Bölüm 4. Bilgisayarların Aritmetik Temelleri

4.1. Sayı sistemi nedir?

Konumsal ve konumsal olmayan sayı sistemleri vardır.

Konumsal olmayan sayı sistemlerinde bir rakamın ağırlığı (yani sayının değerine yaptığı katkı) onun pozisyonuna bağlı değil numarayı yazarken. Böylece, XXXII (otuz iki) sayısındaki Roma sayı sisteminde, X sayısının herhangi bir konumdaki ağırlığı basitçe ondur.

Konumsal sayı sistemlerinde Her rakamın ağırlığı, sayıyı temsil eden rakam dizisindeki konumuna (konumuna) bağlı olarak değişir. Örneğin, 757,7 sayısında ilk yedi, 7 yüz, ikinci - 7 birim ve üçüncü - bir birimin onda 7'si anlamına gelir.

757.7 sayısının gösterimi, ifadenin kısaltılmış gösterimi anlamına gelir

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 . 10 2 + 5 . 10 1 + 7 . 10 0 + 7 . 10 -1 = 757,7.

Herhangi bir konumsal sayı sistemi aşağıdaki özelliklerle karakterize edilir: temel.

Herhangi biri sistemin temeli olarak alınabilir doğal sayı- iki, üç, dört vb. Buradan, sayısız konumsal sistem mümkün: ikili, üçlü, dörtlü vb. Her sayı sisteminde sayıların bir tabanla yazılması Q kısa bir ifade anlamına gelir

A n-1 Q n-1 +bir n-2 Q n-2 + ... +bir 1 Q 1 +bir 0 Q 0 +bir -1 Q -1 + ... +bir -M Q -M ,

Nerede A Ben - sayı sisteminin sayıları; N Ve M - sırasıyla tamsayı ve kesirli rakamların sayısı.
Örneğin:

4.2. Konumsal sayı sistemlerinde tamsayılar nasıl oluşturulur?

Her sayı sisteminde rakamlar anlamlarına göre sıralanır: 1, 0'dan büyüktür, 2, 1'den büyüktür, vb.

1 sayısını ilerletmek onu 2 ile değiştirmek anlamına gelir, 2 sayısını ilerletmek onu 3 ile değiştirmek anlamına gelir, vb. Önemli rakam ilerlemesi(örneğin ondalık sistemdeki 9 sayısı) 0 ile değiştirmek anlamına gelir. Yalnızca 0 ve 1 olmak üzere iki rakam kullanan bir ikili sistemde, 0'ı yükseltmek, onu 1 ile değiştirmek anlamına gelir ve 1'i yükseltmek, onu 0 ile değiştirmek anlamına gelir.

Herhangi bir sayı sistemindeki tam sayılar kullanılarak oluşturulur. Hesap Kuralları [44 ]:

Bu kuralı uygulayarak ilk on tam sayıyı yazıyoruz

ikili olarak: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

üçlü sistemde: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

beşli sistemde: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

sekizlik sistemde: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

4.3. Uzmanlar bir bilgisayarla iletişim kurmak için hangi sayı sistemlerini kullanır?

Ondalık sayıya ek olarak, tabanı olan sistemler tam derece sayılar 2, yani:

ikili(0, 1 rakamları kullanılır);

sekizli(0, 1, ..., 7 rakamları kullanılır);

onaltılık(sıfırdan dokuza kadar olan ilk tam sayılar için 0, 1, ..., 9 rakamları kullanılır ve ondan on beşe kadar olan sonraki sayılar için A, B, C, D, E, F sembolleri kullanılır. rakam olarak).

Bu sayı sistemlerinde ilk iki tam sayının onluk gösterimini hatırlamakta fayda var:

Tüm sayı sistemlerinden özellikle basit ve bu nedenle İkili sayı sistemi bilgisayarlarda teknik uygulama açısından ilgi çekicidir.

4.4. İnsanlar neden ondalık sistemi kullanıyor ve bilgisayarlar neden ikili sistemi kullanıyor?

İnsanların ondalık sistemi tercih etmelerinin nedeni muhtemelen çok eski zamanlardan beri parmakla sayma yapılması ve on adet el ve ayak parmağının bulunmasıdır. İnsanlar ondalık sayı sistemini her zaman ve her yerde kullanmazlar. Örneğin Çin'de uzun süre beş haneli sayı sistemi kullanıldı.

Bilgisayarlar ikili sistemi kullanır çünkü diğer sistemlere göre birçok avantajı vardır:

uygulanması için ihtiyacımız var iki kararlı duruma sahip teknik cihazlar(akım var - akım yok, mıknatıslanmış - mıknatıslanmamış, vb.) ve örneğin onda değil - ondalık sayılarda olduğu gibi;

bilginin yalnızca iki durum aracılığıyla temsili güvenilir bir şekilde Ve gürültüye dayanıklı;

Belki Boole cebiri aparatının uygulanması bilgilerin mantıksal dönüşümlerini gerçekleştirmek;

İkili aritmetik, ondalık aritmetikten çok daha basittir.

İkili sistemin dezavantajı - hane sayısında hızlı büyüme sayıları yazmak gerekiyor.

4.5. Bilgisayarlar neden sekizli ve onaltılı sayı sistemlerini de kullanıyor?

Bilgisayarlar için uygun olan ikili sistem, hacimli olması ve alışılmadık gösterimi nedeniyle insanlar için sakıncalıdır.

Sayıların ondalık sistemden ikili sisteme ve tam tersi şekilde dönüştürülmesi bir makine tarafından gerçekleştirilir. Ancak bilgisayarı profesyonelce kullanabilmek için makine kelimesini anlamayı öğrenmelisiniz. Bu nedenle sekizlik ve onaltılık sistemler geliştirildi.

Bu sistemlerdeki sayılar neredeyse ondalık sayılar kadar kolay okunur; ikili sistemdekinden sırasıyla üç (sekizli) ve dört (onaltılık) kat daha az basamak gerektirirler (sonuçta, sırasıyla 8 ve 16 sayıları üçüncüdür). ve sayının dördüncü kuvvetleri 2) .

Örneğin:

Örneğin,

4.6. Bir tam sayıyı ondalık sistemden başka herhangi bir konumsal sayı sistemine nasıl dönüştürebilirim?

Örnek: 75 sayısını onluk sistemden ikili, sekizli ve onaltılı sisteme çevirelim:

Cevap: 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16.

4.7. Uygun bir ondalık kesiri başka herhangi bir konumsal sayı sistemine nasıl dönüştürebilirim?

Doğru ondalık kesri dönüştürmek içinF tabanı olan bir sayı sistemineQ gerekliF ile çarpmakQ , aynı ondalık sistemde yazıldıktan sonra elde edilen çarpımın kesirli kısmını tekrar çarpınQ, vb., bir sonraki çarpımın kesirli kısmı sıfıra eşit olana veya sayıyı temsil etmek için gerekli doğruluk elde edilene kadar F VQ -ic sistemi. Bir sayının kesirli kısmını göstermeF V yeni sistem sayı, ortaya çıkan eserlerin tüm bölümlerinin, alındıkları sıraya göre yazılan ve tek bir resimde tasvir edilen bir dizisi olacaktır. Q -ary rakamı. Gerekli sayı çeviri doğruluğu iseF şuna tekabül eder:k ondalık basamaklar varsa maksimum mutlak hata şuna eşittir:Q -(k+1) / 2.

Örnek. 0,36 sayısını ondalık sistemden ikili, sekizli ve onaltılı sisteme dönüştürelim:

4.8. Bir sayı ikiliden (sekizli, onaltılı) ondalık sayıya nasıl dönüştürülür?

Bir sayıyı ondalık sisteme dönüştürmeX , yazılıQ -ary sayı sistemi (Q = 2, 8 veya 16) formundaX Q = (bir N A n-1 ...A 0 ,A -1 A -2 ...A -M ) Q polinomun değerinin hesaplanmasına gelir X 10 = bir N Q N +bir n-1 Q n-1 + ... +bir 0 Q 0 +bir -1 Q -1 +bir -2 Q -2 + ... +bir -M Q -M ondalık aritmetik kullanarak.

Örnekler:

4.9. Tamsayıların bir sayı sisteminden diğerine dönüşümlerinin özet tablosu

Yalnızca bilgisayarlarda kullanılan sayı sistemlerini (ondalık, ikili, sekizli ve onaltılık) ele alalım. Daha spesifik olmak gerekirse, rastgele bir ondalık sayı alalım, örneğin 46 ve bunun için bir sayı sisteminden diğerine olası tüm sıralı çevirileri gerçekleştireceğiz. Çevirilerin sırası şekle göre belirlenecektir:

Bu şekilde aşağıdaki gösterimler kullanılmıştır:

sayı sistemlerinin tabanları daire şeklinde yazılmıştır;

oklar çevirinin yönünü gösterir;

okun yanındaki sayı, özet tablo 4.1'deki ilgili örneğin seri numarasını gösterir.

Örneğin: tabloda seri numarası 6 olan, ikiliden onaltılıya dönüşüm anlamına gelir.

Tamsayı dönüşümlerinin özet tablosuikibölümler- istatistik teorileri... istatistikler, bilgisayar Bilimi disiplinler olarak... KR (elektronik versiyon yayınlar). ".... E.P. Mikroekonomik istatistikler: Ders Kitabı. ödenek. - M.: Delo, 2000. ...dergi. internet- Rosstat web siteleri...

"bilgi kaynaklarının açık veritabanlarının oluşturulması"

Rapor

Referans yayınlar. Bibliyografik faydalar. Bölüm 1. Referans yayınlar... uzlaşma prosedürleri. internet-versiyon dergi erişim sağlıyor... URSS / internet-mağaza oluşuritibareniki departmanlar: ... Yönetim uzmanları bilgisayar Bilimi ve telekomünikasyon...

Gösterim belirli bir özel karakter (rakam) kümesini kullanarak sayıları yazmanın bir yoludur.

Bir sayı sisteminde bir sayının yazılmasına ne ad verilir? numara kodu.

Bir sayının görüntüsündeki ayrı bir konuma genellikle denir deşarj ve pozisyon numarası rakam numarasıdır. Bir sayıdaki basamak sayısına bit derinliği denir ve uzunluğuyla çakışır.

Konumsal ve konumsal olmayan sistemler vardır .

Konumsal olmayan sistemlerdeölü hesaplaşma şeklin ağırlığı konuma bağlı değildir, sayıca sıralanıyor. Yani, örneğin, XXXII (otuz iki) sayısındaki Roma sayı sisteminde, X rakamının herhangi bir konumdaki ağırlığı basitçe ondur.

Konumsal olmayan sayı sistemine bir örnek Roma sistemidir. Roma sisteminde kullanılan sayılar şunlardır: I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000).
Romen rakamı sisteminde bir sayının büyüklüğü, sayıdaki rakamların toplamı veya farkı olarak tanımlanır. Küçük sayı büyük sayının solundaysa çıkarılır, sağındaysa eklenir.
Örnek:

CCXXXII=232
IX =9

Konumsal sistemlerdeölü hesaplaşma her rakamın ağırlığı değişir sayıyı temsil eden basamak dizisindeki konumuna bağlı olarak.
Herhangi bir konumsal sistem tabanıyla karakterize edilir.
Konumsal sayı sisteminin temeli, belirli bir sistemdeki sayıları temsil etmek için kullanılan farklı işaret veya simgelerin sayısıdır.
Herhangi bir doğal sayı taban olarak alınabilir - iki, üç, dört, on altı vb. Bu nedenle mümkün sonsuz küme konumsal sistemler.

Konumsal sayı sistemlerine örnek olarak ikili, ondalık, sekizli, onaltılı vb. verilebilir.

D ondalık sayı sistemi.

İÇİNDE bu sistemde 10 hane vardır: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ancak bilgi yalnızca sayı tarafından değil aynı zamanda sayının bulunduğu yer (yani onun numarası) tarafından da taşınır. konum). Sayının en sağdaki rakamı birim sayısını, sağdan ikinci rakamı onlarca sayısını, sonraki rakamı ise yüz rakamını vb. gösterir.

Örnek:
333 10 = 3*100 + 3*10+3*1 = 300 + 30 + 3

İkili sayı sistemi.

Bu sistemde sadece iki rakam vardır; 0 ve 1. Sistemin temeli 2 rakamıdır. Sayının en sağdaki rakamı birlerin sayısını, sonraki rakam ikililerin sayısını, sonraki rakam ise sayıyı gösterir. dörtlü vb. İkili sayı sistemi herhangi bir doğal sayıyı kodlamanıza olanak tanır; onu sıfırlar ve birler dizisi olarak temsil eder.

Örnek:
1011 2 = 1*2^3 + 0*2*2+1*2^1+1*2^0 =1*8 + 1*2+1=11 10

Sekizli sayı sistemi. Bu sayı sisteminde 8 rakam vardır: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Örneğin 611 sayısını (sekizli) ikili sisteme dönüştürmek için her rakamı eşdeğeriyle değiştirmeniz gerekir. ikili üçlü (üç basamak). Çok basamaklı bir ikili sayıyı sekizlik sisteme dönüştürmek için, onu sağdan sola üçlülere ayırmanız ve her üçlüyü karşılık gelen sekizli basamakla değiştirmeniz gerektiğini tahmin etmek kolaydır.

Örnek:

6118 =011 001 001 2

1 110 011 101 2 =1435 8 ​​(4 üçlü)

Onaltılı sayı sistemi.
Sekizli sayı sisteminde bir sayının yazılması oldukça kompakttır, ancak onaltılık sistemde daha da kompakttır. 16 onaltılık rakamın ilk 10'u normal sayılardır 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ancak geri kalan 6 rakam Latin alfabesinin ilk harfleridir: A, B, C , D, E, F. Onaltılı sistemden ikili sisteme ve geriye dönüşüm, sekizli sistemle aynı şekilde yapılır.

Tam sayıları diğer sayı sistemlerine dönüştürme

10 tabanlı bir tamsayı, bir kalan elde edilene kadar sayının 2 tabanına sırayla bölünmesiyle 2 tabanlı sayı sistemine dönüştürülür. Bölmeden elde edilen kalanlar ve son bölüm, bölme işleminde elde edilenin tersi sırayla yazılır. Üretilen sayı N2 tabanlı bir sayı olacaktır.

Sayıları ondalık sisteme dönüştürme sayının çevrildiği sistemin tabanı ile bir kuvvet serisinin derlenmesiyle gerçekleştirilir. Daha sonra toplamın değeri hesaplanır.

a) 10101101 s.s.’yi tercüme edin.

101011012 = 1*2^7+ 0*2^6+ 1*2^5+ 0*2^4+ 1*2^3+ 1*2^2+ 0*2^1+ 1*2^0 = 173

b) 7038'i çevirin.

7038 = 7*8^2+ 0*8^1+ 3*8^0= 451

c) B2E16'yı çevirin.

B2E16 = 11*16^2+ 2*16^1+ 14*16^0= 2862

Yaprak ile Tanışın

Mucit Leaf, sayıların iletilmesi için bir cihaz buldu. Cihazı, kısa ve uzun sinyallerden oluşan bir zincir şeklinde mesajlar iletiyordu. Listek, notlarında kısa sinyali “0”, uzun sinyali ise “1” rakamıyla tanımladı. Sayıları iletirken her rakam için aşağıdaki kodu kullandı:

1 ve 2 rakamlarından oluşan 12 sayısı Leaf tarafından aktarılmak üzere şu şekilde yazılmıştır:

Cihaz bu mesajı bir sinyal zinciri halinde iletiyordu: üç kısa, bir uzun, iki kısa, bir uzun ve bir kısa.

Listek sistemine göre 77 sayısı şu şekilde kodlandı:

Kodlama bilgileri

Kodlama, bilginin iletilmeye veya saklanmaya uygun bir forma çevrilmesidir.

Örneğin metinler harfler ve noktalama işaretleri kullanılarak kodlanır. Üstelik aynı kayıt farklı şekillerde kodlanabilir: Rusça, İngilizce, Çince...

Sayılar rakamlar kullanılarak kodlanır. Alıştığımız sayılara Arapça denir. Bazen Romen rakamları kullanılır. Bu durumda bilginin kodlanma yöntemi değişir.Örneğin, 12 ve XII

farklı yollar aynı numaranın kayıtları. Müzik, özel karakterler - notlar kullanılarak kodlanabilir.

