Загальне рішення неоднорідної системи. §6. Неоднорідна система лінійних рівнянь Неоднорідність системи
Найбільш загальний ознака будь-неоднорідної системи - наявність двох (або більше) фаз, які відокремлені один від одного вираженою поверхнею розділу. Цією ознакою неоднорідні системи відрізняються від розчинів, які також складаються з декількох компонентів, що утворюють однорідну суміш. Одну ізфаз, суцільну, будемо називати дисперсионной, а іншу, мелкораздробленного іраспределенную в першій, - дисперсною фазою. Залежно від виду дисперсійного середовища розрізняють неоднорідні суміші, рідкі ігазових. У табл. 5.1пріведена класифікація неоднорідних систем з вигляду дисперсної і дисперсійних фаз.
Таблиця 5.1
Класифікація неоднорідних систем
Класифікація і характеристика неоднорідних систем
неоднорідною системоювважається система, яка складається з двох або кількох фаз. Кожна фаза має свою поверхню розділу і її можна механічно відокремити від іншої.
Неоднорідна система складається з внутрішньої (дисперсної) фази і зовнішньої фази (дисперсійного середовища), в якій знаходяться частинки дисперсної фази. Системи, в яких зовнішньої фазою є рідини, називаються неоднорідними рідкими системами, а якщо гази - неоднорідними газовими системами . неоднорідні системиназивають гетерогенними, а однорідні - гомогенними. Під однорідної рідинної системою розуміють чисту рідину або розчин в ній будь-яких речовин. Неоднорідною, або гетерогенної, рідинної системою називають рідину, в якій знаходяться будь-які нерозчинені речовини у вигляді дрібних частинок. Гетерогенні системи часто називають дисперсними.
Розрізняють такі види неоднорідних систем: суспензії, емульсії, піни, пилу, дими, тумани.
суспензія- це система, що складається з суцільної рідкої фази, в якій зважені тверді частинки. Наприклад, соуси з борошном, крохмальної молоко, патока з кристалами цукру.
Суспензії в залежності від розмірів частинок діляться на грубі (розмір часток більш 100 мкм), тонкі (0,1-100 мкм) і колоїдні розчини, які містять тверді частинки розміром 0,1 мкм і менше.
емульсія- це система, що складається з рідини і розподілених в ній крапель іншої рідини, не розчинилася в першій. Це, наприклад, молоко, суміш рослинного масла і води. Є газові емульсії, в яких дисперсійне середовище - рідина, а дисперсна фаза - газ.
піна- це система, що складається з рідини і розподілених в ній бульбашок газу. Наприклад, креми та інші збиті продукти. Піни за своїми властивостями близькі до емульсій.
Для емульсій і пен характерна можливість переходу дисперсної фази в дисперсійне середовище і навпаки. Цей перехід, можливий при певному масовому співвідношенні фаз, називають інверсією фаз або просто інверсією.
аерозоляминазивають дисперсних систем з газоподібним дисперсійним середовищем і твердою або рідкою дисперсною фазою, яка складається з частинок від квазімолекулярного до мікроскопічного розміру, що володіють властивістю перебувати в підвішеному стані більш-менш тривалий час. Це поняття об'єднує пилу, дими, тумани. Наприклад, борошняний пил, що утворюється при подрібненні зерна, просіювання, транспортуванні борошна; цукровий пил, що утворюється при сушінні цукру, і ін. Дим утворюється при спалюванні твердого палива, туман-прі конденсації пари.
В аерозолях дисперсійним середовищем є газ або повітря, а дисперсною фазою в пилу і диму - тверді речовини, в туманах - рідина.
Пил і дим- системи, що складаються з газу і розподілених в них твердих частинок розмірами 5-50 мкм і 0,3-5 мкм відповідно. Туман - це система, що складається з газу і розподілених в ньому крапель рідини розміром 0,3-3 мкм, що утворилися в результаті конденсації.
Якісним показником, що характеризує однорідність частинок аерозолю за розміром, є ступінь дисперсності. Аерозоль називають монодисперсні, коли складові його частки мають однаковий розмір, і полідисперсних - при вмісті в ньому частинок різного розміру. Монодисперсних аерозолів в природі практично не існує. Є лише деякі аерозолі, які за розмірами частинок лише наближаються до монодисперсні системам (гіфи грибів, спеціально одержувані тумани і ін.).
Дисперсні або гетерогеннісистеми в залежності від кількості дисперсних фаз можуть бути одно- і багатокомпонентні. Наприклад, багатокомпонентної системою є молоко (має дві дисперсні фази: жир і білок); соуси (дисперсними фазами є борошно, жир і ін.).
методи поділугетерогенних систем класифікуються залежно від розмірів зважених часток дисперсної фази, різниці щільності дисперсної і суцільний фаз, а також в'язкості суцільний фази. Застосовують наступні основні методи поділу: осадження, фільтрування, центрифугування, мокре поділ, електроочістка.
осадженняявляє собою процес поділу, при якому зважені в рідині або газі тверді або рідкі частинки дисперсної фази відокремлюються від суцільної фази під дією сил тяжіння, відцентрової або електростатичного. Осадження під дією сили тяжіння називається відстоюванням.
Фільтрування - процесподілу за допомогою пористої перегородки, здатної пропускати рідину або газ і затримувати зважені в середовищі тверді частинки. Фільтрування здійснюється під дією сил тиску і застосовується для більш тонкого, ніж при осадженні, поділу суспензій і пилу.
центрифугування- процес розділення суспензій і емульсій під дією відцентрової сили.
мокре поділ- процес уловлювання зважених в газі частинок за допомогою будь-якої рідини.
Електроочістка- очищення газів під впливом електричних сил.
Методи розділення рідких і неоднорідних газових систем засновані на однакових принципах, але використовуване обладнання має ряд особливостей.
§6. Неоднорідна система лінійних рівнянь
Якщо в системі лінійних рівнянь (7.1) хоча б один з вільних членів в iвідмінний від нуля, то така система називається неоднорідною.
Нехай задана неоднорідна система лінійних рівнянь, яку в векторній формі можна представити у вигляді
, i = 1,2,.. .,до, (7.13)
Розглянемо відповідну однорідну систему
i = 1,2,...
,до.
(7.14)
нехай вектор 
є рішенням неоднорідної системи (7.13), а вектор 
є рішенням однорідної системи (7.14). Тоді, легко бачити, що вектор 
також є рішенням неоднорідної системи (7.13). дійсно
Тепер, використовуючи формулу (7.12) загального рішення однорідного рівняння, маємо
де 
будь-які числа з R, а 
- фундаментальні рішення однорідної системи.
Таким чином, рішення неоднорідної системи є сукупність її приватного рішення і спільного рішення відповідної однорідної системи.
Рішення (7.15) називається спільним рішенням неоднорідної системи лінійних рівнянь. З (7.15) випливає, що спільна неоднорідна система лінійних рівнянь має єдине рішення, якщо ранг r(A) Основної матриці Азбігається з числом nневідомих системи (система Крамера), якщо ж r(A) n, То система має безліч рішень і ця сукупність рішень еквівалентна подпространству рішень відповідної однорідної системи рівнянь розмірності n– r.
Приклади.
1. Нехай дана неоднорідна система рівнянь, в якій число рівнянь до= 3, а число невідомих n = 4.
х 1 – х 2 + х 3 –2х 4 = 1,
х 1 – х 2 + 2х 3 – х 4 = 2,
5х 1 – 5х 2 + 8х 3 – 7х 4 = 3.
Визначимо ранги основної матриці Аі розширеної А * даної системи. оскільки Аі А * не нульовий матриці і к = 3 n, Тому 1 r (A), r * (А * ) 3. Розглянемо мінори другого порядку матриць Аі А * :
Таким чином, серед миноров другого порядку матриць Аі А * є мінор відмінний від нуля, тому 2 r(A),r * (A * ) 3. Тепер розглянемо мінори третього порядку
, Так як перший і другий стовпець пропорційні. Аналогічно і для мінору 
.
І так все мінори третього порядку основної матриці Адорівнюють нулю, отже, r(A) = 2. Для розширеної матриці А * ще є мінори третього порядку
Отже, серед миноров третього порядку розширеної матриці А * є мінор відмінний від нуля, тому r * (A * ) = 3. Це означає, що r(A) r * (A * ) І тоді, на підставі теореми Корнекера - Капеллі, робимо висновок, що дана система несумісна.
2. Вирішити систему рівнянь
3х 1 + 2х 2 + х 3 + х 4 = 1,
3х 1 + 2х 2 – х 3 – 2х 4 = 2.
Для даної системи 
і тому 1 r(A),r *
(A *
) 2. Розглянемо для матриць Aі A *
мінори другого порядку
Таким чином, r(A)= r * (A * ) = 2, і, отже, система сумісна. В якості базових виберемо будь-які дві змінні, для яких мінор другого порядку, складений з коефіцієнтів у цих змінних не дорівнює нулю. Такими перемінними можуть бути, наприклад,
х 3 і х 4, так як 
тоді маємо
х 3 + х 4 = 1 – 3х 1 – 2х 2 ,
– х 3 – 2х 4 = 2 – 3х 1 – 2х 2 .
Визначимо приватне рішення 
неоднорідної системи. Для цього покладемо х 1
= х 2
= 0.
х 3 + х 4 = 1,
– х 3 – 2х 4 = 2.
Вирішення цієї системи: х 3
= 4, х 4 = - 3, отже, 
=
(0,0,4, –3).
Тепер визначимо загальне рішення відповідного однорідного рівняння
х 3 + х 4 = – 3х 1 – 2х 2 ,
–х 3 – 2х 4 = – 3х 1 – 2х 2 .
покладемо: х 1 = 1, х 2 = 0
х 3 + х 4 = –3,
–х 3 – 2х 4 = –3.
Вирішення цієї системи х 3 = –9, х 4 = 6.
Таким чином 
тепер покладемо х 1 = 0, х 2 = 1
х 3 + х 4 = –2,
–х 3 – 2х 4 = –2.
Рішення: х 3
= – 6, х 4 = 4, і тоді 
Після того як визначені приватне рішення 
, Неоднорідного рівняння і фундаментальні рішення 
і 
відповідного однорідного рівняння, записуємо загальне рішення неоднорідного рівняння.
де 
будь-які числа з R.
Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), безсумнівно, є найважливішою темою курсу лінійної алгебри. Величезна кількість завдань з усіх розділів математики зводиться до вирішення систем лінійних рівнянь. Цими факторами пояснюється причина створення даної статті. Матеріал статті підібраний і структурований так, що з його допомогою Ви зможете
- підібрати оптимальний метод вирішення Вашої системи лінійних алгебраїчних рівнянь,
- вивчити теорію обраного методу,
- вирішити Вашу систему лінійних рівнянь, розглянувши детально розібрані рішення характерних прикладів і завдань.
Короткий опис матеріалу статті.
Спочатку дамо всі необхідні визначення, поняття і введемо позначення.
Далі розглянемо методи вирішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь, в яких число рівнянь дорівнює числу невідомих змінних і які мають єдине рішення. По-перше, зупинимося на методі Крамера, по-друге, покажемо матричний метод вирішення таких систем рівнянь, по-третє, розберемо метод Гаусса (метод послідовного виключення невідомих змінних). Для закріплення теорії обов'язково вирішимо кілька СЛАР різними способами.
Після цього перейдемо до вирішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь загального вигляду, в яких число рівнянь не збігається з числом невідомих змінних або основна матриця системи є виродження. Сформулюємо теорему Кронекера - Капеллі, яка дозволяє встановити спільність СЛАР. Розберемо рішення систем (в разі їх спільності) за допомогою поняття базисного мінору матриці. Також розглянемо метод Гаусса і докладно опишемо рішення прикладів.
Обов'язково зупинимося на структурі загального рішення однорідних і неоднорідних систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Дамо поняття фундаментальної системи рішень і покажемо, як записується спільне рішення СЛАР за допомогою векторів фундаментальної системи рішень. Для кращого розуміння розберемо кілька прикладів.
Наприкінці розглянемо системи рівнянь, що зводяться до лінійних, а також різні завдання, при вирішенні яких виникають СЛАР.
Навігація по сторінці.
Визначення, поняття, позначення.
Будемо розглядати системи з p лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими змінними (p може дорівнювати n) виду
Невідомі змінні, - коефіцієнти (деякі дійсні або комплексні числа), - вільні члени (також дійсні або комплексні числа).
Таку форму записи СЛАР називають координатної.
В матричної формізаписи ця система рівнянь має вигляд,
де 
- основна матриця системи, - матриця-стовпець невідомих змінних, - матриця-стовпець вільних членів.
Якщо до матриці А додати в якості (n + 1) -ого стовпця матрицю-стовпець вільних членів, то отримаємо так звану розширену матрицюсистеми лінійних рівнянь. Зазвичай розширену матрицю позначають буквою Т, а стовпець вільних членів відокремлюють вертикальною лінією від решти стовпців, тобто, 
Рішенням системи лінійних алгебраїчних рівняньназивають набір значень невідомих змінних, звертає всі рівняння системи в тотожності. Матричне рівняння при даних значеннях невідомих змінних також звертається в тотожність.
Якщо система рівнянь має хоча б одне рішення, то вона називається спільної.
Якщо система рівнянь рішень не має, то вона називається несумісною.
Якщо СЛАР має єдине рішення, то її називають певної; якщо рішень більше одного, то - невизначеною.
Якщо вільні члени всіх рівнянь системи дорівнюють нулю 
, То система називається однорідної, в іншому випадку - неоднорідною.
Рішення елементарних систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
Якщо число рівнянь системи дорівнює числу невідомих змінних і визначник її основної матриці не дорівнює нулю, то такі СЛАР будемо називати елементарними. Такі системи рівнянь мають єдине рішення, причому в разі однорідної системи все невідомі змінні дорівнюють нулю.
Такі СЛАР ми починали вивчати в середній школі. При їх вирішенні ми брали якусь одну рівняння, висловлювали одну невідому змінну через інші і підставляли її в решту рівняння, слідом брали наступне рівняння, висловлювали таку невідому змінну і підставляли в інші рівняння і так далі. Або користувалися методом складання, тобто, складали два або більше рівнянь, щоб виключити деякі невідомі змінні. Не будемо детально зупинятися на цих методах, так як вони по суті є модифікаціями методу Гаусса.
Основними методами вирішення елементарних систем лінійних рівнянь є метод Крамера, матричний метод та метод Гаусса. Розберемо їх.
Рішення систем лінійних рівнянь методом Крамера.
Нехай нам потрібно вирішити систему лінійних алгебраїчних рівнянь 
в якій число рівнянь дорівнює числу невідомих змінних і визначник основної матриці системи відмінний від нуля, тобто,.
Нехай - визначник основної матриці системи, а 
- визначники матриць, які виходять з А заміною 1-ого, 2-ої, ..., n-огостовпчика відповідно на стовпець вільних членів: 
При таких позначеннях невідомі змінні обчислюються за формулами методу Крамера як 
. Так на сьогодні вирішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера.
Приклад.
методом Крамера 
.
Рішення.
Основна матриця системи має вигляд 
. Обчислимо її визначник (при необхідності дивіться статтю): 
Так як визначник основної матриці системи відмінний від нуля, то система має єдине рішення, яке може бути знайдено методом Крамера.
Складемо і обчислимо необхідні визначники 
(Визначник отримуємо, замінивши в матриці А перший стовпець на стовпець вільних членів, визначник - замінивши другий стовпець на стовпець вільних членів, - замінивши третій стовпець матриці А на стовпець вільних членів): 
Знаходимо невідомі змінні за формулами 
:
відповідь:
Основним недоліком методу Крамера (якщо це можна назвати недоліком) є трудомісткість обчислення визначників, коли число рівнянь системи більше трьох.
Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь матричним методом (за допомогою оберненої матриці).
Нехай система лінійних алгебраїчних рівнянь задана в матричної формі, де матриця A має розмірність n на n і її визначник відмінний від нуля.
Так як, то матриця А - оборотна, тобто, існує зворотна матриця. Якщо помножити обидві частини рівності на зліва, то отримаємо формулу для знаходження матриці-стовпця невідомих змінних. Так ми отримали рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь матричним методом.
Приклад.
Вирішіть систему лінійних рівнянь матричним методом.
Рішення.
Перепишемо систему рівнянь в матричної формі: 
Так як
то СЛАР можна вирішувати матричних методом. За допомогою оберненої матриці рішення цієї системи може бути знайдено як 
.
Побудуємо зворотну матрицю за допомогою матриці з алгебраїчних доповнень елементів матриці А (при необхідності дивіться статтю): 
Залишилося обчислити - матрицю невідомих змінних, помноживши зворотну матрицю 
на матрицю-стовпець вільних членів (при необхідності дивіться статтю): 
відповідь:
або в іншому записі x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Основна проблема при знаходженні рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь матричним методом полягає в трудомісткості знаходження зворотної матриці, особливо для квадратних матриць порядку вище третього.
Рішення систем лінійних рівнянь методом Гаусса.
Нехай нам потрібно знайти рішення системи з n лінійних рівнянь з n невідомими змінними 
визначник основної матриці якої відмінний від нуля.
Суть методу Гауссаскладається в послідовному виключенні невідомих змінних: спочатку виключається x 1 з усіх рівнянь системи, починаючи з другого, далі виключається x 2 з усіх рівнянь, починаючи з третього, і так далі, поки в останньому рівнянні залишиться тільки невідома змінна x n. Такий процес перетворення рівнянь системи для послідовного виключення невідомих змінних називається прямим ходом методу Гауса. Після завершення прямого ходу методу Гаусса з останнього рівняння знаходиться x n, за допомогою цього значення з передостаннього рівняння обчислюється x n-1, і так далі, з першого рівняння знаходиться x 1. Процес обчислення невідомих змінних при русі від останнього рівняння системи до першого називається зворотним ходом методу Гауса.
Коротко опишемо алгоритм виключення невідомих змінних.
Будемо вважати, що, так як ми завжди можемо цього досягти перестановкою місцями рівнянь системи. Виключимо невідому змінну x 1 з усіх рівнянь системи, починаючи з другого. Для цього до другого рівняння системи додамо найперше, помножене на, до третього рівняння додамо найперше, помножене на, і так далі, до n-ому рівняння додамо найперше, помножене на. Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду 
де, а 
.
До такого ж результату ми б прийшли, якби висловили x 1 через інші невідомі змінні в першому рівнянні системи і отриманий вираз підставили в усі інші рівняння. Таким чином, змінна x 1 виключена з усіх рівнянь, починаючи з другого.
Далі діємо аналогічно, але лише з частиною отриманої системи, яка відзначена на малюнку 
Для цього до третього рівняння системи додамо Друге, помножене на, до четвертого рівняння додамо Друге, помножене на, і так далі, до n-ому рівняння додамо Друге, помножене на. Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду 
де, а 
. Таким чином, змінна x 2 виключена з усіх рівнянь, починаючи з третього.
Далі приступаємо до виключення невідомої x 3, при цьому діємо аналогічно із зазначеною на малюнку частиною системи 
Так продовжуємо прямий хід методу Гаусса поки система не набуде вигляду 
З цього моменту починаємо зворотний хід методу Гаусса: обчислюємо x n з останнього рівняння як, за допомогою отриманого значення x n знаходимо x n-1 з передостаннього рівняння, і так далі, знаходимо x 1 з першого рівняння.
Приклад.
Вирішіть систему лінійних рівнянь методом Гаусса.
Рішення.
Виключимо невідому змінну x 1 з другого і третього рівняння системи. Для цього до обох частин другого і третього рівнянь додамо відповідні частини першого рівняння, помножені на і на відповідно: 
Тепер з третього рівняння виключимо x 2, додавши до його лівої і правої частин ліву і праву частини другого рівняння, помножені на: 
На цьому прямий хід методу Гаусса закінчений, починаємо зворотний хід.
З останнього рівняння отриманої системи рівнянь знаходимо x 3: 
З другого рівняння отримуємо.
З першого рівняння знаходимо залишилася невідому змінну і цим завершуємо зворотний хід методу Гаусса.
відповідь:
X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь загального вигляду.
У загальному випадку число рівнянь системи p не збігається з числом невідомих змінних n:
Такі СЛАР можуть не мати рішень, мати єдине рішення або мати нескінченно багато рішень. Це твердження стосується також до систем рівнянь, основна матриця яких квадратна і вироджена.
Теорема Кронекера - Капеллі.
Перш ніж знаходити рішення системи лінійних рівнянь необхідно встановити її спільність. Відповідь на питання коли СЛАР сумісна, а коли несовместна, дає теорема Кронекера - Капеллі:
для того, щоб система з p рівнянь з n невідомими (p може дорівнювати n) була сумісна необхідно і достатньо, щоб ранг основної матриці системи дорівнював рангу розширеної матриці, тобто, Rank (A) = Rank (T).
Розглянемо на прикладі застосування теореми Кронекера - Капеллі для визначення спільності системи лінійних рівнянь.
Приклад.
З'ясуйте, чи має система лінійних рівнянь 
рішення.
Рішення.
. Скористаємося методом оздоблюють мінорів. Мінор другого порядку 
відмінний від нуля. Переберемо оздоблюють його мінори третього порядку: 
Так як всі оздоблюють мінори третього порядку дорівнюють нулю, то ранг основної матриці дорівнює двом.
У свою чергу ранг розширеної матриці 
дорівнює трьом, так як мінор третього порядку 
відмінний від нуля.
Таким чином, Rang (A), отже, по теоремі Кронекера - Капеллі можна зробити висновок, що вихідна система лінійних рівнянь несумісна.
відповідь:
Система рішень не має.
Отже, ми навчилися встановлювати несумісні системи за допомогою теореми Кронекера - Капеллі.
А як же знаходити рішення СЛАР, якщо встановлена її спільність?
Для цього нам буде потрібно поняття базисного мінору матриці і теорема про ранзі матриці.
Мінор найвищого порядку матриці А, відмінний від нуля, називається базисним.
З визначення базисного мінору слід, що його порядок дорівнює рангу матриці. Для ненульовий матриці А базисних мінорів може бути кілька, один базисний мінор є завжди.
Для прикладу розглянемо матрицю 
.
Все мінори третього порядку цієї матриці дорівнюють нулю, так як елементи третього рядка цієї матриці представляють собою суму відповідних елементів першої та другої рядків.
Засадничими є такі мінори другого порядку, так як вони відмінні від нуля 
мінори 
базисними не є, так як дорівнюють нулю.
Теорема про ранг матриці.
Якщо ранг матриці порядку p на n дорівнює r, то всі елементи рядків (і стовпців) матриці, що не утворюють обраний базисний мінор, лінійно виражаються через відповідні елементи рядків (і стовпців), що утворюють базисний мінор.
Що нам дає теорема про ранзі матриці?
Якщо по теоремі Кронекера - Капеллі ми встановили спільність системи, то вибираємо будь-який базисний мінор основної матриці системи (його порядок дорівнює r), і виключаємо з системи всі рівняння, які не утворюють обраний базисний мінор. Отримана таким чином СЛАР буде еквівалентна вихідної, так як відкинуті рівняння все одно зайві (вони відповідно до теореми про ранг матриці є лінійною комбінацією решти рівнянь).
У підсумку, після відкидання зайвих рівнянь системи, можливі два випадки.
