Оновлено:

На кількох прикладах (які спочатку вирішував, як завжди, на otvet.mail.ru) розглянемо клас завдань елементарної балістики: політ тіла, запущеного під кутом до горизонту з деякою початковою швидкістю, без урахування опору повітря і кривизни земної поверхні (тобто напрямок вектора прискорення вільного падіння g вважаємо незмінним).

Завдання 1.Дальність польоту тіла дорівнює висоті його польоту над поверхнею Землі. Під яким кутом кинуто тіло? (У деяких джерелах чомусь наведено неправильну відповідь – 63 градуси).

Позначимо час польоту як 2*t (тоді протягом t тіло піднімається нагору, протягом наступного проміжку t - спускається). Нехай горизонтальна складова швидкості V1, вертикальна – V2. Тоді дальність польоту S = V1 * 2 * t. Висота польоту H = g * t * t / 2 = V2 * t / 2. Прирівнюємо
S = H
V1*2*t = V2*t/2
V2/V1 = 4
Відношення вертикальної та горизонтальної швидкостей є тангенс шуканого кута α, звідки α = arctan(4) = 76 градусів.

Завдання 2.Тіло кинуто з Землі зі швидкістю V0 під кутом α до горизонту. Знайти радіус кривизни траєкторії тіла: а) початку руху; б) у верхній точці траєкторії.

В обох випадках джерело криволінійності руху - це гравітація, тобто прискорення вільного падіння g, спрямоване вертикально вниз. Все що тут потрібно - знайти проекцію g, перпендикулярну до поточної швидкості V, і прирівняти її доцентрового прискорення V^2/R, де R - радіус кривизни.

Як видно з малюнка, для початку руху ми можемо записати
gn = g*cos(a) = V0^2/R
звідки радіус шуканий R = V0^2/(g*cos(a))

Для верхньої точки траєкторії (див. рисунок) маємо
g = (V0*cos(a))^2/R
звідки R = (V0*cos(a))^2/g

Завдання 3. (варіація на тему)Снаряд рухався горизонтально на висоті h і розірвався на два однакові уламки, один з яких упав на землю через час t1 після вибуху. Через який час після падіння першого уламка впаде другий?

Яку б вертикальну швидкість V не придбав перший уламок, другий придбає ту ж по модулю вертикальну швидкість, але спрямовану в протилежний бік (це випливає з однакової маси уламків та збереження імпульсу). Крім того, V спрямована вниз, оскільки інакше другий уламок прилетить на землю ДО першого.

h = V*t1+g*t1^2/2
V = (h-g * t1 ^ 2/2) / t1
Другий полетить вгору, втратить вертикальну швидкість через час V/g, і потім через такий самий час долетить донизу до початкової висоти h, і час t2 його затримки щодо першого осколка (не час польоту від моменту вибуху) складе
t2 = 2*(V/g) = 2h/(g*t1)-t1

доповнено 2018-06-03

Цитата:
Камінь кинутий зі швидкістю 10 м/с під кутом 60 ° до горизонту. Визначити тангенціальне та нормальне прискорення тіла через 1,0 с після початку руху, радіус кривизни траєкторії в цей момент часу, тривалість та дальність польоту. Який кут утворює вектор повного прискорення із вектором швидкості при t = 1,0 с

Початкова горизонтальна швидкість Vг = V * cos (60 °) = 10 * 0.5 = 5 м / с, і вона не змінюється протягом усього польоту. Початкова вертикальна швидкість V = V * sin (60 °) = 8.66 м / с. Час польоту до максимально високої точки t1 = Vв/g = 8.66/9.8 = 0.884 сек, отже тривалість польоту 2*t1 = 1.767 з. За цей час тіло пролетить горизонталлю Vг*2*t1 = 8.84 м (дальність польоту).

Через 1 секунду вертикальна швидкість становитиме 8.66 - 9.8*1 = -1.14 м/с (спрямована вниз). Значить кут швидкості до горизонту становитиме arctan(1.14/5) = 12.8° (вниз). Оскільки повне прискорення тут єдине та незмінне (це прискорення вільного падіння g, спрямоване вертикально вниз), то кут між швидкістю тіла і gу цей час складе 90-12.8 = 77.2°.

Тангенціальне прискорення – це проекція gнапрям вектора швидкості, отже становить g*sin(12.8) = 2.2 м/с2. Нормальне прискорення – це перпендикулярна до вектора швидкості проекція g, Вона дорівнює g * cos (12.8) = 9.56 м / с2. І оскільки останнє пов'язане зі швидкістю і радіусом кривизни виразом V^2/R, маємо 9.56 = (5*5 + 1.14*1.14)/R, звідки шуканий радіус R = 2.75 м.

Розглянемо як приклад застосування виведених формул рух тіла, кинутого під кутом до горизонту без опору повітря. Скажімо, на горі на висоті над рівнем моря стоїть гармата, що охороняє прибережні води. Нехай снаряд випускається під кутом до горизонту з початковою швидкістю точки, положення якої визначається радіус-вектором (рис. 2.16).

Мал. 2.16. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту

Доповнення.

Виведення рівнянь руху матеріальної точки у полі сили тяжіння

Напишемо рівняння руху (рівняння другого закону Ньютона):

це означає, що тіла - матеріальні точки - будь-яких мас за тих самих початкових умов рухатимуться в однорідному полі тяжкості однаково. Спроектуємо рівняння (2.7.2) на осі декартової системи координат. Горизонтальна вісь ОХпоказано на рис. 13 пунктиром, вісь OYпроведемо через точку Провертикально вгору, а горизонтальну вісь OZ, що також проходить через точку Про, направимо перпендикулярно вектору до нас. Отримуємо:

Вертикальним напрямом, за визначенням, називається напрям вектора, тому його проекції на горизонтальні осі OXі OYрівні нулю. У другому рівнянні враховано, що вектор спрямований вниз, а вісь OY- Вгору.

Мал. 2.17. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту.

Додамо до рівнянь руху початкові умови, які визначають положення та швидкість тіла у початковий момент часу t 0, нехай t 0 = 0. Тоді, згідно з рис. 2.7.4

Якщо похідна деякої функції дорівнює нулю, то функція стала, відповідно з першого і третього рівнянь (2.7.3) отримуємо:

У другому рівнянні (2.7.3) похідна дорівнює константі, звідки випливає, що функція залежить від свого аргументу лінійно, тобто

Об'єднуючи (2.7.7) та (2.7.9), отримуємо остаточні вирази для залежностей проекцій швидкості на осі координат від часу:

Третє рівняння (2.7.11) показує, що траєкторія тіла плоска, повністю лежить у площині XOY, Це вертикальна площина, що визначається векторами і . Очевидно, що останнє твердження загальне: хоч би як були обрані напрямки осей координат, траєкторія тіла кинутого під кутом до горизонту плоска, вона завжди лежить у площині, яка визначається вектором початкової швидкості та вектором прискорення вільного падіння.

Якщо три рівняння (2.7.10) помножити на орти осей , , та й скласти, а потім те саме зробити з трьома рівняннями (2.7.11), то отримаємо залежність від часу вектора швидкості частинки та її радіус вектора. З урахуванням початкових умов маємо:

Формули (2.7.12) і (2.7.13) можна було отримати одразу, безпосередньо з (2.7.2), якщо врахувати, що прискорення вільного падіння є постійний вектор. Якщо прискорення - похідна від вектора швидкості - постійно, то вектор швидкості залежить від часу лінійно, а радіус-вектор, похідна за часом від якого є лінійно залежить від часу вектор швидкості, залежить від часу квадратично. Це і записано у співвідношеннях (2.7.12) та (2.7.13) з константами - постійними векторами - підібраними відповідно до початкових умов у формі (2.7.4).

З (2.7.13) зокрема видно, що радіус-вектор є сумою трьох векторів, що складаються за звичайними правилами, що показано на рис. 2.18.

Мал. 2.18. Подання радіус-вектора r(t) у довільний момент часу t у вигляді суми трьох векторів

Ці вектори є:

Тут виразно проявляється принцип незалежності рухів, відомий в інших галузях фізики як принцип суперпозиції(Накладення). Взагалі кажучи, згідно з принципом суперпозиції результуючий ефект кількох впливів є сумою ефектів від кожного впливу окремо. Він є наслідком лінійності рівнянь руху.

Відео 2.3. Незалежність горизонтального та вертикального переміщень під час руху у полі тяжкості.

Помістимо початок відліку до точки кидання. Тепер =0 , осі, як і раніше, розгорнемо так, щоб вісь 0xбула горизонтальною, вісь 0у- вертикальною, а початкова швидкість лежала у площині х0у(Рис. 2.19).

Мал. 2.19. Проекції початкової швидкості на координатні осі

Спроектуємо на осі координат (див.(2.7.11)):

Траєкторія польоту. Якщо із системи отриманих рівнянь виключити час t, то отримаємо рівняння траєкторії:

Це рівняння параболи, гілки якої спрямовані вниз.

Дальність польоту при стрільбі з висоти h . У момент падіння тіла (снаряд попадає в ціль, що знаходиться на поверхні моря). Відстань по горизонталі від гармати до мети дорівнює при цьому. Підставляючи; в рівняння траєкторії, отримуємо квадратне рівняння для дальності польоту:

У квадратного рівняння є два рішення (у разі - позитивне і негативне). Нам потрібне позитивне рішення. Стандартний вираз для кореня квадратного рівняння нашого завдання може бути приведений до вигляду:

досягається при , якщо h = 0.

Максимальна дальність польоту. Під час пострілу з гори висотою це вже не так. Знайдемо кут , у якому досягається максимальна дальність польоту. Залежність дальності польоту від кута досить складна, і замість диференціювання для знаходження максимуму ми зробимо так. Уявімо, що ми збільшуємо початковий кут. Спочатку дальність польоту зростає (див. формулу (2.7.15)), досягає максимального значення і знову починає падати (до нуля при пострілі вертикально вгору). Отже, кожної дальності польоту, крім максимальної, відповідає два напрями початкової швидкості.

Звернемося знову до квадратного рівняння відносності дальності польоту та розглянемо його як рівняння для кута. Враховуючи, що

перепишемо його у вигляді:

Ми знову отримали квадратне рівняння, цього разу – для невідомої величини. Рівняння має два корені, що відповідає двом кутам, при яких дальність польоту дорівнює . Але коли обидва корені повинні збігтися. Це означає, що дорівнює нулю дискримінант квадратного рівняння:

звідки слідує результат

При цьому результат відтворює формулу (2.7.16)

Зазвичай висота значно менша від дальності польоту на рівнині. При квадратний корінь може бути апроксимований першими членами розкладання в ряд Тейлора і ми отримуємо наближений вираз

тобто дальність пострілу збільшується приблизно на висоту підйому гармати.

Коли l = l maxі a = a max ,як зазначалося, дискримінант квадратного рівняння дорівнює нулю, відповідно, його рішення має вигляд:

Оскільки тангенс менше одиниці, кут, у якому досягається максимальна дальність польоту, менше .

Максимальна висота підйому над початковою точкою.Ця величина може бути визначена з рівності нулю вертикальної складової швидкості у верхній точці траєкторії

При цьому горизонтальна складова швидкості не дорівнює нулю, тому

Кінематика – це просто!

Після кидка в польоті на тіло діють сила тяжіння Fтта сила опору повітря Fс.
Якщо рух тіла відбувається на малих швидкостях, то при розрахунку силу опору повітря зазвичай не враховують.
Отже, можна вважати, що на тіло діє тільки сила тяжіння, отже рух покинутого тіла є вільним падінням.
Якщо це вільне падіння, то прискорення покинутого тіла дорівнює прискоренню вільного падіння g.
На малих висотах щодо Землі сила тяжкості Fт мало змінюється, тому тіло рухається з постійним прискоренням.

Отже, рух тіла, кинутого під кутом до обрію є варіантом вільного падіння, тобто. рухом з постійним прискоренням та криволінійною траєкторією(т.к. вектори швидкості та прискорення не збігаються у напрямку).

Формули цього руху на векторному вигляді: Для розрахунку руху тіла вибирають прямокутну систему координат XOY, т.к. траєкторією руху тіла є парабола, що лежить у площині, що проходить через вектори Fт і Vo.
За початок координат зазвичай вибирають точку початку руху покинутого тіла.

