Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu topraklarındaki hükümet yetkililerinin talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

İki kenarın uzunluklarının eşit olduğu yer. Eşit kenarlara yanal, eşit olmayan son kenara ise taban denir. Tanım gereği, normal bir üçgen de ikizkenardır, ancak bunun tersi doğru değildir.

Terminoloji

Bir üçgenin iki eşit kenarı varsa, bu kenarlara kenarlar, üçüncü kenara ise taban denir. Kenarların oluşturduğu açıya denir tepe açısı, ve kenarlarından biri taban olan açılara denir tabandaki köşeler.

Özellikler

• Bir ikizkenar üçgenin eşit kenarlarının karşısındaki açılar birbirine eşittir. Bu açılardan çizilen açıortaylar, kenarortaylar ve yükseklikler de eşittir.
• Tabana çizilen açıortay, ortanca, yükseklik ve dik açıortay birbiriyle örtüşür. Yazılı ve çevreli dairelerin merkezleri bu çizgi üzerindedir.

İzin vermek A- bir ikizkenar üçgenin iki eşit kenarının uzunluğu, B- üçüncü tarafın uzunluğu, H- ikizkenar üçgenin yüksekliği

• $a\; =\; \backslash frac\; b\; (2\; \backslash cos\; \backslash alpha)$(kosinüs teoreminin bir sonucu);
• $b\; =\; a\; \backslash sqrt\; (2\; (1\; -\; \backslash cos\; \backslash beta))$(kosinüs teoreminin bir sonucu);
• $b\; =\; 2a\; \backslash sin\; \backslash frac\; \backslash beta\; 2$;
• $b\; =\; 2a\backslash cos\backslash alfa$(projeksiyon teoremi)

İç dairenin yarıçapı, ikizkenar üçgenin hangi iki parametresinin bilindiğine bağlı olarak altı şekilde ifade edilebilir:

• $r=\backslash frac\; b2\; \backslash sqrt(\backslash frac(2a-b)(2a+b))$
• $r=\backslash frac(bh)(b+\backslash sqrt(4h^2+b^2))$
• $r=\backslash frac(h)(1+\backslash frac(a)(\backslash sqrt(a^2-h^2)))$
• $r=\backslash frac\; b2\; \backslash operatöradı(tg)\; \backslash left\; (\backslash frac(\backslash alpha)(2)\; \backslash right)$
• $r=a\backslash cdot\; \backslash cos(\backslash alpha)\backslash cdot\; \backslash operatöradı(tg)\; \backslash left\; (\backslash frac(\backslash alpha)(2)\; \backslash right)$

Açılar aşağıdaki şekillerde ifade edilebilir:

• $\backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (\backslash pi\; -\; \backslash beta)\; 2;$
• $\backslash beta\; =\; \backslash pi\; -\; 2\backslash alpha;$
• $\backslash alpha\; =\; \backslash arcsin\; \backslash frac\; a\; (2R),\; \backslash beta\; =\; \backslash arcsin\; \backslash frac\; b\; (2R)$(sinüs teoremi).
• Açı olmadan da bulunabilir $(\backslash \; pi)$ Ve $R$. Bir üçgen kenarortayı ile ikiye bölünür ve kabul edilmişİki eşit dik üçgenin açıları hesaplanır:

$y\; =\; \backslash cos\backslash alpha\; =\backslash frac\; (b)(c),\; \backslash arccos\; y\; =\; x$

Çevre Bir ikizkenar üçgen aşağıdaki şekillerde bulunur:

• $P\; =\; 2a\; +\; b$(tanım gereği);
• $P\; =\; 2R\; (2\; \backslash sin\; \backslash alpha\; +\; \backslash sin\; \backslash beta)$(sinüs teoreminin bir sonucu).

Kareüçgen aşağıdaki şekillerde bulunur:

$S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2bh;$

$S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; a^2\; \backslash sin\; \backslash beta\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; ab\; \backslash sin\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (b^2)(4\; \backslash tan\; \backslash frac\; \backslash beta\; 2);$ $S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash sqrt\; (\backslash left(a\; +\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash right)\; \backslash left(a\; -\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash right));$ $S\; =\; \backslash frac\; 2\; 1\; a\; \backslash sqrt\; \backslash beta\; =\; \backslash frac\; 2\; 1\; ab\; \backslash cos\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (b^1)(2\; \backslash sin\; \backslash frac\; \backslash beta\; 1);$

