Bölüm 4. Bilgisayarların Aritmetik Temelleri

4.1. Sayı sistemi nedir?

Konumsal ve konumsal olmayan sayı sistemleri vardır.

Konumsal olmayan sayı sistemlerinde bir basamağın ağırlığı (yani sayının değerine yaptığı katkı) onun pozisyonuna bağlı değil sayının gösteriminde. Yani, XXXII (otuz iki) sayısındaki Romen rakam sisteminde, X şeklinin herhangi bir konumdaki ağırlığı sadece on'dur.

Konumsal sayı sistemlerinde her basamağın ağırlığı, sayıyı temsil eden basamak dizisindeki konumuna (konumuna) bağlı olarak değişir. Örneğin, 757.7 sayısında, ilk yedi, 7 yüz, ikinci - 7 birim ve üçüncü - 7'nin onda biri anlamına gelir.

757.7 sayısının aynı gösterimi, kısa bir ifade anlamına gelir.

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 . 10 2 + 5 . 10 1 + 7 . 10 0 + 7 . 10 -1 = 757,7.

Herhangi bir konumsal sayı sistemi şu şekilde karakterize edilir: temel.

Sistemin temeli için, herhangi birini alabilirsiniz. doğal sayı- iki, üç, dört, vb. Sonuç olarak, sayısız konumlandırma sistemi mümkün: ikili, üçlü, dörtlü vb. Sayı tabanı sistemlerinin her birine sayı yazma Q steno ifadesi anlamına gelir

a n-1 Q n-1 + bir n-2 Q n-2 + ... + bir 1 Q 1 + bir 0 Q 0 + bir -1 Q -1 + ... + bir -m Q -m ,

nerede a ben - sayısal sayılar; n ve m - sırasıyla tamsayı ve kesirli basamak sayısı.
Örneğin:

4.2. Konumsal sayı sistemlerinde tam sayılar nasıl üretilir?

Her sayı sisteminde sayılar anlamlarına göre sıralanır: 1, 0'dan büyüktür, 2, 1'den büyüktür, vb.

1 sayısını ilerletmek, 2 ile değiştirmek, 2 sayısını ilerletmek, 3 ile değiştirmek vb. Yüksek Rakamlı Promosyon(örneğin, ondalık olarak 9 sayıları) 0 ile değiştirmek anlamına gelir... Yalnızca 0 ve 1 olmak üzere iki basamak kullanan bir ikili sistemde, 0'ı ilerletmek onu 1 ile değiştirmek anlamına gelir ve 1'i ilerletmek onu 0 ile değiştirmek anlamına gelir.

Herhangi bir sayı sistemindeki tamsayılar kullanılarak oluşturulur Hesap kuralları [44 ]:

Bu kuralı uygulayarak ilk on tamsayıyı yazalım.

ikili olarak: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

üçlü sistemde: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

beşli sistemde: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

sekizli: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

4.3. Uzmanlar bir bilgisayarla iletişim kurmak için hangi sayı sistemlerini kullanır?

Ondalık sayıya ek olarak, sayı tabanına sahip sistemler yaygın olarak kullanılmaktadır. tam derece 2 numara, yani:

ikili(0, 1 sayıları kullanılır);

sekizli(0, 1, ..., 7 sayıları kullanılır);

onaltılık(sıfırdan dokuza kadar olan ilk tamsayılar için 0, 1, ..., 9 rakamları ve ondan on beşe kadar olan sonraki tam sayılar için A, B, C, D, E, F karakterleri kullanılır. rakamlar).

İlk iki onluk tamsayı için bu sayı sistemlerindeki girişi hatırlamakta fayda var:

Tüm sayı sistemlerinden özellikle basit ve bu nedenle bilgisayar ikili sayı sisteminde teknik uygulama için ilginç.

4.4. İnsanlar neden ondalık sayı kullanıyor ve bilgisayarlar ikili kullanıyor?

İnsanlar ondalık sistemi tercih ediyor, çünkü muhtemelen eski zamanlardan beri parmaklarıyla sayıyorlar ve insanların ellerinde ve ayaklarında on parmak var. Her zaman ve her yerde insanlar ondalık sayı sistemini kullanmazlar. Örneğin Çin'de uzun süre beşli sayı sistemi kullanıldı.

Ve bilgisayarlar, diğer sistemlere göre bir takım avantajları olduğu için ikili bir sistem kullanır:

uygulamak için ihtiyacınız iki sabit durumlu teknik cihazlar(bir akım var - akım yok, mıknatıslanmış - mıknatıslanmamış vb.) ve örneğin ondalık olarak on ile değil;

bilginin sadece iki durum aracılığıyla sunulması güvenilir bir şekilde ve sıkışma önleyici;

Belki Boole Cebir Aparatı Uygulaması bilginin mantıksal dönüşümlerini gerçekleştirmek;

ikili aritmetik, ondalık sayıdan çok daha basittir.

İkili sistemin dezavantajı, basamak sayısında hızlı artış sayıları yazmak için gereklidir.

4.5. Bilgisayarlar neden sekizli ve onaltılı sayı sistemlerini de kullanır?

Bilgisayarlar için uygun bir ikili sistem, hantallığı ve olağandışı kaydı nedeniyle insanlar için elverişsizdir.

Sayıları ondalıktan ikiliye ve tam tersine çevirmek makine tarafından yapılır. Ancak, bir bilgisayarı profesyonel olarak kullanmak için makine kelimesini anlamayı öğrenmelisiniz. Bunun için sekizli ve onaltılı sistemler geliştirilmiştir.

Bu sistemlerdeki sayılar neredeyse ondalık sayılar kadar kolay okunur, sırasıyla ikili sistemdekinden üç (sekizlik) ve dört (onaltılık) kat daha az basamak gerektirirler (sonuçta, sırasıyla 8 ve 16 sayıları, üçüncü sayılardır). ve 2) sayısının dördüncü kuvvetleri ...

Örneğin:

Örneğin,

4.6. Bir tamsayı ondalık sistemden başka herhangi bir konumsal sayı sistemine nasıl dönüştürülür?

Örnek: 75 sayısını ondalık sistemden ikili, sekizli ve onaltılı sisteme çevirelim:

Cevap: 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16.

4.7. Doğru ondalık sayı, başka herhangi bir konumsal sayı sistemine nasıl çevrilir?

Doğru ondalık sayıyı çevirmek içinF kök salmakQ gerekliF ile çarpmakQ aynı ondalık sistemde yazıldığında, kesirli kısım ortaya çıkan ürünün tekrar çarpımıQ, ve böylece, bir sonraki ürünün kesirli kısmı sıfıra eşit olana veya sayının gerekli doğruluğu elde edilene kadar F içindeQ - eşleştirilmiş sistem. Bir sayının kesirli kısmının gösterimiF içinde yeni sistem hesap, alınan eserlerin tüm bölümlerinin, alındıkları sıraya göre yazılmış ve bir kişi tarafından tasvir edilmiş bir dizisi olacaktır. Q -bir sayı. Sayı dönüşümünün gerekli hassasiyeti iseF dır-dirk ondalık basamak, sonra maksimum mutlak hata eşittirQ - (k + 1) / 2.

Örnek. 0.36 sayısını ondalık sistemden ikili, sekizli ve onaltılı sisteme çevirelim:

4.8. Bir sayı ikiliden (sekizlik, onaltılık) ondalık sayıya nasıl dönüştürülür?

Ondalık dönüştürmex kaydedilmişQ -ary sayı sistemi (Q = 2, 8 veya 16) şeklindex Q = (bir n a n-1 ... a 0 , a -1 a -2 ... a -m ) Q polinomun değerini hesaplamaya indirgenir x 10 = bir n Q n + bir n-1 Q n-1 + ... + bir 0 Q 0 + bir -1 Q -1 + bir -2 Q -2 + ... + bir -m Q -m ondalık aritmetik yoluyla.

