İkinci dereceden denklemler 8. sınıfta çalışılıyor, bu yüzden burada karmaşık bir şey yok. Bunları çözme yeteneği kesinlikle gereklidir.

İkinci dereceden bir denklem, a, b ve c katsayılarının keyfi sayılar olduğu ve a ≠ 0 olduğu, ax 2 + bx + c = 0 formundaki bir denklemdir.

Belirli çözüm yöntemlerini incelemeden önce, tüm ikinci dereceden denklemlerin üç sınıfa ayrılabileceğini unutmayın:

1. Kökleri yok;
2. Tam olarak bir köke sahip olun;
3. İki farklı kökü var.

Bu önemli bir fark ikinci dereceden denklemler kökün her zaman var olduğu ve benzersiz olduğu doğrusal olanlardan. Bir denklemin kaç kökü olduğu nasıl belirlenir? Bunun için harika bir şey var - ayrımcı.

diskriminant

İkinci dereceden denklem ax 2 + bx + c = 0 verilse, diskriminant basitçe D = b 2 − 4ac sayısı olur.

Bu formülü ezbere bilmeniz gerekiyor. Artık nereden geldiği önemli değil. Başka bir şey daha önemlidir: Diskriminantın işaretiyle ikinci dereceden bir denklemin kaç kökü olduğunu belirleyebilirsiniz. Yani:

1. Eğer D< 0, корней нет;
2. Eğer D = 0 ise tam olarak bir kök vardır;
3. D > 0 ise iki kök olacaktır.

Lütfen dikkat: Birçok insanın inandığı gibi, ayrımcı, hiçbir şekilde işaretlerini değil, köklerin sayısını gösterir. Örneklere bir göz atın ve her şeyi kendiniz anlayacaksınız:

Görev. İkinci dereceden denklemlerin kaç kökü vardır:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

İlk denklemin katsayılarını yazalım ve diskriminantı bulalım:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Diskriminant pozitif olduğundan denklemin iki farklı kökü vardır. İkinci denklemi de benzer şekilde analiz ediyoruz:
bir = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminant negatiftir, kök yoktur. Geriye kalan son denklem:
bir = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

diskriminant sıfıra eşit- bir kök olacak.

Lütfen her denklem için katsayıların yazıldığını unutmayın. Evet uzun, evet sıkıcı ama olasılıkları karıştırıp aptalca hatalar yapmayacaksınız. Kendiniz seçin: hız veya kalite.

Bu arada, eğer alışırsanız, bir süre sonra tüm katsayıları yazmanıza gerek kalmayacak. Bu tür operasyonları kafanızda gerçekleştireceksiniz. Çoğu insan bunu 50-70 çözülmüş denklemden sonra bir yerde yapmaya başlar - genel olarak o kadar da değil.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri

Şimdi çözümün kendisine geçelim. Diskriminant D > 0 ise kökler aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir:

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için temel formül

D = 0 olduğunda bu formüllerden herhangi birini kullanabilirsiniz; cevap olan aynı sayıyı elde edersiniz. Son olarak eğer D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

İlk denklem:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ denklemin iki kökü vardır. Onları bulalım:

İkinci denklem:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ Denklemin yine iki kökü vardır. Haydi onları bulalım

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(hizala)\]

Son olarak üçüncü denklem:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ denklemin tek kökü vardır. Herhangi bir formül kullanılabilir. Örneğin, ilki:

Örneklerden de görebileceğiniz gibi her şey çok basit. Formülleri biliyorsanız ve sayabiliyorsanız hiçbir sorun yaşanmayacaktır. Çoğu zaman, formülde negatif katsayılar değiştirilirken hatalar meydana gelir. Burada yine yukarıda açıklanan teknik yardımcı olacaktır: formüle tam anlamıyla bakın, her adımı yazın - ve çok yakında hatalardan kurtulacaksınız.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler

İkinci dereceden bir denklemin tanımda verilenden biraz farklı olduğu görülür. Örneğin:

1. x2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Bu denklemlerde terimlerden birinin eksik olduğunu fark etmek kolaydır. Bu tür ikinci dereceden denklemleri çözmek standart denklemlerden bile daha kolaydır: diskriminantın hesaplanmasını bile gerektirmezler. O halde yeni bir konsept sunalım:

ax 2 + bx + c = 0 denklemine, eğer b = 0 veya c = 0 ise tamamlanmamış ikinci dereceden denklem denir; x değişkeninin veya serbest elemanın katsayısı sıfıra eşittir.

Elbette bu katsayıların her ikisinin de sıfıra eşit olması durumunda çok zor bir durum mümkündür: b = c = 0. Bu durumda denklem ax 2 = 0 formunu alır. Böyle bir denklemin tek bir kökü olduğu açıktır: x = 0.

Geri kalan durumları ele alalım. b = 0 olsun, ax 2 + c = 0 şeklinde tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem elde ederiz. Bunu biraz dönüştürelim:

Aritmetik karekök yalnızca negatif olmayan bir sayının mevcut olduğundan, son eşitlik yalnızca (−c /a) ≥ 0 için anlamlıdır. Sonuç:

1. Eğer ax 2 + c = 0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemde (−c /a) ≥ 0 eşitsizliği karşılanıyorsa, iki kök olacaktır. Formül yukarıda verilmiştir;
2. Eğer (−c /a)< 0, корней нет.