Якщо число рівнянь r в отриманій системі буде дорівнює числу невідомих змінних, то вона буде певною і єдине рішення можна буде знайти методом Крамера, матричним методом або методом Гаусса.
Приклад.
.
Рішення.
Ранг основної матриці системи 
дорівнює двом, так як мінор другого порядку 
відмінний від нуля. Ранг розширеної матриці 
також дорівнює двом, так як єдиний мінор третього порядку дорівнює нулю 
а розглянутий вище мінор другого порядку відмінний від нуля. На підставі теореми Кронекера - Капеллі можна стверджувати спільність вихідної системи лінійних рівнянь, так як Rank (A) = Rank (T) = 2.
В якості базисного мінору візьмемо . Його утворюють коефіцієнти першого і другого рівнянь: 
Третє рівняння системи не бере участь в утворенні базисного мінору, тому виключимо його з системи на підставі теореми про ранг матриці: 
Так ми отримали елементарну систему лінійних алгебраїчних рівнянь. Вирішимо її методом Крамера: 
відповідь:
x 1 = 1, x 2 = 2.
Якщо число рівнянь r в отриманої СЛАР менше числа невідомих змінних n, то в лівих частинах рівнянь залишаємо складові, що утворюють базисний мінор, інші складові переносимо в праві частини рівнянь системи з протилежним знаком.
Невідомі змінні (їх r штук), що залишилися в лівих частинах рівнянь, називаються основними.
Невідомі змінні (їх n - r штук), які виявилися в правих частинах, називаються вільними.
Тепер вважаємо, що вільні невідомі змінні можуть приймати довільні значення, при цьому r основних невідомих змінних будуть виражатися через вільні невідомі змінні єдиним чином. Їх вираз можна знайти вирішуючи отриману СЛАР методом Крамера, матричним методом або методом Гаусса.
Розберемо на прикладі.
Приклад.
Вирішіть систему лінійних алгебраїчних рівнянь 
.
Рішення.
Знайдемо ранг основної матриці системи 
методом оздоблюють мінорів. Як ненульового мінору першого порядку візьмемо a 1 1 = 1. Почнемо пошук ненульового мінору другого порядку, окаймляющего даний мінор: 
Так ми знайшли ненульовий мінор другого порядку. Почнемо пошук ненульового окаймляющего мінору третього порядку: 
Таким чином, ранг основної матриці дорівнює трьом. Ранг розширеної матриці також дорівнює трьом, тобто, система сумісна.
Знайдений ненульовий мінор третього порядку візьмемо в якості базисного.
Для наочності покажемо елементи, що утворюють базисний мінор: 
Ми залишаємо в лівій частині рівнянь системи складові, які беруть участь в базисному мінорі, решта переносимо з протилежними знаками в праві частини: 
Надамо вільним невідомим змінним x 2 і x 5 довільні значення, тобто, приймемо 
, Де - довільні числа. При цьому СЛАР набуде вигляду 
Отриману елементарну систему лінійних алгебраїчних рівнянь вирішимо методом Крамера: 
Отже,.
У відповіді не забуваємо вказати вільні невідомі змінні.
відповідь:
Де - довільні числа.
Підведемо підсумок.
Щоб вирішити систему лінійних алгебраїчних рівнянь загального вигляду, спочатку з'ясовуємо її спільність, використовуючи теорему Кронекера - Капеллі. Якщо ранг основної матриці не дорівнює рангу розширеної матриці, то робимо висновок про несумісності системи.
Якщо ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці, то вибираємо базисний мінор і відкидаємо рівняння системи, які не беруть участі в утворенні обраного базисного мінору.
Якщо порядок базисного мінору дорівнює числу невідомих змінних, то СЛАР має єдине рішення, яке знаходимо будь-яким відомим нам способом.
Якщо порядок базисного мінору менше числа невідомих змінних, то в лівій частині рівнянь системи залишаємо складові з основними невідомими змінними, інші складові переносимо в праві частини і надаємо вільним невідомим змінним довільні значення. З отриманої системи лінійних рівнянь знаходимо основні невідомі змінні методом Крамера, матричним методом або методом Гаусса.
Метод Гаусса для вирішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь загального вигляду.
Методом Гауса можна вирішувати системи лінійних алгебраїчних рівнянь будь-якого виду без попереднього їх дослідження на спільність. Процес послідовного виключення невідомих змінних дозволяє зробити висновок як про спільності, так і про несумісності СЛАР, а в разі існування рішення дає можливість відшукати його.
З точки зору обчислювальної роботи метод Гаусса найбільш прийнятний.
Дивіться його докладний опис і розібрані приклади в статті метод Гаусса для вирішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь загального вигляду.
Запис спільного рішення однорідних і неоднорідних систем лінійних алгебраїчних за допомогою векторів фундаментальної системи рішень.
У цьому розділі мова піде про спільні однорідних і неоднорідних системах лінійних алгебраїчних рівнянь, що мають безліч рішень.
Розберемося спочатку з однорідними системами.
Фундаментальною системою рішеньоднорідної системи з p лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими змінними називають сукупність (n - r) лінійно незалежних рішень цієї системи, де r - порядок базисного мінору основної матриці системи.
Якщо позначити лінійно незалежні рішення однорідної СЛАР як X (1), X (2), ..., X (nr) (X (1), X (2), ..., X (nr) - це матриці стовпці розмірності n на 1) , то загальне рішення цієї однорідної системи представляється у вигляді лінійної комбінації векторів фундаментальної системи рішень з довільними постійними коефіцієнтами з 1, з 2, ..., с (nr), тобто,.
Що означає термін спільне рішення однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь (Орослан)?
Сенс простий: формула задає всі можливі рішення вихідної СЛАР, іншими словами, взявши будь-який набір значень довільних постійних С 1, С 2, ..., С (n-r), за формулою ми отримаємо одне з рішень вихідної однорідної СЛАР.
Таким чином, якщо ми знайдемо фундаментальну систему рішень, то ми зможемо поставити всі рішення цієї однорідної СЛАР як.
Покажемо процес побудови фундаментальної системи рішень однорідної СЛАР.
Вибираємо базисний мінор вихідної системи лінійних рівнянь, виключаємо всі інші рівняння з системи і переносимо в праві частини рівнянь системи з протилежними знаками всі складові, що містять вільні невідомі змінні. Надамо вільним невідомим змінним значення 1,0,0, ..., 0 і обчислимо основні невідомі, вирішивши отриману елементарну систему лінійних рівнянь будь-яким способом, наприклад, методом Крамера. Так буде отримано X (1) - перше рішення фундаментальної системи. Якщо надати вільним невідомим значення 0,1,0,0, ..., 0 і обчислити при цьому основні невідомі, то отримаємо X (2). І так далі. Якщо вільним невідомим змінним додамо значення 0,0, ..., 0,1 і обчислимо основні невідомі, то отримаємо X (n-r). Так буде побудована фундаментальна система рішень однорідної СЛАР і може бути записано її спільне рішення у вигляді.
Для неоднорідних систем лінійних алгебраїчних рівнянь спільне рішення представляється у вигляді, де - загальне рішення відповідної однорідної системи, а - приватне рішення вихідної неоднорідною СЛАР, яке ми отримуємо, надавши вільним невідомим значення 0,0, ..., 0 і обчисливши значення основних невідомих.
Розберемо на прикладах.
Приклад.
Знайдіть фундаментальну систему рішень і спільне рішення однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь 
.
Рішення.