Örnekler:

4.9. Bir sayı sisteminden diğerine tam sayıların çevirilerinin özet tablosu

Yalnızca bilgisayarlarda kullanılan sayı sistemlerini düşünün - ondalık, ikili, sekizli ve onaltılı. Kesinlik için, örneğin 46 gibi keyfi bir ondalık sayı alırız ve bunun için bir sayı sisteminden diğerine olası tüm ardışık çevirileri yaparız. Çevirilerin sırası şekle göre belirlenir:

Bu şekil aşağıdaki kuralları kullanır:

sayı sistemlerinin tabanları daire içine alınır;

oklar, çevirinin yönünü gösterir;

okun yanındaki sayı, özet tablo 4.1'deki ilgili örneğin seri numarası anlamına gelir.

Örneğin: tabloda sıra numarası 6 olan ikiliden onaltılıya çeviri anlamına gelir.

Tamsayı çevirilerinin pivot tablosu2bölümler- istatistik teorisi ... istatistik, bilişim disiplinler olarak ... KR (elektronik versiyon sürümleri). ".... EP Mikroekonomik istatistikler: Ders kitabı. ödenek... - M.: Delo, 2000. ... dergi. internet- Rosstat web siteleri ...

& bilgi kaynaklarının açık veritabanlarının oluşturulması &

Bildiri

Referans sürümleri. Bibliyografik faydalar. Bölüm 1. Uzlaşma prosedürlerinin referans yayınları. internet-versiyon dergi erişim sağlar ... URSS / internet-Dükkan içeriritibaren2 departmanlar: ... Büro uzmanları bilişim ve telekomünikasyon...

gösterim verilen bir dizi özel karakter (sayı) kullanarak sayıları yazmanın bir yoludur.

Belirli bir sayı sisteminde bir sayı yazmaya denir numara kodu.

Bir sayının görüntüsündeki ayrı bir konuma genellikle denir deşarj, ve pozisyon numarası bit numarasıdır. Bir sayıdaki bit sayısı bit genişliği olarak adlandırılır ve uzunluğu ile çakışır.

Konumsal ve konumsal olmayan sistemler vardır. .

Konumsal olmayan sistemlerde hesaplaşma basamağın ağırlığı konuma bağlı değildir, hangi sayı sıralanır. Yani, örneğin, XXXII (otuz iki) sayısındaki Romen rakam sisteminde, X rakamının herhangi bir konumdaki ağırlığı sadece on'dur.

Konumsal olmayan bir sayı sistemine bir örnek Roman'dır. Roma sisteminde sayılar şunlardır: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000).
Romen rakam sisteminde bir sayının büyüklüğü, sayıdaki rakamların toplamı veya farkı olarak tanımlanır. Küçük rakam büyük rakamın solundaysa çıkarılır, sağdaysa eklenir.
Örnek:

CCXXXII = 232
IX = 9

Konumsal sistemlerde hesaplaşma her basamağın ağırlığı değişir sayıyı temsil eden basamak dizisindeki konumuna bağlı olarak.
Herhangi bir konumsal sistem, tabanı ile karakterize edilir.
Konumsal sayı sisteminin temeli, belirli bir sistemdeki sayıları temsil etmek için kullanılan farklı işaret veya sembollerin sayısıdır.
Herhangi bir doğal sayı taban olarak alınabilir - iki, üç, dört, on altı, vb. Bu nedenle, sonsuz sayıda konumsal sistem mümkündür.

Konumsal sayı sistemine örnekler ikili, ondalık, sekizlik, onaltılık vb.

NS Ondalık sayı sistemi.

İÇİNDE bu sistemin 10 basamağı vardır: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ancak bilgi sadece rakam tarafından değil, aynı zamanda rakamın bulunduğu yer (yani, konum). Sayının en sağdaki basamağı birlerin sayısını, sağdan ikincisini - onlarca sayısını, sonraki - yüzlerce sayısını vb.

Örnek:
333 10 = 3*100 + 3*10+3*1 = 300 + 30 + 3

İkili sayı sistemi.

Bu sistemde sadece iki rakam vardır - 0 ve 1. Sistemin tabanı 2'dir. Sayının en sağdaki rakamı birlerin sayısını, bir sonraki rakam ikililerin sayısını, sonraki rakam ise ikilerin sayısını gösterir. dörtlü, vb. İkili sayı sistemi, herhangi bir doğal sayıyı kodlamanıza izin verir - onu sıfırlar ve birler dizisi olarak temsil etmek için.

Örnek:
1011 2 = 1*2^3 + 0*2*2+1*2^1+1*2^0 =1*8 + 1*2+1=11 10

Sekizli sayı sistemi. Bu sayı sisteminde 8 basamak vardır: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Örneğin, 611 (sekizlik) sayısını ikili sisteme dönüştürmek için, her basamağı eşdeğer ikili üçlü ile değiştirmelisiniz. (üç hane). Çok basamaklı bir ikili sayıyı sekizlik sisteme çevirmek için, onu sağdan sola üçlülere bölmeniz ve her üçlüyü karşılık gelen sekizlik basamakla değiştirmeniz gerektiğini tahmin etmek kolaydır.

Örnek:

6118 =011 001 001 2

1 110 011 101 2 = 1435 8 ​​​​(4 triad)

Onaltılık sayı sistemi.
Sekizli sistemde bir sayı yazmak oldukça kompakttır, ancak onaltılık sistemde daha da kompakttır. Normal sayılar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 16 onaltılık basamağın ilk 10'u olarak alınır, ancak Latin alfabesinin ilk harfleri kalan 6 basamak olarak kullanılır: A , B, C, D, E, F. Onaltılıdan ikiliye veya tam tersine dönüşüm, sekizli için yapıldığı gibi yapılır.

Tam sayıları diğer sayı sistemlerine dönüştürme

10 tabanlı bir tamsayı, kalan elde edilene kadar sayının 2 tabanına sırayla bölünmesiyle 2 tabanına dönüştürülür. Bölme işleminden elde edilen kalanlar ve son bölüm, bölme işleminin tersi sırayla yazılır. Oluşturulan sayı, N2 tabanlı bir sayı olacaktır.

Sayıları ondalık sayıya dönüştürme sayının çevrildiği sistemin tabanı ile bir güç serisi çizilerek gerçekleştirilir. Daha sonra toplamın değeri hesaplanır.

a) 10101101 s.

101011012 = 1*2^7+ 0*2^6+ 1*2^5+ 0*2^4+ 1*2^3+ 1*2^2+ 0*2^1+ 1*2^0 = 173

b) 7038'i tercüme edin.

7038 = 7*8^2+ 0*8^1+ 3*8^0= 451

c) B2E16'yı çevirin.

B2E16 = 11 * 16 ^ 2 + 2 * 16 ^ 1 + 14 * 16 ^ 0 = 2862

Yaprak ile tanışma

Mucit Listik, sayıları iletmek için bir cihaz buldu. Cihazı, kısa ve uzun sinyaller zinciri şeklinde mesajlar iletti. Listik notlarında “0” rakamıyla kısa bir sinyal ve “1” rakamıyla uzun bir sinyal verdi. Numaraları iletirken, her rakam için aşağıdaki kodu kullandı:

1 ve 2 rakamlarından oluşan 12 rakamı, Leaflet iletim için şöyle yazdı:

Cihaz bu mesajı bu tür sinyaller zincirinde iletti: üç kısa, bir uzun, iki kısa, bir uzun ve bir kısa.

