................................ 1

1. Giriş.................................................................. .... .................................................... ...... ... 2

2. Sistemler diferansiyel denklemler 1. sıra................................... 3

3. 1. mertebeden lineer diferansiyel denklem sistemleri................. 2

4. Sabit katsayılı doğrusal homojen diferansiyel denklem sistemleri.................................................. ................................................................... ................... .... 3

5. Sabit katsayılı 1. mertebeden homojen olmayan diferansiyel denklem sistemleri.................................................. ................ ................................................. ...................... ....... 2

Laplace dönüşümü................................................................................ 1

6. Giriş.................................................................. ......... ................................................... .................. ... 2

7. Laplace dönüşümünün özellikleri.................................................. ......................... 3

8. Laplace dönüşümünün uygulamaları.................................................. ......... ...... 2

İntegral Denklemlere Giriş............................................................... 1

9. Giriş................................................................ .... .................................................... ...... ... 2

10. Öğeler genel teori Doğrusal integral denklemler................................. 3

11. 2. tür Fredholm integral denklemlerinin yinelemeli çözüm kavramı.................................................. ................. .................................. .................................................... ........ 2

12. Volterra denklemi.................................................. ....................................... 2

13. Volterra denklemlerinin Laplace dönüşümünü kullanarak fark çekirdeğiyle çözülmesi.................................................. ..... ................................... ........ 2

Adi diferansiyel denklem sistemleri

giriiş

Adi diferansiyel denklem sistemleri, bir değişkenin bilinmeyen fonksiyonlarının türevlerini içeren birkaç denklemden oluşur. Genel olarak böyle bir sistem şu şekildedir:

bilinmeyen işlevler nerede, T– bağımsız değişken, – bazı belirtilen işlevler, indeks sistemdeki denklemleri numaralandırır. Böyle bir sistemi çözmek, bu sistemi karşılayan tüm fonksiyonları bulmak anlamına gelir.

Örnek olarak, kütleli bir cismin kuvvetin etkisi altında hareketini tanımlayan Newton denklemini düşünün:

orijinden vücudun mevcut konumuna çizilen bir vektör nerede. Kartezyen koordinat sisteminde bileşenleri fonksiyonlardır Böylece denklem (1.2) üç ikinci dereceden diferansiyel denkleme indirgenir

İşlevleri bulmak için tabii ki zamanın her anında bilmeniz gerekir başlangıç ​​pozisyonu vücut ve zamanın ilk anındaki hızı - yalnızca 6 başlangıç ​​​​koşulu (bu bir sisteme karşılık gelir) üç denklem ikinci sıra):

Denklemler (1.3) başlangıç ​​koşullarıyla (1.4) birlikte Cauchy problemini oluşturur; bu problem, fiziksel değerlendirmelerden de anlaşılacağı üzere, kuvvet makul düzgünlük kriterlerini karşılıyorsa cismin belirli bir yörüngesini veren benzersiz bir çözüme sahiptir.

Yeni fonksiyonlar getirilerek bu problemin 6 birinci dereceden denklem sistemine indirgenebileceğini belirtmek önemlidir. Fonksiyonları şu şekilde gösterelim ve aşağıdaki gibi tanımlanan üç yeni fonksiyonu tanıtalım:

Sistem (1.3) artık şu şekilde yeniden yazılabilir:

Böylece, fonksiyonlar için altı adet birinci dereceden diferansiyel denklem sistemine ulaştık. Bu sistemin başlangıç ​​koşulları şu şekildedir:

İlk üç başlangıç ​​koşulu cismin başlangıç ​​koordinatlarını, son üçü ise projeksiyonları verir. başlangıç ​​hızı koordinat ekseninde.

Örnek 1.1.İki 2. dereceden diferansiyel denklem sistemini azaltın

dört adet 1. dereceden denklem sistemi.

Çözüm. Aşağıdaki gösterimi tanıtalım:

Bu durumda orijinal sistem şu şekli alacaktır:

İki denklem daha tanıtılan gösterimi verir:

Son olarak, orijinal 2. dereceden denklem sistemine eşdeğer, 1. dereceden bir diferansiyel denklem sistemi oluşturacağız.

Bu örnekler genel durumu göstermektedir: herhangi bir diferansiyel denklem sistemi, 1. dereceden denklem sistemine indirgenebilir. Dolayısıyla gelecekte kendimizi 1. mertebeden diferansiyel denklem sistemlerini incelemekle sınırlayabiliriz.

1. dereceden diferansiyel denklem sistemleri

İÇİNDE genel görünüm sistemden N 1. dereceden diferansiyel denklemler aşağıdaki gibi yazılabilir:

bağımsız değişkenin bilinmeyen fonksiyonları nerede T, – bazı belirtilen işlevler. Genel çözüm sistem (2.1) şunları içerir N keyfi sabitler, yani şu forma sahiptir:

Diferansiyel denklem sistemlerini kullanarak gerçek problemleri açıklarken, belirli bir çözüm veya özel çözüm sistem bazı belirtilerek genel bir çözümden bulunur başlangıç ​​koşulları. Her fonksiyon ve sistem için başlangıç ​​durumu kaydedilir. N 1. dereceden denklemler şuna benzer:

Çözümler uzayda belirleniyor hat çağrıldı integral çizgisi sistemler (2.1).