Ранг основної матриці однорідних систем лінійних рівнянь завжди дорівнює рангу розширеної матриці. Знайдемо ранг основної матриці методом оздоблюють мінорів. Як ненульового мінору першого порядку візьмемо елемент a 1 + 1 = 9 основної матриці системи. Знайдемо окаймляющий ненульовий мінор другого порядку: 
Мінор другого порядку, відмінний від нуля, знайдений. Переберемо оздоблюють його мінори третього порядку в пошуках ненульового: 
Все оздоблюють мінори третього порядку дорівнюють нулю, отже, ранг основної і розширеної матриці дорівнює двом. Базовим мінор візьмемо. Відзначимо для наочності елементи системи, які його утворюють: 
Третє рівняння вихідної СЛАР не бере участі в утворенні базисного мінору, тому, може бути виключено: 
Ми залишаємо в правих частинах рівнянь складові, які містять основні невідомі, а в праві частини переносимо доданки з вільними невідомими:
Побудуємо фундаментальну систему рішень вихідної однорідної системи лінійних рівнянь. Фундаментальна система рішень даної СЛАР складається з двох рішень, так як початкова СЛАУ містить чотири невідомих змінних, а порядок її базисного мінору дорівнює двом. Для знаходження X (1) додамо вільним невідомим змінним значення x 2 = 1, x 4 = 0, тоді основні невідомі знайдемо з системи рівнянь 
.
2.4.1. Визначення.Нехай дана неоднорідна система лінійних рівнянь
Розглянемо однорідну систему
у якій матриця коефіцієнтів збігається з матрицею коефіцієнтів системи (2.4.1). Тоді система (2.4.2) називається наведеної однорідної системи (2.4.1).
2.4.2. Теорема. Загальне рішення неоднорідної системи дорівнює сумі деякого приватного рішення неоднорідної системи і загального рішення наведеної однорідної.
Таким чином, для знаходження спільного рішення неоднорідної системи (2.4.1) досить:
1) Дослідити її на спільність. У разі спільності:
2) Знайти спільне рішення наведеної однорідної цієї системи.
3) Знайти якесь приватне рішення вихідної (неоднорідною).
4) Склавши знайдені приватне рішення і загальне рішення наведеної, знайти спільне рішення вихідної системи.
2.4.3. Вправа.Дослідити систему на спільність і в разі спільності знайти її спільне рішення у вигляді суми приватного і загального наведеного.
Рішення. а) Для вирішення завдання застосовуємо вищевказану схему:
1) Досліджуємо систему на спільність (Методом облямівки миноров): Ранг основної матриці дорівнює 3 (див. Рішення упр. 2.2.5, а), причому ненульовий мінор максимального порядку складено з елементів 1-й, 2-й, 4-й рядків і 1-го, 3 -го, 4-го стовпців. Для знаходження рангу розширеної матриці облямовують його 3-ої рядком і 6-м стовпцем розширеної матриці: = 0. значить, rg A =rg= 3, і система сумісна. Зокрема, вона рівносильна системі
2) Знайдемо загальний розв'язок X 0 наведеної однорідної цієї системи
X 0 ={(-2a - b ; a ; b ; b ; b ) | a , b Î R}
(Див. Рішення упр. 2.2.5, а)).
3) Знайдемо якесь приватне рішення x год вихідної системи . Для цього в системі (2.4.3), равносильной вихідної, вільні невідомі x 2 і x 5 вважаємо рівними, наприклад, нулю (це найбільш зручні дані):
і вирішуємо отриману систему: x 1 =- , x 3 =- , x 4 = -5. Таким чином, (-; 0; -; -5; 0) ¾ приватне рішення системи.
4) Знаходимо загальне рішення X н вихідної системи :
X н={x год }+X 0 ={(- ; 0; - ; -5; 0)} + {(-2a - b ; a ; b ; b ; b )}=
={(- -2a - b ; a ; - + b ; -5+b ; b )}.
Зауваження. Порівняйте отриману відповідь з другим відповіддю в прикладі 1.2.1 в). Для отримання відповіді в першому виді для 1.2.1 в) в якості базисних невідомих беруться x 1 , x 3 , x 5 (мінор при яких теж не дорівнює нулю), а в якості вільних ¾ x 2 і x 4 .
§3. Деякі додатки.
3.1. До питання про матричних рівняннях.Нагадуємо, що матричним рівнянням над полем F називається рівняння, в якому в якості невідомої виступає деяка матриця над полем F .
Найпростішими матричними рівняннями є рівняння виду
AX=B , XA =B (2.5.1)
де A , B ¾ дані (відомі) матриці над полем F , а X ¾ такі матриці, при підстановці яких рівняння (2.5.1) звертаються в вірні матричні рівності. Зокрема, матричний метод певних систем зводиться до вирішення матричного рівняння.
У разі, коли матриці A в рівняннях (2.5.1) невироджені, вони мають рішення відповідно X =A B і X =BA .
У разі, коли хоча б одна з матриць в лівій частині рівнянь (2.5.1) є виродження, даний метод вже не годиться, так як відповідна зворотна матриця A не існує. В цьому випадку знаходження рішень рівнянь (2.5.1) зводиться до вирішення систем.
Але перш введемо деякі поняття.
Безліч всіх рішень системи назвемо спільним рішенням . Окремо взяте рішення невизначеної системи назвемо її приватним рішенням .
3.1.1. Приклад.Решітьматрічное рівняння над полем R.
а) X =; б) X =; в) X = .
Рішення. а) Так як = 0, то формула X =A B для вирішення цього рівняння не годиться. Якщо в творі XA =B матриця A має 2 рядки, то матриця X має 2 стовпчика. число рядків X має співпасти з числом рядків B . Тому X має 2 рядки. Таким чином, X ¾ деяка квадратна матриця другого порядку: X =. Підставами X в вихідне рівняння:
Перемножая матриці в лівій частині (2.5.2), приходимо до рівності
Дві матриці рівні тоді і тільки тоді, коли вони однакових розмірностей і рівні їх відповідні елементи. Тому (2.5.3) рівносильно системі
Ця система рівносильна системі
Вирішуючи її, наприклад, методом Гаусса, приходимо до безлічі рішень (5-2 b , b , -2d , d ), Де b , d незалежно один від одного пробігають R. Таким чином, X = .
б) Аналогічно а) маємо X = І.
Ця система несумісна (переконайтеся в цьому!). Тому дане матричне рівняння рішень не має.
в) Позначимо це рівняння через AX =B . Так як A має 3 стовпці, а B має 2 стовпці, то X ¾ деяка матриця розмірності 3'2: X =. Тому маємо такий ланцюжок рівносильних:
Вирішуємо останню систему методом Гаусса (коментарі опускаємо)
Таким чином, приходимо до системи
рішенням якої є (11 + 8 z , 14+10z , z , -49+8w , -58+10w ,w ) де z , w пробігають незалежно один від одного R.
Відповідь: а) X = , b , d Î R.
б) Рішень немає.
в) X = z , w Î R.
3.2. До питання про перестановки матриць.У загальному випадку твір матриць неперестановочно, тобто якщо A і B такі, що AB і BA визначені, то, взагалі кажучи, AB ¹ BA . Але приклад одиничної матриці E показує, що можлива і перестановочность AE =EA для будь-якої матриці A , аби AE і EA були визначені.
У цьому пункті ми розглянемо завдання на знаходження безлічі всіх матриць, перестановки з даної. Таким чином,
невідомі x 1 , y 2 і z 3 можуть приймати будь-які значення: x 1 =a , y 2 =b , z 3 =g . тоді
Таким чином, X = .
Відповідь. а) X d ¾ будь-яке число.
б) X ¾ безліч матриць виду, де a , b і g ¾ будь-які числа.
1-ий питання Іспит
1. Методологія системного аналізу. Поняття системи. Статичні властивості системи. Відкритість. Труднощі побудови моделі чорного ящика. Неоднорідність складу. Труднощі побудови моделі складу. Структурованість. Труднощі побудови моделі структури.
статичними властивостями назвемо особливості конкретного стану системи. Це те, чим володіє система в будь-який, але фіксований момент часу.
Відкритість - друга властивість системи. Що виділяється, отличимая від всього іншого, система не ізольована від навколишнього середовища. Навпаки, вони пов'язані і обмінюються між собою будь-якими видами ресурсів (речовиною, енергією, інформацією і т.д.). Помстимося, що зв'язку системи із середовищем мають спрямований характер; за одними середовище впливає на систему (їх називають входами системи), за іншими система впливає на середу, щось робить в середовищі, щось видає в середу (такі зв'язки називають виходами системи). Перелік входів і виходів системи називають моделлю чорного ящика . У цій моделі відсутня інформація про внутрішні особливості системи. Незважаючи на (уявну) простоту і бідність змісту моделі чорного ящика, ця модель годину то цілком достатня для роботи з системою.
Труднощі побудови моделі чорного ящика . Всі вони є наслідком того, що модель завжди містить кінцевий список зв'язків, тоді як їх число у реальної системи не обмежена. Виникає питання: які з них включати в модель, а які - ні? Відповідь ми вже знаємо: в моделі повинні бути відображені всі зв'язки, суп1ественние для
досягнення мети.
Чотири типу помилок при побудові моделі чорного ящика:
Помилка першого роду відбувається, коли суб'єкт розцінює зв'язок як істотну і приймає рішення про включення її в модель, тоді як насправді по відношенню до поставленої мети вона несуттєва і могла б бути не обліковується. Це призводить до по явищу в моделі «зайвих» елементів, по суті непотрібних.
Помилка другого роду, навпаки, відбувається суб'єктом, коли він приймає рішення, що даний зв'язок несуттєва і не заслуговує бути включеною в модель, тоді як насправді без неї наша мета не може бути досягнута в повній мірі або навіть зовсім.
Помилкою третього роду прийнято вважати наслідки незнання. Для того щоб оцінювати істотність деякому зв'язку, треба знати, що вона взагалі є. Якщо це невідомо, питання про включення або невключення її в модель взагалі не варто: в моделях є тільки те, що ми знаємо. Але від того, що ми не підозрюємо про існування якоїсь зв'язку, вона не перестає існувати і проявлятися в реальній дійсності. А далі все залежить від того, наскільки вона істотна для досягнення нашої мети. Якщо вона несуттєва, то ми в практиці і не помітимо її наявності в реальності і відсутності в моделі. Якщо ж вона істотна, ми будемо відчувати ті ж труднощі, що і при помилку другого роду. Різниця полягає в тому, що помилку третього роду важче виправити: треба здобувати нові знання.
Помилка четвертих поколіннях тих може виникнути при неправильному віднесення відомої і визнаної істотного зв'язку до числа входів або виходів.
Внутрішня неоднорідність: розрізнення частин (третя властивість системи). Якщо заглянути всередину «чорного ящика», то з'ясується, що система не однорідна, не монолітна; можна виявити, що різні якості в різних місцях відрізняються. Опис внутрішньої неоднорідності системи зводиться до відокремлення щодо однорідних ділянок, проведення кордонів між ними. Так з'являється поняття про частини системи. При більш детальному розгляді виявляється, що виділені великі частини теж не однорідні, що вимагає виділяти ще дрібніші частини. В результаті виходить ієрархічний список частин системи, який ми будемо називати моделлю складу системи.
Труднощі побудови моделі складу , Які кожному доводиться долати, можна уявити трьома положеннями:
Перше. Ціле можна ділити на частини по-різному (як розрізати булку хліба на скибки різного розміру і форми). А як саме треба? Відповідь: так, як вам треба для досягнення вашої мети.
Друге. Кількість частин в моделі складу залежить і від того, на якому рівні зупинити дроблення системи. Частини на кінцевих гілках виходить ієрархічного дерева називаються елементами .
Третє. Будь-яка система є частиною якоїсь більшої системи (а нерідко частиною відразу декількох систем). А цю метасістему теж можна ділити на підсистеми по-різному. Це означає, що зовнішня межа системи має відносний, умовний характер. Навіть «очевидна» межа системи (шкіра людини, огорожа підприємства і т.п.) за певних умов виявляється недостатньою для визначення кордону в цих умовах.
структурованість , Четверте статичну властивість полягає в тому, що частини системи не незалежні, не ізольовані один від одного; вони пов'язані між собою, взаємодіють один з одним. При цьому властивості системи в цілому істотно залежать від того, як саме взаємодіють її частини. Тому так часто важлива інформація про зв'язки частин. Перелік істотних зв'язків між елементами системи називається моделлю структури системи. Неподільність будь-якої системи певною структурою і будемо називати четвертим статичним властивістю систем - структурованістю.
Труднощі побудови моделі структури . Підкреслимо, що для даної системи може бути запропоновано безліч різних моделей структури. Ясно, що для досягнення певної мети по вимагається одна, конкретна, найбільш підходяща модель з них. Труднощі вибору з наявних або побудови моделі спеціально для нашого випадку виникає з того, що, за визначенням, модель структури - це перелік істотних зв'язків.
Перша трудність пов'язана з тим, що модель структури визначається після того, як вибирається модель складу, і залежить від того, ка ков саме склад системи. Але навіть при зафіксованому складі модель структури вариабельна - через можливість по-різному визначити істотність зв'язків.
Друга складність виникає з того, що кожен елемент системи є «маленький чорний ящик». Так що всі чотири типи помилок МОЖЛИВІ при визначенні входів і виходів кожного елемента, що включаються в модель структури.
2. Методологія системного аналізу. Поняття системи. Динамічні властивості системи: функціональність, стимулювання, мінливість системи з часом, існування в змінюється середовищі. Синтетичні властивості системи: емерджентність, неподільність на частини, інгерентно, доцільність.
Динамічні властивості системи:
функціональність - п'ята властивість системи. Процеси Y (t), що відбуваються на виходах системи (У (1) ^ (уi (t), Уг (1), -, Уп (0), розглядаються як її функції. функції системи - це її поведінка в зовнішньому середовищі; зміни, вироблені системою в навколишньому середовищі; результати її діяльності; продукція, вироблена системою. З множинності виходів слід множинність функцій, кожна з которих.может бути кимось і для чогось використана. Тому одна і та ж система може служити для різних цілей.
стимульовані - шість властивість системи. На входах си стеми теж відбуваються певні процеси X (t) = (x ^ (t), X2 (t), x ^ (t)), що впливають на систему, перетворюючись (після ряду перетворень в системі) в Y (t). Назвемо впливу X (t) стимулами, а саму схильність будь-якої системи впливів ззовні і зміна її поведінки під цими впливами - назвемо стимульовані.
Мінливість системи з часом - сьомий властивість системи. У будь-якій системі відбуваються зміни, які треба враховувати; передбачати і закладати в проект майбутньої системи; сприяти або протидіяти їм, прискорюючи або сповільнюючи їх при роботі з існуючою системою. Змінюватися в системі може що завгодно, але в термінах наших моделей можна дати наочну класифікацію змін: змінюватися можуть значення внутрішніх змінних (параметрів) Z (t), склад і структура системи і будь-які їх комбінації.
Існування в мінливому середовищі - восьме властивість системи. Змінюється не тільки дана система, але і всі інші. Для даної системи це виглядає як безперервна зміна навколишнього середовища. Неминучість існування в постійно змінюваному оточенні має безліч наслідків для самої системи, починаючи з необхідності її пристосування до зовнішніх змін, щоб не загинути, до різних інших реакцій системи. При рас смотрении конкретної системи з конкретною метою увага зосереджується на деяких конкретних особливостях її реакції.
Синтетичні властивості системи:
синтетичні . Цей термін означає узагальнюючі, збірні, інтегральні властивості, що враховують сказане раніше, але роблять упор на взаємодії системи з середовищем, на цілісність в найзагальнішому розумінні.
емерджентність - дев'яте властивість системи. Мабуть, це властивість більш всіх інших говорить про природу систем. Об'єднання частин в систему породжує у системи якісно нові властивості, що не зводяться до свій ствам частин, які не виводяться з властивостей частин, властиві тільки самій системі і існують тільки поки система становить одне ціле. Система є щось більше, ніж проста сукупність елементів. Якості системи, притаманні лише їй, називаються емерджентньші (від англ. «виникати»).