Listik sistemine göre 77 sayısı şu şekilde kodlanmıştır:

bilgi kodlama

Kodlama, bilginin iletilmesi veya saklanması için uygun bir forma çevrilmesidir.

Örneğin, metinler harfler ve noktalama işaretleri kullanılarak kodlanır. Ayrıca, aynı kayıt farklı şekillerde kodlanabilir: Rusça, İngilizce, Çince ...

Sayılar, sayılar kullanılarak kodlanmıştır. Alışık olduğumuz sayılara Arapça sayılar denir. Bazen Romen rakamları kullanılır. Bu durumda, bilgi kodlama yöntemi değişir. Örneğin, 12 ve XII Farklı yollar Aynı numaranın kayıtları.

Müzik, özel karakterler - notlar kullanılarak kodlanabilir. Yol işaretleri, piktogramlar kullanarak sürücülere ve yayalara kodlanmış mesajlardır.

Mağazadaki ürünler, ürün ve üreticisi hakkında bilgileri içeren bir barkodla işaretlenir.

Barkod, bilgileri teknik cihazlar tarafından okunması kolay bir biçimde kodlayan siyah beyaz şeritler dizisidir. Ayrıca barkodun altına bir dizi numara yerleştirilebilir.

Bilgi her zaman kodlar şeklinde saklanır ve iletilir. Bir taşıyıcı olmadan sadece bilgi depolayamazsınız. Aynı şekilde, sadece bilgiyi depolamak ve iletmek imkansızdır: her zaman bir biçimi vardır, yani kodlanmıştır.

ikili kodlama

İkili kodlama, sıfırlar ve birler kullanılarak bilgilerin kodlanmasıdır. İçin bilgisayar Teknolojisi bu şekilde bilgi sunmanın çok uygun olduğu ortaya çıktı.

Mesele şu ki, bilgisayarlar iki olası durumda olabilen öğeler üzerine kuruludur. Böyle bir durum 0 sayısı, diğeri 1 sayısı ile belirtilir.

İkili aygıta bir örnek, sıradan bir ampuldür. İki durumdan birinde olabilir: açık (durum 1) veya kapalı (durum 0).

Ampuller üzerinde elektrik belleği oluşturabilir ve örneğin Leaf'in ikili kodunu kullanarak sayıları saklayabilirsiniz.

Her ondalık basamağı saklamak için dört ampul gerekir. 6 sayısını şu şekilde hatırlayabilirsiniz:

Anahtarları istediğiniz konuma getirin - hadi çay içelim! Elektrik kapatılmazsa, bilgiler kaydedilecektir.

Ampuller elbette bilgisayar üretimi için uygun değildir: büyüktürler, çabuk yanarlar, pahalıdırlar (sonuçta milyonlarcası vardır) ve çevreyi çok ısıtırlar.

Modern bilgisayarlarda, bir elektronik cihaz, bir transistör, bir bellek elemanı olarak kullanılır.

Transistör kendi içinden akımı geçirebilir (durum 1) veya geçemez (durum 0).

Her transistörün ayrı ayrı üretildiği ve boyut olarak önemli olduğu bir zaman vardı.

Artık transistörler, diğer elektronik elemanlar gibi, fotoğraf baskısına benzer bir şekilde yapılmaktadır. Bir mikrodevre bir tırnağın boyutunda, birkaç milyon transistör “basılabilir”.

Listik'in mesajları kodlamak için kullandığı kod, aslında bir bilgisayardaki sayılarla çalışmak için kullanılıyor.

İkili kodlama ile, bu tabloya hiç bakmanız gerekmez, ancak ikili kodu ondalık basamağa çevirmek için basit kuralı unutmayın.

Sağda ilk sırada yer alan kodda numarayı veriyor.
lo 1, ikinci - 2, üçüncü - 4, dördüncü - 8. Ondalık basamağı elde etmek için sayılar eklenir. Örneğin, “0101” kodu 5 rakamına çevrilir (4 ve 1 sayılarının toplamı).

Aynı kural kod çözme için de kullanılabilir. Örneğin 6 rakamı 4 ve 2 rakamlarının toplamı olarak yazılır, bu da kodunun “0110” olacağı anlamına gelir.

Antik Babil'de kullanılan sayı sistemiyle yazılmış sayıların yazılı olduğu bir tablet. 1700 civarında 1945'te deşifre edildi.

Sayı sistemleri

Yaprak kodu ve sayıların kodlanması

Önceki ders, sıfırları ve birleri kullanarak sayıları nasıl yazacağınızı gösterdi. broşür kodlar her rakam Dört numara ikili işaretler.

Böylece, Leaf kodundaki 102 sayısı 12 ikili karakter kullanılarak yazılır:

broşür kodlar ayrı ayrı 10 basamaktan her biri ve bunun için 4 ikili basamak kullanır. Ancak dört ikili karakter 10 değil, 16 değeri kodlayabilir:

6 Yaprak kodun (10'un yarısından fazlası) boşa gittiği ortaya çıktı!

Daha ekonomik kodlama yapmak mümkün mü?

kodlarsan yapabilirsin sayılar değil(bunların sayısı toplanır) ve hemen sayılar! Bu nedenle, bu kodlama yöntemiyle 102 sayısı on iki değil, yalnızca yedi ikili basamakla yazılabilir (5 basamak kaydederiz):

Bu kodlama bu eğitimde ele alınacaktır. Ama sırayla başlayalım.

Ondalık sayı sistemi

Bildiğiniz gibi, sayılar sayılardan oluşur ve sadece on sayı vardır, işte bunlar:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Sadece on basamaklı büyük sayılar nasıl yazılabilir? Bunu şimdi göreceğiz, ama önce tanımı hatırlayalım:

Sayı yazma yöntemine denir. sayı sistemi.

bilimsel kelime ölü hesaplaşma, "hesaplama" kelimesiyle uyumlu, zaten "sayıları yazmanın bir yolu" anlamına gelir. Ama matematikçilere öyle geliyordu ki, bu ifade gösterim kulağa daha iyi geliyor. Boş ver, bu iki kelimelik terimde ustalaşacağız! Şimdi bununla ilgilenelim sayı sistemi, alıştıkları.

253 numarasına bakın. Bu girişte, sağdaki ilk rakam (buna denir. en az anlamlı rakam) “üç birlik”, beş “beş onluk” ve iki ( en yüksek rakam) - "iki yüz".

Görünüşe göre: 253 = 2 · 100 + 5 · 10 + 3 · 1.

Biz konuşuruz: "İki yüz elli üç"... Bu, aşağıdakilerin eklenmesiyle elde edilen sayı anlamına gelir:

iki yüz (2 100 = iki yüz),

beş düzine (5 10 = elli) ve

üç birim (3 1 = üç).

Sayı kaydındaki basamağın değerinin neye bağlı olduğunu görüyoruz. pozisyonlar rakamın bulunduğu yer. Rakam konumları farklı şekilde adlandırılır deşarj sayılar.

En az anlamlı basamak, birimler anlamına gelir:

Sağdan ikinci rakam onlarca anlamına gelir:

Sağdan üçüncü rakam yüzlerce anlamına gelir:

Rakamın sayıya katkısının sağdan sola doğru arttığını görüyoruz.

Bir rakamın bir sayıya katkısının bağlı olduğu sayı sistemleri pozisyonlar girişteki numaralar denir konumsal sayı sistemleri.

Bize tanıdık gelen sayı sistemi, gördüğümüz gibi konumsaldır. Şuna dikkat edin: temel 10 numara olması gerekiyordu - kullanılan basamak sayısı.

En alttaki basamak, sayıdaki birim sayısını, sağdan ikinci - onlarca (1 · 10) sayısını gösterir. Üçüncüsü yüzleri (10 10), dördüncüsü binleri (10 100) vb. gösterir.

