \u003d .

Первісна функція і невизначений інтеграл

Факт 1. Інтегрування - дія, зворотне диференціювання, а саме, відновлення функції по відомій похідною цієї функції. Відновлена \u200b\u200bтаким чином функція F(x) називається первообразной для функції f(x).

Визначення 1. Функція F(x f(x) На деякому проміжку X, Якщо для всіх значень x з цього проміжку виконується рівність F "(x)=f(x), Тобто дана функція f(x) Є похідною від первісної функції F(x). .

Наприклад, функція F(x) \u003d Sin x є первісною для функції f(x) \u003d Cos x на всій числовій прямій, так як при будь-якому значенні ікси (sin x) "\u003d (Cos x) .

Визначення 2. невизначеність інтегралом функції f(x) Називається сукупність всіх її первісних. При цьому використовується запис

∫

f(x)dx

,

де знак ∫ називається знаком інтеграла, функція f(x) - підінтегральної функцією, а f(x)dx - підінтегральна виразом.

Таким чином, якщо F(x) - якась первісна для f(x), То

∫

f(x)dx = F(x) +C

де C - довільна постійна (константа).

Для розуміння сенсу безлічі первісних функції як невизначеного інтеграла доречна наступна аналогія. Нехай є двері (традиційна дерев'яна двері). Її функція - "бути дверима". А з чого зроблена двері? Із дерева. Значить, безліччю первісних підінтегральної функції "бути дверима", тобто її невизначеним інтегралом, є функція "бути деревом + С", де С - константа, яка в даному контексті може означати, наприклад, породу дерева. Подібно до того, як двері зроблена з дерева за допомогою деяких інструментів, похідна функції "зроблена" з первісної функції за допомогою формули, яку ми дізналися, вивчаючи похідну .

Тоді таблиця функцій поширених предметів і відповідних їм первісних ( "бути дверима" - "бути деревом", "бути ложкою" - "бути металом" і ін.) Аналогічна таблиці основних невизначених інтегралів, яка буде приведена трохи нижче. У таблиці невизначених інтегралів перераховуються поширені функції із зазначенням первісних, з яких "зроблені" ці функції. У частині завдань на знаходження невизначеного інтеграла дано такі підінтегральної функції, які без особливих услілій можуть бути проінтегрувати безпосередньо, тобто по таблиці невизначених інтегралів. У завданнях складніше підінтегральної функції потрібно попередньо перетворити так, щоб можна було використовувати табличні інтеграли.

Факт 2. Відновлюючи функцію як первісну, ми повинні враховувати довільну постійну (константу) C, А щоб не писати список первообразной з різними константами від 1 до нескінченності, потрібно записувати безліч первісних з довільною константою C, Наприклад, так: 5 x³ + С. Отже, довільна постійна (константа) входить у вираз первісної, оскільки первісна може бути функцією, наприклад, 5 x³ + 4 або 5 x³ + 3 і при диференціюванні 4 або 3, або будь-яка інша константа звертаються в нуль.

Поставимо задачу інтегрування: для даної функції f(x) знайти таку функцію F(x), похідна якої дорівнює f(x).

Приклад 1.Знайти безліч первісних функції

Рішення. Для даної функції первообразной є функція

функція F(x) Називається первісною для функції f(x), Якщо похідна F(x) дорівнює f(x), Або, що одне і те ж, диференціал F(x) дорівнює f(x) dx, Тобто

(2)

Отже, функція - первісна для функції. Однак вона не є єдиною первісною для. Ними служать також функції

де З - довільна постійна. У цьому можна переконатися дифференцированием.

Таким чином, якщо функція має одна первісна, то для неї існує безліч первісних, що відрізняються на постійний доданок. Всі Первісні для функції записуються в наведеному вище вигляді. Це випливає з наступної теореми.

Теорема (формальний виклад факту 2).якщо F(x) - первісна для функції f(x) На деякому проміжку Х, То будь-яка інша первісна для f(x) На тому самому проміжку може бути представлена \u200b\u200bу вигляді F(x) + C, де З- довільна постійна.

У наступному прикладі вже звертаємося до таблиці інтегралів, яка буде дана в параграфі 3, після властивостей невизначеного інтеграла. Робимо це до ознайомлення з усією таблицею, щоб була зрозуміла суть вищевикладеного. А після таблиці і властивостей будемо користуватися ними при інтегруванні у всій повністю.

