Наприклад:

1. Визначити кількість руху механічної системи:

Т.к. (Центр мас не рухається).

б) Теорема про зміну кількості руху (диференціальний вигляд).

Виведемо її з теореми про рух центру мас.

Для ν -Тієї матеріальної точки за другим законом Ньютона:

Тому що. маса постійна, її можна внести під знак похідної. Отримаємо:

Підсумувавши по всіх матеріальним точкам, Отримаємо:

Врахуємо, що сума всіх внутрішніх силмеханічної системи - за третім законом Ньютона.

Отримаємо теорему про зміну кількості руху механічної системи у диференціальному вигляді:

Формулювання:перша похідна за часом кількості руху механічної системи дорівнює векторної сумі всіх зовнішніх сил, які діють систему, тобто. рівна головному вектору всіх зовнішніх сил механічної системи.

Ці формули математично показують, що тільки зовнішні сили впливають на рух центру мас та зміну кількості руху механічної системи, внутрішні сили змінити кількість руху чи рух центру мас не можуть.

в) Теорема імпульсів (інтегральний вигляд) теореми про зміну кількості руху.

Визначення:

1) елементарним імпульсом сили називається добуток цієї сили на диференціал часу:

2) імпульсом сили за будь-який проміжок часу називається інтеграл виду:

Теорема імпульсів:виводиться із теореми про зміну кількості руху.

Розділяючи змінні, отримаємо:

Інтегруємо:

Враховуючи, що права частина рівняння є сумою імпульсів усіх зовнішніх сил, отримаємо:

Формулювання:Зміна кількості руху за якийсь проміжок часу дорівнює векторній сумі імпульсів усіх зовнішніх сил, прикладених до системи в цей проміжок часу.

Ця формула означає, що імпульс сили та кількість руху вимірюється в одних і тих же розмірностях одиниць.

; тому кількість руху в даний час називають імпульсом.

г) Закон збереження кількості руху:

1) Якщо, , то з теореми випливає, що: , .

Формулювання:якщо векторна сума всіх зовнішніх сил системи дорівнює нулю, кількість руху системи залишається постійним за величиною і напрямом.

2) Якщо, , то , .

Формулювання:якщо алгебраїчна сума проекцій всіх зовнішніх сил системи, на якусь вісь дорівнює нулю, то проекція кількості руху на цю вісь залишається постійною.

4. ЗАГАЛЬНІ ТЕОРЕМИ ДИНАМІКИ МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ І МЕХАНІЧНОЇ СИСТЕМИ. ТЕОРЕМА ПРО ЗМІНУ КІНЕТИЧНОГО МОМЕНТУ

Розглянуті питання:

Загальні теореми динаміки механічної системи. Теорема про зміну кінетичного моменту. Момент кількості руху матеріальної точки щодо полюса: значення алгебри, напрям вектора. Момент кількості руху матеріальної точки щодо осі. Момент кількості руху щодо початку координат. Кінетичний момент механічної системи щодо точки та осі. Кінетичний момент обертового тіла щодо осі обертання. Теорема про зміну кінетичного моменту. Закон збереження кінетичного моменту.

4.1 Момент кількості руху матеріальної точки щодо центру (крапки, полюса).

а) Визначення:моментом кількості руху матеріальної точки щодо якогось центру називається векторний твір радіус – вектор цієї точки на її кількості руху.

б) Напрямок:момент кількості руху матеріальної точки спрямований перпендикулярно площині траєкторії руху точки таким чином, щоб з кінця векторного моменту можна було бачити напрямок швидкості по відношенню до моментної точки проти годинникової стрілки.

в) Алгебраїчне значеннямоменту кількості руху точки.

Модуль моменту кількості руху матеріальної точки:

Алгебраїчне значення - це добуток кількості руху матеріальної точки на плече, взяте зі знаком плюс або мінус.

Значення моменту є позитивним, якщо він спрямований щодо моментної точки проти годинникової стрілки.

Значення моменту негативне, якщо він спрямований щодо моментної точки за годинниковою стрілкою.

Значення моменту дорівнює нулю, якщо моментна точка лежить лінії швидкості.

4.2 Момент кількості руху щодо осі.

а) Визначення:моментом кількості руху точки щодо осі називається проекція на цю вісь векторного моменту кількості руху, обчисленого щодо якоїсь точки, що лежить на цій осі.

Алгебраїчне значення аналогічне:

Значення моменту кількості руху є позитивним, якщо він спрямований проти годинникової стрілки, якщо дивитися з позитивного напрямку осі.

Значення моменту кількості руху негативне, якщо він спрямований за годинниковою стрілкою, якщо дивитися з позитивного спрямування осі.