Gördüğünüz gibi diskriminant gerekli değildi; tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerde diskriminant gerekli değildi. karmaşık hesaplamalar. Aslında (−c /a) ≥ 0 eşitsizliğini hatırlamaya bile gerek yok. x 2 değerini ifade edip eşittir işaretinin diğer tarafında ne olduğunu görmek yeterli. eğer oradaysa pozitif sayı- iki kök olacak. Negatif ise hiçbir kök kalmayacaktır.

Şimdi serbest elemanın sıfıra eşit olduğu ax 2 + bx = 0 formundaki denklemlere bakalım. Burada her şey basit: her zaman iki kök olacak. Polinomu çarpanlara ayırmak yeterlidir:

Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak

Faktörlerden en az biri sıfır olduğunda ürün sıfırdır. Köklerin geldiği yer burasıdır. Sonuç olarak bu denklemlerden birkaçına bakalım:

Görev. İkinci dereceden denklemleri çözün:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Kök yok çünkü kare negatif bir sayıya eşit olamaz.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Bu video eğitiminde ikinci dereceden bir denklemin nasıl çözüleceği açıklanmaktadır. İkinci dereceden denklemlerin çözümü genellikle ortaokul 8. sınıfta başlar. İkinci dereceden bir denklemin kökleri özel bir formül kullanılarak bulunur. x'in bilinmeyen, a, b ve c'nin katsayıları olduğu ax2+bx+c=0 formunda ikinci dereceden bir denklem verilsin. gerçek sayılar. Öncelikle D=b2-4ac formülünü kullanarak diskriminantı belirlemeniz gerekir. Bundan sonra, ikinci dereceden denklemin köklerini aşağıdakileri kullanarak hesaplamak kalır: bilinen formül. Şimdi belirli bir örneği çözmeye çalışalım. Başlangıç ​​denklemi olarak x2+x-12=0'ı alıyoruz, yani. katsayısı a=1, b=1, c=-12. İyi bilinen bir formülü kullanarak diskriminantı belirleyebilirsiniz. Daha sonra denklemin köklerini bulma formülünü kullanarak bunları hesaplıyoruz. Bizim durumumuzda diskriminant 49'a eşit olacaktır. Diskriminant değerinin pozitif bir sayı olması bize bu ikinci dereceden denklemin iki kökü olacağını anlatır. Basit hesaplamalar sonucunda x1=-4, x2=3 sonucunu buluruz. Böylece ikinci dereceden denklemi köklerini hesaplayarak çözdük. Video dersi “İkinci dereceden denklemleri çözme (8. sınıf). Formülü Kullanarak Kökleri Bulma" yazısını dilediğiniz zaman online olarak ücretsiz olarak izleyebilirsiniz. Size iyi şanslar!

Belediye eğitim kurumu
"Kosinskaya ana ortaokul»

BİT kullanma dersi

Formülü kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözme.

Geliştirici:
Cherevina Oksana Nikolaevna
matematik öğretmeni

Hedef:
Formülü kullanarak ikinci dereceden denklemlerin çözümünü düzeltin,
Okul çocuklarında incelenen gerçekleri genelleştirme arzusunun ve ihtiyacının gelişmesine katkıda bulunmak,
Bağımsızlık ve yaratıcılığı geliştirin.

Teçhizat:
matematiksel dikte (Sunum 1),
bağımsız çalışma için çok seviyeli görevlere sahip kartlar,
İkinci dereceden denklemleri çözmek için formül tablosu (“Derse yardımcı olmak için” köşesinde),
“Eski Sorun” çıktısı (öğrenci sayısı),
tahtadaki puan derecelendirme tablosu.

Genel plan:
Ödev kontrol ediliyor
Matematiksel dikte.
Sözlü egzersizler.
Konsolidasyon alıştırmalarını çözme.
Bağımsız çalışma.
Tarihsel bilgi.

Dersin ilerleyişi.
Organizasyon anı.

Ev ödevlerini kontrol ediyorum.
- Arkadaşlar, son derslerde hangi denklemlerle tanıştık?
- İkinci dereceden denklemleri nasıl çözebilirsiniz?
- Evde 1 denklemi iki şekilde çözmeniz gerekiyordu.
(Denklem zayıf ve güçlü öğrenciler için tasarlanmış 2 düzeyde verilmiştir)
- Benimle birlikte kontrol edelim. Görevi nasıl tamamladınız?
(öğretmen dersten önce tahtaya ödevin çözümünü yazar)
Öğrenciler kontrol eder ve sonuca varırlar: tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çarpanlara ayırarak veya her zamanki gibi tamamlamış olanları formülle çözmek daha kolaydır.
Öğretmen şunu vurguluyor: Kareyi çözme yöntemi boşuna değil. formüle dayalı denklemlere evrensel denir.

Tekrarlama.

Bugün derste ikinci dereceden denklemleri çözmeye çalışmaya devam edeceğiz. Dersimiz alışılmadık olacak çünkü bugün sadece sizi değil, kendinizi de değerlendireceğim. İyi bir not almak ve bağımsız çalışmayı başarıyla tamamlamak için mümkün olduğunca çok puan kazanmalısınız. Ödevinizi tamamlayarak zaten bir puan kazandığınızı düşünüyorum.
- Şimdi bu konu üzerinde çalıştığımız tanımları ve formülleri hatırlamanızı ve tekrarlamanızı istiyorum (Öğrencilerin cevapları doğru cevap için 1 puan, yanlış cevap için 0 puan olarak değerlendirilmektedir.)
- Ve şimdi arkadaşlar, matematiksel bir dikte yapacağız; görevi bilgisayar monitöründe dikkatlice ve hızlı bir şekilde okuyacağız. (Sunum 1)
Öğrenciler işi yapar ve performanslarını değerlendirmek için anahtarı kullanırlar.