Неподільність на частини - десята властивість системи. Хоча це властивість є простим наслідком емерджентність, його практична важливість настільки велика, а його недооцінка зустрічається так часто, що доцільно підкреслити його окремо. Якщо нам потрібна сама система, а не щось інше, то її не можна розділяти на частини. При ВИЛУЧЕННЯ з системи деякої частини відбувається дві важливі події.
По-перше, при цьому змінюється склад системи, а значить, і її структура. Це буде вже інша система, з відмінними властивості ми. Оскільки властивостей у колишньої системи багато, то якесь властивість, пов'язане саме з цією частиною, взагалі зникне (воно може виявитися і емерджентним, і не таким. Якийсь властивість зміниться, але частково збережеться. А якісь властивості системи взагалі несуттєво пов'язані з вилучається частиною. Підкреслимо ще раз, що істотно чи ні позначиться вилучення частини з системи - питання оцінки наслідків.
Друге важливе наслідок вилучення частини з системи полягає в тому, що частина в системі і поза нею - це не одне і те ж. Змінюються її властивості в силу того, що властивості об'єкта виявляються у взаємодіях з оточуючими його об'єктами, а при вилученні з системи оточення елемента стає зовсім іншим.
Інгсрентность - одинадцятий властивість системи. Будемо говорити, що система тим більше іігерентна (від англ. Inherent - є невід'ємною частиною чогось), чим краще вона узгоджена, пристосована до навколишнього середовища, сумісна з нею. Ступінь інгерентно буває різною і.может змінюватися (навчання, забування, еволюція, реформи, розвиток, деградація і т.п.). Факт відкритості всіх систем ще не означає, що всі вони в однаковому ступені добре узгоджені з навколишнім середовищем.
доцільність - дванадцятий властивість системи. У створюваних людиною системах підпорядкованість всього (і складу, і структури) поставленої мети настільки очевидна, що повинна бути визнана фундаментальним властивістю будь-якої штучної системи. Мета, заради якої створюється система, визначає, яке Емерджентні властивість буде забезпечувати реалізацію мети, а це, в свою чергу, диктує вибір складу і структури системи. Одне з визначень системи так і говорить: система є засіб досягнення мети. Мається на увазі, що якщо висунута мета не може бути досягнута за рахунок уже наявних можливостей, то суб'єкт компонує з навколишніх його об'єктів нову систему, спеціально створювану, щоб допомогти досягти цю мету. Варто зауважити, що рідко мета однозначно визначає склад і структуру створюваної системи: важливо, щоб реалізувалася потрібна функція, а цього часто можна досягти різними способами.
3. Методологія системного аналізу. Моделі і моделювання. Поняття моделі як системи. Аналіз і синтез як методи побудови моделей. Штучна і природна класифікація моделей. Узгодженість моделей з культурою суб'єкта.
Залежно від того, що нам потрібно дізнатися, пояснити - як система влаштована або як вона взаємодіє з середовищем, розрізняють два методи пізнання: 1) аналітичний; 2) синтетичний.
Процедура аналізу складається в послідовному виконанні наступних трьох операцій; 1) складне ціле розчленувати на більш дрібні частини, імовірно більш прості; 2) дати зрозуміле пояснення отриманим фрагментам; 3) об'єднати пояснення частин в пояснення цілого. Якщо якась частина системи залишається все ще незрозумілою, операція декомпозиції повторюється і ми знову робимо спробу пояснити нові, ще більш дрібні фрагмент.
Першим продуктом аналізу є, як це видно зі схеми, перелік елементів системи, тобто . модель складу системи . Другим продуктом аналізу є модель структури системи . Третій продукт аналізу - модель чорного ящика для кожного елемента системи.
синтетичний метод складається в послідовному виконанні трьох операцій: 1) виділення більшої системи (метасістеми), в яку цікавить нас система входить як частину; 2) розгляд складу і структури метасістеми (її аналіз): 3) пояснення ролі, яку займає наша система в метасистеме, через її зв'язки з іншими підсистемами метасістеми. Кінцевим продуктом синтезу є знання зв'язків нашої системи з іншими частинами метасістеми, тобто модель чорного ящика. Але щоб її побудувати, нам довелося попутно створити моделі складу і структури метасістеми як побічні продукти.
Аналіз і синтез не протилежні, а доповнюють один одного. Більш того, в аналізі є синтетичний компонент, а в синтезі - аналіз метасістеми.
Розрізняють два види класифікацій: штучну і природну . При штучної класифікації поділ на класи проводиться «так, як треба», тобто виходячи з поставленої мети - на стільки класів і з такими межами, як це диктується метою. Дещо по-іншому проводиться класифікація, коли рас розглядати безліч явно неоднорідне. Природні угруповання (їх в статистиці називають кластерами) як би напрошуються бути визначеними як класи , (Звідси назва класифікації природна) . Однак слід мати на увазі те, що і природна класифікація - це лише спрощення, огрубіння модель реальності .
Узгодженість моделей з культурою суб'єкта . Для того, щоб модель реалізувала свою модельну функцію, недостатньо лише наявності самої моделі. Необхідно, щоб модель була сумісна, узгоджена з навколишнім середовищем, якої для моделі є культура (світ моделей) користувача. Ця умова при розгляді властивостей систем названо інгерентно: інгерентно моделі культурі є необхідною вимогою для здійснення моделювання.Ступінь інгерентно моделі може змінюватися: збільшуватися (навчання користувача, поява адаптера типу Розеттського каменю і т.п.) або спадати (забування, знищення культури) за рахунок зміни середовища або самої моделі. Таким чином, до складу метасістеми моделювання потрібно включити ще один елемент - культура.
4. Методологія системного аналізу. Управління. П'ять компонентів управління. Сім типів управління.
управління - цілеспрямований вплив на систему.
П'ять компонентів управління:
Першим компонентом управління є сам об'єкт управління, керована система.
Другим обов'язковим компонентом системи управління є мета управління.
Керуючий вплив U (t) є третій компонент управління . Той факт, що входи і виходи системи пов'язані між собою деяким співвідношенням Y (t) = S, дозволяє сподіватися на Те, що існує таке керуючий вплив при кото ром на виході реалізується мета V * (t).
Модель системи стає четвертою складовою частиною процесу управління.
Всі дії, необхідні для управління, повинні бути виконані. Ця функція покладається зазвичай на спеціально створювану для цього систему (П'яту складову частину процесу управління). Звану блоком управління або системою (підсистемою) управління, керуючим пристроємі т.п. В реальності блок керування може бути підсистемою керованої системи (як;) аводоуіравле1гае - частина заводу, автопілот - частина літака), але може бути і зовнішньою системою (як міністерство для підвідомчого підприємства, як аеродромний диспетчер для йде на посадку літака).
Сім типів управління:
Перший тип управління - управління простою системою, або програмне управління.
Другий тип управління - управління складною системою.
Третій тип управління - управління за параметрами, або регулювання.
Четвертий тип управління - управління за структурою.
П'ятий тип управління - управління за цілями.
Шостий тип управління - управління великими системами.
Сьомий тип управління. Крім першого типу управління, коли все потрібне для реалізації мети в наявності, решта розглянуті типи управління пов'язані з подоланням факторів, \ 1ешаю1ціх досягти мета: брак інформації про об'єкт управління (другий тин), сторонні дрібні перешкоди, злегка відхиляють систему від цільової траєкторії (третій тип ), невідповідність між емерджентни- ми властивостями системи і поставленою метою (четвертий тип), що не хватка матеріальних ресурсів, що робить мета недосяжною і вимагає її заміни (п'ятий тип), дефіцит часу для пошуку найкращого рішення (шостий тип).
5. Технологія системного аналізу. Умови успіху системного дослідження. Етапи системного дослідження: фіксація проблеми, діагностика проблеми, складання списку стейкхолдерів, визначення проблемного місива.
