• Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками
• Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками
• Поняття про НОК
• Зведення дробів до спільного знаменника
• Як скласти ціле число і дріб

1 Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками

Щоб скласти дробу з однаковими знаменниками, треба скласти їх чисельники, а знаменник залишити той же, наприклад:

Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, треба з чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити той же, наприклад:

Щоб скласти змішані дроби, треба окремо скласти їх цілі частини, а потім скласти їх дробові частини, і записати результат змішаної дробом,

Приклад 1:

Приклад 2:

Якщо при додаванні дрібних частинвийшла неправильна дріб, Виділяємо з неї цілу частину і додаємо її до цілої частини, наприклад:

2 Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками.

Для того, щоб скласти або відняти дроби з різними знаменниками, потрібно спочатку привести їх до одного знаменника, а далі діяти, як вказано на початку цієї статті. Спільний знаменник кількох дробів - це НОК (найменше спільне кратне). Для чисельника кожної з дробів знаходяться додаткові множники за допомогою ділення НОК на знаменник цього дробу. Ми розглянемо приклад пізніше, після того, як розберемося, що ж таке НОК.

3 Найменше спільне кратне (НОК)

Найменше спільне кратне двох чисел (НОК) - це найменше натуральне число, яке ділиться на обидва ці числа без залишку. Іноді НОК можна підібрати усно, але частіше, особливо при роботі з великими числами, доводиться знаходити НОК письмово, за допомогою наступного алгоритму:

Для того, щоб знайти НОК декількох чисел, потрібно:

1. Розкласти ці числа на прості множники
2. Взяти найбільше розкладання, і записати ці числа у вигляді добутку
3. Виділити в інших розкладах числа, які не зустрічаються в найбільшому розкладанні (або зустрічаються в ньому менше число раз), і додати їх до твору.
4. Перемножити всі числа в творі, це і буде НОК.

Наприклад, знайдемо НОК чисел 28 і 21:

4 Зведення дробів до спільного знаменника

Повернемося до складання дробів з різними знаменниками.

Коли ми наводимо дроби до однакового знаменника, рівному НОК обох знаменників, ми повинні помножити числители цих дробів на додаткові множники. Знайти їх можна, розділивши НОК на знаменник відповідної дробу, наприклад:

Таким чином, щоб привести дроби до одного показника, потрібно спочатку знайти НОК (тобто найменше число, яке ділиться на обидва знаменника) знаменників цих дробів, потім поставити додаткові множники до чисельник дробу. Знайти їх можна, розділивши загальний знаменник (НОК) на знаменник відповідної дробу. Потім потрібно помножити чисельник кожного дробу на додатковий множник, а знаменником поставити НОК.

5 Як скласти ціле число і дріб

Для того, щоб скласти ціле число і дріб, потрібно просто додати це число перед дробом, при цьому вийде змішана дріб, наприклад:

Якщо ми складаємо ціле число і змішану дріб, ми додаємо це число до цілої частини дробу, наприклад:

тренажер 1

Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками.

Ліміт часу: 0

Навігація (тільки номери завдань)

0 з 20 завдань закінчено

інформація

У цьому тесті перевіряється уміння додавати дроби з однаковими знаменниками. При цьому потрібно дотримуватися два правила:

• Якщо в результаті виходить неправильна дріб, потрібно перевести її в змішане число.
• Якщо дріб можна скоротити, обов'язково скоротіть її, інакше буде зарахований неправильну відповідь.

Ви вже проходили тест раніше. Ви не можете запустити його знову.

Тест завантажується ...

Ви повинні увійти або зареєструватися для того, щоб почати тест.

Ви повинні закінчити наступні тести, Щоб почати цей:

результати

Правильних відповідей: 0 з 20

Ваш час:

Час вийшов

Ви набрали 0 з 0 балів (0)

1. З відповіддю
2. З відміткою про перегляд

Спочатку я хотів включити методи приведення до спільного знаменника в параграф «Додавання і віднімання дробів». Але інформації виявилося так багато, а важливість її настільки велика (адже спільні знаменники бувають не тільки у числових дробів), що краще вивчити це питання окремо.

