З практичної точки зору найбільший інтерес представляє використання похідної для знаходження найбільшого і найменшого значення функції. З чим це пов'язано? Максимізація прибутку, мінімізація витрат, визначення оптимального завантаження устаткування ... Іншими словами, у багатьох сферах життя доводиться вирішувати завдання оптимізації будь-яких параметрів. А це і є завдання на знаходження найбільшого і найменшого значення функції.

Слід зазначити, що найбільше і найменше значення функції зазвичай шукається на деякому інтервалі X, який є або всією областю визначення функції або частиною області визначення. Сам інтервал X може бути відрізком, відкритим інтервалом , Нескінченним проміжком.

У цій статті ми будемо говорити про знаходження найбільшого і найменшого значень явно заданої функції однієї змінної y = f (x).

Навігація по сторінці.

Найбільше і найменше значення функції - визначення, ілюстрації.

Коротко зупинимося на основних визначеннях.

Найбільшим значенням функції , Що для будь-якого справедливо нерівність.

Найменшим значенням функції y = f (x) на проміжку X називають таке значення , Що для будь-якого справедливо нерівність.

Ці визначення інтуїтивно зрозумілі: найбільше (найменше) значення функції - це найбільше (маленьке) прийняте значення на розглянутому інтервалі при абсциссе.

стаціонарні точки- це значення аргументу, при яких похідна функції звертається в нуль.

Для чого нам стаціонарні точки при знаходженні найбільшого і найменшого значень? Відповідь на це питання дає теорема Ферма. З цієї теореми випливає, що якщо диференційована функція має екстремум (локальний мінімум або локальний максимум) в деякій точці, то ця точка є стаціонарною. Таким чином, функція часто приймає своє найбільше (найменше) значення на проміжку X в одній із стаціонарних точок з цього проміжку.

Також часто найбільше і найменше значення функція може приймати в точках, в яких не існує перша похідна цієї функції, а сама функція визначена.

Відразу відповімо на один з найпоширеніших питань по цій темі: "Чи завжди можна визначити найбільше (найменше) значення функції"? Ні не завжди. Іноді кордону проміжку X збігаються з межами області визначення функції або інтервал X нескінченний. А деякі функції на нескінченності і на кордонах області визначення можуть приймати як нескінченно великі так і нескінченно малі значення. У цих випадках нічого не можна сказати про найбільшому і найменшому значенні функції.

Для наочності дамо графічну ілюстрацію. Подивіться на малюнки - і багато що проясниться.

на відрізку

На першому малюнку функція приймає найбільше (max y) і найменше (min y) значення в стаціонарних точках, що знаходяться всередині відрізка [-6; 6].

Розглянемо випадок, зображений на другому малюнку. Змінимо відрізок на. У цьому прикладі найменше значення функції досягається в стаціонарній точці, а найбільше - в точці з абсцисою, відповідної правій межі інтервалу.

На малюнку №3 граничні точки відрізка [-3; 2] є абсциссами точок, відповідних найбільшому і найменшому значенню функції.

На відкритому інтервалі

На четвертому малюнку функція приймає найбільше (max y) і найменше (min y) значення в стаціонарних точках, що знаходяться всередині відкритого інтервалу (-6; 6).

На інтервалі, про найбільшому значенні ніяких висновків зробити не можна.

на нескінченності

У прикладі, представленому на сьомому малюнку, функція приймає найбільше значення (max y) в стаціонарній точці з абсцисою x = 1, а найменше значення (min y) досягається на правій межі інтервалу. На мінус нескінченності значення функції асимптотично наближаються до y = 3.

На інтервалі функція не досягає ні найменшого, ні найбільшого значення. При прагненні до x = 2 праворуч значення функції прагнуть до мінус нескінченності (пряма x = 2 є вертикальною асимптотой), а при прагненні абсциси до плюс нескінченності, значення функції асимптотично наближаються до y = 3. Графічна ілюстрація цього прикладу приведена на малюнку №8.

Алгоритм знаходження найбільшого і найменшого значення неперервної функції на відрізку.

Запишемо алгоритм, що дозволяє знаходити найбільше і найменше значення функції на відрізку.

1. Знаходимо область визначення функції і перевіряємо, чи міститься в ній весь відрізок.
2. Знаходимо всі точки, в яких не існує перша похідна і які містяться в відрізку (зазвичай такі точки встечаются у функцій з аргументом під знаком модуля і у статечних функційз дробно- раціональним показником). Якщо таких точок немає, то переходимо до наступного пункту.
3. Визначаємо всі стаціонарні точки, що потрапляють у відрізок. Для цього, прирівнюємо її до нуля, вирішуємо отримане рівняння і вибираємо відповідні коріння. Якщо стаціонарних точок немає або жодна з них не потрапляє в відрізок, то переходимо до наступного пункту.
4. Обчислюємо значення функції в відібраних стаціонарних точках (якщо такі є), в точках, в яких не існує перша похідна (якщо такі є), а також при x = a і x = b.
5. З отриманих значень функції вибираємо найбільше і найменше - вони і будуть шуканими найбільшим і найменшим значеннями функції відповідно.