Приклад 2.Знайти безлічі первісних функцій:

Рішення. Знаходимо безлічі первісних функцій, з яких "зроблені" дані функції. При згадці формул з таблиці інтегралів поки просто прийміть, що там є такі формули, а повністю саму таблицю невизначених інтегралів ми вивчимо трохи далі.

1) Застосовуючи формулу (7) з таблиці інтегралів при n \u003d 3, отримаємо

2) Використовуючи формулу (10) з таблиці інтегралів при n \u003d 1/3, маємо

3) Так як

то за формулою (7) при n \u003d -1/4 знайдемо

Під знаком інтеграла пишуть не саму функцію f , А її твір на диференціал dx . Це робиться насамперед для того, щоб вказати, з якої змінної шукається первісна. наприклад,

, ;

тут в обох випадках подинтегральная функція дорівнює, але її невизначені інтеграли в розглянутих випадках виявляються різними. У першому випадку ця функція розглядається як функція від змінної x , А в другому - як функція від z .

Процес знаходження невизначеного інтеграла функції називається інтегруванням цієї функції.

Геометричний сенс невизначеного інтеграла

Нехай потрібно знайти криву y \u003d F (x) і ми вже знаємо, що тангенс кута нахилу дотичної в кожній її точці є задана функція f (x) абсциси цієї точки.

Згідно геометричному змістом похідної, тангенс кута нахилу дотичної в цій точці кривої y \u003d F (x) дорівнює значенню похідної F "(x). Значить, потрібно знайти таку функцію F (x), для якої F "(x) \u003d f (x). Необхідна в завданні функція F (x) є первісною від f (x). Умові завдання задовольняє не одна крива, а сімейство кривих. y \u003d F (x) - одна з таких кривих, а будь-яка інша крива може бути отримана з неї паралельним перенесенням уздовж осі Oy.

Назвемо графік первісної функції від f (x) інтегральної кривої. якщо F "(x) \u003d f (x), То графік функції y \u003d F (x) є інтегральна крива.

Факт 3. Невизначений інтеграл геометрично представлений семества всіх інтегральних кривих , Як на малюнку нижче. Відстань кожній кривій від початку координат визначається довільної сталої (константою) інтегрування C.

Властивості невизначеного інтеграла

Факт 4. Теорема 1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції, а його диференціал - підінтегральна висловом.

Факт 5. Теорема 2. Невизначений інтеграл від диференціала функції f(x) Дорівнює функції f(x) З точністю до постійного доданка , Тобто

(3)

Теореми 1 і 2 показують, що диференціювання та інтегрування є взаємно-зворотними операціями.

Факт 6. Теорема 3. Постійний множник в подинтегрального вираженні можна виносити за знак невизначеного інтеграла , Тобто

Безпосереднє інтегрування з використанням таблиці первісних (таблиці невизначених інтегралів)

Таблиця первісних

Знайти первісну за відомим диференціалу функції ми можемо в тому випадку, якщо використовуємо властивості невизначеного інтеграла. З таблиці основних елементарних функцій, використовуючи рівності ∫ d F (x) \u003d ∫ F "(x) dx \u003d ∫ f (x) dx \u003d F (x) + C і ∫ k · f (x) dx \u003d k · ∫ f (x) dx можна скласти таблицю первісних.

Запишемо таблицю похідних у вигляді диференціалів.

Постійна y \u003d C C "\u003d 0 Степенева функція y \u003d x p. (X p) "\u003d p · x p - 1	Постійна y \u003d C d (C) \u003d 0 · d x Статечна фунция y \u003d x p. d (x p) \u003d p · x p - 1 · d x
(A x) "\u003d a x · ln a	Показова функція y \u003d a x. d (a x) \u003d a x · ln α · d x Зокрема при a \u003d e маємо y \u003d e x d (e x) \u003d e x · d x
log a x "\u003d 1 x · ln a	Логарифмічні функия y \u003d log a x. d (log a x) \u003d d x x · ln a Зокрема при a \u003d e маємо y \u003d ln x d (ln x) \u003d d x x
Тригонометричні функції. sin x "\u003d cos x (cos x)" \u003d - sin x (t g x) "\u003d 1 c o s 2 x (c t g x)" \u003d - 1 sin 2 x	Тригонометричні функції. d sin x \u003d cos x · d x d (cos x) \u003d - sin x · d x d (t g x) \u003d d x c o s 2 x d (c t g x) \u003d - d x sin 2 x
a r c sin x "\u003d 1 + 1 - x 2 a r c cos x" \u003d - 1 + 1 - x 2 a r c t g x "\u003d 1 + 1 + x 2 a r c c t g x" \u003d - 1 + 1 + x 2	Зворотні тригонометричні фунции. d a r c sin x \u003d d x 1 - x 2 d a r c cos x \u003d - d x 1 - x 2 d a r c t g x \u003d d x 1 + x 2 d a r c c t g x \u003d - d x 1 + x 2

Проілюструємо описане вище прикладом. Знайдемо невизначений інтеграл статечної функції f (x) \u003d x p.