Отже, нехай у нас є дві дробу з різними знаменниками. А ми хочемо зробити так, щоб знаменники стали однаковими. На допомогу приходить основна властивість дробу, яке, нагадаю, звучить наступним чином:

Дріб не зміниться, якщо її чисельник і знаменник помножити на одне і те ж число, відмінне від нуля.

Таким чином, якщо правильно підібрати множники, знаменники у дробів зрівняються - цей процес називається приведенням до спільного знаменника. А шукані числа, «вирівнюють» знаменники, називаються додатковими множниками.

Для чого взагалі треба приводити дроби до спільного знаменника? Ось лише кілька причин:

1. Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками. По-іншому цю операцію ніяк не виконати;
2. Порівняння дробів. Іноді приведення до спільного знаменника значно спрощує цю задачу;
3. Рішення задач на частки і відсотки. Процентні співвідношення є, по суті, звичайними виразами, які містять дроби.

Є багато способів знайти числа, при множенні на які знаменники дробів стануть рівними. Ми розглянемо лише три з них - у порядку зростання складності і, в певному сенсі, ефективності.

Множення «хрест-навхрест»

Найпростіший і надійний спосіб, який гарантовано вирівнює знаменники. Будемо діяти «напролом»: множимо перший дріб на знаменник другого дробу, а другу - на знаменник першої. В результаті знаменники обох дробів стануть рівними добутку вихідних знаменників. Погляньте:

В якості додаткових множників розглянемо знаменники сусідніх дробів. отримаємо:

Так, ось так все просто. Якщо ви тільки починаєте вивчати дроби, краще працюйте саме цим методом - так ви застрахуєте себе від безлічі помилок і гарантовано отримаєте результат.

єдиний недолік даного методу- доводиться багато вважати, адже знаменники множаться «напролом», і в результаті можуть вийти дуже великі числа. Така розплата за надійність.

Метод спільних дільників

Цей прийом допомагає набагато скоротити обчислення, але, на жаль, застосовується він досить рідко. Метод полягає в наступному:

1. Перш, ніж діяти «напролом» (тобто методом «хрест-навхрест»), погляньте на знаменники. Можливо, один з них (той, який більше), ділиться на інший.
2. Число, отримане в результаті такого поділу, буде додатковим множником для дробу з меншим знаменником.
3. При цьому дріб з великим знаменником взагалі не треба ні на що множити - в цьому і полягає економія. Заодно різко знижується ймовірність помилки.

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Оскільки в обох випадках один знаменник ділиться без залишку на інший, застосовуємо метод загальних множників. маємо:

Зауважимо, що друга дріб взагалі ніде ні на що не множилася. Фактично, ми скоротили обсяг обчислень в два рази!

До речі, дробу в цьому прикладі я взяв не випадково. Якщо цікаво, спробуйте порахувати їх методом «хрест-навхрест». Після скорочення відповіді вийдуть такими ж, але роботи буде набагато більше.

В цьому і полягає сила методу спільних дільників, але, повторюся, застосовувати його можна лише в тому випадку, коли один з знаменників ділиться на інший без залишку. Що буває досить рідко.

Метод найменшого спільного кратного

Коли ми наводимо дроби до спільного знаменника, ми по суті намагаємося знайти таке число, яке ділиться на кожен з знаменників. Потім приводимо до цього числа знаменники обох дробів.

Таких чисел дуже багато, і найменше з них зовсім не обов'язково буде дорівнювати прямому добутку знаменників вихідних дробів, як це передбачається в методі «хрест-навхрест».

Наприклад, для знаменників 8 і 12 цілком підійде число 24, оскільки 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Це число набагато менше твори 8 · 12 = 96.

Найменше число, яке ділиться на кожен з знаменників, називається їх найменшим спільним кратним (НОК).

