1 дайте визначення та властивості паралелограма. Теореми паралелограма. Паралелограмом є такий чотирикутник, у якого дві сторони рівні та паралельні

Муніципальне бюджетне загальноосвітня установа

Савинська середня загальноосвітня школа

Дослідницька робота

Паралелограм та його нові властивості

Виконала: учениця 8Б класу

МБОУ Савінська ЗОШ

Кузнєцова Світлана, 14 років

Керівник: учитель математики

Тульчевська Н.А.

п. Савине

Іванівська область, Росія

2016р.

I. Вступ __________________________________________________стор 3

II. З історії паралелограма ___________________________________стор 4

III Додаткові властивості паралелограма ______________________стор 4

IV. Доказ властивостей _____________________________________ стор 5

V. Розв'язання задач з використанням додаткових властивостей __________стор 8

VI. Застосування властивостей паралелограма у житті ___________________Стор 11

VII. Висновок _________________________________________________стор 12

VIII. Література _________________________________________________стор 13

Вступ

"Серед рівних умів

при однаковості інших умов

перевершує той, хто знає геометрію.

(Блез Паскаль).

Під час вивчення теми «Паралелограм» на уроках геометрії ми розглянули дві властивості паралелограма і три ознаки, але коли ми почали вирішувати завдання, виявилося, що цього недостатньо.

У мене виникло питання, а чи має паралелограма ще властивості, і як вони допоможуть при вирішенні завдань.

І я вирішила вивчити додаткові властивості паралелограма та показати, як їх можна застосувати для вирішення завдань.

Предмет дослідження : паралелограм

Об'єкт дослідження : властивості паралелограма
Мета роботи:

формулювання та доказ додаткових властивостей паралелограма, які не вивчаються у школі;

застосування цих властивостей на вирішення завдань.

Завдання:

Вивчити історію виникнення паралелограма та історію розвитку його властивостей;

Знайти додаткову літературу з питання, що досліджується;

Вивчити додаткові властивості паралелограма та довести їх;

Показати застосування цих властивостей на вирішення завдань;

Розглянути застосування властивостей паралелограма у житті.
Методи дослідження:

Робота з навчальною та науково – популярною літературою, ресурсами мережі Інтернет;

Вивчення теоретичного матеріалу;

Виділення кола завдань, які можна розв'язувати з використанням додаткових властивостей паралелограма;

Спостереження, порівняння, аналіз, аналогія.

Тривалість дослідження : 3 місяці: січень-березень 2016р.

У підручнику геометрії ми читаємо таке визначення паралелограма: паралелограм – це такий чотирикутник, у якого протилежні сторонипопарно паралельні

Слово «паралелограм» перекладається як «паралельні лінії» (від грецьких слів Parallelos – паралельний та gramme – лінія), цей термін було введено Евклідом. У своїй книзі «Початку» Евклід довів такі властивості паралелограма: протилежні сторони та кути паралелограма рівні, а діагональ ділить його навпіл. Про точку перетину паралелограма Евклід не згадує. Тільки до кінця середньовіччя була розроблена повна теорія паралелограмів І лише в XVII столітті в підручниках з'явилися теореми про паралелограми, які доводяться за допомогою теореми Евкліда про властивості паралелограма.

III Додаткові властивості паралелограма

У підручнику з геометрії дано лише 2 властивості паралелограма:

Протилежні кути та сторони рівні

Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл

У різних джерелах з геометрії можна зустріти такі додаткові властивості:

Сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180 0

Бісектриса кута паралелограма відсікає від нього рівнобедрений трикутник;

Бісектриси протилежних кутів паралелограма лежать на паралельних прямих;

Бісектриси сусідніх кутів паралелограма перетинаються під прямим кутом;

Бісектриси всіх кутів паралелограма при перетині утворюють прямокутник;

Відстані від протилежних кутів паралелограма до однієї й тієї його діагоналі рівні.

Якщо в паралелограмі з'єднати протилежні вершини із серединами протилежних сторін, то вийде ще один паралелограм.

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєній сумі квадратів його суміжних сторін.

Якщо в паралелограмі із двох протилежних кутів провести висоти, то вийде прямокутник.