Diferansiyel denklem sistemleri için çözümlerin varlığı ve tekliği teoremini formüle edelim.

Cauchy'nin teoremi. 1. dereceden diferansiyel denklemler (2.1) sistemi, başlangıç ​​koşulları (2.2) ile birlikte, fonksiyonlar ve bunların kısmi türevleri tüm argümanlara göre ise benzersiz bir çözüme sahiptir (yani, genel çözümden tek bir sabit kümesi belirlenir). bu başlangıç ​​koşulları civarında sınırlıdır.

Doğal olarak değişkenlerin bazı etki alanlarındaki bir çözümden bahsediyoruz .

Bir diferansiyel denklem sistemini çözme olarak görülebilir vektör fonksiyonu X bileşenleri fonksiyon olan ve fonksiyonlar kümesi bir vektör fonksiyonuna benzeyen F, yani

Böyle bir gösterimi kullanarak orijinal sistemi (2.1) ve başlangıç ​​koşullarını (2.2) kısaca yeniden yazabiliriz. vektör formu:

Bir diferansiyel denklem sistemini çözmenin bir yöntemi, sistemi tek bir yüksek mertebeden denkleme indirgemektir. Denklemlerden (2.1) ve bunların farklılaşmasıyla elde edilen denklemlerden bir denklem elde edilebilir N Bilinmeyen fonksiyonlardan herhangi biri için integre edilerek bilinmeyen fonksiyon bulunur. Geriye kalan bilinmeyen fonksiyonlar, orijinal sistemin denklemlerinden ve orijinallerin türevi alınarak elde edilen ara denklemlerden elde edilir.

Örnek 2.1.İkili sistemi çöz ilk diferansiyel emir

Çözüm. İkinci denklemin türevini alalım:

Türevi ilk denklemle ifade edelim

İkinci denklemden

Sabit katsayılı 2. dereceden doğrusal homojen bir diferansiyel denklem elde ettik. Karakteristik denklemi

buradan elde ederiz. O halde bu diferansiyel denklemin genel çözümü şu şekilde olacaktır:

Orijinal denklem sisteminin bilinmeyen fonksiyonlarından birini bulduk. Bulabileceğiniz ifadeyi kullanarak:

Cauchy problemini başlangıç ​​koşullarında çözelim

Bunları yerine koyalım genel çözüm sistemler

ve entegrasyon sabitlerini bulun:

Böylece Cauchy probleminin çözümü fonksiyonlar olacaktır.

Bu fonksiyonların grafikleri Şekil 1'de gösterilmektedir.

Pirinç. 1. Örnek 2.1'deki sistemin aralıkta özel çözümü

Örnek 2.2. Sistemi çöz

bunu tek bir 2. dereceden denkleme indirgemek.

Çözüm.İlk denklemin diferansiyelini alırsak,

İkinci denklemi kullanarak ikinci dereceden bir denklem elde ederiz. X:

Bulunanları denklemde yerine koyarak çözümünü ve ardından fonksiyonunu elde etmek zor değildir. Sonuç olarak, sistem için aşağıdaki çözüme sahibiz:

Yorum. Fonksiyonu Denklemden bulduk. Aynı zamanda, ilk bakışta, orijinal sistemin ikinci denkleminde bilinen çözüm yerine aynı çözümün elde edilebileceği görülmektedir.

ve entegre ediyoruz. Bu şekilde bulunursa, çözümde üçüncü bir ekstra sabit belirir:

Ancak, kontrol edilmesi kolay olduğu gibi, fonksiyon orijinal sistemi keyfi bir değerde değil, yalnızca

Fonksiyonların karelerini toplayalım ve:

Ortaya çıkan denklem, düzlemin orijini merkezli eşmerkezli dairelerin bir ailesini verir (bkz. Şekil 2). Ortaya çıkan parametrik eğrilere denir faz eğrileri ve bulundukları düzlem faz düzlemi.

Orijinal denklemde herhangi bir başlangıç ​​​​koşulunu değiştirerek, entegrasyon sabitlerinin belirli değerlerini elde etmek mümkündür; bu, faz düzleminde belirli bir yarıçapa sahip bir daire anlamına gelir. Böylece her bir başlangıç ​​koşulu seti belirli bir faz eğrisine karşılık gelir. Örnek olarak başlangıç ​​koşullarını ele alalım. . Genel çözüme ikame edilmeleri sabitlerin değerlerini verir dolayısıyla özel çözüm şu şekle sahiptir: Bir parametreyi bir aralıkta değiştirirken, faz eğrisini saat yönünde takip ederiz: değer eksen üzerindeki başlangıç ​​koşulu noktasına karşılık gelir, değer eksen üzerindeki noktaya karşılık gelir, değer eksen üzerindeki noktaya karşılık gelir, değer karşılık gelir eksen üzerindeki noktaya gidiyoruz ve başlangıç ​​noktasına dönüyoruz.