Згідно таблиці диференціалів d (x p) \u003d p · x p - 1 · d x. За властивостями невизначеного інтеграла маємо ∫ d (x p) \u003d ∫ p · x p - 1 · d x \u003d p · ∫ x p - 1 · d x \u003d x p + C. Отже, ∫ xp - 1 · dx \u003d xpp + C p, p ≠ 0 .Второй варіант запису виглядає наступним чином: ∫ xp · dx \u003d xp + 1 p + 1 + C p + 1 \u003d xp + 1 p + 1 + C 1, p ≠ - 1.

Приймемо рівним - 1, знайдемо безліч первісних статечної функції f (x) \u003d x p: ∫ x p · d x \u003d ∫ x - 1 · d x \u003d ∫ d x x.

Тепер нам знадобиться таблиця диференціалів для натурального логарифма d (ln x) \u003d d x x, x\u003e 0, отже ∫ d (ln x) \u003d ∫ d x x \u003d ln x. Тому ∫ d x x \u003d ln x, x\u003e 0.

Таблиця первісних (невизначених інтегралів)

У лівому стовпчику таблиці розміщені формули, які носять назву основних первісних. У правій колонці формули не є основними, але можуть використовуватися при знаходженні невизначених інтегралів. Їх можна перевірити диференціюванням.

безпосереднє інтегрування

Для виконання безпосереднього інтегрування ми будемо використовувати таблиці первісних, правила інтегрування ∫ f (k · x + b) dx \u003d 1 k · F (k · x + b) + C, а також властивості невизначених інтегралів ∫ k · f (x) dx \u003d k · ∫ f (x) dx ∫ (f (x) ± g (x)) dx \u003d ∫ f (x) dx ± ∫ g (x) dx

Таблицю основних інтегралів та властивості інтегралів можна використовувати тільки після легкого перетворення подинтегрального вираження.

приклад 1

Знайдемо інтеграл ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x

Рішення

Виносимо з-під знака інтеграла коефіцієнт 3:

∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x \u003d 3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x

За формулами тригонометрії перетворимо підінтегральної функції:

3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 dx \u003d 3 ∫ sin x 2 2 + 2 sin x 2 cos x 2 + cos x 2 2 dx \u003d \u003d 3 ∫ 1 + 2 sin x 2 cos x 2 dx \u003d 3 ∫ 1 + sin xdx

Так як інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів, то
3 ∫ 1 + sin x d x \u003d 3 ∫ 1 · d x + ∫ sin x d x

Використовуємо дані з таблиці первісних: 3 ∫ 1 · dx + ∫ sin xdx \u003d 3 (1 · x + C 1 - cos x + C 2) \u003d \u003d п у с т ь 3 З 1 + З 2 \u003d З \u003d 3 x - 3 cos x + C

відповідь: ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x \u003d 3 x - 3 cos x + C.

приклад 2

Необхідно знайти безліч первісних функції f (x) \u003d 2 3 4 x - 7.

Рішення

Використовуємо таблицю первісних для показової функції: ∫ a x · d x \u003d a x ln a + C. Це означає, що ∫ 2 x · d x \u003d 2 x ln 2 + C.

Використовуємо правило інтегрування ∫ f (k · x + b) d x \u003d 1 k · F (k · x + b) + C.

Отримуємо ∫ 2 3 4 x - 7 · d x \u003d середньому 1 3 4 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C \u003d 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C.

Відповідь: f (x) \u003d 2 3 4 x - 7 \u003d 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C

Використовуючи таблицю первісних, властивості і правило інтегрування, ми можемо знайти масу невизначених інтегралів. Це можливо в тих випадках, коли можна перетворити підінтегральної функції.

Для знаходження інтеграла від функції логарифма, функції тангенса і котангенс і ряду інших застосовуються спеціальні методи, які ми розглянемо в розділі «Основні методи інтегрування».

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter