Denklem M(X, sen) dx+ N(X, sen) ölmek=0 böyle bir sayıyı seçmek mümkünse genelleştirilmiş homojen olarak adlandırılır k, bu denklemin sol tarafının bir dereceye kadar homojen bir fonksiyon haline geldiği M nispeten X, sen, dx Ve ölmek şartıyla X birinci boyutun değeri olarak kabul edilir, sen – k‑ ölçümler , dx Ve ölmek – sırasıyla sıfır ve (k-1) ölçümler. Örneğin, bu denklem olacaktır.

(6.1)

X, sen, dx Ve ölmek Ölçümlerle ilgili yapılan varsayımlar altında geçerlidir
sol taraftaki üyeler ölmek Ve k sırasıyla -2, 2 boyutlarına sahip olacak k Ve k: -2 = 2k = k-1. Bunları eşitleyerek gerekli sayının sağlaması gereken bir koşul elde ederiz. k -1. Bu koşul sağlandığında k= -1 (bununla

söz konusu denklemin sol tarafındaki tüm terimlerin boyutu -2) olacaktır. Sonuç olarak, denklem (6.1) homojen olarak genelleştirilmiştir.
Genelleştirilmiş bir homojen denklem, ikame kullanılarak ayrılabilir değişkenlere sahip bir denkleme indirgenir , Nerede z k – yeni bilinmeyen işlev. Belirtilen yöntemi kullanarak denklem (6.1)'i entegre edelim. Çünkü
= -1 ise

, bundan sonra denklemi elde ederiz.
Bunu entegre edersek buluruz
, Neresi

. Bu, (6.1) denkleminin genel çözümüdür.

§ 7. 1. dereceden doğrusal diferansiyel denklemler.

, (7.1)

1. dereceden doğrusal denklem, istenen fonksiyona ve türevine göre doğrusal olan bir denklemdir. Şuna benziyor: Nerede(X) Ve P(X) Q X. – verilen sürekli fonksiyonlar
, Eğer fonksiyon
(7.2)

bu durumda denklem (7.1) şu şekle sahiptir:
ve doğrusal homojen denklem olarak adlandırılır, aksi halde

buna doğrusal homojen olmayan denklem denir.

(7.3)

Doğrusal homojen diferansiyel denklem (7.2), ayrılabilir değişkenlere sahip bir denklemdir: Nerede(X) İfade (7.3), denklem (7.2)'nin genel çözümüdür. Fonksiyonun (7.1) denklemine genel bir çözüm bulmak için Denklem (7.2)'dekiyle aynı işlevi ifade ediyorsa, keyfi bir sabitin değişimi yöntemi adı verilen ve aşağıdakilerden oluşan bir teknik uyguluyoruz: işlevi seçmeye çalışacağızX) böylece doğrusal homojen denklemin (7.2) genel çözümü, homojen olmayan doğrusal denklemin (7.1) bir çözümü olacaktır. Daha sonra (7.3) fonksiyonunun türevi için şunu elde ederiz:

.

Bulunan türevi denklem (7.1)'de yerine koyarsak:

veya
.

Nerede
Genelleştirilmiş bir homojen denklem, ikame kullanılarak ayrılabilir değişkenlere sahip bir denkleme indirgenir - keyfi sabit. Sonuç olarak, homojen olmayan doğrusal denklemin (7.1) genel çözümü (7.4) olacaktır.

Bu formüldeki ilk terim, doğrusal homojen diferansiyel denklemin (7.2) genel çözümünü (7.3) temsil eder ve formül (7.4)'ün ikinci terimi, genel (7.1)'den elde edilen doğrusal homojen olmayan denklemin (7.1) özel bir çözümünü temsil eder. 7.4) ile
. Bu önemli sonucu bir teorem şeklinde vurguluyoruz.

Teorem. Doğrusal homojen olmayan bir diferansiyel denklemin özel bir çözümü biliniyorsa
, o zaman diğer tüm çözümler şu forma sahiptir:
Genelleştirilmiş bir homojen denklem, ikame kullanılarak ayrılabilir değişkenlere sahip bir denkleme indirgenir
- karşılık gelen doğrusal homojen diferansiyel denklemin genel çözümü.

Bununla birlikte, 1. dereceden (7.1) doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklemi çözmek için, bazen Bernoulli yöntemi olarak adlandırılan başka bir yöntemin daha sık kullanıldığına dikkat edilmelidir. Denklemin (7.1) çözümünü şu şekilde arayacağız:
. Daha sonra
. Bulunan türevi orijinal denklemde yerine koyalım:
.

Örneğin son ifadenin ikinci ve üçüncü terimlerini birleştirip fonksiyonu çıkaralım. sen(X) braketin arkasında:
(7.5)

Parantezlerin iptal edilmesini istiyoruz:
.

