Üçgenin iç açılarının toplamı 180 0'dır. Bu Öklid geometrisinin temel aksiyomlarından biridir. Bu, okul çocuklarının çalıştığı geometridir. Geometri, gerçek dünyanın mekansal formlarını inceleyen bilim olarak tanımlanır.

Antik Yunanlıları geometriyi geliştirmeye iten şey neydi? Tarlaları, çayırları - dünya yüzeyinin alanlarını ölçme ihtiyacı. Aynı zamanda eski Yunanlılar da Dünya yüzeyinin yatay ve düz olduğunu kabul ediyorlardı. Bu varsayım dikkate alınarak, 180 0 üçgenin iç açılarının toplamını içeren Öklid aksiyomları oluşturuldu.

Aksiyom, kanıt gerektirmeyen bir önermedir. Bu nasıl anlaşılmalıdır? Kişiye yakışan bir dilek dile getirilir ve ardından illüstrasyonlarla onaylanır. Ancak kanıtlanmayan her şey kurgudur, gerçekte var olmayan bir şeydir.

Alma dünyanın yüzeyi Yatay olarak, eski Yunanlılar Dünya'nın şeklini otomatik olarak düz olarak kabul ettiler, ancak bu farklı - küresel. Doğada hiçbir yatay düzlem veya düz çizgi yoktur çünkü yerçekimi uzayı büker. Düz çizgiler ve yatay düzlemler yalnızca insan beyninde bulunur.

Bu nedenle uzaysal formları açıklayan Öklid geometrisi kurgusal dünya, bir simulakrdır; aslı olmayan bir kopyadır.

Öklid'in aksiyomlarından biri, bir üçgenin iç açılarının toplamının 180 0 olduğunu belirtir. Aslında, gerçek kavisli uzayda veya Dünya'nın küresel yüzeyinde bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180°'den büyüktür.

Şöyle düşünelim. Dünyadaki herhangi bir meridyen ekvatorla 90 0 açıyla kesişir. Bir üçgen elde etmek için başka bir meridyeni meridyenden uzaklaştırmanız gerekir. Meridyenler ile ekvator kenarı arasındaki üçgenin açılarının toplamı 180 0 olacaktır. Ancak direkte hala bir açı olacak. Sonuç olarak tüm açıların toplamı 180 0'dan büyük olacaktır.

Kenarlar kutupta 90 0 açıyla kesişirse, böyle bir üçgenin iç açılarının toplamı 270 0 olacaktır. Bu üçgende ekvatoru dik açıyla kesen iki meridyen birbirine paralel olacak, kutupta birbirini 90 0 açıyla kesen iki meridyen dik olacaktır. İki tane olduğu ortaya çıktı paralel çizgiler aynı düzlemde sadece kesişmekle kalmazlar, aynı zamanda direğe dik olabilirler.

Tabii ki, böyle bir üçgenin kenarları düz çizgiler olmayacak, küresel şekli tekrarlayan dışbükey olacaktır. küre. Ancak bu tam olarak uzayın gerçek dünyasıdır.

19. yüzyılın ortasındaki eğriliği dikkate alarak gerçek uzayın geometrisi. Alman matematikçi B. Riemann (1820-1866) tarafından geliştirilmiştir. Ancak okul çocuklarına bundan bahsedilmiyor.

Yani, Dünya'nın yatay yüzeyli düz şeklini alan, aslında öyle olmayan Öklid geometrisi bir simulakrdır. Nootik, uzayın eğriliğini hesaba katan Riemann geometrisidir. İçindeki üçgenin iç açılarının toplamı 180 0'dan büyüktür.

Üçgen, üç tarafı (üç açısı) olan bir çokgendir. Çoğu zaman, kenarlar aşağıdakilere karşılık gelen küçük harflerle gösterilir: büyük harfler, zıt köşeleri belirtir. Bu yazımızda bu türler hakkında bilgi sahibi olacağız. geometrik şekiller Bir üçgenin açılarının toplamının neye eşit olduğunu belirleyen bir teorem.

Açı boyutuna göre türler

Üç köşeli aşağıdaki çokgen türleri ayırt edilir:

• tüm köşelerin dar olduğu dar açılı;
• dikdörtgen, tek dik açılı, jeneratörlerine bacak denir ve dik açının karşısındaki tarafa hipotenüs denir;
• kalın olduğunda;
• iki tarafın eşit olduğu ve yanal olarak adlandırıldığı ikizkenar ve üçüncüsü üçgenin tabanıdır;
• eşkenar, üç tarafı da eşit olan.

Özellikler

Her üçgen tipinin karakteristik olan temel özellikleri vardır:

• Büyük tarafın karşısında her zaman daha büyük bir açı vardır ve bunun tersi de geçerlidir;
• eşit büyüklükte karşılıklı kenarlar eşit açılar ve tam tersi;
• herhangi bir üçgenin iki dar açısı vardır;
• bir dış açı, kendisine bitişik olmayan herhangi bir iç açıdan daha büyüktür;
• herhangi iki açının toplamı her zaman 180 dereceden küçüktür;
• dış açı, kendisiyle kesişmeyen diğer iki açının toplamına eşittir.

Üçgen Açı Toplamı Teoremi

Teorem, Öklid düzleminde bulunan belirli bir geometrik şeklin tüm açılarını toplarsanız toplamlarının 180 derece olacağını belirtir. Bu teoremi kanıtlamaya çalışalım.

Köşeleri KMN olan keyfi bir üçgenimiz olsun.

M köşesi boyunca CN çiziyoruz (bu çizgiye aynı zamanda Öklid düz çizgisi de denir). K ve A noktaları aynı hizada olacak şekilde A noktasını işaretleyin. farklı taraflar doğrudan MN. İç açılar gibi çapraz uzanan ve paralel olan KH ve MA düz çizgileriyle birlikte MN sekantının oluşturduğu eşit AMN ve KNM açılarını elde ederiz. Bundan, M ve H köşelerinde bulunan üçgenin açılarının toplamının KMA açısının boyutuna eşit olduğu sonucu çıkar. Her üç açı da KMA ve MKN açılarının toplamına eşit bir toplam oluşturur. Bu açılar, KM sekantlı KN ve MA paralel düz çizgilerine göre iç tek taraflı olduğundan, toplamları 180 derecedir. Teorem kanıtlandı.

Sonuçlar

Yukarıda kanıtlanan teoremden şu sonuç çıkar: Herhangi bir üçgenin iki dar açısı vardır. Bunu kanıtlamak için bu geometrik şeklin yalnızca bir dar açısı olduğunu varsayalım. Ayrıca köşelerin hiçbirinin dar olmadığı da varsayılabilir. Bu durumda büyüklüğü 90 dereceye eşit veya daha büyük olan en az iki açı bulunmalıdır. Ancak o zaman açıların toplamı 180 dereceden büyük olacaktır. Ancak bu olamaz, çünkü teoreme göre bir üçgenin açılarının toplamı 180°'ye eşittir; ne fazla ne de az. Kanıtlanması gereken şey buydu.

Dış açıların özelliği

Bir üçgenin dış açılarının toplamı nedir? Bu sorunun cevabı iki yöntemden biri kullanılarak elde edilebilir. Birincisi, her köşede bir tane alınan açıların yani üç açının toplamını bulmak gerekir. İkincisi, altı köşe açısının toplamını bulmanız gerektiği anlamına gelir. Öncelikle ilk seçeneğe bakalım. Yani, üçgen her köşede iki tane olmak üzere altı dış açı içerir.

Dikey oldukları için her çiftin açıları eşittir:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Ayrıca bir üçgenin dış açısının, kendisiyle kesişmeyen iki iç açının toplamına eşit olduğu bilinmektedir. Buradan,

∟1 = ∟A + ∟C, ∟2 = ∟A + ∟B, ∟3 = ∟B + ∟C.

Bundan, her tepe noktasında bir tane alınan dış açıların toplamının şuna eşit olacağı ortaya çıkıyor:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C = 2 x (∟A + ∟B + ∟C).