Sabit katsayılı bir adi diferansiyel denklemler sisteminin (SODE) matris gösterimi

Sabit katsayılı doğrusal homojen SODE $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) + a_(n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(array)\right $,

burada $y_(1)\left(x\right),\; y_(2)\sol(x\sağ),\; \ldots ,\; y_(n) \left(x\right)$ -- bağımsız değişken $x$'ın gerekli fonksiyonları, katsayılar $a_(jk) ,\; 1\le j,k\le n$ -- verilen gerçek sayıları matris gösteriminde temsil ediyoruz:

1. gerekli fonksiyonların matrisi $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\right)) \\ (\ ldots ) \\ (y_(n) \left(x\right)) \end(array)\right)$;
2. türev çözümlerin matrisi $\frac(dY)(dx) =\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )( dx ) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(array)\right)$;
3. SODE katsayı matrisi $A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & ( a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) ) \end(array)\right)$.

Şimdi, matris çarpımı kuralına dayanarak, bu SODE $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$ matris denklemi biçiminde yazılabilir.

SODE'yi sabit katsayılarla çözmek için genel yöntem

Bazı sayıların bir matrisi olsun $\alpha =\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \alpha _ (n) ) \end(array)\right)$.

SODE'nin çözümü şu biçimde bulunur: $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^(k\ cdot x) $, \dots , $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $. Matris biçiminde: $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n)) ) \end(array )\right)=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)$.

Buradan şunu anlıyoruz:

Şimdi matris denklemi Bu SODA şu şekilde verilebilir:

Ortaya çıkan denklem aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

Son eşitlik, $A$ matrisini kullanan $\alpha $ vektörünün, $k\cdot \alpha $ paralel vektörüne dönüştürüldüğünü gösterir. Bu, $\alpha $ vektörünün $A$ matrisinin bir özvektörü olduğu ve $k$ özdeğerine karşılık geldiği anlamına gelir.

$k$ sayısı $\left|\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) denkleminden belirlenebilir \\ ( a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ ( a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right|=0$.

Bu denkleme karakteristik denir.

Karakteristik denklemin $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) $ köklerinin tümü farklı olsun. Sistemdeki her $k_(i) $ değeri için $\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c ) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)=0$ bir değerler matrisi ​​tanımlanabilir $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(i) \right)) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(i\right)) ) \end(array)\right)$.

Bu matristeki değerlerden biri rastgele seçilir.

Son olarak bu sistemin matris formundaki çözümü şu şekilde yazılır:

$\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array)\right)=\ left(\begin(array)(cccc) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) & (\ ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^ (\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(k_ (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots ) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n) ) \cdot x)) ) \end(array)\right)$,

burada $C_(i) $ isteğe bağlı sabitlerdir.

Görev

DE sistemini çözün $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac(dy_) ( 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(array)\right $.

Sistem matrisini yazıyoruz: $A=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)$.

Matris formunda bu SODE şu şekilde yazılır: $\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (dizi)\sağ)=\left(\begin(dizi)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(dizi)\sağ)\cdot \left( \begin( array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)$.

Karakteristik denklemi elde ederiz:

$\left|\begin(array)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \end(array)\right|=0$, yani $k^ ( 2) -10\cdot k+9=0$.

Karakteristik denklemin kökleri şöyledir: $k_(1) =1$, $k_(2) =9$.

$\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left() hesaplamak için bir sistem oluşturalım 1\ right)) ) \end(array)\right)$, $k_(1) =1$ için:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(1) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(1) ) \end(array)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) \end (dizi)\sağ)=0,\]

yani, $\left(5-1\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +\left(5-1\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) )) =0$.

$\alpha _(1)^(\left(1\right)) =1$ koyarak, $\alpha _(2)^(\left(1\right)) =-1$ elde ederiz.

$\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left() hesaplamak için bir sistem oluşturalım 2\ right)) ) \end(array)\right)$, $k_(2) =9$ için:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(2) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(2) ) \end(array)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) \end (dizi)\sağ)=0, \]

yani, $\left(5-9\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +\left(5-9\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) )) =0$.

$\alpha _(1)^(\left(2\right)) =1$ koyarak, $\alpha _(2)^(\left(2\right)) =1$ elde ederiz.

SODE'nin çözümünü matris formunda elde ediyoruz:

\[\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-1) & (1) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x)) ) \end(array)\right).\]

Her zamanki formda, SODE'nin çözümü şu şekildedir: $\left\(\begin(array)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_( 2) \cdot e^ (9\cdot x)) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x )) ) \end(array )\right.$.

Bu tür bir sisteme denir normal diferansiyel denklem sistemi (SNDU). İçin normal sistem diferansiyel denklemlerde, diferansiyel denklemde olduğu gibi varlık ve teklik üzerine bir teorem formüle edebiliriz.

Teorem. Eğer fonksiyonlar açık bir küme üzerinde tanımlı ve sürekli ise ve buna karşılık gelen kısmi türevler de sürekli ise, o zaman sistem (1)'in bir çözümü (2) olacaktır.

ve başlangıç ​​koşullarının varlığında (3)

bu çözüm tek çözüm olacaktır.

