Cramer'in yöntemi, sistemlerin çözümünde determinantların kullanılmasına dayanmaktadır. doğrusal denklemler. Bu, çözüm sürecini önemli ölçüde hızlandırır.

Cramer yöntemi, her denklemde bilinmeyen sayısı kadar doğrusal denklemden oluşan bir sistemi çözmek için kullanılabilir. Sistemin determinantı sıfıra eşit değilse çözümde Cramer yöntemi kullanılabilir, ancak sıfıra eşitse kullanılamaz. Ayrıca Cramer yöntemi, tek çözümü olan doğrusal denklem sistemlerini çözmek için de kullanılabilir.

Tanım. Bilinmeyenler için katsayılardan oluşan bir determinant, sistemin determinantı olarak adlandırılır ve (delta) ile gösterilir.

Belirleyiciler

karşılık gelen bilinmeyenlerin katsayılarının serbest terimlerle değiştirilmesiyle elde edilir:

;

.

Cramer teoremi. Sistemin determinantı sıfır değilse, doğrusal denklem sisteminin tek bir çözümü vardır ve bilinmeyen, determinantların oranına eşittir. Payda sistemin determinantını, pay ise bu bilinmeyenin katsayılarının serbest terimlerle değiştirilmesiyle sistemin determinantından elde edilen determinantı içerir. Bu teorem herhangi bir mertebeden doğrusal denklem sistemi için geçerlidir.

Örnek 1. Bir doğrusal denklem sistemini çözün:

Buna göre Cramer teoremi sahibiz:

Yani (2) sisteminin çözümü:

çevrimiçi hesap makinesi, Cramer'in çözme yöntemi.

Doğrusal denklem sistemlerini çözerken üç durum

Buradan açıkça anlaşılacağı gibi Cramer teoremi Bir doğrusal denklem sistemini çözerken üç durum ortaya çıkabilir:

İlk durum: Bir doğrusal denklem sisteminin benzersiz bir çözümü vardır

(sistem tutarlı ve kesindir)

İkinci durum: Bir doğrusal denklem sisteminin sonsuz sayıda çözümü vardır

(sistem tutarlı ve belirsizdir)

** ,

onlar. bilinmeyenlerin ve serbest terimlerin katsayıları orantılıdır.

Üçüncü durum: Doğrusal denklem sisteminin çözümü yoktur

(sistem tutarsız)

Yani sistem M ile doğrusal denklemler N değişkenler denir ortak olmayan Tek bir çözümü yoksa ve eklem yeri en az bir çözümü varsa. Tek çözümü olan eş zamanlı denklem sistemine ne ad verilir? kesin ve birden fazlası – belirsiz.

Cramer yöntemini kullanarak doğrusal denklem sistemlerini çözme örnekleri

Sistem verilsin

.

Cramer teoremine dayanarak

………….
,

Nerede
-

sistem belirleyicisi. Kalan belirleyicileri, sütunu karşılık gelen değişkenin (bilinmeyen) katsayılarıyla serbest terimlerle değiştirerek elde ederiz:

Örnek 2.

.

Dolayısıyla sistem bellidir. Çözümünü bulmak için determinantları hesaplıyoruz

Cramer'in formüllerini kullanarak şunları buluyoruz:

Yani (1; 0; -1) sistemin tek çözümüdür.

3 X 3 ve 4 X 4 denklem sistemlerinin çözümlerini kontrol etmek için Cramer'in çözme yöntemini kullanan çevrimiçi bir hesap makinesi kullanabilirsiniz.

Bir doğrusal denklem sisteminde bir veya daha fazla denklemde değişken yoksa, determinantta karşılık gelen elemanlar sıfıra eşittir! Bu bir sonraki örnek.

Örnek 3. Cramer yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözün:

.

Çözüm. Sistemin determinantını buluyoruz:

Denklem sistemine ve sistemin determinantına dikkatlice bakın ve determinantın bir veya daha fazla elemanının sıfıra eşit olduğu durumlarda sorunun cevabını tekrarlayın. Yani determinant sıfıra eşit olmadığı için sistem belirlidir. Çözümünü bulmak için bilinmeyenlerin determinantlarını hesaplıyoruz

Cramer'in formüllerini kullanarak şunları buluyoruz:

Yani sistemin çözümü (2; -1; 1)'dir.

3 X 3 ve 4 X 4 denklem sistemlerinin çözümlerini kontrol etmek için Cramer'in çözme yöntemini kullanan çevrimiçi bir hesap makinesi kullanabilirsiniz.

Sayfanın başı

Cramer yöntemini kullanarak sistemleri birlikte çözmeye devam ediyoruz

Daha önce de belirtildiği gibi sistemin determinantı sıfıra eşitse ve bilinmeyenlerin determinantı sıfıra eşit değilse sistem tutarsızdır, yani çözümü yoktur. Aşağıdaki örnekle açıklayalım.

