Üçgenin alanı - formüller ve problem çözme örnekleri

Aşağıda keyfi bir üçgenin alanını bulmak için formüllerözellikleri, açıları veya boyutları ne olursa olsun herhangi bir üçgenin alanını bulmaya uygundur. Formüller, uygulanmalarına ilişkin açıklamalar veya doğruluklarının gerekçeleri ile birlikte bir resim şeklinde sunulur. Ayrıca ayrı bir şekil, formüllerdeki harf sembolleri ile çizimdeki grafik sembolleri arasındaki yazışmayı gösterir.

Not . Üçgenin özel özellikleri varsa (ikizkenar, dikdörtgen, eşkenar), aşağıda verilen formüllerin yanı sıra yalnızca bu özelliklere sahip üçgenler için geçerli olan ek özel formülleri de kullanabilirsiniz:

• "Alan formülleri eşkenar üçgen"

Üçgen alan formülleri

Formüllere ilişkin açıklamalar:
a, b, c- alanını bulmak istediğimiz üçgenin kenar uzunlukları
R- üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı
R- üçgenin etrafında çevrelenen dairenin yarıçapı
H- yana indirilen üçgenin yüksekliği
P- bir üçgenin yarı çevresi, kenarlarının toplamının 1/2'si (çevre)
α - üçgenin a kenarının karşısındaki açı
β - üçgenin b kenarının karşısındaki açı
γ - üçgenin c kenarının karşısındaki açı
H A, H B , H C- a, b, c kenarlarına indirilen üçgenin yüksekliği

Lütfen verilen gösterimlerin yukarıdaki şekle karşılık geldiğini unutmayın; böylece gerçek bir geometri problemini çözerken, doğru değerleri formülde doğru yerlere yerleştirmeniz görsel olarak daha kolay olacaktır.

• Üçgenin alanı Üçgenin yüksekliği ile bu yüksekliğin alçaltıldığı kenar uzunluğunun çarpımının yarısı(Formül 1). Bu formülün doğruluğu mantıksal olarak anlaşılabilir. Tabana indirilen yükseklik, rastgele bir üçgeni iki dikdörtgen parçaya bölecektir. Her birini b ve h boyutlarında bir dikdörtgen haline getirirseniz, o zaman açıkçası bu üçgenlerin alanı dikdörtgenin alanının tam yarısına eşit olacaktır (Spr = bh)
• Üçgenin alanı iki kenarın çarpımının yarısı ve aralarındaki açının sinüsü(Formül 2) (aşağıdaki bu formülü kullanarak bir problemi çözme örneğine bakın). Öncekinden farklı gibi görünse de kolaylıkla ona dönüştürülebilir. Yüksekliği B açısından b kenarına indirirsek, dik üçgendeki sinüsün özelliklerine göre a tarafının ve γ açısının sinüsünün çarpımının çizdiğimiz üçgenin yüksekliğine eşit olduğu ortaya çıkar. , bu bize önceki formülü verir
• Keyfi bir üçgenin alanı bulunabilir başından sonuna kadar iş içine yazılan dairenin yarıçapının yarısı, tüm kenarlarının uzunluklarının toplamı kadardır(Formül 3), basitçe söylemek gerekirse, üçgenin yarı çevresini yazılı dairenin yarıçapıyla çarpmanız gerekir (bunu hatırlamak daha kolaydır)
• İsteğe bağlı bir üçgenin alanı, tüm kenarlarının çarpımının, etrafını çevreleyen dairenin 4 yarıçapına bölünmesiyle bulunabilir (Formül 4)
• Formül 5, bir üçgenin alanını kenarlarının uzunlukları ve yarı çevresi boyunca bulmaktır (tüm kenarların toplamının yarısı)
• Heron'un formülü(6) aynı formülün yarı çevre kavramı kullanılmadan sadece kenarların uzunlukları boyunca gösterimidir
• Keyfi bir üçgenin alanı, üçgenin kenarının karesinin çarpımına ve bu kenara bitişik açıların sinüslerinin çarpımına eşittir. çift ​​sinüs bu tarafın karşısındaki açı (Formül 7)
• Rastgele bir üçgenin alanı, her bir açısının sinüsleri tarafından çevrelenen dairenin iki karesinin çarpımı olarak bulunabilir. (Formül 8)
• Bir tarafın uzunluğu ve bitişik iki açının değerleri biliniyorsa, üçgenin alanı bu tarafın karesinin bu açıların kotanjantlarının çift toplamına bölünmesiyle bulunabilir (Formül 9)
• Üçgenin her bir yüksekliğinin yalnızca uzunluğu biliniyorsa (Formül 10), o zaman böyle bir üçgenin alanı, Heron Formülüne göre bu yüksekliklerin uzunluklarıyla ters orantılıdır.
• Formül 11 hesaplamanıza olanak tanır köşelerinin koordinatlarına göre bir üçgenin alanı, her bir köşe için (x;y) değerleri olarak belirtilir. Bireysel (veya hatta tüm) köşelerin koordinatları negatif değerler bölgesinde olabileceğinden, elde edilen değerin modülo olarak alınması gerektiğini lütfen unutmayın.

Not. Aşağıda bir üçgenin alanını bulmak için geometri problemlerini çözme örnekleri verilmiştir. Buraya benzer olmayan bir geometri problemini çözmeniz gerekiyorsa, bunun hakkında forumda yazın. Çözümlerde "karekök" sembolü yerine sqrt() fonksiyonu kullanılabilir; burada sqrt karekök sembolüdür ve radikal ifade parantez içinde gösterilir.Bazen basit radikal ifadeler için sembol kullanılabilir. √

Görev. İki kenar verilen alanı ve aralarındaki açıyı bulun

Üçgenin kenarları 5 ve 6 cm olup aralarındaki açı 60 derecedir. Üçgenin alanını bulun.

Çözüm.

Bu sorunu çözmek için dersin teorik kısmındaki iki numaralı formülü kullanıyoruz.
Bir üçgenin alanı iki kenarın uzunluğu ve aralarındaki açının sinüsü ile bulunabilir ve şuna eşit olacaktır:
S=1/2 abs sin γ

Çözüm için gerekli tüm verilere sahip olduğumuzdan (formüle göre), yalnızca problem koşullarındaki değerleri formüle koyabiliriz:
S = 1/2 * 5 * 6 * günah 60

Değerler tablosunda trigonometrik fonksiyonlar Sinüs 60 derecenin değerini bulup ifadede yerine koyalım. Üç çarpı ikinin köküne eşit olacak.
S = 15 √3 / 2

Cevap: 7,5 √3 (öğretmenin isteğine bağlı olarak muhtemelen 15 √3/2 bırakabilirsiniz)

Görev. Eşkenar üçgenin alanını bulun

Bir kenarı 3 cm olan eşkenar üçgenin alanını bulun.

Çözüm .

Bir üçgenin alanı Heron formülü kullanılarak bulunabilir:

S = 1/4 kare((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

a = b = c olduğundan eşkenar üçgenin alanı formülü şu şekli alır:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Cevap: 9 √3 / 4.

Görev. Kenarların uzunluğunu değiştirirken alanda değişiklik

Kenarları 4 kat artırılırsa üçgenin alanı kaç kat artar?

Çözüm.

Üçgenin kenarlarının boyutları bizim tarafımızdan bilinmediğinden, sorunu çözmek için kenarların uzunluklarının sırasıyla a, b, c keyfi sayılarına eşit olduğunu varsayacağız. Daha sonra problemin sorusunu cevaplamak için verilen üçgenin alanını bulacağız, ardından kenarları dört kat daha büyük olan üçgenin alanını bulacağız. Bu üçgenlerin alanlarının oranı bize problemin cevabını verecektir.

Aşağıda sorunun çözümünün metinsel açıklamasını adım adım sunuyoruz. Ancak en sonunda aynı çözüm daha uygun bir grafiksel formda sunulmaktadır. İlgilenenler hemen çözümlere inebilirler.

Çözmek için Heron formülünü kullanıyoruz (yukarıdaki dersin teorik kısmına bakın). Şuna benziyor:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(aşağıdaki resmin ilk satırına bakın)

Herhangi bir üçgenin kenarlarının uzunlukları a, b, c değişkenleriyle belirtilir.
Kenarlar 4 kat artırılırsa yeni üçgen c'nin alanı şöyle olacaktır:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(aşağıdaki resimde ikinci satıra bakınız)

Gördüğünüz gibi 4, aşağıdaki dört ifadeden de parantez dışına alınabilecek ortak bir faktördür. genel kurallar matematik.
Daha sonra

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - resmin üçüncü satırında
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - dördüncü satır

256 sayısının karekökü mükemmel bir şekilde çıkarıldı, o halde onu kökün altından çıkaralım
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 metrekare((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(aşağıdaki resmin beşinci satırına bakınız)

Problemde sorulan soruyu cevaplamak için ortaya çıkan üçgenin alanını orijinal üçgenin alanına bölmemiz yeterli.
İfadeleri birbirine bölüp elde edilen kesri azaltarak alan oranlarını belirleyelim.

Bir üçgenin alanı, kenarlarının çarpımının yarısına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir.

