İzin vermek X– argüman (bağımsız değişken); y=y(x)- işlev.

Sabit bir argüman değeri alalım x=x 0 ve fonksiyonun değerini hesaplayın sen 0 =y(x 0 ) . Şimdi keyfi olarak ayarlayalım artış argümanın (değişimi) ve onu belirtin  X ( X herhangi bir işarette olabilir).

Artış argümanı bir noktadır X 0 +  X. Diyelim ki bir fonksiyon değeri de içeriyor y=y(x 0 +  X)(resme bakın).

Böylece, argümanın değerindeki keyfi bir değişiklikle, fonksiyonda bir değişiklik elde edilir. artış fonksiyon değerleri:

ve keyfi değildir, ancak işlevin türüne ve değere bağlıdır
.

Bağımsız değişken ve işlev artışları son yani sabit sayılar olarak ifade edilir; bu durumda bunlara bazen sonlu farklar denir.

Ekonomide sonlu artışlar sıklıkla dikkate alınır. Örneğin, tablo belirli bir eyaletteki demiryolu ağının uzunluğuna ilişkin verileri göstermektedir. Açıkçası, ağ uzunluğundaki artış, önceki değerin sonraki değerden çıkarılmasıyla hesaplanır.

Demiryolu ağının uzunluğunu, argümanı zaman (yıl) olacak bir fonksiyon olarak ele alacağız.

Bir fonksiyondaki artış (bu durumda demiryolu ağının uzunluğu) kendi başına fonksiyondaki değişikliği iyi karakterize etmez. Örneğimizde, aslında 2,5>0,9 ağın daha hızlı büyüdüğü sonucuna varılamaz 2000-2003 olduğundan yıllar 2004 örneğin, çünkü artış 2,5 Üç yıllık bir süreyi ifade eder ve 0,9 - sadece bir yıl içinde. Dolayısıyla bir fonksiyondaki artışın argümanda birim değişikliğe yol açması oldukça doğaldır. Buradaki argümanın artışı periyotlardır: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

İktisat literatüründe denilen şeyi elde ediyoruz ortalama yıllık büyüme.

Birer birer farklılık gösteren argüman değerleri için fonksiyon değerlerini alırsanız, bu her zaman mümkün olmayabilen, argüman değişiminin birimine olan artışı azaltma işleminden kaçınabilirsiniz.

Matematiksel analizde, özellikle diferansiyel hesaplamada, bağımsız değişkenin ve fonksiyonun sonsuz küçük (IM) artışları dikkate alınır.

Tek değişkenli bir fonksiyonun türevi (türev ve diferansiyel) Bir fonksiyonun türevi

Bir noktada bağımsız değişken ve işlevin artışları X 0 karşılaştırılabilir sonsuz küçük miktarlar olarak düşünülebilir (bkz. konu 4, BM'nin karşılaştırılması), yani Aynı düzenin BM'si.

O zaman oranlarının, fonksiyonun t cinsinden türevi olarak tanımlanan sonlu bir limiti olacaktır. X 0 .

Bir fonksiyonun artışının, argümanın bir noktadaki BM artışına oranının limiti x=x 0 isminde türev Belirli bir noktada çalışır.

Bir türevin bir vuruşla (veya daha doğrusu Roma rakamı I ile) sembolik olarak belirtilmesi Newton tarafından tanıtıldı. Türevin hangi değişkenle hesaplandığını gösteren bir alt simge de kullanabilirsiniz; örneğin: . Türev hesabının kurucusu Alman matematikçi Leibniz tarafından önerilen başka bir gösterim de yaygın olarak kullanılmaktadır:
. Bu tanımlamanın kökeni hakkında daha fazla bilgiyi bölümde öğreneceksiniz. Fonksiyon diferansiyeli ve argüman diferansiyeli.

Bu sayı tahmin ediyor hız Bir noktadan geçen fonksiyondaki değişiklikler
.

