Tekil olmayan herhangi bir A matrisi için benzersiz bir A-1 matrisi vardır, öyle ki

A*A -1 =A -1 *A = E,

burada E, A ile aynı mertebeden birim matristir. A-1 matrisine A matrisinin tersi denir.

Birinin unutması durumunda, birim matriste, birlerle dolu köşegen hariç, diğer tüm konumlar sıfırlarla doldurulur, bir birim matris örneği:

Ek matris yöntemini kullanarak ters matrisi bulma

Ters matris aşağıdaki formülle tanımlanır:

burada A ij - öğeler a ij.

Onlar. hesaplamak ters matris Bu matrisin determinantını hesaplamanız gerekir. Daha sonra tüm elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarını bulun ve onlardan yeni bir matris oluşturun. Daha sonra bu matrisi taşımanız gerekiyor. Ve yeni matrisin her elemanını orijinal matrisin determinantına bölün.

Birkaç örneğe bakalım.

Bir matris için A -1'i bulun

Çözüm A -1'i ek matris yöntemini kullanarak bulalım. Elimizde det A = 2 var. A matrisinin elemanlarının cebirsel tümleyenlerini bulalım. bu durumda Matris elemanlarının cebirsel tamamlayıcıları, formüle uygun olarak bir işaretle alınan matrisin kendisinin karşılık gelen elemanları olacaktır.

A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2'ye sahibiz. Ek matrisi oluşturuyoruz

A*: matrisini taşıyoruz

Ters matrisi aşağıdaki formülü kullanarak buluruz:

Şunu elde ederiz:

Eş matris yöntemini kullanarak, eğer A -1'i bulun:

Çözüm: Öncelikle ters matrisin varlığını doğrulamak için bu matrisin tanımını hesaplıyoruz. Sahibiz

Burada ikinci satırın elemanlarına daha önce (-1) ile çarptığımız üçüncü satırın elemanlarını ekledik ve ardından ikinci satırın determinantını genişlettik. Bu matrisin tanımı sıfırdan farklı olduğundan ters matrisi mevcuttur. Birleşik matrisi oluşturmak için bu matrisin elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarını buluruz. Sahibiz

Formüle göre

taşıma matrisi A*:

Daha sonra formüle göre

Temel dönüşüm yöntemini kullanarak ters matrisi bulma

Formülden çıkan ters matrisi bulma yöntemine (ek matris yöntemi) ek olarak, temel dönüşümler yöntemi adı verilen ters matrisi bulma yöntemi de vardır.

Temel matris dönüşümleri

Aşağıdaki dönüşümlere temel matris dönüşümleri denir:

1) satırların (sütunların) yeniden düzenlenmesi;

2) bir satırın (sütun) sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılması;

3) bir satırın (sütun) elemanlarına, daha önce belirli bir sayı ile çarpılmış başka bir satırın (sütun) karşılık gelen elemanlarının eklenmesi.

A -1 matrisini bulmak için, (n; 2n) dereceli dikdörtgen bir B = (A|E) matrisi oluştururuz ve sağdaki A matrisine bir bölme çizgisi aracılığıyla E birim matrisini atarız:

Bir örneğe bakalım.

Temel dönüşüm yöntemini kullanarak, eğer A -1'i bulun:

Çözüm B matrisini oluşturuyoruz:

B matrisinin satırlarını α 1, α 2, α 3 ile gösterelim. B matrisinin satırları üzerinde aşağıdaki dönüşümleri yapalım.

A*A-1 = E ise, A-1 matrisi, A matrisine göre ters matris olarak adlandırılır; burada E, n'inci dereceden birim matristir. Ters bir matris yalnızca kare matrisler için mevcut olabilir.

Hizmetin amacı. Kullanarak bu hizmetin V çevrimiçi mod cebirsel tamamlayıcılar, transpoze matris A T, müttefik matris ve ters matris bulunabilir. Karar doğrudan web sitesinde (çevrimiçi) gerçekleştirilir ve ücretsizdir. Hesaplama sonuçları Word ve Excel formatında bir rapor halinde sunulur (yani çözümü kontrol etmek mümkündür). tasarım örneğine bakın.

Talimatlar. Çözüm elde etmek için matrisin boyutunun belirtilmesi gerekir. Daha sonra yeni iletişim kutusunda A matrisini doldurun.

Ayrıca bkz. Jordano-Gauss yöntemini kullanan ters matris

Ters matrisi bulmak için algoritma

1. A T devrik matrisini bulma.
2. Cebirsel tümleyenlerin tanımı. Matrisin her elemanını cebirsel tümleyeniyle değiştirin.
3. Cebirsel toplamalardan ters bir matris derlemek: Ortaya çıkan matrisin her bir elemanı, orijinal matrisin determinantına bölünür. Ortaya çıkan matris orijinal matrisin tersidir.

Sonraki ters matrisi bulmak için algoritma bazı adımlar dışında öncekine benzer: önce cebirsel tamamlayıcılar hesaplanır ve ardından müttefik matris C belirlenir.

1. Matrisin kare olup olmadığını belirleyin. Değilse, o zaman bunun için ters matris yoktur.
2. A matrisinin determinantının hesaplanması. Eğer yapmazsa sıfıra eşit, çözüme devam ediyoruz, aksi takdirde ters matris mevcut değildir.
3. Cebirsel tümleyenlerin tanımı.
4. Birleşim (karşılıklı, ek) matrisinin doldurulması C .
5. Cebirsel toplamalardan ters bir matris derlemek: C ek matrisinin her bir elemanı, orijinal matrisin determinantına bölünür. Ortaya çıkan matris orijinal matrisin tersidir.
6. Bir kontrol yapıyorlar: orijinali ve ortaya çıkan matrisleri çarpıyorlar. Sonuç bir kimlik matrisi olmalıdır.

Örnek No.1. Matrisi şu şekilde yazalım:

Cebirsel eklemeler. ∆ 1,2 = -(2·4-(-2·(-2)))) = -4 ∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7 ∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1 ∆ 3,2 = -(-1·(-2)-2·3) = 4

bir -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Ters matrisi bulmak için başka bir algoritma

Ters matrisi bulmak için başka bir şema sunalım.

1. Verilen bir A kare matrisinin determinantını bulun.
2. A matrisinin tüm elemanlarının cebirsel tümleyenlerini buluyoruz.
3. Satır elemanlarının sütunlara cebirsel olarak eklenmesini (transpozisyon) yazarız.
4. Ortaya çıkan matrisin her bir elemanını A matrisinin determinantına bölüyoruz.

Gördüğümüz gibi, transpozisyon işlemi hem orijinal matrisin başında hem de sonuçta elde edilen cebirsel toplamaların sonunda uygulanabilir.

Özel durum: E birim matrisinin tersi, E birim matrisidir.

Belirli bir dizi için her bir elemanı ikinciden başlayarak bir öncekine eşit olan ve aynı sayıya eklenen sayısal diziye aritmetik ilerleme denir. Her arandığında bir önceki numaraya eklenen numara aranır fark aritmetik ilerleme ve harfle belirtilir D.

Bu yüzden, sayı dizisi bir 1; bir 2; bir 3; bir 4; bir 5; ... ve a 2 = a 1 + d ise n bir aritmetik ilerleme olacaktır;

a 3 = a 2 + d;

Ortak terimli bir aritmetik ilerlemenin verildiğini söylüyorlar ve n. Yazın: aritmetik bir ilerleme verilir (BİR).

Bir aritmetik ilerlemenin ilk terimi biliniyorsa tanımlanmış sayılır 1 ve fark D.

Aritmetik ilerleme örnekleri

Örnek 1. 1; 3; 5; 7; 9;...Burada 1 = 1; D = 2.

Örnek 2. 8; 5; 2; -1; -4; -7; -10;... İşte 1 = 8; D =-3.

Örnek 3.-16; -12; -8; -4;... İşte 1 = -16; D = 4.

