Soyutluktan matematiksel kavramlar Bazen öyle bir kopukluk havası vardır ki istemsizce şu düşünce ortaya çıkar: "Bütün bunlar neden?" Ancak ilk izlenime rağmen tüm teoremler, aritmetik işlemler, işlevler vb. - tatmin etme arzusundan başka bir şey değil acil ihtiyaçlar. Bu, özellikle çeşitli setlerin ortaya çıkması örneğinde açıkça görülebilir.

Her şey görünüşle başladı doğal sayılar. Ve şimdi herhangi birinin bunun tam olarak nasıl olduğunu cevaplaması pek mümkün olmasa da, büyük olasılıkla bilim kraliçesinin bacakları mağarada bir yerden büyüyor. Burada, derilerin, taşların ve kabile üyelerinin sayısını analiz ettiğimizde, kişinin birçok "sayılması gereken sayısı" vardır. Ve bu onun için yeterliydi. Bir noktaya kadar elbette.

Daha sonra derilerin ve taşların bölünüp götürülmesi gerekiyordu. Aritmetik işlemlere ve onlarla birlikte m/n gibi bir kesir olarak tanımlanabilecek rasyonel işlemlere ihtiyaç bu şekilde ortaya çıktı; burada örneğin m, deri sayısı, n, kabile arkadaşlarının sayısıdır.

Görünüşe göre halihazırda keşfedilen matematiksel aparat hayattan zevk almak için oldukça yeterli. Ancak çok geçmeden sonucun yalnızca tam sayı değil, kesir bile olmadığı durumlar olduğu ortaya çıktı! Ve aslında ikinin karekökü pay ve payda kullanılarak başka şekilde ifade edilemez. Veya örneğin eski Yunan bilim adamı Arşimed'in keşfettiği ünlü Pi sayısı da rasyonel değildir. Ve zamanla bu tür keşifler o kadar çoğaldı ki, "rasyonelleştirilemeyen" tüm sayılar birleştirildi ve irrasyonel olarak adlandırıldı.

Özellikler

Daha önce ele alınan kümeler matematiğin bir dizi temel kavramına aittir. Bu, daha basit matematiksel nesnelerle tanımlanamayacakları anlamına gelir. Ancak bu, kategorilerin (Yunanca "ifadelerden") veya varsayımların yardımıyla yapılabilir. İÇİNDE bu durumda Bu kümelerin özelliklerini belirtmek en iyisiydi.

O İrrasyonel sayılar Alt sayıda en büyük sayıya sahip olmayan ve üst sayıda en küçük sayıya sahip olmayan rasyonel sayılar kümesindeki Dedekind bölümlerini tanımlar.

o Her aşkın sayı irrasyoneldir.

o Her irrasyonel sayı ya cebirseldir ya da aşkındır.

o İrrasyonel sayılar kümesi sayı doğrusu üzerinde her yerde yoğundur: herhangi iki sayı arasında bir irrasyonel sayı vardır.

o İrrasyonel sayılar kümesi sayılamaz ve ikinci Baire kategorisinin bir kümesidir.

o Bu küme sıralıdır, yani her iki farklı a ve b rasyonel sayısı için hangisinin diğerinden küçük olduğunu belirtebilirsiniz.
o Her iki farklı rasyonel sayı arasında en az bir rasyonel sayı daha vardır ve dolayısıyla sonsuz küme rasyonel sayılar.

o Herhangi iki rasyonel sayı üzerinde aritmetik işlemler (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) her zaman mümkündür ve belirli bir rasyonel sayıyla sonuçlanır. Bunun istisnası sıfıra bölmedir ki bu imkansızdır.

o Her rasyonel sayı ondalık kesir (sonlu veya sonsuz periyodik) olarak temsil edilebilir.

Tüm rasyonel sayılar şu şekilde temsil edilebilir: ortak kesir. Bu, tam sayılar (örneğin, 12, –6, 0) ve sonlu ondalık kesirler (örneğin, 0,5; –3,8921) ve sonsuz periyodik ondalık kesirler (örneğin, 0,11(23); –3 ,(87) için geçerlidir. )).

Fakat sonsuz periyodik olmayan ondalık sayılar sıradan kesirler olarak temsil edilemez. İşte bunlar irrasyonel sayılar(yani mantıksızdır). Böyle bir sayının bir örneği, yaklaşık olarak 3,14'e eşit olan π sayısıdır. Ancak tam olarak neye eşit olduğu belirlenemez, çünkü 4 sayısından sonra tekrar eden dönemlerin ayırt edilemediği sonsuz sayıda başka sayı dizisi vardır. Üstelik π sayısı kesin olarak ifade edilemese de kendine özgü bir anlamı vardır. geometrik anlamı. π sayısı herhangi bir dairenin uzunluğunun çapının uzunluğuna oranıdır. Dolayısıyla irrasyonel sayılar da tıpkı rasyonel sayılar gibi aslında doğada mevcuttur.

İrrasyonel sayılara bir başka örnek de kareköklerdir. pozitif sayılar. Bazı sayıların köklerini çıkarmak rasyonel değerler verirken, diğerlerinden irrasyonel değerler verir. Örneğin √4 = 2, yani 4'ün kökü bir rasyonel sayıdır. Ancak √2, √5, √7 ve diğerleri irrasyonel sayılarla sonuçlanır, yani bunlar yalnızca yaklaşık olarak belirli bir ondalık basamağa yuvarlanarak çıkarılabilir. Bu durumda kesir periyodik olmayan hale gelir. Yani bu sayıların kökünün ne olduğunu tam ve kesin olarak söylemek mümkün değildir.

Yani √4 = 2 ve √9 = 3 olduğundan √5, 2 ile 3 sayıları arasında yer alan bir sayıdır. Ayrıca √4'ün √5'e olduğundan daha yakın olması nedeniyle √5'in 2'ye 3'ten daha yakın olduğu sonucuna da varabiliriz. √9 ila √5. Aslında √5 ≈ 2,23 veya √5 ≈ 2,24.

İrrasyonel sayılar diğer hesaplamalarda da elde edilir (ve yalnızca köklerin çıkarılması sırasında değil) ve negatif olabilir.

İrrasyonel sayılarla ilgili olarak böyle bir sayının ifade ettiği uzunluğu ölçmek için hangi birim parçasını alırsak alalım kesin olarak ölçemeyeceğimizi söyleyebiliriz.

Aritmetik işlemlerde rasyonel sayıların yanı sıra irrasyonel sayılar da yer alabilir. Aynı zamanda bir takım düzenlilikler de var. Örneğin, bir aritmetik işlemde yalnızca rasyonel sayılar yer alıyorsa sonuç her zaman rasyonel bir sayı olur. Operasyona sadece irrasyonel olanlar katılırsa, sonucun rasyonel mi yoksa irrasyonel bir sayı mı olacağını kesin olarak söylemek imkansızdır.

Örneğin, iki irrasyonel sayıyı (√2 * √2) çarparsanız 2 elde edersiniz - bu bir rasyonel sayıdır. Öte yandan √2 * √3 = √6 irrasyonel bir sayıdır.

Bir aritmetik işlem rasyonel ve irrasyonel sayıları içeriyorsa sonuç irrasyonel olacaktır. Örneğin, 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 – 4.

√17 – 4 neden irrasyonel bir sayıdır? Sonucun bir x rasyonel sayısı olduğunu varsayalım. O halde √17 = x + 4. Ancak x + 4 rasyonel bir sayıdır çünkü x'in rasyonel olduğunu varsaydık. 4 sayısı da rasyonel olduğundan x + 4 rasyoneldir. Ancak bir rasyonel sayı √17 irrasyonel sayısına eşit olamaz. Dolayısıyla √17 – 4'ün rasyonel sonuç vereceği varsayımı yanlıştır. Bir aritmetik işlemin sonucu irrasyonel olacaktır.

Ancak bu kuralın bir istisnası vardır. İrrasyonel bir sayıyı 0 ile çarparsak 0 rasyonel sayısını elde ederiz.

Hangi sayılar irrasyoneldir? İrrasyonel sayı- bu mantıklı değil gerçek sayı, yani kesir olarak (iki tam sayının oranı olarak) temsil edilemez; burada M- tamsayı, N- doğal sayı. İrrasyonel sayı sonsuz periyodik olmayan bir şekilde temsil edilebilir ondalık.

İrrasyonel sayı kesin bir anlamı olmayabilir. Yalnızca 3.333333 biçiminde…. Örneğin ikinin karekökü irrasyonel bir sayıdır.

Hangi sayı irrasyoneldir? İrrasyonel sayı(rasyonel olanın aksine) sonsuz ondalık periyodik olmayan kesir olarak adlandırılır.

İrrasyonel sayılar kümesi genellikle gölgesiz, kalın bir üslupla büyük Latin harfleriyle gösterilir. O.:

Onlar. İrrasyonel sayılar kümesi, gerçek sayılar ile rasyonel sayılar kümeleri arasındaki farktır.

İrrasyonel sayıların özellikleri.

• Negatif olmayan 2 irrasyonel sayının toplamı bir rasyonel sayı olabilir.
• İrrasyonel sayılar, rasyonel sayılar kümesindeki Dedekind kesimlerini tanımlar, alt sınıfta yer alan büyük sayı ve üst kısımda daha az yok.
• Her gerçek aşkın sayı irrasyonel bir sayıdır.
• Tüm irrasyonel sayılar ya cebirseldir ya da aşkındır.
• İrrasyonel sayılar kümesi sayı doğrusu üzerinde her yerde yoğundur: Her sayı çifti arasında bir irrasyonel sayı vardır.
• İrrasyonel sayılar kümesindeki sıra, gerçek aşkın sayılar kümesindeki sıraya izomorftur.
• İrrasyonel sayılar kümesi sonsuzdur ve 2. kategorinin bir kümesidir.
• Rasyonel sayılarla yapılan her aritmetik işlemin sonucu (0'a bölme hariç) bir rasyonel sayıdır. İrrasyonel sayılar üzerinde yapılan aritmetik işlemlerin sonucu rasyonel veya irrasyonel bir sayı olabilir.
• Bir rasyonel sayı ile irrasyonel bir sayının toplamı her zaman bir irrasyonel sayı olacaktır.
• İrrasyonel sayıların toplamı rasyonel bir sayı olabilir. Örneğin, izin vermek X o zaman mantıksız y=x*(-1) aynı zamanda mantıksız; x+y=0, ve numara 0 rasyonel (örneğin, herhangi bir derece 7'nin kökünü eklersek ve aynı derece yedinin kökünü çıkarırsak, 0 rasyonel sayısını elde ederiz).

İrrasyonel sayılar, örnekler.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — deltalar — α — e — π — δ

Köklerini ise Latince “akıl” anlamına gelen “ratio” kelimesinden alıyorlardı. Birebir çeviriye dayanarak:

• Rasyonel sayı “makul sayıdır”.
• Buna göre irrasyonel bir sayı “makul olmayan bir sayıdır”.

Rasyonel sayının genel kavramı

Rasyonel sayı şu şekilde yazılabilen bir sayıdır:

1. Sıradan bir pozitif kesir.
2. Negatif ortak kesir.
3. Sıfır (0) sayısı olarak.

Başka bir deyişle, bir rasyonel sayı için aşağıdaki tanımlar geçerlidir:

• Herhangi bir doğal sayı, doğası gereği rasyoneldir, çünkü herhangi bir doğal sayı, sıradan bir kesir olarak temsil edilebilir.
• Herhangi bir tam sayı, pozitif sıradan kesir olarak, negatif sıradan kesir olarak veya sıfır sayısı olarak yazılabildiğinden, sıfır sayısı da dahil olmak üzere herhangi bir tam sayı.
• Herhangi bir sıradan kesir, pozitif ya da negatif olması önemli değil, aynı zamanda doğrudan rasyonel sayının tanımına da yaklaşır.
• Tanım aynı zamanda şunları içerir: karışık sayı, sonlu bir ondalık kesir veya sonsuz bir periyodik kesir.

Rasyonel sayı örnekleri

Rasyonel sayı örneklerine bakalım:

• Doğal sayılar - “4”, “202”, “200”.
• Tam sayılar - “-36”, “0”, “42”.
• Sıradan kesirler.

Yukarıdaki örneklerden açıkça görülüyor ki rasyonel sayılar hem pozitif hem de negatif olabilir. Doğal olarak aynı zamanda rasyonel bir sayı olan 0 (sıfır) sayısı aynı zamanda pozitif veya negatif sayı kategorisine ait değildir.

Bu nedenle genel eğitim programına şu tanımı kullanarak hatırlatmak isterim: “Rasyonel sayılar”, x (pay) tam sayı, y (payda) ise bir kesir olarak yazılabilen sayılardır. doğal sayı.

İrrasyonel sayının genel kavramı ve tanımı

"Rasyonel sayılar"ın yanı sıra "irrasyonel sayılar" olarak adlandırılan sayıları da biliyoruz. Bu sayıları kısaca tanımlamaya çalışalım.

Bir karenin köşegenini kenarları boyunca hesaplamak isteyen eski matematikçiler bile irrasyonel bir sayının varlığını öğrendiler.
Rasyonel sayıların tanımına dayanarak mantıksal bir zincir oluşturabilir ve irrasyonel sayının tanımını verebilirsiniz.
Yani esasen bunlar gerçek sayılar Rasyonel olmayanlar sadece irrasyonel sayılardır.
İrrasyonel sayıları ifade eden ondalık kesirler periyodik ve sonsuz değildir.