У будь-який момент часу зміна швидкості руху тіла за напрямком збігається з прискоренням.

Вектор швидкості тіла у будь-якій точці траєкторії можна розкласти на 2 складові: вектор V x і вектор V y .
У будь-який момент часу швидкість тіла визначатиметься як геометрична сума цих векторів:

Згідно з малюнком, проекції вектора швидкості на координатні осі OX та OY виглядають так:

Розрахунок швидкості тіла у будь-який момент часу:

Розрахунок переміщення тіла у будь-який момент часу:

Кожній точці траєкторії руху тіла відповідають координати X та Y:

Розрахункові формули для координат кинутого тіла у будь-який момент часу:

З рівняння руху можна вивести формули для розрахунку максимальної дальності польоту L:

та максимальної висоти польоту Н:

P.S.
1. При рівних за величиною початкових швидкостях Vo дальність польоту:
- зростає, якщо початковий кут кидання збільшувати від 0 o до 45 o
- зменшується, якщо початковий кут кидання збільшувати від 45 o до 90 o .

2. При рівних початкових кутах кидання дальність польоту L зростає із збільшенням початкової швидкості Vo.

3. Окремим випадком руху тіла, кинутого під кутом до горизонту, є рух тіла, кинутого горизонтальноПри цьому початковий кут кидання дорівнює нулю.

Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту

Розглянемо рух тіла, кинутого зі швидкістю V 0 вектор якої спрямований під кутом α до горизонту, в площині XOY, розташувавши тіло в момент кидання в початок координат, як це зображено на малюнку 1.

У відсутності сил опору рух тіла, кинутого під кутом до горизонту, можна розглядати як окремий випадок криволінійного руху під дією сили тяжіння. Застосовуючи другий закон Ньютона

∑ F i
отримуємо
mg = ma ,
		a = g
Проекції вектора прискорення a на осі ОХ та ОУ дорівнюють:
			= −g
де g = const – це		прискорення вільного падіння,							якого завжди
спрямований вертикально вниз,		чисельне значення g = 9,8 м/с2;						= −g		т.к. вісь ОУ на

малюнку 1 спрямована вгору,якщо вісь OY спрямована вниз, то проекція вектора

2 a на вісь ОУ буде позитивна(читаючи умови завдань, вибирайте самі напрямок осей, якщо це не прописано в умові).

Значення проекцій вектора прискорення a на осі ОХ та ОУ дають підставу зробити

наступний висновок:

∙ тіло, кинуте під кутом до горизонту, одночасно бере участь у двох рухах - рівномірному по горизонталі та рівнозмінному по

вертикалі.
Швидкість тіла у такому разі
	V = Vx + Vy
Швидкість тіла у початковий момент часу (у момент кидання тіла)
V 0 = V 0 x			V 0 y.
Проекції вектора початкової швидкості осі ОХ і ОУ рівні
		V cosα
V 0 y		V 0 sin α

Для рівноперемінного руху залежності швидкості та переміщення від часу задаються рівняннями:

V 0 + at

S 0 + V 0 t +

і S 0 - це швидкість та переміщення тіла у початковий момент часу,

і S t - це швидкість та переміщення тіла в момент часу t.

Проекції векторного рівняння (8) на осі ОХ та ОУ рівні

V 0 x

Ax t,

V ty = V 0 y + a y t

Const

V 0 y - gt

Проекції векторного рівняння (9) на осі ОХ та ОУ рівні

S ox + V ox t +

a y t 2

S 0 y

V oy t +

з урахуванням рівностей (4), отримуємо

S 0 y

V oy t -

gt 2

де Sox та Soy -

координати тіла

у початковий момент часу,

а Stx і Sty -

координати тіла на момент часу t.

За час свого руху t (від моменту кидання до моменту падіння на той самий

рівень) тіло піднімається на максимальну висоту hmax, спускається з неї і відлітає від місця кидання на відстань L (дальність польоту) - див. рисунок 1.