Yol işaretleri

- Bunlar, sürücü ve yayalara piktogramlar kullanılarak gönderilen kodlanmış mesajlardır.

Mağazadaki ürünler, ürün ve üreticisi hakkında bilgi içeren bir barkod kullanılarak işaretlenir.

Barkod, bilgileri teknik cihazlar tarafından okunmaya uygun bir biçimde kodlayan bir dizi siyah beyaz şerittir. Ayrıca barkodun altına sayı dizisi şeklinde bir kod da yerleştirilebilir.

Bilgi her zaman kodlar halinde saklanır ve iletilir. Bilgileri bir ortam olmadan basitçe depolayamazsınız. Aynı şekilde, bilgiyi basitçe saklayıp iletemezsiniz: her zaman bir biçimi vardır, yani kodlanmıştır. İkili kodlamaİkili kodlama, bilgilerin sıfırlar ve birler kullanılarak kodlanmasıdır. İçin

bilgisayar teknolojisi

Bilgiyi bu şekilde sunmanın çok uygun olduğu ortaya çıktı.

Gerçek şu ki bilgisayarlar iki olası durumda olabilecek unsurlar üzerine inşa edilmiştir. Böyle bir durum 0 sayısıyla, diğeri 1 sayısıyla gösterilir.

İkili cihaza örnek olarak ortak bir ampul verilebilir. İki durumdan birinde olabilir: açık (durum 1) veya kapalı (durum 0).

Yaprak ikili kodunu kullanarak ampuller üzerinde bir elektriksel hafıza oluşturabilir ve örneğin sayıları bu hafızada saklayabilirsiniz.

Her ondalık basamağı saklamak için dört ampul gerekir. 6 sayısını şu şekilde hatırlayabilirsiniz:

Anahtarları istenilen konuma ayarladık ve çay içmeye gittik! Güç kapatılmazsa bilgiler kaydedilecektir.

Transistör akımı kendi içinden geçirebilir (durum 1) veya geçemez (durum 0).

Her transistörün ayrı ayrı üretildiği ve boyutlarının önemli olduğu bir dönem vardı.

Artık transistörler de diğer elektronik elemanlar gibi fotoğraf baskısına benzer şekilde üretiliyor. Birinde mikrodevre tırnak büyüklüğünde olduğundan birkaç milyon transistöre "baskı yapılabilir".

Leaflet'in mesajları kodlamak için kullandığı kod aslında bilgisayardaki sayılarla çalışmak için kullanılıyor.

İkili kodlamada bu tabloya hiç bakmanıza gerek yoktur, ancak ikili kodu ondalık basamağa dönüştürmenin basit kuralını unutmayın.

Sağda ilk sırada yer alan koddaki birim sayıyı verir
lo 1, ikincide - 2, üçüncüde - 4, dördüncüde - 8. Ondalık basamağı elde etmek için sayılar toplanır. Örneğin “0101” kodu 5 rakamına (4 ve 1 rakamlarının toplamı) çevrilmiştir.

Kod çözme sırasında aynı kural kullanılabilir. Örneğin 6 rakamı 4 ve 2 rakamlarının toplamı olarak yazıldığında kodu “0110” olacaktır.

Antik Babil'de kullanılan sayı sisteminde yazılı sayıların yer aldığı tablet. MÖ 1700 civarında

1945'te deşifre edildi

Sayı sistemleri

Listek kodu ve numara kodlaması İÇİNDEönceki ders sıfırları ve birleri kullanarak sayıları yazmanın bir yolu gösterildi. Yaprak kodları her rakam dört numara

ikili

işaretler. Böylece 102 sayısı 12 ikili karakter kullanılarak Listik kodu kullanılarak yazılır: Yaprak kodları

ayrı ayrı

10 rakamın her biri ve bunun için 4 ikili rakam kullanır. Ancak dört ikili karakter 10 değil 16 değeri kodlayabilir:

6 Yaprak kodunun (10'un yarısından fazlası) boşa gittiği ortaya çıktı! Daha ekonomik kod yazmak mümkün mü? Kodlarsan mümkün sayılar değil(numaranın alındığı yer) ve hemen

sayılar

! Yani, bu kodlama yöntemiyle 102 sayısı on iki değil, yalnızca yedi ikili karakterle yazılabilir (5 rakamı kaydederiz):

Bu derste bu tür kodlamalar tartışılacaktır. Ama sırayla başlayalım.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Ondalık sayı sistemi

Bildiğiniz gibi sayılar rakamlardan oluşur ve yalnızca on rakam vardır, işte bunlar: Sadece on rakamı kullanarak büyük sayıları nasıl yazarsınız? Şimdi bunu göreceğiz ama önce tanımı hatırlayalım:.

Sayıları yazma yöntemine denir sayı sistemi Bilimsel kelime ölü hesaplaşma"Hesaplama" kelimesiyle uyumlu olan , zaten "sayıları yazmanın bir yolu" anlamına geliyor. Ancak matematikçiler bu ifadenin Sadece on rakamı kullanarak büyük sayıları nasıl yazarsınız? Şimdi bunu göreceğiz ama önce tanımı hatırlayalım: gösterim

253 sayısına bakın. Bu girdide sağdaki ilk sayı (adı küçük rakam) “üç birim”, beş “beş onluk” ve iki ( en anlamlı rakam) - “iki yüz”.

Sonuç: 253 = 2·100 + 5·10 + 3·1.

Biz diyoruz ki: "iki yüz elli üç".

Bu, toplama yoluyla elde edilen sayı anlamına gelir: iki yüz (2·100 =),

iki yüz beş onluk (5·10 = elli

) Ve üç birim (3 1 =).

üç Bir sayı gösteriminde bir rakamın anlamının şunlara bağlı olduğunu görüyoruz: pozisyonlar , rakamın bulunduğu yer. Sayıların konumları farklı olarak adlandırılır rakamlar

sayılar.

Küçük rakam birimleri ifade eder:

Sağdan ikinci rakam onlar anlamına gelir:

Sağdan üçüncü rakam yüz anlamına gelir:

Bir rakamın sayıya katkısının sağdan sola doğru arttığını görüyoruz. Bir sayı gösteriminde bir rakamın anlamının şunlara bağlı olduğunu görüyoruz: Bir rakamın bir sayıya katkısının bağlı olduğu sayı sistemleri kayıttaki numaralar çağrılır.

konumsal sayı sistemleri Bize tanıdık gelen sayı sistemi, gördüğümüz gibi konumsaldır. şunu unutmayın temel

10 rakamına (kullanılan rakam sayısına) dayanmaktadır.

En düşük rakam sayıdaki birim sayısını, sağdan ikinci rakam ise onluk rakamı (1.10) gösterir. Üçüncüsü yüzleri (10·10), dördüncüsü binleri (10·100) vb. gösterir.

Birimleri sayarız, birimlerin toplamı onluk olur (on birim bir onla değiştirilir), onlar toplamı yüzler olur (on onluk yüzle değiştirilir) vb. 10 sayısı olağan sayı sisteminin temelidir, bu yüzden ona denir. ondalık sistem veya sayı sistemine göre 10.

temel

2789 girişinin bir sayıya nasıl çevrildiğine tekrar bakın. Sayı toplanarak elde edilir mevduat

içindeki sayılar:

Her rakamın katkısı, bu rakamın sistemin tabanıyla ilişkili konuma bağlı bir faktörle çarpılmasıyla elde edilir.

Konum çarpanları aşağıdaki kural kullanılarak hesaplanır: 1 .

1. İlk (sağ) konumun çarpanı şuna eşittir: 10 2. Sonraki her konumun çarpanı, sistemin tabanı (sayı) çarpılarak elde edilir.

) önceki konumun çarpanı ile. Konum çarpanlarını çağıracağız pozisyon ağırlıkları , veya.

konumsal ölçekler

Sayı mevduat miktarına eşittir. Katkı, şeklin ve konum ağırlığının çarpımına eşittir. İlk konumun ağırlığı 1, ikinci konumun ağırlığı 10, üçüncü konumun ağırlığı 100 vb. Yani her pozisyonun ağırlığı (birincisi hariç), bir öncekinin ağırlığının sistemin tabanı ile çarpılmasıyla elde edilir. İlk pozisyonun ağırlığı bire eşittir. İşte böyle: Çoğalttılar, eklediler ve bundan şüphelenmediler! Sayıları yazdığımız ortaya çıktı! Sistemimizin tabanı neden 10'a eşit? Bu anlaşılabilir bir durum: Sonuçta 10 parmağımız var, bunları sırayla bükerek saymak uygun.