Ayrıca bakınız

"İkizkenar Üçgen" makalesi hakkında yorum yazın

Notlar

İkizkenar üçgeni karakterize eden alıntı

Marya Dmitrievna, ondan korkmalarına rağmen, St. Petersburg'da bir kraker olarak görülüyordu ve bu nedenle, onun söylediği sözlerden sadece kaba bir kelimeyi fark ettiler ve bu kelimenin bu kelime olduğunu varsayarak bunu fısıltıyla birbirlerine tekrarladılar. söylenenlerin tüm tuzunu içeriyordu.
Özellikle son zamanlarda söylediklerini sık sık unutan ve aynı şeyi yüzlerce kez tekrarlayan Prens Vasily, kızını her gördüğünde konuşuyordu.
"Helene, j'ai un mot a vous dire," dedi ona, onu kenara çekip elinden tutarak aşağı çekerek. "J"ai eu vent de belirli projets relatifs a... Vous savez. Eh bien, ma chere cocuk, sen kurtarabilirsin que mon c?ur de pere se vouit do ous vouit do ous souffert... Vous avez tant souffert... Mais, chere cocuğum... ne yapacağınızı düşünmeyin. C"est tout ce que je vous dis. [Helen, sana bir şey söylemem gerekiyor. Bununla ilgili bazı türler duydum... bilirsin. Peki sevgili çocuğum, biliyorsun ki babanın kalbi senin için seviniyor.. . Çok dayandın... Ama yavrum... Kalbinin sana söylediğini yap, tavsiyem bu kadar.] - Ve hep aynı heyecanı gizleyerek yanağını kızının yanağına bastırıp uzaklaştı.
En zeki kişi olarak ününü kaybetmeyen ve Helen'in ilgisiz arkadaşı, parlak kadınların her zaman sahip olduğu arkadaşlardan biri, asla sevgiliye dönüşemeyen erkeklerin arkadaşları olan Bilibin, bir zamanlar petit comite'de [küçük samimi çevre] şunu ifade etmişti: Arkadaşı Helen'e tüm bu konu hakkındaki görüşlerini ilet.
- Ecoutez, Bilibin (Helen, Bilibin gibi arkadaşlarını her zaman soyadlarıyla çağırırdı) - ve beyaz halkalı elini pardesüsünün koluna dokundurdu. – Dites moi me vous diriez a une s?ur, que dois je faire? Lequel des deux? [Dinle Bilibin: söyle bana, kız kardeşine nasıl söylersin, ne yapmalıyım? İkisinden hangisi?]
Bilibin kaşlarının üstündeki deriyi topladı ve dudaklarında bir gülümsemeyle düşündü.
"Vous ne me prenez pas en şaşırdım, vous savez" dedi. - Comme verable ami j'ai pense et tövbesi a votre mesele. Voyez vous. Si vous epousez le prens (genç bir adamdı)" parmağını büktü, "vous perdez pour toujours la lucky d'epouser l"autre, et puis vous me contentez la Cour, [Beni şaşırtmayacaksın, biliyorsun. Gerçek bir dost olarak uzun zamandır senin konusunu düşünüyordum: eğer bir prensle evlenirsen. sonsuza kadar bir başkasının karısı olma fırsatını kaybedecek ve ayrıca mahkeme de memnun olmayacak, burada akrabalık söz konusu.) Ve eğer eski sayımla evlenirsen, o zaman onun son günlerinin mutluluğu olacaksın, ve sonra... bir asilzadenin dul eşiyle evlenmek artık prens için aşağılayıcı olmayacak.] - ve Bilibin derisini bıraktı.
– İşte gerçek bir dost! - dedi yüzü gülen Helen, bir kez daha Bilip'in koluna eliyle dokundu. – Birini ve diğerini hedef almanın en iyi yolu, hayal kırıklığına uğramayacağınız bir şey değil. Je donnerais ma vie pour leur bonheur a tous deux, [İşte gerçek bir arkadaş! Ama ikisini de seviyorum ve kimseyi üzmek istemem. Her ikisinin de mutluluğu için hayatımı feda etmeye hazırdım.] - dedi.
Bilibin omuz silkerek bu acıya artık kendisinin bile dayanamayacağını ifade etti.
“Une maitresse femme! Voila ce qui s"appelle poser carrement la soru. Elle voudrait epouser tous les trois a la fois", ["Aferin kadın! Kesin soruyu sormak buna denir. Aynı anda üçünün de karısı olmak ister zaman."] - diye düşündü Bilibin. Tanım 7. İki tarafı eşit olan herhangi bir üçgene ikizkenar denir.
İki eşit tarafa yanal, üçüncüye taban denir.
Tanım 8. Bir üçgenin üç kenarı da eşitse bu üçgene eşkenar üçgen denir.
Özel bir ikizkenar üçgen türüdür.
Teorem 18. Tabana indirilen bir ikizkenar üçgenin yüksekliği, aynı zamanda eşit kenarlar arasındaki açının, ortancanın ve tabanın simetri ekseninin açıortayıdır.
Kanıt. Yüksekliği ikizkenar üçgenin tabanına indirelim. Bunu iki eşit (bacak ve hipotenüs boyunca) dik üçgene bölecek. A ve C açıları eşittir ve yükseklik aynı zamanda tabanı ikiye böler ve söz konusu şeklin tamamının simetri ekseni olacaktır.
Bu teorem aşağıdaki şekilde de formüle edilebilir:
Teorem 18.1. Tabana indirilen bir ikizkenar üçgenin medyanı aynı zamanda eşit kenarlar arasındaki açının, yüksekliğin ve tabanın simetri ekseninin ortancasıdır.
Teorem 18.2. Tabana indirilen bir ikizkenar üçgenin açıortayı aynı anda tabanın yüksekliği, ortancası ve simetri eksenidir.
Teorem 18.3. Bir ikizkenar üçgenin simetri ekseni aynı anda eşit kenarlar, medyan ve yükseklik arasındaki açının ortaortayıdır.
Bu sonuçların kanıtı aynı zamanda bir ikizkenar üçgenin bölündüğü üçgenlerin eşitliğinden de kaynaklanmaktadır.