Розберемо алгоритм при вирішенні прикладу на знаходження найбільшого і найменшого значення функції на відрізку.

Приклад.

Знайти найбільше і найменше значення функції

• на відрізку;
• на відрізку [-4; -1].

Рішення.

Областю визначення функції є все безліч дійсних чисел, за винятком нуля, тобто. Обидва відрізка потрапляють в область визначення.

Знаходимо похідну функції по:

Очевидно, похідна функції існує в усіх точках відрізків і [-4; -1].

Стаціонарні точки визначимо з рівняння. Єдиним дійсним коренем є x = 2. Ця стаціонарна точка потрапляє в перший відрізок.

Для першого випадку обчислюємо значення функції на кінцях відрізка і в стаціонарній точці, тобто при x = 1, x = 2 і x = 4:

Отже, найбільше значення функції досягається при x = 1, а найменше значення - при x = 2.

Для другого випадку обчислюємо значення функції лише на кінцях відрізка [-4; -1] (так як він не містить жодної стаціонарної точки):

Рішення.

Почнемо з області визначення функції. Квадратний тричлен в знаменнику дробу не повинен звертатися в нуль:

Легко перевірити, що все інтервали з умови задачі належать області визначення функції.

Продифференцируем функцію:

Очевидно, похідна існує на всій області визначення функції.

Знайдемо стаціонарні точки. Похідна звертається в нуль при. Ця стаціонарна точка потрапляє в інтервали (-3; 1] і (-3; 2).

А тепер можна зіставити отримані в кожному пункті результати з графіком функції. Синіми пунктирними лініями позначені асимптоти.

На цьому можна закінчити з перебуванням найбільшого і найменшого значення функції. Алгоритми, розібрані в цій статті, дозволяють отримати результати при мінімумі дій. Однак буває корисно спочатку визначити проміжки зростання і спадання функції і тільки після цього робити висновки про найбільшому і найменшому значенні функції на будь-якому інтервалі. Це дає більш ясну картину і суворе обгрунтування результатів.

На практиці досить часто доводиться використовувати похідну для того, щоб обчислити найбільше і найменше значення функції. Ми виконуємо цю дію тоді, коли з'ясовуємо, як мінімізувати витрати, збільшити прибуток, розрахувати оптимальну навантаження на виробництво та ін., Тобто в тих випадках, коли потрібно визначити оптимальне значення якого-небудь параметра. Щоб вирішити такі завдання вірно, треба добре розуміти, що таке найбільше та найменше значення функції.

Зазвичай ми визначаємо ці значення в рамках деякого інтервалу x, який може в свою чергу відповідати всій області визначення функції або її частини. Це може бути як відрізок [a; b], так і відкритий інтервал (a; b), (a; b], [a; b), нескінченний інтервал (a; b), (a; b], [a; b) або нескінченний проміжок - ∞; a, (- ∞; a], [a; + ∞), (- ∞; + ∞).

У цьому матеріалі ми розповімо, як обчислюється найбільше та найменше значення явно заданої функції з однією змінною y = f (x) y = f (x).

Основні визначення

Почнемо, як завжди, з формулювання основних визначень.

визначення 1

Найбільше значення функції y = f (x) на деякому проміжку x - це значення maxy = f (x 0) x ∈ X, яке при будь-якому значенні xx ∈ X, x ≠ x 0 робить справедливим нерівність f (x) ≤ f (x 0).

визначення 2

Найменше значення функції y = f (x) на деякому проміжку x - це значення minx ∈ X y = f (x 0), яке при будь-якому значенні x ∈ X, x ≠ x 0 робить справедливим нерівність f (X f (x) ≥ f (x 0).

Дані визначення є досить очевидними. Ще простіше можна сказати так: найбільше значення функції - це її саме велике значенняна відомому інтервалі при абсциссе x 0, а найменше - це найменше прийняте значення на тому ж інтервалі при x 0.

визначення 3

Стаціонарними точками називаються такі значення аргументу функції, при яких її похідна звертається в 0.