İkinciden başlayarak ilerlemenin her teriminin, komşu terimlerin aritmetik ortalamasına eşit olduğuna dikkat edin.

1 örnekte ikinci dönem 3 =(1+5): 2; onlar. a 2 = (a 1 + a 3) : 2; üçüncü üye 5 =(3+7): 2;

yani a 3 = (a 2 + a 4) : 2.

Yani formül geçerlidir:

Fakat aslında bir aritmetik dizideki her üye, ikinciden başlayarak, yalnızca komşu üyelerin aritmetik ortalamasına değil, aynı zamanda eşit uzaklıktaüyelerinden, yani

Haydi dönelim örnek 2. Sayı -1 aritmetik ilerlemenin dördüncü terimidir ve birinci ve yedinci terimlere eşit derecede uzaktır (ve 1 = 8 ve 7 = -10).

Formül (**)'e göre elimizde:

Formülü türetelim N- Bir aritmetik ilerlemenin üçüncü terimi.

Yani, eğer farkı birinciye eklersek, aritmetik ilerlemenin ikinci terimini elde ederiz. D; farkı ikinciye eklersek üçüncü terimi elde ederiz D veya ilk terime iki fark ekleyin D; farkı üçüncüye eklersek dördüncü terimi elde ederiz D veya ilkine üç fark ekleyin D ve benzeri.

Tahmin ettiniz: a 2 = a 1 + d;

a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d;

a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d;

…………………….

a n = a n-1 + d = a 1 + (n-1) d.

Ortaya çıkan formül BİR = A 1 + (N-1) D (***)

isminde formülNBir aritmetik ilerlemenin üçüncü terimi.

Şimdi bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamını nasıl bulacağımızdan bahsedelim. Bu miktarı şu şekilde gösterelim: Sn.

Terimlerin yerlerinin yeniden düzenlenmesi toplamın değerini değiştirmez, dolayısıyla iki şekilde yazılabilir.

Sn= a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n ve

Sn = bir n + bir n-1 + bir n-2 + bir n-3 + …...+ a 4 + a 3 + a 2 + a 1

Bu iki eşitliği terim terim toplayalım:

2S n= (a 1 + a n) + (a 2 + a n-1) + (a 3 + a n-2) + (a 4 + a n-3) + …

O halde oturup bazı sayıları yazmaya başlayalım. Örneğin:
Herhangi bir sayı yazabilirsiniz ve istediğiniz kadar sayı olabilir (bizim durumumuzda vardır). Ne kadar sayı yazarsak yazalım her zaman hangisinin birinci, hangisinin ikinci olduğunu vb. sonuncuya kadar söyleyebiliriz, yani onları numaralandırabiliriz. Bu bir sayı dizisi örneğidir:

Numara dizisi
Örneğin dizimiz için:

Atanan numara, dizideki yalnızca bir numaraya özeldir. Yani dizide üç saniyelik sayı yok. İkinci sayı (inci sayı gibi) her zaman aynıdır.
Üzerinde sayı bulunan sayıya dizinin inci terimi denir.

Genellikle dizinin tamamını bir harfle (örneğin,) çağırırız ve bu dizinin her üyesi, bu üyenin numarasına eşit bir indeksle aynı harftir: .

Bizim durumumuzda:

Diyelim ki komşu sayılar arasındaki farkın aynı ve eşit olduğu bir sayı dizimiz var.
Örneğin:

vesaire.
Bu sayı dizisine aritmetik ilerleme denir.
"İlerleme" terimi, 6. yüzyılda Romalı yazar Boethius tarafından ortaya atılmış ve daha sonra anlaşılmıştır. geniş anlamda sonsuz bir sayı dizisi gibi. "Aritmetik" adı, eski Yunanlılar tarafından incelenen sürekli oranlar teorisinden aktarılmıştır.

Bu, her bir üyesi aynı sayıya eklenen bir öncekine eşit olan bir sayı dizisidir. Bu sayıya aritmetik ilerlemenin farkı denir ve gösterilir.