İrrasyonel sayı örnekleri

Açıklık sağlamak için irrasyonel sayının küçük bir örneğini ele alalım. Daha önce anladığımız gibi, periyodik olmayan sonsuz ondalık kesirlere irrasyonel denir, örneğin:

• “-5.020020002...” sayısı (ikilerin bir, iki, üç vb. sıfırlardan oluşan bir diziyle ayrıldığı açıkça görülüyor)
• “7.040044000444...” sayısı (burada bir zincirde dörtlü sayının ve sıfırlı sayının her seferinde birer birer arttığı açıktır).
• Herkes Pi sayısını bilir (3,1415...). Evet evet aynı zamanda mantıksız.

Genel olarak tüm reel sayılar hem rasyonel hem de irrasyoneldir. Konuşuyorum basit kelimelerle irrasyonel bir sayı sıradan bir x/y kesri olarak temsil edilemez.

Genel sonuç ve sayılar arasında kısa karşılaştırma

Her sayıya ayrı ayrı baktık ama rasyonel sayı ile irrasyonel sayı arasındaki fark devam ediyor:

1. Karekök çıkarıldığında, bir daireyi çapına bölerken vb. irrasyonel bir sayı ortaya çıkar.
2. Rasyonel sayı ortak bir kesri temsil eder.

Birkaç tanımla yazımızı sonlandıralım:

• Bir rasyonel sayı üzerinde 0'a (sıfır) bölme dışında yapılan bir aritmetik işlem, sonuçta aynı zamanda bir rasyonel sayıya da yol açacaktır.
• İrrasyonel bir sayı üzerinde aritmetik işlem yapıldığında ortaya çıkan nihai sonuç, hem rasyonel hem de irrasyonel bir değere yol açabilir.
• Her iki sayı da bir aritmetik işlemde yer alıyorsa (sıfırla bölme veya çarpma hariç), sonuç irrasyonel bir sayı olacaktır.

İrrasyonel sayılar kümesi genellikle büyük harfle gösterilir ben (\displaystyle \mathbb (I)) gölgeleme olmadan cesur bir tarzda. Böylece: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \ters eğik çizgi \mathbb (Q)) yani irrasyonel sayılar kümesi reel ve rasyonel sayılar kümeleri arasındaki farktır.

İrrasyonel sayıların, daha kesin olarak, birim uzunluktaki bir bölümle ölçülemeyen bölümlerin varlığı, eski matematikçiler tarafından zaten biliniyordu: örneğin, bir karenin köşegeninin ve kenarının orantısızlığını biliyorlardı ki bu da karenin irrasyonelliğine eşdeğerdir. numara.

Ansiklopedik YouTube

• 1 / 5

  Mantıksız olanlar:

  İrrasyonelliğin kanıt örnekleri

  2'nin kökü

  Tam tersini varsayalım: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) rasyonel, yani kesir olarak temsil edilir m n (\ displaystyle (\ frac (m) (n))), Nerede m (\displaystyle m) bir tamsayıdır ve n (\displaystyle n)- doğal sayı.

  Sözde eşitliğin karesini alalım:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Rightarrow m^(2)=2n^(2)).

  Hikaye

  Antik Çağ

  İrrasyonel sayılar kavramı, Manava'nın (M.Ö. 750 - MÖ 690) 2 ve 61 gibi bazı doğal sayıların kareköklerinin açıkça ifade edilemeyeceğini bulmasıyla M.Ö. 7. yüzyılda Hintli matematikçiler tarafından dolaylı olarak benimsenmiştir. [ ] .

  İrrasyonel sayıların varlığının ilk kanıtı genellikle bir Pisagorcu olan Metapontuslu Hippasus'a (MÖ 500 civarı) atfedilir. Pisagorcular zamanında, herhangi bir parçada tamsayı sayısını içeren, yeterince küçük ve bölünmez tek bir uzunluk biriminin olduğuna inanılıyordu. ] .

  Hippasus'un hangi sayının irrasyonel olduğunu kanıtladığına dair kesin bir veri yoktur. Efsaneye göre bunu pentagramın kenarlarının uzunluklarını inceleyerek buldu. Bu nedenle bunun altın oran olduğunu varsaymak mantıklıdır. ] .

  Yunan matematikçiler bu orantısız miktarlar adını verdiler özür dilerim(anlatılamaz), ancak efsanelere göre Hippasus'a gereken saygıyı göstermediler. Hippasus'un bu keşfi bir deniz yolculuğu sırasında yaptığı ve diğer Pisagorcular tarafından "evrendeki tüm varlıkların tam sayılara ve bunların oranlarına indirgenebileceği doktrinini reddeden bir evren unsuru yarattığı için" denize atıldığına dair bir efsane vardır. Hippasus'un keşfi Pisagor matematiği için ciddi bir sorun teşkil etti ve sayıların ve geometrik nesnelerin bir ve ayrılamaz olduğu yönündeki temel varsayımı yok etti.