IV Доказ властивостей паралелограма

Сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180 0

Дано:

ABCD – паралелограм

Довести:

A +
B =

Доказ:

А й
B – внутрішні односторонні кути при паралельних прямих ПС АD і січній АВ, отже,
A +
B =

Дано:АBCD - паралелограм,

АК-бісектриса
А.

Довести: АВК – рівнобедрений

Доказ:

1)
1=
3 (навхрест лежать при ВС AD і січній AK),

2)
2=
3 т. до. АК - бісектриса,

означає 1 =
2.

3) АВК - рівнобедрений т. до. 2 кута трикутника рівні

. Бісектриса кута паралелограма відсікає від нього рівнобедрений трикутник

Дано:АВСD – паралелограм,

АК - бісектриса A,

СР - бісектриса C.

Довести:АК ║ СР

Доказ:

1) 1=2 т. до. АК-бісектриса

2) 4 = 5 т.к. СР - бісектриса

3) 3=1 (навхрест лежачі кути при

НД ║ АD і АК-січній),

4) A = C (за властивістю паралелограма), значить 2 = 3 = 4 = 5.

4) З п. 3 і 4 випливає, що 1=4, а ці кути відповідні при прямих АК і СР і ВС,

означає, АК ║ СР (за ознакою паралельності прямих)

. Бісектриси протилежних кутів паралелограма лежать на паралельних прямих

Бісектриси сусідніх кутів паралелограма перетинаються під прямим кутом

Дано:АВСD - паралелограм,

АК-бісектриса A,

DР-бісектриса D

Довести: DР АК.

Доказ:

1) 1 = 2, т.к. АК - бісектриса

Нехай, 1 = 2 = x, тоді А = 2x,

2) 3 = 4, т.к. D Р – бісектриса

Нехай, 3 = 4 = у, тоді D = 2y

3) A + D = 180 0 т.к. сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180

2) Розглянемо A ОD

1+3=90 0 тоді
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Бісектриси всіх кутів паралелограма при перетині утворюють прямокутник

Дано:АВСD - паралелограм, АК-бісектриса A,

DР-бісектриса D,

CM-бісектриса C,

BF-бісектриса B .

Довести: KRNS-прямокутник.

Доказ:

Виходячи з попередньої властивості 8=7=6=5=90 0

означає KRNS-прямокутник.

Відстані від протилежних кутів паралелограма до однієї й тієї його діагоналі рівні.

Дано: ABCD-паралелограм, АС-діагональ.

ВК АС, DP AC

Довести: BК=DР

Доказ: 1)DCР=КAB, як внутрішні навхрест що лежать при АВ ║ СD і січній АС.

2) AКB= CDР (на стороні та двох прилеглих до неї кутах АВ=СD CD Р=AB К).

А в рівних трикутника x відповідні сторони рівні, отже DР=BК.

Дано: ABCD-паралелограм.

Довести:ВКDР – паралелограм.

Доказ:

1) BР=КD (AD=BC, точки К та Р

ділять ці сторони навпіл)

2) ВР ║ КD (лежать на АD BC)

Якщо у чотирикутнику протилежні сторони рівні та паралельні, значить, цей чотирикутник -паралелограм.

Якщо в паралелограмі із двох протилежних кутів провести висоти, то вийде прямокутник.

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєній сумі квадратів його суміжних сторін.

Дано: ABCD – паралелограм. BD та AC - діагоналі.

Довести: АС 2 +ВD 2 = 2 (AB 2 + AD 2 )

Доказ: 1)АСК: AC ²=
+

2)B РD : BD 2 = B Р 2 + РD 2 (за теоремою Піфагора)

3) AC ²+ BD ²=СК²+A К²+B Р²+РD ²

4) СК = ВР = Н(висота )

5) АС 2 +УD 2 = H 2 + A До 2 + H 2 +РD 2

6) Нехай D К=A Р=хтоді C ДоD : H 2 = CD 2 - х 2 за теоремою Піфагора )

7) АС²+ВD ² = СD 2 - х²+ АК 1 ²+ CD 2 -х 2 +РD 2 ,

АС²+ВD ²=2СD 2 -2х 2 + A До 2 +РD 2

8) A До=AD+ х, РD=AD- х,

АС²+ВD ² =2CD 2 -2х 2 +(AD +х) 2 +(AD -х) 2 ,

АС²+ УD²=2 ЗD²-2 х² +AD 2 +2AD х+ х 2 +AD 2 -2AD х+ х 2 ,
АС²+ УD²=2CD 2 +2AD 2 =2(CD 2 +AD 2 ).