Bu denklemi keyfi bir sabit belirleyerek çözelim. C sıfıra eşit:
. Bulunan fonksiyonla v(X) Denkleme (7.5) dönelim:
.

Bunu çözersek şunu elde ederiz:
.

Sonuç olarak, denklem (7.1)'in genel çözümü şu şekle sahiptir.

.
Diferansiyel denklemler.

§ 1. Adi diferansiyel denklemlerle ilgili temel kavramlar.

Tanım 1. Adi diferansiyel denklem N– fonksiyonun sırası sen argüman X formun ilişkisi denir

1. dereceden doğrusal denklem, istenen fonksiyona ve türevine göre doğrusal olan bir denklemdir. Şuna benziyor: F– verilen fonksiyon onların argümanları. Bu matematik denklem sınıfı adına “diferansiyel” terimi bunların türevlerini de içerdiğini vurgulamaktadır.
(farklılaşma sonucu oluşan işlevler); “sıradan” terimi, istenen işlevin yalnızca bir gerçek argümana bağlı olduğunu gösterir.

Sıradan bir diferansiyel denklem açık bir argüman içermeyebilir X, gerekli fonksiyon
ve türevlerinden herhangi biri, ancak en yüksek türev
denklemde yer almalı N- sipariş. Örneğin

A)
– birinci dereceden denklem;

B)
– üçüncü dereceden denklem.

Adi diferansiyel denklemleri yazarken, türevlerin diferansiyel cinsinden gösterimi sıklıkla kullanılır:

V)
– ikinci dereceden denklem;

G)
– birinci dereceden denklem,

bölündükten sonra jeneratör dx Denklemi belirtmenin eşdeğer biçimi:
.

İşlev
yerine konduğunda bir özdeşliğe dönüşüyorsa, buna sıradan bir diferansiyel denklemin çözümü denir.

Örneğin, 3. dereceden bir denklem

Bir çözümü var
.

Denklemi karşılayan bir fonksiyonu şu veya bu yöntemle bulmak, örneğin seçim yapmak, onu çözmek anlamına gelmez. Sıradan bir diferansiyel denklemi çözmek, bulmak anlamına gelir Tüm Bir denklemde yerine konulduğunda bir özdeşlik oluşturan işlevler. Denklem (1.1) için, bu tür fonksiyonlardan oluşan bir aile, keyfi sabitler kullanılarak oluşturulur ve buna sıradan bir diferansiyel denklemin genel çözümü denir. N sıra ve sabitlerin sayısı denklemin sırası ile çakışıyor: Genel çözüm konusunda açıkça izin verilmeyebilir. sen(X) : Bu durumda çözüme genellikle denklem (1.1)'in genel integrali denir.

Örneğin diferansiyel denklemin genel çözümü
aşağıdaki ifadedir: , ve ikinci terim de şu şekilde yazılabilir:
keyfi bir sabit olduğundan 2'ye bölünür, yeni bir keyfi sabitle değiştirilebilir .

Genel çözümdeki veya genel integraldeki tüm keyfi sabitlere kabul edilebilir bazı değerler atayarak, artık keyfi sabitler içermeyen belirli bir fonksiyon elde ederiz. Bu fonksiyona denklem (1.1)'in kısmi çözümü veya kısmi integrali denir. Keyfi sabitlerin değerlerini ve dolayısıyla belirli bir çözümü bulmak için denklem (1.1)'e çeşitli ek koşullar kullanılır. Örneğin başlangıç ​​koşulları olarak adlandırılan koşullar (1.2)'de belirtilebilir.

Başlangıç ​​koşullarının (1.2) sağ tarafında fonksiyonun ve türevlerinin sayısal değerleri verilmiştir ve, toplam sayı başlangıç ​​koşulları tanımlanmış keyfi sabitlerin sayısına eşittir.

Başlangıç ​​koşullarına dayalı olarak denklem (1.1)'e özel bir çözüm bulma problemine Cauchy problemi denir.

§ 2. Olağan diferansiyel denklemler 1. derece – temel kavramlar.

1. dereceden adi diferansiyel denklem ( N=1) şu forma sahiptir:
veya türevine göre çözülebiliyorsa:
. Genel çözüm sen= sen(X,İLE) veya genel integral
1. dereceden denklemler keyfi bir sabit içerir. 1. dereceden bir denklemin tek başlangıç ​​koşulu
bir sabitin değerini genel bir çözümden veya genel bir integralden belirlemenizi sağlar. Böylece belirli bir çözüm bulunacak veya aynı şekilde Cauchy sorunu da çözülecektir. Cauchy probleminin çözümünün varlığı ve tekliği sorunu, adi diferansiyel denklemlerin genel teorisindeki temel sorunlardan biridir. Özellikle 1. dereceden bir denklem için teorem geçerlidir ve burada kanıt olmadan kabul edilir.