Bu sistem şu şekilde temsil edilebilir:

Doğrusal diferansiyel denklem sistemleri

Tanım. Diferansiyel Denklemler sisteminin adı doğrusal , tüm bilinmeyen fonksiyonlara ve bunların türevlerine göre doğrusal ise.

(5)

Diferansiyel Denklem sistemine genel bakış

Başlangıç ​​koşulu verilirse: , (7)

o zaman vektör fonksiyonunun sürekli olması ve matris katsayılarının da sürekli fonksiyonlar olması koşuluyla çözüm benzersiz olacaktır.

Doğrusal bir operatör tanıtalım, o zaman (6) şu şekilde yeniden yazılabilir:

eğer o zaman operatör denklemi (8) çağrılırsa homojen ve şu forma sahiptir:

Operatör doğrusal olduğundan aşağıdaki özellikler sağlanır:

denklemi çözme (9).

Sonuçlar. Doğrusal kombinasyon, çözüm (9).

Çözümler (9) verilmişse ve bunlar doğrusal olarak bağımsızsa, o zaman tüm doğrusal kombinasyonlar şu şekildedir: (10) yalnızca hepsinin olması koşuluyla.

Bu, determinantın çözümlerden (10) oluştuğu anlamına gelir: . Bu determinant denir

Vronsky'nin determinantı bir vektör sistemi için. Teorem 1. Katsayıları aralıkta sürekli olan doğrusal homojen bir sistem (9) için Wronski determinantı ise,

sıfıra eşit En azından bir noktada çözümler bu parçaya doğrusal olarak bağımlıdır ve bu nedenle Wronski determinantı tüm parça üzerinde sıfıra eşittir. Kanıt: Sürekli olduklarından sistem (9) koşulu sağlar Varlık ve teklik teoremleri dolayısıyla başlangıç ​​koşulu sistemin (9) tek çözümünü belirler. Bir noktadaki Wronski determinantı sıfıra eşittir, bu nedenle aşağıdakilerin geçerli olduğu önemsiz olmayan bir sistem vardır:

Tanım. karşılık gelen doğrusal kombinasyon başka bir nokta şu şekle sahip olacaktır ve homojen başlangıç ​​koşullarını karşılayacaktır, bu nedenle önemsiz çözümle çakışacaktır, yani doğrusal olarak bağımlıdır ve Wronski determinantı sıfıra eşittir.

Tanım. (9) numaralı sistemin çözüm kümesine denir. temel çözüm sistemi Wronski determinantının herhangi bir noktada kaybolmaması durumunda. .

Yorum. Homojen bir sistem (9) için başlangıç ​​​​koşulları aşağıdaki gibi tanımlanırsa, çözüm sistemi denir

normal temel

sıfıra eşit karar sistemi Eğer bir temel sistem veya normal bir temel sistem ise doğrusal kombinasyon (9)'un genel çözümüdür.çözüm (9), o zaman sistem nispeten çözülebilirdir, çünkü hepsi doğrusal olarak bağımsızdır.

Bunu benzersiz bir şekilde tanımlıyoruz ve doğrusal olarak bağımsız olduğumuz için o zaman.

sıfıra eşit Teorem 3. Eğer bu (8) sisteminin bir çözümüyse, (9) sisteminin bir çözümüyse, o zaman + (8)'in de bir çözümü olacaktır.

Doğrusal operatörün özelliklerine göre: 

sıfıra eşit Teorem 4. Katsayıları ve sağ tarafları bu aralıkta sürekli olan bir aralığın genel çözümü (8), karşılık gelen homojen sistemin (9) genel çözümü ile homojen olmayan sistemin (8) özel çözümünün toplamına eşittir. ). Varlık ve teklik teoreminin koşulları sağlandığı için geriye keyfi olarak verilen koşulları karşılayacağını kanıtlamak kalır. başlangıç ​​değeri . (11)

(7), yani Sistem (11) için değerlerini belirlemek her zaman mümkündür. Bu şekilde yapılabilir

nasıl-temel

karar sistemi. Birinci dereceden diferansiyel denklem için Cauchy problemi

Sorunun beyanı.

Birinci dereceden adi diferansiyel denklemin çözümünün

y"(t)=f(t, y(t)) (5.1) denklem (5.1)'e yerleştirildiğinde onu bir kimliğe dönüştüren türevlenebilir bir y(t) fonksiyonu olarak adlandırılır. Bir diferansiyel denklemin çözüm grafiğine integral eğrisi denir. Bir diferansiyel denklemin çözümlerini bulma sürecine genellikle bu denklemin integrali denir. dayalı

geometrik anlamı

türev y" denklemi (5.1), t, y değişkenleri düzlemindeki her bir (t, y) noktasında, eğim açısının (0t eksenine) tanjantının f(t, y) değerini belirtir. Bu noktadan geçen çözümün grafiğine teğet olan k=tga=f(t,y) değerine ayrıca açısal katsayı adı verilecektir (Şekil 5.1). Şimdi her noktada (t,y) yönü belirtiyoruz. f(t,y) değeriyle belirlenen teğet, belirli bir vektör kullanılarak, yön alanı adı verilen sonuç elde edilecektir (Şekil 5.2, a). diferansiyel denklemler, her noktada belirli bir teğet yöne sahip integral eğrileri bulmaktır (Şekil 5.2, b), bunları diferansiyel denklem (5.1) ailesinden izole etmek için belirli bir çözüm, başlangıç ​​​​koşulunu ayarlayın. y(t 0)=y 0 (5,2) Burada t 0 bazı