Ama senin gibi bir bilgisayar için zaten biliyorum ikili sistem daha tanıdıktır, yani ikinci tabana dayalı konumsal gösterim.

İkili sayı sistemi

İkili sayı sisteminde yalnızca iki rakam vardır:

Ondalık sistemde konum ağırlıkları on ile çarpılarak elde ediliyorsa, ikili sistemde iki ile çarpılarak elde edilir:

Görünüşe göre: 1011 2 = 1· 2 · 4 + 0· 2 · 2 + 1· 2 · 1 + 1· 1 .

İkili sistemde bunlar bir olarak sayılır, birler ikilere eklenir (iki bir, bir iki ile değiştirilir), ikiler dörde eklenir (iki iki, bir dört ile değiştirilir), vb.

Bir sayının hangi sistemde yazıldığını netleştirmeniz gerektiğinde, sistemin tabanı aşağıya eklenir:

1011 2 - sayı ikili sayı sisteminde yazılmıştır.

Ondalık sisteme dönüştürmek zor değil; sadece çarpma ve toplama işlemlerini yapmanız gerekiyor:

1011 2 = 1 2 · 4 + 0· 2 · 2 + 1· 2 · 1 + 1· 1 =

1.8 + 0.4 + 1.2 + 1.1 = 11 10.

İkiliden ondalığa dönüştürme

İkili sistemde sağdaki ilk sıradakinin katkısı 1, ikincideki - 2, üçüncüdeki - 4, dördüncüdeki - 8 vb. Sıfırların katkıları elbette konumlarına bakılmaksızın sıfırdır.

Aşağıdaki kuralı elde ederiz:

İkili sistemden ondalık sisteme geçmek için her bir ikili rakamın üstüne konumunun ağırlığını yazmanız ve üstünde yazan sayıları eklemeniz gerekir.

10111 2 = 16 + 4 + 2 + 1 = 23 10 .

Başka bir örnek, 100110 sayısı:

100110 2 = 32 + 4 + 2 = 38 10 .

Ondalık sayıdan ikili sayıya dönüştürme

Ondalık sistemden ikili sisteme dönüştürmek için konum ağırlıklarıyla aynı şemayı kullanacağız:

Diyelim ki 26 sayısını ikili sisteme dönüştürmemiz gerekiyor. İkili sayının başlangıcını (en anlamlı rakam) şemaya göre seçiyoruz. 32 çok fazla, o yüzden 16 ile başlayalım:

Orijinal sayının bir kısmı yani 16 kodlanmıştır, geriye kalan tek şey 26 – 16 = 10'u kodlamaktır. 8'i (mümkün olan en büyük konum ağırlığı) alın:

Geriye 10 – 8 = 2'yi kodlamak kalıyor. Dört çok fazla. 0 pozisyonuna yazıp 2 alıyoruz:

Sayının tamamını kodladık, bu da son rakamın sıfır olması gerektiği anlamına gelir:

Görünüşe göre: 26 10 = 11010 2.

Ondalık sistemden ikili sisteme dönüştürme kuralı aşağıdaki gibi formüle edilebilir.

Bu algoritmayı daha iyi anlamak için Test Cihazı tezgahında çalışın. Düğmeye tıklayın Sıfırla, numarayı çevirin. Daha sonra düğmeye basın Başlangıç: Test Cihazının ikili dönüşüm algoritmasını adım adım gerçekleştirdiğini göreceksiniz.

Lütfen unutmayın: algoritma kaydında yürütülecek öğe vurgulanır sonrasında bir düğmeye basmak Başlangıç. Örneğin, öğe vurgulanmışsa “Sayı sıfıra düşene kadar tekrarla”, ardından tıkladıktan sonra Başlangıç Test cihazı mevcut sayının sıfır olup olmadığını kontrol edecek ve tekrarlamaya devam edilip edilmeyeceğine karar verecektir.

(Elektronik uygulama sayfasında Test Cihazı ile çalışın.)

Diğer tabanlarla konumlandırma sistemleri

Vasya ondalık sistemi seviyor, bilgisayarı ikili sistemi seviyor ve meraklı matematikçiler farklı konumsal sayı sistemlerini seviyor çünkü sadece 2 veya 10 değil, herhangi bir sayıyı temel alabilirsiniz.

Örnek olarak üçlü sayı sistemini ele alalım.

Üçlü sayı sistemi

Üçlü sayı sistemi tahmin edebileceğiniz gibi üç rakamı kullanır:

Üçlü sistemde bunlar birim olarak sayılır, üçlülere birler eklenir (üç bir, yerine bir üç gelir), dokuza üçlü eklenir (üç üç, bir dokuzla değiştirilir), vb.

İlginç bir şekilde, 1958'de N.P. Brusentsov Moskova'da devlet üniversitesi“Setun” bilgisayarı yaratıldı ve sayılarla ikili değil, üçlü sayı sistemiyle çalıştı! “Setuni”nin ilk prototipi fotoğrafta gösterilmektedir:

Üçlü sayıyı ondalık sayıya dönüştürme

Üçlü sayı sistemindeki rakamların konumsal katkılarını şemada gösterelim:

Ondalık sisteme dönüştürmek için sayıları konum ağırlıklarıyla çarparak toplarız (tabii ki sıfır basamaklı konumlar çıkarılabilir):

10212 3 = 1 81 + 2· 9 + 1· 3 + 2· 1 = 104 10 .

İkili sistemde çarpma yapmadan yaptık (1 ile çarpmanın bir anlamı yok). Üçlü sistemde 2 sayısı vardır, dolayısıyla karşılık gelen konum ağırlıklarının iki katına çıkarılması gerekir.

Ondalık sayıdan üçlü sayıya dönüştürme

Diyelim ki 196 sayısını üçlü sisteme dönüştürmemiz gerekiyor. Diyagrama göre üçlü sayının başlangıcını seçiyoruz. 243 çok fazla, bu da 81 ve 2 sayısıyla başlayacağımız anlamına geliyor (2 81< 196):

Orijinal sayının bir kısmı yani 162 = 2 81 kodlanmış, geriye 196 – 162 = 34 kodlamak kalıyor. 27 ve 1 sayısını alın (2 sayısı 54 verir, bu çok fazla):

Geriye 34 - 1·27 = 7 kodlamak kalıyor. 9 ağırlıklı pozisyon çok fazla veriyor, içine 0 yazın ve 3 ağırlıklı ve 2 rakamlı pozisyonu alın:

Geriye sadece 7 – 2 3 = 1 kodlamak kalıyor. Bu tam olarak kalan düşük rakamın değeri:

Görünüşe göre: 196 10 = 21021 3.

Konumsal sistemler: temel kurallar

Konumsal sayı sistemlerinde sayıların oluşturulmasına ilişkin genel kuralları formüle edelim.

Sayı rakamla yazılır, örneğin:

Bir sayının değerini belirlemek için sayıları konumlarının ağırlıklarıyla çarpmanız ve sonuçları eklemeniz gerekir.

Pozisyonlar sağdan sola doğru numaralandırılmıştır. İlk pozisyonun ağırlığı 1'dir.

Sonraki her konumun ağırlığı, bir önceki konumun ağırlığının sistemin tabanıyla çarpılmasıyla elde edilir.

İkinci konumun ağırlığının her zaman sistemin tabanına eşit olduğu ortaya çıktı.

Sistemin tabanı bu sistemde kullanılan rakam sayısını gösterir. Yani 10'luk sistemde on basamak, 5'lik sistemde beş basamak vardır.

Bir örneğe bakalım. Eğer giriş

5 tabanlı sistemdeki bir sayı anlamına gelir, o zaman eşittir

3242 5 = 3 125 + 2· 25 + 4· 5 + 2· 1 = 447 10 .

6 tabanındaki aynı gösterim sayı anlamına gelir

3242 6 = 3 216 + 2· 36 + 4· 6 + 2· 1 = 746 10 .

Konumsal olmayan sayı sistemleri

Konumsal sayı sistemleri hemen ortaya çıkmadı; ilkel insanlar, bazı nesnelerin sayısını diğerlerinin sayısına eşit olarak belirlediler (çakıl taşları, sopalar, kemiklerle saydılar).

Daha uygun sayma yöntemleri de kullanıldı: çubuktaki çentikler, taştaki çizgiler, ipteki düğümler.

Bazen böyle bir sayı sistemi de kullanılır modern insanlarörneğin çentiklerle geçen günlerin sayısını not ederek.

Bu bir örnek konumsal olmayan birim sayı sistemi: saymak için kullanılır bir sayısı (taş, sopa, kemik, çizgi, düğüm...) ve bu sayının katkısı yerine (konumuna) bağlı değildir, her zaman bir birime eşittir.

Konumsal sayı sistemlerini kullanmanın çok daha kullanışlı olduğu açıktır.

Sayılarla ilgili eylemler

Herhangi bir tabana sahip konumsal sistemdeki sayılar üzerindeki işlemler, ondalık sistemdekiyle tamamen aynı şekilde gerçekleştirilir: karşılık gelen sayı sistemlerinin basamaklarının toplama ve çarpma tablolarına dayanırlar.

Eğer garip olurdu farklı sistemler Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin farklı şekilde yapılması gerekirdi! Sonuçta tüm sayı sistemlerinde sayılar aynı şekilde oluşturulur, bu da sayılar üzerinde yapılan işlemlerin aynı şekilde yapılması gerektiği anlamına gelir.

Birkaç örneğe bakalım.

Ek

5 + 7 = 12. En az anlamlı basamağa 2 yazıp bir sonraki basamağa bir ekliyoruz.

Sekizlik toplama tablosu oluşturalım:

Toplama tablosuna göre 5 + 7 = 14 8. En az anlamlı rakama 4 yazıp bir sonraki rakama bir ekliyoruz.

Çıkarma

İkinci rakamdan 1 alıp 15 sayısından 7 çıkarıyoruz. Benzer şekilde sekizli sistemde:

İkinci rakamdan 1 alıp 15 8 sayısından 7 çıkarıyoruz. 7. satırdaki toplama tablosunu kullanarak 15 sayısını buluyoruz. Karşılık gelen sütunun numarası, farkın sonucunu verir - 6 sayısı.

Bu muhtemelen örümceklerin kullanması için uygundur
sekizli sayı sistemi!

Çarpma

2.7 =14. 4 yazıyoruz ve 1 “akıl”a gidiyor (bir sonraki rakama ekleyin). 4.7 = 28. 9 ("akıl"dan 8 artı 1) yazıp 2'yi bir sonraki rakama taşıyoruz.

Sekizli çarpım tablosu oluşturalım:

2.7 = 16 8 . 6 yazıyoruz ve 1 “akıl”a gidiyor (bir sonraki rakama ekleyin). 4.7= 34 8 .

5 (“akıl”dan 4 artı 1) yazıp 3’ü bir sonraki rakama taşıyoruz.

Bölüm< 17 < 4·5, поэтому первая цифра результата - 3. Из 17 вычитаем 5·3 = 15. К разности 2 приписываем цифру 5, получается 25. 25 = 5 ·5. Из 25 вычитаем 25=5·5, получается 0 - деление закончено.

3.5

5. satırdaki çarpım tablosunda uygun sayı olan 17 8 = 5 3'ü buluyoruz:

Bu, sonucun ilk rakamının 3 olduğu anlamına gelir. 17 8'den 17 8 = 5·3 çıkarırız. 0 farkına son rakamı 5 atarız. 5 = 5 1. 5'ten 5 çıkarırsak 0 elde ederiz - bölme işlemi tamamlanır.

Sorular

1. “Sayı sistemi” terimini tanımlayın.

2. “Konumsal sayı sistemi” terimini tanımlayın.

3. Ondalık sayı sisteminde sayıların oluşturulması ilkelerini 548 sayısını örnek alarak açıklayınız.

4. Pozisyon ağırlığına ne denir?

Bize konum ağırlığını bulmak için kullanılan algoritmayı söyleyin.

Bir sayının ondalık gösteriminde sağdan üçüncü basamağın ağırlığı nedir? Peki ikili olarak? Peki üçlü olarak?

5. Kategori ile kastedilen nedir? 1532 ondalık sayısında 5 rakamının yeri nedir?

6. Adı verilen rakamın katkısı nedir? 7 sayısının 1745 10 sayısına katkısı nedir? Peki 4 sayısının 1432 5 sayısına katkısı nedir?

7. "Konumsal sayı sisteminin tabanı" terimini tanımlayın. Bu sistemdeki rakam sayısı ile ilgili bir sistemin temeli nasıldır? 5'li sayı sisteminde kaç rakam vardır? Ve onaltılık olarak? Peki ya 25'lik bir sistemde?

8. Bir sayının notasyonunda en küçük rakam nerede bulunur? Peki en büyüğü?

9. İkili bir sayıyı ondalık sayı sistemine dönüştürme algoritmasını açıklayın ve bu algoritmayı 101101 sayısı için uygulayın 2.

10. Ondalık bir sayının ikili sayı sistemine dönüştürülme algoritmasını açıklayınız ve bu algoritmayı 50 10 sayısı için uygulayınız.

11. Herhangi bir konumsal sayı sisteminden bir sayıyı ondalık sisteme nasıl dönüştürebilirim? 4 tabanlı bir sistem örneğini kullanarak bir açıklama oluşturun.

Ev ödevi
Seçenek 1. Bilgisayar olmadan, “kağıt üzerinde” gerçekleştirilir
1. İkili sayıları ondalık sayılarla değiştirerek tekerlemeleri okuyun:

Aferin yedim
100001 2 turta,
Evet, süzme peynirli her şey.
101000 2 fare yürüdü,

101000 2 groschen taşıdılar,

Ve 10 2 fare daha düz

10 2 groschen taşıdılar.

2) 100 3 + 100 5 =

2. İkili harfli bulmacaları çözün:

4) 33 4 + 44 5 =

5) 15 6 + 51 8 =

3. Hesaplamaları yapın ve cevabı ondalık gösterimle yazın:

1) 100 2 5 8 =

3) 10 9 10 100 – 10 900 =

4. Verilen sayıları belirtilen sayı sistemlerine dönüştürün:
Seçenek 2. Bilgisayarda gerçekleştirilir
1. Aşağıdaki problemi çözmek için bir aritmetik ifade yazın ve cevabı hesaplayın:
Akıllı kızımız Malvina
Pinokyo'ya sahip çıkıyor
Ve onun için aldım
Kapaklarda - Barmaley,
Her birinin fiyatı 101 2 ruble.
Satın aldığım cetvellerde,
101010 2 ruble yeterliydi.
Satın almaların maliyeti ne kadar oldu?
Düşünmek için yarım dakikanızı ayırın.

2. Bir şiirdeki sayıları tanıdık sayılara dönüştürmek için standart Hesap Makinesi programını kullanmayı deneyin ondalık gösterim (Görüş- Mühendislik, Çöp kutusu- bir sayının ikili gösterimi, Aralık- bir sayının ondalık gösterimi).

Hesap Makinesi'ni kullanarak sayıları ikili sayıdan ondalık sayıya ve tam tersi, ondalık sayıdan ikili sayıya dönüştürmek için algoritmalar yazın.

Seçenek 3. Meraklısı için

1. Herhangi bir konumsal sayı sisteminde 10 yazmanın bu sistemin tabanına eşit bir sayı anlamına geldiğini kanıtlayın. 2. Konumsal sayı sisteminin tabanını belirleyin B

1) 10 2. Konumsal sayı sisteminin tabanını belirleyin = 50 10 ;

2) 11 2. Konumsal sayı sisteminin tabanını belirleyin = 6 10 ;

3) 100 2. Konumsal sayı sisteminin tabanını belirleyin = 64 10 ;

4) 101 2. Konumsal sayı sisteminin tabanını belirleyin = 26 10 ;

5) 50 2. Konumsal sayı sisteminin tabanını belirleyin = 30 10 ;

6) 99 2. Konumsal sayı sisteminin tabanını belirleyin = 909 10 ;

7) 21 2. Konumsal sayı sisteminin tabanını belirleyin = 15 6 ;

her eşitlik için: 2. Konumsal sayı sisteminin tabanını belirleyin = 100 2. Konumsal sayı sisteminin tabanını belirleyin ;

8) 10 2· 2. Konumsal sayı sisteminin tabanını belirleyin = 22 2. Konumsal sayı sisteminin tabanını belirleyin ;

10) 14 2. Konumsal sayı sisteminin tabanını belirleyin· 2. Konumsal sayı sisteminin tabanını belirleyin = 104 2. Konumsal sayı sisteminin tabanını belirleyin .

9) 12 2·

p HİZALAMA=JUSTIFY">3. Onaltılı sayı sistemi 16 rakam kullanır. İlk on rakam ondalık sisteme denk gelir ve sonuncusu Latin alfabesinin harfleriyle gösterilir:

	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Anlam

Örneğin A8 16 sayısını ondalık sisteme çevirelim: 16 A8 16 = 10 1 = 168 10 .

+ 8· X:

1) 25 16 = X 10 ; 4) 170 10 = X 16 ;

Her görevde sayının değerini bulun X 10 ; 5) 2569 10 = X 16 ;

2) AB 16 = X 10 ; 6) 80 32 = X 16 .

3) FD16 =

4. Aşağıdaki görevleri tamamlayın.

1) İkinci pozisyonun ağırlığının 7 olduğu biliniyorsa sayı kaydında üçüncü pozisyonun ağırlığını bulun. Pozisyonlar sağdan sola doğru numaralandırılır.

2) Sayı sistemi 5 rakam kullanır.

Sayının notasyonunda sağdan dördüncü konumun ağırlığını bulun.

3) Sayı iki birim şeklinde yazılır: 11. Ondalık sistemde 21'e eşitse hangi sayı sisteminde yazılır? 4) Belirli bir sayı sisteminde sayı 100 gibi görünür. Ondalık sistemde sayı 2500 ise bu sayı sistemi kaç basamak kullanır? 5) İki sayı 100 olarak yazılır ancak

farklı nedenler

. Birinci sistemin tabanının ikincinin tabanından iki kat daha büyük olduğu biliniyor. Hangi sayı daha büyük ve kaç katı?

6) Bu sistemde yazılan 101 sayısının 37 ondalık sayı anlamına geldiği biliniyorsa sistemin tabanını bulunuz. 2. Konumsal sayı sisteminin tabanını belirleyin 7) Hangi sayı sisteminde bir sayıyı ikiye katlamak için gösterimin sağına sıfır eklemek gerekir? 2. Konumsal sayı sisteminin tabanını belirleyin.

8) Ondalık sistemde 10 ile çarpmak sayının sağına sıfır eklemek anlamına gelir.

10 ile çarpma kuralını formüle edin

1.a) 1021 4 + 333 4;

b) 3333 4 + 3210 4;

2.a) 321 4 – 123 4;

b) 1000 4 – 323 4;

3.a) 13 4 ·12 4;

b) 302 4 ·23 4;

4.a) 1123 4:13 4;

b) 112003 4:101 4.

7. İkili sayı sistemine ait toplama ve çarpım tablolarını oluşturabilecektir.

Bu tabloları kullanarak, bir sütundaki (ikili sayı sisteminde kalan) sayılar üzerinde aşağıdaki işlemleri gerçekleştirin:

1.a) 1001 2 + 1010 2;

b) 10111 2 + 1110 2;

2.a) 1110 2 – 101 2;

b) 10000 2 – 111 2;

3.a) 101 2 ·11 2;

b) 1110 2 101 2;

4.a) 1000110 2:101 2;

b) 100000100 2:1101 2 .

Atölye

Elektronik uygulamanın sayfalarında yüklenici Coder ile çalışın.

Alıştırmalar aşağıdaki görev gruplarını içerir:

Ondalık sayıya

1. İkiliden ondalığa

2. Üçlüden ondalığa

3. Beş kattan ondalığa

4. Onaltılı sayıdan ondalık sayıya

Ondalık sayıdan

1. Ondalıktan ikiliye

2. Ondalıktan üçlüye

3. Ondalıktan beşli sayıya

4. Ondalık sayıdan onaltılı sayıya

2. 1101 2 = ? 10

3. 11101 2 = ? 10

Test sınıfı 1

10. 1001 2 = ? 16

Test sınıfı 2

Öğretmenler için materyal

Konumsal sayı sistemleri

Konumsal sayı sisteminde bir sayı, özel karakterlerden oluşan bir zincir halinde yazılır: A 2 A 1 (1)

bir n bir n–1 ... Semboller bir ben isminde sayılarla Q. Sıfırdan başlayıp sayıdan bir eksik değerle biten sıralı sayılabilir miktarları belirtirler. isminde Q temel

sayı sistemleri. Yani eğer - taban, o zaman rakamların değerleri aralıkta (sınırlar dahil) bulunur. pozisyon ağırlıkları (1) rakamındaki rakamın konumuna denir.

konum

deşarj Not 1: Bu sayfalarda “pozisyon” tabiri tercih edilmiştir. Birincisi, "konum" kelimesi "konumsal sayı sistemi" kavramına çok iyi uyuyor; ikincisi, "konumsal ağırlık" veya "konum ağırlığı" terimi, "bit ağırlığı" veya "yer ağırlığı" teriminden daha iyi, daha net ve daha basit geliyor. Ancak öğretmen zaman zaman öğrencilere “pozisyon” ve “rütbe”nin eşdeğer terimler olduğunu hatırlatabilir ve hatırlatmalıdır. Not 2. Öğrenci metinlerinde verilen konumsal sayı sisteminin tanımı tam olarak doğru değildir. Rakamın katkısının sadece pozisyona bağlı olması yeterli değildir. Örneğin Roma sayı sisteminde bir rakamın katkısı da konuma bağlıdır (IV ve VI sayıları farklıdır), ancak bu sistem konumsal değildir. Kesin tanım gereği

Pozisyonlar sağdan sola doğru numaralandırılmıştır. İlk sırada bulunan numaraya denir en genç sayının son rakamı -.

daha yaşlı Her konumun kendisiyle ilişkili, ağırlığı diyeceğimiz bir numarası vardır ().

pozisyonun ağırlığı

Konum ağırlıkları aşağıdaki yinelemeli kurala göre belirlenir:

1. En alt konumun ağırlığı 1'dir.

2. Sonraki her konumun ağırlığı, bir önceki konumun ağırlığının sistemin tabanıyla çarpılmasıyla elde edilir. Qİzin vermek - sayı sisteminin temeli. O zaman konum ağırlıklarını hesaplama kuralı şu şekildedir: ben daha kısa olarak şu şekilde yazılabilir:

1. tekrarlanan formül 1 = 1.

2. - sayı sisteminin temeli. O zaman konum ağırlıklarını hesaplama kuralı şu şekildedir: = - sayı sisteminin temeli. O zaman konum ağırlıklarını hesaplama kuralı şu şekildedir: w Q–1 · Ben > 1).

(herkes için

Konumsal sayı sisteminde bir sayı, özel karakterlerden oluşan bir zincir halinde yazılır: A 2 A 1 (1)

Konumsal sayı sisteminde giriş sayı anlamına gelir, N toplamına eşit

sayıların çarpımı ve konum ağırlıkları: N=· BİR + N= w BİR–1 + ... + A sen tekrarlanan formül 2 + A 2 · tekrarlanan formül 1 . (2)

1 · Semboller· - sayı sisteminin temeli. O zaman konum ağırlıklarını hesaplama kuralı şu şekildedir: Bir rakamın çarpımı ve konum ağırlığı (ör. ) arayacağız.

sayıların konumsal katkısı

Formül (2), öğrencilere yönelik metinlerde önerilen sayıları bir sistemden diğerine dönüştürme kurallarının temelini oluşturur.
Ondalık sayı sisteminde sayılar on Arapça karakter kullanılarak yazılır: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Bu sistemin konum ağırlıkları: ..., 1000, 100, 10, 1'dir.

4627 10 = 4 1000 + 6 100 + 2 10 + 7 1.

İkili sayı sisteminde sayılar iki Arapça karakter kullanılarak yazılır: 0 ve 1. Bu sistemin konum ağırlıkları: ..., 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1'dir.