Значення моменту кількості руху дорівнює нулю, якщо швидкість спрямована паралельно до осі або перетинає цю вісь.

Проекції на осі координат:

4.3 Кінетичний момент механічної системи щодо полюса та осі.

а) Кінетичний момент механічної системи щодо полюса.

Кінетичним моментом механічної системи щодо центру (полюса, точки) називається векторна сума моментів кількості руху всіх точок системи щодо цього центру:

б) Кінетичний момент механічної системи щодо осі:

Кінетичним моментом механічної системи щодо осі називається алгебраїчна сума моментів кількості руху всіх його точок щодо цієї ж осі:

Кінетичний момент механічної системи щодо осі Z:

Таким чином - кінетичний моментмеханічної системи це головний моменткількості руху системи

4.4 Кінетичний момент обертового тіла щодо осі обертання.

Розглянемо тіло обертання. Розглянемо рух матеріальної точки, маса якої m ν, а лінійна швидкість.

За визначенням кінетичного моменту щодо полюса:

Кінетичний момент спрямований перпендикулярно радіусу-вектору ().

Спроектувавши кінетичний момент на вісь, отримаємо:

Враховуючи, що при обертальний рухлінійна швидкість визначається за формулою Ейлера, отримаємо:

Модуль швидкості точки при обертальному русі:

де , сos (90 0 - ) = sin

Підставивши (98) у формулу (96), отримаємо:

Кінетичний момент щодо осі обертання визначається за такою формулою:

4.5 Виведення теореми про зміну кінетичного моменту.

За другим законом Ньютона для ν -тої точки:

Помноживши обидві частини рівності почленно, векторно на отримаємо:

Перетворюємо:

Підсумовуючи по ν тобто. по всіх матеріальних точках механічної системи отримаємо:

Зліва під знаком суми отримуємо кінетичний момент механічної системи щодо полюса:

Праворуч під знаком суми отримуємо суму моментів всіх зовнішніх і внутрішніх сил механічної системи щодо полюса:

За третім законом Ньютона сума моментів усіх внутрішніх сил щодо полюса Про дорівнює нулю,

Тоді отримаємо теорему у вигляді:

Формулювання:перша похідна від кінетичного моменту за часом, щодо якогось центру дорівнює векторній сумі моментів всіх зовнішніх сил, що діють на систему щодо цього ж центру.

Теорема про зміну кінетичного моменту щодо осі обертання:

Формулювання:перша похідна за часом від кінетичного моменту, щодо якоїсь осі дорівнює алгебраїчній сумі моментів всіх зовнішніх сил системи щодо цієї ж осі.

Кінетичний момент для твердого тіла щодо осі обертання:

.

2) Якщо , то .

Формулювання: якщо алгебраїчна сума моментів всіх зовнішніх сил системи, щодо якоїсь осі дорівнює нулю, то кінетичний момент щодо цієї осі залишається постійним.

Наприклад:

При обертанні фігуриста на льоду всі сили, що діють, паралельні осі Z, а це означає, що кінетичний момент щодо осі Zдорівнює нулю.

Для збільшення кутовий швидкостіфігурист притискає руки до тулуба, тим самим зменшуючи момент інерції тіла щодо осі обертання.

Для зменшення кутової швидкості фігурист розставляє руки убік, тим самим збільшуючи момент інерції тіла щодо осі обертання.

5. ЗАГАЛЬНІ ТЕОРЕМИ ДИНАМІКИ МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ І

У цій статті ми знайдемо відповіді на питання про те, як створити проекцію точки на площину та як визначити координати цієї проекції. Спиратися в теоретичній частині на поняття проектування. Дамо визначення термінам, супроводжуємо інформацію ілюстраціями. Закріпимо отримані знання під час вирішення прикладів.

Проектування, види проектування

Для зручності розгляду просторових фігур використовують креслення із зображенням цих фігур.

Визначення 1

Проекція фігури на площину– креслення просторової фігури.

Вочевидь, що з побудови проекції існує низка використовуваних правил.

Визначення 2

Проектування- Процес побудови креслення просторової фігури на площині з використанням правил побудови.

Площина проекції- це площина, у якій будується зображення.

Використання тих чи інших правил визначає тип проектування: центральнеабо паралельне.

Окремим випадком паралельного проектування є перпендикулярне проектування або ортогональне: в геометрії переважно використовують саме його. Тому в мові саме прикметник «перпендикулярне» часто опускають: у геометрії говорять просто «проекція фігури» і мають на увазі під цим побудову проекції методом перпендикулярного проектування. В окремих випадках, звичайно, може бути обумовлено інше.