Teorem 19. İkizkenar üçgenin tabanındaki açılar eşittir.
Kanıt. Yüksekliği ikizkenar üçgenin tabanına indirelim. Onu iki eşit (bacak ve hipotenüs boyunca) dik üçgene bölecektir; bu, karşılık gelen açıların eşit olduğu anlamına gelir; ∠ A=∠ C
İkizkenar üçgenin kriterleri Teorem 1 ve onun sonuçları ile Teorem 2'den gelir.
Teorem 20. Belirtilen dört çizgiden ikisi (yükseklik, kenarortay, açıortay, simetri ekseni) çakışırsa, üçgen ikizkenar olacaktır (bu, dört çizginin hepsinin çakışacağı anlamına gelir).
Teorem 21. Bir üçgenin herhangi iki açısı eşitse bu üçgen ikizkenardır.

Kanıt: Direkt teoremin ispatına benzer, ancak üçgenlerin eşitliği için ikinci kriteri kullanıyor. Ağırlık merkezi, çevrel çemberin ve iç çemberin merkezleri ve bir ikizkenar üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktasının tümü simetri ekseni üzerinde yer alır; üstte.
Bir eşkenar üçgen, her bir tarafı için ikizkenardır. Tüm kenarlarının eşitliği nedeniyle böyle bir üçgenin üç açısı da eşittir. Herhangi bir üçgenin açılarının toplamının iki dik açıya eşit olduğunu düşünürsek eşkenar üçgenin açılarının her birinin 60°ye eşit olduğunu görürüz. Tersine, bir üçgenin tüm kenarlarının eşit olduğundan emin olmak için üç açısından ikisinin 60°'ye eşit olduğunu kontrol etmek yeterlidir.
Teorem 22 . Bir eşkenar üçgende, dikkat çekici tüm noktalar çakışır: ağırlık merkezi, yazılı ve çevrelenmiş dairelerin merkezleri, yüksekliklerin kesişme noktası (üçgenin diklik merkezi olarak adlandırılır).
Teorem 23 . Belirtilen dört noktadan ikisi çakışırsa, üçgen eşkenar olacak ve sonuç olarak adı geçen dört noktanın tümü çakışacaktır.
Aslında, böyle bir üçgen, öncekine göre, herhangi bir kenar çiftine göre ikizkenar olarak ortaya çıkacaktır, yani. eşkenar. Eşkenar üçgene düzenli üçgen de denir.
Bir ikizkenar üçgenin alanı, yan tarafın karesinin çarpımının yarısına ve kenarlar arasındaki açının sinüsüne eşittir.