Matematiksel dikte.

İkinci dereceden bir denklem, formun bir denklemidir ...
İkinci dereceden bir denklemde 1. katsayı…, 2. katsayı…, serbest terim…
İkinci dereceden bir denklemin indirgendiği söylenir, eğer...
İkinci dereceden bir denklemin diskriminantını hesaplamak için bir formül yazın
Denklemde yalnızca bir kök varsa, ikinci dereceden bir denklemin kökünü hesaplamak için bir formül yazın.
İkinci dereceden bir denklemin hangi koşullar altında kökleri yoktur?

(PC kullanarak kendi kendine test yapın, her doğru cevap için - 1 puan).

Sözlü egzersizler. (Açık arka taraf tahtalar)
- Her denklemin kaç kökü var? (görev ayrıca 1 puan değerindedir)
1. (x - 1)(x +11) = 0;
2. (x – 2)² + 4 = 0;
3. (2x – 1)(4 + x) = 0;
4. (x – 0,1)x = 0;
5. x² + 5 = 0;
6. 9x² - 1 = 0;
7. x² - 3x = 0;
8. x + 2 = 0;
9. 16x² + 4 = 0;
10. 16x² - 4 = 0;
11. 0,07x² = 0.

Materyali pekiştirmek için alıştırmalar çözme.

PC monitöründe önerilen denklemlerden bağımsız olarak gerçekleştirilir (CD-7), hesaplamaları tamamlayan öğrenciler kontrol ederken ellerini doğru şekilde kaldırırlar (1 puan); bu sırada, daha zayıf öğrenciler tahtadaki bir denklemi çözer ve görevi bağımsız olarak tamamlayanlar 1 puan alır.

2 seçenekte bağımsız çalışma.
5 veya daha fazla puan alan başlar bağımsız çalışma 5 numaradan.
3 veya daha az puan alanlar – 1 numaradan.

Seçenek 1.

a) 3x² + 6x – 6 = 0, b) x² - 4x + 4 = 0, c) x² - x + 1 = 0.

2 numara. D = b² - 4ac formülünü kullanarak ikinci dereceden ax² + bx + c = 0 denkleminin diskriminant D'sini hesaplamaya devam edin.

a) 5x² - 7x + 2 = 0,
D = b² - 4ac
D= (-7²) – 4 5 2 = 49 – 40 = …;
b) x² - x – 2 = 0,
D = b² - 4ac
D = (-1) ² - 4 1 (-2) = …;

3 numara. Denklemi çözmeyi bitir
3x² - 5x – 2 = 0.
D = b² - 4ac
D = (-5)² - 4 3 (-2) = 49.
x = ...

4 numara. Denklemi çözün.

a) (x - 5)(x + 3) = 0; b) x² + 5x + 6 = 0

a) (x-3)^2=3x-5; b) (x+4)(2x-1)=x(3x+11)

6 numara. x2+2√2 x+1=0 denklemini çözün
7 numara. x² - 2ax + 3 = 0 denkleminin hangi a değerinde tek kökü vardır?

Seçenek 2.

1 numara. Ax² + bx + c = 0 formundaki her denklem için a, b, c değerlerini belirtin.

a) 4x² - 8x + 6 = 0, b) x² + 2x - 4 = 0, c) x² - x + 2 = 0.

2 numara. D = b² - 4ac formülünü kullanarak ikinci dereceden ax² + bx + c = 0 denkleminin diskriminant D'sini hesaplamaya devam edin.

a) 5x² + 8x - 4 = 0,
D = b² - 4ac
D = 8² – 4 5 (- 4) = 64 – 60 = …;

b) x² - 6x + 5 = 0,
D = b² - 4ac
D = (-6)² - 4 1 5 = …;

3Hayır. Denklemi çözmeyi bitir
x² - 6x + 5 = 0.
D = b² - 4ac
D = (-6)² - 4 1 5 = 16.
x = ...

4 numara. Denklemi çözün.

a) (x + 4)(x - 6) = 0; b) 4x² - 5x + 1 = 0

5 numara. Denklemi ikinci dereceden bir sayıya indirgeyin ve çözün:

a) (x-2)^2=3x-8; b) (3x-1)(x+3)+1=x(1+6x)

6 numara. x2+4√3 x+12=0 denklemini çözün

7 numara. x² + 3ax + a = 0 denkleminin hangi a değerinde tek kökü vardır?

Ders özeti.
Puan derecelendirme tablosunun sonuçlarını özetleme.

Tarihsel arka plan ve görev.
İkinci dereceden denklemleri içeren problemler 499 gibi erken bir tarihte ortaya çıktı. Eski Hindistan'da zor sorunların çözümünde halka açık yarışmalar yaygındı. Eski Hint kitaplarından biri şöyle diyor: “Güneş, parlaklığıyla yıldızları gölgede bıraktığı gibi, bilgili adam Cebirsel problemler önererek ve çözerek halk toplantılarında bir başkasının ihtişamını gölgede bırakın. Çoğunlukla şiirsel biçimdeydiler. İşte 12. yüzyılın ünlü Hintli matematikçisi Bhaskara'nın problemlerinden biri:
Bir sürü hareketli maymun
Doyduğuma göre yemek yedim, eğlendim,
Sekizinci bölümün karesi
Açıklıkta eğleniyordum.
Ve sarmaşıklarda 12 tane...
Asılı zıplamaya başladılar.
Kaç tane maymun vardı?
Söyle bana, bu pakette mi?

