Vektör uzayından bir vektörler sistemi olsun V alanın üzerinde P.

Tanım 2: Doğrusal kabuk L sistemler A sistemin vektörlerinin tüm doğrusal kombinasyonlarının kümesidir A. Tanım L(A).

Herhangi iki sistem için gösterilebilir A Ve B,

A doğrusal olarak ifade edilir B eğer ve sadece eğer . (1)

A eş değer B o zaman ve yalnızca ne zaman L(A)=L(B). (2)

Kanıt önceki mülkten gelir

3 Herhangi bir vektör sisteminin doğrusal açıklığı, uzayın bir alt uzayıdır V.

Kanıt

Herhangi iki vektörü alın ve L(A), vektörlerde aşağıdaki açılımlara sahip A: . Kriterin 1) ve 2) koşullarının uygulanabilirliğini kontrol edelim:

Sistem vektörlerinin doğrusal bir birleşimi olduğundan A.

Aynı zamanda sistem vektörlerinin doğrusal bir birleşimi olduğundan A.

Şimdi matrisi ele alalım. Matris satırlarının doğrusal aralığı A matrisin satır uzayı denir ve gösterilir Lr(A). Matris sütunlarının doğrusal açıklığı A sütun uzayı denir ve gösterilir Lc(A). Lütfen matrisin satır ve sütun uzayının A farklı aritmetik uzayların alt uzaylarıdır Pn Ve Öğleden sonra sırasıyla. (2) numaralı ifadeyi kullanarak aşağıdaki sonuca varabiliriz:

Teorem 3: Bir matris diğerinden bir temel dönüşüm zinciri ile elde edilirse, bu tür matrislerin satır uzayları çakışır.

Alt uzayların toplamı ve kesişimi

İzin vermek L Ve M- uzayın iki alt uzayı R.

Miktar L+M vektörler kümesi denir x+y , Nerede X ∈L Ve sen ∈M. Açıkçası, vektörlerin herhangi bir doğrusal kombinasyonu L+M ait L+M, buradan L+M uzayın bir alt uzayıdır R(boşlukla çakışabilir R).

Karşıya geçerek L∩M alt uzaylar L Ve M eş zamanlı olarak altuzaylara ait olan vektörler kümesidir L Ve M(yalnızca sıfır vektörden oluşabilir).

Teorem 6.1. Rastgele altuzayların boyutlarının toplamı L Ve M sonlu boyutlu doğrusal uzay R bu alt uzayların toplamının boyutuna ve bu alt uzayların kesişiminin boyutuna eşittir:

loş L+loş M=loş(L+M)+loş(L∩M).

Kanıt. Haydi belirtelim F=L+M Ve G=L∩M. İzin vermek G g boyutlu altuzay. İçinde bir temel seçelim. Çünkü G⊂L Ve G⊂M bu nedenle temel G temele eklenebilir L ve tabana M. Alt uzayın tabanı olsun L ve alt uzayın tabanını alalım M. Vektörlerin olduğunu gösterelim.

(6.1) temeli oluşturur F=L+M. Vektörlerin (6.1) uzayın temelini oluşturabilmesi için F doğrusal olarak bağımsız olmaları ve uzayın herhangi bir vektörü olmaları gerekir F vektörlerin (6.1) doğrusal bir kombinasyonu ile temsil edilebilir.

Vektörlerin (6.1) doğrusal bağımsızlığını kanıtlayalım. Uzayın sıfır vektörü olsun F bazı katsayılara sahip vektörlerin (6.1) doğrusal bir kombinasyonu ile temsil edilir:

(6.3)’ün sol tarafı altuzay vektörüdür L ve sağ taraf altuzay vektörüdür M. Bu nedenle vektör

(6.4) alt uzaya aittir G=L∩M. Öte yandan vektör v alt uzayın temel vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu ile temsil edilebilir G:

(6.5) Denklem (6.4) ve (6.5)'ten şunu elde ederiz:

Ancak vektörler alt uzayın temelidir M, dolayısıyla doğrusal olarak bağımsızdırlar ve . O zaman (6.2) şu formu alacaktır:

Alt uzayın tabanının doğrusal bağımsızlığından dolayı L sahibiz:

Denklem (6.2)'deki tüm katsayılar sıfır olduğundan, vektörler

doğrusal bağımsız. Ancak herhangi bir vektör z itibaren F(alt uzayların toplamının tanımı gereği) toplamla temsil edilebilir x+y , Nerede X ∈ L,sen ∈ M. Sırayla X a vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu ile temsil edilir sen - vektörlerin doğrusal birleşimi. Bu nedenle, vektörler (6.10) altuzaydan kaynaklanır F. (6.10) vektörlerinin bir temel oluşturduğunu bulduk F=L+M.

Altuzay üslerini incelemek L Ve M ve altuzay temeli F=L+M(6.10), elimizde: loş L=g+l, loş M=g+m, loş (L+M)=g+l+m. Buradan:

loş L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Alt uzayların doğrudan toplamı

Tanım 6.2. Uzay F alt uzayların doğrudan toplamını temsil eder L Ve M, eğer her bir vektör X uzay F yalnızca toplam olarak temsil edilebilir x=y+z , Nerede sen ∈L ve z ∈M.

Doğrudan miktar belirtilir L⊕M. Eğer diyorlar ki F=L⊕M, O F alt uzaylarının doğrudan toplamına ayrışır L Ve M.

Teorem 6.2. İçin N boyutlu uzay R alt uzayların doğrudan toplamıydı L Ve M, kavşak için yeterli L Ve M yalnızca sıfır elemanı içerdiğini ve R boyutunun alt uzayların boyutlarının toplamına eşit olduğunu L Ve M.

Kanıt. L alt uzayında bir baz ve M alt uzayında bir baz seçelim.

(6.11) uzayın temelidir R. Teoremin koşullarına göre uzayın boyutu Rn altuzayların toplamına eşit L Ve M (n=l+m). Elemanların (6.11) doğrusal bağımsızlığını kanıtlamak yeterlidir. Uzayın sıfır vektörü olsun R bazı katsayılara sahip vektörlerin (6.11) doğrusal bir kombinasyonu ile temsil edilir:

(6.13) (6.13) denkleminin sol tarafı alt uzayın bir vektörü olduğundan L ve sağ taraf altuzay vektörüdür M Ve L∩M=0 , O

(6.14) Fakat vektörler altuzayların tabanlarıdır L Ve M sırasıyla. Bu nedenle doğrusal olarak bağımsızdırlar. Daha sonra

(6.15) (6.12)'nin yalnızca (6.15) koşulu altında geçerli olduğu tespit edilmiştir ve bu, vektörlerin (6.11) doğrusal bağımsızlığını kanıtlar. Bu nedenle bir temel oluştururlar. R.

x∈R olsun. (6.11) esasına göre genişletelim:

(6.16)(6.16)'dan şunu elde ederiz:

(6.18) (6.17) ve (6.18)'den, herhangi bir vektörün R vektörlerin toplamı olarak temsil edilebilir X 1 ∈L Ve X 2 ∈M. Geriye bu temsilin benzersiz olduğunu kanıtlamak kalıyor. Gösterime (6.17) ek olarak aşağıdaki gösterim de olsun:

(6.19)(6.17)'den (6.19)'u çıkararak şunu elde ederiz:

(6.20) 'den beri ve L∩M=0 , sonra ve . Bu nedenle ve. ■

Alt uzayların toplamının boyutuna ilişkin Teorem 8.4. Eğer ve sonlu boyutlu bir doğrusal uzayın alt uzaylarıysa, o zaman alt uzayların toplamının boyutu, kesişimlerinin boyutu olmadan boyutlarının toplamına eşittir ( Grassmann'ın formülü):

(8.13)

Aslında kesişimin temeli olsun. Bunu, alt uzayın tabanına kadar sıralı bir vektör kümesiyle ve alt uzayın tabanına kadar sıralı bir vektör kümesiyle tamamlayalım. Böyle bir ekleme Teorem 8.2 ile mümkündür. Bu üç vektör kümesinden sıralı bir vektör kümesi oluşturalım. Bu vektörlerin uzayın üreteçleri olduğunu gösterelim. Gerçekte, bu uzayın herhangi bir vektörü, sıralı bir kümedeki vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilir.

Buradan, . Jeneratörlerin doğrusal olarak bağımsız olduğunu ve dolayısıyla uzayın temeli olduklarını kanıtlayalım. Aslında bu vektörlerin doğrusal bir birleşimini yapalım ve bunu sıfır vektörüne eşitleyelim: . Bu genişlemenin tüm katsayıları sıfırdır: çift doğrusal forma sahip bir vektör uzayının altuzayları, 'den her bir vektöre dik olan tüm vektörlerin kümesidir. Bu küme genellikle ile gösterilen bir vektör alt uzayıdır.

Vektör(veya doğrusal) uzay- birbirleriyle toplama ve bir sayıyla çarpma işlemlerinin tanımlandığı, vektör adı verilen bir dizi öğeden oluşan matematiksel bir yapı - bir skaler. Bu işlemler sekiz aksiyoma tabidir. Skalerler gerçek, karmaşık veya başka herhangi bir sayı alanının elemanları olabilir. Böyle bir uzayın özel bir durumu, vektörleri örneğin fiziksel kuvvetleri temsil etmek için kullanılan sıradan üç boyutlu Öklid uzayıdır. Bir vektör uzayının bir elemanı olarak bir vektörün, mutlaka yönlendirilmiş bir parça şeklinde belirtilmesi gerekmediğine dikkat edilmelidir. "Vektör" kavramını herhangi bir nitelikteki bir vektör uzayının bir öğesine genellemek, yalnızca terimlerin karışmasına neden olmakla kalmaz, aynı zamanda keyfi nitelikteki uzaylar için geçerli olan bir takım sonuçların anlaşılmasını ve hatta tahmin edilmesini de mümkün kılar.

Vektör uzayları doğrusal cebirin konusudur. Bir vektör uzayının temel özelliklerinden biri boyutudur. Boyut, uzayın doğrusal olarak bağımsız elemanlarının maksimum sayısını, yani kaba bir geometrik yoruma başvurularak, yalnızca bir skaler ile toplama ve çarpma işlemleriyle birbirleri aracılığıyla ifade edilemeyen yönlerin sayısını temsil eder. Vektör uzayı, norm veya iç çarpım gibi ek yapılarla donatılabilir. Bu tür uzaylar matematiksel analizde doğal olarak öncelikle sonsuz boyutlu fonksiyon uzayları biçiminde görünür. (İngilizce), burada fonksiyonlar vektörlerdir. Çoğu analiz problemi, bir vektör dizisinin belirli bir vektöre yakınsayıp yakınlaşmadığını bulmayı gerektirir. Bu tür soruların dikkate alınması, çoğu durumda yakınlık ve süreklilik kavramlarını tanımlamamıza olanak tanıyan uygun bir topolojiye sahip ek yapıya sahip vektör uzaylarında mümkündür. Bu tür topolojik vektör uzayları, özellikle Banach ve Hilbert uzayları daha derin çalışmalara olanak sağlar.

Vektör uzayı kavramının ortaya çıkmasını öngören ilk çalışmalar 17. yüzyıla kadar uzanmaktadır. O zaman analitik geometri, matris doktrini, doğrusal denklem sistemleri ve Öklid vektörleri gelişmeye başladı.

Tanım

Doğrusal veya vektör uzayı V (F) (\displaystyle V\sol(F\sağ)) alanın üzerinde F (\displaystyle F)- bu sıralı dörtlü (V , F , + , ⋅) (\displaystyle (V,F,+,\cdot)), Nerede

• V (\displaystyle V)- keyfi nitelikteki boş olmayan bir dizi öğe vektörler;
• F (\displaystyle F)- elemanları çağrılan bir alan skalerler;
• İşlem tanımlandı ek vektörler V × V → V (\displaystyle V\times V\to V) her bir öğe çiftini ilişkilendiren x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y)) setleri V (\displaystyle V) V (\displaystyle V) onları aradım miktar ve belirlenmiş x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y));
• İşlem tanımlandı vektörlerin skalerlerle çarpılması F × V → V (\displaystyle F\times V\to V), her öğeyle eşleşen λ (\displaystyle \lambda) alanlar F (\displaystyle F) ve her öğe x (\displaystyle \mathbf (x)) setleri V (\displaystyle V) kümenin tek elemanı V (\displaystyle V), belirtilen λ ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x)) veya λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x));

Aynı öğe kümesinde, ancak farklı alanlar üzerinde tanımlanan vektör uzayları, farklı vektör uzayları olacaktır (örneğin, gerçek sayı çiftleri kümesi). R 2 (\displaystyle \mathbb (R) ^(2)) gerçek sayılar alanı üzerinde iki boyutlu bir vektör uzayı veya karmaşık sayılar alanı üzerinde tek boyutlu bir vektör uzayı olabilir).

En basit özellikler

1. Bir vektör uzayı toplama işlemi altındaki bir Abel grubudur.
2. Nötr eleman 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
3. 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0)) herkes için.
4. Herkes için x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V) zıt eleman − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V) grup özelliklerinden çıkan tek şeydir.
5. 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x)) herkes için x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
6. (− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x))) herhangi biri için ve x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
7. α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0) ) herkes için α ∈ F (F'de\displaystyle \alpha \).

İlgili tanımlar ve özellikler

Altuzay

Cebirsel tanım: Doğrusal altuzay veya vektör alt uzayı- boş olmayan alt küme K (\displaystyle K) doğrusal uzay V (\displaystyle V)Öyle ki K (\displaystyle K) kendisi de tanımlananlara göre doğrusal bir uzaydır V (\displaystyle V) bir skalerle toplama ve çarpma işlemleri. Tüm altuzayların kümesi genellikle şu şekilde gösterilir: L a t (V) (\displaystyle \mathrm (Lat) (V)). Bir alt kümenin alt uzay olabilmesi için gerekli ve yeterli olması

Son iki ifade aşağıdakine eşdeğerdir:

Tüm vektörler için x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \K cinsinden) vektör α x + β y (\displaystyle \alpha \mathbf (x) +\beta \mathbf (y)) aynı zamanda aitti K (\displaystyle K) herhangi biri için α , β ∈ F (F'de\displaystyle \alpha ,\beta \).

Özellikle, yalnızca bir boş vektörden oluşan bir vektör uzayı, herhangi bir uzayın bir alt uzayıdır; her uzay kendisinin bir alt uzayıdır. Bu ikisiyle örtüşmeyen altuzaylara denir. sahip olmak veya önemsiz değil.

Alt uzayların özellikleri

Doğrusal kombinasyonlar

Formun son toplamı

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2)+\ ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n))

Doğrusal kombinasyon denir:

Temel. Boyut

Vektörler x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n)) denir doğrusal bağımlı, değeri sıfıra eşit olan önemsiz bir doğrusal kombinasyon varsa; yani

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n = 0 (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2) +\ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n)=\mathbf (0) )

bazı katsayılarda α 1 , α 2 , … , α n ∈ F , (\displaystyle \alpha _(1),\alpha _(2),\ldots ,\alpha _(n)\F'de,) ve katsayılardan en az biri α ben (\displaystyle \alpha _(i)) sıfırdan farklı.

Aksi takdirde bu vektörlere denir doğrusal bağımsız.

Bu tanım aşağıdaki genellemeyi sağlar: sonsuz bir vektör kümesi. V (\displaystyle V) isminde doğrusal bağımlı bazıları doğrusal bağımlı ise son bunun bir alt kümesi ve doğrusal bağımsız eğer varsa son alt küme doğrusal olarak bağımsızdır.

Bazın özellikleri:

x = α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\displaystyle \mathbf (x) =\alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf ( x) _(2)+\ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n)).

Doğrusal kabuk

Doğrusal kabuk alt kümeler X (\displaystyle X) doğrusal uzay V (\displaystyle V)- tüm altuzayların kesişimi V (\displaystyle V) içeren X (\displaystyle X).

Doğrusal açıklık bir altuzaydır V (\displaystyle V).

Doğrusal kabuk da denir altuzay oluşturuldu X (\displaystyle X). Aynı zamanda doğrusal kabuğun da olduğu söylenir. V (X) (\ displaystyle (\ mathcal (V)) (X))- uzay, uzanmış birçok X (\displaystyle X).

Makale doğrusal cebirin temellerini açıklamaktadır: doğrusal uzay, özellikleri, taban kavramı, uzayın boyutları, doğrusal gövde, doğrusal uzaylar arasındaki bağlantı ve matrislerin sırası.

Doğrusal uzay

Birçok L isminde doğrusal uzay, tüm elemanları için iki elemanı toplama ve bir elemanı tatmin edici bir sayı ile çarpma işlemleri ise BEN grup Weyl'in aksiyomları. Doğrusal uzayın elemanlarına denir vektörler. Bu tam bir tanımdır; Daha kısaca doğrusal uzayın, iki öğeyi toplama ve bir öğeyi bir sayıyla çarpma işlemlerinin tanımlandığı bir öğeler kümesi olduğunu söyleyebiliriz.

Weyl'in aksiyomları.

Hermann Weil geometride iki tür nesneye sahip olduğumuzu öne sürdü ( vektörler ve noktalar), özellikleri bölümün temelini oluşturan aşağıdaki aksiyomlarla açıklanan doğrusal cebir. Aksiyomları 3 gruba ayırmak uygundur.

Grup I

1. herhangi bir x ve y vektörü için x+y=y+x eşitliği sağlanır;
2. herhangi bir x, y ve z vektörü için x+(y+z)=(x+y)+z eşitliği sağlanır;
3. öyle bir o vektörü vardır ki, herhangi bir x vektörü için x+o=x eşitliği sağlanır;
4. herhangi bir vektör için X x+(-x)=o olacak şekilde bir (-x) vektörü vardır;
5. herhangi bir vektör için X 1x=x eşitliği geçerlidir;
6. herhangi bir vektör için X Ve en ve herhangi bir sayı λ eşitliği λ( X+en)=λ X+λ en;
7. herhangi bir vektör için X ve eşitliğin sağladığı herhangi bir λ ve μ sayısı (λ+μ) X=λ X+μ X;
8. herhangi bir vektör için X ve herhangi bir sayı λ ve μ eşitliği λ(μ X)=(λμ) X;

Grup II

Grup I kavramı tanımlar vektörlerin doğrusal birleşimi, doğrusal bağımlılık ve doğrusal bağımsızlık. Bu bize iki aksiyomu daha formüle etmemizi sağlar:

1. n tane doğrusal bağımsız vektör vardır;
2. herhangi bir (n+1) vektör doğrusal olarak bağımlıdır.

Planimetri için n=2, stereometri için n=3.

Grup III

Bu grup, bir vektör çiftini atayan bir skaler çarpma işleminin olduğunu varsayar. X Ve en sayı ( x,y). Bu durumda:

1. herhangi bir vektör için X Ve en eşitlik geçerlidir ( x,y)=(y, x);
2. herhangi bir vektör için X , en Ve z eşitlik geçerlidir ( x+y,z)=(x,z)+(y,z);
3. herhangi bir vektör için X Ve en ve herhangi bir sayı λ eşitliği (λ x,y)=λ( x,y);
4. herhangi bir x vektörü için eşitsizlik geçerlidir ( x, x)≥0 ve ( x, x)=0 ancak ve ancak X=0.

Doğrusal uzayın özellikleri

Doğrusal uzayın çoğu özelliği Weyl'in aksiyomlarına dayanmaktadır:

1. Vektör O Varlığı Aksiyom 3 ile garanti altına alınan , benzersiz bir şekilde belirlenir;
2. vektör (- X Varlığı Aksiyom 4 tarafından garanti edilen ), benzersiz bir şekilde belirlenir;
3. Herhangi iki vektör için A Ve B uzaya ait L sadece bir vektör var X aynı zamanda uzaya ait L denklemin çözümü olan a+x=B ve vektör farkını çağırdık b-a.

Tanım. Alt küme Ben doğrusal uzay L isminde doğrusal alt uzay uzay L kendisi, vektörlerin toplamı ile bir vektör ve bir sayının çarpımının aşağıdaki şekilde tanımlandığı doğrusal bir uzay ise L.

Tanım. Doğrusal kabuk L(x1, x2, x3,…, xk) vektörler x1, x2, x3, Ve xk bu vektörlerin tüm doğrusal kombinasyonlarının kümesi denir. Doğrusal kabuk hakkında şunu söyleyebiliriz

-doğrusal yayılma doğrusal bir altuzaydır;

– doğrusal gövde, vektörleri içeren minimum doğrusal alt uzaydır x1, x2, x3, Ve xk.

Tanım. Weyl aksiyom sisteminin Grup II'sini karşılıyorsa doğrusal bir uzaya n boyutlu uzay denir. n sayısına denir boyut doğrusal uzay ve yazma loşL=n.

Temel– herhangi bir sıralı sistem N uzayın doğrusal bağımsız vektörleri. Tabanın anlamı, tabanı oluşturan vektörlerin uzaydaki herhangi bir vektörü tanımlamak için kullanılabilmesidir.

Teorem. L uzayındaki herhangi bir n doğrusal bağımsız vektör bir taban oluşturur.

İzomorfizm.

Tanım. Doğrusal uzaylar L Ve Ben elemanları arasında bire bir yazışma kurulabiliyorsa izomorfik olarak adlandırılırlar. x↔x', Ne:

1. Eğer x↔x', y↔y’, O x+y↔x’+y’;
2. Eğer x↔x', o zaman λ x↔λ X'.

Bu yazışmanın kendisi denir izomorfizm. İzomorfizm aşağıdaki ifadeleri yapmamızı sağlar:

• iki uzay izomorfikse boyutları eşittir;
• Aynı alan üzerindeki ve aynı boyuttaki herhangi iki doğrusal uzay izomorfiktir.