Hadi kuralım geometrik anlamı bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. Bu amaçla fonksiyonun grafiğini çizeceğiz. y=y(x) ve değişikliği belirleyen noktaları işaretleyin y(x) arada

Bir fonksiyonun grafiğine bir noktada teğet M 0
sekantın sınırlayıcı konumunu dikkate alacağız M 0 M buna göre
(nokta M bir fonksiyonun grafiği boyunca bir noktaya kayar M 0 ).

düşünelim
. Açıkça,
.

Eğer nokta M fonksiyonun grafiği boyunca noktaya doğru ilerleyin M 0 , ardından değer
belirttiğimiz belirli bir sınıra yönelecektir
. Aynı zamanda.

Sınır açısı  fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğim açısı ile çakışır. M 0 , yani türev
sayısal olarak eşit teğet eğim belirtilen noktada.

-

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin geometrik anlamı.

Böylece teğet ve normal denklemleri yazabiliriz ( normal - bu, fonksiyonun grafiğine bir noktada teğete dik olan düz bir çizgidir X 0 :

Teğet - .

Normal -
.

Bu çizgilerin yatay veya dikey olarak yerleştirildiği durumlar ilgi çekicidir (bkz. Konu 3, bir çizginin düzlem üzerindeki konumunun özel durumları). Daha sonra,

Eğer
;

Eğer
.

Türevin tanımı denir farklılaşma işlevler.

 Eğer noktadaki fonksiyon X 0 sonlu bir türevi varsa buna denir türevlenebilir Bu noktada. Belirli bir aralığın tüm noktalarında türevlenebilen bir fonksiyona bu aralıkta türevlenebilir denir.

 Teorem . Eğer fonksiyon y=y(x) dahil olmak üzere farklılaştırılabilir X 0 ise bu noktada süreklidir.

Böylece, süreklilik– bir fonksiyonun türevlenebilirliği için gerekli (ancak yeterli olmayan) bir koşul.

Fonksiyon verilsin. İki argüman değeri alalım: ilk ve değiştirilmiş, ki bu genellikle belirtilir
, Nerede - birinci değerden ikinciye geçerken argümanın değişme miktarına denir argüman artışı.

Argüman değerleri ve belirli fonksiyon değerlerine karşılık gelir: başlangıç ve değişti
, büyüklük Argüman değere göre değiştiğinde işlevin değerinin de değiştiği , çağrılır fonksiyon artışı.

2. Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti kavramı.

Sayı fonksiyonun limiti denir
eğilimi ile herhangi bir sayı için ise
böyle bir sayı var
herkesin önünde
eşitsizliğin sağlanması
eşitsizlik giderilecek
.

İkinci Tanım: Bir sayıya, herhangi bir sayı için bu komşuluklardan herhangi biri için bir noktanın komşuluğu varsa, bu sayıya bir fonksiyonun limiti denir. Belirlenmiş
.

3. Bir noktada sonsuz büyük ve sonsuz küçük fonksiyonlar. Sonsuza kadar küçük fonksiyon bir noktada - belirli bir noktaya yöneldiğinde limiti olan bir fonksiyon sıfıra eşit. Bir noktadaki sonsuz büyük fonksiyon, belirli bir noktaya yöneldiğinde limiti sonsuza eşit olan bir fonksiyondur.

4. Sınırlarla ilgili temel teoremler ve bunların sonuçları (kanıtsız).

sonuç: sabit faktör limit işaretinin ötesine alınabilir:

Eğer diziler ve yakınsaksa ve dizinin limiti sıfırdan farklıysa, o zaman

sonuç: sabit faktör limit işaretinin ötesine alınabilir.

11. İşlevlerin sınırları varsa
Ve
ve fonksiyonun limiti sıfır değildir,

o zaman fonksiyonların limitlerinin oranına eşit olan oranlarının da bir limiti vardır ve:

.

12. eğer
, O
, bunun tersi de doğrudur.

13. Bir ara dizinin limitine ilişkin teorem. Eğer diziler
yakınsayan ve
Ve
O

5. Bir fonksiyonun sonsuzdaki limiti.

a sayısı, sonsuza doğru giden herhangi bir dizi için, bir fonksiyonun sonsuzdaki limiti olarak adlandırılır (sonsuza doğru giden x için).
sayıya yönelik bir değerler dizisine karşılık gelir A.