VII. Ev ödevi.
Bu tarihsel sorunun çözülmesi ve ayrı kağıtlara bir çizimle çizilmesi önerildi.

BAŞVURU

Hayır.
öğrenci Faaliyetleri TOPLAM
Ödev Dikte Sözlü alıştırmalar Materyalin pekiştirilmesi
PC çalışması Yönetim kurulunda çalışma
1 İvanov İ.
2 Fedorov G.
3 Yakovleva Ya.
…

Maksimum sayı 22-23 puandır.
Minimum – 3-5 puan

3-10 puan – “3” puan,
11-20 puan – “4” puan,
21-23 puan – “5” puan

Sınıf: 8

Standardı ele alalım (okul matematik dersinde okuduk) ve standart dışı tekniklerİkinci dereceden denklemlerin çözümü.

1. İkinci dereceden denklemin sol tarafının doğrusal faktörlere ayrıştırılması.

Örneklere bakalım:

3) x 2 + 10x – 24 = 0.

6(x 2 + x – x) = 0 | : 6

x 2 + x – x – = 0;

x(x – ) + (x – ) = 0;

x(x – ) (x + ) = 0;

= ; – .

Cevap: ; – .

Bağımsız çalışma için:

İkinci dereceden denklemleri, ikinci dereceden bir denklemin sol tarafının doğrusal çarpanlara ayırma yöntemini kullanarak çözün.

a) x 2 – x = 0; d) x 2 – 81 = 0; g) x 2 + 6x + 9 = 0;

b) x 2 + 2x = 0; e) 4x 2 – = 0; h) x 2 + 4x + 3 = 0;

c) 3x 2 – 3x = 0; e) x 2 – 4x + 4 = 0; i) x 2 + 2x – 3 = 0.

a) 0; 1

b) -2; 0

c) 0; 1

2. Tam kareyi seçme yöntemi.

Örneklere bakalım:

Bağımsız çalışma için.

İkinci dereceden denklemleri tam kare yöntemini kullanarak çözün.

3. İkinci dereceden denklemleri formülü kullanarak çözme.

ax 2 + inx + c = 0, (a | 4a

4a 2 x 2 + 4ab + 4ac = 0;

2ah + 2ah · 2в + в 2 – в 2 + 4ас = 0;

2 = 2 – 4ac'de;

= ±;

Bağımsız çalışma için.

Örneklere bakalım.

İkinci dereceden denklemleri x 1,2 = formülünü kullanarak çözün.

4. İkinci dereceden denklemleri Vieta teoremini kullanarak çözme (direkt ve ters)

x 2 + px +q = 0 – indirgenmiş ikinci dereceden denklem

Vieta teoremine göre.

Denklemin işarette iki özdeş kökü varsa ve bu katsayıya bağlıdır. .

Eğer p ise o zaman .

Eğer p ise o zaman

Örneğin:

Eğer p ise o zaman

Bağımsız çalışma için.

Denklemin farklı işaretli iki kökü varsa ve daha büyük olan kök p ise ve p ise olacaktır.

İkinci dereceden denklemi çözmeden, köklerinin işaretlerini belirlemek için Vieta'nın ters teoremini kullanın:

a, b, j, l – çeşitli kökler;

c, d, h – negatif;

g, e, g, i, m – pozitif;

Bağımsız çalışma için.

5. İkinci dereceden denklemlerin “atma” yöntemini kullanarak çözülmesi.

İkinci dereceden denklemleri “atma” yöntemini kullanarak çözün.

6. İkinci dereceden denklemlerin katsayılarının özelliklerini kullanarak çözülmesi.

I. ax 2 + bx + c = 0, burada a 0

1) a + b + c = 0 ise x 1 = 1; x 2 =

Kanıt:

balta 2 + bx + c = 0 |: a

x 2 + x + = 0.

Vieta teoremine göre

Koşula göre a + b + c = 0, sonra b = -a – c. Sonra alırız

Bundan x 1 =1 olduğu sonucu çıkar; x2 = . Q.E.D.

1) a + b + c = 0 ise x 1 = 1; x 2 =

x 2 + x + = 0.

2) Eğer a – b + c = 0 (veya b = a + c) ise x 1 = – 1; x2 = –

a – b + c = 0 koşuluna göre, yani. b = a + c. Sonra şunu elde ederiz:

= ±;

Dolayısıyla x 1 = – 1; x2 = – .

1) 345 x 2 – 137 x – 208 = 0.

a + b + c = 345 – 137 – 208 = 0

x1 = 1; x 2 = =

2) 132 x 2 – 247 x + 115 = 0.

a + b + c = 345 – 137 – 208 = 0

a + b + c = 132 -247 -115 = 0.: 1;

Bağımsız çalışma için.

Cevap

İkinci dereceden bir denklemin katsayılarının özelliklerini kullanarak denklemleri çözün

II. balta 2 + bx + c = 0, burada a 0

x 1,2 = . b = 2k olsun, yani. eşit Sonra alırız

x 1,2 = = = =

Bir örneğe bakalım:

3x2 – 14x + 16 = 0.