Позначення: найменше спільне кратне чисел a і b позначається НОК (a; b). Наприклад, НОК (16; 24) = 48; НОК (8; 12) = 24.

Якщо вам вдасться знайти таке число, підсумковий обсяг обчислень буде мінімальним. Подивіться на приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що 234 = 117 · 2; 351 = 117 · 3. Множники 2 і 3 взаємно прості (не мають спільних дільників, крім 1), а множник 117 - загальний. Тому НОК (234; 351) = 117 · 2 · 3 = 702.

Аналогічно, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Множники 3 і 4 взаємно прості, а множник 5 - загальний. Тому НОК (15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.

Тепер наведемо дроби до загальних знаменників:

Зверніть увагу, наскільки корисним виявилося розкладання вихідних знаменників на множники:

1. Виявивши однакові множники, ми відразу вийшли на найменше спільне кратне, що, взагалі кажучи, є нетривіальним завданням;
2. З отриманого розкладу можна дізнатися, яких множників «не вистачає» кожної з дробів. Наприклад, 234 · 3 = 702, отже, для першого дробу додатковий множник дорівнює 3.

Щоб оцінити, наскільки колосальний виграш дає метод найменшого спільного кратного, спробуйте обчислити ці ж приклади методом «хрест-навхрест». Зрозуміло, без калькулятора. Думаю, після цього коментарі будуть зайвими.

Не думайте, що таких складних дробів в справжніх прикладах не буде. Вони зустрічаються постійно, і наведені вище завдання - не межа!

Єдина проблема - як знайти цей самий НОК. Іноді все знаходиться за кілька секунд, буквально «на око», але в цілому це складна обчислювальна задача, яка потребує окремого розгляду. Тут ми не будемо цього торкатися.

У дробів бувають різні або однакові знаменники. Однаковий знаменник або по-іншому називають спільний знаменнику дробу. Приклад спільного знаменника:

\ (\ Frac (17) (5), \ frac (1) (5) \)

Приклад різних знаменників у дробів:

\ (\ Frac (8) (3), \ frac (2) (13) \)

Як привести до спільного знаменника дроби?

У першій дробу знаменник дорівнює 3, у другій дорівнює 13. Потрібно знайти таке число, щоб ділилося і на 3 і на 13. Це число 39.

Першу дріб потрібно помножити на додатковий множник 13. Щоб дріб не змінилася множимо обов'язково і чисельник на 13 і знаменник.

\ (\ Frac (8) (3) = \ frac (8 \ times \ color (red) (13)) (3 \ times \ color (red) (13)) = \ frac (104) (39) \)

Другу дріб множимо на додатковий множник 3.

\ (\ Frac (2) (13) = \ frac (2 \ times \ color (red) (3)) (13 \ times \ color (red) (3)) = \ frac (6) (39) \)

Ми привели до спільного знаменника дроби:

\ (\ Frac (8) (3) = \ frac (104) (39), \ frac (2) (13) = \ frac (6) (39) \)

Найменший спільний знаменник.

Розглянемо ще приклад:

Наведемо дроби \ (\ frac (5) (8) \) і \ (\ frac (7) (12) \) до спільного знаменника.

Спільний знаменник для чисел 8 і 12 можуть бути числа 24, 48, 96, 120, ..., прийнято вибирати найменший спільний знаменникв нашому випадку це число 24.

Найменший спільний знаменник- це найменше число, на яке ділитися знаменник першої і другої дробу.

Як знайти найменший спільний знаменник?
Методом перебору чисел, на яке ділитися знаменник першої і другої дроби і вибрати з них саме найменше.

Нам потрібно дріб зі знаменником 8 помножити на 3, а дріб зі знаменником 12 помножити на 2.