Навіщо нам потрібно знати, що таке стаціонарні точки? Для відповіді на це питання треба пригадати теорему Ферма. З неї випливає, що стаціонарна точка - це така точка, в якій знаходиться екстремум функції, що диференціюється (тобто її локальний мінімум або максимум). Отже, функція буде приймати найменше або найбільше значення на деякому проміжку саме в одній із стаціонарних точок.

Ще функція може приймати найбільше або найменше значення в тих точках, в яких сама функція є певною, а її першою похідною не існує.

Перше питання, яке виникає при вивченні цієї теми: чи в усіх випадках ми може визначити найбільше або найменше значення функції на заданому відрізку? Ні, ми не можемо цього зробити тоді, коли кордони заданого проміжку будуть збігатися з кордонами області визначення, чи якщо ми маємо справу з нескінченним інтервалом. Буває і так, що функція в заданому відрізку або на нескінченності буде приймати нескінченно малі або нескінченно великі значення. У цих випадках визначити найбільше і / або найменше значення не представляється можливим.

Більш зрозумілими ці моменти стануть після зображення на графіках:

Перший малюнок показує нам функцію, яка приймає найбільше і найменше значення (m a x y і m i n y) в стаціонарних точках, розташованих на відрізку [- 6; 6].

Розберемо докладно випадок, зазначений на другому графіку. Змінимо значення відрізка на [1; 6] і отримаємо, що найбільше значення функції буде досягатися в точці з абсцисою в правій межі інтервалу, а найменше - в стаціонарній точці.

На третьому малюнку абсциси точок є граничні точки відрізка [- 3; 2]. Вони відповідають найбільшому і найменшому значенню заданої функції.

Тепер подивимося на четвертий малюнок. У ньому функція приймає m a x y (найбільше значення) і m i n y (найменше значення) в стаціонарних точках на відкритому інтервалі (- 6; 6).

Якщо ми візьмемо інтервал [1; 6), то можна сказати, що найменше значення функції на ньому буде досягнуто в стаціонарній точці. Найбільше значення нам буде невідомо. Функція могла б прийняти найбільше значення при x, що дорівнює 6, якби x = 6 належала інтервалу. Саме цей випадок намальований на графіку 5.

На графіку 6 найменше значення дана функція стоїть у правій межі інтервалу (- 3; 2], а про найбільшому значенні ми не можемо зробити певних висновків.

На малюнку 7 ми бачимо, що функція буде мати m a x y в стаціонарній точці, що має абсциссу, рівну 1. Найменшого значення функція досягне на межі інтервалу з правого боку. На мінус нескінченності значення функції будуть асимптотично наближатися до y = 3.

Якщо ми візьмемо інтервал x ∈ 2; + ∞, то побачимо, що задана функція не братиме на ньому ні найменшого, ні найбільшого значення. Якщо x прагне до 2, то значення функції будуть прагнути до мінус нескінченності, оскільки пряма x = 2 - це вертикальна асимптота. Якщо ж абсциса прагне до плюс нескінченності, то значення функції будуть асимптотично наближатися до y = 3. Саме цей випадок зображений на малюнку 8.

У цьому пункті ми наведемо послідовність дій, яку потрібно виконати для знаходження найбільшого або найменшого значення функції на деякому відрізку.

1. Для початку знайдемо область визначення функції. Перевіримо, чи входить в неї заданий в умові відрізок.
2. Тепер обчислимо точки, що містяться в даному відрізку, в яких не існує першої похідної. Найчастіше їх можна зустріти у функцій, аргумент яких записаний під знаком модуля, або у статечних функцій, показник яких є дрібно раціональним числом.
3. Далі з'ясуємо, які стаціонарні точки потраплять в заданий відрізок. Для цього треба обчислити похідну функції, потім прирівняти її до 0 і вирішити вийшло в результаті рівняння, після чого вибрати відповідні коріння. Якщо у нас не вийде жодної стаціонарної точки або вони не будуть потрапляти в заданий відрізок, то ми переходимо до наступного кроку.
4. Визначимо, які значення буде приймати функція в заданих стаціонарних точках (якщо вони є), або в тих точках, в яких не існує першої похідної (якщо вони є), або ж обчислюємо значення для x = a і x = b.
5. 5. У нас вийшов ряд значень функції, з яких тепер потрібно вибрати саме більше і найменше. Це і будуть найбільше і найменше значення функції, які нам потрібно знайти.

Подивимося, як правильно застосувати цей алгоритм при вирішенні завдань.

приклад 1

Умова:задана функція y = x 3 + 4 x 2. Визначте її найбільше і найменше значення на відрізках [1; 4] і [- 4; - 1].

Рішення:

Почнемо з знаходження області визначення даної функції. У цьому випадку їй буде безліч всіх дійсних чисел, крім 0. Іншими словами, D (y): x ∈ (- ∞; 0) ∪ 0; + ∞. Обидва відрізка, заданих в умові, будуть перебувати всередині області визначення.

Тепер обчислюємо похідну функції згідно з правилом диференціювання дробу:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 "· x 2 - x 3 + 4 · x 2" x 4 = = 3 x 2 · x 2 - (x 3 - 4) · 2 xx 4 = x 3 - 8 x 3

Ми дізналися, що похідна функції буде існувати в усіх точках відрізків [1; 4] і [- 4; - 1].

Тепер нам треба визначити стаціонарні точки функції. Зробимо це за допомогою рівняння x 3 - 8 x 3 = 0. У нього є тільки один дійсний корінь, що дорівнює 2. Він буде стаціонарною точкою функції і потрапить в перший відрізок [1; 4].

Обчислимо значення функції на кінцях першого відрізка і в даній точці, тобто для x = 1, x = 2 і x = 4:

y (1) = 1 +3 +4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Ми отримали, що найбільше значення функції m a x y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3 буде досягнуто при x = 1, а найменше m i n y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3 - при x = 2.

Другий відрізок не включає в себе жодної стаціонарної точки, тому нам треба обчислити значення функції тільки на кінцях заданого відрізка:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Значить, m a x y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 4) = - 3 3 4.

відповідь:Для відрізка [1; 4] - m a x y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3, m i n y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3, для відрізка [- 4; - 1] - m a x y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 4) = - 3 3 4.

Див. На малюнку:

Перед тим як вивчити даний спосіб, Радимо вам повторити, як правильно обчислювати односторонній межа і межа на нескінченності, а також дізнатися основні методи їх знаходження. Щоб знайти найбільше і / або найменше значення функції на відкритому або нескінченному інтервалі, виконуємо послідовно наступні дії.

1. Для початку потрібно перевірити, чи буде заданий інтервал бути підмножиною області визначення даної функції.
2. Визначимо всі точки, які містяться в потрібному інтервалі і в яких не існує першої похідної. Зазвичай вони бувають у функцій, де аргумент полягає у знаку модуля, і у статечних функцій з дрібно раціональним показником. Якщо ж ці точки відсутні, то можна переходити до наступного кроку.
3. Тепер визначимо, які стаціонарні точки потраплять в заданий проміжок. Спочатку прирівняємо похідну до 0, вирішимо рівняння і підберемо потрібні коріння. Якщо у нас немає жодної стаціонарної точки або вони не потрапляють в заданий інтервал, то відразу переходимо до подальших дій. Їх визначає вид інтервалу.

• Якщо інтервал має вигляд [a; b), то нам треба обчислити значення функції в точці x = a і односторонній межа lim x → b - 0 f (x).
• Якщо інтервал має вигляд (a; b], то нам треба обчислити значення функції в точці x = b і односторонній межа lim x → a + 0 f (x).
• Якщо інтервал має вигляд (a; b), то нам треба обчислити односторонні межі lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Якщо інтервал має вигляд [a; + ∞), то треба обчислити значення в точці x = a і межа на плюс нескінченності lim x → + ∞ f (x).
• Якщо інтервал виглядає як (- ∞; b], обчислюємо значення в точці x = b і межа на мінус нескінченності lim x → - ∞ f (x).
• Якщо - ∞; b, то вважаємо односторонній межа lim x → b - 0 f (x) і межа на мінус нескінченності lim x → - ∞ f (x)
• Якщо ж - ∞; + ∞, то вважаємо межі на мінус і плюс нескінченності lim x → + ∞ f (x), lim x → - ∞ f (x).

1. В кінці потрібно зробити висновок на основі отриманих значень функції і меж. Тут може бути багато варіантів. Так, якщо односторонній межа дорівнює мінус нескінченності або плюс нескінченності, то відразу зрозуміло, що про найменшому і найбільшому значенні функції сказати нічого не можна. Нижче ми розберемо один типовий приклад. Детальні описидопоможуть вам зрозуміти, що до чого. При необхідності можна повернутися до малюнків 4 - 8 в першій частині матеріалу.

приклад 2

Умова: дана функція y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4. Обчисліть її найбільше і найменше значення в інтервалах - ∞; - 4, - ∞; - 3, (- 3; 1], (- 3; 2), [1; 2), 2; + ∞, [4; + ∞).

Рішення

Насамперед знаходимо область визначення функції. У знаменнику дробу коштує квадратний тричлен, який не повинен звертатися в 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 · 1 · (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 +5 2 = 2 ⇒ D (y): x ∈ (- ∞; - 3) ∪ (- 3; 2) ∪ (2; + ∞)

Ми отримали область визначення функції, до якої належать всі зазначені в умові інтервали.