D 1 = (-7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1

a + b + c = 132 -247 -115 = 0.: 2;

Bağımsız çalışma için.

x1 = = 2; x 2 =

a) 4x2 – 36x + 77 = 0

b) 15x 2 – 22x – 37 = 0

c) 4x2 + 20x + 25 = 0

d) 9x2 – 12x + 4 = 0:

Cevaplar

III. x 2 + piksel + q = 0

x 1,2 = = = =

x 1,2 = – ± 2 – q

x 2 – 14x – 15 = 0

x 1,2 = 7 = 7

a + b + c = 132 -247 -115 = 0.: -1; 15.

Bağımsız çalışma için.

x1 = -1; x 2 = 15.

a) x 2 – 8x – 9 = 0

b) x 2 + 6x – 40 = 0

d) x 2 – 56x + 64 = 0

7. İkinci dereceden bir denklemin grafikleri kullanarak çözülmesi.

a) x 2 – 3x – 4 = 0

Cevap: -1; 4

b) x 2 – 2x + 1 = 0

c) x 2 – 2x + 5 = 0

Cevap: çözüm yok

Bağımsız çalışma için.

İkinci dereceden denklemleri grafiksel olarak çözün:

8. İkinci dereceden denklemleri pergel ve cetvel kullanarak çözme.

balta 2 + bx + c = 0,

balta 2 + bx + c = 0 |: a

x 1 ve x 2 köklerdir.

A(0; 1), C(0;

Sekant teoremine göre:

OB · OD = OA · İşletim Sistemi.

Bu nedenle elimizde:

x 1 x 2 = 1 işletim sistemi;

İşletim Sistemi = x 1 x 2

K(; 0), burada = -

F(0; ) = (0; ) = )

1) S(-; ) noktasını – çemberin merkezini ve A(0;1) noktasını oluşturun.

2) Yarıçapı R = SA/ olan bir daire çizin

3) Bu dairenin x ekseni ile kesişme noktalarının apsisleri orijinal ikinci dereceden denklemin kökleridir.

3 olası durum vardır:

1) R > SK (veya R > ).

Daire x eksenini B(x 1; 0) ve D(x 2; 0) noktasında keser; burada x 1 ve x 2, ax 2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denklemin kökleridir.

2) R = SK (veya R = ).

Daire x eksenine B 1 (x 1; 0) yönünde dokunur; burada x 1, ikinci dereceden denklemin köküdür

balta 2 + bx + c = 0.

3)R< SK (или R < ).

Çemberin x ekseniyle ortak noktası yoktur; çözüm yok.

1) x 2 – 2 x – 3 = 0.

Merkez S(-;), yani.

x 0 = = – = 1,

y 0 = = = – 1.

(1; – 1) – dairenin merkezi.

A(0; 1) olan bir daire (S; AS) çizelim.

9. İkinci dereceden denklemleri nomogram kullanarak çözme

Sorunu çözmek için V.M.'nin Dört Haneli Matematiksel Tablolarını kullanın. Bradis (Tablo XXII, s. 83).

Nomogram, ikinci dereceden denklem x 2 + px + q = 0'ı çözmeden, denklemin köklerini katsayılarından belirlemeye izin verir. Örneğin:

5) z2 + 4z + 3 = 0.

Her iki kök de negatiftir. Bu nedenle yerine şunu koyacağız: z 1 = – t. Yeni bir denklem elde ederiz:

t 2 – 4t + 3 = 0.

t1 = 1; t2 = 3

z1 = – 1; z2 = – 3.

Cevap: – 3; – 1

6) p ve q katsayıları ölçeğin dışına çıkarsa z = k · t değişimini yapın ve denklemi bir nomogram kullanarak çözün: z 2 + pz + q = 0.

k 2 t 2 + p · kt + q = 0. |: k 2

k aşağıdaki eşitsizliklerin olacağı beklentisiyle alınır:

Bağımsız çalışma için.

y2 + 6y – 16 = 0.

y 2 + 6y = 16, |+ 9

y 2 + 6y + 9 = 16 + 9

y1 = 2, y2 = -8.

Cevap: -8; 2

Bağımsız çalışma için.

y 2 – 6y – 16 = 0 denklemini geometrik olarak çözün.

Size tam ikinci dereceden bir denklemin şu şekilde bir denklem olduğunu hatırlatırız:

İkinci dereceden denklemlerin tamamını çözmek bunlardan biraz daha zordur (sadece biraz).

Hatırlamak Herhangi bir ikinci dereceden denklem bir diskriminant kullanılarak çözülebilir!

Hatta eksik.

Diğer yöntemler bunu daha hızlı yapmanıza yardımcı olacaktır, ancak ikinci dereceden denklemlerle ilgili sorunlarınız varsa, önce diskriminant kullanarak çözümde ustalaşın.

1. İkinci dereceden denklemleri diskriminant kullanarak çözme.

Bu yöntemi kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözmek çok basittir; asıl önemli olan, eylemlerin sırasını ve birkaç formülü hatırlamaktır.

Eğer öyleyse denklemin 2 kökü vardır. 2. adıma özellikle dikkat etmeniz gerekiyor.

Diskriminant D bize denklemin kök sayısını söyler.

• Eğer öyleyse, adımdaki formül şuna indirgenecektir. Böylece denklemin yalnızca bir kökü olacaktır.
• Eğer öyleyse, bu adımda diskriminantın kökünü çıkaramayacağız. Bu da denklemin köklerinin olmadığını gösterir.