V . Розв'язання задач із використанням цих властивостей

Точка перетину бісектрис двох кутів паралелограма, що належать до однієї сторони, належить протилежній стороні. Менша сторона паралелограма дорівнює 5 . Знайдіть його більшу сторону.

Дано: ABCD - паралелограм,

АК – бісектриса
А,

D К – бісектриса
D, АВ=5

Знайти: НД

єшення

Рішення

Т.к. АК - бісектриса
А то АВК – рівнобедрений.

Т.к. D К – бісектриса
D , то DCK - рівнобедрений

DC = C К = 5

Тоді, ВС = ВК + СК = 5 + 5 = 10

Відповідь: 10

2. Знайдіть периметр паралелограма, якщо бісектриса одного з його кутів ділить сторону паралелограма на відрізки 7 см та 14 см.

1 випадок

Дано:
А,

ВК=14 см, КС=7 см

Знайти:Р паралелограма

Рішення

НД=ВК+КС=14+7=21 (см)

Т.к. АК – бісектриса
А то АВК – рівнобедрений.

АВ = ВК = 14 см

Тоді Р = 2 (14 +21) = 70 (см)

випадок

Дано: ABCD - паралелограм,

D К – бісектриса
D ,

ВК=14 см, КС=7 см

Знайти: Р паралелограма

Рішення

НД=ВК+КС=14+7=21 (см)

Т.к. D К – бісектриса
D , то DCK - рівнобедрений

DC = C К = 7

Тоді, Р = 2 (21 +7) = 56 (см)

Відповідь: 70см або 56 см

3.Сторони паралелограма дорівнюють 10 см і 3 см. Бісектриси двох кутів, що належать до більшої сторони, ділять протилежну сторону на три відрізки. Знайдіть ці відрізки.

1 випадок:бісектриси перетинаються поза паралелограмом

Дано: ABCD – паралелограм, АК – бісектриса
А,

D К – бісектриса
D , АВ=3 см, НД=10 см

Знайти: ВМ, МN, NC

Рішення

Т.к. АМ - бісектриса
А, то АВМ – рівнобедрений.

Т.к. DN – бісектриса
D , то DCN - рівнобедрений

DC = CN = 3

Тоді, МN = 10 - (BM + NC) = 10 - (3 +3) = 4 см

2 випадок:бісектриси перетинаються всередині паралелограма

Т.к. АN - бісектриса
А, то АВN – рівнобедрений.

АВ = ВN = 3 D

А розсувні грати – відсувати на необхідну відстань у дверях

Паралелограмний механізм- Чотирьохланковий механізм, ланки якого складають паралелограм. Застосовується реалізації поступального руху шарнірними механізмами.

Паралелограм із нерухомою ланкою- одна ланка нерухома, протилежне здійснює коливальний рух, залишаючись паралельним нерухомому. Два паралелограми, з'єднаних один за одним, дають кінцевій ланці два ступені свободи, залишаючи його паралельним нерухомому.

Приклади: склоочисники автобусів, навантажувачі, штативи, підвіси, автомобільні підвіски.

Паралелограм із нерухомим шарніром- використовується властивість паралелограма зберігати постійне співвідношення відстаней між трьома точками. Приклад: креслярський пантограф - прилад масштабування креслень.

Ромб- всі ланки однакової довжини, наближення (стягування) пари протилежних шарнірів призводить до розсування двох інших шарнірів. Усі ланки працюють на стиск.

Приклади – автомобільний ромбоподібний домкрат, трамвайний пантограф.

Ножичнийабо X-подібний механізм, також відомий як Нюрнберзькі ножиці- Варіант ромба - дві ланки, з'єднані посередині шарніром. Переваги механізму – компактність та простота, недолік – наявність двох пар ковзання. Два (і більше) таких механізми, з'єднані послідовно, утворюють у середині ромб(и). Застосовується у витягах, дитячих іграшках.

VII Висновок

Хто з дитячих років займається математикою,

той розвиває увагу, тренує свій мозок,

свою волю, виховує у собі наполегливість

і завзятість у досягненні мети

О. Маркушевич

У ході роботи я довела додаткові властивості паралелограма.