t>t 0 için diferansiyel denklemin (5.1) başlangıç ​​koşulunu (5.2) karşılayan bir y(t) çözümü bulma problemine Cauchy problemi adı verilecektir. Bazı durumlarda çözümün tüm t>t 0 durumları için davranışı ilgi çekicidir. Ancak daha sıklıkla çözümün sonlu bir segment üzerinde belirlenmesiyle sınırlıdırlar.

Normal sistemlerin entegrasyonu

Normal bir DE sistemini entegre etmenin ana yöntemlerinden biri, sistemi daha yüksek dereceli bir DE'ye indirgeme yöntemidir. (Ters problem - uzaktan kumandadan sisteme geçiş - yukarıda bir örnek kullanılarak ele alınmıştır.) Bu yöntemin tekniği aşağıdaki hususlara dayanmaktadır.

Normal bir sistem (6.1) verilsin.

Herhangi bir denklemin, örneğin ilkinin, x'e göre türevini alalım: Türevlerin değerlerini bu eşitliğe koyarsak

(6.1) sisteminden şunu elde ederiz:

veya kısaca Ortaya çıkan eşitliğin tekrar türevinin alınması ve türevlerin değerlerinin değiştirilmesi

(6.1) sisteminden şunu elde ederiz:

Bu sürece devam edersek (farklılaştır - ikame - al), şunu buluruz:

Ortaya çıkan denklemleri bir sistemde toplayalım:

(6.3) sisteminin ilk (n-1) denklemlerinden, y 2, y 3, ..., y n fonksiyonlarını x cinsinden, y 1 fonksiyonunu ve onun türevleri y" 1, y" 1,'yi ifade ediyoruz. .., y 1 (n -1) .

Şunu elde ederiz: Bulunan y 2, y 3,..., y n değerlerini sistemin son denkleminde (6.3) yerine koyarız.

İstenilen fonksiyona göre birinci dereceden DE'yi elde edelim. Bunun genel çözümü şöyle olsun.

Bunu (n-1) kez türevleyin ve türevlerin değerlerini değiştirin

(6.4) sisteminin denklemlerinde y 2, y 3,..., y n fonksiyonlarını buluruz.

Örnek 6.1. Denklem sistemini çözme

Çözüm: İlk denklemin türevini alalım: y"=4y"-3z". Ortaya çıkan eşitlikte z"=2y-3z'yi yerine koyun: y"=4y"-3(2y-3z), y"-4y"+6y= 9z.

Bir denklem sistemi oluşturalım:

Sistemin ilk denkleminden z'den y'ye ve y'ye kadar ifade ediyoruz:

Z değerini son sistemin ikinci denkleminde yerine koyarız:

yani y""-y"-6y=0. İkinci dereceden bir LOD aldık. Çözün: k 2 -k-6=0, k 1 =-2, k 2 =3 ve - genel çözüm

Örnek 6.2. Denklem sistemini çözün:

Çözüm: Verilen denklemleri terim terim toplayalım: x"+y"=x+y+2 veya (x+y)"=(x+y)+2. x+y=z'yi gösterelim. Sonra şunu elde ederiz: z"=z+2 . Ortaya çıkan denklemi çözüyoruz:

Sözdeyi aldık Sistemin ilk integrali. Buradan, aranan işlevlerden birini diğeriyle ifade edebilir, böylece aranan işlevlerin sayısını birer birer azaltabilirsiniz. Örneğin,

Daha sonra sistemin ilk denklemi şu şekli alacaktır:

Yorum. Ondan x'i bulduktan sonra (örneğin, x=uv yerine koymayı kullanarak), y'yi de bulacağız. Bu sistem başka bir integrallenebilir kombinasyon oluşturmaya "izin verir": x - y = p'yi koyarsak: veya Sistemin iki birinci integraline sahip olmak, yani. Ve

Bunu bulmak kolaydır (ilk integralleri toplayıp çıkararak).

Doğrusal operatör, özellikler. Vektörlerin doğrusal bağımlılığı ve bağımsızlığı. LDE sistemi için Wronski determinantı. Doğrusal diferansiyel operatör ve özellikleri. Aralığa sahip fonksiyonlar kümesi ( , A B N ) daha az değil türevler doğrusal bir uzay oluşturur. N (Operatörü düşünün L Operatörü düşünün (X sen ), işlevi görüntüler - N ) türevi olan bir fonksiyona dönüştürün

k türevler doğrusal bir uzay oluşturur. N (Operatörü düşünün türevler:

türevler doğrusal bir uzay oluşturur. N (Operatörü düşünün ) = Operatör kullanma (X );

) homojen olmayan denklem (20) aşağıdaki gibi yazılabilir:

türevler doğrusal bir uzay oluşturur. N (Operatörü düşünün ) = 0);