Hadi dönelim geometrik anlamda ikinci dereceden denklem.

Fonksiyonun grafiği bir paraboldür:

Denklemlerimize geri dönelim ve bazı örneklere bakalım.

Örnek 9

Denklemi çöz

1. Adım atlıyoruz.

Adım 2.

Diskriminantı buluyoruz:

Bu, denklemin iki kökü olduğu anlamına gelir.

Adım 3.

Cevap:

Örnek 10

Denklemi çöz

Denklem standart biçimde sunulmuştur, bu nedenle 1. Adım atlıyoruz.

Adım 2.

Diskriminantı buluyoruz:

Bu, denklemin tek kökü olduğu anlamına gelir.

Cevap:

Örnek 11

Denklemi çöz

Denklem standart biçimde sunulmuştur, bu nedenle 1. Adım atlıyoruz.

Adım 2.

Diskriminantı buluyoruz:

Bu, diskriminantın kökünü çıkaramayacağımız anlamına gelir. Denklemin kökleri yoktur.

Artık bu tür cevapları nasıl doğru bir şekilde yazacağımızı biliyoruz.

Cevap: kök yok

2. İkinci dereceden denklemleri Vieta teoremini kullanarak çözme

Hatırlarsanız, indirgenmiş olarak adlandırılan bir denklem türü vardır (a katsayısı şuna eşit olduğunda):

Bu tür denklemleri Vieta teoremini kullanarak çözmek çok kolaydır:

Köklerin toplamı verildiİkinci dereceden denklem eşittir ve köklerin çarpımı eşittir.

Sadece çarpımı denklemin serbest terimine eşit olan ve toplamı ters işaretle alınan ikinci katsayıya eşit olan bir çift sayı seçmeniz yeterlidir.

Örnek 12

Denklemi çöz

Bu denklem Vieta teoremi kullanılarak çözülebilir çünkü .

Denklemin köklerinin toplamı eşittir, yani. ilk denklemi elde ederiz:

Ve ürün şuna eşittir:

Sistemi oluşturup çözelim:

• Ve. Tutar şuna eşittir;
• Ve. Tutar şuna eşittir;
• Ve. Miktar eşittir.

ve sistemin çözümü:

Cevap: ; .

Örnek 13

Denklemi çöz

Cevap:

Örnek 14

Denklemi çöz

Denklem verilmiştir, bunun anlamı şudur:

Cevap:

DÖRTLÜ DENKLEMLER. ORTA SEVİYE

İkinci dereceden denklem nedir?

Başka bir deyişle, ikinci dereceden bir denklem, bilinmeyenlerin, bazı sayıların ve olduğu formun bir denklemidir.

Sayıya en yüksek veya denir birinci katsayı ikinci dereceden denklem, - ikinci katsayı, A - ücretsiz üye.

Çünkü denklem hemen doğrusal hale gelirse, çünkü ortadan kaybolacak.

Bu durumda ve sıfıra eşit olabilir. Bu sandalyede denklem denir tamamlanmamış.

Eğer tüm terimler yerindeyse, denklem şu şekildedir: tamamlamak.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri

Öncelikle, tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemlerine bakalım - bunlar daha basittir.

Aşağıdaki denklem türlerini ayırt edebiliriz:

I., bu denklemde katsayı ve serbest terim eşittir.

II. , bu denklemde katsayı eşittir.

III. , bu denklemde serbest terim eşittir.

Şimdi bu alt türlerin her birinin çözümüne bakalım.

Açıkçası, bu denklemin her zaman tek bir kökü vardır:

Kareli bir sayı negatif olamaz çünkü iki negatif veya iki pozitif sayıyı çarptığınızda sonuç her zaman pozitif bir sayı olacaktır. Bu yüzden:

eğer öyleyse denklemin çözümü yoktur;

eğer iki kökümüz varsa

Bu formülleri ezberlemenize gerek yok. Hatırlanması gereken en önemli şey, daha az olamayacağıdır.

İkinci dereceden denklemleri çözme örnekleri

Örnek 15

Cevap:

Negatif işaretli kökleri asla unutmayın!

Örnek 16

Bir sayının karesi negatif olamaz, yani denklem

kök yok.

Bir problemin çözümü olmadığını kısaca yazmak için boş küme simgesini kullanırız.

Cevap:

Örnek 17

Yani bu denklemin iki kökü var: ve.

Cevap:

Parantezlerin ortak çarpanını çıkaralım:

Faktörlerden en az birinin sıfıra eşit olması durumunda ürün sıfıra eşittir. Bu, aşağıdaki durumlarda denklemin bir çözümü olduğu anlamına gelir:

Yani bu ikinci dereceden denklemin iki kökü vardır: ve.

Örnek:

Denklemi çözün.

Çözüm:

Denklemin sol tarafını çarpanlarına ayıralım ve kökleri bulalım:

Cevap:

Tam ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri

1. Ayrımcı

İkinci dereceden denklemleri bu şekilde çözmek kolaydır, asıl önemli olan eylem sırasını ve birkaç formülü hatırlamaktır. Unutmayın, ikinci dereceden herhangi bir denklem diskriminant kullanılarak çözülebilir! Hatta eksik.

Kök formülündeki ayırıcının köküne dikkat ettiniz mi?

Ancak diskriminant negatif olabilir.

Ne yapalım?

2. adıma özellikle dikkat etmemiz gerekiyor. Diskriminant bize denklemin kök sayısını söyler.