Teorem 2.1. Denklemde fonksiyon ise
ve kısmi türevi
bazı bölgelerde sürekli D uçak XOY ve bu alanda bir nokta belirtilir
ise hem denklemi hem de başlangıç ​​koşulunu sağlayan tek bir çözüm vardır.
.

Geometrik olarak, 1. dereceden bir denklemin genel çözümü, düzlemdeki bir eğri ailesidir. XOY ortak noktaları olmayan ve bir parametrede birbirinden farklı olan - sabitin değeri C. Bu eğrilere belirli bir denklemin integral eğrileri denir. İntegral denklem eğrilerinin belirgin bir geometrik özelliği vardır: her noktada eğriye teğetin teğeti değere eşit bu noktada denklemin sağ tarafında:
. Başka bir deyişle denklem düzlemde verilmiştir. XOYİntegral eğrilere teğetlerin yönleri alanı. Yorum: Denklem için şunu belirtmek gerekir.
denklem ve sözde denklem simetrik biçimde verilmiştir
.

§ 3. Ayrılabilir değişkenlerle 1. dereceden diferansiyel denklemler.

Tanım. Ayrılabilir değişkenlere sahip diferansiyel denklem denir formun denklemi
(3.1)

veya (3.2) formundaki bir denklem

Denklem (3.1)’deki değişkenleri ayırmak için; bu denklemi ayrılmış değişken denklemine indirgemek için aşağıdakileri yapın:

;

Şimdi denklemi çözmemiz gerekiyor G(sen)= 0 . Eğer gerçek bir çözümü varsa sen= A, O sen= A aynı zamanda denklem (3.1)'in de çözümü olacaktır.

Denklem (3.2), çarpıma bölünerek ayrılmış değişken bir denkleme indirgenir.
:

, denklem (3.2)'nin genel integralini elde etmemizi sağlar:
. (3.3)

İntegral eğriler (3.3) çözümlerle desteklenecektir
eğer bu tür çözümler mevcutsa.

Denklemi çözün: .

Değişkenleri ayırıyoruz:

.

Entegre edersek şunu elde ederiz

Denklemlerin ötesinde
Ve
buluruz X=1, sen=-1. Bu çözümler kişiye özel çözümlerdir.

§ 4. 1. dereceden homojen diferansiyel denklemler.

Tanım 1. 1. dereceden bir denklemin sağ tarafı herhangi bir için ise homojen olarak adlandırılır.
oran geçerlidir
sıfır boyutlu iki değişkenli bir fonksiyonun homojenlik koşulu olarak adlandırılır.

Örnek 1. Bu işlevi göster
- homojen sıfır boyut.

Çözüm.

,

Q.E.D.

Teorem. Herhangi bir işlev
- homojen ve tersine herhangi bir homojen fonksiyon
sıfır boyut forma indirgenir
.

Kanıt.

Teoremin ilk ifadesi açıktır çünkü
. İkinci ifadeyi kanıtlayalım. Hadi koyalım
, o zaman homojen bir fonksiyon için
Kanıtlanması gereken şey buydu.

Tanım 2. Denklem (4.1)

hangisinde M Ve N– aynı dereceden homojen fonksiyonlar, yani herkesin malı var , homojen denir.

Açıkçası, bu denklem her zaman şu şekle indirgenebilir:
(4.2), ancak çözmek için bunu yapmak zorunda değilsiniz.

Homojen bir denklem, istenen fonksiyonun değiştirilmesiyle ayrılabilir değişkenlere sahip bir denkleme indirgenir sen formüle göre sen= zx, Nerede , Nerede(X) – yeni gerekli işlev. Denklem (4.2)'de bu ikameyi gerçekleştirdikten sonra şunu elde ederiz:
veya
veya
.

İntegral alarak denklemin fonksiyona göre genel integralini elde ederiz. , Nerede(X)
tekrar tekrar değiştirildikten sonra
orijinal denklemin genel integralini verir. Üstelik eğer - denklemin kökleri
, ardından işlevler
- verilen homojen bir denklemin çözülmesi. Eğer
o zaman denklem (4.2) şu formu alır

ve ayrılabilir değişkenlere sahip bir denklem haline gelir. Çözümleri yarı doğrudandır:
.

Yorum. Bazen yukarıdaki ikame yerine ikamenin kullanılması tavsiye edilir. X= zy.

§ 5. Diferansiyel denklemler homojen olanlara indirgenmiştir.