\ (\ Begin (align) & \ frac (5) (8) = \ frac (5 \ times \ color (red) (3)) (8 \ times \ color (red) (3)) = \ frac (15 ) (24) \\\\ & \ frac (7) (12) = \ frac (7 \ times \ color (red) (2)) (12 \ times \ color (red) (2)) = \ frac ( 14) (24) \\\\ \ end (align) \)

Якщо у вас відразу не вийти привести дроби до найменшого спільного знаменника в цьому нічого страшного немає, надалі вирішуючи приклад вам може бути доведеться отриману відповідь

Загальною знаменник можна знайти для будь-яких двох дробів це може бути твір знаменників цих дробів.

наприклад:
Наведіть дроби \ (\ frac (1) (4) \) і \ (\ frac (9) (16) \) до найменшого спільного знаменника.

Найпростіший спосіб знайти спільний знаменник - це твір знаменників 4⋅16 = 64. Число 64 це не найменший спільний знаменник. За завданням потрібно знайти саме найменший спільний знаменник. Тому шукаємо далі. Нам потрібно число, яке ділитися і на 4, і на 16, це число 16. Наведемо до спільного знаменника дробу, помножимо дріб зі знаменником 4 на 4, а дріб зі знаменником 16 на одиницю. отримаємо:

\ (\ Begin (align) & \ frac (1) (4) = \ frac (1 \ times \ color (red) (4)) (4 \ times \ color (red) (4)) = \ frac (4 ) (16) \\\\ & \ frac (9) (16) = \ frac (9 \ times \ color (red) (1)) (16 \ times \ color (red) (1)) = \ frac ( 9) (16) \\\\ \ end (align) \)

Найчастіше з'ясовується, що дії з дробами не викликають складнощів у учнів. Основною проблемою стає знаходження спільного знаменника. Щоб розібратися з цим питанням, потрібно запам'ятати правило приведення дробів до спільного знаменника і розуміти, навіщо взагалі цей спільний знаменник потрібен.

Що таке дріб?

У 5 класі учням пояснюють, що дріб це розділене на шматочки ціле. Причому знаменник означає кількість частин, на яке розділили якийсь предмет, а чисельник кількість цих частин, яке взяли для розрахунку.

Але в математиці існує інше визначення: дробом звуть незавершену операцію ділення. Це означає, що як будь-яку дріб можна перетворити в розподіл, так і будь-який поділ можна перетворити в дріб. наприклад:

$$ (5 \ over (7)) = 5: 7 $$

$$ 7: 13 = (7 \ over (13)) $$

$$ 12: 9 = (12 \ over (9)) $$

Можна нескінченно наводити приклади, але сенс від цього не зміниться: риса дробу замінює знак ділення.

Навіщо потрібно знаходити спільний знаменник?

Для того, щоб скласти або відняти дві дробу, потрібно перетворити дві операції ділення в одну. Це можливо тільки за умови однакового подільника. У вигляді формул це виглядає так:

а: в-с: е = (а * е) :( в * е) - (с * в) :( в * е) = ((а * е) - (с * в)) :( в * е )

Тобто для того, щоб скласти або відняти дроби, потрібно привести їх до спільного знаменника. Інакше просто не вийде правильно вирішити приклад.

Для множення і ділення дробів, приводити дроби до спільного знаменника не потрібно. Для цих операцій існує інше теоретичне обгрунтування, яке передбачає інший порядок дій.

Як знайти спільний знаменник дробів

Для того, щоб знайти спільний знаменник дробів, потрібно знайти найбільше спільне кратне знаменників. Наведемо приклад, вирішимо невелике вираз:

$$ (3 \ over (5)) + (7 \ over (15)) $$

Знайдемо НОК знаменників. Число 15 ділиться на число 5, значить

$$ (3 \ over (5)) + (7 \ over (15)) = ((3 * 3) \ over (15)) + (7 \ over (15)) = (9 \ over (15)) + (7 \ over (15)) = (16 \ over (15)) = 1 (1 \ over (15)) $$ - зверніть увагу, що при збільшенні чисельника, так само збільшився і знаменник. В кінці рішення прикладу з дробом при можливості слід виділяти цілу частину виразу.