Örneğin, 10101 kaydının şifresi şu şekilde çözülür:

10101 2 = 1.16 + 0.8 + 1.4 + 0.2 + 1.1. - sayı sisteminin temeli. O zaman konum ağırlıklarını hesaplama kuralı şu şekildedir: = Ağırlıkların hesaplanmasında kullanılan özyinelemeli kuraldan şu sonucun çıktığını unutmayın: ki

sayıların çarpımı ve konum ağırlıkları: N=· –1 ve dolayısıyla (2) gösterimi, güç polinomu biçimindeki geleneksel gösterime eşdeğerdir:–1 + N= w –1 ve dolayısıyla (2) gösterimi, güç polinomu biçimindeki geleneksel gösterime eşdeğerdir:–2 + ... + A sen Q + A 1 . (3)

qn Bunu tümevarımla kanıtlayalım.İndüksiyon tabanı Ben en tekrarlanan formül 1 = Q 0 = 1.

= 1 doğrudan kontrol edilir: N:

Tümevarım hipotezi: ifadenin bazıları için doğru olmasına izin verin –1 ve dolayısıyla (2) gösterimi, güç polinomu biçimindeki geleneksel gösterime eşdeğerdir:–1 .

wn = N + 1.
için de doğru olacağını kanıtlayalım.

Yani eşitliğin geçerliliğini kanıtlıyoruz: –1 ve dolayısıyla (2) gösterimi, güç polinomu biçimindeki geleneksel gösterime eşdeğerdir:.

wn+1 = BİR+1 = BİR· Q Aslında, BİR = –1 ve dolayısıyla (2) gösterimi, güç polinomu biçimindeki geleneksel gösterime eşdeğerdir:(konum ağırlığının yinelemeli tanımıyla) ve

Yani eşitliğin geçerliliğini kanıtlıyoruz: BİR· Q = –1 ve dolayısıyla (2) gösterimi, güç polinomu biçimindeki geleneksel gösterime eşdeğerdir: w Q = –1 ve dolayısıyla (2) gösterimi, güç polinomu biçimindeki geleneksel gösterime eşdeğerdir:.

–1 tümevarım hipotezi ile. Görünüşe göre: Herhangi bir sayının (1) formunda temsil edilebileceğini kanıtlayalım (Teorem 1)

tek yol M(Teorem 2). Q > 1.

Teorem 1 (varlık). Herhangi bir sayı M = 0
herhangi biri için form (1)'de temsil edilebilir M Kanıt. Bunu tümevarımla kanıtlayalım. İçin Q Ve M= 1 İstenilen gösterimi oluşturmak kolaydır - bunlar sırasıyla 0 ve 1'dir (herhangi bir M> 1).

Diyelim ki sayıyı temsil etmeyi başardık –1 ve dolayısıyla (2) gösterimi, güç polinomu biçimindeki geleneksel gösterime eşdeğerdir:–1 + N= w –1 ve dolayısıyla (2) gösterimi, güç polinomu biçimindeki geleneksel gösterime eşdeğerdir:–2 + ... + A sen Q + A formda (1). Daha sonra bunun için bir temsil bulalım.

+ 1. Bunu yapmak için toplamı dönüştürmek yeterlidir A 1 < (Q BİR A(1)'i oluşturmak için 1 + 1. A " 1 = A 1 + 1.

+ 1. Bunu yapmak için toplamı dönüştürmek yeterlidir A 1 = (Q Eğer

Diyelim ki sayıyı temsil etmeyi başardık –1 ve dolayısıyla (2) gösterimi, güç polinomu biçimindeki geleneksel gösterime eşdeğerdir:–1), daha sonra rakam değiştirilerek istenilen gösterim elde edilir. N= w –1 ve dolayısıyla (2) gösterimi, güç polinomu biçimindeki geleneksel gösterime eşdeğerdir:–2 + ... + (A 2 + 1) Q + 0.

Daha sonra benzer şekilde tartışıyoruz. Eğer A 2 < (Q–1), daha sonra rakam değiştirilerek istenilen gösterim elde edilir. A 2 açık A " 2 = A 2 + 1. Eğer A 2 = (Q–1), sonra A 2'yi sıfırla değiştirip birini bir sonraki konuma taşıyoruz.

Veya bazılarında Ben < N inşaatı bitireceğiz veya 1000...0 - bir girişini alacağız ve N sağdaki sıfırlar. Kanıt tamamlandı.

Teorem 2'den önce lemmayı kanıtlıyoruz.

Lemma. Giriş (1)'deki sıfırdan farklı her rakamın katkısı, onun sağındaki rakamların katkılarının toplamını aşıyor.

Konumsal sayı sisteminde bir sayı, özel karakterlerden oluşan bir zincir halinde yazılır: A 2 A 1 . (1)

Kanıt. Bunu herhangi biri için kanıtlayalım N > 1:

Diyelim ki sayıyı temsil etmeyi başardık –1 ve dolayısıyla (2) gösterimi, güç polinomu biçimindeki geleneksel gösterime eşdeğerdir:–1 > N= w –1 ve dolayısıyla (2) gösterimi, güç polinomu biçimindeki geleneksel gösterime eşdeğerdir:–2 + ... + A sen Q+ A 1 .

Sayılar Semboller aralıkta yer alır, bu da eşitsizliği sol tarafta sıfırdan farklı en küçük rakamla ve sağda maksimum rakamlarla kanıtlamanın yeterli olduğu anlamına gelir:

q n–1 > ( Q–1)· –1 ve dolayısıyla (2) gösterimi, güç polinomu biçimindeki geleneksel gösterime eşdeğerdir:–2 + ... + (Q–1)· Q + (Q–1).

Sağ tarafta çarpanı çıkarıyoruz ( Q–1) braketin dışında:

(Q–1)· –1 ve dolayısıyla (2) gösterimi, güç polinomu biçimindeki geleneksel gösterime eşdeğerdir:–2 + ... + (Q–1)· Q + (Q–1) =

= (Q–1)·( –1 ve dolayısıyla (2) gösterimi, güç polinomu biçimindeki geleneksel gösterime eşdeğerdir:–2 + ... + Q + 1).

Son parantez içindeki geometrik ilerlemenin toplamını şu şekilde hesaplıyoruz: bilinen formül:

(Q–1)·( –1 ve dolayısıyla (2) gösterimi, güç polinomu biçimindeki geleneksel gösterime eşdeğerdir:–2 + ... + Q + 1) =

= (Q–1)·( –1 ve dolayısıyla (2) gösterimi, güç polinomu biçimindeki geleneksel gösterime eşdeğerdir:–1 –1)/(Q–1) = –1 ve dolayısıyla (2) gösterimi, güç polinomu biçimindeki geleneksel gösterime eşdeğerdir:–1 – 1.

Lemmayı kanıtlayan açık bir eşitsizlik elde ederiz:

qn–1 > –1 ve dolayısıyla (2) gösterimi, güç polinomu biçimindeki geleneksel gösterime eşdeğerdir:–1 – 1.

Teorem 2 (benzerlik). (1) formundaki bir sayı benzersiz bir şekilde temsil edilir.

Kanıt. Lemmadan, gösterimlerinde farklı sayıda basamak içeren sayıların (soldaki önemsiz sıfırlar dikkate alınmaz) eşit olamayacağı sonucu çıkar: daha fazla basamaklı bir sayı her zaman daha büyüktür. Yani, sadece şunu kanıtlamanız gerekiyor: Semboller eşit değil ben herkes için Ben 1'den N, ardından kayıtlar

Konumsal sayı sisteminde bir sayı, özel karakterlerden oluşan bir zincir halinde yazılır: A 2 A 1 (4)

b n b n–1 ... 2. Konumsal sayı sisteminin tabanını belirleyin 2 2. Konumsal sayı sisteminin tabanını belirleyin 1 (5)

aynı sayıyı temsil edemez.

Eşleşmeyen sayıları bulmak için (4) ve (5) numaralı girişlere soldan sağa bakalım. Bırak onlar olsun bir k herhangi biri için form (1)'de temsil edilebilir bk ve izin ver bir k – bk = D.

Açık k-kayıttaki yer farklıydı D· qk–1. Bu farkın sağdaki pozisyonların katkılarıyla telafi edilmesi gerekiyor. Ancak bu imkansızdır çünkü lemmaya göre sağda yer alan konumların katkılarının toplamı her zaman mevcut konumun katkısından daha azdır.