Kanıt:

Rasgele bir ABC üçgeni düşünün. BC tarafı = a, CA tarafı = b ve S bu üçgenin alanı olsun. Bunu kanıtlamak gerekli S = (1/2)*a*b*sin(C).

Başlangıç ​​olarak, dikdörtgen bir koordinat sistemi tanıtalım ve koordinatların kökenini C noktasına yerleştirelim. Koordinat sistemimizi, B noktası Cx ekseninin pozitif yönünde yer alacak ve A noktası pozitif koordinata sahip olacak şekilde konumlandıralım.

Her şey doğru yapılırsa aşağıdaki çizimi almalısınız.

Belirli bir üçgenin alanı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir: S = (1/2)*a*h burada h üçgenin yüksekliğidir. Bizim durumumuzda h üçgeninin yüksekliği A noktasının ordinatına eşittir, yani h = b*sin(C).

Elde edilen sonuçlar dikkate alınarak üçgenin alan formülü şu şekilde yeniden yazılabilir: S = (1/2)*a*b*sin(C). Q.E.D.

Sorun çözme

Görev 1. ABC üçgeninin alanını bulun, eğer a) AB = 6*√8 cm, AC = 4 cm, A açısı = 60 derece b) BC = 3 cm, AB = 18*√2 cm, B açısı = 45 derece c ) AC = 14 cm, CB = 7 cm, C açısı = 48 derece.

Yukarıda kanıtlanan teoreme göre ABC üçgeninin S alanı şuna eşittir:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Hesaplamaları yapalım:

a) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 cm^2.

b) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 cm^2.

c) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ cm^2.

Açının sinüsünün değerini bir hesap makinesinde hesaplıyoruz veya değerler tablosundaki değerleri kullanıyoruz trigonometrik açılar. Cevap:

a) 12*√6 cm^2.

c) yaklaşık 36,41 cm^2.

Problem 2. ABC üçgeninin alanı 60 cm^2'dir. AC = 15 cm, A açısı = 30˚ ise AB kenarını bulun.

ABC üçgeninin alanı S olsun. Bir üçgenin alanı teoremine göre elimizde:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Elimizdeki değerleri yerine koyalım:

60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.

Buradan AB kenarının uzunluğunu ifade ediyoruz: AB = (60*4)/15 = 16.

Taban ve yükseklik bilinerek bulunabilir. Diyagramın tüm basitliği, yüksekliğin a tabanını a 1 ve a 2 olmak üzere iki parçaya ve üçgenin kendisini alanı ve olan iki dik üçgene bölmesinde yatmaktadır. Daha sonra tüm üçgenin alanı belirtilen iki alanın toplamı olacaktır ve eğer yüksekliğin bir saniyesini braketten çıkarırsak, toplamda tabanı geri alacağız:

Hesaplamalar için daha zor bir yöntem, üç tarafı da bilmeniz gereken Heron formülüdür. Bu formül için öncelikle üçgenin yarı çevresini hesaplamanız gerekir: Heron formülünün kendisi, yarı çevrenin karekökünün her iki taraftaki farkla çarpılmasını ifade eder.

Herhangi bir üçgen için de geçerli olan aşağıdaki yöntem, üçgenin alanını iki kenardan ve aralarındaki açıyı bulmanızı sağlar. Bunun kanıtı yükseklik formülünden gelir - bilinen kenarlardan herhangi birinin yüksekliğini çizeriz ve α açısının sinüsü aracılığıyla h=a⋅sinα sonucunu elde ederiz. Alanı hesaplamak için yüksekliğin yarısını ikinci kenarla çarpın.

Diğer bir yol ise 2 açıyı ve aralarındaki kenarı bilerek üçgenin alanını bulmaktır. Bu formülün ispatı oldukça basittir ve diyagramdan açıkça görülmektedir.

Üçüncü açının tepe noktasından yüksekliği bilinen tarafa indiririz ve ortaya çıkan parçalara buna göre x adını veririz. İtibaren dik üçgenler ilk segment x'in çarpıma eşit olduğu açıktır

Üçgen alan teoremi

Teorem 1

Bir üçgenin alanı, iki kenarın çarpımının yarısına ve bu kenarlar arasındaki açının sinüsüne eşittir.

Kanıt.

Bize keyfi bir $ABC$ üçgeni verilsin. Bu üçgenin kenar uzunluklarını $BC=a$, $AC=b$ olarak gösterelim. Kartezyen koordinat sistemini tanıtalım, böylece $C=(0,0)$ noktası, $B$ noktası sağ yarı eksen $Ox$ üzerinde yer alır ve $A$ noktası ilk koordinat çeyreğinde yer alır. $A$ noktasından $h$ yüksekliğini çizelim (Şekil 1).