Birimler olarak sayılırız, birimler onlar kadar (on birim bir on ile değiştirilir), onlarca - yüzlerce (on onluk yüz ile değiştirilir) vb.

10 sayısı, normal sayı sisteminin temelidir, bu nedenle denir. ondalık sistem veya sayı sistemine göre temel 10.

2789'un bir sayıya nasıl çevrildiğine tekrar bakın.

Sayı eklenerek elde edilir. mevduat içinde yer alan sayılar:

Her basamağın katkısı, o basamağın sistemin yarıçapıyla ilişkili konuma bağlı bir çarpanla çarpılmasıyla elde edilir.

Konum çarpanları aşağıdaki kurala göre hesaplanır:

1. İlk (sağ) konumun çarpanı 1 .

2. Her bir sonraki konumun çarpanı, sistemin tabanı (sayı) çarpılarak elde edilir. 10 ) önceki konumun bir faktörü ile.

Konum çarpanları çağrılacak pozisyonların ağırlıkları, veya konumsal ağırlıklar.

Sayı, mevduatların toplamına eşittir. Katkı, şeklin ürününe ve konum ağırlığına eşittir. Birinci konumun ağırlığı 1, ikincisi 10, üçüncüsü 100 vb. Yani her pozisyonun ağırlığı (birincisi hariç) sistemin tabanı ile çarpılarak bir öncekinin ağırlığından elde edilir. İlk pozisyonun ağırlığı bire eşittir.

İşte nasıl: çoğaldılar, eklediler ve şüphelenmediler! Sayıları yazdığımız ortaya çıktı onluk konum gösterimi! Sistemimizin tabanı neden 10'a eşit? Bu anlaşılabilir bir durumdur: Sonuçta, 10 parmağımız var, sırayla bükerek saymak uygundur.

Ama bir bilgisayar için, zaten bildiğiniz gibi, ikili sistem daha tanıdıktır, yani konumsal taban iki.

İkili sayı sistemi

İkili sistemde sadece iki rakam vardır:

Ondalık sistemde konum ağırlıkları on ile çarpılarak elde edilirse, ikili sistemde - iki ile çarpılarak elde edilir:

Görünüşe göre: 1011 2 = 1 2 · 4 + 0· 2 · 2 + 1 2 · 1 + 1 1 .

İkili sistemde, bunlar bir olarak kabul edilir, birler ikiye eklenir (ikinin yerine bir iki gelir), ikiler dörde eklenir (iki ikinin yerine bir dört gelir), vb.

Bir sayının hangi sistemde yazıldığını açıklamak gerektiğinde, sistemin temeli ona aşağıdan atfedilir:

1011 2 - sayı ikili sistemde yazılır.

Ondalık sisteme dönüştürmek zor değil, sadece çarpma ve toplama işlemlerini yapmanız gerekiyor:

1011 2 = 1 2 · 4 + 0· 2 · 2 + 1 2 · 1 + 1 1 =

1 8 + 0 4 + 1 2 + 1 1 = 11 10.

İkiliden Ondalık Dönüşüme

İkili sistemde, sağdaki ilk etapta birinin katkısı 1, ikinci - 2, üçüncü - 4, dördüncü - 8 vb. Sıfırların katkıları, elbette, konumlarından bağımsız olarak sıfıra eşittir.

Aşağıdaki kuralı elde ederiz:

İkiliden ondalığa dönüştürmek için, konumunun ağırlığını her ikili basamağın üzerine yazmanız ve üzerine yazılan sayıları toplamanız gerekir.

10111 2 = 16 + 4 + 2 + 1 = 23 10 .

Başka bir örnek, 100110 sayısı:

100110 2 = 32 + 4 + 2 = 38 10 .

Ondalıktan İkiliye Dönüşüm

Ondalıktan ikiliye dönüştürmek için, konum ağırlıklarıyla önceki şemayı kullanacağız:

26 sayısını ikili sisteme çevirmeniz gerektiğini varsayalım, şemaya göre ikili sayının başlangıcını (en önemli basamak) seçiyoruz. 32 çok, yani 16 ile başlıyoruz:

Orijinal sayının bir kısmı, yani 16, kodlanmıştır, 26 - 16 = 10 kodlamak için kalır. 8'i alın (mümkün olan en büyük konumsal ağırlık):

10 - 8 = 2 kodlamak için kalır. Dört çoktur. 0 konumuna yazıyoruz ve 2'yi alıyoruz:

Tüm sayıyı kodladık, bu da son basamağın sıfır olması gerektiği anlamına gelir:

Çıkıyor: 26 10 = 11010 2.

Ondalıktan ikiliye dönüştürme kuralı aşağıdaki gibi formüle edilebilir.

Bu algoritmayı daha iyi anlamak için Test Cihazının masasında çalışın. Düğmeye bas Sıfırla, bir numara çevirin. Ardından düğmeye basın Başlangıç: Test Cihazının adım adım ikili dönüştürme algoritmasını nasıl gerçekleştirdiğini göreceksiniz.

Lütfen dikkat: Algoritma kaydında yürütülecek öğe vurgulanır. sonrasında düğmeye basmak Başlangıç... Örneğin, öğe vurgulanmışsa "Sayı sıfıra dönene kadar tekrarlayın", ardından üzerine tıkladıktan sonra Başlangıç Test cihazı, mevcut sayının sıfıra eşit olup olmadığını kontrol edecek ve tekrarlamaya devam edip etmeyeceğine karar verecektir.

(Elektronik uygulama sayfasında Test Cihazı ile çalışma yapın.)

Diğer bazlarla konumsal sistemler

Vasya ondalık sistemi sever, bilgisayarı ikiliyi sever ve meraklı matematikçiler farklı konumsal sayı sistemlerini severler, çünkü sadece 2 veya 10'u değil, herhangi bir sayıyı temel alabilirsiniz.

Örnek olarak üçlü sayı sistemini ele alalım.

Üçlü sayı sistemi

Üçlü sayı sistemi, tahmin edebileceğiniz gibi, üç sayı kullanır:

Üçlü sistemde, bunlar birimler olarak kabul edilir, birler üçlülere eklenir (üçler bir üç ile değiştirilir), üçlüler - dokuzlar (üç üçlüler bir dokuz ile değiştirilir) vb.

İlginç bir şekilde, 1958'de N.P. Moskova'da Brusentsov Devlet Üniversitesi“Setun” bilgisayarı oluşturuldu ve ikili değil, üçlü sayı sisteminde sayılarla çalıştı! İlk prototip "Setun" fotoğrafta gösterilmektedir:

Üçlüden ondalık sayıya dönüştürme

Üçlü sayı sistemindeki rakamların konumsal katkılarını şemada gösterelim:

Ondalık sisteme dönüştürmek için, konum ağırlıklarıyla çarpılan rakamları ekleyin (tabii ki sıfır basamaklı konumlar atlanabilir):

10212 3 = 1 81 + 2 9 + 1 3 + 2 1 = 104 10 .

İkili sistemde çarpmadan vazgeçtik (1 ile çarpmanın bir anlamı yok). Üçlü sistemde 2 sayısı vardır, bu nedenle karşılık gelen konum ağırlıklarını ikiye katlamanız gerekir.

Ondalıktan üçlüye dönüştürme

196 sayısının üçlü sisteme çevrilmesine izin verin, şemaya göre üçlü sayının başlangıcını seçiyoruz. 243 çok, bu yüzden 81 ve 2 sayısıyla başlıyoruz (2 81< 196):

Orijinal sayının bir kısmı, yani 162 = 2 · 81 kodlanmıştır, 196 - 162 = 34'ü kodlamak için kalır. 27'yi alın ve 1 sayısı (2 numara 54 verir, bu çok fazla):

Geriye 34 - 1 · 27 = 7 kodlaması kalıyor.

7 - 2 · 3 = 1'i kodlamak için kalır. Bu tam olarak kalan en az anlamlı basamağın değeridir:

Çıkıyor: 196 10 = 21021 3.

Konumsal sistemler: temel kurallar

Konumsal sayı sistemlerinde sayıların oluşturulması için genel kuralları formüle edelim.

Sayı sayılarla yazılmıştır, örneğin:

Bir sayının değerini belirlemek için sayıları konumlarının ağırlıklarıyla çarpmanız ve sonuçları toplamanız gerekir.

Konumlar sağdan sola doğru numaralandırılmıştır. İlk pozisyonun ağırlığı 1'dir.

Her bir sonraki pozisyonun ağırlığı, sistemin tabanı ile çarpılarak bir öncekinin ağırlığından elde edilir.

İkinci konumun ağırlığının her zaman sistemin tabanına eşit olduğu ortaya çıktı.

Sistemin tabanı, verilen sistemde kullanılan basamak sayısını gösterir. Yani, 10 tabanlı bir sistemde on hane, 5 tabanlı sistemde beş hane.

Bir örneğe bakalım. eğer giriş

5 tabanlı sistemdeki bir sayı anlamına gelir, o zaman eşittir

3242 5 = 3 125 + 2 25 + 4 5 + 2 1 = 447 10 .

Taban 6 sisteminde aynı giriş, sayı anlamına gelir.

3242 6 = 3 216 + 2 36 + 4 6 + 2 1 = 746 10 .

Konumsal olmayan sayı sistemleri

Konumsal sayı sistemleri hemen ortaya çıkmadı, ilkel insanlar bazı nesnelerin sayısını diğerlerinin sayısına eşit olarak belirlediler (çakıl taşları, çubuklar, kemikler olarak kabul edildi).

Daha uygun sayma yöntemleri de kullanıldı: bir çubukta çentikler, bir taşta kısa çizgiler, bir ipte düğümler.

Bazen böyle bir sayı sistemi kullanılır ve modern insanlar, örneğin, geçen günlerin sayısını not ederek.

bu bir örnek konumsal olmayan birim sayı sistemi: saymak için kullanılır bir sayı (taş, çubuk, kemik, tire, düğüm ...) ve bu rakamın katkısı yerine (konumuna) bağlı değildir, her zaman bir birime eşittir.

Konumsal sayı sistemlerini kullanmanın çok daha uygun olduğu açıktır.

Sayılarla ilgili işlemler

Herhangi bir tabana sahip konumsal sistemdeki sayılar üzerindeki eylemler, ondalık sistemdekiyle aynı şekilde gerçekleştirilir: ilgili sayı sistemlerinin basamaklarının toplama ve çarpma tablolarına dayanırlar.

içinde olsa garip olurdu farklı sistemler toplama, çıkarma, çarpma ve bölme farklı olmalı! Aslında, tüm sayı sistemlerinde sayılar aynı şekilde oluşturulur, bu da üzerlerindeki işlemlerin aynı şekilde gerçekleştirilmesi gerektiği anlamına gelir.

Birkaç örneğe bakalım.

Ek

5 + 7 = 12. En az anlamlı bitte 2 yazıyoruz ve sonraki bite bir tane ekliyoruz.

Sekizli bir toplama tablosu oluşturalım:

Toplama tablosuna göre 5 + 7 = 14 8. En az anlamlı basamağa 4 yazıp bir sonraki basamağa bir tane ekliyoruz.

Çıkarma

1'i ikinci sırada alırız ve 15 sayısından 7 çıkarırız. Sekizli sistemde de benzer şekilde:

İkinci basamakta 1'i alırız ve 15 8 sayısından 7 çıkarırız. 7. satırdaki toplama tablosuna göre 15 sayısını buluyoruz. Karşılık gelen sütunun sayısı farkın sonucunu verir - 6 sayısı.

Bu muhtemelen örümceklerin kullanması için uygundur.
sekizli sayı sistemi!

Çarpma işlemi

2 7 = 14. 4 yazıyoruz ve 1 "akıl" a gidiyor (bir sonraki kategoriye ekleyin). 4 · 7 = 28. 9 yazıyoruz (8 artı "zihin" den 1) ve 2'yi bir sonraki kategoriye aktarıyoruz.

Sekizli bir çarpım tablosu oluşturalım:

2 7 = 16 8. 6 yazıyoruz ve 1 "akıl" a gidiyor (bir sonraki kategoriye ekleyin). 4 7 = 34 8. 5 (4 artı 1 "zihin"den) yazarız ve 3'ü bir sonraki basamağa taşarız.

Bölünme

3 5< 17 < 4·5, поэтому первая цифра результата - 3. Из 17 вычитаем 5·3 = 15. К разности 2 приписываем цифру 5, получается 25. 25 = 5 ·5. Из 25 вычитаем 25=5·5, получается 0 - деление закончено.

5. satırdaki çarpım tablosunda uygun sayı 17 8 = 5 3'ü buluyoruz:

Bu, sonucun ilk basamağının 3 olduğu anlamına gelir. 17 8'den 17 8 = 5 · 3 çıkarırız. 0 farkına son basamağı 5 atarız. 5 = 5 · 1. 5'ten 5 çıkarın, 0 çıkıyor - bölme bitti.

sorular

1. "Sayı sistemi" terimine bir tanım verin.

2. "Konumsal sayı sistemi" terimine bir tanım verin.

3. 548 sayısı örneğini kullanarak ondalık gösterimde sayıları oluşturma ilkelerini açıklayın.

4. Pozisyon ağırlığına ne denir? Bize bir pozisyonun ağırlığını bulma algoritmasını söyleyin. Sayının ondalık gösteriminde sağdan üçüncü konumun ağırlığı nedir? Ve ikili olarak? Ve üçlü?

5. Boşalma ile ne kastedilmektedir? 1532 ondalık sayısında 5 sayısı nerededir?

6. Sayıların katkısına ne denir? 7 sayısının 1745 10 sayısına katkısı nedir? Peki 4 sayısının 1432 5 sayısına katkısı?

7. “Konumsal sayı sisteminin tabanı” terimine bir tanım verin. Bu sistemdeki basamak sayısı ile ilgili bir sistemin tabanı nasıldır? 5'li sayı sisteminde kaç basamak vardır? Ve onaltılık olarak? 25 tabanlı bir sisteme ne dersiniz?

8. Sayı kaydındaki en az anlamlı basamak nerede? Ve en büyüğü?

9. İkili bir sayıyı ondalık sayı sistemine çevirme algoritmasını söyleyiniz ve bu algoritmayı 101101 2 sayısı için gerçekleştiriniz.

10. Ondalık bir sayıyı ikili sayı sistemine çevirme algoritmasını söyleyiniz ve bu algoritmayı 50 10 sayısı için gerçekleştiriniz.

11. Herhangi bir konumsal sayı sisteminden ondalık sisteme bir sayı nasıl dönüştürülür? Açıklama, 4 tabanlı bir sistem örneğine dayanmaktadır.

ev görevleri

Seçenek 1. Bilgisayar olmadan "kağıt üzerinde" gerçekleştirilir

1. İkili sayıları ondalık sayılarla değiştirerek tekerlemeleri okuyun:

iyi yedim
100001 2 turta ile turta,
Evet, hepsi süzme peynirli.

101000 2 fare vardı,
101000 2 gros taşıdı,
10 2 fare daha küçüktür
Her biri 10 2 grosz taşıdı.

2. İkili harfli bulmacaları çözün:

3. Hesaplamaları yapın ve cevabı ondalık gösterimle yazın:

1) 100 2 5 8 =

2) 100 3 + 100 5 =

3) 10 9 10 100 - 10 900 =

4) 33 4 + 44 5 =

5) 15 6 + 51 8 =

4. Verilen sayıları belirtilen sayı sistemlerine çevirin:

Seçenek 2. Bir bilgisayarda gerçekleştirilir

1. Aşağıdaki problemi çözmek için aritmetik ifadeyi yazın ve cevabı hesaplayın:

Akıllı Malvina'mız
Buratino ile ilgilenir
Ve onun için aldım
En çok ihtiyaç duyduğu şey:
10 2 kapak, 11 2 cetvel
Ve 111 2 ruble çıkartma için.
Kapaklarda - Barmaley,
Her birinin fiyatı 101 2 ruble.
Satın aldığım cetvellerde
101010 2 ruble yeterliydi.
Satın almalar ne kadara mal oldu?
Yansıma üzerine - yarım dakika.

2. Sayıları bir şiirden tanıdık bir sayıya dönüştürmek için standart Hesap Makinesi programını kullanmayı deneyin. ondalık gösterim (Görünüm- Mühendislik, Çöp Kutusu- bir sayının ikili gösterimi, Aralık- sayının ondalık gösterimi). Hesap Makinesini kullanarak sayıları ikiliden ondalık sayıya ve tam tersi, ondalık sayıdan ikiliye çevirmek için algoritmalar yazın.

Seçenek 3. Meraklılar için

1. Herhangi bir konumsal sayı sisteminde 10 yazmanın, bu sistemin tabanına eşit bir sayı anlamına geldiğini kanıtlayın.

2. Konumsal sayı sisteminin tabanını belirleyin B her eşitlik için:

1) 10 B = 50 10 ;

2) 11 B = 6 10 ;

3) 100 B = 64 10 ;

4) 101 B = 26 10 ;

5) 50 B = 30 10 ;

6) 99 B = 909 10 ;

7) 21 B = 15 6 ;

8) 10 2 B = 100 B ;

9) 12 2 B = 22 B ;

10) 14 B· B = 104 B .

p ALIGN = "JUSTIFY"> 3. Onaltılık sayı sistemi 16 basamak kullanır. İlk on basamak, ondalık sistemin basamaklarıyla çakışır ve sonuncusu Latin alfabesinin harfleriyle gösterilir:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

	Anlam

Örneğin, A8 16 sayısını ondalık sisteme çevirelim:

A8 16 = 10 16 + 8 1 = 168 10 .

Her görevde sayının değerini bulun x:

1) 25 16 = x 10 ; 4) 170 10 = x 16 ;

2) AB16 = x 10 ; 5) 2569 10 = x 16 ;

3) FD16 = x 10 ; 6) 80 32 = x 16 .

4. Aşağıdaki görevleri tamamlayın.

1) İkinci pozisyonun ağırlığının 7 olduğu biliniyorsa, sayı kaydındaki üçüncü pozisyonun ağırlığını bulun.

2) Sayı sistemi 5 basamak kullanır. Sayı gösteriminde sağdan dördüncü pozisyonun ağırlığını bulun.

3) Sayı iki birim şeklinde yazılır: 11. Ondalık olarak 21'e eşit ise hangi sayı sisteminde yazılır?

4) Belirli bir sayı sisteminde sayı 100 gibi görünür. Ondalık sistemde sayı 2500 ise bu sayı sistemi kaç basamak kullanır?

5) İki sayı 100 olarak yazılır ancak taban sayısı farklı olan sistemlerde. Birinci sistemin tabanının, ikincinin tabanının iki katı olduğu bilinmektedir. Hangi sayı daha büyüktür ve kaç katıdır?

6) Bu sistemde yazılan 101 sayısının 37 ondalık sayı anlamına geldiği biliniyorsa sistemin tabanını bulunuz.

7) Hangi sayı sisteminde bir sayıyı ikiye katlamak için girişinin sağına sıfır eklemek gerekir?

8) Ondalık sistemde 10 ile çarpmak, sayının sağına sıfır eklemek anlamına gelir. 10 ile çarpma kuralını formüle edin B tabanı olan bir sistemde B.

5. Bir sayıyı ondalık sayıdan üçlü sayı sistemine dönüştürmek için bir algoritma formüle edin.

6. Dörtlü sayı sistemi için toplama ve çarpma tabloları oluşturun. Bu tabloları kullanarak, bir sütundaki sayılar üzerinde aşağıdaki işlemleri gerçekleştirin (dörtlü sayı sisteminde kalırken):

1.a) 1021 4 + 333 4;

b) 3333 4 + 3210 4;

2. a) 321 4 - 123 4;

b) 1000 4 - 323 4;

3. a) 13 4 · 12 4;

b) 302 4 23 4;

4.a) 1123 4:13 4;

b) 112003 4: 101 4.

7. İkili sayı sistemi için toplama ve çarpma tabloları oluşturun. Bu tabloları kullanarak, bir sütundaki (ikili sayı sisteminde kalan) sayılar üzerinde aşağıdaki adımları gerçekleştirin:

1.a) 1001 2 + 1010 2;

b) 10111 2 + 1110 2;

2. a) 1110 2 - 101 2;

b) 10000 2 - 111 2;

3. a) 101 2 · 11 2;

b) 1110 2 · 101 2;

4.a) 1000 110 2: 101 2;

b) 100000100 2: 1101 2.

Atölye

Elektronik uygulamanın sayfalarında, sanatçı Encoder ile çalışın.

Alıştırmalar aşağıdaki görev gruplarını içerir:

Ondalık

1. İkiliden ondalığa

2. Üçlüden ondalığa

3. Beşten ondalığa

4. Onaltılıdan ondalığa

ondalık

1. Ondalıktan İkiliye

2. Ondalıktan üçlüye

3. Ondalık sayıdan beşe

4. Ondalık - Onaltılık

Kredilendirme sınıfı 1

2. 1101 2 = ? 10

3. 11101 2 = ? 10

Kredilendirme sınıfı 2

10. 1001 2 = ? 16

öğretmen materyali

Konumsal sayı sistemleri

Konumsal sayı sisteminde, bir sayı özel karakter zinciri olarak yazılır:

bir n bir n – 1 ... a 2 a 1 (1)

Semboller bir ben arandı rakamlar... Sıfırdan başlayıp bir eksik sayının değerine kadar sıralı sayılabilir miktarları belirtirler. Q isminde temel sayı sistemi. Yani, eğer Q- taban, daha sonra rakamların değerleri aralıkta (sınırlar dahil) bulunur.

(1) sayısının kaydındaki basamağın konumuna denir. konum, veya deşarj.

Not 1. Bu sayfalarda “konum” terimi tercih edilir. İlk olarak, "konum" kelimesi "konumsal sayı sistemi" kavramıyla iyi bir uyum içindedir ve ikinci olarak, "konumsal ağırlık" veya "konum ağırlığı" terimleri kulağa "bit ağırlık" veya "bit ağırlık"tan daha iyi, daha net ve daha basit gelir. . Ancak öğretmen, öğrencilere zaman zaman “konum” ve “sıra”nın eşdeğer terimler olduğunu hatırlatabilir ve hatırlatmalıdır.

Açıklama 2. Metinlerde öğrenci için verilen konumsal sayı sisteminin tanımı tam olarak doğru değildir. Figürün katkısının tek başına pozisyona bağımlılığı yeterli değildir. Örneğin, Roma rakam sisteminde, basamağın katkısı da konuma bağlıdır (IV ve VI sayıları farklıdır), ancak bu sistem konumsal değildir. Kesin tanım, bu bağlamda bir öğretmen için verilen bir sayı oluşturmak için tüm kurallar dizisi olarak düşünülebilir (yani, konumsal bağımlılık gerçeğiyle birlikte tanım şunları içerir: basamak kümesinin sonluluğu ve için kural kaydederek bir numara bulma).