Тепер виконаємо диференціювання функції і отримаємо:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 · e 1 x 2 + x - 6 "= 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 x 2 + x - 6" = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 "· x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Отже, похідні функції існують на всій області її визначення.

Перейдемо до знаходження стаціонарних точок. Похідна функції звертається в 0 при x = - 1 | 2. Це стаціонарна точка, яка знаходиться в інтервалах (- 3; 1] і (- 3; 2).

Обчислимо значення функції при x = - 4 для проміжку (- ∞; - 4], а також межа на мінус нескінченності:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Оскільки 3 e 1 6 - 4> - 1, значить, maxyx ∈ (- ∞; - 4] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Це не дає нам можливості однозначно визначити найменше значення функції. Ми можемо тільки зробити висновок, що внизу є обмеження - 1, оскільки саме до цього значення функція наближається асимптотично на мінус нескінченності.

Особливістю другого інтервалу є те, що в ньому немає жодної стаціонарної точки і жодної суворої кордону. Отже, ні найбільшого, ні найменшого значення функції ми обчислити не зможемо. Визначивши межа на мінус нескінченності і при прагненні аргументу до - 3 з лівого боку, ми отримаємо тільки інтервал значень:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Значить, значення функції будуть розташовані в інтервалі - 1; + ∞

Щоб знайти найбільше значення функції в третьому проміжку, визначимо її значення в стаціонарній точці x = - 1 2, якщо x = 1. Також нам треба буде знати односторонній межа для того випадку, коли аргумент прагне до - 3 з правого боку:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 + 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1. 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

У нас вийшло, що найбільше значення функція прийме в стаціонарній точці maxyx ∈ (3; 1] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Що стосується найменшого значення, то його ми не можемо визначити. Все, що нам відомо , - це наявність обмеження знизу до - 4.

Для інтервалу (- 3; 2) візьмемо результати попереднього обчислення і ще раз підрахуємо, чому дорівнює односторонній межа при прагненні до 2 з лівого боку:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 + 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Значить, m a x y x ∈ (- 3; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, а найменше значення визначити неможливо, і значення функції обмежені знизу числом - 4.

Виходячи з того, що у нас вийшло в двох попередніх обчисленнях, ми можемо стверджувати, що на інтервалі [1; 2) найбільше значення функція набуде при x = 1, а знайти найменше неможливо.

На проміжку (2; + ∞) функція не досягне ні найбільшого, ні найменшого значення, тобто вона буде приймати значення з проміжку - 1; + ∞.

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Обчисливши, чому дорівнюватиме значення функції при x = 4, з'ясуємо, що m a x y x ∈ [4; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4, і задана функція на плюс нескінченності буде асимптотично наближатися до прямої y = - 1.

Порівняємо те, що у нас вийшло в кожному обчисленні, з графіком заданої функції. На малюнку асимптоти показані пунктиром.

Це все, що ми хотіли розповісти про знаходження найбільшого і найменшого значення функції. Ті послідовності дій, які ми привели, допоможуть зробити необхідні обчисленнямаксимально швидко і просто. Але пам'ятайте, що найчастіше буває корисно спочатку з'ясувати, на яких проміжках функція буде спадати, а на яких зростатиме, після чого можна робити подальші висновки. Так можна більш точно визначити найбільше і найменше значення функції і обгрунтувати отримані результати.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Іноді в задачах B15 трапляються «погані» функції, для яких складно знайти похідну. Раніше таке було лише на пробниках, але зараз ці завдання настільки поширені, що вже не можуть бути ігноровані при підготовці до цього ЄДІ.

В цьому випадку працюють інші прийоми, один з яких - монотонність.

Функція f (x) називається монотонно зростаючою на відрізку, якщо для будь-яких точок x 1 і x 2 цього відрізка виконується наступне:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

Функція f (x) називається монотонно спадної на відрізку, якщо для будь-яких точок x 1 і x 2 цього відрізка виконується наступне:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1)> F ( x 2).

Іншими словами, для зростаючої функції чим більше x, тим більше f (x). Для спадної функції все навпаки: чим більше x, тим менше f (x).

Наприклад, логарифм монотонно зростає, якщо підстава a> 1, і монотонно убуває, якщо 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a> 0; a ≠ 1; x> 0)

Арифметичний квадратний (і не тільки квадратний) корінь монотонно зростає на всій області визначення:

Показова функція поводиться аналогічно логарифму: зростає при a> 1 і спадає при 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a> 0)

Нарешті, ступеня з негативним показником. Можна записувати їх як дріб. Мають точку розриву, в якій монотонність порушується.