1) Час руху тіла tможна знайти, враховуючи значення координат тіла Sy в

Soy = 0, Sty = 0,

підставивши значення Voy та (14) у друге рівняння системи (13), отримуємо

2) Дальність польоту Lможна знайти, враховуючи значення координат тіла Sх в

початковий момент часу та в момент часу t (див. рис.1)

Soх = 0, Stх = L,

підставивши значення Vox та (17) у перше рівняння системи (13), отримуємо

		L = V 0 cosα × t
звідки, з урахуванням (16), отримуємо
L = V cosα ×	2V sin α

3) Максимальну висоту підйому тіла h max можна знайти, враховуючи значення

швидкості тіла V у точці максимального підйому тіла

V 0 x

Т.к. у цій точці V y

Використовуючи другі рівняння систем (11) та (13) ,

значення Voу , а також той факт,

що в точці максимального підйому тіла Sy = hmax , отримуємо

0 = V 0 sin α - g × t під

gt під2

V 0 sin α × t -

h max

де tпід - час підйому - час руху на висоту максимального підйому тіла.

Вирішуючи цю систему, отримуємо

t під =

V 0 sin α

sin 2 α

Порівняння значень (16) і (22), дає підставу зробити висновок

· час руху на висоту максимального підйому тіла (tпід ) дорівнює часу спуску тіла (tсп ) з цієї висоти і дорівнює половині часу всього руху тіла від моменту кидання до моменту падіння на той самий рівень

t під	T сп

Вивчати рух тіла, кинутого зі швидкістю V 0 вектор якої спрямований під кутом α до горизонту, в площині XOY, дуже наочно на комп'ютерній моделі

"Вільне падіння тіл" у збірці комп'ютерних моделей "Відкрита фізика"

компанії ФІЗІКОН. У цій моделі можна задавати різні початкові умови.

Наприклад, розглянутий нами випадок потрібно задавати (команда "Очистити") за початкової умови h = 0 та вибраних V0 та α. Команда "Старт" продемонструє рух тіла і дасть картинку траєкторії руху та напрямок векторів швидкості тіла у фіксовані моменти часу.

Рис.2. Діалогове вікно комп'ютерної моделі "Вільне падіння тіл" у розділі

"Механіка"; тіло рухається з точки початку координат і падає на тому ж рівні.

Якщо умова завдання відрізняється від розглянутого нами випадку, необхідно

для вирішення задачі, вибравши напрямок осей, розмістити тіло в початковий момент

часу, зобразити траєкторію руху тіла до точки падіння, таким чином

визначивши координати тіла у початковий та кінцевий моменти часу. Потім

використовувати рівняння (3), (5), (8) та (9) як основу для вирішення та розглянутий вище

алгоритм розв'язання задачі.

Розглянемо окремі випадки.

6 1. Тіло кинули зі швидкістю V 0 , вектор якої спрямований під кутомα до

горизонту з висоти h і воно впало на відстані L від місця кидання. y у початковий

Soy = h,

а значення решти координат будуть обрані так само, як ми вибирали.

Рис.3. Діалогове вікно комп'ютерної моделі "Вільне падіння тіл" у розділі

"Механіка"; тіло рухається з точки h = 50м і падає на нульовий рівень.

2. Тіло кинули горизонтально зі швидкістю V 0 з висоти h і воно впало на відстані L від місця кидання. Відмінність від розглянутого нами випадку полягає в тому, значення координат тіла S y у початковий момент визначиться так само рівнянням (25),

а значення решти координат будуть обрані так само, як ми вибирали. Але у разі початкова швидкість тіла у проекції на вісь ОУ дорівнює нулю (оскільки α = 0), тобто.

проекції вектора початкової швидкості на осі ОХ та ОУ рівні

V 0 y

Рис.4. Діалогове вікно комп'ютерної моделі "Вільне падіння тіл" у розділі

"Механіка"; тіло, кинуте горизонтально, рухається з точки h = 50м і падає на нульовий рівень.

Коли вивчають механічний рух у фізиці, після ознайомлення з рівномірним і рівноприскореним переміщенням об'єктів, переходять до розгляду руху тіла під кутом до горизонту. У цій статті вивчимо докладніше це питання.

Що таке рух тіла під кутом до горизонту?

Цей тип переміщення об'єктів виникає, коли людина кидає камінь у повітря, гармата робить постріл ядром, або воротар вибиває від воріт футбольний м'яч. Усі такі випадки розглядаються наукою балістикою.