• Eğer öyleyse, denklemin kökleri vardır:
• Eğer öyleyse, denklem aynı köklere ve aslında bir köke sahipse:

  Bu tür köklere çift kök denir.

• Eğer öyleyse, diskriminantın kökü çıkarılmaz. Bu da denklemin köklerinin olmadığını gösterir.

Neden farklı sayıda kök mümkün?

İkinci dereceden denklemin geometrik anlamına dönelim. Fonksiyonun grafiği bir paraboldür:

İkinci dereceden bir denklem olan özel bir durumda, .

Bu, ikinci dereceden bir denklemin köklerinin apsis ekseni (eksen) ile kesişme noktaları olduğu anlamına gelir.

Bir parabol ekseni hiç kesmeyebilir veya onu bir noktada (parabolün tepe noktası eksen üzerinde olduğunda) veya iki noktada kesebilir.

Ayrıca katsayı parabolün dallarının yönünden de sorumludur. Eğer öyleyse, parabolün dalları yukarıya, eğer ise aşağıya doğru yönlendirilir.

İkinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin 4 örnek

Örnek 18

Cevap:

Örnek 19

Cevap: .

Örnek 20

Cevap:

Örnek 21

Bu, hiçbir çözümün olmadığı anlamına gelir.

Cevap: .

2. Vieta teoremi

Vieta teoremini kullanmak çok kolaydır.

İhtiyacınız olan tek şey toplamakürünü denklemin serbest terimine eşit olan ve toplamı ters işaretle alınan ikinci katsayıya eşit olan böyle bir sayı çifti.

Vieta teoreminin yalnızca indirgenmiş ikinci dereceden denklemler ().

Birkaç örneğe bakalım:

Örnek 22

Denklemi çözün.

Çözüm:

Bu denklem Vieta teoremi kullanılarak çözülebilir çünkü . Diğer katsayılar: ; .

Denklemin köklerinin toplamı:

Ve ürün şuna eşittir:

Çarpımları eşit olan sayı çiftlerini seçelim ve toplamlarının eşit olup olmadığını kontrol edelim:

• Ve. Tutar şuna eşittir;
• Ve. Tutar şuna eşittir;
• Ve. Miktar eşittir.

ve sistemin çözümü:

Dolayısıyla ve denklemimizin kökleridir.

Cevap: ; .

Örnek 23

Çözüm:

Çarpımı veren sayı çiftlerini seçelim ve sonra toplamlarının eşit olup olmadığını kontrol edelim:

ve: toplamda veriyorlar.

ve: toplamda veriyorlar. Elde etmek için, sözde köklerin ve sonuçta ürünün işaretlerini değiştirmek yeterlidir.

Cevap:

Örnek 24

Çözüm:

Denklemin serbest terimi negatif olduğundan köklerin çarpımı negatif bir sayıdır. Bu ancak köklerden birinin negatif, diğerinin pozitif olması durumunda mümkündür. Bu nedenle köklerin toplamı eşittir modüllerinin farklılıkları.

Çarpımı veren ve farkı eşit olan sayı çiftlerini seçelim:

ve: farkları eşit - uymuyor;

ve: - uygun değil;

ve: - uygun değil;

ve: - uygun. Geriye kalan tek şey köklerden birinin negatif olduğunu hatırlamak. Toplamlarının eşit olması gerektiğinden, modülü daha küçük olan kök negatif olmalıdır: . Kontrol ediyoruz:

Cevap:

Örnek 25

Denklemi çözün.

Çözüm:

Denklem verilmiştir, bunun anlamı şudur:

Serbest terim negatif olduğundan köklerin çarpımı negatiftir. Bu da ancak denklemin bir kökünün negatif, diğerinin pozitif olması durumunda mümkündür.

Çarpımları eşit olan sayı çiftlerini seçelim ve ardından hangi köklerin negatif işarete sahip olması gerektiğini belirleyelim:

Açıkçası, yalnızca kökler ve ilk koşul için uygundur:

Cevap:

Örnek 26

Denklemi çözün.

Çözüm:

Denklem verilmiştir, bunun anlamı şudur:

Köklerin toplamı negatiftir, yani köklerden en az biri negatiftir. Ancak çarpımları pozitif olduğundan her iki kökün de eksi işareti olduğu anlamına gelir.

Çarpımı şuna eşit olan sayı çiftlerini seçelim:

Açıkçası, kökler sayılardır ve.

Cevap:

Katılıyorum, bu kötü ayrımcıyı saymak yerine sözlü olarak kökleri bulmak çok uygun.

Vieta teoremini mümkün olduğunca sık kullanmaya çalışın!

Ancak kökleri bulmayı kolaylaştırmak ve hızlandırmak için Vieta teoremine ihtiyaç vardır.

Kullanımından faydalanabilmeniz için eylemleri otomatikleştirmeniz gerekmektedir. Bunun için beş örnek daha çözün.

Ama hile yapmayın: diskriminant kullanamazsınız! Sadece Vieta teoremi!

Bağımsız iş için Vieta teoreminin 5 örneği

Örnek 27

Görev 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Vieta teoremine göre:

Her zamanki gibi seçime şu parçayla başlıyoruz:

Uygun değil çünkü miktar;

: miktar tam ihtiyacınız olan şeydir.

Cevap: ; .

Örnek 28

Görev 2.

Ve yine en sevdiğimiz Vieta teoremi: toplam eşit olmalı ve çarpım da eşit olmalıdır.