Зазначимо той факт, що проекція фігури на площину є проекція всіх точок цієї фігури. Тому, щоб мати можливість вивчати просторову фігуру на кресленні, необхідно отримати базову навичку проектувати крапку на площину. Про що й говоритимемо нижче.

Нагадаємо, що найчастіше в геометрії, говорячи про проекцію на площину, мають на увазі застосування перпендикулярної проекції.

Зробимо побудови, які дадуть нам можливість отримати визначення проекції точки на площину.

Припустимо, задано тривимірний простір, а в ньому - площину і точка М 1 , не належить площині . Накреслимо через задану точку М1 пряму аперпендикулярно заданій площині? Точку перетину прямої a і площини α позначимо як H 1 вона по побудові буде основою перпендикуляра, опущеного з точки М 1 на площину α .

Якщо задана точка М 2 , що належить заданій площині α , то М 2 буде проекцією самої себе на площину α .

Визначення 3

- Це або сама точка (якщо вона належить заданій площині), або основа перпендикуляра, опущеного з заданої точкина задану поверхню.

Знаходження координат проекції точки на площину, приклади

Нехай у тривимірному просторі задані: прямокутна система координат O x y z, площина α, точка М 1 (x 1, y 1, z 1). Необхідно знайти координати проекції точки М1 на задану площину.

Рішення очевидно випливає з цього вище визначення проекції точки на площину.

Позначимо проекцію точки М 1 на площину як Н 1 . Згідно з визначенням, H 1 є точкою перетину даної площини і прямою a проведеною через точку М 1 (перпендикулярної площини). Тобто. необхідні нам координати проекції точки М 1 – це координати точки перетину прямої a та площини α .

Таким чином, для знаходження координат проекції точки на площину необхідно:

Отримати рівняння площини α (якщо воно не задано). Тут вам допоможе стаття про види рівнянь площини;

Визначити рівняння прямої a , що проходить через точку М 1 і перпендикулярної площині (вивчіть тему про рівняння прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданої площини);

Знайти координати точки перетину прямої a та площини α (стаття – знаходження координат точки перетину площини та прямої). Отримані дані будуть потрібними нам координатами проекції точки М 1 на площину α .

Розглянемо теорію на прикладах.

Приклад 1

Визначте координати проекції точки М 1 (-2, 4, 4) на площину 2 х – 3 y + z - 2 = 0 .

Рішення

Як бачимо, рівняння площині нам поставлено, тобто. складати його потреби немає.

Запишемо канонічні рівняння прямої a проходить через точку М 1 і перпендикулярної заданої площини. З цією метою визначимо координати напрямного вектора прямий a. Оскільки пряма а перпендикулярна заданій площині, напрямний вектор прямий a – це нормальний вектор площини 2 х – 3 y + z - 2 = 0 . Таким чином, a → = (2 , - 3 , 1) – напрямний вектор прямий a .

Тепер складемо канонічні рівняння прямої в просторі, що проходить через точку М 1 (- 2 , 4 , 4) і має напрямний вектор a → = (2, - 3, 1):

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

Для знаходження шуканих координат наступним кроком визначимо координати точки перетину прямої x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 і площині 2 х - 3 y + z - 2 = 0 . З цією метою переходимо від канонічних рівнянь до рівнянь двох площин, що перетинаються:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 · (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Складемо систему рівнянь:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

І вирішимо її, використовуючи метод Крамера:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 – 28 = 5

Таким чином, шукані координати заданої точки М 1 на задану площину будуть: (0 , 1 , 5) .

Відповідь: (0 , 1 , 5) .

Приклад 2

У прямокутній системі координат O x y z тривимірного простору дано точки А (0, 0, 2); В (2, - 1, 0); З (4 , 1 , 1) та М 1 (-1, -2, 5). Необхідно знайти координати проекції М 1 на площину АВС

Рішення

Насамперед запишемо рівняння площини, що проходить через три задані точки:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0

Запишемо параметричні рівняння прямої a , яка проходитиме через точку М 1 перпендикулярно площині А В С. Площина х - 2 y + 2 z - 4 = 0 має нормальний вектор з координатами (1, - 2, 2), тобто. вектор a → = (1 , - 2 , 2) – напрямний вектор прямий a .

Тепер, маючи координати точки прямої М 1 і координати напрямного вектора цієї прямої, запишемо параметричні рівняння прямої в просторі:

Потім визначимо координати точки перетину площини х – 2 y + 2 z – 4 = 0 та прямий

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ

Для цього в рівняння площини підставимо:

x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 · λ, z = 5 + 2 · λ

Тепер за параметричними рівняннями x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ знайдемо значення змінних x , y та z при λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Таким чином, проекція точки М 1 на площину АВС матиме координати (- 2 , 0 , 3) ​​.