Hangi sayı dizilerinin aritmetik ilerleme olduğunu, hangilerinin olmadığını belirlemeye çalışın:

A)
B)
C)
D)

Anladım? Cevaplarımızı karşılaştıralım:
öyle mi aritmetik ilerleme - b, c.
değil mi aritmetik ilerleme - a, d.

Verilen ilerlemeye () dönelim ve onun inci teriminin değerini bulmaya çalışalım. Var iki onu bulmanın yolu.

1. Yöntem

İlerlemenin 3. dönemine ulaşana kadar ilerleme sayısını önceki değere ekleyebiliriz. Özetleyecek çok fazla şeyimiz olmaması iyi bir şey; yalnızca üç değer:

Yani açıklanan aritmetik ilerlemenin inci terimi eşittir.

2. Yöntem

İlerlemenin inci teriminin değerini bulmamız gerekirse ne olur? Toplama işlemi bir saatten fazla zaman alır ve sayıları toplarken hata yapmayacağımız da bir gerçek değil.
Elbette matematikçiler, aritmetik ilerlemenin farkını önceki değere eklemenin gerekli olmadığı bir yol bulmuşlardır. Çizilen resme daha yakından bakın... Elbette belli bir modeli zaten fark etmişsinizdir, yani:

Örneğin bu aritmetik ilerlemenin . teriminin değerinin nelerden oluştuğuna bakalım:


Başka bir deyişle:

Belirli bir aritmetik ilerlemenin bir üyesinin değerini bu şekilde kendiniz bulmaya çalışın.

Hesapladın mı? Notlarınızı cevapla karşılaştırın:

Aritmetik ilerlemenin terimlerini önceki değere sırayla eklediğimizde, önceki yöntemdekiyle tamamen aynı sayıyı elde ettiğinizi lütfen unutmayın.
Bu formülü "kişisellikten arındırmaya" çalışalım - hadi hayata geçirelim genel görünüm ve şunu elde ederiz:

Aritmetik ilerleme denklemi.

Aritmetik ilerlemeler artan veya azalan olabilir.

Artan- terimlerin her bir sonraki değerinin bir öncekinden daha büyük olduğu ilerlemeler.
Örneğin:

Azalan- terimlerin her bir sonraki değerinin bir öncekinden daha küçük olduğu ilerlemeler.
Örneğin:

Türetilen formül, bir aritmetik ilerlemenin hem artan hem de azalan terimlerinin hesaplanmasında kullanılır.
Bunu pratikte kontrol edelim.
Bize aşağıdaki sayılardan oluşan bir aritmetik ilerleme veriliyor: Hesaplamak için formülümüzü kullanırsak, bu aritmetik ilerlemenin inci sayısının ne olacağını kontrol edelim:

O zamandan beri:

Dolayısıyla formülün hem azalan hem de artan aritmetik ilerlemede çalıştığına inanıyoruz.
Bu aritmetik ilerlemenin inci ve inci terimlerini kendiniz bulmaya çalışın.

Sonuçları karşılaştıralım:

Aritmetik ilerleme özelliği

Sorunu karmaşıklaştıralım - aritmetik ilerlemenin özelliğini türeteceğiz.
Diyelim ki bize aşağıdaki koşul verildi:
- aritmetik ilerleme, değeri bulun.
Kolay, deyin ve zaten bildiğiniz formüle göre saymaya başlayın:

Haydi o zaman:

Kesinlikle doğru. Önce bulduğumuz, sonra onu ilk sayıya eklediğimiz ve aradığımız şeyi elde ettiğimiz ortaya çıktı. İlerleme küçük değerlerle temsil ediliyorsa, o zaman bunda karmaşık bir şey yoktur, peki ya durumda bize sayılar verilirse? Katılıyorum, hesaplamalarda hata yapma olasılığı var.
Şimdi bu sorunu herhangi bir formülü kullanarak tek adımda çözmenin mümkün olup olmadığını düşünün. Elbette evet ve şimdi bunu ortaya çıkarmaya çalışacağız.