Teorem kanıtlandı.

Ondalık sayıya dönüştür Q Sayı tabanı sisteminden sayıları dönüştürmek için

sayıların çarpımı ve konum ağırlıkları: N=· BİR + N= w BİR–1 + ... + A sen tekrarlanan formül 2 + A 2 · tekrarlanan formül 1 (2)

ondalık sistemde, formül (2)'yi kullanarak çarpma ve toplama işlemlerini gerçekleştirebilirsiniz.

İkili sistemden dönüştürme yaparken yalnızca toplama işlemi yapılır (çünkü 1 ile çarpmanıza gerek yoktur). Böylece Okuma Odasında formüle edilen çeviri kuralını elde ediyoruz:

İkili sistemden ondalık sisteme geçmek için her bir ikili rakamın üstüne konumunun ağırlığını yazmanız ve üstünde yazan sayıları eklemeniz gerekir.

10111 2 = 16 + 4 + 2 + 1 = 23 10

Örneğin, 10111 sayısı için şunu elde ederiz: Genel kural Qçeviri

-ary sisteminden ondalık sisteme geçiş şu şekilde olur: Q Aktarılacak

-ary sistemini ondalık sisteme dönüştürmek için, konumunun ağırlığını her basamağın üzerine yazmanız ve basamakların çarpımlarının toplamını konum ağırlıklarına göre bulmanız (yani konumsal katkıların toplamını bulmanız) gerekir.

Sayıları konum ağırlıklarıyla çarparak topluyoruz (tabii ki sıfır basamaklı konumlar çıkarılabilir):

10212 3 = 1 81 + 2· 9 + 1· 3 + 2· 1 = 104 10 .

Şuraya aktar: Q-kişisel

Sayıları ondalık sistemden temel sisteme dönüştürmek için Q Formül (2)'ye güvenmeye devam edeceğiz:

sayıların çarpımı ve konum ağırlıkları: N=· BİR + N= w BİR–1 + ... + A sen tekrarlanan formül 2 + A 2 · tekrarlanan formül 1 . (2)

Çeviri algoritması.

I. Sayı sıfıra düşene kadar tekrarlayın:

1. Ağırlığı mevcut sayıdan fazla olmayan soldaki ilk konumu bulun. Mümkün olan maksimum sayıyı, konumsal katkısının (sayı ile ağırlığın çarpımı) mevcut sayıyı aşmadığı bir konuma yazın.

2. Oluşturulan konumun katkısıyla mevcut sayıyı azaltın.

II. Oluşturulan sayıların doldurmadığı yerlere sıfır yazın.

Her pozisyonda mümkün olan maksimum rakam alınır, çünkü lemmaya göre bu rakamın katkısı sağdaki rakamlarla telafi edilemez. Algoritma, bir sayının (1) biçimindeki gösteriminin kanıtlanmış varlığı (Teorem 1) ve benzersizliği (Teorem 2) nedeniyle çalışacaktır.

İkili bir sistem için öğrenci materyalinde verilen algoritmanın bir versiyonunu elde ederiz.

İkiliye dönüştürmek için ikili rakamların ağırlıklarını içeren bir şablon oluşturmanız gerekir:

Sayı aşağıdaki algoritma kullanılarak dönüştürülür:

I. Sayı sıfıra düşene kadar tekrarlayın:

1. Ağırlığı mevcut sayıdan büyük olmayan soldaki ilk konuma 1 yazın.

2. Mevcut sayıyı, inşa edilen ünitenin ağırlığı kadar azaltın.

II. Birlerin işgal etmediği konumlara sıfır yazın.

Uygulamada, bu çeviri yönteminin, kalanları bulmaya yönelik geleneksel algoritmadan çok daha basit ve daha hızlı olduğu ortaya çıkıyor.

Ondalık sistemden üçlü sisteme geçiş yaparken hem konum ağırlıklarının kendisini hem de bunların iki katını hesaba katmak gerekir. Hızlı çeviri için, sayıdaki konumuna bağlı olarak satırları rakamların konumlarına, sütunları rakamlara ve hücreleri rakamın sayıya katkılarına karşılık gelen bir tablo oluşturabilirsiniz. kayıt:

pozisyon 729
pozisyon 243
konum 81
pozisyon 27
konum 9
konum 3
pozisyon 1

Diyelim ki 243. konumdaki 2 sayısının katkısı 486, 9. konumdaki 18 sayısının katkısı olsun.

Üçlü sisteme dönüştürmek için tabloyu satır satır inceleyerek arama yapmanız gerekir. en büyük sayı mevcut değeri aşamaz.

Örneğin 183 sayısını üçlü sisteme çevirelim. Uygun değer üçüncü satır ve birinci sütunda yer almaktadır:

pozisyon 729
pozisyon 243
konum 81
pozisyon 27
konum 9
konum 3
pozisyon 1

Bu, üçlü bir sayının 2 sayısıyla başladığı anlamına gelir:

183 10 = 202?? 3

21–18 = 3 sayısı için tablo tam anlamını taşımaktadır, çeviri tamamlanmıştır:

183 10 = 20210 3 .

Daha büyük tabanlı sistemler için karşılık gelen tablolar elbette daha büyük olacaktır. Son örnek olarak onaltılık sayı sistemine dönüşüm için bir tablo oluşturalım:

Diyelim ki 4255 sayısını hexadecimale çevirmemiz gerekiyor. Orijinal 4255 sayısını geçmeyecek ilk sayıyı tabloya (soldan sağa, üstten başlayarak) bakıyoruz:

4096 pozisyonunda ilk rakam olan 1'i alıyoruz:

Geriye 4255 – 4096 = 159’u kodlamak kalıyor.

256. satırı atlıyoruz (karşılık gelen sayı 0 olacaktır) ve 16. satırda uygun 144 değerini buluyoruz:

256 ve 16 numaralı konumlarda sayılar alıyoruz:

Geriye 159 – 144 = 15’i kodlamak kalır. Bunun en düşük rakamın değeri olduğu açıktır:

Görünüşe göre: 4255 10 = 109F 16.

Sayılarla ilgili eylemler

Bu bölüm öğrenci materyalinde giriş niteliğinde şematik olarak sunulmaktadır.

Konu ayrı, geniş ve yeterli bir konuya ayrılabilir ilginç ders, ama zaten çok fazla malzeme vardı - enginliği kavramak zor!

Basit, giriş niteliğinde bir versiyonda, herhangi bir sayı sistemindeki sayılar üzerinde yapılan işlemlerin, ondalık sistemdekiyle tamamen aynı şekilde gerçekleştirildiği gösterilmiştir. Aksi olsaydı garip olurdu, çünkü tüm konumsal sistemlerdeki sayılar aynı kurallara göre oluşturulmuştur, bu da onlar üzerindeki eylemlerin aynı şekilde yapılması gerektiği anlamına gelir.

Bu bölüm 3. seçenekteki ev ödevleri ile desteklenmektedir. Bu alıştırmalar meraklı öğrencilere bireysel ödevler olarak önerilebilir.

Gösterim belirli bir özel karakter (rakam) kümesini kullanarak bir sayı yazma yöntemidir.

Gösterim:

• bir sayı kümesinin (tamsayılar ve/veya gerçek sayılar) temsilini verir;

• her sayıya benzersiz bir temsil (veya en azından standart bir temsil) verir;

• Bir sayının cebirsel ve aritmetik yapısını gösterir.

Bir sayı sisteminde bir sayının yazılmasına ne ad verilir? numara kodu.

Sayı ekranında ayrı bir pozisyona denir deşarj, yani konum numarası rütbe numarası.

Bir sayının basamak sayısına denir bit derinliği ve uzunluğuna karşılık gelir.

Sayı sistemleri ikiye ayrılır konumsal Ve konumsal olmayan. Konumsal sayı sistemleri bölünmüştür

Açık homojen Ve karışık.

sekizli sayı sistemi, onaltılık sayı sistemi ve diğer sayı sistemleri.

Sayı sistemlerinin çevirisi. Sayılar bir sayı sisteminden diğerine dönüştürülebilir.

Sayı yazışma tablosu çeşitli sistemler Hesaplaşma.