Konumlar sağdan sola doğru numaralandırılmıştır. İlk konumdaki numara denir genç bir sayının son basamağı - Kıdemli.

Her pozisyon, ağırlığını adlandıracağımız bir sayı ile ilişkilendirilir ( ağırlıklandırma pozisyonu).

Konum ağırlıkları aşağıdaki özyinelemeli kurala göre belirlenir:

1. En alt konumun ağırlığı 1'dir.

2. Bir sonraki konumun ağırlığı, sistemin tabanı ile çarpılarak bir öncekinin ağırlığından elde edilir.

İzin vermek Q- sayı sisteminin temeli. Sonra konumsal ağırlıkları hesaplama kuralı ben olarak daha kısa yazılabilir tekrarlayan formül:

1. w 1 = 1.

2. ben = ben-bir · Q(hepsi için ben > 1).

Konumsal sayı sisteminde, kayıt

bir n bir n – 1 ... a 2 a 1 (1)

sayı anlamına gelir n, toplamına eşit konum ağırlıklarına göre sayıların ürünleri:

N = bir· w n + bir-bir · w n–1 + ... + a 2 w 2 + a bir · w 1 . (2)

Bir rakamın konumsal ağırlığına göre çarpımı (ör. bir ben· ben) Aranacak sayıların konumsal katkısı.

Formül (2), öğrenci için metinlerde önerilen sayıları bir sistemden diğerine çevirme kurallarının temelidir.

Ondalık sistemde sayılar on Arapça karakter kullanılarak yazılır: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Bu sistemin konumsal ağırlıkları: ..., 1000, 100, 10, 1.

4627 10 = 4 1000 + 6 100 + 2 10 + 7 1.

İkili sistemde sayılar iki Arapça karakter kullanılarak yazılır: 0 ve 1. Bu sistemin konum ağırlıkları: ..., 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1.

Örneğin, 10101 girişi şu şekilde "şifresi çözülür":

10101 2 = 1 16 + 0 8 + 1 4 + 0 2 + 1 1.

Ağırlıkları hesaplamak için özyinelemeli kuralın şunu ima ettiğini unutmayın: ben = ben–1 ve dolayısıyla (2) gösterimi, bir kuvvet polinomu biçimindeki geleneksel gösterime eşdeğerdir:

N = bir· qn–1 + bir-bir · qn–2 + ... + a 2 Q + a 1 . (3)

Bunu tümevarımla ispatlayalım. indüksiyon tabanı NS ben= 1 doğrudan kontrol edilir: w 1 = Q 0 = 1.

Tümevarım hipotezi: ifadenin bazıları için doğru olmasına izin verin n:

w n = qn–1 .

için de geçerli olacağını ispatlayalım. n + 1.
Yani eşitliğin geçerliliğini kanıtlayacağız:

n + 1 = qn.

Aslında, w n+1 = w n· Q(konum ağırlığının özyinelemeli tanımına göre) ve w n = qn–1 tümevarım hipotezi ile. Çıkıyor:

n + 1 = w n· Q = qn-bir · Q = qn.

Herhangi bir sayının (1) (Teorem 1) formunda benzersiz bir şekilde (Teorem 2) temsil edilebileceğini kanıtlayalım.

Teorem 1 (varlık). Herhangi bir numara m herhangi biri için (1) şeklinde gösterilebilir. Q > 1.

Kanıt. Tümevarımla ispatlayalım. İçin m = 0
ve m= 1 gerekli gösterimi oluşturmak kolaydır - bunlar sırasıyla 0 ve 1'dir (herhangi bir Q> 1). Diyelim ki sayıyı temsil etmeyi başardık m(1) şeklinde. O zaman için bir temsil bulalım m+ 1. Bunu yapmak için toplamı dönüştürmek yeterlidir.

bir qn–1 + bir-bir · qn–2 + ... + a 2 Q + a 1 + 1'i (1) oluşturur.

Eğer a 1 < (Q-1), daha sonra rakam değiştirilerek istenen gösterim elde edilir. a 1 a " 1 = a 1 + 1.

Eğer a 1 = (Q–1), ünitenin bir sonraki pozisyona transferini alıyoruz:

bir qn F - 1 + bir-bir · qn–2 + ... + (a 2 + 1) Q + 0.

Sonra, benzer bir şekilde akıl yürütürüz. Eğer a 2 < (Q-1), daha sonra rakam değiştirilerek istenen gösterim elde edilir. a 2 a " 2 = a 2 + 1. Eğer a 2 = (Q–1), sonra a 2 sıfır ile değiştirilir ve bir sonraki konuma aktarılır.

ya da bazılarında ben < n inşaatı bitireceğiz veya 1000 ... 0 - bir rekor alacağız ve n sağa sıfır. Kanıt tamamlandı.

Teorem 2'den önce lemmayı ispatlıyoruz.

Lemma. (1) numaralı kayıttaki sıfır olmayan her basamağın katkısı, sağında yer alan basamakların katkılarının toplamını aşıyor.

bir n bir n – 1 ... a 2 a 1 . (1)

Kanıt. Bunu herhangi biri için kanıtlayalım n > 1:

bir qn–1 > bir-bir · qn–2 + ... + a 2 Q+ a 1 .

Sayılar bir ben aralıkta yalan, yani soldaki sıfır olmayan en küçük basamak ve sağdaki maksimum basamaklar için eşitsizliği kanıtlamanın yeterli olduğu anlamına gelir:

q n – 1> ( Q-bir)· qn–2 + ... + (Q-bir)· Q + (Q–1).

Sağ tarafta, faktörü çıkarıyoruz ( Q–1) braketin dışında:

(Q-bir)· qn–2 + ... + (Q-bir)· Q + (Q–1) =

= (Q-bir)·( qn–2 + ... + Q + 1).

İyi bilinen formülü kullanarak son parantezdeki geometrik ilerlemenin toplamını hesaplıyoruz:

(Q-bir)·( qn–2 + ... + Q + 1) =

= (Q-bir)·( qn–1 –1)/(Q–1) = qn–1 – 1.

Lemayı kanıtlayan bariz bir eşitsizlik elde ederiz:

qn – 1> qn–1 – 1.

Teorem 2 (teklik). (1) şeklindeki sayı tek şekilde temsil edilir.

Kanıt. Lemmadan, farklı basamak sayılarına sahip sayıların (soldaki anlamlı olmayan sıfırlar sayılmaz) eşit olamayacağı sonucu çıkar: çok sayıda basamağı olan bir sayı her zaman daha büyüktür. Bu nedenle, yalnızca aşağıdaki durumlarda kanıtlanması gerekir: bir ben eşit değildir ben hepsi için ben 1'den n sonra kaydeder

bir n bir n – 1 ... a 2 a 1 (4)

b n b n – 1 ... B 2 B 1 (5)

aynı sayıyı ifade edemez.

Eşleşmeyen rakamları aramak için soldan sağa (4) ve (5) kayıtlarına bakalım. Bırak olsun bir k ve bk bırak gitsin bir k – bk = NS.

Üzerinde k- rekorda bir fark vardı NS· q k-bir . Bu fark, sağda yer alan pozisyonların katkılarıyla telafi edilmelidir. Ancak bu imkansızdır, çünkü lemmaya göre, sağda yer alan pozisyonların katkılarının toplamı her zaman mevcut pozisyonun katkılarından daha azdır. Teorem kanıtlanmıştır.