Örnek 6. Cramer yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözün:

Çözüm. Sistemin determinantını buluyoruz:

Sistemin determinantı sıfıra eşittir, bu nedenle doğrusal denklem sistemi ya tutarsız ve kesindir ya da tutarsızdır, yani çözümü yoktur. Açıklığa kavuşturmak için bilinmeyenlerin belirleyicilerini hesaplıyoruz

Bilinmeyenlerin determinantları sıfıra eşit olmadığı için sistem tutarsızdır, yani çözümü yoktur.

3 X 3 ve 4 X 4 denklem sistemlerinin çözümlerini kontrol etmek için Cramer'in çözme yöntemini kullanan çevrimiçi bir hesap makinesi kullanabilirsiniz.

Doğrusal denklem sistemlerini içeren problemlerde, değişkenleri ifade eden harflerin yanı sıra başka harflerin de bulunduğu sorunlar da vardır. Bu harfler çoğunlukla gerçek olan bir sayıyı temsil eder. Uygulamada, arama problemleri bu tür denklemlere ve denklem sistemlerine yol açar genel özellikler herhangi bir olay veya nesne. Yani, herhangi bir şey icat ettiniz mi? yeni malzeme veya bir cihaz ve bir örneğin boyutu veya sayısından bağımsız olarak ortak olan özelliklerini tanımlamak için, değişkenler için bazı katsayılar yerine harflerin bulunduğu bir doğrusal denklem sistemini çözmeniz gerekir. Örnekleri uzaklarda aramanıza gerek yok.

Aşağıdaki örnek benzer bir problem için sadece belirli bir reel sayıyı ifade eden denklemlerin, değişkenlerin ve harflerin sayısı artar.

Örnek 8. Cramer yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözün:

Çözüm. Sistemin determinantını buluyoruz:

Bilinmeyenler için belirleyicileri bulma

Doğrusal denklem sisteminin bağımsız değişken sayısı kadar denklem içermesine izin verin, yani. benziyor

Bu tür doğrusal denklem sistemlerine ikinci dereceden denir. Sistemin bağımsız değişkenlerine ait katsayılardan (1.5) oluşan determinant, sistemin ana determinantı olarak adlandırılır. Bunu Yunanca D harfiyle göstereceğiz.

Ana belirleyici keyfi bir ( J th) sütununu, sistemin serbest koşulları (1.5) sütunuyla değiştirin, ardından şunu alabilirsiniz: N yardımcı niteleyiciler:

(J = 1, 2, …, N). (1.7)

Cramer Kuralıİkinci dereceden doğrusal denklem sistemlerinin çözümü aşağıdaki gibidir. Sistemin (1.5) ana determinantı D sıfırdan farklıysa, sistemin benzersiz bir çözümü vardır ve bu çözüm aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir:

Örnek 1.5. Denklem sistemini Cramer yöntemini kullanarak çözme

Sistemin ana belirleyicisini hesaplayalım:

D¹0'dan beri sistemin benzersiz bir çözümü vardır ve bu çözüm (1.8) formülleri kullanılarak bulunabilir:

Böylece,

Matrisler üzerindeki eylemler

1. Bir matrisi bir sayıyla çarpmak. Bir matrisi bir sayıyla çarpma işlemi aşağıdaki gibi tanımlanır.

2. Bir matrisi bir sayıyla çarpmak için tüm elemanlarını bu sayıyla çarpmanız gerekir. yani

Örnek 1.6. .

Matris eklenmesi.

Bu işlem yalnızca aynı mertebeden matrisler için uygulanır.

İki matrisi toplamak için, başka bir matrisin karşılık gelen elemanlarını bir matrisin elemanlarına eklemek gerekir:

(1.10)
Matris toplama işlemi, birleşme ve değişme özelliği özelliklerine sahiptir.

Örnek 1.7. .

Matris çarpımı.

Matris sütunlarının sayısı ise A matris satırlarının sayısıyla çakışır İÇİNDE, bu tür matrisler için çarpma işlemi uygulanır:

Böylece, bir matris çarpılırken A boyutlar M´ N matrise İÇİNDE boyutlar N´ k bir matris elde ederiz İLE boyutlar M´ k. Bu durumda matris elemanları İLE aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

Sorun 1.8. Mümkünse matrislerin çarpımını bulun AB Ve B.A.:

Çözüm. 1) Bir iş bulmak için AB, matris satırlarına ihtiyacınız var A matris sütunlarıyla çarpma B:

2) Çalışmak B.A. mevcut değil çünkü matris sütunlarının sayısı B matris satırlarının sayısıyla eşleşmiyor A.

Ters matris. Matris yöntemini kullanarak doğrusal denklem sistemlerini çözme

Matris A- 1'e kare matrisin tersi denir A eşitlik sağlanırsa:

nereden geçiyor BEN matris ile aynı mertebedeki birim matrisi belirtir A:

Bir kare matrisin tersinin olabilmesi için determinantının sıfırdan farklı olması gerekli ve yeterlidir. Ters matris aşağıdaki formül kullanılarak bulunur:

Nerede bir ben- elementlere cebirsel eklemeler bir ben matrisler A(matris satırlarına cebirsel eklemelerin yapıldığına dikkat edin A ters matriste karşılık gelen sütunlar şeklinde bulunur).