Aritmetik ilerlemenin gerekli terimini, onu bulma formülünü bildiğimiz gibi gösterelim - bu, başlangıçta türettiğimiz formülün aynısıdır:
, Daha sonra:

• ilerlemenin önceki dönemi:
• ilerlemenin bir sonraki dönemi:

İlerlemenin önceki ve sonraki terimlerini özetleyelim:

İlerlemenin önceki ve sonraki terimlerinin toplamının, aralarında bulunan ilerleme teriminin çift değeri olduğu ortaya çıktı. Yani önceki ve ardışık değerleri bilinen bir ilerleme teriminin değerini bulmak için bunları toplayıp bölmeniz gerekir.

Doğru, aynı numarayı aldık. Malzemeyi güvence altına alalım. İlerlemenin değerini kendiniz hesaplayın, hiç de zor değil.

Tebrikler! İlerleme hakkında neredeyse her şeyi biliyorsunuz! Geriye, efsaneye göre tüm zamanların en büyük matematikçilerinden biri olan "matematikçilerin kralı" Karl Gauss tarafından kolayca çıkarılabilen tek bir formül bulmak kalıyor...

Carl Gauss 9 yaşındayken, diğer sınıflardaki öğrencilerin çalışmalarını kontrol etmekle meşgul olan bir öğretmen sınıfta şu problemi sordu: “Tüm sayıların toplamını hesaplayın. doğal sayılar(diğer kaynaklara göre) kadar dahil.” Öğrencilerinden biri (bu Karl Gauss'tu) bir dakika sonra göreve doğru cevabı verirken, gözü pek sınıf arkadaşlarının çoğu uzun hesaplamalardan sonra yanlış sonucu aldığında öğretmenin ne kadar şaşırdığını bir düşünün...

Genç Carl Gauss, sizin de kolayca fark edebileceğiniz belli bir modeli fark etti.
Diyelim ki -'inci terimlerden oluşan bir aritmetik ilerlememiz var: Aritmetik ilerlemenin bu terimlerinin toplamını bulmamız gerekiyor. Elbette tüm değerleri manuel olarak toplayabiliriz, ancak ya görev Gauss'un aradığı gibi terimlerin toplamını bulmayı gerektiriyorsa?

Bize verilen ilerlemeyi tasvir edelim. Vurgulanan sayılara yakından bakın ve onlarla çeşitli matematiksel işlemler gerçekleştirmeye çalışın.


Hiç denedin mi? Ne fark ettin? Sağ! Toplamları eşittir

Şimdi söyleyin bana, bize verilen ilerlemede toplamda böyle kaç çift var? Tabii ki, tüm sayıların tam yarısı.
Bir aritmetik ilerlemenin iki teriminin toplamının eşit ve benzer çiftlerin eşit olduğu gerçeğine dayanarak şunu elde ederiz: toplam tutarşuna eşittir:
.
Dolayısıyla herhangi bir aritmetik ilerlemenin ilk terimlerinin toplamının formülü şu şekilde olacaktır:

Bazı problemlerde n'inci terimi bilmiyoruz ama ilerlemenin farkını biliyoruz. Üçüncü terimin formülünü toplam formülünde değiştirmeye çalışın.
Ne aldın?

Tebrikler! Şimdi Carl Gauss'a sorulan probleme dönelim: th'den başlayan sayıların toplamının ve th'den başlayan sayıların toplamının neye eşit olduğunu kendiniz hesaplayın.

Ne kadar aldın?
Gauss, terimlerin toplamının ve terimlerin toplamının eşit olduğunu buldu. Karar verdiğin şey bu mu?

Aslında aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamına ilişkin formül, 3. yüzyılda antik Yunan bilim adamı Diophantus tarafından kanıtlandı ve bu süre boyunca esprili insanlar aritmetik ilerlemenin özelliklerinden tam olarak yararlandılar.
Örneğin, hayal edin Eski Mısır ve o zamanın en büyük inşaat projesi - piramidin inşası... Resimde bunun bir tarafı görülüyor.