Bu formülü bir eşkenar üçgen için düşünün, o zaman alfa açısı 60 dereceye eşit olacaktır. Daha sonra formül şu şekilde değişecek: Teorem d1

Kanıt:. İkizkenar üçgende kenarlara çizilen kenarortaylar eşittir.
ABC bir ikizkenar üçgen (AC = BC), AK ve BL'nin kenarortayları olsun. O halde AKB ve ALB üçgenleri, üçgenlerin eşitliğine ilişkin ikinci kritere göre eşittir. AB ortak kenarları vardır, AL ve BK kenarları ikizkenar üçgenin yan kenarlarının yarısı kadar eşittir ve LAB ve KBA açıları ikizkenar üçgenin taban açıları kadar eşittir. Üçgenler eş olduğundan AK ve LB kenarları eşittir. Ancak AK ve LB, yan kenarlarına çizilen bir ikizkenar üçgenin kenarortaylarıdır. Teorem d2

Kanıt:. İkizkenar üçgende yan kenarlara çizilen açıortaylar eşittir.
ABC bir ikizkenar üçgen (AC = BC), AK ve BL onun açıortayları olsun. AKB ve ALB üçgenleri, üçgenlerin eşitliğine ilişkin ikinci kritere göre eşittir. AB kenarları ortaktır, LAB ve KBA açıları ikizkenar üçgenin taban açılarına eşittir ve LBA ve KAB açıları ikizkenar üçgenin taban açılarının yarısına eşittir. Üçgenler eş olduğundan, ABC üçgeninin açıortayları olan AK ve LB kenarları da eştir. Teorem kanıtlandı. Teorem d3

Kanıt: ABC bir ikizkenar üçgen (AC = BC), AK ve BL'nin yükseklikleri olsun. O zaman ABL ve KAB açıları eşittir, çünkü ALB ve AKB açıları dik açıdır ve LAB ve ABK açıları bir ikizkenar üçgenin taban açılarına eşittir. Sonuç olarak, ALB ve AKB üçgenleri, üçgenlerin eşitliğine ilişkin ikinci kritere göre eşittir: ortak bir AB kenarına sahiptirler, yukarıdakine göre KAB ve LBA açıları eşittir ve LAB ve KBA açıları bir üçgenin taban açıları olarak eşittir. ikizkenar üçgen. Üçgenler eş ise AK ve BL kenarları da eştir. Q.E.D.

1. İkizkenar üçgenin özellikleri.
2. İkizkenar üçgenin işaretleri.
3. İkizkenar üçgen formülleri:
   • kenar uzunluğu formülleri;
   • eşit kenarların uzunluğu için formüller;
   • Bir ikizkenar üçgenin yükseklik, medyan ve açıortay formülleri.

İkizkenar üçgen, iki tarafın eşit olduğu üçgendir. Bu taraflara denir yanal ve üçüncü taraf - temel.

AB = BC - kenarlar

AC - baz

İkizkenar üçgenin özellikleri

İkizkenar üçgenin özellikleri şu şekilde ifade edilir: 5 teorem:

Teorem 1.İkizkenar üçgende taban açıları eşittir.

Teoremin kanıtı:

İkizkenarları düşünün Δ ABC baz ile klima .

Kenarlar eşit AB = Güneş ,

Bu nedenle tabandaki açılar ∠ BAC = ∠ BCA .

Açıortay, medyan, ikizkenar üçgenin tabanına çizilen yükseklik ile ilgili teorem

• Teorem 2. Bir ikizkenar üçgende tabana çizilen açıortay kenarortay ve yüksekliktir.
• Teorem 3. Bir ikizkenar üçgende tabana çizilen kenarortay açıortay ve yüksekliği verir.
• Teorem 4. Bir ikizkenar üçgende tabana çizilen yükseklik açıortay ve kenarortaydır.

Teoremin kanıtı:

• Verilen Δ ABC .
• noktadan İÇİNDE hadi yüksekliği çizelim B.D.
• Üçgen Δ'ya bölünür ABD ve Δ CBD. Bu üçgenler eşittir çünkü hipotenüsleri ve ortak bacakları eşittir ().
• Doğrudan klima Ve BD dik denir.
• vΔ ABD ve Δ BCD ∠KÖTÜ = ∠BCD (Teorem 1'den).
• AB = BC - kenarlar eşittir.
• Partiler reklam = CD, Çünkü nokta D segmenti ikiye böler.
• Bu nedenle Δ ABD = Δ BCD.
• Açıortay, yükseklik ve ortanca bir segmenttir - BD

Çözüm:

1. Tabana çizilen ikizkenar üçgenin yüksekliği medyan ve açıortaydır.
2. Tabana çizilen bir ikizkenar üçgenin ortancası yükseklik ve açıortaydır.
3. Tabana çizilen ikizkenar üçgenin açıortayı kenarortay ve yüksekliktir.