Örnek 1.9. Ters matrisi bulun A- 1'den matrise

Ters matrisi (1.13) formülünü kullanarak buluyoruz; N= 3 şu şekle sahiptir:

Haydi bulalım A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Orijinal matrisin determinantı sıfırdan farklı olduğundan ters matris mevcuttur.

1) Cebirsel tamamlayıcıları bulun bir ben:

Konum kolaylığı için ters matris, orijinal matrisin satırlarına cebirsel eklemeleri karşılık gelen sütunlara yerleştirdik.

Elde edilen cebirsel toplamalardan yeni bir matris oluşturuyoruz ve onu determinant det'ye bölüyoruz. A. Böylece ters matrisi elde ederiz:

Temel determinantı sıfır olmayan ikinci dereceden doğrusal denklem sistemleri, ters matris kullanılarak çözülebilir. Bunu yapmak için sistem (1.5) matris formunda yazılır:

Eşitliğin her iki tarafının (1.14) soldan çarpılması A- 1, sistemin çözümünü buluyoruz:

Dolayısıyla kare sisteme çözüm bulmak için sistemin ana matrisinin ters matrisini bulup sağdaki serbest terimlerin sütun matrisiyle çarpmanız gerekir.

Sorun 1.10. Doğrusal denklem sistemini çözme

ters matrisi kullanarak.

Çözüm. Sistemi matris formunda yazalım: ,

sistemin ana matrisi nerede, bilinmeyenler sütunu ve serbest terimler sütunu. Sistemin ana belirleyicisi olduğundan sistemin ana matrisi A ters bir matrisi vardır A-1. Ters matrisi bulmak için A-1 , matrisin tüm elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarını hesaplıyoruz A:

Elde edilen sayılardan bir matris oluşturacağız (ve matrisin satırlarına cebirsel eklemeler yapacağız) A uygun sütunlara yazın) ve determinant D'ye bölün. Böylece ters matrisi bulduk:

Sistemin çözümünü formül (1.15) kullanarak buluyoruz:

Böylece,

Sıradan Jordan eleme yöntemini kullanarak doğrusal denklem sistemlerini çözme

Keyfi (mutlaka ikinci dereceden olması gerekmeyen) bir doğrusal denklem sistemi verilsin:

Sisteme bir çözüm bulmak gerekiyor yani. sistemin (1.16) tüm eşitliklerini karşılayan bir dizi değişken. Genel durumda (1.16) sisteminin tek bir çözümü olabileceği gibi sayısız çözümü de olabilir. Ayrıca hiçbir çözümü de olmayabilir.

Karar verirken benzer görevler iyi bilinen okul kursu Sıradan Ürdün eleme yöntemi olarak da adlandırılan bilinmeyenleri ortadan kaldırma yöntemi. Öz bu yöntem sistemin denklemlerinden birinde (1.16) değişkenlerden birinin diğer değişkenler cinsinden ifade edilmesi gerçeğinde yatmaktadır. Bu değişken daha sonra sistemdeki diğer denklemlerin yerine kullanılır. Sonuç, orijinal sistemden bir denklem ve bir eksik değişken içeren bir sistemdir. Değişkenin ifade edildiği denklem hatırlanır.

Bu işlem sistemde son bir denklem kalana kadar tekrarlanır. Bilinmeyenlerin ortadan kaldırılması süreci sayesinde bazı denklemler gerçek kimliklere dönüşebilir; Bu tür denklemler, değişkenlerin herhangi bir değeri için sağlandığı ve dolayısıyla sistemin çözümünü etkilemediği için sistemin dışında bırakılır. Bilinmeyenleri eleme sürecinde en az bir denklem, değişkenlerin herhangi bir değeri için sağlanamayan bir eşitlik haline gelirse (örneğin), o zaman sistemin bir çözümü olmadığı sonucuna varırız.

Çözüm sırasında çelişkili denklemler ortaya çıkmazsa, son denklemden içinde kalan değişkenlerden biri bulunur. Son denklemde yalnızca bir değişken kaldıysa bu sayı olarak ifade edilir. Son denklemde başka değişkenler kalırsa bunlar parametre olarak kabul edilir ve bunlar aracılığıyla ifade edilen değişken bu parametrelerin bir fonksiyonu olacaktır. Daha sonra sözde " ters vuruş" Bulunan değişken son hatırlanan denklemde yerine konulur ve ikinci değişken bulunur. Daha sonra bulunan iki değişken sondan bir önceki ezberlenmiş denklemde yerine konulur ve üçüncü değişken bulunur ve bu şekilde ilk ezberlenen denkleme kadar devam eder.