Відповідь: (- 2 , 0 , 3) .

Окремо зупинимося на питанні знаходження координат проекції точки на координатні площини та площини, які паралельні координатним площинам.

Нехай задана точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1) і координатні площини O x y, О x z і O y z. Координатами проекції цієї точки на дані площини будуть відповідно: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) і (0, y 1, z 1). Розглянемо також площини, паралельні заданим координатним площинам:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

І проекціями заданої точки М 1 на ці площині будуть точки з координатами x 1, y 1, -DC, x1, -DB, z1 і -DA, y1, z1.

Продемонструємо, як було отримано цей результат.

Як приклад визначимо проекцію точки М 1 (x 1, y 1, z 1) на площину A x + D = 0 . Інші випадки – за аналогією.

Задана площина паралельна координатній площині O y z і = = (1, 0, 0) є її нормальним вектором. Цей вектор служить напрямним вектором прямої, перпендикулярної до площині O y z . Тоді параметричні рівняння прямої, проведеної через точку M 1 і перпендикулярної заданої площини, матимуть вигляд:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Знайдемо координати точки перетину цієї прямої та заданої площини. Підставимо спочатку в рівняння А x + D = 0 рівності: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 і отримаємо: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1

Потім обчислимо шукані координати, використовуючи параметричні рівняння прямої при λ = - DA - x 1:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

Тобто, проекцією точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1) на площину буде точка з координатами - D A , y 1 , z 1 .

Приклад 2

Необхідно визначити координати проекції точки М 1 (-6, 0, 12) на координатну площину O x y і площину 2 y - 3 = 0 .

Рішення

Координатна площина O x y буде відповідати неповне загальне рівнянняплощині z = 0. Проекція точки М 1 на площину z = 0 матиме координати (-6, 0, 0).

Рівняння площини 2 y - 3 = 0 можна записати як y = 3 2 2 . Тепер просто записати координати проекції точки M 1 (-6, 0, 1 2) на площину y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

Відповідь:(- 6 , 0 , 0) і - 6 , 3 2 2 , 1 2

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

При прямокутному проектуванні система площин проекцій є двома взаємно перпендикулярними площинами проекцій (рис. 2.1). Одну домовилися розташовувати горизонтально, іншу - вертикально.

Площина проекцій, розташовану горизонтально, називають горизонтальною площиною проекційі позначають щ,а площину, їй перпендикулярну, - фронтальною площиною проекційл 2 .Саму систему площин проекцій позначають п/п 2 .Зазвичай використовують скорочені вирази: площина Л[,площина п 2 .Лінію перетину площин щі до 2називають віссю проекційОХ.Вона ділить кожну площину проекцій на дві частини. підлоги.Горизонтальна площина проекцій має передню та задню, а фронтальна – верхню та нижню підлоги.

Площини щі п 2ділять простір на чотири частини, звані чвертямита позначені римськими цифрами I, II, III та IV (див. рис. 2.1). Першою чвертю називають частину простору, обмежену верхньою порожнистою передньою і передньою порожнистою горизонтальною площин проекцій. Для решти чвертей простору визначення аналогічні до попереднього.

Всі машинобудівні креслення є зображення, побудовані на одній площині. На рис. 2.1 система площин проекцій є просторовою. Для переходу до зображень на одній площині домовилися поєднувати площину проекцій. Зазвичай площина п 2залишають нерухомою, а площина Пповертають у напрямку, вказаному стрілками (див. рис. 2.1), навколо осі ОХна кут 90 ° до поєднання її з площиною п 2 .При такому повороті передня підлога горизонтальної площини опускається вниз, а задня піднімається вгору. Після суміщення площини мають вигляд, обра-

на рис. 2.2. Вважають, що площини проекцій непрозорі та спостерігач завжди знаходиться у першій чверті. На рис. 2.2 позначення невидимих ​​після поєднання підлогу площин взято в дужки, як це прийнято для виділення на кресленнях невидимих ​​фігур.

Точка, що проектується, може знаходитися в будь-якій чверті простору або на будь-якій площині проекцій. У всіх випадках для побудови проекцій через неї проводять проєкуючі прямі і знаходять точки зустрічі їх з площинами 711 та 712, які є проекціями.

Розглянемо проектування точки, що у першій чверті. Задано систему площин проекцій 711/712 і точку. А(Рис. 2.3). Через неї проводять дві прямі ЛІНІЇ, перпендикулярні ПЛОЩИН 71) І 71 2 . Одна з них перетне площину 711 у точці А",званою горизонтальною проекцією точки А,а інша - площина 71 2 у точці А",званою фронтальною проекцією точки А.