Açıların toplamının 180 dereceye eşit olduğunu dikkate alırsak ∟A + ∟B + ∟C = 180° diyebiliriz. Bu, ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180° = 360° anlamına gelir. İkinci seçenek kullanılırsa, altı açının toplamı buna göre iki kat daha büyük olacaktır. Yani üçgenin dış açılarının toplamı şu şekilde olacaktır:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720°.

Sağ üçgen

Bir dik üçgenin dar açılarının toplamı nedir? Bu sorunun cevabı yine üçgendeki açıların toplamının 180 derece olduğunu belirten teoremden kaynaklanmaktadır. Ve ifademiz (özellik) şuna benzer: içinde dik üçgen dar açıların toplamı 90 dereceye kadar çıkar. Doğruluğunu kanıtlayalım.

Bize ∟Н = 90° olan bir KMN üçgeni verilsin. ∟К + ∟М = 90° olduğunu kanıtlamak gerekir.

Yani açıların toplamına ilişkin teoreme göre ∟К + ∟М + ∟Н = 180°. Durumumuz ∟H = 90° olduğunu söylüyor. Böylece ∟К + ∟М + 90° = 180° ortaya çıkıyor. Yani, ∟К + ∟М = 180° - 90° = 90°. Kanıtlamamız gereken şey tam olarak buydu.

Yukarıda açıklanan dik üçgenin özelliklerine ek olarak aşağıdakileri ekleyebilirsiniz:

• bacakların karşısındaki açılar keskindir;
• hipotenüs herhangi bir bacaktan daha büyük bir üçgendir;
• bacakların toplamı hipotenüsten daha büyüktür;
• Üçgenin 30 derecelik açının karşısında bulunan kenarı hipotenüsün yarısı kadardır, yani yarısına eşittir.

Bu geometrik şeklin bir diğer özelliği olarak Pisagor teoremini öne çıkarabiliriz. Açısı 90 derece olan (dikdörtgen) bir üçgende bacakların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtiyor.

Bir ikizkenar üçgenin açılarının toplamı

Daha önce üç köşesi olan ve iki kenarı eşit olan ikizkenar çokgene denildiğini söylemiştik. Bu geometrik şeklin şu özelliği bilinmektedir: Tabanındaki açılar eşittir. Hadi kanıtlayalım.

İkizkenar olan KMN üçgenini alalım, KN onun tabanıdır.

∟К = ∟Н olduğunu kanıtlamamız gerekiyor. Diyelim ki MA, KMN üçgenimizin ortaortayı. MKA üçgeni, eşitliğin ilk işaretini dikkate alarak MNA üçgenine eşittir. Yani koşul olarak KM = NM, MA ortak kenardır, ∟1 = ∟2 verilmiştir, çünkü MA bir açıortaydır. Bu iki üçgenin eşit olduğu gerçeğini kullanarak ∟К = ∟Н olduğunu söyleyebiliriz. Bu, teoremin kanıtlandığı anlamına gelir.

Ancak bir üçgenin (ikizkenar) açılarının toplamının ne olduğuyla ilgileniyoruz. Bu bakımdan kendine has özellikleri olmadığından, daha önce tartışılan teorem üzerine inşa edeceğiz. Yani ∟К + ∟М + ∟Н = 180° veya 2 x ∟К + ∟М = 180° diyebiliriz (∟К = ∟Н olduğundan). Bu özellik Bir üçgenin açılarının toplamına ilişkin teorem daha önce kanıtlanmış olduğundan bunu kanıtlamayacağız.

Bir üçgenin açıları hakkında tartışılan özelliklere ek olarak aşağıdaki önemli ifadeler de geçerlidir:

• tabana indirilen açı aynı zamanda bir medyandır, yani aradaki açının açıortayıdır. eşit taraflar ve temelleri;
• Böyle bir geometrik şeklin yan kenarlarına çizilen kenarortaylar (ortaortaylar, yükseklikler) eşittir.

Eşkenar üçgen

Buna düzenli de denir, bu tüm kenarların eşit olduğu üçgendir. Dolayısıyla açılar da eşittir. Her biri 60 derecedir. Bu özelliği kanıtlayalım.

Diyelim ki bir KMN üçgenimiz var. KM = NM = KN olduğunu biliyoruz. Bu da tabanda bulunan açıların özelliğine göre anlamına gelir. ikizkenar üçgen, ∟К = ∟М = ∟Н. Teoreme göre bir üçgenin açılarının toplamı ∟К + ∟М + ∟Н = 180° olduğundan, 3 x ∟К = 180° veya ∟К = 60°, ∟М = 60°, ∟ N = 60°. Böylece ifade kanıtlanmıştır.

Yukarıdaki teoreme dayalı ispattan da anlaşılacağı üzere, diğer üçgenlerin açılarının toplamı gibi açıların toplamı da 180 derecedir. Bu teoremi tekrar kanıtlamaya gerek yok.

Eşkenar üçgenin karakteristik özellikleri de vardır:

• böyle bir geometrik şekildeki medyan, açıortay, yükseklik çakışır ve uzunlukları (a x √3): 2 olarak hesaplanır;
• belirli bir çokgenin etrafındaki bir daireyi tanımlarsanız, yarıçapı (a x √3): 3'e eşit olacaktır;
• bir eşkenar üçgenin içine bir daire yazarsanız, yarıçapı (a x √3): 6 olacaktır;
• Bu geometrik şeklin alanı şu formülle hesaplanır: (a2 x √3) : 4.

Geniş üçgen

Tanım gereği açılarından biri 90 ila 180 derece arasındadır. Ancak bu geometrik şeklin diğer iki açısının da dar açı olduğunu düşünürsek, bunların 90 dereceyi aşmadığı sonucunu çıkarabiliriz. Bu nedenle, üçgen açı toplamı teoremi geniş bir üçgendeki açıların toplamının hesaplanmasında işe yarar. Yukarıdaki teoreme dayanarak, açıların toplamının şu olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz: geniş üçgen 180 dereceye eşittir. Tekrar, bu teorem yeniden ispata gerek yoktur.

Kanıt:

• Verilen ABC üçgeni.
• B köşesinden AC tabanına paralel bir DK düz çizgisi çiziyoruz.
• \angle CBK= \angle C, paralel DK ve AC ve BC keseniyle iç çapraz olarak uzanır.
• \angle DBA = \angle DK \paralel AC ve sekant AB ile çapraz uzanan bir iç yapı. DBK açısı terstir ve eşittir
• \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
• Açılmamış açı 180 ^\circ'e eşit olduğundan ve \angle CBK = \angle C ve \angle DBA = \angle A'dan şunu elde ederiz: 180 ^\circ = \angle A + \angle B + \angle C.

Teorem kanıtlandı

Bir üçgenin açılarının toplamına ilişkin teoremin sonuçları:

1. Bir dik üçgenin dar açılarının toplamı 90°.
2. İkizkenar dik üçgende her dar açı eşittir 45°.
3. İÇİNDE eşkenar üçgen her açı eşittir 60°.
4. Herhangi bir üçgende ya tüm açılar dardır ya da iki açı dardır ve üçüncüsü geniş veya diktir.
5. Bir üçgenin bir dış açısı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

Üçgen Dış Açı Teoremi

Bir üçgenin bir dış açısı, üçgenin bu dış açıya komşu olmayan diğer iki açısının toplamına eşittir

Kanıt:

• Verilen bir ABC üçgeninde BCD dış açıdır.
• \angle BAC + \angle ABC +\angle BCA = 180^0
• Eşitliklerden açı \angle BCD + \angle BCA = 180^0
• Aldık \angle BCD = \angle BAC+\angle ABC.

Teorem. Bir üçgenin iç açılarının toplamı iki dik açıya eşittir.

Bir ABC üçgenini alalım (Şekil 208). İç açılarını 1, 2 ve 3 sayılarıyla gösterelim.

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Üçgenin bir köşesinden, örneğin B'den, AC'ye paralel bir MN düz çizgisi çizelim.

B köşesinde üç açımız var: ∠4, ∠2 ve ∠5. Toplamları düz bir açıdır, dolayısıyla 180°'ye eşittir:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Ancak ∠4 = ∠1 paralel MN ve AC çizgileri ve AB sekantıyla iç çapraz açılardır.

∠5 = ∠3 - bunlar MN ve AC paralel çizgileri ve BC sekantıyla iç çapraz açılardır.

Bu, ∠4 ve ∠5'in, eşitleri olan ∠1 ve ∠3 ile değiştirilebileceği anlamına gelir.

Bu nedenle, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Teorem kanıtlandı.

2. Üçgenin dış açısının özelliği.

Aslında ABC üçgeninde (Şekil 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, fakat aynı zamanda ∠ВСD, bu üçgenin ∠1 ve ∠2'ye komşu olmayan dış açısı da 180°'ye eşittir - ∠3 .

Böylece:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Bu nedenle, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Bir üçgenin dış açısının türetilmiş özelliği, bir üçgenin dış açısına ilişkin daha önce kanıtlanmış teoremin içeriğini açıklığa kavuşturur; bu teorem, yalnızca bir üçgenin dış açısının, kendisine bitişik olmayan bir üçgenin her bir iç açısından daha büyük olduğunu belirtir; artık dış açının kendisine komşu olmayan her iki iç açının toplamına eşit olduğu tespit edilmiştir.

3. Açısı 30° olan dik üçgenin özelliği.

ACB dik üçgenindeki B açısının 30° olmasına izin verin (Şekil 210). O zaman diğer dar açısı 60° olacaktır.

AC kenarının AB hipotenüsünün yarısına eşit olduğunu kanıtlayalım. AC ayağına zirvenin ötesinde devam edelim dik açı C ve CM parçasını AC parçasına eşit olacak şekilde bir kenara koyun. M noktasını B noktasına bağlayalım. Ortaya çıkan ВСМ üçgeni ACB üçgenine eşittir. ABM üçgeninin her bir açısının 60°ye eşit olduğunu, dolayısıyla bu üçgenin eşkenar üçgen olduğunu görüyoruz.

AC kenarı AM'nin yarısına eşittir ve AM, AB'ye eşit olduğundan, AC kenarı AB hipotenüsünün yarısına eşit olacaktır.

ARAŞTIRMA ÇALIŞMASI

KONU HAKKINDA:

“Üçgenin açılarının toplamı her zaman 180˚'ye eşit midir?”

Tamamlanmış:

7b sınıf öğrencisi

MBOU Inzenskaya Ortaokulu No.2

Inza, Ulyanovsk bölgesi

Malyshev Ian

Bilimsel süpervizör:

Bolşakova Lyudmila Yurievna

İÇİNDEKİLER

Giriş……………………………………………………………..3 s.

Ana bölüm……………………………………………………4

bilgi arama

deneyler

çözüm

Sonuç………………………………………………………..12

GİRİİŞ

Bu yıl yeni bir konu olan geometri çalışmaya başladım. Bu bilim geometrik şekillerin özelliklerini inceler. Derslerden birinde bir üçgenin açılarının toplamına ilişkin teoremi inceledik. Ve ispatın yardımıyla şu sonuca vardılar: Bir üçgenin açılarının toplamı 180˚'dir.

Açılarının toplamı 180˚'ye eşit olmayan üçgenler var mı diye merak ettim.

Sonra kendimi ayarladımHEDEF :

Bir üçgenin açılarının toplamının ne zaman 180˚'ye eşit olmadığını öğrenin?

Aşağıdakileri yükledimGÖREVLER :

Geometrinin tarihiyle tanışın;

Öklid, Roman, Lobaçevski'nin geometrisini tanıyın;

Bir üçgenin açılarının toplamının 180˚ olmayabileceğini deneysel olarak kanıtlayın.

ANA BÖLÜM

Geometri ihtiyaçlarla bağlantılı olarak ortaya çıktı ve gelişti pratik aktiviteler kişi. En ilkel yapıları bile inşa ederken inşaata ne kadar malzeme harcanacağını hesaplayabilmek, uzaydaki noktalar arasındaki mesafeleri ve düzlemler arasındaki açıları hesaplayabilmek gerekir. Ticaretin ve navigasyonun gelişimi, zaman ve mekanda gezinme yeteneğini gerektirdi.