Всі ці функції ніколи не зустрічаються в чистому вигляді. У них додають многочлени, дробу і іншу маячню, через якого стає важко вважати похідну. Що при цьому відбувається - зараз розберемо.

Координати вершини параболи

Найчастіше аргумент функції замінюється на квадратний тричленвиду y = ax 2 + bx + c. Його графік - стандартна парабола, в якій нас цікавлять:

1. Гілки параболи - можуть йти вгору (при a> 0) або вниз (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Вершина параболи - точка екстремуму квадратичної функції, в якій ця функція приймає своє найменше (для a> 0) або найбільше (a< 0) значение.

Найбільший інтерес представляє саме вершина параболи, Абсциса якої розраховується за формулою:

Отже, ми знайшли точку екстремуму квадратичної функції. Але якщо початкова функція монотонна, для неї точка x 0 теж буде точкою екстремуму. Таким чином, сформулюємо ключове правило:

точки екстремуму квадратного тричленаі складної функції, В яку він входить, збігаються. Тому можна шукати x 0 для квадратного тричлена, а на функцію - забити.

З наведених міркувань залишається незрозумілим, яку саме точку ми отримуємо: максимуму або мінімуму. Однак завдання спеціально складаються так, що це не має значення. Судіть самі:

1. Відрізок в умові завдання відсутній. Отже, обчислювати f (a) і f (b) не потрібно. Залишається розглянути лише точки екстремуму;
2. Але таких точок всього одна - це вершина параболи x 0, координати якої обчислюються буквально усно і без всяких похідних.

Таким чином, рішення задачі різко спрощується і зводиться лише до двох кроків:

1. Виписати рівняння параболи y = ax 2 + bx + c і знайти її вершину за формулою: x 0 = -b / 2a;
2. Знайти значення вихідної функції в цій точці: f (x 0). Якщо ніяких додаткових умов немає, це і буде відповіддю.

На перший погляд, цей алгоритм і його обгрунтування можуть здатися складними. Я навмисно не викладаю «голу» схему рішення, оскільки бездумне застосування таких правил значною кількістю помилок.

Розглянемо справжні завдання з пробного ЗНОз математики - саме там даний прийом зустрічається найчастіше. Заодно переконаємося, що таким чином багато завдань B15 стають майже усними.

Під коренем стоїть квадратична функція y = x 2 + 6x + 13. Графік цієї функції - парабола гілками вгору, оскільки коефіцієнт a = 1> 0.

Вершина параболи:

x 0 = -b / (2a) = -6 / (2 · 1) = -6/2 = -3

Оскільки гілки параболи спрямовані вгору, в точці x 0 = -3 функція y = x 2 + 6x + 13 приймає найменше значення.

Корінь монотонно зростає, значить x 0 - точка мінімуму всієї функції. маємо:

Завдання. Знайдіть найменше значення функції:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Під логарифмом знову квадратична функція: y = x 2 + 2x + 9. Графік - парабола гілками вгору, тому що a = 1> 0.

Вершина параболи:

x 0 = -b / (2a) = -2 / (2 · 1) = -2/2 = -1

Отже, в точці x 0 = -1 квадратична функція приймає найменше значення. Але функція y = log 2 x - монотонна, тому:

y min = y (-1) = log 2 ((-1) 2 + 2 · (-1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

У показнику варто квадратична функція y = 1 - 4x - x 2. Перепишемо її в нормальному вигляді: y = -x 2 - 4x + 1.

Очевидно, що графік цієї функції - парабола, гілки вниз (a = -1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = -b / (2a) = - (- 4) / (2 · (-1)) = 4 / (- 2) = -2

Вихідна функція - показова, вона монотонна, тому найбільше значення буде в знайденої точці x 0 = -2:

Уважний читач напевно помітить, що ми не виписували область допустимих значень кореня і логарифма. Але цього й не було потрібно: всередині стоять функції, значення яких завжди є позитивними.

Наслідки з області визначення функції

Іноді для вирішення завдання B15 недостатньо просто знайти вершину параболи. Шукане значення може лежати на кінці відрізка, А зовсім не в точці екстремуму. Якщо в задачі взагалі не вказано відрізок, дивимося на область допустимих значеньвихідної функції. А саме:

Зверніть увагу ще раз: нуль цілком може бути під коренем, але в логарифм або знаменнику дробу - ніколи. Подивимося, як це працює на конкретних прикладах:

Завдання. Знайдіть найбільше значення функції:

Під коренем знову квадратична функція: y = 3 - 2x - x 2. Її графік - парабола, але гілки вниз, оскільки a = -1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Виписуємо область допустимих значень (ОДЗ):

3 - 2x - x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x - 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x - 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [-3; 1]

Тепер знайдемо вершину параболи:

x 0 = -b / (2a) = - (- 2) / (2 · (-1)) = 2 / (- 2) = -1

Точка x 0 = -1 належить відрізку ОДЗ - і це добре. Тепер вважаємо значення функції в точці x 0, а також на кінцях ОДЗ:

y (-3) = y (1) = 0

Отже, отримали числа 2 і 0. Нас просять знайти найбільше - це число 2.