F homojen denklem (21) formunu alır türevler doğrusal bir uzay oluşturur. N (Operatörü düşünün Teorem 14.5.2 . Diferansiyel operatör ) doğrusal bir operatördür. Belge Türevlerin özelliklerinden doğrudan şu sonuç çıkar: 1. Eğer C= sabit, o zaman 2. Sonraki eylemlerimiz: ilk önce doğrusal denklemin genel çözümünün nasıl olduğunu inceleyin homojen denklem

(25), sonra homojen olmayan denklemi (24) ve daha sonra bu denklemleri çözmeyi öğrenin. Kavramlarla başlayalımdoğrusal bağımlılık Bir aralıktaki fonksiyonların bağımsızlığı ve bağımsızlığı ve doğrusal denklemler ve sistemler teorisindeki en önemli nesneyi - Wronsky determinantını tanımlar. Operatörü düşünün 1 (X ), Operatörü düşünün 2 (X ), …, Operatörü düşünün N (X Vronsky'nin determinantı. Bir fonksiyonlar sisteminin doğrusal bağımlılığı ve bağımsızlığı. Def. 14.5.3.1. Aralığa sahip fonksiyonlar kümesi ( , A Fonksiyon sistemi Aralığa sahip fonksiyonlar kümesi ( , A ) denir Operatörü düşünün 1 (X ), Operatörü düşünün 2 (X ), …, Operatörü düşünün N (X Vronsky'nin determinantı. Bir fonksiyonlar sisteminin doğrusal bağımlılığı ve bağımsızlığı. doğrusal bağımlı aralıkta ( Aralığa sahip fonksiyonlar kümesi ( , A ), eğer aynı anda sıfıra eşit olmayan bir dizi sabit katsayı varsa, öyle ki bu fonksiyonların doğrusal kombinasyonu ( Operatörü düşünün 1 (X ), Operatörü düşünün 2 (X ), …, Operatörü düşünün N (X ) ): for. Eğer eşitlik ancak fonksiyonlar sistemi ile mümkün olabiliyorsa. 14.5.3.1. Aralığa sahip fonksiyonlar kümesi ( , A doğrusal bağımsız Aralığa sahip fonksiyonlar kümesi ( , A aralıkta ( Operatörü düşünün 1 (X ),Operatörü düşünün 2 (X ), …, Operatörü düşünün N (X ) ). Başka bir deyişle, işlevler 14.5.3.1. Aralığa sahip fonksiyonlar kümesi ( , A doğrusal bağımlı Aralığa sahip fonksiyonlar kümesi ( , A ), eğer sıfıra eşitse ( X , X 2 , X ) önemsiz olmayan doğrusal kombinasyonları. Aralığa sahip fonksiyonlar kümesi ( , A Fonksiyonlar - derece polinomu - olamaz ( Aralığa sahip fonksiyonlar kümesi ( , A )üçten fazla kök olduğundan eşitlik = 0 yalnızca Örnek 1'in fonksiyon sistemi 1'e kolayca genelleştirilmesi durumunda mümkündür, X , X 2 , X 3 , …, X N . Aralığa sahip fonksiyonlar kümesi ( , A Derece polinomu olan doğrusal kombinasyonları ( N ) Daha Aralığa sahip fonksiyonlar kümesi ( , A kökler. 3. Fonksiyonlar herhangi bir aralıkta doğrusal olarak bağımsızdır ( ), Eğer . Gerçekten de, örneğin, o zaman eşitlik tek bir noktada gerçekleşir .4. Fonksiyon sistemi ), işlevi görüntüler sayılar da doğrusal olarak bağımsızdır (sayılar da doğrusal olarak bağımsızdır = 1, 2, …, N Ben ) ikili olarak farklıdır, ancak doğrudan kanıt Bu gerçek oldukça zahmetlidir. Yukarıdaki örneklerin gösterdiği gibi, bazı durumlarda fonksiyonların doğrusal bağımlılığı veya bağımsızlığı basit bir şekilde kanıtlanırken, diğer durumlarda bu kanıt daha karmaşıktır. Bu nedenle fonksiyonların doğrusal bağımlılığı ile ilgili soruyu cevaplayacak basit bir evrensel araca ihtiyaç vardır. Böyle bir araç -.

Vronsky'nin determinantı Def. N 14.5.3.2. Wronsky'nin determinantı (Wronskian) Operatörü düşünün 1 (X ), Operatörü düşünün 2 (X ), …, Operatörü düşünün N (X sistemler

.

- 1 kez türevlenebilir fonksiyonlar ) determinant olarak adlandırılır 14.5.3.3 Wronskian Teoremi doğrusaldır. bağımlı sistem Operatörü düşünün 1 (X ), Operatörü düşünün 2 (X ), …, Operatörü düşünün N (X ) işlevler 14.5.3.1. Aralığa sahip fonksiyonlar kümesi ( , A . Eğer fonksiyonlar sistemi doğrusal bağımlı Operatörü düşünün 1 (X ), Operatörü düşünün 2 (X ), …, Operatörü düşünün N (X ), o zaman bu sistemin Wronskian'ı bu aralıkta aynı şekilde sıfıra eşittir. Aralığa sahip fonksiyonlar kümesi ( , A Belge

. X Eğer işlevler N ) aralığa doğrusal olarak bağlıdır ( ), o zaman en az biri sıfır olmayan sayılar vardır, öyle ki Şuna göre ayırt edelim eşitlik (27) - 1 kez ve bir denklem sistemi oluşturun (X Bu sistemi homojen kabul edeceğiz Aralığa sahip fonksiyonlar kümesi ( , A ).

doğrusal sistem cebirsel denklemler göreceli. Bu sistemin determinantı Wronski determinantıdır (26). Bu sistemin önemsiz olmayan bir çözümü vardır, bu nedenle her noktada determinantı sıfıra eşittir. Bu yüzden,

K

) = 0'da, yani ('de)

Bu bölümü en basit formdaki diferansiyel denklem sistemlerini çözmeye ayırmaya karar verdik d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2, burada a 1, b 1, c 1, a 2, b 2, c 2 - bazı

2. denklemin türevini alalım T ve d x d t denklemini çözelim:

d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t

Şimdi önceki hesaplamaların sonucunu sistemin 1. denkleminde yerine koyalım:

d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t = a 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ d 2 y d t 2 - (a 1 + b 2) d y d t + (a 1 b 2 - a 2 b 1) y = a 2 c 1 - a 1 c 2

Böylece bilinmeyen x(t) fonksiyonunu ortadan kaldırdık ve 2. dereceden sabit katsayılı doğrusal homojen olmayan bir diferansiyel denklem elde ettik. Bu y(t) denkleminin çözümünü bulalım ve onu sistemin 2. denkleminde yerine koyalım. bulacağız x(t). Bunun denklem sisteminin çözümünü tamamladığını varsayacağız.

Örnek 1

Diferansiyel denklem sisteminin çözümünü bulun d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3

Çözüm

Sistemin ilk denklemiyle başlayalım. Bunu x'e göre çözelim:

x = d y d t - 2 y + 3

Şimdi sistemin 2. denkleminin türevini alalım ve ardından bunu d x d t'ye göre çözelim: d 2 y d t 2 = d x d t + 2 d y d t ⇒ d x d t = d 2 y d t 2 - 2 d y d t

Hesaplamalar sırasında elde edilen sonucu uzaktan kumanda sisteminin 1. denklemine koyabiliriz:

d x d t = x - 1 d 2 y d t 2 - 2 d y d t = d y d t - 2 y + 3 - 1 d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Dönüşümler sonucunda, sabit katsayılı d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2 ile 2. dereceden doğrusal homojen olmayan bir diferansiyel denklem elde ettik. Genel çözümünü bulursak fonksiyonu elde ederiz. y(t).

Karşılık gelen LOD y 0'ın genel çözümünü k 2 - 3 k + 2 = 0 karakteristik denkleminin köklerini hesaplayarak bulabiliriz:

D = 3 2 - 4 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 k 2 = 3 + 1 2 = 2

Elde ettiğimiz kökler gerçek ve belirgindir. Bu bağlamda, LODE'nin genel çözümü y 0 = C 1 · et t + C 2 · e 2 t şeklinde olacaktır.

Şimdi doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklem y ~ için özel bir çözüm bulalım:

d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Denklemin sağ tarafı sıfır dereceli bir polinomdur. Bu, A'nın belirlenmemiş bir katsayı olduğu y ~ = A formunda özel bir çözüm arayacağımız anlamına gelir.

Belirsiz katsayıyı d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2 eşitliğinden belirleyebiliriz:
d 2 (A) d t 2 - 3 d (A) d t + 2 Bir = 2 ⇒ 2 Bir = 2 ⇒ Bir = 1

Böylece, y ~ = 1 ve y (t) = y 0 + y ~ = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 . Bilinmeyen bir işlev bulduk.

Şimdi bulduğumuz fonksiyonu DE sisteminin 2. denkleminde yerine koyalım ve yeni denklemi çözelim. x(t):
d (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) d t = x + 2 (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) - 3 C 1 e t + 2 C 2 e 2 t = x + 2 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t - 1 x = - C 1 · e t + 1

Böylece ikinci bilinmeyen fonksiyonu x (t) = - C 1 · e t + 1'i hesapladık.

Cevap: x (t) = - C 1 e t + 1 y (t) = C 1 e t + C 2 e 2 t + 1

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Denklemler.

Giriiş.

Matematik, fizik ve teknolojideki birçok problemde birbiriyle ilişkili birçok fonksiyonun çeşitli diferansiyel denklemlerle belirlenmesi gerekir.

Bunu yapmak için genel olarak aynı sayıda denklemin olması gerekir. Bu denklemlerin her biri diferansiyel ise, yani bilinmeyen fonksiyonları ve türevlerini birbirine bağlayan bir ilişki biçimine sahipse, o zaman şöyle derler: diferansiyel denklem sistemi hakkında

1. Birinci mertebeden diferansiyel denklemlerin normal sistemi. Cauchy sorunu.

Tanım. Bir diferansiyel denklem sistemi, birçok bilinmeyen fonksiyon ve bunların türevlerini içeren bir denklemler kümesidir ve her denklem en az bir türev içerir.