Buradaki ilerleme nerede diyorsunuz? Dikkatlice bakın ve piramit duvarının her sırasındaki kum bloklarının sayısında bir desen bulun.


Neden aritmetik bir ilerleme olmasın? Tabana blok tuğlalar yerleştirilirse bir duvar inşa etmek için kaç blok gerektiğini hesaplayın. Umarım parmağınızı ekranda hareket ettirirken saymazsınız, son formülü ve aritmetik ilerleme hakkında söylediğimiz her şeyi hatırlıyor musunuz?

Bu durumda ilerleme şu şekilde görünür: .
Aritmetik ilerleme farkı.
Aritmetik ilerlemenin terim sayısı.
Verilerimizi son formüllere yerleştirelim (blok sayısını 2 şekilde hesaplayalım).

Yöntem 1.

Yöntem 2.

Artık monitörde hesaplayabilirsiniz: Elde edilen değerleri piramidimizdeki blok sayısıyla karşılaştırın. Anladım? Tebrikler, aritmetik ilerlemenin n'inci terimlerinin toplamını öğrendiniz.
Elbette tabandaki bloklardan bir piramit inşa edemezsiniz, ama nereden? Bu durumda bir duvar inşa etmek için kaç tane kum tuğlaya ihtiyaç duyulduğunu hesaplamaya çalışın.
Başarabildin mi?
Doğru cevap bloklardır:

Eğitim

Görevler:

1. Masha yaz için forma giriyor. Her gün squat sayısını artırıyor. Masha ilk antrenmanda squat yaptıysa haftada kaç kez squat yapacak?
2. İçerisindeki tüm tek sayıların toplamı kaçtır?
3. Günlükleri saklarken, günlükçüler bunları, her üst katman bir öncekinden bir günlük daha az içerecek şekilde istifler. Duvarın temeli kütüklerden oluşuyorsa, bir duvarda kaç kütük vardır?

Cevaplar:

1. Aritmetik ilerlemenin parametrelerini tanımlayalım. Bu durumda
   (haftalar = günler).

   Cevap:İki hafta içinde Masha'nın günde bir kez ağız kavgası yapması gerekiyor.

2. Birinci tek sayı, son numara.
   Aritmetik ilerleme farkı.
   Tek sayıların sayısı yarıdır, ancak aritmetik ilerlemenin inci terimini bulma formülünü kullanarak bu gerçeği kontrol edelim:

   Sayılar tek sayılar içerir.
   Mevcut verileri formülde değiştirelim:

   Cevap:İçerisindeki tüm tek sayıların toplamı eşittir.

3. Piramitlerle ilgili sorunu hatırlayalım. Bizim durumumuz için a , her üst katman bir log azaltıldığı için toplamda bir sürü katman vardır, yani.
   Verileri formülde yerine koyalım:

   Cevap: Duvarda kütükler var.

Özetleyelim

1. - Bitişik sayılar arasındaki farkın aynı ve eşit olduğu bir sayı dizisi. Artabilir veya azalabilir.
2. Formül bulma Aritmetik ilerlemenin inci terimi, ilerlemedeki sayıların sayısı olan - formülüyle yazılır.
3. Aritmetik ilerlemenin üyelerinin mülkiyeti- - ilerleyen sayıların sayısı nerede.
4. Bir aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı iki şekilde bulunabilir:
   
   değerlerin sayısı nerede.

Aritmetik İlerleme. ORTA SEVİYE

Numara dizisi

Oturup bazı sayıları yazmaya başlayalım. Örneğin:

Herhangi bir sayı yazabilirsiniz ve istediğiniz kadar sayı olabilir. Ama hangisinin birinci, hangisinin ikinci olduğunu her zaman söyleyebiliriz, yani onları numaralandırabiliriz. Bu bir sayı dizisi örneğidir.

Numara dizisi her birine benzersiz bir numara atanabilen bir sayı kümesidir.

Başka bir deyişle, her sayı belirli bir doğal sayıyla ve benzersiz bir sayıyla ilişkilendirilebilir. Ve bu sayıyı bu setteki başka bir sayıya atamayacağız.

Sayı içeren sayıya dizinin th üyesi denir.

Genellikle dizinin tamamını bir harfle (örneğin,) çağırırız ve bu dizinin her üyesi, bu üyenin numarasına eşit bir indeksle aynı harftir: .

Dizinin inci teriminin bir formülle belirtilebilmesi çok uygundur. Örneğin, formül

sırayı ayarlar:

Ve formül aşağıdaki dizidir:

Örneğin, aritmetik ilerleme bir dizidir (buradaki ilk terim eşittir ve fark eşittir). Veya (, fark).

n'inci terim formülü

Terimi bulmak için önceki veya birkaç önceki terimi bilmeniz gereken bir formüle yinelenen diyoruz:

Örneğin bu formülü kullanarak ilerlemenin inci terimini bulmak için önceki dokuzunu hesaplamamız gerekecek. Mesela izin ver. Daha sonra:

Peki formülün ne olduğu şimdi anlaşıldı mı?

Her satıra eklediğimiz sayıyı bir sayıyla çarpıyoruz. Hangisi? Çok basit: bu mevcut üyenin sayısından eksi:

Artık çok daha uygun, değil mi? Kontrol ediyoruz:

Kendiniz karar verin:

Aritmetik ilerlemede n'inci terimin formülünü ve yüzüncü terimi bulun.

Çözüm:

İlk terim eşittir. Fark nedir? İşte şu:

(İlerlemenin ardışık terimlerinin farkına eşit olması nedeniyle buna fark denmesinin nedeni budur).

Yani formül:

O zaman yüzüncü terim şuna eşittir:

'den 'e kadar olan tüm doğal sayıların toplamı nedir?

Efsaneye göre büyük matematikçi Carl Gauss, 9 yaşında bir çocukken bu miktarı birkaç dakika içinde hesaplamıştı. İlk ve son sayıların toplamının eşit olduğunu, ikinci ve sondan bir önceki sayıların toplamının aynı olduğunu, sondan üçüncü ve 3'üncü sayıların toplamının aynı olduğunu vb. fark etti. Toplamda bu tür çiftlerden kaç tane var? Bu doğru, tüm sayıların tam yarısı kadar. Bu yüzden,

Herhangi bir aritmetik ilerlemenin ilk terimlerinin toplamı için genel formül şöyle olacaktır:

Örnek:
Hepsinin toplamını bulun çift ​​haneli sayılar, katları.

Çözüm:

Bu türden ilk sayı şudur. Sonraki her sayı, bir önceki sayıya eklenerek elde edilir. Böylece ilgilendiğimiz sayılar ilk terimi ve farkıyla aritmetik bir ilerleme oluşturur.

Bu ilerlemenin inci teriminin formülü:

Hepsinin iki basamaklı olması gerekiyorsa ilerlemede kaç terim vardır?

Çok kolay: .

İlerlemenin son terimi eşit olacaktır. Sonra toplam:

Cevap: .

Şimdi kendiniz karar verin:

1. Sporcu her gün bir önceki güne göre daha fazla metre koşar. İlk gün m km koşarsa haftada toplam kaç kilometre koşacaktır?
2. Bir bisikletçi her gün bir önceki güne göre daha fazla kilometre kat eder. İlk gün km yol kat etti. Bir kilometreyi kat etmek için kaç gün yol alması gerekiyor? Yolculuğunun son gününde kaç kilometre yol kat edecek?
3. Bir mağazadaki buzdolabının fiyatı her yıl aynı miktarda düşüyor. Ruble karşılığında satışa sunulan ve altı yıl sonra ruble karşılığında satılan bir buzdolabının fiyatının her yıl ne kadar düştüğünü belirleyin.

Cevaplar:

1. Burada en önemli şey aritmetik ilerlemeyi tanımak ve parametrelerini belirlemektir. Bu durumda (haftalar = günler). Bu ilerlemenin ilk terimlerinin toplamını belirlemeniz gerekir:
   .
   Cevap:
2. Burada verilmiştir: , bulunmalıdır.
   Açıkçası, önceki problemdekiyle aynı toplam formülünü kullanmanız gerekir:
   .
   Değerleri değiştirin:

   Kök açıkça uymuyor, dolayısıyla cevap şu.
   Son gün boyunca kat edilen yolu, inci terimin formülünü kullanarak hesaplayalım:
   (km).
   Cevap:

3. Verilen: . Bulmak: .
   Daha basit olamazdı:
   (ovmak).
   Cevap:

Aritmetik İlerleme. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Bu, bitişik sayılar arasındaki farkın aynı ve eşit olduğu bir sayı dizisidir.

Aritmetik ilerleme artan () ve azalan () olabilir.

Örneğin:

Aritmetik ilerlemenin n'inci terimini bulma formülü

artan sayıların sayısı olan formülle yazılır.

Aritmetik ilerlemenin üyelerinin mülkiyeti

Bir ilerlemenin bir terimini, eğer komşu terimleri biliniyorsa (ilerlemedeki sayıların sayısı nerede) kolayca bulmanızı sağlar.

Aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı

Tutarı bulmanın iki yolu vardır:

Değerlerin sayısı nerede.

Değerlerin sayısı nerede.

Yani, matrisleri çevrimiçi çözmeye yönelik hizmetler:

Matrislerle çalışma hizmeti, matrislerin temel dönüşümlerini gerçekleştirmenize olanak tanır.
Daha karmaşık bir dönüşüm gerçekleştirme göreviniz varsa, bu hizmet yapıcı olarak kullanılmalıdır.

Örnek. Verilen matrisler A Ve B bulmam lazım C = A -1 * B + B T,

1. İlk önce bulmalısın ters matrisA1 = A-1, ters matrisi bulma hizmetini kullanma;
2. Daha sonra matrisi bulduktan sonra A1 Hadi yapalım matris çarpımıA2 = A1 * B matris çarpım hizmetini kullanarak;
3. Hadi yapalım matris devrikA3 = B T (transpoze edilmiş bir matris bulma hizmeti);
4. Son olarak matrislerin toplamını bulalım İLE = A2 + A3(matrislerin toplamını hesaplama hizmeti) - ve en ayrıntılı çözümü içeren bir cevap alıyoruz!;

Matrislerin çarpımı

Bu, çevrimiçi bir hizmettir iki adım:

• İlk faktör matrisini girin A
• İkinci faktör matrisini veya sütun vektörünü girin B

Bir matrisin bir vektörle çarpılması

Bir matrisin bir vektörle çarpımı hizmeti kullanılarak bulunabilir. Matris çarpımı
(Birinci faktör bu matris, ikinci faktör bu vektörün elemanlarından oluşan sütun olacaktır)

Bu, çevrimiçi bir hizmettir iki adım:

• Matrisi girin A bunun için ters matrisi bulmamız gerekiyor
• Ters matrisi bulmaya yönelik ayrıntılı bir çözüm içeren bir yanıt alın

Matris determinantı

Bu, çevrimiçi bir hizmettir bir adım:

• Matrisi girin A bunun için matrisin determinantını bulmamız gerekiyor

Matris Transpozu

Burada matris aktarımı algoritmasını takip edebilir ve benzer problemleri kendiniz nasıl çözeceğinizi öğrenebilirsiniz.
Bu, çevrimiçi bir hizmettir bir adım:

• Matrisi girin A aktarılması gereken

Matris sıralaması

Bu, çevrimiçi bir hizmettir bir adım:

• Matrisi girin A, bunun için rütbeyi bulmanız gerekiyor

Matris özdeğerleri ve matris özvektörleri

Bu, çevrimiçi bir hizmettir bir adım:

• Matrisi girin Aözvektörleri ve özdeğerleri (özdeğerler) bulmanız gereken

Matris üssü

Bu, çevrimiçi bir hizmettir iki adım:

• Matrisi girin A, onu güce yükselteceksin
• Bir tamsayı girin Q- derece