Завдання. Знайдіть найменше значення функції:

y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)

Усередині логарифма стоїть квадратична функція y = 6x - x 2 - 5. Це парабола гілками вниз, але в логарифм не може бути негативних чисел, Тому виписуємо ОДЗ:

6x - x 2 - 5> 0 ⇒ x 2 - 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Зверніть увагу: нерівність суворе, тому кінці не належать ОДЗ. Цим логарифм відрізняється від кореня, де кінці відрізка нас цілком влаштовують.

Шукаємо вершину параболи:

x 0 = -b / (2a) = -6 / (2 · (-1)) = -6 / (- 2) = 3

Вершина параболи підходить по ОДЗ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Але оскільки кінці відрізка нас не цікавлять, вважаємо значення функції тільки в точці x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 · 3 - 3 2 - 5) = log 0,5 (18 - 9 - 5) = log 0,5 4 = -2

Поняття найбільшого і найменшого значень функції.

Поняття Найбільшого і найменшого значень тісно пов'язане з поняттям критичної точки функції.

визначення 1

$ X_0 $ називається критичною точкою функції $ f (x) $, якщо:

1) $ x_0 $ - внутрішня точка області визначення;

2) $ f "\ left (x_0 \ right) = 0 $ або не існує.

Введемо тепер визначення найбільшого і найменшого значення функції.

визначення 2

Функція $ y = f (x) $, певна на проміжку $ X $, досягає свого максимального значення, якщо існує точка $ x_0 \ in X $, така, що для всіх $ x \ in X $ виконується нерівність

визначення 3

Функція $ y = f (x) $, певна на проміжку $ X $, досягає свого найменшого значення, якщо існує точка $ x_0 \ in X $, така, що для всіх $ x \ in X $ виконується нерівність

Теорема Вейєрштрасса про безперервну на відрізку функції

Введемо для початку поняття безперервної на відрізку функції:

визначення 4

Функція $ f \ left (x \ right) $ називається безперервної на відрізку $$, якщо вона неперервна в кожній точці інтервалу $ (a, b) $, а також безперервна справа в точці $ x = a $ і зліва в точці $ x = b $.

Сформулюємо теорему про неперервну на відрізку функції.

теорема 1

теорема Вейерштрасса

Безперервна на відрізку $$ функція $ f \ left (x \ right) $ досягає на цьому відрізку свого найбільшого і найменшого значення, тобто існують точки $ \ alpha, \ beta \ in $ такі, що для всіх $ x \ in $ виконується нерівність $ f (\ alpha) \ le f (x) \ le f (\ beta) $.

Геометрична інтерпретація теореми зображена на малюнку 1.

Тут функція $ f (x) $ досягає свого найменшого значення в точці $ x = \ alpha $ досягає свого максимального значення в точці $ x = \ beta $.

Схема знаходження найбільшого і найменшого значень функції $ f (x) $ на відрізку $$

1) Знайти похідну $ f "(x) $;

2) Знайти точки, в яких похідна $ f "\ left (x \ right) = 0 $;

3) Знайти точки, в яких похідна $ f "(x) $ не існує;

4) Вибрати з отриманих в пунктах 2 і 3 точок ті, які належать відрізку $$;

5) Обчислити значення функції в точках, отриманих в пункті 4, а також на кінцях відрізка $$;

6) Вибрати з отриманих значень найбільшу і найменшу значення.

Завдання на знаходження найбільшого і найменшого значень функції на відрізку

приклад 1

Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку: $ f (x) = (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $

Рішення.

1) $ f "\ left (x \ right) = 6x ^ 2-30x + 36 $;

2) $ f "\ left (x \ right) = 0 $;

\ \ \

4) $ 2 \ in \ left, \ 3 \ in $;

5) Значення:

\ \ \ \

6) Найбільше зі знайдених значень - $ 33 $, найменше зі знайдених значень - $ 1 $. Таким чином, отримаємо:

відповідь:$ Max = 33, \ min = 1 $.

приклад 2

Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку: $ f \ left (x \ right) = x ^ 3-3x ^ 2-45x + 225 $

Рішення.

Рішення будемо проводити по вище даній схемі.