1. Polinom kümesi P N (X) derece daha yüksek değil N.

2. Birçok N-terim dizileri (terim bazında toplama ve bir skalerle çarpma ile).

3 . Çok sayıda özellik C [ A , B ] sürekli [ A, B] ve noktasal toplama ve bir skalerle çarpma ile.

4. [ üzerinde belirtilen birçok işlev A, B] ve sabit bir iç noktada kaybolmak C: F (C) = 0 ve noktasal toplama ve skaler çarpma işlemleriyle.

5. Aşağıdaki durumlarda R+'yı ayarlayın: X ⊕ sen  X  sen, ⊙X X  .

§8. alt uzayın tanımı

Bırakın set K doğrusal uzayın bir alt kümesidir V (K  V) ve öyle ki

a)  X, senK  X ⊕ senK;

b)  XK,    ⊙ XK.

Buradaki toplama ve çarpma işlemleri uzaydaki ile aynıdır. V(bunlara uzay kaynaklı denir V).

Çok fazla K uzayın alt uzayı denir V.

7  . Altuzay K kendisi uzaydır.

◀ Kanıtlamak için nötr bir unsurun ve onun karşıtının varlığını ispatlamak yeterlidir. Eşitlikler 0⊙ X=  ve (–1)⊙ X = –X neyin gerekli olduğunu kanıtla.

Yalnızca nötr bir elemandan () ve uzayın kendisiyle çakışan bir alt uzaydan oluşan bir alt uzay V, uzayın önemsiz alt uzayları olarak adlandırılır V.

§9. Vektörlerin doğrusal birleşimi. Vektör sisteminin doğrusal açıklığı

Vektörler olsun e 1 ,e 2 , …e N V ve  1,  2 , …  N .

Vektör x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  N e N = doğrusal denir vektörlerin kombinasyonu e 1 , e 2 , … , e N katsayıları  1 ile,  2 , …  N .

Doğrusal bir kombinasyondaki tüm katsayılar sıfıra eşitse, o zaman doğrusal kombinasyon ismindeönemsiz.

Vektörlerin tüm olası doğrusal kombinasyonlarının kümesi
doğrusal gövde denir bu vektör sistemi ve şu şekilde ifade edilir:

ℒ(e 1 , e 2 , …, e N) = ℒ
.

8  . ℒ(e 1 , e 2 , …, e N

◀ Bir skalerle toplama ve çarpma işlemlerinin doğruluğu, ℒ( e 1 , e 2 , …, e N) olası tüm doğrusal kombinasyonların bir kümesidir. Nötr eleman önemsiz bir doğrusal kombinasyondur. Öğe için X=
bunun tersi ise elementtir - X =
. İşlemlerin karşılaması gereken aksiyomlar da karşılanmıştır. Böylece,ℒ( e 1 , e 2 , …, e N) doğrusal bir uzaydır.

Herhangi bir doğrusal uzay, genel durumda, sonsuz sayıda başka doğrusal uzay (altuzay) - doğrusal kabuklar içerir

Gelecekte aşağıdaki soruları cevaplamaya çalışacağız:

Farklı vektör sistemlerinin doğrusal kabukları ne zaman aynı vektörlerden oluşur (yani çakışır)?

2) Aynı doğrusal açıklığı tanımlayan minimum vektör sayısı nedir?

3) Orijinal uzay bazı vektör sistemlerinin doğrusal bir aralığı mıdır?

§10. Komple vektör sistemleri

Uzayda ise V sonlu bir vektör kümesi var
ne olmuş yani?
 V, daha sonra vektörler sistemi
komple sistem denir V ve uzaya sonlu boyutlu denir. Böylece vektörler sistemi e 1 , e 2 , …, e N V tamamlandı denir V sistem, yani Eğer

XV   1 ,  2 , …  N öyle ki x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  N e N .

Uzayda ise V sonlu bir tam sistem yoktur (ve tam bir sistem her zaman mevcuttur - örneğin, uzayın tüm vektörlerinin kümesi) V), sonra boşluk V sonsuz boyutlu denir.

9  .
Eğer V tamamen sen V vektör sistemi ve e 1 , e 2 , …, e N , sen, O (

) aynı zamanda komple bir sistemdir. sen◀ Doğrusal kombinasyonlarda önceki katsayı

0'a eşit alın. Doğrusal kabuk 'den oluşan bir vektörler sistemi olsun. vektör sistemleri

belirli bir sistemin vektörlerinin tüm doğrusal kombinasyonlarının kümesidir, yani

Doğrusal kabuğun özellikleri: If , ardından for ve .

Doğrusal kabuk, doğrusal işlemlere (bir sayıyla toplama ve çarpma işlemleri) göre kapalı olma özelliğine sahiptir.Sayılarla toplama ve çarpma işlemlerine göre kapalı olma özelliğine sahip olan bir uzayın alt kümesine denir. .

uzayın doğrusal alt uzayı

Bir vektörler sisteminin doğrusal kabuğu, uzayın doğrusal bir alt uzayıdır. Vektörlerin sistemine taban denir

,Eğer

Herhangi bir vektör, temel vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak ifade edilebilir:

2. Vektör sistemi doğrusal olarak bağımsızdır. Lemma Vektör genişleme katsayıları

Vektör esasına göre benzersiz olarak belirlenir. , vektör genişleme katsayılarından oluşur tabana göre vektörün koordinat vektörü denir .

temelde Tanım

Doğrusal uzaylar

Tanımlar

Keyfi nitelikteki bir dizi unsur verilsin. Bu kümenin elemanları için iki işlem tanımlansın: toplama ve herhangi biriyle çarpma gerçek sayı: , ve ayarla kapalı bu işlemlerle ilgili olarak: . Bu işlemlerin aksiyomlara uymasına izin verin:

3. özelliği olan bir sıfır vektörü vardır;

4. Her biri için özelliğine sahip bir ters vektör vardır;

6. için;

7. için;

O zaman böyle bir küme denir doğrusal (vektör) uzay elemanlarına denir vektörler ve - sayılardan farklarını vurgulamak için - ikincisine denir skalerler 1). Yalnızca bir sıfır vektöründen oluşan uzaya denir önemsiz .

Aksiyomlar 6 - 8'de karmaşık skalerlerle çarpmaya izin verirsek, o zaman böyle bir doğrusal uzaya denir kapsayıcı. Mantık yürütmemizi basitleştirmek için aşağıda yalnızca gerçek uzayları ele alacağız.

Doğrusal uzay, toplama işlemine göre bir grup ve bir Abel grubudur.

Sıfır vektörünün benzersizliği ve vektörün tersinin benzersizliği kolayca kanıtlanabilir: genellikle belirlenir.

Kendisi de doğrusal bir uzay olan (yani vektörlerin eklenmesi ve keyfi bir skalerle çarpılması altında kapalı olan) bir doğrusal uzayın alt kümesine denir. doğrusal alt uzay uzay. Önemsiz alt uzaylar Doğrusal bir uzaya kendisi denir ve bir sıfır vektörden oluşan uzaydır.

Örnek. Reel sayıların sıralı üçlülerinin uzayı

eşitliklerle tanımlanan işlemler:

Geometrik yorum açıktır: uzayda orijine "bağlı" bir vektör, ucunun koordinatlarıyla belirtilebilir. Şekil aynı zamanda uzayın tipik bir alt uzayını da göstermektedir: orijinden geçen bir düzlem. Daha doğrusu elemanlar, kökenleri orijinde olan ve düzlemdeki noktalarda biten vektörlerdir. Böyle bir kümenin vektörlerin toplamına ve genişlemelerine (2) göre kapalılığı açıktır.

Bu geometrik yoruma dayanarak, keyfi bir doğrusal uzayın vektöründen sıklıkla şu şekilde söz edilir: uzaydaki nokta. Bazen bu noktaya "vektörün sonu" denir. Çağrışımsal algılamanın rahatlığı dışında, bu kelimelere herhangi bir biçimsel anlam verilmemiştir: Doğrusal uzayın aksiyomatiklerinde "bir vektörün sonu" kavramı yoktur.

Örnek. Aynı örneğe dayanarak, vektör uzayının farklı bir yorumunu verebiliriz (bu arada, "vektör" kelimesinin tam kökenine gömülü 3)) - uzaydaki noktaların bir dizi "kaymasını" tanımlar. Bu kaymalar veya herhangi bir uzaysal şeklin paralel ötelenmesi, düzleme paralel olacak şekilde seçilir.

Genel olarak konuşursak, vektör kavramının bu tür yorumlarıyla her şey o kadar basit değildir. Bir nesne olarak fiziksel anlamına hitap etmeye çalışır. boyut Ve yön- katı matematikçilerin adil bir şekilde azarlanmasına neden olun. Bir vektörün, vektör uzayının bir elemanı olarak tanımlanması, şu bölümü çok anımsatmaktadır: mezar taşı Stanislaw Lem'in ünlü bilim kurgu öyküsünden (bkz. ☞BURADA). Biçimciliğe takılıp kalmayalım, bu bulanık nesneyi belirli tezahürleriyle inceleyelim.

Örnek. Doğal bir genelleme uzaydır: satır veya sütun vektör uzayı . Bir alt uzayı belirtmenin bir yolu, bir dizi kısıtlamayı belirtmektir.

Örnek. Bir doğrusal homojen denklem sisteminin çözüm kümesi:

uzayın doğrusal bir alt uzayını oluşturur. Aslında eğer

O halde sistemin çözümü

Herhangi biri için aynı çözüm. Eğer

O halde sisteme başka bir çözüm

Bu aynı zamanda onun kararı olacaktır.

Neden sistemin birçok çözümü var? heterojen denklemler doğrusal bir alt uzay oluşturmuyor mu?

Örnek. Daha da genelleyerek, "sonsuz" dizelerin uzayını veya diziler , genellikle matematiksel analizin amacı - diziler ve seriler dikkate alındığında. Çizgileri (dizileri) “her iki yönde de sonsuz” olarak düşünebilirsiniz - bunlar SİNYAL TEORİSİ'nde kullanılır.

Örnek. Gerçel sayılarla matris toplama ve çarpma işlemleri ile gerçek elemanlı -matrisler kümesi doğrusal bir uzay oluşturur.

Kare sıralı matrislerin uzayında iki alt uzay ayırt edilebilir: simetrik matrislerin alt uzayı ve çarpık simetrik matrislerin alt uzayı. Ek olarak, kümelerin her birini altuzaylar oluşturur: üst üçgen, alt üçgen idiagonal matrisler.

Örnek. Polinomların eklenmesi ve bir sayı ile çarpılması gibi olağan işlemlerle (burada herhangi bir küme veya ) katsayılarına tam olarak eşit, bir değişken dereceli polinomlar kümesi. oluşmaz doğrusal uzay. Neden? - Toplama işlemine göre kapalı olmadığı için: polinomların toplamı, inci dereceden bir polinom olmayacaktır. Ama burada derecenin birçok polinomu var daha yüksek değil

doğrusal uzay formları; yalnızca bu kümeye aynı zamanda sıfır polinomunu (4) eklemeliyiz. Açık altuzaylar . Ayrıca alt uzaylar en fazla dereceli çift ve tek polinomların kümesi olacaktır. Olası tüm polinomların kümesi (derece sınırlaması olmaksızın) aynı zamanda doğrusal bir uzay oluşturur.

Örnek.Önceki durumun bir genellemesi, katsayıları ile en fazla çeşitli derece değişkenlerinin polinomlarının uzayı olacaktır. Örneğin doğrusal polinomlar kümesi

doğrusal bir alan oluşturur. Derecenin homojen polinomları (formları) kümesi (bu kümeye özdeş bir sıfır polinomun eklenmesiyle) aynı zamanda doğrusal bir uzaydır.

Yukarıdaki tanım açısından, tamsayı bileşenlere sahip dizeler kümesi

bileşen bazında toplama ve çarpma işlemleriyle ilgili olarak ele alındığında tamsayılar skalerler doğrusal bir uzay değildir. Bununla birlikte, yalnızca tamsayı skalerlerle çarpmaya izin verirsek, 1'den 8'e kadar olan tüm aksiyomlar karşılanacaktır. Bu bölümde bu nesneye odaklanmayacağız ancak ayrık matematikte, örneğin ☞ KODLAMA TEORİSİ'nde oldukça faydalıdır. Sonlu alanlar üzerindeki doğrusal uzaylar dikkate alınır ☞ BURADA.

Değişkenler üçüncü dereceden simetrik matrislerin uzayına izomorftur. İzomorfizm, durum için göstereceğimiz bir yazışma ile kurulur:

İzomorfizm kavramı, cebirin farklı alanlarında ortaya çıkan, ancak "benzer" işlem özelliklerine sahip nesnelerin incelenmesini yürütmek, bir örnek örneğini kullanarak, daha sonra ucuza kopyalanabilecek sonuçların üzerinde çalışmak için tanıtıldı. Hangi doğrusal uzayı “örnek olarak” almalıyız? - Bir sonraki paragrafın sonuna bakın