Bilim adamları geometrinin gelişimi için çok şey yaptılar Antik Yunanistan. Geometrik gerçeklerin ilk kanıtı isimle ilişkilidir.Milet Thales'i.

En çok biri ünlü okullar Pisagorcuydu, adını kurucusundan alıyor, birçok teoremin kanıtlarının yazarıydı,Pisagor.

Okulda öğrenilen geometriye Öklid denir.Öklid - eski Yunan bilim adamı.

Öklid İskenderiye'de yaşıyordu. Ünlü "İlkeler" kitabını yazdı. Tutarlılık ve titizlik, bu çalışmayı iki bin yıldan fazla bir süredir dünyanın birçok ülkesinde geometrik bilgi kaynağı haline getirmiştir. Yakın zamana kadar neredeyse tüm okul ders kitapları birçok yönden Elementlere benziyordu.

Ancak 19. yüzyılda Öklid'in aksiyomlarının evrensel olmadığı ve her durumda doğru olmadığı gösterildi. Öklid'in aksiyomlarının doğru olmadığı geometrik bir sistemin ana keşifleri Georg Riemann ve Nikolai Lobachevsky tarafından yapıldı. Öklid dışı geometrinin yaratıcıları olarak onlardan söz edilir.

Öyleyse Öklid, Riemann ve Lobaçevski'nin öğretilerine dayanarak şu soruyu yanıtlamaya çalışalım: Bir üçgenin açılarının toplamı her zaman 180˚'ye eşit midir?

DENEYLER

Üçgeni geometri açısından düşününÖklid.

Bunu yapmak için bir üçgen alalım.

Köşelerini kırmızı, yeşil ve mavi renklerle boyayalım.

Düz bir çizgi çizelim. Bu gelişmiş bir açıdır, 180˚'ye eşittir.

Üçgenimizin köşelerini kesip açılan köşeye yapıştıralım. Üç açının toplamının 180˚ olduğunu görüyoruz.

Geometrinin gelişimindeki aşamalardan biri eliptik geometriydi.Riemann. Bu eliptik geometrinin özel bir durumu küre üzerindeki geometridir. Riemann geometrisinde bir üçgenin açılarının toplamı 180˚'den büyüktür.

Yani bu bir küre.

Bu kürenin içinde meridyenler ve ekvatordan oluşan bir üçgen oluşur. Bu üçgeni alıp köşelerini boyayalım.

Bunları kesip düz bir çizgiye bağlayalım. Üç açının toplamının 180˚'den büyük olduğunu görüyoruz.

GeometrideLobaçevski Bir üçgenin açılarının toplamı 180˚'den küçüktür.

Bu geometri, hiperbolik bir paraboloitin yüzeyinde düşünülür (bu, bir eyere benzeyen içbükey bir yüzeydir).

Paraboloidlerin örnekleri mimaride bulunabilir.

Pringle çipleri bile paraboloidin bir örneğidir.

Hiperbolik bir paraboloit modelinde açıların toplamını kontrol edelim.

Yüzeyde bir üçgen oluşur.

Bu üçgeni alalım, köşelerini boyayalım, keselim ve düz bir çizgiye uygulayalım. Şimdi üç açının toplamının 180˚'den küçük olduğunu görüyoruz.

ÇÖZÜM

Böylece bir üçgenin açılarının toplamının her zaman 180˚'ye eşit olmadığını kanıtlamış olduk.

Daha fazla veya daha az olabilir.

ÇÖZÜM

Çalışmamın sonunda bu konu üzerinde çalışmanın ilginç olduğunu söylemek isterim. Kendim için pek çok yeni şey öğrendim ve gelecekte bu ilginç geometriyi incelemekten mutluluk duyacağım.

BİLGİ KAYNAKLARI

tr.wikipedia.org

e-osnova.ru

vestishki.ru

yun.moluch.ru