Я переконалася, що застосовуючи ці властивості можна вирішувати завдання швидше.

Я показала, як застосовуються ці властивості на прикладах вирішення конкретних завдань.

Я дізналася багато нового про паралелограму, чого немає в нашому підручнику геометрії

Я переконалася, що знання геометрії дуже важливі в житті на прикладах застосування властивостей паралелограма.

Мета моєї дослідницької роботи виконана.

Про те, наскільки важливими є математичні знання, говорить той факт, що була заснована премія тому, хто видасть книгу про людину, яка все життя прожила без допомоги математики. Цю премію досі не отримала жодна людина.

VIII Література

Тема уроку

Властивість діагоналей паралелограма.

Цілі уроку

Познайомитися з новими визначеннями та згадати деякі вже вивчені.
Сформулювати та довести властивість діагоналей паралелограма.
Навчитися застосовувати властивості фігур під час вирішення завдань.
Розвиваючі – розвинути увагу учнів, посидючість, наполегливість, логічне мислення, математичну мову.
Виховні – за допомогою уроку виховувати уважне ставлення один до одного, прищеплювати вміння слухати товаришів, взаємовиручку, самостійність.

Завдання уроку

Перевірити вміння учнів вирішувати завдання.

План уроку

Вступне слово.
Повторення раніше вивченого матеріалу.
Паралелограм, його властивості та ознаки.
Приклади завдань.
Самостійна перевірка.

Вступ

«Велике наукове відкриття дає вирішення великої проблеми, але й у вирішенні будь-якого завдання присутня крихта відкриття».

Властивість протилежних сторін паралелограма

У паралелограма протилежні сторони рівні.

Доказ.

Нехай ABCD – цей паралелограм. І нехай його діагоналі перетинаються у точці O.
Так як Δ AOB = Δ COD за першою ознакою рівності трикутників (AOB = ∠ COD, як вертикальні, AO = OC, DO = OB, за властивістю діагоналей паралелограма), то AB = CD. Так само з рівності трикутників ВОС і DOA, випливає, що BC=DA. Теорему доведено.

Властивість протилежних кутів паралелограма

У паралелограма протилежні кути рівні.

Доказ.

Нехай ABCD - даний паралелограм. І нехай його діагоналі перетинаються у точці O.
З доведеного в теоремі про властивості протилежних сторін паралелограма ABC = CDA по трьох сторонах (AB = CD, BC = DA з доведеного, AC - загальна). З рівності трикутників випливає, що ∠ABC = ∠CDA.
Також доводиться, що ∠ DAB = ∠ BCD, яке випливає з ∠ ABD = ∠ CDB. Теорему доведено.

Властивість діагоналей паралелограма

Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.

Доказ.

Нехай ABCD – це паралелограм. Проведемо діагональ AC. Відзначимо на ній середину O. На продовженні відрізка DO відкладемо відрізок OB 1 , що дорівнює DO.
По попередній теоремі AB 1 CD – паралелограм. Тому пряма AB 1 паралельна DC. Але через точку A можна провести лише одну пряму, паралельну DC. Отже, пряма AB 1 збігається із прямою AB.
Також доводиться, що BC 1 збігається із BC. Значить, точка З збігається з 1 . Паралелограм ABCD збігається з паралелограмом AB 1 CD. Отже, діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. Теорему доведено.

У підручниках для звичайних шкіл (наприклад, у Погорєлові) доводиться вона так: діагоналі ділять паралелограм на 4 трикутники. Розглянемо одну пару і з'ясуємо - вони рівні: підстави у них - протилежні сторони, що прилягають до нього відповідні кути, рівні як вертикальні при паралельних прямих. Тобто відрізки діагоналей попарно рівні. Все.

Чи все?
Вище доведено, що точка перетину ділить діагоналі навпіл – якщо існує. Саме її існування наведене міркування не доводить жодною мірою. Тобто частина теореми "діагоналі паралелограма перетинаються" залишається недоведеною.

Цікаво, що довести цю частину набагато складніше. Слід це, до речі, із більш загального результату: у будь-якого опуклого чотирикутника діагоналі перетинатимуться, у будь-якого непуклого – не будуть.