Sonuç olarak sistemin çözümünü elde ederiz. Bulunan değişkenler sayı ise bu çözüm benzersiz olacaktır. Eğer bulunan ilk değişken ve ardından tüm diğerleri parametrelere bağlıysa, o zaman sistemin sonsuz sayıda çözümü olacaktır (her parametre seti yeni bir çözüme karşılık gelir). Belirli bir parametre kümesine bağlı olarak bir sisteme çözüm bulmanızı sağlayan formüllere sistemin genel çözümü denir.

Örnek 1.11.

X

Birinci denklemi ezberleyip ikinci ve üçüncü denklemlerdeki benzer terimleri getirdikten sonra sisteme ulaşıyoruz:

Hadi ifade edelim sen ikinci denklemden alıp birinci denklemde yerine koyalım:

İkinci denklemi hatırlayalım ve ilkinden bulduğumuz z:

Geriye doğru çalışarak sürekli olarak şunu buluyoruz: sen Ve z. Bunu yapmak için, önce bulduğumuz yerden hatırladığımız son denklemi yerine koyarız. sen:

Daha sonra bulduğumuz yerden hatırladığımız ilk denklemi yerine koyarız. X:

Sorun 1.12. Bilinmeyenleri ortadan kaldırarak bir doğrusal denklem sistemini çözün:

Çözüm. Değişkeni ilk denklemden ifade edelim X ve onu ikinci ve üçüncü denklemlerde yerine koyalım:

Bu sistemde birinci ve ikinci denklem birbiriyle çelişmektedir. Gerçekten de ifade etmek sen birinci denklemden ikinci denklemde yerine koyarsak 14 = 17 elde ederiz. Bu eşitlik değişkenlerin hiçbir değeri için geçerli değildir. X, sen, Ve z. Sonuç olarak sistem (1.17) tutarsızdır, yani. çözümü yok.

Okuyucuları, orijinal sistemin (1.17) ana determinantının sıfıra eşit olduğunu kendileri kontrol etmeye davet ediyoruz.

Sistemden (1.17) yalnızca bir serbest terimle farklı olan bir sistemi ele alalım.

Sorun 1.13. Bilinmeyenleri ortadan kaldırarak bir doğrusal denklem sistemini çözün:

Çözüm. Daha önce olduğu gibi, değişkeni ilk denklemden ifade ediyoruz X ve onu ikinci ve üçüncü denklemlerde yerine koyalım:

Birinci denklemi hatırlayalım ve ikinci ve üçüncü denklemlerdeki benzer terimleri sunalım. Sisteme geliyoruz:

İfade etme sen birinci denklemden ikinci denklemde yerine koyduğumuzda sistemin çözümünü etkilemeyen 14 = 14 özdeşliğini elde ederiz ve bu nedenle sistemden çıkarılabilir.

Hatırlanan son eşitlikte değişken z bunu bir parametre olarak değerlendireceğiz. İnanıyoruz. Daha sonra

Hadi değiştirelim sen Ve z hatırlanan ilk eşitliğe girin ve bulun X:

Böylece, sistem (1.18) sonsuz sayıda çözüme sahiptir ve herhangi bir çözüm, parametrenin keyfi bir değerini seçerek formüller (1.19) kullanılarak bulunabilir. T:

(1.19)
Dolayısıyla sistemin çözümleri, örneğin aşağıdaki değişken kümeleridir (1; 2; 0), (2; 26; 14), vb. Formüller (1.19), sistemin (1.18) genel (herhangi) çözümünü ifade eder. ).

Orijinal sistemin (1.16) yeterince fazla sayıda denklem ve bilinmeyene sahip olması durumunda, belirtilen sıradan Jordan eleme yöntemi hantal görünmektedir. Ancak bu doğru değil. Sistem katsayılarını tek adımda yeniden hesaplamak için bir algoritma türetmek yeterlidir. genel görünüm ve sorunun çözümünü özel Jordan tabloları şeklinde formüle edin.

Doğrusal formlardan (denklemlerden) oluşan bir sistem verilsin:

, (1.20)
Nerede xj- bağımsız (aranan) değişkenler, bir ben- sabit katsayılar
(ben = 1, 2,…, M; J = 1, 2,…, N). Sistemin doğru kısımları sen ben (ben = 1, 2,…, M) değişken (bağımlı) veya sabit olabilir. Bu sisteme bilinmeyenleri ortadan kaldırarak çözüm bulmak gerekiyor.

Bundan sonra “sıradan Ürdün elemelerinin bir adımı” olarak anılacak olan aşağıdaki operasyonu ele alalım. Keyfi olarak ( R th) eşitlik keyfi bir değişkeni ifade ediyoruz ( xs) ve diğer tüm eşitliklerin yerine koyun. Tabii ki, bu ancak şu şekilde mümkündür: bir rs¹ 0. Katsayı bir rsçözümleyici (bazen yol gösterici veya ana) unsur olarak adlandırılır.