Зазначений вид переміщення об'єктів у повітрі відбувається за параболічною траєкторією. У загальному випадку проведення відповідних розрахунків є справою не простою, оскільки необхідно враховувати опір повітря, обертання тіла під час польоту, обертання Землі навколо осі та деякі інші фактори.

У цій статті ми не враховуватимемо всі ці фактори, а розглянемо питання з суто теоретичної точки зору. Проте отримані формули досить добре описують траєкторії тіл, що переміщуються на невеликі відстані.

Отримання формул для розглянутого виду руху

Виведемо тіла до горизонту під кутом. При цьому враховуватимемо лише одну-єдину силу, що діє на об'єкт, що летить, - силу тяжіння. Оскільки вона діє вертикально вниз (паралельно осі y і проти неї), то, розглядаючи горизонтальну та вертикальну складові руху, можна сказати, що перша матиме характер рівномірного прямолінійного переміщення. А друга - рівноуповільненого (рівноприскореного) прямолінійного переміщення із прискоренням g. Тобто компоненти швидкості через значення v 0 (початкова швидкість) і θ (кут напрямку руху тіла) запишуться так:

v x = v 0 * cos (θ)

v y = v 0 *sin(θ)-g*t

Перша формула (для v x) справедлива завжди. Що стосується другої, то тут треба зазначити один нюанс: знак мінус перед твором g * t ставиться тільки в тому випадку, якщо вертикальна компонента v 0 * sin (θ) спрямована вгору. У більшості випадків так і відбувається, однак, якщо кинути тіло з висоти, спрямувавши його вниз, тоді у виразі для y слід поставити знак "+" перед g * t.

Проінтегрувавши формули для компонентів швидкості за часом, і враховуючи початкову висоту h польоту тіла, отримуємо рівняння для координат:

x = v 0 * cos (θ) * t

y = h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2

Обчислення дальності польоту

При розгляді фізики руху тіла до горизонту під кутом, корисним для практичного застосування, виявляється розрахунок дальності польоту. Визначимо її.

Оскільки це переміщення є рівномірним рухом без прискорення, то достатньо підставити в нього час польоту і отримати необхідний результат. Дальність польоту визначається виключно переміщенням вздовж осі x (паралельно до горизонту).

Час знаходження тіла повітря можна обчислити, прирівнявши до нуля координату y. Маємо:

0 = h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2

Це квадратне рівняння вирішуємо через дискримінант, одержуємо:

D = b 2 - 4*a*c = v 0 2 *sin 2 (θ) - 4*(-g/2)*h = v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h,

t = (-b±√D)/(2*a) = (-v 0 *sin(θ)±√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/(-2* g/2) =

= (v 0 * sin (θ) + √ (v 0 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h)) / g.

В останньому вираженні один корінь зі знаком мінуса відкинуто, через його незначне фізичне значення. Підставивши час польоту t у вираз x, отримуємо дальність польоту l:

l = x = v 0 *cos(θ)*(v 0 *sin(θ)+√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/g.

Найпростіше вираз проаналізувати, якщо початкова висота дорівнює нулю (h=0), тоді отримаємо просту формулу:

l = v 0 2 *sin(2*θ)/g

Цей вираз свідчить, що максимальну дальність польоту можна отримати, якщо тіло залишити під кутом 45 o (sin(2*45 o) = м1).

Максимальна висота підйому тіла

Крім дальності польоту, також корисно знайти висоту над землею, яку може піднятися тіло. Оскільки цей тип руху описується параболою, гілки якої спрямовані вниз, максимальна висота підйому є її екстремумом. Останній розраховується шляхом вирішення рівняння для похідної t для y:

dy/dt = d(h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2)/dt = v 0 *sin(θ)-gt=0 =>

=> t = v 0 * sin (θ) / g.

Підставляємо цей час в рівняння для y отримуємо:

y = h+v 0 *sin(θ)*v 0 *sin(θ)/g-g*(v 0 *sin(θ)/g) 2 /2 = h + v 0 2 *sin 2 (θ)/( 2*g).

Цей вираз свідчить, що на максимальну висоту тіло підніметься, якщо кинути його вертикально вгору (sin 2 (90 o) = 1).