Умови успіху системного дослідження :
гарантія доступу до будь-якої необхідної інформації (при цьому аналітик зі свого боку гарантує конфіденційність);
гарантія особистої участі перших осіб організацій - обов'язкових учасників проблемної ситуації (керівників проблемосодержащіх і проблеморазрешающіх систем);
відмова від вимоги заздалегідь сформулювати необхідний результат ( «технічне завдання»), так як поліпшують втручань багато і заздалегідь вони невідомі, тим більше - яке буде обрано до здійснення.
фіксація проблеми - завдання сформулювати проблему і зафіксувати її документально. Формулювання проблеми виробляється самим клієнтом; справа аналітика - з'ясувати, на що скаржиться клієнт, ніж він незадоволений. Це і є проблема клієнта так, як він її бачить. При цьому слід намагатися не вплинути на його думку, не спотворити його.
діагностика проблеми . Який із способів вирішення проблем застосувати для вирішення даної проблеми, залежить від того, виберемо ми вплив на самого незадоволеного суб'єкта або втручання в реальність, до торою він незадоволений (можливі випадки, коли доцільно поєднання обох впливів). Завдання даного етапу і полягає в тому, щоб поставити діагноз - визначити, до якого типу належить проблема.
Складання списку стейкхолдерів .Наші кінцевою метою є здійснення поліпшує втручання. Кожен етап повинен на крок наблизити нас до нього, але треба спеціально піклуватися, щоб цей крок був саме в потрібну, а не в іншу сторону. Для того щоб згодом врахувати інтереси всіх учасників проблемної ситуації (а саме ка цьому засноване поняття поліпшує втручання), необхідно спочатку дізнатися, хто ж залучений в проблемну ситуацію, скласти їх список. При цьому важливо не пропустити нікого; адже неможливо врахувати інтереси того, хто нам невідомий, а не облік кого-небудь загрожує тим, що наше втручання не буде поліпшує. Таким чином, список учасників проблем ної ситуації повинен бути повним.
Виявлення проблемного місива . Стейкхолдери мають інтереси, які нам належить врахувати. Але для цього їх необхідно знати. Поки ж ми маємо лише список володарів інтересів. Перша порція інформації, яку не обходимо отримати про стейкхолдерів, - це його власна оцінка ситуації, проблемної для нашого клієнта. Вона може бути різною: у когось із стейкхолдерів можуть бути свої проблеми (оцінка негативна), хтось цілком задоволений (оцінка позитивна), інші можуть нейтрально ставитися до реальності. так проясниться<выражение л ица:^ каждого стейкхолдера. По сути, мы должны выполнить работу, которую делали на первом этапе с клиентом, но теперь с каждым стейкхолдером в отдельности.
6. Технологія системного аналізу. Операції системного аналізу. Етапи системного дослідження: визначення конфігуратора, целевиявленіе, визначення критеріїв, експериментальне дослідження.
Операції системного аналізу . Якщо клієнт згоден на умови контракту, аналітик приступає до першого етапу, виконавши який, починає другий і так далі до останнього етану, після закінчення якого повинно вийти реалізоване поліпшує втручання.
визначення конфігуратора . Необхідною умовою успішного вирішення проблеми є наявність адекватної моделі проблемної ситуації, з її допомогою можна буде випробовувати н порівнювати варіанти передбачуваних дій. Ця модель (або сукупність моделей) неминуче повинна будуватися засобами деякого мови (або мов). Постає питання про те, скільки і які саме мови потрібні для роботи над дан ної проблемою і як їх вибирати. Конфігуратором називається мінімальний набір професійних мов, що дозволяє дати повне (адекватне) опис проблемної ситуації і її перетворень. Вся робота в ході вирішення проблеми буде відбуватися на мовах конфігуратора. І тільки на них. Визначення конфігуратора є завданням даного етапу. Підкреслимо, що конфігуратор - це не штучне винахід системних аналітиків, придумане для полегшення їх роботи. З одного боку, конфігуратор визначається природою проблеми. З іншого боку, конфігуратор можна розглядати і як ще одне ВЛАСТИВІСТЬ систем, як засіб, за допомогою якого система вирішує свою проблему.
Целевиявленіе . Прагнучи до реалізації поліпшує втручання, ми повинні забезпечити, щоб ніхто з стейкхолдерів НЕ розцінив його негативно. Люди дають позитивну оцінку зміни, якщо воно наближає їх до мети, і негативну, якщо віддаляє від неї. Отже, для проектування втручання необхідно знати цілі всіх стейкхолдерів. Звичайно, головне джерело інформації - сам стейкхолдер.
визначення критеріїв . В ході вирішення проблеми буде необхідно порівнювати пропоновані варіанти, оцінювати ступінь досягнення мети або відхилення від неї, здійснювати контроль за ходом подій. Це досягається шляхом виділення деяких ознак аналізованих об'єктів і процесів. Дані ознаки повинні бути пов'язані з важливими нас особливостями розглянутих об'єктів або процесів, повинні бути доступними для спостереження і вимірювання. Тоді за отриманими результатами вимірювань ми зможемо здійснити необхідний контроль. Такі характеристики називають критеріями. У кожному дослідженні (в тому числі і нашому) будуть потрібні критерії. Скільки, ка кі і як вибирати критерії? Спочатку про кількість критеріїв. Очевидно, що чим менше критеріїв знадобиться, тим простіше буде проводити порівняння. Тобто бажано мінімізувати число критеріїв, добре б звести його до одного. вибір критеріїв . Критерії є кількісними моделями якісних цілей. Справді, сформовані критерії надалі в певному сенсі представляють, замінюють цілі: оптимізація за критеріями повинна забезпечувати максимальне наближення до мети. Звичайно, критерії не тотожні цілі, це подібність мети, її модель. Визначення значення критерію для даної альтернативи є, по суті, виміром ступеня її придатності як засобу досягнення мети.
Експериментальне дослідження систем. Експеримент і модель. Часто відсутню інформацію про систему можна отримати тільки з самої системи, провівши спеціально спланований для цього експеримент. Міститься в протоколі експерименту інформацію витягають, піддаючи по Отримані дані обробці, перетворенню в форму, придатну для включення її В. Модель системи. Завершальним дією є корекція моделі, що включає отриману інформацію в модель. Легко сприймається, що експеримент потрібен для вдосконалення моделі. Важливо зрозуміти також, що експеримент неможливий без моделі. Вони знаходяться в одному циклі. Однак обертання з цього циклу нагадує не вращаюп1ееся колесо, а котиться сніжний ком - з кожним обертом він стає все більше, вагоміше.
7. Технологія системного аналізу. Етапи системного дослідження: побудова і вдосконалення моделей, генерування альтернатив, прийняття рішення, +.
Побудова та удосконалення моделей. У системному аналізі модель проблемно і ситуації потрібна для того, щоб на ній «Програти» можливі варіанти втручань, щоб відсікти не тільки ті, які виявляться не поліпшують, а й вибрати серед поліпшують найбільш (за нашими критеріями) поліпшують. Треба підкреслити, що внесок в побудову моделі ситуації робиться на кожному попередньому і на всіх наступних етапах (і власним внеском, і рішенням про повернення на якийсь ранній етап для поповнення моделі інформацією). Тому насправді немає окремого, особливого «етапу побудови моделі», І все-таки варто зосередити увагу на особливостях побудови моделей, а точніше - їх «Добудовування» (Тобто приєднання нових елементів або вилучення зайвих).
генерування альтернатив . У викладається технології це дія проводиться в два етапи:
виявлення розбіжностей між проблемним і цільовим місиво. Повинні бути чітко сформульовані відмінності між існуючим зараз (і незадовільним) станом організації та майбутнім, найбільш бажаним, ідеальним станом, до якого передбачається прагнути. Ці відмінності і є ті про білі, ліквідацію яких і потрібно спланувати;
пропозиція можливих варіантів усунення або зменшення виявлених розбіжностей. Повинні бути придумані під лежать здійсненню дії, процедури, правила, проекти, програми і політики, - все компоненти менеджменту.