Hatırlamak! Bu tür problemleri çözerken, yüksekliği ikizkenar üçgenin tabanına indirin. İki eşit dik üçgene bölmek için.

• Teorem 5. Bir üçgenin üç kenarı başka bir üçgenin üç kenarına eşitse bu üçgenler eştir.

Teoremin kanıtı:

İki Δ ABC ve Δ A 1 B 1 C 1 verilmiştir. AB kenarları = A 1 B 1 ; BC = B1C1; AC = A 1 C 1 .

Çelişki yoluyla kanıt.

• Üçgenler eşit olmasın (aksi halde birinci kritere göre üçgenler eşitti).
• Δ A 1 B 1 C 2 = Δ ABC olsun, bunun köşe noktası C 2, tepe noktası C 1 ile A 1 B 1 düz çizgisine göre aynı yarım düzlemde yer alır. Varsayıma göre, C1 ve C2 köşeleri çakışmaz. D, C 1 C 2 doğru parçasının orta noktası olsun. Δ A 1 C 1 C 2 ve Δ B 1 C 1 C 2, ortak C 1 C 2 tabanına sahip ikizkenarlardır. Bu nedenle ortancaları A 1 D ve B 1 D yüksekliklerdir. Bu, A 1 D ve B 1 D çizgilerinin C 1 C 2 çizgisine dik olduğu anlamına gelir. A 1 D ve B 1 D'nin farklı A 1 ve B 1 noktaları vardır, bu nedenle çakışmazlar. Ancak C 1 C 2 düz çizgisinin D noktasından ona dik yalnızca bir düz çizgi çizebilirsiniz.
• Buradan bir çelişkiye geldik ve teoremi kanıtladık.

İkizkenar üçgenin işaretleri

1. Bir üçgende iki açı eşitse.
2. Bir üçgenin açılarının toplamı 180°'dir.
3. Bir üçgende açıortay ortanca veya yüksekliktir.
4. Bir üçgende medyan açıortay veya yüksekliktir.
5. Bir üçgenin yüksekliği kenarortay veya açıortay ise.

İkizkenar üçgen formülleri

• B- yan (taban)
• A- eşit taraflar
• A - tabandaki köşeler
• B

Kenar uzunluğu formülleri(bazlar - B):

• b = 2a \sin(\beta /2)= a \sqrt ( 2-2 \cos \beta )
• b = 2a\cos\alfa

Eşit kenarların uzunluğu için formüller - (A):

• a=\frac ( b ) ( 2 \sin(\beta /2) ) = \frac ( b ) ( \sqrt ( 2-2 \cos \beta ) )
• a=\frac ( b ) ( 2 \cos\alpha )

• L- yükseklik=orta boy=ortanca
• B- yan (taban)
• A- eşit taraflar
• A - tabandaki köşeler
• B -eşit tarafların oluşturduğu açı

Yükseklik, ortaorta ve ortanca, kenar ve açı formülleri, ( L):

• L = bir günah A
• L = \frac ( b ) ( 2 ) *\tg\alpha
• L = a \sqrt ( (1 + \cos \beta)/2 ) =a \cos (\beta)/2)

Yükseklik, ortaortay ve kenarortay formülü, ( L):

• L = \sqrt ( a^ ( 2 ) -b^ ( 2 ) /4 )

• B- yan (taban)
• A- eşit taraflar
• H- yükseklik

Bir üçgenin alanı için h yüksekliği ve b tabanı cinsinden formül, ( S):

S=\frac ( 1 ) ( 2 ) *bh

İki kenarı birbirine eşit olan üçgene ikizkenar üçgen denir. Bu taraflara yan, üçüncü tarafa ise taban denir. Bu yazımızda size ikizkenar üçgenin özelliklerini anlatacağız.

Teorem 1

İkizkenar üçgenin tabanına yakın açılar birbirine eşittir

Teoremin kanıtı.

Diyelim ki tabanı AB olan bir ABC ikizkenar üçgenimiz var. BAC üçgenine bakalım. Bu üçgenler ilk işarete göre birbirine eşittir. Bu doğrudur çünkü BC = AC, AC = BC, ACB açısı = ACB açısı. Buradan BAC açısı = ABC açısı çıkar, çünkü bunlar eşit üçgenlerimizin karşılık gelen açılarıdır. Burada ikizkenar üçgenin açılarının özelliği bulunmaktadır.