6. sınırlar sayı dizisi.

Sayı A herhangi biri için sayı dizisinin limiti denir pozitif sayı olacak doğal sayı N, öyle ki herkes için N> N eşitsizlik geçerli
.

Sembolik olarak bu şu şekilde tanımlanır:
adil .

Gerçek şu ki, sayı A dizinin limitidir ve şu şekilde gösterilir:

.

7.sayı "e". doğal logaritmalar.

Sayı "e" sayı dizisinin limitini temsil eder, N- üyesi olan
yani

.

Doğal logaritma - tabanlı logaritma e. doğal logaritmalar gösterilir
bir sebep belirtmeden.

Sayı
buradan hareket etmenizi sağlar ondalık logaritma doğal ve geri.

, buna geçiş modülü denir doğal logaritmalar ondalık sayıya kadar.

8. harika sınırlar
,

.

Dikkate değer ilk sınır:

böylece

ara dizi limiti teoremi ile

ikinci dikkate değer sınır:

.

Bir limitin varlığını kanıtlamak
lemmayı kullanın: herhangi biri için gerçek sayı
Ve
eşitsizlik doğrudur
(2) (saatte
veya
eşitsizlik eşitliğe dönüşür.)

.

Şimdi ortak terimli bir yardımcı diziyi düşünün
Aşağıda azaldığından ve sınırlandığından emin olalım:
Eğer
sonra sıra azalır. Eğer
, bu durumda dizi aşağıda sınırlanır. Bunu gösterelim:

eşitlik nedeniyle (2)

yani.
veya
. Yani dizi azalmaktadır ve dizi aşağıdan sınırlı olduğundan. Eğer bir dizi azalıyorsa ve aşağıda sınırlıysa bu durumda bir limiti vardır. Daha sonra

bir limiti ve dizisi (1) vardır, çünkü

Ve
.

L. Euler bu limiti aradı .

9. Tek taraflı sınırlar, fonksiyonun süreksizliği.

Aşağıdaki durum herhangi bir dizi için geçerliyse A sayısı sol limittir: .

Herhangi bir dizi için aşağıdaki durum geçerliyse A sayısı sağdaki limittir: .

Eğer bu noktada A Fonksiyonun tanım alanına veya sınırına aitse, fonksiyonun süreklilik şartı ihlal ediliyorsa, o zaman nokta A nokta eğilim gösteriyorsa süreksizlik noktası veya fonksiyonun süreksizliği denir.

12. Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı. Geometrik ilerleme, sonraki ve önceki terimler arasındaki oranın değişmeden kaldığı bir dizidir, bu orana ilerlemenin paydası denir. İlkinin toplamı N geometrik ilerlemenin üyeleri formülle ifade edilir
Bu formülün azalan geometrik ilerleme için kullanılması uygundur; mutlak değer paydası sıfırdan küçüktür. - ilk üye; - ilerleme paydası; - dizinin alınan üyesinin numarası. Sonsuz azalan ilerlemenin toplamı, sayı süresiz olarak arttığında azalan ilerlemenin ilk terimlerinin toplamının süresiz olarak yaklaştığı sayıdır.
O. Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı şuna eşittir: .

Tanım 1

Bir etki alanındaki iki bağımsız değişkenin her $(x,y)$ değeri çifti için belirli bir $z$ değeri ilişkilendirilirse, o zaman $z$'ın iki değişken $(x,y)'nin bir fonksiyonu olduğu söylenir. $. Gösterim: $z=f(x,y)$.

$z=f(x,y)$ fonksiyonuyla ilgili olarak, bir fonksiyonun genel (toplam) ve kısmi artışları kavramlarını ele alalım.

$z=f(x,y)$ fonksiyonunun iki bağımsız $(x,y)$ değişkeninden oluştuğunu varsayalım.

Not 1

$(x,y)$ değişkenleri bağımsız olduğundan biri değişebilirken diğeri sabit kalır.