Ondalık sayıya dönüştürme

Sayıları bir taban sisteminden çevirmek için Q ondalık sistemde, formül (2)'yi kullanarak çarpma ve toplama yapabilirsiniz.

N = bir· w n + bir-bir · w n–1 + ... + a 2 w 2 + a bir · w 1 (2)

İkili bir sistemden çeviri yaparken sadece toplama yapılır (çünkü 1 ile çarpamazsınız). Böylece Okuma Odasında formüle edilen çeviri kuralını elde ederiz:

İkiliden ondalığa dönüştürmek için, konumunun ağırlığını her ikili basamağın üzerine yazmanız ve üzerine yazılan sayıları toplamanız gerekir.

Örneğin, 10111 sayısı için şunu elde ederiz:

10111 2 = 16 + 4 + 2 + 1 = 23 10

Genel transfer kuralı Q-ary sistemi şu şekilde ondalık seslere:

aktarmak için Q-ary sistemi ondalık olarak, her basamağın üzerine konumunun ağırlığını yazmanız ve basamak ürünlerinin toplamını konum ağırlıklarına göre bulmanız (yani, konumsal katkıların toplamını bulmanız) gerekir.

Örneğin, 10212 3 sayısı için şunu elde ederiz:

Konum ağırlıklarıyla çarpılan sayıları ekliyoruz (tabii ki sıfır basamaklı konumlar atlanabilir):

10212 3 = 1 81 + 2 9 + 1 3 + 2 1 = 104 10 .

Çeviri Q- kişiye özel

Sayıları ondalık sayıdan sayı tabanına dönüştürmek için Q formül (2)'ye güvenmeye devam edeceğiz:

N = bir· w n + bir-bir · w n–1 + ... + a 2 w 2 + a bir · w 1 . (2)

Çeviri algoritması.

I. Sayı sıfıra dönene kadar tekrarlayın:

1. Ağırlığı mevcut sayıdan fazla olmayan soldaki ilk konumu bulun. Konumsal katkısı (rakamın ağırlıkça çarpımı) mevcut sayıyı aşmayacak şekilde, olası maksimum basamağı konuma yazın.

2. Oluşturulan pozisyonun katkısı ile mevcut sayıyı azaltın.

II. Oluşturulan rakamların işgal etmediği konumlara sıfırlar yazın.

Her pozisyonda, mümkün olan maksimum rakam alınır, çünkü lemmaya göre, bu rakamın katkısı sağda bulunan rakamlarla telafi edilemez. Algoritma, (1) şeklindeki bir sayının temsilinin kanıtlanmış varlığı (Teorem 1) ve benzersizliği (Teorem 2) nedeniyle çalışacaktır.

İkili bir sistem için, materyalde öğrenci için verilen algoritmanın bir varyantını elde ederiz.

İkiliye dönüştürmek için ikili basamak ağırlıklarına sahip bir şablon oluşturmanız gerekir:

Sayı aşağıdaki algoritmaya göre çevrilir:

I. Sayı sıfıra dönene kadar tekrarlayın:

1. Soldaki ilk konuma ağırlığı mevcut sayıdan fazla olmayan 1 yazın.

2. Mevcut sayıyı, inşa edilen birimin ağırlığı kadar azaltın.

II. Birler tarafından işgal edilmeyen pozisyonlara sıfırlar yazın.

Pratikte, bu çeviri yöntemi, artık bulma ile geleneksel algoritmadan çok daha basit ve hızlı olduğu ortaya çıkıyor.

Ondalık sistemden üçlü sisteme geçiş yapılırken, hem konumsal ağırlıkların hem de iki katına çıkmalarının hesaba katılması gerekir. Hızlı bir çeviri için, satırları sayıların konumlarına, sütunları - sayılara ve hücrelere - sayının sayıya katkılarına karşılık gelen bir tablo oluşturabilirsiniz. numara kaydı:

konum 729
konum 243
konum 81
konum 27
konum 9
konum 3
konum 1

Diyelim ki 243 konumundaki 2 sayısının katkısı 486 ve 9. konumdaki 18 sayısı olsun.

Üçlü bir sisteme çevirmek için, mevcut değeri aşmayan en büyük sayıyı aramak için tabloyu satır satır taramanız gerekir.

Örneğin 183 sayısını üçlü sisteme çevirelim.Üçüncü satır ve ilk sütunda uygun bir değer bulunur:

konum 729
konum 243
konum 81
konum 27
konum 9
konum 3
konum 1

Bu nedenle, üçlü sayı 2 rakamıyla başlar:

183 10 = 202?? 3

Tablodaki 21-18 = 3 sayısı için kesin bir anlam vardır, çeviri bitmiştir:

183 10 = 20210 3 .

Büyük bir tabana sahip sistemler için ilgili tablolar elbette daha hacimli olacaktır. Son bir örnek olarak, onaltılık sayı sistemine dönüştürmek için bir tablo oluşturalım:

4255 sayısının onaltılık sisteme dönüştürülmesine izin verin.Tablodaki ilk sayıyı arıyoruz (soldan sağa, satır satır, üstten başlayarak), orijinal 4255 sayısından fazla olmayacak:

4096 konumunda ilk rakam 1'i alıyoruz:

4255 - 4096 = 159 kodlamak için kalır.

256 satırını atlıyoruz (ilgili basamak 0 olacak) ve 16. satırda 144 uygun değerini buluyoruz:

Sayıları 256 ve 16. konumlarda alıyoruz:

159 - 144 = 15 kodlamak için kalır. Bunun en az anlamlı basamağın değeri olduğu açıktır:

Görünüşe göre: 4255 10 = 109F 16.

Sayılarla ilgili işlemler

Bu bölüm materyalde öğrenci için şematik olarak bilgi amaçlı sunulmuştur.

Konuya ayrı, büyük ve oldukça ilginç bir ders ayrılabilir, ancak zaten çok fazla materyal var - yoğunluğu kavramak zor!

Basit, giriş niteliğindeki bir versiyonda, herhangi bir sayı sisteminde sayılar üzerindeki işlemlerin ondalık sistemde olduğu gibi gerçekleştirildiği gösterilmiştir. Aksi olması gariptir, çünkü tüm konumsal sistemlerdeki sayılar aynı kurallara göre oluşturulur, bu da üzerlerindeki eylemlerin aynı şekilde gerçekleştirilmesi gerektiği anlamına gelir.

Bölüm, seçenek 3 için ev ödevleri ile desteklenmiştir. Bu alıştırmalar, meraklı okul çocuklarına bireysel ödevler olarak önerilebilir.

gösterim belirli bir dizi özel karakter (sayı) kullanarak bir sayı yazma yöntemidir.

gösterim:

• bir dizi sayının temsilini verir (tamsayılar ve / veya gerçek);

• her sayıya benzersiz bir temsil (veya en azından standart bir temsil) verir;

• bir sayının cebirsel ve aritmetik yapısını görüntüler.

Belirli bir sayı sisteminde bir sayı yazmaya denir numara kodu.

Bir numaranın gösteriminde ayrı bir pozisyona denir. deşarj, yani konum numarası sıra numarası.

Sayıdaki bit sayısı denir bitlik ve uzunluğuyla eşleşir.

Sayı sistemleri ikiye ayrılır konumsal ve konumsal olmayan. Konumsal sayı sistemleri bölünmüştür

üzerinde homojen ve karışık.

sekizli sayı sistemi, onaltılık sayı sistemi ve diğer sayı sistemleri.

Sayı sistemlerinin çevirisi. Sayılar bir sayı sisteminden diğerine çevrilebilir.

Sayıların yazışma tablosu farklı sistemler hesaplaşma.