1) $ f "\ left (x \ right) = 3x ^ 2-6x-45 $;

2) $ f "\ left (x \ right) = 0 $;

\ \ \

3) $ f "(x) $ існує у всіх точках області визначення;

4) $ -3 \ notin \ left, \ 5 \ in $;

5) Значення:

\ \ \

6) Найбільше зі знайдених значень - $ 225 $, найменше зі знайдених значень - $ 50 $. Таким чином, отримаємо:

відповідь:$ Max = 225, \ min = 50 $.

приклад 3

Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку [-2,2]: $ f \ left (x \ right) = \ frac (x ^ 2-6x + 9) (x-1) $

Рішення.

Рішення будемо проводити по вище даній схемі.

1) $ f "\ left (x \ right) = \ frac (\ left (2x-6 \ right) \ left (x-1 \ right) - (x ^ 2-6x + 9)) (((x- 1)) ^ 2) = \ frac (x ^ 2-2x-3) (((x-1)) ^ 2) $;

2) $ f "\ left (x \ right) = 0 $;

\ [\ Frac (x ^ 2-2x-3) (((x-1)) ^ 2) = 0 \] \ \

3) $ f "(x) $ не існує в точці $ x = 1 $

4) $ 3 \ notin \ left [-2,2 \ right], \ -1 \ in \ left [-2,2 \ right], \ 1 \ in \ left [-2,2 \ right] $, проте 1 не належить області визначення;

5) Значення:

\ \ \

6) Найбільше зі знайдених значень - $ 1 $, найменше зі знайдених значень - $ -8 \ frac (1) (3) $. Таким чином, отримаємо: \ end (enumerate)

відповідь:$ Max = 1, \ min == - 8 \ frac (1) (3) $.

У завданні B14 з ЄДІ з математики потрібно знайти найменше або найбільше значення функції однієї змінної. Це досить тривіальна задача з математичного аналізу, І саме з цієї причини навчитися вирішувати її в нормі може і повинен кожен випускник середньої школи. Розберемо кілька прикладів, які школярі вирішували на діагностичній роботіз математики, що пройшла в Москві 7 грудня 2011 року.

Залежно від проміжку, на якому потрібно знайти максимальне або мінімальне значення функції, для вирішення цього завдання використовується один з наступних стандартних алгоритмів.

I. Алгоритм знаходження найбільшого або найменшого значення функції на відрізку:

• Знайти похідну функції.
• Вибрати з точок, підозрілих на екстремум, ті, які належать даному відрізку і області визначення функції.
• обчислити значення функції(Не похідне!) В цих точках.
• Серед отриманих значень вибрати найбільше або найменше, воно і буде шуканим.

Приклад 1.Знайдіть найменше значення функції
y = x 3 – 18x 2 + 81x+ 23 на відрізку.

Рішення:діємо за алгоритмом знаходження найменшого значення функції на відрізку:

• Область визначення функції не обмежена: D (y) = R.
• Похідна функції дорівнює: y ' = 3x 2 – 36x+ 81. Область визначення похідної функції також не обмежена: D (y ') = R.
• Нулі похідною: y ' = 3x 2 – 36x+ 81 = 0, значить x 2 – 12x+ 27 = 0, звідки x= 3 і x= 9, в наш проміжок входить тільки x= 9 (одна точка, підозріла на екстремум).
• Знаходимо значення функції в точці, підозрілої на екстремум і на краях проміжку. Для зручності обчислень подамо функцію у вигляді: y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x(x-9) 2 +23:
  • y(8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31;
  • y(9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;
  • y(13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.

Отже, з отриманих значень найменшим є 23. Відповідь: 23.

II. Алгоритм знаходження найбільшого або найменшого значення функції:

• Знайти область визначення функції.
• Знайти похідну функції.
• Визначити точки, підозрілі на екстремум (ті точки, в яких похідна функції звертається в нуль, і точки, в яких не існує двосторонньої кінцевої похідною).
• Відзначити ці крапки і область визначення функції на числовій прямій і визначити знаки похідною(Не функція!) На одержані проміжках.
• визначити значення функції(Не похідне!) В точках мінімуму (ті точки, в яких знак похідної змінюється з мінуса на плюс), найменше з цих значень буде найменшим значенням функції. Якщо точок мінімуму немає, то у функції немає найменшого значення.
• визначити значення функції(Не похідне!) В точках максимуму (ті точки, в яких знак похідної змінюється з плюса на мінус), найбільше з цих значень буде найбільшим значенням функції. Якщо точок максимуму немає, то у функції немає найбільшого значення.

Приклад 2.Знайдіть найбільше значення функції.