Проєціруючі прямі АА "і АА "визначають площину проектування а. Вона перпендикулярна до площин. Кіп 2 ,оскільки проходить через перпендикуляри до них і перетинає площини проекцій за прямими А "Ах та А" Ах.Вісь проекцій ОХперпендикулярна площині ос, як лінія перетину двох площин 71| і 71 2 перпендикулярних третьої площини (а), а отже, і будь-якої прямої, що лежить в ній. Зокрема, 0X1А"А хі 0X1А "А х.

При суміщенні площин відрізок А "Ах,розташований на площині до 2 ,залишається нерухомим, а відрізок А "Ахразом з площиною 71) буде повернутий навколо осі ОХдо суміщення з площиною 71 2 . Вид суміщених площин проекцій разом з проекціями точки Анаведено на рис. 2.4, а.Після суміщення точки А", Ах і А"виявляться розташованими на одній прямій, перпендикулярній осі ОХ.Звідси випливає, що дві проекції однієї і тієї ж точки

лежать загальному перпендикулярі до осі проекції. Цей перпендикуляр, що з'єднує дві проекції однієї і тієї ж точки, називають лінією проекційного зв'язку.

Креслення на рис. 2.4, аможна значно спростити. Позначення суміщених площин проекцій на кресленнях не відзначають і прямокутники, що умовно обмежують площини проекцій, не зображують, оскільки площини безмежні. Спрощене креслення точки А(рис. 2.4, б)називають також епюром(Від франц. ?pure - креслення).

Зображений на рис. 2.3 чотирикутник AE4 "А Х А"є прямокутником та його протилежні сторонирівні та паралельні. Тому відстань від точки Адо площини П, що вимірюється відрізком АА", на кресленні визначається відрізком А "Ах.А відрізок А "А х = АА"дозволяє судити про відстань від точки Адо площини до 2 .Таким чином, креслення точки дає повне уявлення про її розташування щодо площин проекцій. Наприклад, за кресленням (див. рис. 2.4, б)можна стверджувати, що точка Арозташована у першій чверті та віддалена від площини п 2на меншу відстань, ніж від площини тс так як А "АхА "Ах.

Перейдемо до проектування точки у другій, третій та четвертій чвертях простору.

При проектуванні точки В,розташованої в другій чверті (рис. 2.5), після суміщення площин обидві її проекції виявляться вище за осі ОХ.

Горизонтальна проекція точки С, заданої у третій чверті (рис. 2.6), розташована вище за осі ОХ,а фронтальна – нижче.

Точка Д зображена на рис. 2.7, розташована у четвертій чверті. Після суміщення площин проекцій обидві її проекції будуть нижче осі ОХ.

Порівнюючи креслення точок, що у різних чвертях простору (див. рис. 2.4-2.7), можна побачити, що з кожної характерне своє розташування проекцій щодо осі проекцій ОХ.

У окремих випадках проектована точка може лежати на площині проекцій. Тоді одна її проекція збігається з точкою, а інша буде розташована на осі проекцій. Наприклад, для точки Е,лежачої на площині щ(Рис. 2.8), горизонтальна проекція збігається з самою точкою, а фронтальна знаходиться на осі ОХ.У точки Е,розташованої на площині до 2(рис. 2.9), горизонтальна проекція на осі ОХ,а фронтальна збігається із самою точкою.

ПРОЕЦЮВАННЯ ТОЧКИ НА ДВІ ПЛОЩИНІ ПРОЕКЦІЙ

Утворення відрізка прямої лінії АА 1 можна як результат переміщення точки А у якій-небудь площині Н (рис. 84, а), а утворення площини - як переміщення відрізка прямої лінії АВ (рис. 84, б).

Точка - основний геометричний елемент лінії та поверхні, тому вивчення прямокутного проектування предмета починається з побудови прямокутних проекцій точки.

У простір двогранного кута, утвореного двома перпендикулярними площинами - фронтальною (вертикальною) площиною проекцій V та горизонтальною площиною проекцій Н, помістимо точку А (рис. 85, а).

Лінія перетину площин проекцій - пряма, яка називається віссю проекцій і позначається літерою х.

Площина V тут зображена як прямокутника, а площина Н - як паралелограмма. Похилий бік цього паралелограма зазвичай проводять під кутом 45° до його горизонтальної сторони. Довжина похилої сторони береться дорівнює 0,5 її дійсної довжини.