Про рівність трикутників по стороні та двом прилеглим до неї кутам (друга ознака рівності трикутників) та інші.

Теоремі про рівність двох трикутників з обох боків та двох прилеглих до неї кутів Фалес знайшов важливе практичне застосування. У гавані Мілета було збудовано далекомір, що визначає відстань до корабля в морі. Він був три вбиті кілочки А, В і С (АВ = ВС) і розмічену пряму СК, перпендикулярну.СА. З появою корабля на прямій СК знаходили точку D таку, щоб точки D, .В та Е виявлялися на одній прямій. Як зрозуміло з креслення, відстань CD землі є шуканою відстанню до корабля.

Запитання

Діагоналі квадрата точкою перетину діляться навпіл?
Діагоналі паралелограма рівні?
Протилежні кути паралелограма рівні?
Чи сформулюйте визначення паралелограма?
Скільки ознак паралелограма?
Чи може бути ромб паралелограмом?

Список використаних джерел

Кузнєцов О. В., учитель математики (5-9 клас), м. Київ
«Єдиний державний іспит 2006 року. Математика. Навчально-тренувальні матеріали для підготовки учнів / Рособрнагляд, ІСОП - М.: Інтелект-Центр, 2006 »
Мазур К. І. «Рішення основних конкурсних завдань з математики збірника за редакцією М. І. Сканаві»
Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Е. Г. Позняк, І. І. Юдіна «Геометрія, 7 - 9: підручник для загальноосвітніх установ»

Над уроком працювали

Кузнєцов А. В.

Потурнак С.А.

Євген Петров

Поставити питання про сучасну освіту, висловити ідею або вирішити проблему, що назріла Ви можете на Освітній форум, де на міжнародному рівні збирається освітня рада свіжої думки та дії. Створивши блог,Ви не тільки підвищите свій статус як компетентного викладача, а й зробите вагомий внесок у розвиток школи майбутнього. Гільдія Лідерів Освітавідчиняє двері для фахівців вищого рангу та запрошує до співпраці у напрямку створення найкращих у світі шкіл.

Предмети > Математика > Математика 8 клас

Визначення

Паралелограм - це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

Теорема (перша ознака паралелограма)

Якщо чотирикутник дві сторони рівні і паралельні, цей чотирикутник – паралелограмм.

Доказ

Нехай у чотирикутнику $ABCD$ сторони $AB$ і $CD$ паралельні і $AB = CD$.

Проведемо діагональ $AC$, що розділяє даний чотирикутник на два рівні трикутники: $ABC$ і $CDA$. Ці трикутники рівні по двох сторонах і куті між ними ($AC$ – загальна сторона, $AB = CD$ за умовою, $\angle 1 = \angle 2$ як навхрест кути, що лежать при перетині паралельних прямих \ (AB\) і $CD$ січною $AC$ ), тому $\angle 3 = \angle 4$ . Але кути $3$ і $4$ навхрест лежать при перетині прямих $AD$ і $BC$ сіючої $AC$ , отже, $AD\parallel BC$ . Таким чином, у чотирикутнику $ABCD$ протилежні сторони попарно паралельні, і, отже, чотирикутник $ABCD$ - паралелограм.

Теорема (друга ознака паралелограма)

Якщо чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні, цей чотирикутник – паралелограмм.

Доказ

Проведемо діагональ $AC$ даного чотирикутника $ABCD$, що поділяє його на трикутники $ABC$ і $CDA$.

Ці трикутники рівні по трьох сторонах ($AC$ - загальна, $AB = CD$ і $BC = DA$ за умовою), тому $\angle 1 = \angle 2$ - навхрест лежать при $AB$ і $CD$ і січною $AC$ . Звідси випливає, що (AB Parallel CD). Так як $AB = CD$ і $AB\parallel CD$, то за першою ознакою паралелограма чотирикутник $ABCD$ - паралелограм.

Теорема (третя ознака паралелограма)

Якщо чотирикутнику діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, цей чотирикутник – паралелограмм.

Доказ

Розглянемо чотирикутник $ABCD$, в якому діагоналі $AC$ і $BD$ перетинаються в точці $O$ і діляться цією точкою навпіл.