Formun bir denklemini düşünün
. (5.1)

Eğer
, o zaman bu ikame kullanan denklemdir, burada Ve - yeni değişkenler ve - sistemden belirlenen bazı sabit sayılar

Homojen bir denkleme indirgenmiş

Eğer
o zaman denklem (5.1) şu formu alır

.

İnanmak , Nerede= balta+ ile, bağımsız değişken içermeyen bir denkleme ulaşıyoruz.

Örneklere bakalım.

Örnek 1.

Denklemi Entegre Et

ve şu noktalardan geçen integral eğrisini vurgulayın: a) (2;2); b) (1;-1).

Çözüm.

Hadi koyalım sen= zx. Daha sonra ölmek= xdz+ zdx sol taraftaki üyeler

Şunu kısaltalım ve üyeleri bir araya toplayın dx sol taraftaki üyeler dz:

Değişkenleri ayıralım:

.

İntegral aldığımızda;

veya
,
.

Burada değiştirme , Nerede Açık verilen denklemin genel integralini (5.2) formunda elde ederiz.
veya

.

Bu çevrelerden oluşan bir ailedir
merkezleri düz bir çizgi üzerinde bulunan sen = X ve orijinde doğruya teğet olanlar sen + X = 0. Bu satırsen = - X sırayla denklemin belirli bir çözümü.

Şimdi Cauchy probleminin modu:

A) genel integrali koymak X=2, sen=2, buluruz C=2, bu nedenle gerekli çözüm olacaktır
.

B) çemberlerin (5.2) hiçbiri (1;-1) noktasından geçmiyor. Ama yarı düz sen = - X,
noktadan geçerek istenilen çözümü verir.

Örnek 2. Denklemi çözün: .

Çözüm.

Denklem (5.1) denkleminin özel bir durumudur.

Belirleyici
V bu örnekte
, bu yüzden aşağıdaki sistemi çözmemiz gerekiyor

Çözüyoruz, anlıyoruz
. Belirli bir denklemde bir ikame yaparak
homojen bir denklem elde ederiz. İkame kullanarak entegre etme
, buluyoruz
.

Eski değişkenlere dönüş X sol taraftaki üyeler sen formüllere göre
, sahibiz .

§ 6. Genelleştirilmiş homojen denklem.

Denklem M(X, sen) dx+ N(X, sen) ölmek=0 böyle bir sayıyı seçmek mümkünse genelleştirilmiş homojen olarak adlandırılır k, bu denklemin sol tarafının bir dereceye kadar homojen bir fonksiyon haline geldiği M nispeten X, sen, dx Ve ölmekşartıyla X birinci boyutun değeri olarak kabul edilir, sen – kölçümler , dx Ve ölmek – sırasıyla sıfır ve (k-1) ölçümler. Örneğin, bu denklem olurdu
. (6.1)

Ölçümlere ilişkin yapılan varsayımlar kapsamında geçerlidir

X, sen, dx Ve ölmek sol taraftaki üyeler
Ve ölmek sırasıyla -2, 2 boyutlarına sahip olacak k Ve k-1. Bunları eşitleyerek gerekli sayının sağlaması gereken bir koşul elde ederiz. k: -2 = 2k=k-1. Bu koşul sağlandığında k= -1 (bununla k söz konusu denklemin sol tarafındaki tüm terimlerin boyutu -2) olacaktır. Sonuç olarak, denklem (6.1) homojen olarak genelleştirilmiştir.

Genelleştirilmiş bir homojen denklem, ikame kullanılarak ayrılabilir değişkenlere sahip bir denkleme indirgenir
, Nerede , Nerede– yeni bilinmeyen işlev. Belirtilen yöntemi kullanarak denklem (6.1)'i entegre edelim. Çünkü k= -1 ise
, bundan sonra denklemi elde ederiz.

Bunu entegre edersek buluruz
, Neresi
. Bu, (6.1) denkleminin genel çözümüdür.

§ 7. 1. dereceden doğrusal diferansiyel denklemler.

1. dereceden doğrusal denklem, istenen fonksiyona ve türevine göre doğrusal olan bir denklemdir. Şuna benziyor:

, (7.1)

1. dereceden doğrusal denklem, istenen fonksiyona ve türevine göre doğrusal olan bir denklemdir. Şuna benziyor: Nerede(X) Ve P(X) – verilen sürekli fonksiyonlar X. Eğer fonksiyon
, bu durumda denklem (7.1) şu şekle sahiptir:
(7.2)

ve doğrusal homojen denklem olarak adlandırılır, aksi takdirde
buna doğrusal homojen olmayan denklem denir.

Doğrusal homojen diferansiyel denklem (7.2), ayrılabilir değişkenlere sahip bir denklemdir:

(7.3)

İfade (7.3), denklem (7.2)'nin genel çözümüdür. Fonksiyonun (7.1) denklemine genel bir çözüm bulmak için Nerede(X) Denklem (7.2)'dekiyle aynı işlevi ifade ediyorsa, keyfi bir sabitin değişimi yöntemi adı verilen ve aşağıdakilerden oluşan bir teknik uyguluyoruz: işlevi seçmeye çalışacağız Denklem (7.2)'dekiyle aynı işlevi ifade ediyorsa, keyfi bir sabitin değişimi yöntemi adı verilen ve aşağıdakilerden oluşan bir teknik uyguluyoruz: işlevi seçmeye çalışacağızX) böylece doğrusal homojen denklemin (7.2) genel çözümü, homojen olmayan doğrusal denklemin (7.1) bir çözümü olacaktır. Daha sonra (7.3) fonksiyonunun türevi için şunu elde ederiz:

.

Bulunan türevi denklem (7.1)'de yerine koyarsak:

veya
.

Nerede
, burada keyfi bir sabittir. Sonuç olarak, homojen olmayan doğrusal denklemin (7.1) genel çözümü (7.4) olacaktır.

Bu formüldeki ilk terim, doğrusal homojen diferansiyel denklemin (7.2) genel çözümünü (7.3) temsil eder ve formül (7.4)'ün ikinci terimi, genel (7.1)'den elde edilen doğrusal homojen olmayan denklemin (7.1) özel bir çözümünü temsil eder. 7.4) ile
. Bu önemli sonucu bir teorem şeklinde vurguluyoruz.

Teorem. Doğrusal homojen olmayan bir diferansiyel denklemin özel bir çözümü biliniyorsa
, o zaman diğer tüm çözümler şu forma sahiptir:
, Nerede
- karşılık gelen doğrusal homojen diferansiyel denklemin genel çözümü.

Bununla birlikte, 1. dereceden (7.1) doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklemi çözmek için, bazen Bernoulli yöntemi olarak adlandırılan başka bir yöntemin daha sık kullanıldığına dikkat edilmelidir. Denklemin (7.1) çözümünü şu şekilde arayacağız:
. Daha sonra
. Bulunan türevi orijinal denklemde yerine koyalım:
.

Örneğin son ifadenin ikinci ve üçüncü terimlerini birleştirip fonksiyonu çıkaralım. sen(X) braketin arkasında:
(7.5)

Parantezlerin iptal edilmesini istiyoruz:
.

Bu denklemi keyfi bir sabit belirleyerek çözelim. C sıfıra eşit:
. Bulunan fonksiyonla v(X) Denkleme (7.5) dönelim:
.

Bunu çözersek şunu elde ederiz:
.

Bu nedenle, denklem (7.1)'in genel çözümü şu şekildedir:

§ 8. Bernoulli denklemi.

Tanım.

Formun diferansiyel denklemi
, Nerede
, Bernoulli denklemi olarak adlandırılır.

Bunu varsayarak
Bernoulli denkleminin her iki tarafını da şuna bölün: . Sonuç olarak şunu elde ederiz:
(8.1)

Yeni bir fonksiyon tanıtalım
. Daha sonra
. Denklemi (8.1) şu şekilde çarpalım:
ve hadi fonksiyona gidelim , Nerede(X) :
, yani fonksiyon için , Nerede(X) doğrusallaştı homojen olmayan denklem 1. sipariş. Bu denklem önceki paragrafta tartışılan yöntemler kullanılarak çözülür. Bunun yerine genel çözümünü yerine koyalım , Nerede(X) ifade
ile kolaylıkla çözülebilen Bernoulli denkleminin genel integralini elde ederiz. sen. Şu tarihte:
çözüm eklendi sen(X)=0 . Bernoulli denklemi, yerine koyma yoluyla doğrusal bir denkleme geçiş yapılmadan da çözülebilir
ve ayrıntılı olarak tartışılan Bernoulli yöntemini kullanarak § 7. Belirli bir örnek kullanarak Bernoulli denklemini çözmek için bu yöntemin kullanımını ele alalım.

Örnek. Denklemin genel çözümünü bulun:
(8.2)

Çözüm.

Bu nedenle, bu denklemin genel çözümü şu şekildedir:
, sen(X)=0.

§ 9. Toplam diferansiyellerdeki diferansiyel denklemler.

Tanım. Denklemde ise. M(X, sen) dx+ N(X, sen) ölmek=0 (9.1) sol taraf bazı fonksiyonların toplam diferansiyelidir sen(X, sen) ise buna toplam diferansiyel denklem denir. Bu denklem şu şekilde yeniden yazılabilir: du(X, sen)=0 dolayısıyla genel integrali sen(X, sen)= C.

Örneğin, denklem xdy+ ydx=0 şeklinde yeniden yazılabildiği için toplam diferansiyellerde bir denklem vardır. D(xy)=0. Genel integral şu ​​şekilde olacaktır: xy= C- keyfi türevlenebilir fonksiyon. (9.3)’ün u’ya göre türevini alalım
§ 10. Bütünleşme faktörü.

Denklem ise M(X, sen) dx + N(X, sen) ölmek = 0 toplam diferansiyel denklem değildir ve bir fonksiyon vardır µ = µ(X, sen) öyle ki denklemin her iki tarafını bununla çarptıktan sonra denklemi elde ederiz

µ(Mdx + Ndy) = 0 toplam diferansiyellerde, yani µ(Mdx + Ndy)du, ardından fonksiyon µ(X, sen) denklemin integrasyon faktörü denir. Denklemin zaten toplam diferansiyellerde bir denklem olduğu durumda, şunu varsayıyoruz: u = 1.

İntegral faktörü bulunursa µ , o zaman bu denklemin entegrasyonu her iki tarafının da çarpılmasına indirgenir µ ve elde edilen denklemin toplam diferansiyellerde genel integralinin bulunması.

Eğer µ sürekli türevlenebilir bir fonksiyonudur X Ve sen, O
.

Bundan şu sonuç çıkıyor: bütünleştirici faktör µ aşağıdaki 1. dereceden kısmi diferansiyel denklemi karşılar:

(10.1).

Eğer önceden biliniyorsa µ= µ(ω) , Nerede ω – verilen fonksiyon X Ve sen, daha sonra denklem (10.1), bilinmeyen bir fonksiyona sahip sıradan (ve ayrıca doğrusal) bir denkleme indirgenir µ bağımsız değişken üzerinde ω :

(10.2),

1. dereceden doğrusal denklem, istenen fonksiyona ve türevine göre doğrusal olan bir denklemdir. Şuna benziyor:
yani kesir yalnızca bir fonksiyondur ω .

Denklem (10.2)'yi çözerek integral faktörünü buluruz

, İle = 1.

Özellikle denklem M(X, sen) dx + N(X, sen) ölmek = 0 yalnızca şunlara bağlı olan bir bütünleştirici faktöre sahiptir: X(ω = X) veya yalnızca itibaren sen(ω = sen), eğer aşağıdaki koşullar uygun şekilde yerine getirilirse:

,

,
.

"Arşivi indir" butonuna tıklayarak ihtiyacınız olan dosyayı tamamen ücretsiz olarak indireceksiniz.
Bu dosyayı indirmeden önce o güzel makaleleri, testleri, dönem ödevlerini, tezler Bilgisayarınızda talep edilmeyen makaleler ve diğer belgeler. Bu sizin işiniz, toplumun kalkınmasına katılmalı, insanlara fayda sağlamalı. Bu çalışmaları bulun ve bilgi tabanına gönderin.
Bizler ve bilgi tabanını çalışmalarında ve çalışmalarında kullanan tüm öğrenciler, lisansüstü öğrenciler, genç bilim insanları size çok minnettar olacağız.

Belge içeren bir arşivi indirmek için aşağıdaki alana beş haneli bir sayı girin ve "Arşivi indir" butonuna tıklayın

Benzer belgeler

Diferansiyel denklemler için Cauchy problemleri. Birinci dereceden diferansiyel denklemin çözümünün grafiği. Ayrılabilir değişkenli denklemler ve homojen bir denkleme indirgenmesi. Birinci mertebeden homojen ve homojen olmayan doğrusal denklemler. Bernoulli denklemi.

ders, 18.08.2012 eklendi


Adi diferansiyel denklemler teorisinin temel kavramları. Toplam diferansiyellerde bir denklemin işareti, genel bir integralin oluşturulması. İntegral faktörünü bulmanın en basit örnekleri. Yalnızca X'e ve yalnızca Y'ye bağlı olan bir çarpan durumu.

kurs çalışması, eklendi 24.12.2014


Fonksiyonlar ve türevleri arasındaki ilişkiler olarak diferansiyel denklemlerin özellikleri. Çözümün varlık teoreminin ve tekliğinin kanıtı. Toplam diferansiyellerdeki denklemlerin çözümü için örnekler ve algoritma. Örneklerde bütünleştirici faktör.

kurs çalışması, eklendi 02/11/2014


Riccati diferansiyel denklemleri. Doğrusal bir denklemin genel çözümü. Bernoulli diferansiyel denkleminin tüm olası çözümlerini bulmak. Ayrılabilir değişkenli denklemlerin çözümü. Clairaut diferansiyel denkleminin genel ve özel çözümleri.

kurs çalışması, eklendi 26.01.2015


Ayrılabilir değişkenli denklem. Homojen ve doğrusal diferansiyel denklemler. Geometrik özellikler integral eğriler. Tam diferansiyel iki değişkenli fonksiyonlar. Bernoulli yöntemleriyle integralin belirlenmesi ve keyfi bir sabitin varyasyonları.

özet, 24.08.2015 eklendi


Sabit analitik katsayılara sahip olanlar dahil, en basit diferansiyel denklemlerin ve keyfi dereceli diferansiyel denklemlerin kavramları ve çözümleri. Doğrusal denklem sistemleri. Bazı doğrusal sistemlerin çözümlerinin asimptotik davranışı.

tez, 06/10/2010 eklendi


Denklemin genel integrali, fonksiyonu bilinmeyen homojen olmayan bir doğrusal denklemin çözümünde Lagrange yönteminin uygulanması. Bir diferansiyel denklemin parametrik biçimde çözülmesi. Euler koşulu, toplam diferansiyellerde birinci dereceden denklem.

test, 11/02/2011 eklendi

Genelleştirilmiş bir homojen diferansiyel denklemin nasıl tanınacağı gösterilmiştir. Birinci dereceden genelleştirilmiş bir homojen diferansiyel denklemin çözümü için bir yöntem düşünülmektedir. Böyle bir denklemin ayrıntılı çözümünün bir örneği verilmiştir.

Tanım

Bir Diferansiyel Denklemin Genelleştirilmiş Homojen Olup Olmadığı Nasıl Belirlenir

Bir diferansiyel denklemin genelleştirilmiş homojen olup olmadığını belirlemek için bir t sabiti tanıtmanız ve ikameyi yapmanız gerekir:
y → t α · y , x → t · x .
Eğer t sabitinin azaltılacağı bir α değeri seçmek mümkünse, o zaman bu - genelleştirilmiş homojen diferansiyel denklem. Bu yer değiştirmeyle y′ türevindeki değişiklik şu şekilde olur:
.

Örnek

Verilen denklemin genelleştirilmiş homojen olup olmadığını belirleyin:
.

y → t α y, x → t x, y′ → t α- yerine koyarız 1 yaşında:
;
.
t'ye böl α+ 5 :
;
.
Denklem t'yi içermeyecek, eğer
4 α - 6 = 0, α = 3/2 .
Ne zamandan beri α = 3/2 , t azaldı, o zaman bu genelleştirilmiş homojen bir denklemdir.

Çözüm yöntemi

Birinci dereceden genelleştirilmiş homojen diferansiyel denklemi düşünün:
(1) .
İkame kullanılarak homojen bir denkleme indirgendiğini gösterelim:
t = xα.
Gerçekten mi,
.
Buradan
; .
(1) :
;
.

Bu homojen bir denklemdir. Değiştirme ile çözülebilir:
y = z t,
burada z, t'nin bir fonksiyonudur.
Sorunları çözerken, ikameyi hemen kullanmak daha kolaydır:
y = z x α,
burada z, x'in bir fonksiyonudur.

Birinci dereceden genelleştirilmiş homojen diferansiyel denklemin çözülmesine bir örnek

Diferansiyel denklemi çözün
(S.1) .

Bu denklemin genelleştirilmiş homojen olup olmadığını kontrol edelim. Bu amaçla (S.1) bir değişiklik yapın:
y → t α y , x → t x , y′ → t α- 1 yaşında.
.
t α'ya bölün:
.
α = - olarak ayarlarsak t iptal olur 1 .

Bu, bunun genelleştirilmiş homojen bir denklem olduğu anlamına gelir.
Bir değişiklik yapalım: 1 ,
burada z, x'in bir fonksiyonudur.
.
y = z x α = z x - (S.1):
(S.1) ;
;
.
Orijinal denklemde yerine koy
;
;
.
x ile çarpın ve parantezleri açın: 2 Değişkenleri ayırıyoruz - dx ile çarpıyoruz ve x z'ye bölüyoruz 0 .
.
z ≠ olduğunda
;
;
;
.
sahibiz:
.
İntegral tablosunu kullanarak integral alıyoruz:
.

Hadi güçlendirelim:
.
İstenilen işaretin seçimi C sabitinin işaretinin seçimi ile belirlendiğinden, e C → C sabitini değiştirelim ve modül işaretini kaldıralım:
Y değişkenine dönelim. .

z = xy'yi yerine koy: 2 x'e böl: 0 (S.2) 0 z'ye böldüğümüzde 0 .
z ≠ olduğunu varsaydık 0 . Y değişkenine dönelim.Şimdi z = xy = çözümünü düşünün 0 .

;
.

, veya y =
Ne zamandan beri y = , ifadenin sol tarafı tanımlı değilse, elde edilen genel integrale y = çözümünü ekleriz

Kullanılan literatür:

N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Sorunların toplanması

yüksek matematik

, "Lan", 2003. Genelleştirilmiş fonksiyonlarda diferansiyel denklemler Bir denklem olsun. Eğer sıradan bir fonksiyonsa, çözümü bir terstürevdir, yani. Şimdi genelleştirilmiş bir fonksiyon olsun.

Tanım. Genelleştirilmiş bir fonksiyona ilkel genelleştirilmiş fonksiyon denir. Eğer tekil bir genelleştirilmiş fonksiyon ise, bunun antitürevinin düzenli bir genelleştirilmiş fonksiyon olduğu olası durumlar vardır. Örneğin bir antiderivatif; terstürev bir fonksiyondur ve denklemin çözümü şu şekilde yazılabilir: , burada.

Yemek yemek

doğrusal denklem

-inci dereceden sabit katsayılı

Green fonksiyonu bir sınır, başlangıç ​​veya asimptotik koşulu karşılayan temel bir çözümdür.

Teorem. Denklemin (8) bir çözümü mevcuttur ve şu şekildedir:

evrişim tanımlanmadıkça.

Kanıt. Gerçekten mi, . Evrişim özelliğine göre şu şekildedir: .

Bu denklemin temel çözümünün şu şekilde olduğunu görmek kolaydır:

Genelleştirilmiş türevlerin özellikleri

Farklılaşma işlemi doğrusal ve süreklidir:

içinde ise;

Her genelleştirilmiş fonksiyon sonsuz şekilde türevlenebilirdir. Gerçekten eğer öyleyse; sırasıyla vb.;

Farklılaşmanın sonucu, farklılaşma sırasına bağlı değildir. Örneğin, ;

Eğer ve ise Leibniz'in bir ürünün farklılaştırılması formülü geçerlidir. Örneğin, ;

Genelleştirilmiş bir fonksiyon ise;

Yerel olarak entegre edilebilir fonksiyonlardan oluşan bir seri, her kompakt kümede düzgün yakınsaksa, o zaman herhangi bir sayıda terimden terime türevlenebilir (genelleştirilmiş bir fonksiyon olarak) ve sonuçta ortaya çıkan seri yakınsayacaktır.

Örnek. İzin vermek

Fonksiyona Heaviside fonksiyonu veya birim fonksiyonu denir. Yerel olarak entegre edilebilir ve bu nedenle genelleştirilmiş bir fonksiyon olarak düşünülebilir. Türevini bulabilirsiniz. Tanıma göre, yani. .

Karmaşık katsayılı ikinci dereceden formlara karşılık gelen genelleştirilmiş fonksiyonlar

Şimdiye kadar yalnızca gerçek katsayılı ikinci dereceden formlar dikkate alındı. Bu bölümde karmaşık katsayılı tüm ikinci dereceden formların uzayını inceliyoruz.

Görev genelleştirilmiş fonksiyonu belirlemektir; burada - karmaşık sayı. Ancak genel durumda benzersiz bir analitik fonksiyon olmayacaktır. Bu nedenle, tüm ikinci dereceden formların uzayında, pozitif belirli sanal kısmı olan ikinci dereceden formların “üst yarı düzlemi” izole edilir ve bunlara bir fonksiyon belirlenir. Yani ikinci dereceden bir form bu “yarım düzleme” aitse, o zaman nerede olduğu varsayılır. Böyle bir fonksiyon benzersiz bir analitik fonksiyondur.

Artık fonksiyonu genelleştirilmiş bir fonksiyonla ilişkilendirebiliriz:

entegrasyonun tüm alan üzerinde gerçekleştirildiği yer. İntegral (13) bu yarım düzlemde yakınsar ve onun analitik bir fonksiyonudur. Bu fonksiyonun analitik olarak devam ettirilmesiyle diğer değerler için fonksiyonel belirlenir.

Pozitif tanımlı sanal kısmı olan ikinci dereceden formlar için fonksiyonların tekil noktaları bulunur ve bu fonksiyonların tekil noktalardaki kalıntıları hesaplanır.

Genelleştirilmiş fonksiyon analitik olarak yalnızca ikinci dereceden formun katsayılarına değil aynı zamanda katsayılarına da bağlıdır. Bu nedenle, pozitif tanımlı bir formun bulunduğu formun tüm ikinci dereceden formlarının üst “yarım düzleminde” analitik bir fonksiyondur. Sonuç olarak, "sanal yarı eksen" üzerindeki değerleri ile benzersiz bir şekilde belirlenir, yani pozitif belirli bir formun olduğu formun ikinci dereceden formları kümesi üzerinde.