Ama olmaması gerektiği için, köklerin işaretlerini değiştiriyoruz: ve (toplamda).

Cevap: ; .

Örnek 29

Görev 3.

Hımm... Nerede o?

Tüm terimleri tek bir bölüme taşımanız gerekir:

Köklerin toplamı çarpıma eşittir.

Tamam, dur! Denklem verilmemiştir.

Ancak Vieta teoremi yalnızca verilen denklemlere uygulanabilir.

Bu yüzden önce bir denklem vermeniz gerekiyor.

Eğer liderlik edemiyorsanız, bu fikirden vazgeçin ve başka bir yolla (örneğin, diskriminant kullanarak) çözün.

İkinci dereceden bir denklem vermenin baş katsayıyı eşitlemek anlamına geldiğini hatırlatmama izin verin:

O zaman köklerin toplamı eşittir ve çarpım.

Burada armut bombardımanı yapmak kadar kolay: sonuçta bu bir asal sayı (totoloji için özür dilerim).

Cevap: ; .

Örnek 30

Görev 4.

Ücretsiz üye negatiftir.

Bunun nesi özel?

Ve gerçek şu ki, köklerin farklı işaretleri olacak.

Ve şimdi seçim sırasında köklerin toplamını değil, modüllerindeki farkı kontrol ediyoruz: bu fark eşittir, ancak bir üründür.

Yani kökler ve'ye eşittir, ancak bunlardan biri eksidir.

Vieta teoremi bize köklerin toplamının zıt işaretli ikinci katsayıya eşit olduğunu söyler.

Bu, daha küçük kökün bir eksiye sahip olacağı anlamına gelir: ve, çünkü.

Cevap: ; .

Örnek 31

Görev 5.

İlk önce ne yapmalısınız?

Bu doğru, denklemi verin:

Tekrar: Sayının faktörlerini seçiyoruz ve aralarındaki fark şuna eşit olmalıdır:

Kökler ve'ye eşittir, ancak bunlardan biri eksidir. Hangi? Toplamları eşit olmalıdır, yani eksi daha büyük bir köke sahip olacaktır.

Cevap: ; .

Özetleyelim

1. Vieta teoremi yalnızca verilen ikinci dereceden denklemlerde kullanılır.
2. Vieta teoremini kullanarak kökleri seçim yoluyla sözlü olarak bulabilirsiniz.
3. Denklem verilmezse veya serbest terimin uygun bir faktör çifti bulunmazsa, o zaman tam kök yoktur ve bunu başka bir şekilde (örneğin, bir diskriminant aracılığıyla) çözmeniz gerekir.

3. Tam kareyi seçme yöntemi

Bilinmeyeni içeren tüm terimler, kısaltılmış çarpma formüllerinden (toplamın veya farkın karesi) terimler biçiminde temsil edilirse, değişkenleri değiştirdikten sonra denklem, türün tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi biçiminde sunulabilir.

Eğer p ise o zaman

Örnek 32

Denklemi çözün: .

Çözüm:

Cevap:

Örnek 33

Denklemi çözün: .

Çözüm:

Cevap:

İÇİNDE genel görünüm dönüşüm şöyle görünecek:

Şöyle: .

Sana hiçbir şey hatırlatmıyor mu?

Bu ayrımcılıktır! Diskriminant formülünü tam olarak bu şekilde elde ettik.

DÖRTLÜ DENKLEMLER. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

İkinci dereceden denklem- bu, - bilinmeyenin, - ikinci dereceden denklemin katsayılarının, - serbest terimin olduğu formun bir denklemidir.

Tam ikinci dereceden denklem- katsayıların sıfıra eşit olmadığı bir denklem.

Azaltılmış ikinci dereceden denklem- katsayının olduğu bir denklem: .

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem- katsayı ve/veya serbest terim c'nin sıfıra eşit olduğu bir denklem:

• katsayı ise denklem şuna benzer: ,
• serbest bir terim varsa denklem şu şekildedir: ,
• eğer ve ise denklem şuna benzer: .

1. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmek için algoritma

1.1. Formun tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi, burada:

1) Bilinmeyeni ifade edelim: ,

2) İfadenin işaretini kontrol edin:

• eğer öyleyse denklemin çözümü yok,
• eğer öyleyse denklemin iki kökü vardır.

1.2. Formun tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi, burada:

1) Parantez içindeki ortak çarpanı çıkaralım: ,

2) Faktörlerden en az birinin sıfıra eşit olması durumunda çarpım sıfıra eşittir. Bu nedenle denklemin iki kökü vardır:

1.3. Formun tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi, burada:

Bu denklemin her zaman tek bir kökü vardır: .

2. Formun ikinci dereceden tam denklemlerini çözmek için algoritma

2.1. Diskriminant kullanarak çözüm

1) Denklemi standart forma getirelim: ,

2) Denklemin kök sayısını gösteren formülü kullanarak diskriminantı hesaplayalım:

3) Denklemin köklerini bulun:

• eğer öyleyse, denklemin aşağıdaki formülle bulunan kökleri vardır:
• eğer öyleyse, denklemin aşağıdaki formülle bulunan bir kökü vardır:
• eğer öyleyse denklemin kökleri yoktur.

2.2. Vieta teoremini kullanarak çözüm

İndirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı (formun denklemi) eşittir ve köklerin çarpımı eşittir, yani. , A.

2.3. Tam kare seçme yöntemiyle çözüm