Трикутники $AOB$ і $COD$ рівні за першою ознакою рівності трикутників ($AO = OC$ , $BO = OD$ за умовою, $\angle AOB = \angle COD$ як вертикальні кути), тому $AB = CD) і \(\angle 1 = \angle 2$ . З рівності кутів $1$ і $2$ (навхрест лежать при $AB$ і $CD$ і сікучою $AC$ слід, що $AB\parallel CD$ .

Отже, у чотирикутнику $ABCD$ сторони $AB$ і $CD$ рівні і паралельні, отже, за першою ознакою паралелограма чотирикутник $ABCD$ - паралелограм.

Властивості паралелограма:

1. У паралелограмі протилежні сторони рівні та протилежні кути рівні.

2. Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл.

Властивості бісектриси паралелограма:

1. Бісектриса паралелограма відсікає від нього рівнобедрений трикутник.

2. Бісектриси суміжних кутів паралелограма перетинаються під прямим кутом.

3. Відрізки бісектрис протилежних кутів рівні та паралельні.

Доказ

1) Нехай $ABCD$ - паралелограм, $AE$ - бісектриса кута $BAD$.

Кути $1$ і $2$ рівні як навхрест що лежать при паралельних прямих $AD$ і $BC$ і січній $AE$ . Кути (1) і (3) рівні, оскільки (AE) - бісектриса. У результаті $\angle 3 = \angle 1 = \angle 2$, Звідки випливає, що трикутник \ (ABE \) - рівнобедрений.

2) Нехай $ABCD$ - паралелограм, $AN$ і $BM$ - бісектриси кутів $BAD$ і $ABC$ відповідно.

Оскільки сума односторонніх кутів при паралельних прямих і січній дорівнює $180^(\circ)$ , тоді $\angle DAB + \angle ABC = 180^(\circ)$.

Оскільки $AN$ і $BM$ - бісектриси, то $\angle BAN + \angle ABM = 0,5(\angle DAB + \angle ABC) = 0,5\cdot 180^\circ = 90^(\circ)$, звідки $\angle AOB = 180^\circ - (\angle BAN + \angle ABM) = 90^\circ$.

3. Нехай $AN$ і $CM$ - бісектриси кутів паралелограма $ABCD$.

Так як у паралелограмі протилежні кути рівні, то $\angle 2 = 0,5\cdot\angle BAD = 0,5\cdot\angle BCD = \angle 1$. Крім того, кути $1$ і $3$ рівні як навхрест що лежать при паралельних прямих $AD$ і $BC$ і секучій $CM$ , тоді $\angle 2 = \angle 3$ , звідки випливає, що $AN\parallel CM$ . Крім того, $AM\parallel CN$ , тоді $ANCM$ - Паралелограм, отже, $AN = CM$ .

Визначення

Паралелограмомназивається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

На малюнку 1 зображено паралелограм $ABCD, ABCD,BC| A D$.

Властивості паралелограма

У паралелограмі протилежні сторони дорівнюють: $A B = C D, B C = A D $ (рис 1).
У паралелограмі протилежні кути рівні $ angle A = angle C, angle B = angle D $ (рис 1).
Діагоналі паралелограма в точці перетину діляться навпіл $A O = O C, B O = O D $ (рис 1).
Діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники.

Сума кутів паралелограма, що прилягають до однієї сторони, дорівнює $180^(\circ)$:

$$\angle A+\angle B=180^(\circ), \angle B+\angle C=180^(\circ)$$

$$\angle C+\angle D=180^(\circ), \angle D+\angle A=180^(\circ)$$

Діагоналі та сторони паралелограма пов'язані наступним співвідношенням:

$$d_(1)^(2)+d_(2)^(2)=2 a^(2)+2 b^(2)$$

У паралелограмі кут між висотами дорівнює його гострому кутку: $\angle K B H=\angle A$.
Бісектриси кутів, що належать до однієї сторони паралелограма, взаємно перпендикулярні.
Бісектриси двох протилежних кутів паралелограма паралельні.

Ознаки паралелограма

Чотирикутник $ABCD$ буде паралелограмом, якщо

$A B=C D$ і $A B \| C D$
$A B=C D$ і $B C=A D$
$A O=O C$ і $B O=O D$
$\angle A=\angle C$ і $\angle B=\angle D$

Площу паралелограма можна обчислити за однією з наступних формул:

$S=a \cdot h_(a), \quad S=b \cdot h_(b)$

$S=a \cdot b \cdot \sin \alpha, \quad S=\frac(1)(2) d_(1) \cdot d_(2) \cdot \sin \phi$

Приклади розв'язання задач

приклад

Завдання.Сума двох кутів паралелограма дорівнює $140^(\circ)$. Знайти більший кут паралелограма.

Рішення.У паралелограмі протилежні кути рівні. Позначимо більший кут паралелограма $ alfa $, а менший кут $ beta $. Сума кутів $\alpha$ і $\beta$ дорівнює $180^(\circ)$, тому задана сума, що дорівнює $140^(\circ)$, це сума двох протилежних кутів, тоді $140^(\circ) : 2=70 ^(\circ)$. Таким чином, менший кут $\beta=70^(\circ)$. Більший кут $\alpha$ знайдемо із співвідношення:

$\alpha+\beta=180^(\circ) \Rightarrow \alpha=180^(\circ)-\beta \Rightarrow$

$\Rightarrow \alpha=180^(\circ)-70^(\circ) \Rightarrow \alpha=110^(\circ)$

Відповідь.$\alpha=110^(\circ)$

приклад

Завдання.Сторони паралелограма дорівнюють 18 см та 15 см, а висота, проведена до меншої сторони, дорівнює 6 см. Знайти іншу висоту паралелограма.

Рішення.Зробимо малюнок (рис. 2)

За умовою, $a=15$ см, $b=18$ см, $h_(a)=6$ см. Для паралелограма справедливі такі формули для знаходження площі:

$$S=a \cdot h_(a), \quad S=b \cdot h_(b)$$

Прирівняємо праві частини цих рівностей, і виразимо, з отриманої рівності $h_(b) $:

$$a \cdot h_(a)=b \cdot h_(b) \Rightarrow h_(b)=\frac(a \cdot h_(a))(b)$$

Підставляючи вихідні дані завдання, остаточно отримаємо:

$h_(b)=\frac(15 \cdot 6)(18) \Rightarrow h_(b)=5$ (см)

Як у евклідовій геометрії точка і пряма – головні елементи теорії площин, так і паралелограм є однією з ключових фігуропуклих чотирикутників. З нього, як нитки з клубка, витікають поняття прямокутника, квадрата, ромба та інших геометричних величин.

Визначення паралелограма

Випуклий чотирикутник,що складається з відрізків, кожна пара з яких паралельна, відомий у геометрії як паралелограм.

Як виглядає класичний паралелограм, зображує чотирикутник ABCD. Сторони називаються основами (AB, BC, CD і AD), перпендикуляр, проведений з будь-якої вершини на протилежну цій вершині сторону - висотою (BE і BF), лінії AC і BD - діагоналями.

Увага!Квадрат, ромб і прямокутник - це окремі випадки паралелограма.

Сторони та кути: особливості співвідношення

Ключові властивості, за великим рахунком, зумовлені самим позначенням, їх доводить теорема Ці показники такі:

Сторони, які є протилежними - попарно однакові.
Кути, розташовані протилежно один до одного - попарно рівні.

Доказ: розглянемо ∆ABC та ∆ADC, які виходять внаслідок поділу чотирикутника ABCD прямий AC. ∠BCA=∠CAD та ∠BAC=∠ACD, оскільки AC для них загальна (вертикальні кути для BC||AD та AB||CD, відповідно). З цього випливає: ∆ABC = ∆ADC (друга ознака рівності трикутників).

Відрізки AB і BC в ABC попарно відповідають лініям CD і AD в ADC, що означає їх тотожність: AB = CD, BC = AD. Таким чином, B відповідає ∠D і вони рівні. Оскільки ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, які так само попарно однакові, то ∠A = ∠C. Властивість доведено.

Характеристики діагоналей фігури

Основна ознакацих ліній паралелограма: точка перетину поділяє їх навпіл.

Доказ: нехай тобто це точка перетину діагоналей AC і BD фігури ABCD. Вони утворюють два сумірні трикутники - ∆ABE і ∆CDE.

AB=CD, оскільки вони протилежні. Відповідно до прямих і січної, ∠ABE = ∠CDE і ∠BAE = ∠DCE.

За другою ознакою рівності ∆ABE = ∆CDE. Це означає, що елементи ABE і CDE: AE = CE, BE = DE і при цьому вони пропорційні частини AC і BD. Властивість доведено.

Особливості суміжних кутів

У суміжних сторін сума кутів дорівнює 180 °оскільки вони лежать по один бік паралельних лінійта січній. Для чотирикутника ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Властивості бісектриси:

опущені на один бік, є перпендикулярними;
протилежні вершини мають паралельні бісектриси;
трикутник, отриманий проведенням бісектриси, буде рівнобедреним.

Визначення характерних рис паралелограма з теореми

Ознаки цієї постаті випливають із її основної теореми, яка свідчить про наступне: чотирикутник вважається паралелограмому разі, якщо його діагоналі перетинаються, а ця точка поділяє їх у рівні відрізки.

Доказ: нехай у т. е прямі AC і BD чотирикутника ABCD перетинаються. Оскільки ∠AED = ∠BEC, а AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (за першою ознакою рівності трикутників). Тобто ∠EAD = ∠ECB. Вони також є внутрішніми перехресними кутами січної AC для прямих AD та BC. Отже, за визначенням паралельності - AD || BC. Аналогічна властивість ліній BC та CD виводиться також. Теорему доведено.

Обчислення площі фігури

Площа цієї фігури знаходиться декількома методами,одним із найпростіших: множення висоти та підстави, до якої вона проведена.

Доказ: проведемо перпендикуляри BE та CF з вершин B та C. ∆ABE та ∆DCF - рівні, оскільки AB = CD та BE = CF. ABCD - рівновеликий з прямокутником EBCF, оскільки вони складаються і пропорційних фігур: S ABE і S EBCD , а також S DCF і S EBCD . З цього випливає, що площа цієї геометричної фігуризнаходиться так само як і прямокутника:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Для визначення загальної формулиплощі паралелограма позначимо висоту як hb, а бік - b. Відповідно:

Інші способи знаходження площі

Обчислення площі через сторони паралелограма та кут, Який вони утворюють, - другий відомий метод.

Sпр-ма – площа;

a і b - його сторони

α - кут між відрізками a та b.

Цей спосіб практично ґрунтується на першому, але у разі, якщо невідома. завжди відрізає прямокутний трикутник, параметри якого знаходяться тригонометричними тотожностямитобто. Перетворюючи співвідношення, отримуємо . У рівнянні першого способу замінюємо висоту цим твором та отримуємо доказ справедливості цієї формули.

Через діагоналі паралелограма та кут,який вони створюють при перетині, також можна знайти площу.

Доказ: AC і BD перетинаючи, утворюють чотири трикутники: ABE, BEC, CDE та AED. Їхня сума дорівнює площі цього чотирикутника.

Площу кожного з цих ∆ можна знайти за виразом , де a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Оскільки , то розрахунках використовується єдине значення синуса. Тобто. Оскільки AE+CE=AC= d 1 і BE+DE=BD= d 2 формула площі зводиться до:

Застосування у векторній алгебрі

Особливості складників цього чотирикутника знайшли застосування у векторній алгебрі, а саме: складання двох векторів. Правило паралелограма стверджує, що якщо задані векториінеколінеарні, то їх сума дорівнюватиме діагоналі цієї фігури, підстави якої відповідають цим векторам.

Доказ: із довільно обраного початку – т. о. - Будуємо вектори та . Далі будуємо паралелограм ОАСВ, де відрізки OA та OB – сторони. Таким чином, ОС лежить на векторі чи сумі .

Формули для обчислення параметрів паралелограма

Тотожності наведені за таких умов:

a і b, α - сторони та кут між ними;
d 1 і d 2 , - діагоналі і в точці їх перетину;
h a та h b - висоти, опущені на сторони a та b;

Параметр	Формула
Знаходження сторін
по діагоналях і косинус кута між ними
по діагоналях та стороні
через висоту та протилежну вершину
Знаходження довжини діагоналей
по сторонах та величині вершини між ними
з боків та однієї з діагоналей	Висновок Паралелограм як одна з ключових фігур геометрії знаходить застосування у житті, наприклад, у будівництві при підрахунку площі ділянки або інших вимірів. Тому знання про відмітні ознаки та способи обчислення різних його параметрів можуть стати в нагоді в будь-який момент життя.