З точки А опускають перпендикуляри на площині V і Н. Точки а і перетину перпендикулярів з площинами проекцій V і Н є прямокутними проекціями точки А. Фігура Ааа х а в просторі - прямокутник. Сторона аах цього прямокутника на наочному зображенні зменшується вдвічі.

Сумісний площині Н з площиною V обертаючи V навколо лінії перетину площин х. В результаті виходить комплексне креслення точки А (рис. 85, б)

Для спрощення комплексного креслення межі площин проекцій V та Н не вказують (рис. 85, в).

Перпендикуляри, проведені з точки А до площин проекцій, називаються проецірующими лініями, а підстави цих ліній - точки а і а" - називаються проекціями точки А: а" - фронтальна проекція точки А, а - горизонтальна проекція точки А.

Лінія а"а називається вертикальною лінією проекційного зв'язку.

Розташування проекції точки на комплексному кресленні залежить від цієї точки у просторі.

Якщо точка А лежить на горизонтальній площині проекцій Н (рис. 86, а), то її горизонтальна проекція а збігається із заданою точкою, а фронтальна проекція а розташовується на осі При розташуванні точки В на фронтальній площині проекцій V її фронтальна проекція збігається з цією точкою, а горизонтальна проекція лежить на осі х.

ПРОЄЦЮВАННЯ ТОЧКИ НА ТРИ ПЛОЩИНІ ПРОЕКЦІЙ

У тих випадках, коли по двох проекціях не можна уявити форму предмета, його проектують на три площині проекцій. В цьому випадку вводиться профільна площина проекцій W, перпендикулярна площин V і Н. Наочне зображення системи з трьох площин проекцій дано на рис. 87, а.

Ребра тригранного кута (перетин площин проекцій) називаються осями проекцій і позначаються x, y z. Перетин осей проекцій називається початком осей проекцій і позначається буквою О. Опустимо з точки А перпендикуляр на площину проекцій W і, відзначивши основу перпендикуляра буквою а, отримаємо профільну проекцію точки А.

Для отримання комплексного креслення точки А площини Н і W поєднують з площиною V, обертаючи навколо осей Ох і Oz. Комплексне креслення точки А показано на рис. 87, б і в.

Відрізки ліній, що проектують, від точки А до площин проекцій називаються координатами точки А і позначаються: х А, у А і z A .

Наприклад, координата z A точки А, що дорівнює відрізку а"а х (рис. 88, а і б), є відстань від точки А до горизонтальної площини проекцій Н. Координата у точки А, що дорівнює відрізку аа х, є відстань від точки А до фронтальної площини проекцій V. Координата х А, що дорівнює відрізку аа у - відстань від точки А до профільної площини проекцій W.

Таким чином, відстань між проекцією точки та віссю проекції визначають координати точки та є ключем до читання її комплексного креслення. За двома проекціями точки можна визначити всі три координати точки.

Якщо задані координати точки А (наприклад, х А = 20 мм, А = 22 мм і z A = 25 мм), то можна побудувати три проекції цієї точки.

Для цього від початку координат Про у напрямку осі Oz відкладають вгору координату z A і вниз координату у А. З кінців відкладених відрізків - точок a z і а у (рис. 88, а) - проводять прямі, паралельні осі Ох, і на них відкладають відрізки, рівні координаті х А. Отримані точки а" і а - фронтальна та горизонтальна проекції точки А.

По двох проекціях а і точки А побудувати її профільну проекцію можна трьома способами:

1) з початку координат Про проводять допоміжну дугу радіусом Оа у, що дорівнює координаті (рис. 87, б і в), з отриманої точки а у1 проводять пряму, паралельну осі Oz, і відкладають відрізок, рівний z A ;

2) з точки а у проводять допоміжну пряму під кутом 45° до осі Оу (рис. 88 а), отримують точку а у1 і т. д.;

3) з початку координат проводять допоміжну пряму під кутом 45° до осі Оу (рис. 88, б), отримують точку а у1 і т. д.

Апарат проектування

Апарат проектування (рис. 1) включає три площини проекцій:

π 1 –горизонтальна площина проекцій;

π 2 –фронтальна площина проекцій;

π 3– профільна площина проекцій .

Площини проекцій розташовуються взаємно перпендикулярно ( π 1^ π 2^ π 3), які лінії перетину утворюють осі:

Перетин площин π 1і π 2утворюють вісь 0Х (π 1∩ π 2 = 0Х);

Перетин площин π 1і π 3утворюють вісь 0Y (π 1∩ π 3 = 0Y);

Перетин площин π 2і π 3утворюють вісь 0Z (π 2∩ π 3 = 0Z).

Точка перетину осей (ОХ∩OY∩OZ=0) вважається точкою початку відліку (точка 0).