Aşağıdaki sistemi alacağız:

İtibaren S- sistemin eşitliği (1.21), daha sonra değişkeni buluyoruz xs(kalan değişkenler bulunduktan sonra). S-'inci satır hatırlanır ve daha sonra sistemden çıkarılır. Geriye kalan sistem bir denklem ve orijinal sistemden bir eksik bağımsız değişken içerecektir.

Ortaya çıkan sistemin katsayılarını (1.21) orijinal sistemin katsayıları (1.20) üzerinden hesaplayalım. Şununla başlayalım: R değişkeni ifade ettikten sonra denklem xs kalan değişkenler aracılığıyla şöyle görünecektir:

Böylece yeni katsayılar R denklemler aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

(1.23)
Şimdi yeni katsayıları hesaplayalım b ij(Ben¹ R) keyfi bir denklemin. Bunu yapmak için (1.22)'de ifade edilen değişkeni yerine koyalım. xs V Ben sistemin denklemi (1.20):

Benzer terimleri getirdikten sonra şunu elde ederiz:

(1.24)
Eşitlikten (1.24), sistemin geri kalan katsayılarının (1.21) hesaplandığı formüller elde ederiz (istisna hariç) R denklem):

(1.25)
Doğrusal denklem sistemlerinin sıradan Jordan eliminasyon yöntemiyle dönüştürülmesi tablolar (matrisler) şeklinde sunulmaktadır. Bu tablolara “Ürdün tabloları” adı verilmektedir.

Dolayısıyla problem (1.20) aşağıdaki Jordan tablosuyla ilişkilidir:

Tablo 1.1

	X 1	X 2	…	xj	…	xs	…	xn
sen 1 =	A 11	A 12		A 1J		A 1S		A 1N
…………………………………………………………………..
sen ben=	bir ben 1	bir ben 2		bir ben		bir		bir giriş
…………………………………………………………………..
sen=	bir r 1	bir r 2		bir rj		bir rs		saat
………………………………………………………………….
e-n=	bir m 1	bir m 2		bir mj		bir ms		bir dakika

Jordan tablosu 1.1, sistemin (1.20) sağ kısımlarının yazıldığı bir sol başlık sütunu ve bağımsız değişkenlerin yazıldığı bir üst başlık satırı içerir.

Tablonun geri kalan elemanları sistemin (1.20) katsayılarının ana matrisini oluşturur. Eğer matrisi çarparsanız Aüst başlık satırının elemanlarından oluşan matrise sol başlık sütununun elemanlarından oluşan bir matris elde edersiniz. Yani, esasen Jordan tablosu, bir doğrusal denklem sistemi yazmanın matris biçimidir: . Sistem (1.21) aşağıdaki Jordan tablosuna karşılık gelir:

Tablo 1.2

	X 1	X 2	…	xj	…	sen	…	xn
sen 1 =	B 11	B 12		B 1 J		B 1 S		B 1 N
…………………………………………………………………..
y ben =	ben 1	ben 2		b ij		b:		içerde olmak
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		rs		brn
………………………………………………………………….
y n =	bm 1	bm 2		b mj		BM		b mn

İzin verici unsur bir rs Bunları kalın harflerle vurgulayacağız. Jordan eliminasyonunun bir adımını uygulamak için çözümleme elemanının sıfırdan farklı olması gerektiğini hatırlayın. Etkinleştirme öğesini içeren tablo satırına etkinleştirme satırı denir. Etkinleştirme öğesini içeren sütuna etkinleştirme sütunu denir. Belirli bir tablodan sonraki tabloya geçerken bir değişken ( xs) tablonun üst başlık satırından sol başlık sütununa taşınır ve bunun tersine sistemin serbest üyelerinden biri ( sen) tablonun sol başlık sütunundan üst başlık satırına taşınır.

Jordan tablosundan (1.1) tabloya (1.2) geçerken katsayıların yeniden hesaplanmasına yönelik algoritmayı, formüller (1.23) ve (1.25)'ten takip ederek açıklayalım.

1. Çözümleme elemanının yerini ters sayı alır:

2. Çözümleme dizisinin geri kalan elemanları, çözümleme elemanına bölünür ve işareti tersine değiştirir:

3. Çözünürlük sütununun geri kalan öğeleri çözünürlük öğesine bölünmüştür:

4. İzin verilen satıra ve izin verilen sütuna dahil olmayan öğeler, aşağıdaki formüller kullanılarak yeniden hesaplanır:

Kesri oluşturan elemanların kesişim noktasında olduğunu fark ederseniz son formülü hatırlamanız kolaydır. Ben-ah ve R satırlar ve J inci ve S sütunları (çözen satır, çözümleyen sütun ve yeniden hesaplanan öğenin bulunduğu kesişim noktasındaki satır ve sütun). Daha doğrusu formülü ezberlerken aşağıdaki diyagramı kullanabilirsiniz:

-21 -26 -13 -37

Jordan istisnalarının ilk adımını gerçekleştirirken, sütunlarda bulunan Tablo 1.3'ün herhangi bir öğesini çözümleme öğesi olarak seçebilirsiniz. X 1 ,…, X 5 (belirtilen tüm öğeler sıfır değildir). Son sütundaki etkinleştirme öğesini seçmeyin çünkü bağımsız değişkenler bulmanız gerekir X 1 ,…, X 5. Örneğin, katsayıyı seçiyoruz 1 değişkenli X Tablo 1.3'ün üçüncü satırında 3 (etkinleştirici öğe koyu renkle gösterilmiştir). Tablo 1.4'e geçerken değişken XÜst başlık satırındaki 3, sol başlık sütunundaki (üçüncü satır) sabit 0 ile değiştirilir. Bu durumda değişken X 3 kalan değişkenler aracılığıyla ifade edilir.

Sicim X 3 (Tablo 1.4), önceden hatırladıktan sonra Tablo 1.4'ün dışında tutulabilir. Üst başlık satırında sıfır bulunan üçüncü sütun da Tablo 1.4'ün dışında tutulmuştur. Mesele şu ki, belirli bir sütunun katsayılarından bağımsız olarak ben 3 her denklemin karşılık gelen terimleri 0 ben 3 sistem sıfıra eşit olacaktır. Bu nedenle bu katsayıların hesaplanmasına gerek yoktur. Bir değişkeni ortadan kaldırmak X 3 ve denklemlerden birini hatırlayarak Tablo 1.4'e karşılık gelen bir sisteme ulaşırız (çizginin üzeri çizili olarak) X 3). Tablo 1.4'te çözümleme öğesi olarak seçim yapılması B 14 = -5, tablo 1.5'e gidin. Tablo 1.5'te ilk satırı hatırlayın ve dördüncü sütunla (üstte sıfır olacak şekilde) birlikte tablodan çıkarın.

Tablo 1.5 Tablo 1.6

Son tablo 1.7'den şunları buluyoruz: X 1 = - 3 + 2X 5 .

Zaten bulunan değişkenleri tutarlı bir şekilde hatırlanan satırlara yerleştirerek geri kalan değişkenleri buluruz:

Yani sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır. Değişken X 5, isteğe bağlı değerler atanabilir. Bu değişken parametre görevi görür X 5 = t. Sistemin uyumluluğunu kanıtladık ve genel çözümünü bulduk:

X 1 = - 3 + 2T

X 2 = - 1 - 3T

X 3 = - 2 + 4T . (1.27)
X 4 = 4 + 5T

X 5 = T

Parametre verilmesi T farklı değerler alırsak orijinal sisteme sonsuz sayıda çözüm elde edeceğiz. Yani örneğin sistemin çözümü aşağıdaki değişkenler kümesidir (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

2. Denklem sistemlerini matris yöntemini kullanarak çözme (ters matris kullanarak).
3. Denklem sistemlerinin çözümü için Gauss yöntemi.

Cramer'in yöntemi.

Cramer yöntemi doğrusal sistemleri çözmek için kullanılır cebirsel denklemler (SLAU).

İki değişkenli iki denklem sistemi örneğini kullanan formüller.
Verilen: Sistemi Cramer yöntemini kullanarak çözün

Değişkenlerle ilgili X Ve en.
Çözüm:
Determinantların hesaplanması sisteminin katsayılarından oluşan matrisin determinantını bulalım. :

Cramer formüllerini uygulayalım ve değişkenlerin değerlerini bulalım:
Ve .
Örnek 1:
Denklem sistemini çözün:

değişkenlerle ilgili X Ve en.
Çözüm:


Bu determinantın ilk sütununu sistemin sağ tarafındaki katsayılardan oluşan bir sütunla değiştirip değerini bulalım:

Birinci determinantın ikinci sütununu değiştirerek benzer bir şey yapalım:

Uygulanabilir Cramer'in formülleri ve değişkenlerin değerlerini bulun:
Ve .
Cevap:
Yorum: Bu yöntem daha yüksek boyutlu sistemleri çözebilir.

Yorum: Eğer öyle görünüyorsa ama sıfıra bölünemiyorsa, sistemin tek bir çözümü olmadığını söylüyorlar. Bu durumda sistemin ya sonsuz sayıda çözümü vardır ya da hiç çözümü yoktur.

Örnek 2(sonsuz sayıda çözüm):

Denklem sistemini çözün:

değişkenlerle ilgili X Ve en.
Çözüm:
Sistemin katsayılarından oluşan matrisin determinantını bulalım:

Yerine koyma yöntemini kullanarak sistemleri çözme.

Sistemin denklemlerinden ilki, değişkenlerin herhangi bir değeri için doğru olan bir eşitliktir (çünkü 4 her zaman 4'e eşittir). Bu, geriye tek bir denklemin kaldığı anlamına gelir. Bu değişkenler arasındaki ilişki için bir denklemdir.
Sistemin çözümünün eşitlikle birbiriyle ilişkili değişkenlerin herhangi bir değer çifti olduğunu bulduk.
Genel çözümşu şekilde yazılacaktır:
Belirli çözümler, y'nin keyfi bir değeri seçilerek ve bu bağlantı eşitliğini kullanarak x'i hesaplayarak belirlenebilir.

vesaire.
Bu tür sonsuz sayıda çözüm vardır.
Cevap: genel çözüm
Özel çözümler:

Örnek 3(çözüm yok, sistem uyumsuz):

Denklem sistemini çözün:

Çözüm:
Sistemin katsayılarından oluşan matrisin determinantını bulalım:

Cramer formülleri kullanılamaz. Bu sistemi yerine koyma yöntemini kullanarak çözelim

Sistemin ikinci denklemi, değişkenlerin hiçbir değeri için doğru olmayan bir eşitliktir (tabii ki -15, 2'ye eşit olmadığı için). Değişkenlerin herhangi bir değeri için sistemin denklemlerinden biri doğru değilse, tüm sistemin çözümü yoktur.
Cevap:çözüm yok

Verilen çevrimiçi hesap makinesi Cramer yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemine (SLE) çözüm bulur. Ayrıntılı bir çözüm verilmiştir. Hesaplamak için değişken sayısını seçin. Daha sonra verileri hücrelere girin ve "Hesapla" butonuna tıklayın.

×

Uyarı

Tüm hücreler temizlensin mi?

Kapat Temizle

Veri girişi talimatları. Sayılar tam sayı (örnek: 487, 5, -7623 vb.), ondalık sayı (örn. 67., 102,54 vb.) veya kesir olarak girilir. Kesir a/b biçiminde girilmelidir; burada a ve b (b>0) tam sayılardır veya ondalık sayılar. Örnekler 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7, vb.

Kramer yöntemi

Cramer yöntemi, ana matrisin sıfırdan farklı bir determinantına sahip ikinci dereceden doğrusal denklem sistemini çözmek için kullanılan bir yöntemdir. Böyle bir doğrusal denklem sisteminin benzersiz bir çözümü vardır.

Aşağıdaki doğrusal denklem sistemi verilsin:

Nerede A-sistemin ana matrisi:

birincisinin bulunması gerekiyor, ikincisi veriliyor.

Matrisin determinantının Δ olduğunu varsaydığımız için A sıfırdan farklıysa bunun tersi vardır A matris A-1. Daha sonra özdeşliği (2) soldan ters matrisle çarpıyoruz A-1, şunu elde ederiz:

Ters matris aşağıdaki forma sahiptir:

Cramer yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözmek için algoritma

1. Ana matrisin determinantını Δ hesaplayın A.
2. Bir matrisin 1. sütununu değiştirme A serbest üyelerin vektörüne B.
3. Ortaya çıkan matrisin determinantının Δ 1 hesaplanması A 1 .
4. Değişkeni Hesapla X 1 =Δ 1 /Δ.
5. Sütun 2, 3, ... için 2−4 adımlarını tekrarlayın. N matrisler A.

Cramer yöntemini kullanarak SLE'leri çözme örnekleri

Örnek 1. Aşağıdaki doğrusal denklem sistemini Cramer yöntemini kullanarak çözün:

Matrisin 1. sütununu değiştirin A vektör sütunu başına B:

Matrisin 2. sütununu değiştirin A vektör sütunu başına B:

Matrisin 3. sütununu değiştirin A vektör sütunu başına B:

Bir doğrusal denklem sisteminin çözümü şu şekilde hesaplanır:

Matris formunda yazalım: Balta=b, Nerede

2. sütunun en büyük modulo öncü elemanını seçiyoruz. Bunun için 2. ve 4. satırların yerlerini değiştiriyoruz. Bu durumda determinantın işareti “-” olarak değişir.

3. sütunun en büyük modulo öncü elemanını seçiyoruz. Bunun için 3. ve 4. satırları yer değiştiriyoruz. Bu durumda determinantın işareti “+” olarak değişir.

Matrisin üst üçgen formuna indirgenmesini sağladık. Matris determinantı ürüne eşit ana köşegenin tüm elemanları:

Bir matrisin determinantını hesaplamak için AŞekil 1'de, yukarıdaki prosedüre benzer şekilde matrisi üst üçgen forma indirgeriz. Aşağıdaki matrisi elde ederiz:

Matrisin 2. sütununu değiştirin A vektör sütunu başına B matrisini üst üçgen formuna indirgeyip matrisin determinantını hesaplıyoruz:

,,,.

Cramer yöntemi veya sözde Cramer kuralı, denklem sistemlerinden bilinmeyen miktarları arama yöntemidir. Ancak aranan değer sayısının sistemdeki cebirsel denklem sayısına eşit olması, yani sistemden oluşturulan ana matrisin kare olması ve sıfır satır içermemesi ve ayrıca determinantının zorunlu olması durumunda kullanılabilir. sıfır olmasın.

Teorem 1

Cramer teoremi Denklemlerin katsayılarına göre derlenen ana matrisin $D$ ana determinantı sıfıra eşit değilse, denklem sistemi tutarlıdır ve benzersiz bir çözümü vardır. Böyle bir sistemin çözümü, doğrusal denklem sistemlerinin çözümüne yönelik Cramer formülleri adı verilen formüllerle hesaplanır: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Cramer yöntemi nedir?

Cramer'in yönteminin özü aşağıdaki gibidir:

1. Cramer yöntemini kullanarak sisteme bir çözüm bulmak için öncelikle $D$ matrisinin ana determinantını hesaplıyoruz. Ana matrisin hesaplanan determinantı Cramer yöntemiyle hesaplandığında sıfıra eşit olduğunda, sistemin tek bir çözümü yoktur veya sonsuz sayıda çözümü vardır. Bu durumda sisteme genel veya temel bir cevap bulmak için Gauss yönteminin kullanılması önerilir.
2. O zaman en dıştaki sütunu değiştirmeniz gerekir ana matris serbest terimler sütununa ekleyin ve $D_1$ determinantını hesaplayın.
3. Aynı işlemi tüm sütunlar için tekrarlayın, $D_1$ ile $D_n$ arasındaki determinantları elde edin; burada $n$, en sağdaki sütunun numarasıdır.
4. Tüm belirleyiciler $D_1$...$D_n$ bulunduktan sonra, bilinmeyen değişkenler $x_i = \frac(D_i)(D)$ formülü kullanılarak hesaplanabilir.

Bir matrisin determinantını hesaplama teknikleri

Boyutu 2'ye 2'den büyük olan bir matrisin determinantını hesaplamak için birkaç yöntem kullanabilirsiniz:

• Üçgenler kuralı veya Sarrus kuralı aynı kuralı anımsatıyor. Üçgen yönteminin özü, determinantı hesaplarken, şekilde sağdaki kırmızı çizgiyle bağlanan tüm sayıların çarpımlarının artı işaretiyle yazılması ve soldaki şekilde benzer şekilde bağlanan tüm sayıların çarpımlarının yazılmasıdır. eksi işaretiyle yazılır. Her iki kural da 3 x 3 boyutundaki matrisler için uygundur. Sarrus kuralı durumunda, önce matrisin kendisi yeniden yazılır ve onun yanında birinci ve ikinci sütunları yeniden yazılır. Matris boyunca köşegenler çizilir ve bu ek sütunlar; ana köşegen üzerinde veya ona paralel olan matris elemanları artı işaretiyle, ikincil köşegen üzerinde veya paralel olan elemanlar ise eksi işaretiyle yazılır.

Şekil 1. Cramer yönteminin determinantını hesaplamak için üçgen kuralı

• Gauss yöntemi olarak bilinen bir yöntemin kullanıldığı bu yönteme bazen determinantın sırasının azaltılması da denir. Bu durumda matris dönüştürülerek üçgen forma indirgenir ve ardından ana köşegen üzerindeki tüm sayılar çarpılır. Unutulmamalıdır ki, bu şekilde determinant ararken, çarpan veya bölen olarak çıkarılmadan, satır veya sütunları sayılarla çarpamaz veya bölemezsiniz. Bir determinant aranması durumunda, yalnızca daha önce çıkarılan satırı sıfır olmayan bir faktörle çarparak satırları ve sütunları birbirine çıkarmak ve eklemek mümkündür. Ayrıca matrisin satır veya sütunlarını yeniden düzenlediğinizde matrisin son işaretini de değiştirmeniz gerektiğini unutmamalısınız.
• Cramer yöntemini kullanarak 4 bilinmeyenli bir SLAE'yi çözerken, determinantları aramak ve bulmak veya küçükleri arayarak determinantı belirlemek için Gauss yöntemini kullanmak en iyisi olacaktır.

Cramer yöntemini kullanarak denklem sistemlerini çözme

Cramer yöntemini 2 denklem ve iki gerekli miktardan oluşan bir sisteme uygulayalım:

$\begin(case) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(case)$

Kolaylık sağlamak için genişletilmiş biçimde görüntüleyelim:

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

Sistemin ana determinantı olarak da adlandırılan ana matrisin determinantını bulalım:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Ana determinant sıfıra eşit değilse, o zaman Cramer yöntemini kullanarak çamuru çözmek için, ana matrisin sütunlarının bir dizi serbest terimle değiştirildiği iki matristen birkaç determinantın daha hesaplanması gerekir:

$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Şimdi $x_1$ ve $x_2$ bilinmeyenlerini bulalım:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

Örnek 1

3. dereceden (3 x 3) ve üç bilinmeyenden oluşan bir ana matrise sahip SLAE'leri çözmek için Cramer'in yöntemi.

Denklem sistemini çözün:

$\begin(case) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end(case)$

Yukarıda 1. maddede belirtilen kuralı kullanarak matrisin ana determinantını hesaplayalım:

$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$

Ve şimdi diğer üç belirleyici:

$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - 296$

$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$

$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - 60$

Gerekli miktarları bulalım:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$