Привести дроби до спільного знаменника можна тільки користуючись основною властивістю дробу. Формулювання цієї властивості звучить так: якщо чисельник і знаменник дробу помножити на одне і те ж число, то значення дробу не зміниться. Це означає, що при приведенні дроби до спільного знаменника, потрібно враховувати і збільшення чисельника.

НОК можна знайти аналітично, як ми це зробили в прикладі. Але найчастіше доводиться вдаватися до розкладання на прості множники. Для того, щоб знайти НСК двох чисел слід:

• Розкласти ці числа на прості множники
• Перевірити, яких простих множниківне вистачає в розкладанні.
• Береться число з найменшою кількістю множників і до його розкладанню додають числа, яке є в інших розкладах, але відсутні в основному. При цьому враховується і кількість чисел. Це означає, що якщо в основному розкладі одне число 3, а в інших розкладах два числа 3, то потрібно помножити основне розкладання на дві трійки.

Що ми дізналися?

Ми поговорили про приведення дробів до спільного знаменника. Розповіли, навіщо це потрібно, і які операції з дробами можна виконувати без приведення до спільного знаменника. Навели приклад і розповіли, як змінюється чисельник при приведенні дробів до спільного знаменника.

Тест по темі

оцінка статті

Середня оцінка: 4.7. Всього отримано оцінок: 115.

Зведення дробів до спільного знаменника

Дробу І мають однакові знаменники. Кажуть, що вони мають спільний знаменник 25. Дроби і мають різні знаменники, але їх можна привести до спільного знаменника з допомогою основного властивості дробів. Для цього знайдемо число, яке ділиться на 8 і на 3, наприклад, 24. Наведемо дроби до знаменника 24, для цього помножимо чисельник і знаменник дробу на додатковий множник 3. Додатковий множник зазвичай пишуть зліва над чисельником:

Помножимо чисельник і знаменник дробу на додатковий множник 8:

Наведемо дроби і до спільного знаменника. Найчастіше дроби приводять до найменшого спільного знаменника, який є найменшим спільним кратним знаменників даних дробів. Так як НОК (8, 12) = 24, то дробу можна привести до знаменника 24. Знайдемо додаткові множники дробів: 24: 8 = 3, 24:12 = 2. Тоді

До спільного знаменника можна приводити кілька дробів.

Приклад. Наведемо дроби до спільного знаменника. Так як 25 = 5 2, 10 = 2 5, 6 = 2, 3, то НОК (25, 10, 6) = 2 3 5 2 = 150.

Знайдемо додаткові множники дробів і наведемо їх до знаменника 150:

порівняння дробів

На рис. 4.7 зображений відрізок АВ довжини 1. Він розділений на 7 рівних частин. Відрізок АС має довжину, а відрізок AD має довжину.

Довжина відрізка AD більше довжини відрізка АС т. Е. Дріб більше дробу

З двох дробів з спільним знаменником більше та, у якої чисельник більше, т. Е.

Наприклад, чи

Щоб порівняти будь-які два дроби, їх приводять до спільного знаменника, а потім застосовують правило порівняння дробів з спільним знаменником.

Приклад. Порівняти дроби

Рішення. НОК (8, 14) = 56. Тоді Так як 21> 20, то

Якщо перша дріб менше другий, а друга менше третьої, то перша менше третьої.

Доведення. Нехай дано три дроби. Наведемо їх до спільного знаменника. Нехай після цього вони будуть мати вигляд Так як перша дріб менше

другий, то r< s. Так как вторая дробь меньше третьей, то s < t. Из полученных неравенств для натуральних чиселвипливає, що r< t, тогда первая дробь меньше третьей.

дріб називається правильної, Якщо її чисельник менше знаменника.

дріб називається неправильної, Якщо її чисельник більше знаменника або дорівнює йому.

Наприклад, дроби-правильні, а дроби -неправильно.

Правильна дріб менше 1, а неправильна дріб більше або дорівнює 1.