Так як площини і осі взаємно перпендикулярні, такий апарат аналогічний декартової системі координат.

p align="justify"> Площини проекцій весь простір ділять на вісім октантів (на рис. 1 вони позначені римськими цифрами). Площини проекцій вважаються непрозорими, а глядач завжди знаходиться в Iом октанті.

Проектування ортогональне з центрами проектування S 1, S 2і S 3відповідно для горизонтальної, фронтальної та профільної площин проекцій.

А.

З центрів проектування S 1, S 2і S 3виходять проєкуючі промені l 1, l 2і l 3 А

- А 1 А;

- А 2- фронтальна проекція точки А;

- А 3– профільна проекція точки А.

Крапка у просторі характеризується своїми координатами A(x,y,z). Крапки A x, A yі A zвідповідно на осях 0X, 0Yі 0Zпоказують координати x, yі zкрапки А. На рис. 1 дано всі необхідні позначення та показані зв'язки між точкою Апростору, її проекціями та координатами.

Епюр точки

Щоб отримати епюр точки А(рис. 2), в апараті проектування (рис. 1) площина π 1 А 1 0Х π 2. Потім площина π 3з проекцією точки А 3обертають проти годинникової стрілки навколо осі 0Zдо поєднання її з площиною π 2. Напрямок поворотів площин π 2і π 3показано на рис. 1 стрілками. При цьому прямі А 1 А хі А 2 А х 0Хперпендикулярі А 1 А 2, а прямі А 2 А хі А 3 А хстануть розташовуватися на загальному до осі 0Zперпендикулярі А 2 А 3. Ці прямі надалі називатимемо відповідно вертикальною і горизонтальною лініями зв'язків.

Слід зазначити, що при переході від апарату проектування до епюру проектований об'єкт зникає, але вся інформація про його форму, геометричних розмірахта місце його становища у просторі зберігаються.

А(x A , y A , z Ax A , y Aі z Aу наступній послідовності (рис. 2). Ця послідовність називається методикою побудови епюра точки.

1. Ортогонально викреслюються осі OX, OYі OZ.

2. На осі OX x Aкрапки Ата отримують положення точки Ах.

3. Через точку Ахперпендикулярно до осі OX

Аху напрямку осі OYвідкладається чисельне значення координати y Aкрапки А А 1на епюрі.

Аху напрямку осі OZвідкладається чисельне значення координати z Aкрапки А А 2на епюрі.

6. Через точку А 2паралельно осі OXпроводиться горизонтальна лінія зв'язку. Перетин цієї лінії та осі OZдасть положення точки А z.

7. На горизонтальній лінії зв'язку від точки А zу напрямку осі OYвідкладається чисельне значення координати y Aкрапки Ата визначається положення профільної проекції точки А 3на епюрі.

Характеристика точок

Усі точки простору поділяються на точки приватного та загального положень.

Точки приватного становища. Крапки, що належать апарату проектування, називаються точками приватного положення. До них відносяться точки, що належать площин проекцій, осям, початку координат і центрам проектування. Характерними ознаками точок приватного стану є:

Метаматематичний – одна, дві чи всі чисельні значення координат дорівнюють нулю та (або) нескінченності;

На епюрі - дві або всі проекції точки розташовуються на осях і (або) розташовуються в безкінечності.

Крапки загального становища. До точок загального положення належать точки, що не належать апарату проектування. Наприклад, точка Ана рис. 1 та 2.

Загалом чисельні значення координат точки характеризує її віддалення від площини проекцій: координата хвід площини π 3; координата yвід площини π 2; координата zвід площини π 1. Слід зазначити, що знаки при чисельних значеннях координат вказують напрям видалення точки від площин проекцій. Залежно від поєднання знаків при чисельних значеннях координат точки залежить, у якому з октанів вона.

Метод двох зображень

Насправді, крім методу повного проектування використовують метод двох зображень. Він відрізняється тим, що у цьому методі виключається третя проекція об'єкта. Для отримання апарату проектування методу двох зображень з апарату повного проектування виключається профільна площина проекцій з її центром проектування (рис. 3). Крім того, на осі 0Хпризначається початок відліку (точка 0 ) і з нього перпендикулярно до осі 0Ху площинах проекцій π 1і π 2проводять осі 0Yі 0Zвідповідно.

У цьому апараті весь простір ділиться на чотири квадранти. На рис. 3 вони позначені римськими цифрами.

Площини проекцій вважаються непрозорими, а глядач завжди знаходиться в I-ом квадранті.

Розглянемо роботу апарату з прикладу проектування точки А.