$y$ değişkeninin değerini değiştirmeden $x$ değişkenine $\Delta x$ tutarında bir artış verelim.

Daha sonra $z=f(x,y)$ fonksiyonu, $z=f(x,y)$ fonksiyonunun $x$ değişkenine göre kısmi artışı olarak adlandırılacak bir artış alacaktır. Tanım:

Benzer şekilde, $x$ değişkeninin değerini değiştirmeden $y$ değişkenine $\Delta y$ tutarında bir artış vereceğiz.

Daha sonra $z=f(x,y)$ fonksiyonu, $z=f(x,y)$ fonksiyonunun $y$ değişkenine göre kısmi artışı olarak adlandırılacak bir artış alacaktır. Tanım:

Eğer $x$ argümanına $\Delta x$ tutarında bir artış verilirse ve $y$ argümanına $\Delta y$ oranında bir artış verilirse, o zaman toplam artış elde edilir Verilen fonksiyon$z=f(x,y)$. Tanım:

Böylece elimizde:

$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - $z=f(x,y)$ fonksiyonunun $x$ kadar kısmi artışı;

$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - $z=f(x,y)$ fonksiyonunun $y$ kadar kısmi artışı;

$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - $z=f(x,y)$ fonksiyonunun toplam artışı.

Örnek 1

Çözüm:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - $z=f(x,y)$ fonksiyonunun $x$ üzerinden kısmi artışı;

$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - $z=f(x,y)$ fonksiyonunun $y$'a göre kısmi artışı.

$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - $z=f(x,y)$ fonksiyonunun toplam artışı.

Örnek 2

$\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1$ için $(1;2)$ noktasında $z=xy$ fonksiyonunun kısmi ve toplam artışını hesaplayın.

Çözüm:

Kısmi artışın tanımı gereği şunları buluruz:

$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - $z=f(x,y)$ fonksiyonunun $x$ üzerinden kısmi artışı

$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - $z=f(x,y)$ fonksiyonunun $y$ kadar kısmi artışı;

Toplam artışın tanımı gereği şunları buluruz:

$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - $z=f(x,y)$ fonksiyonunun toplam artışı.

Buradan,

\[\Delta _(x) z=(1+0,1)\cdot 2=2,2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0,1)=2,1 \] \[\Delta z= (1+0,1)\cdot (2+0,1)=1,1\cdot 2,1=2,31.\]

Not 2

Belirli bir fonksiyonun $z=f(x,y)$ toplam artışı, onun kısmi artışlarının $\Delta _(x) z$ ve $\Delta _(y) z$ toplamına eşit değildir. Matematiksel gösterim: $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$.

Örnek 3

İşlev için iddia açıklamalarını kontrol edin

Çözüm:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$; $\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (örnek 1'de elde edildi)

Verilen bir fonksiyonun kısmi artışlarının toplamını bulalım $z=f(x,y)$

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z\ne \Delta z.\]

Tanım 2

Bir etki alanındaki üç bağımsız değişkenin her üçlü $(x,y,z)$ değeri için belirli bir $w$ değeri ilişkilendirilirse, o zaman $w$'ın üç değişken $(x,)'in bir fonksiyonu olduğu söylenir. y,z)$ bu alanda.

Gösterim: $w=f(x,y,z)$.

Tanım 3

Herhangi bir etki alanındaki bağımsız değişkenlerin değerlerinin her $(x,y,z,...,t)$ kümesi için belirli bir $w$ değeri ilişkilendirilirse, o zaman $w$'ın bir fonksiyonu olduğu söylenir. bu alandaki değişkenler $(x,y, z,...,t)$.

Gösterim: $w=f(x,y,z,...,t)$.

Üç veya daha fazla değişkenli bir fonksiyon için, iki değişkenli bir fonksiyonda olduğu gibi, değişkenlerin her biri için kısmi artışlar belirlenir:

$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - fonksiyonun kısmi artışı $w=f(x,y,z,... ,t )$ ile $z$;

$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - $w fonksiyonunun kısmi artışı =f (x,y,z,...,t)$ x $t$.

Örnek 4

Kısmi ve toplam artış fonksiyonlarını yazın

Çözüm:

Kısmi artışın tanımı gereği şunları buluruz:

$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - $w=f(x,y,z)$ fonksiyonunun $x$ üzerinden kısmi artışı

$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - $w=f(x,y,z)$ fonksiyonunun $y$ üzerinden kısmi artışı;

$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - $w=f(x,y,z)$ fonksiyonunun $z$ üzerinden kısmi artışı;

Toplam artışın tanımı gereği şunları buluruz:

$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - $w=f(x,y,z)$ fonksiyonunun toplam artışı.

Örnek 5

$\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\ için $w=xyz$ fonksiyonunun $(1;2;1)$ noktasındaki kısmi ve toplam artışını hesaplayın, \, \Delta z=0,1$.

Çözüm:

Kısmi artışın tanımı gereği şunları buluruz:

$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - $w=f(x,y,z)$ fonksiyonunun $x$ üzerinden kısmi artışı

$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - $w=f(x,y,z)$ fonksiyonunun $y$ kadar kısmi artışı;

$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - $w=f(x,y,z)$ fonksiyonunun $z$ üzerinden kısmi artışı;

Toplam artışın tanımı gereği şunları buluruz:

$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - $w=f(x,y,z)$ fonksiyonunun toplam artışı.

Buradan,

\[\Delta _(x) w=(1+0,1)\cdot 2\cdot 1=2,2\] \[\Delta _(y) w=1\cdot (2+0,1)\ cdot 1=2,1\] \[\Delta _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0,1)=2,2\] \[\Delta z=(1+0,1) \cdot (2+0,1)\cdot (1+0,1) =1,1\cdot 2,1\cdot 1,1=2,541.\]

Geometrik açıdan bakıldığında, $z=f(x,y)$ fonksiyonunun toplam artışı (tanım gereği $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) $), $z=f(x,y)$ grafik fonksiyonunun $M(x,y)$ noktasından $M_(1) (x+\Delta x,y+) noktasına hareket ederken uygulanmasındaki artışa eşittir \Delta y)$ (Şekil 1).

Şekil 1.

Tanım 1

Bir etki alanındaki iki bağımsız değişkenin her $(x,y)$ değeri çifti için belirli bir $z$ değeri ilişkilendirilirse, o zaman $z$'ın iki değişken $(x,y)'nin bir fonksiyonu olduğu söylenir. $. Gösterim: $z=f(x,y)$.

$z=f(x,y)$ fonksiyonuyla ilgili olarak, bir fonksiyonun genel (toplam) ve kısmi artışları kavramlarını ele alalım.

$z=f(x,y)$ fonksiyonunun iki bağımsız $(x,y)$ değişkeninden oluştuğunu varsayalım.

Not 1

$(x,y)$ değişkenleri bağımsız olduğundan biri değişebilirken diğeri sabit kalır.

$y$ değişkeninin değerini değiştirmeden $x$ değişkenine $\Delta x$ tutarında bir artış verelim.

Daha sonra $z=f(x,y)$ fonksiyonu, $z=f(x,y)$ fonksiyonunun $x$ değişkenine göre kısmi artışı olarak adlandırılacak bir artış alacaktır. Tanım:

Benzer şekilde, $x$ değişkeninin değerini değiştirmeden $y$ değişkenine $\Delta y$ tutarında bir artış vereceğiz.

Daha sonra $z=f(x,y)$ fonksiyonu, $z=f(x,y)$ fonksiyonunun $y$ değişkenine göre kısmi artışı olarak adlandırılacak bir artış alacaktır. Tanım:

Eğer $x$ argümanına bir $\Delta x$ artışı verilirse ve $y$ argümanına bir $\Delta y$ artışı verilirse, o zaman verilen fonksiyonun tam artışı $z=f(x,y)$ elde edilir. Tanım:

Böylece elimizde:

$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - $z=f(x,y)$ fonksiyonunun $x$ kadar kısmi artışı;

$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - $z=f(x,y)$ fonksiyonunun $y$ kadar kısmi artışı;

$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - $z=f(x,y)$ fonksiyonunun toplam artışı.

Örnek 1

Çözüm:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - $z=f(x,y)$ fonksiyonunun $x$ üzerinden kısmi artışı;

$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - $z=f(x,y)$ fonksiyonunun $y$'a göre kısmi artışı.

$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - $z=f(x,y)$ fonksiyonunun toplam artışı.

Örnek 2

$\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1$ için $(1;2)$ noktasında $z=xy$ fonksiyonunun kısmi ve toplam artışını hesaplayın.

Çözüm:

Kısmi artışın tanımı gereği şunları buluruz:

$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - $z=f(x,y)$ fonksiyonunun $x$ üzerinden kısmi artışı

$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - $z=f(x,y)$ fonksiyonunun $y$ kadar kısmi artışı;

Toplam artışın tanımı gereği şunları buluruz:

$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - $z=f(x,y)$ fonksiyonunun toplam artışı.

Buradan,

\[\Delta _(x) z=(1+0,1)\cdot 2=2,2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0,1)=2,1 \] \[\Delta z= (1+0,1)\cdot (2+0,1)=1,1\cdot 2,1=2,31.\]

Not 2

Belirli bir fonksiyonun $z=f(x,y)$ toplam artışı, onun kısmi artışlarının $\Delta _(x) z$ ve $\Delta _(y) z$ toplamına eşit değildir. Matematiksel gösterim: $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$.

Örnek 3

İşlev için iddia açıklamalarını kontrol edin

Çözüm:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$; $\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (örnek 1'de elde edildi)

Verilen bir fonksiyonun kısmi artışlarının toplamını bulalım $z=f(x,y)$

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z\ne \Delta z.\]

Tanım 2

Bir etki alanındaki üç bağımsız değişkenin her üçlü $(x,y,z)$ değeri için belirli bir $w$ değeri ilişkilendirilirse, o zaman $w$'ın üç değişken $(x,)'in bir fonksiyonu olduğu söylenir. y,z)$ bu alanda.

Gösterim: $w=f(x,y,z)$.

Tanım 3

Herhangi bir etki alanındaki bağımsız değişkenlerin değerlerinin her $(x,y,z,...,t)$ kümesi için belirli bir $w$ değeri ilişkilendirilirse, o zaman $w$'ın bir fonksiyonu olduğu söylenir. bu alandaki değişkenler $(x,y, z,...,t)$.

Gösterim: $w=f(x,y,z,...,t)$.

Üç veya daha fazla değişkenli bir fonksiyon için, iki değişkenli bir fonksiyonda olduğu gibi, değişkenlerin her biri için kısmi artışlar belirlenir:

$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - fonksiyonun kısmi artışı $w=f(x,y,z,... ,t )$ ile $z$;

$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - $w fonksiyonunun kısmi artışı =f (x,y,z,...,t)$ x $t$.

Örnek 4

Kısmi ve toplam artış fonksiyonlarını yazın

Çözüm:

Kısmi artışın tanımı gereği şunları buluruz:

$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - $w=f(x,y,z)$ fonksiyonunun $x$ üzerinden kısmi artışı

$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - $w=f(x,y,z)$ fonksiyonunun $y$ üzerinden kısmi artışı;

$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - $w=f(x,y,z)$ fonksiyonunun $z$ üzerinden kısmi artışı;

Toplam artışın tanımı gereği şunları buluruz:

$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - $w=f(x,y,z)$ fonksiyonunun toplam artışı.

Örnek 5

$\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\ için $w=xyz$ fonksiyonunun $(1;2;1)$ noktasındaki kısmi ve toplam artışını hesaplayın, \, \Delta z=0,1$.

Çözüm:

Kısmi artışın tanımı gereği şunları buluruz:

$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - $w=f(x,y,z)$ fonksiyonunun $x$ üzerinden kısmi artışı

$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - $w=f(x,y,z)$ fonksiyonunun $y$ kadar kısmi artışı;

$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - $w=f(x,y,z)$ fonksiyonunun $z$ üzerinden kısmi artışı;

Toplam artışın tanımı gereği şunları buluruz:

$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - $w=f(x,y,z)$ fonksiyonunun toplam artışı.

Buradan,

\[\Delta _(x) w=(1+0,1)\cdot 2\cdot 1=2,2\] \[\Delta _(y) w=1\cdot (2+0,1)\ cdot 1=2,1\] \[\Delta _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0,1)=2,2\] \[\Delta z=(1+0,1) \cdot (2+0,1)\cdot (1+0,1) =1,1\cdot 2,1\cdot 1,1=2,541.\]

Geometrik açıdan bakıldığında, $z=f(x,y)$ fonksiyonunun toplam artışı (tanım gereği $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) $), $z=f(x,y)$ grafik fonksiyonunun $M(x,y)$ noktasından $M_(1) (x+\Delta x,y+) noktasına hareket ederken uygulanmasındaki artışa eşittir \Delta y)$ (Şekil 1).

Şekil 1.

Hayatta her zaman herhangi bir miktarın kesin değerleriyle ilgilenmiyoruz. Bazen bu miktardaki değişimi bilmek ilginç olabilir; örneğin otobüsün ortalama hızı, hareket miktarının zaman dilimine oranı vb. Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki değerini, aynı fonksiyonun diğer noktalardaki değerleriyle karşılaştırmak için “fonksiyon artışı” ve “argüman artışı” gibi kavramları kullanmak uygundur.

"Fonksiyon artışı" ve "argüman artışı" kavramları

Diyelim ki x, x0 noktasının bazı komşuluklarında bulunan keyfi bir noktadır. Argümanın x0 noktasındaki artışı x-x0 farkıdır. Artış şu şekilde belirlenir: ∆x.

• ∆x=x-x0.

Bazen bu değere bağımsız değişkenin x0 noktasındaki artışı da denir. Formülden şu sonuç çıkar: x = x0+∆x. Böyle durumlarda söylenir ki başlangıç ​​değeri bağımsız değişken x0 ∆x'lik bir artış aldı.

Argümanı değiştirirsek fonksiyonun değeri de değişecektir.

• f(x) - f(x0) = f(x0 + ∆x) - f(x0).

f fonksiyonunun x0 noktasındaki artışı, karşılık gelen ∆х artışı f(x0 + ∆х) - f(x0) farkıdır. Bir fonksiyonun artışı şu şekilde gösterilir: ∆f. Böylece tanım gereği şunu elde ederiz:

• ∆f= f(x0 +∆x) - f(x0).

Bazen ∆f'ye bağımlı değişkenin artışı da denir ve eğer fonksiyon örneğin y=f(x) ise bu tanımlama için ∆у kullanılır.

Artışın geometrik anlamı

Aşağıdaki resme bakın.

Gördüğünüz gibi artış, bir noktanın ordinat ve apsisindeki değişimi gösterir. Ve fonksiyonun artışının argümanın artışına oranı, başlangıçtan geçen sekantın eğim açısını belirler ve son pozisyon puan.

Bir işlevi ve argümanı artırma örneklerine bakalım

Örnek 1. Eğer f(x) = x 2, x0=2 a) x=1,9 b) x =2,1 ise, ∆x argümanının artışını ve ∆f fonksiyonunun x0 noktasındaki artışını bulun.

Yukarıda verilen formülleri kullanalım:

a) ∆х=х-х0 = 1,9 - 2 = -0,1;

• ∆f=f(1,9) - f(2) = 1,9 2 - 2 2 = -0,39;

b) ∆x=x-x0=2,1-2=0,1;

• ∆f=f(2,1) - f(2) = 2,1 2 - 2 2 = 0,41.

Örnek 2. Eğer argümanın artışı ∆x'e eşitse, f(x) = 1/x fonksiyonu için x0 noktasındaki ∆f artışını hesaplayın.

Yine yukarıda elde ettiğimiz formülleri kullanacağız.

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).