Teorem 2

Tabanına çizilen bir ikizkenar üçgenin ortancası aynı zamanda yükseklik ve açıortaydır

Teoremin kanıtı.

Diyelim ki, tabanı AB olan bir ABC ikizkenar üçgenimiz var ve CD, tabanına çizdiğimiz medyandır. ACD ve BCD üçgenlerinde CAD açısı = CBD açısı, ikizkenar üçgenin tabanında karşılık gelen açılardır (Teorem 1). Ve AC kenarı = BC kenarı (ikizkenar üçgenin tanımı gereği). AD kenarı = BD kenarı, çünkü D noktası AB parçasını eşit parçalara böler. Buradan ACD üçgeni = BCD üçgeni çıkar.

Bu üçgenlerin eşitliğinden karşılık gelen açıların eşitliğini elde ederiz. Yani, ACD açısı = BCD açısı ve ADC açısı = BDC açısı. Eşitlik 1'den CD'nin bir açıortay olduğu sonucu çıkar. Ve ADC açısı ve BDC açısı komşu açılardır ve eşitlik 2'den her ikisinin de dik açı olduğu sonucu çıkar. CD'nin üçgenin yüksekliği olduğu ortaya çıktı. Bu, ikizkenar üçgenin medyanının özelliğidir.

Ve şimdi ikizkenar üçgenin işaretleri hakkında biraz.

Teorem 3

Bir üçgende iki açı birbirine eşitse, böyle bir üçgen ikizkenardır

Teoremin kanıtı.

Diyelim ki CAB açısı = CBA açısı olan bir ABC üçgenimiz var. ABC üçgeni = Üçgenler arasındaki eşitliğin ikinci kriterine göre BAC üçgeni. Bu doğrudur çünkü AB = BA; CBA açısı = CAB açısı, CAB açısı = CBA açısı. Bu üçgen eşitliğinden üçgenin karşılık gelen kenarlarının eşitliğini elde ederiz - AC = BC. Daha sonra ABC üçgeninin ikizkenar olduğu ortaya çıkıyor.

Teorem 4

Herhangi bir üçgende medyanı aynı zamanda yüksekliği ise, o zaman böyle bir üçgen ikizkenardır

Teoremin kanıtı.

ABC üçgeninde medyan CD'yi çizeceğiz. Aynı zamanda yükseklik de olacak. ACD dik üçgeni = BCD dik üçgeni, çünkü CD kenarı ortaktır ve AD kenarı = BD kenarıdır. Bundan, hipotenüslerinin eşit üçgenlerin karşılık gelen parçaları gibi birbirine eşit olduğu sonucu çıkar. Bu AB = BC anlamına gelir.

Teorem 5

Bir üçgenin üç kenarı başka bir üçgenin üç kenarına eşitse bu üçgenler eştir

Teoremin kanıtı.

Kenarları AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1 olacak şekilde bir ABC üçgeni ve bir A1B1C1 üçgenimiz olduğunu varsayalım. Bu teoremin çelişki yoluyla kanıtını ele alalım.

Bu üçgenlerin birbirine eşit olmadığını varsayalım. Buradan BAC açısının B1A1C1 açısına eşit olmadığı, ABC açısının A1B1C1 açısına eşit olmadığı, ACB açısının A1C1B1 açısına eşit olmadığı sonucunu elde ederiz. Aksi takdirde bu üçgenler yukarıda tartışılan kriterlere göre eşit olacaktır.

A1B1C2 üçgeninin ABC üçgeni olduğunu varsayalım. Bir üçgende C2 köşesi, aynı yarım düzlemde A1B1 düz çizgisine göre C1 köşesiyle birlikte uzanır. C2 ve C1 köşelerinin çakışmadığını varsaydık. D noktasının C1C2 doğru parçasının ortası olduğunu varsayalım. Yani ortak C1C2 tabanına sahip olan B1C1C2 ve A1C1C2 ikizkenar üçgenlerimiz var. Ortancaları B1D ve A1D'nin aynı zamanda boyları olduğu ortaya çıktı. Bu, B1D düz çizgisi ile A1D düz çizgisinin C1C2 düz çizgisine dik olduğu anlamına gelir.

B1D ve A1D'nin farklı B1 ve A1 noktaları vardır ve dolayısıyla çakışamazlar. Ancak C1C2 doğrusundaki D noktasından ona dik olan yalnızca bir doğru çizebiliriz. Bir çelişkimiz var.

Artık ikizkenar üçgenin özelliklerinin ne olduğunu biliyorsunuz!