З центрів проектування S 1і S 2виходять проєкуючі промені l 1і l 2. Ці промені проходять через точку Аі перетинаючи площинами проекцій утворюють її проекції:

- А 1- горизонтальна проекція точки А;

- А 2- фронтальна проекція точки А.

Щоб отримати епюр точки А(рис. 4), в апараті проектування (рис. 3) площина π 1з отриманою проекцією точки А 1обертають за годинниковою стрілкою навколо осі 0Хдо поєднання її з площиною π 2. Напрямок повороту площини π 1показано на рис. 3 стрілки. При цьому на епюрі точки отриманої методом двох зображень залишається лише одна вертикальналінія зв'язку А 1 А 2.

На практиці побудова епюра точки А(x A , y A , z A) здійснюється за чисельними значеннями її координат x A , y Aі z Aу наступній послідовності (рис. 4).

1. Викреслюється вісь OXта призначається початок відліку (точка 0 ).

2. На осі OXвідкладається чисельне значення координати x Aкрапки Ата отримують положення точки Ах.

3. Через точку Ахперпендикулярно до осі OXпроводиться вертикальна лінія зв'язку.

4. На вертикальній лінії зв'язку від точки Аху напрямку осі OYвідкладається чисельне значення координати y Aкрапки Ата визначається положення горизонтальної проекції точки А 1 OYне викреслюється, а передбачається, що її позитивні значення розташовуються нижче за осю OXа негативні вище.

5. На вертикальній лінії зв'язку від точки Аху напрямку осі OZвідкладається чисельне значення координати z Aкрапки Ата визначається положення фронтальної проекції точки А 2на епюрі. Слід зазначити, що на епюрі вісь OZне викреслюється, а передбачається, що її позитивні значення розташовуються вище за осі OXа негативні нижче.

Конкуруючі точки

Крапки одному проецирующем промені називаються конкуруючими. Вони у напрямі проецирующего променя мають загальну їм проекцію, тобто. їх проекції тотожно збігаються. Характерною ознакоюконкуруючих точок на епюрі є тотожний збіг їх однойменних проекцій. Конкуренція полягає у видимості цих проекцій щодо спостерігача. Іншими словами, у просторі для спостерігача одна з точок видима, інша – ні. І, відповідно, на кресленні: одна з проекцій точок, що конкурують, видима, а проекція іншої точки – невидима.

На просторовій моделі проектування (рис. 5) із двох конкуруючих точок Аі Увидима точка Аза двома взаємно доповнювальними ознаками. Судячи з ланцюжка S 1 →А→Вкрапка Аближче до спостерігача, ніж точка У. І, відповідно, – далі від площини проекцій π 1(Тобто. z A > z A).

Мал. 5 Мал.6

Якщо видима сама точка A, то видно і її проекція A 1. По відношенню до збігається з нею проекцією B 1. Для наочності і за потреби на епюрі невидимі проекції точок прийнято укладати в дужки.

Приберемо на моделі точки Аі У. Залишаться їх збігаються проекції на площині π 1та окремі проекції – на π 2. Умовно залишимо і фронтальну проекцію спостерігача (⇩), що знаходиться в центрі проектування S 1. Тоді по ланцюжку зображень ⇩ → A 2 → B 2можна буде судити про те, що z A > z Bі що видно і сама точка Ата її проекція А 1.

Аналогічно розглянемо конкуруючі точки Зі Dмабуть щодо площині π 2 . Оскільки загальний проєційний промінь цих точок l 2паралельний осі 0Y, то ознака видимості конкуруючих точок Зі Dвизначається нерівністю y C > y D. Отже, що точка Dзакрита точкою Зі відповідно проекція точки D 2буде закрито проекцією точки З 2на площині π 2.

Розглянемо, як визначається видимість конкуруючих точок на комплексному кресленні (рис. 6).

Судячи з проекцій, що збігаються А 1≡У 1самі точки Аі Узнаходяться на одному проєційному промені, паралельному осі 0Z. Значить, порівнянню підлягають координати z Aі z Bцих точок. Для цього використовуємо передню площину проекцій з роздільними зображеннями точок. В даному випадку z A > z B. З цього випливає, що видима проекція А 1.

Крапки Cі Dна аналізованому комплексному кресленні (рис. 6) так само перебувають на одному проецірующем промені, але тільки паралельному осі 0Y. Тому з порівняння y C > y Dробимо висновок, що видима проекція 2 .

Загальне правило . Видимість для збігаються проекцій конкуруючих точок визначається порівнянням координат цих точок у напрямі загального проецирующего променя. Видима та проекція точки, у якої ця координата більша. У цьому порівняння координат ведеться на площині проекцій із роздільними зображеннями точок.