Bilinmeyen fonksiyonlar ve türevleri her denklemde yalnızca birinci derecede görünüyorsa, bir diferansiyel denklem sistemine doğrusal denir.

Doğrusal sistem denir normal tüm türevler için izin veriliyorsa

Normal bir sistemde denklemlerin sağ tarafları aranan fonksiyonların türevlerini içermez.

Kararla diferansiyel denklem sistemlerine bir dizi fonksiyon denir https://pandia.ru/text/78/145/images/image003_45.gif" width="261" height="24 src="> denir diferansiyel denklem sisteminin başlangıç ​​koşulları.

Genellikle başlangıç ​​koşulları formda yazılır.

Genel çözüm (integral ) diferansiyel denklem sistemine küme denir « N» bağımsız değişkenin fonksiyonları X Ve « N» keyfi sabitler ) doğrusal bir operatördür.1 , ) doğrusal bir operatördür.2 , …, Cn:

..……………………..

bu sistemin tüm denklemlerini karşılayan.

Verilen başlangıç ​​koşullarını karşılayan sistemin özel bir çözümünü elde etmek için https://pandia.ru/text/78/145/images/image008_18.gif" width="44" height="24"> verilen değerleri alır .

Normal bir diferansiyel denklem sistemi için Cauchy problemi şu şekilde yazılır:

Cauchy probleminin çözümünün varlık ve teklik teoremi.

Normal bir diferansiyel denklem sistemi (1) için, bir çözümün varlığı ve tekliğine ilişkin Cauchy teoremi aşağıdaki şekilde formüle edilir:

Teorem. Sistem (1) denklemlerinin sağ tarafları, yani fonksiyonlar , (sayılar da doğrusal olarak bağımsızdır=1,2,…, N) Bazı etki alanındaki tüm değişkenlerde sürekli D ve bölgeye ait sürekli kısmi türevler https://pandia.ru/text/78/145/images/image003_45.gif" width="261 height=24" height="24"> içerir D, sisteme benzersiz bir çözüm var (1) https://pandia.ru/text/78/145/images/image013_11.gif" width="284" height="24 src=">.

2. Normal bir sistemi yok etme yoluyla çözme.

Normal bir diferansiyel denklem sistemini çözmek için bilinmeyenleri ortadan kaldırma yöntemi veya Cauchy yöntemi kullanılır.

Normal bir sistem verilsin

Şuna göre ayırt edin: X sistemin ilk denklemi

https://pandia.ru/text/78/145/images/image015_5.gif" width = "123" height = "43 src = "> denklem sisteminden (1) ifadelerine sahip olacağız.

Ortaya çıkan denklemin farklılığını alırız ve bir öncekine benzer şekilde ilerleyerek şunu buluruz:

Yani sistemi aldık

(2)

İlkinden n-1 denklemleri tanımlarız Operatörü düşünün2 , Operatörü düşünün3 , … , ay , aracılığıyla bunları ifade etmek

VE

(3)

Bu ifadeleri denklemlerin sonuncusunda (2) değiştirerek denklemleri elde ederiz. n'inci belirlemek için sipariş Operatörü düşünün1 :

https://pandia.ru/text/78/145/images/image005_27.gif" width="167" height="24"> (5)

Son ifadenin farklılaştırılması n-1 bir kez türevlerini bulalım

fonksiyonları olarak . Bu fonksiyonları denklemlerde (4) değiştirerek şunu belirleriz: Operatörü düşünün2 , Operatörü düşünün3 , … , ay .

Böylece (1) numaralı sisteme genel bir çözüm elde ettik.

(6)

Sistem (1)'e başlangıç ​​koşullarını sağlayan özel bir çözüm bulmak

denklem (6)'dan keyfi sabitlerin karşılık gelen değerlerini bulmak gerekir C1, C2,…, CN .

Örnek.

Denklem sisteminin genel çözümünü bulun:

https://pandia.ru/text/78/145/images/image029_2.gif" genişlik = "96" yükseklik = "21">

yeni bilinmeyen işlevler için.

Çözüm.

Bir fonksiyonun tanımlanmasının yeterli olmadığı süreçleri incelerken diferansiyel denklem sistemleriyle karşılaşılır. Örneğin, vektör alan çizgilerini bulmak, bir diferansiyel denklem sisteminin çözülmesini gerektirir. Eğrisel hareket dinamiği problemlerinin çözülmesi, bilinmeyen fonksiyonların koordinat eksenleri üzerindeki hareketli bir noktanın izdüşümleri olduğu ve bağımsız değişkenin zaman olduğu üç diferansiyel denklemden oluşan bir sisteme yol açar. Daha sonra elektrik mühendisliği problemlerini iki kişi için çözmeyi öğreneceksiniz. elektrik devreleri Elektromanyetik iletişimde yer alan iki diferansiyel denklem sisteminin çözülmesini gerektirecektir. Bu tür örneklerin sayısı kolaylıkla arttırılabilir.