Şekil 1. Teorem 1'in Gösterimi

$h$ yüksekliği $A$ noktasının ordinatına eşittir, dolayısıyla

Sinüs teoremi

Teorem 2

Bir üçgenin kenarları karşıt açıların sinüsleriyle orantılıdır.

Kanıt.

Bize keyfi bir $ABC$ üçgeni verilsin. Bu üçgenin kenar uzunluklarını $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ olarak gösterelim (Şekil 2).

Şekil 2.

Hadi bunu kanıtlayalım

Teorem 1'e göre, elimizde

Bunları çiftler halinde eşitlersek şunu elde ederiz:

Kosinüs teoremi

Teorem 3

Üçgenin kare kenarı toplamına eşitüçgenin diğer iki kenarının kareleri, bu kenarların çarpımının iki kenarının kosinüsü olmadan.

Kanıt.

Bize keyfi bir $ABC$ üçgeni verilsin. Kenar uzunluklarını $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$ olarak gösterelim. Kartezyen koordinat sistemini tanıtalım, böylece $A=(0,0)$ noktası, $B$ noktası pozitif yarı eksen $Ox$ üzerinde yer alır ve $C$ noktası ilk koordinat çeyreğinde yer alır (Şekil 1). 3).

Şekil 3.

Hadi bunu kanıtlayalım

Bu koordinat sisteminde şunu elde ederiz:

Noktalar arasındaki mesafe formülünü kullanarak $BC$ kenarının uzunluğunu bulun

Bu teoremleri kullanan bir problem örneği

Örnek 1

Herhangi bir üçgenin çevrelenmiş daire çapının, üçgenin herhangi bir kenarının bu kenarın karşısındaki açının sinüsüne oranına eşit olduğunu kanıtlayın.

Çözüm.

Bize keyfi bir $ABC$ üçgeni verilsin. $R$ çevrelenen dairenin yarıçapıdır. $BD$ çapını çizelim (Şekil 4).

Sorun bir üçgenin iki tarafının uzunluğunu ve aralarındaki açıyı veriyorsa, o zaman üçgenin sinüs boyunca alan formülünü uygulayabilirsiniz.

Sinüs kullanarak bir üçgenin alanını hesaplamaya bir örnek. Verilen kenarlar a = 3, b = 4 ve açı γ = 30°'dir. 30°'lik bir açının sinüsü 0,5'tir

Üçgenin alanı 3 metrekare olacaktır. santimetre.

Başka koşullar da olabilir. Bir tarafın uzunluğu ve açıları verilmişse, önce eksik açıyı hesaplamanız gerekir. Çünkü Bir üçgenin tüm açılarının toplamı 180° ise:

Alan, kenarın karesinin yarısı ile kesrin çarpımına eşit olacaktır. Payı komşu açıların sinüslerinin çarpımını içerir ve paydası sinüsü içerir ters açı. Şimdi alanı aşağıdaki formülleri kullanarak hesaplıyoruz:

Örneğin, bir kenarı a=3 ve açıları γ=60°, β=60° olan bir üçgen veriliyor. Üçüncü açıyı hesaplayın:
Verileri formülde yerine koyma
Üçgenin alanının 3,87 metrekare olduğunu buluyoruz. santimetre.

II. Kosinüs boyunca bir üçgenin alanı

Bir üçgenin alanını bulmak için tüm kenarlarının uzunluklarını bilmeniz gerekir. Kosinüs teoremini kullanarak bilinmeyen tarafları bulabilir ve ancak o zaman kullanabilirsiniz.
Kosinüs teoremine göre, bir üçgenin bilinmeyen tarafının karesi, kalan kenarların karelerinin toplamı eksi bu kenarların çarpımının iki katı ve aralarında bulunan açının kosinüsüne eşittir.

Teoremden bilinmeyen tarafın uzunluğunu bulmak için formüller türetiyoruz:

Eksik tarafı nasıl bulacağınızı bilerek, iki kenarı ve aralarındaki açıyı bilerek alanı kolayca hesaplayabilirsiniz. Kosinüs boyunca bir üçgenin alanı formülü, çeşitli sorunlara hızlı ve kolay bir şekilde çözüm bulmaya yardımcı olur.

Kosinüs kullanarak bir üçgenin alanı formülünü hesaplamaya bir örnek
Bir üçgen verildiğinde bilinen taraflar a = 3, b = 4 ve açı γ = 45°. Önce eksik tarafı bulalım İle. Kosinüs 45°=0,7. Bunu yapmak için verileri kosinüs teoreminden türetilen denklemin yerine koyarız.
Şimdi formülü kullanarak şunu buluyoruz: