Dik üçgenler için benzerlik testi

Öncelikle dik üçgenler için benzerlik kriterini tanıtalım.

Teorem 1

Dik üçgenler için benzerlik testi: İki dik üçgen bir eşit olduğunda benzerdir keskin köşe(Şekil 1).

Şekil 1. Benzer dik üçgenler

Kanıt.

Bize $\angle B=\angle B_1$ verilsin. Üçgenler dik açılı olduğundan $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Bu nedenle üçgenlerin benzerliği konusundaki birinci kritere göre benzerlerdir.

Teorem kanıtlandı.

Dik üçgende yükseklik teoremi

Teorem 2

Tepe noktasından çizilen dik üçgenin yüksekliği dik açı, bir üçgeni her biri verilen üçgene benzeyen iki benzer dik üçgene böler.

Kanıt.

Bize $C$ dik açılı bir $ABC$ dik üçgeni verilsin. $CD$ yüksekliğini çizelim (Şekil 2).

Şekil 2. Teorem 2'nin Gösterimi

$ACD$ ve $BCD$ üçgenlerinin $ABC$ üçgenine benzer olduğunu ve $ACD$ ile $BCD$ üçgenlerinin birbirine benzer olduğunu kanıtlayalım.

$\angle ADC=(90)^0$ olduğundan, $ACD$ üçgeni dik açılıdır. $ACD$ ve $ABC$ üçgenlerinin ortak açısı $A$'dır, dolayısıyla Teorem 1'e göre $ACD$ ve $ABC$ üçgenleri benzerdir.

$\angle BDC=(90)^0$ olduğundan, $BCD$ üçgeni dik açılıdır. $BCD$ ve $ABC$ üçgenlerinin ortak açısı $B$'dır, dolayısıyla Teorem 1'e göre $BCD$ ve $ABC$ üçgenleri benzerdir.

Şimdi $ACD$ ve $BCD$ üçgenlerini ele alalım.

\[\açı A=(90)^0-\açı ACD\] \[\açı BCD=(90)^0-\açı ACD=\açı A\]

Dolayısıyla Teorem 1'e göre $ACD$ ve $BCD$ üçgenleri benzerdir.

Teorem kanıtlandı.

Ortalama orantılı

Teorem 3

Bir dik açının tepe noktasından çizilen bir dik üçgenin yüksekliği, yüksekliğin verilen üçgenin hipotenüsünü böldüğü bölümlerle orantılıdır.

Kanıt.

Teorem 2'ye göre, $ACD$ ve $BCD$ üçgenlerinin benzer olduğunu biliyoruz, dolayısıyla

Teorem kanıtlandı.

Teorem 4

Bir dik üçgenin bacağı, hipotenüs ile bacak arasında kalan hipotenüs parçası ile açının tepe noktasından çizilen yükseklik arasındaki orantılı ortalamadır.

Kanıt.

Teoremin ispatında Şekil 2'deki notasyonu kullanacağız.

Teorem 2'ye göre $ACD$ ve $ABC$ üçgenleri benzerdir, dolayısıyla

Teorem kanıtlandı.

Dik üçgenler için benzerlik testi

Öncelikle dik üçgenler için benzerlik kriterini tanıtalım.

Teorem 1

Dik üçgenler için benzerlik testi: iki dik üçgen, her biri eşit bir dar açıya sahip olduğunda benzerdir (Şekil 1).

Şekil 1. Benzer dik üçgenler

Kanıt.

Bize $\angle B=\angle B_1$ verilsin. Üçgenler dik açılı olduğundan $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Bu nedenle üçgenlerin benzerliği konusundaki birinci kritere göre benzerlerdir.

Teorem kanıtlandı.

Dik üçgende yükseklik teoremi

Teorem 2

Bir dik açının tepe noktasından çizilen bir dik üçgenin yüksekliği, üçgeni her biri verilen üçgene benzeyen iki benzer dik üçgene böler.

Kanıt.

Bize $C$ dik açılı bir $ABC$ dik üçgeni verilsin. $CD$ yüksekliğini çizelim (Şekil 2).

Şekil 2. Teorem 2'nin Gösterimi

$ACD$ ve $BCD$ üçgenlerinin $ABC$ üçgenine benzer olduğunu ve $ACD$ ile $BCD$ üçgenlerinin birbirine benzer olduğunu kanıtlayalım.

$\angle ADC=(90)^0$ olduğundan, $ACD$ üçgeni dik açılıdır. $ACD$ ve $ABC$ üçgenlerinin ortak açısı $A$'dır, dolayısıyla Teorem 1'e göre $ACD$ ve $ABC$ üçgenleri benzerdir.

$\angle BDC=(90)^0$ olduğundan, $BCD$ üçgeni dik açılıdır. $BCD$ ve $ABC$ üçgenlerinin ortak açısı $B$'dır, dolayısıyla Teorem 1'e göre $BCD$ ve $ABC$ üçgenleri benzerdir.

Şimdi $ACD$ ve $BCD$ üçgenlerini ele alalım.

\[\açı A=(90)^0-\açı ACD\] \[\açı BCD=(90)^0-\açı ACD=\açı A\]

Dolayısıyla Teorem 1'e göre $ACD$ ve $BCD$ üçgenleri benzerdir.

Teorem kanıtlandı.

Ortalama orantılı

Teorem 3

Bir dik açının tepe noktasından çizilen bir dik üçgenin yüksekliği, yüksekliğin verilen üçgenin hipotenüsünü böldüğü bölümlerle orantılıdır.

Kanıt.

Teorem 2'ye göre, $ACD$ ve $BCD$ üçgenlerinin benzer olduğunu biliyoruz, dolayısıyla

Teorem kanıtlandı.

Teorem 4

Bir dik üçgenin bacağı, hipotenüs ile bacak arasında kalan hipotenüs parçası ile açının tepe noktasından çizilen yükseklik arasındaki orantılı ortalamadır.

Kanıt.

Teoremin ispatında Şekil 2'deki notasyonu kullanacağız.

Teorem 2'ye göre $ACD$ ve $ABC$ üçgenleri benzerdir, dolayısıyla

Teorem kanıtlandı.

Ders hedefleri:

1. iki parçanın orantılı ortalaması (geometrik ortalama) kavramını tanıtmak;
2. orantılı bölümler sorununu göz önünde bulundurun dik üçgen: Bir dik açının tepe noktasından çizilen bir dik üçgenin yüksekliğinin özelliği;
3. Öğrencilerin çalışılan konuyu problem çözme sürecinde kullanma becerilerini geliştirmek.

Ders türü: yeni materyal öğrenme dersi.

Planı:

1. Organizasyon anı.
2. Bilginin güncellenmesi.
3. Bir dik açının tepe noktasından çizilen bir dik üçgenin yüksekliğinin özelliğinin incelenmesi:
   – hazırlık aşaması;
   - giriiş;
   – asimilasyon.
4. İki segmentle orantılı ortalama kavramının tanıtılması.
5. İki segmentin ortalama orantılı kavramına hakim olmak.
6. Sonuçların kanıtı:
   - dik açının tepe noktasından çizilen dik üçgenin yüksekliği, hipotenüsün bu yüksekliğe bölündüğü bölümler arasındaki ortalama orantılıdır;
   - Bir dik üçgenin kenarı, hipotenüs ile kenar ve yükseklik arasındaki hipotenüs parçası arasındaki orantılı ortalamadır.
7. Sorun çözme.
8. Özetle.
9. Ev ödevi ayarlama.

Ders ilerlemesi

I. ORGANİZASYON ANI

- Merhaba arkadaşlar, oturun. Herkes derse hazır mı?

Hadi çalışmaya başlayalım.

II. BİLGİ GÜNCELLENDİ

- Ne kadar önemli matematiksel kavramönceki derslerde tanıştınız mı? ( üçgenlerin benzerliği kavramıyla)

- Hangi iki üçgene benzer denildiğini hatırlayalım mı? (iki üçgenin açıları sırasıyla eşitse ve bir üçgenin kenarları diğer üçgenin benzer kenarlarıyla orantılıysa benzer üçgenler denir)

– İki üçgenin benzerliğini kanıtlamak için ne kullanırız? (

– Bu işaretleri formüle edin (üçgenlerin benzerliğinin üç işaretini formüle edin)

III. DİK BİR AÇININ ÜSTÜNDEN YAPILAN DİKDÖRTGEN BİR ÜÇGENİN YÜKSEKLİK ÖZELLİKLERİNİN İNCELENMESİ

a) hazırlık aşaması

– Arkadaşlar lütfen ilk slayta bakın. ( Başvuru) Burada iki dik üçgen gösterilmektedir – ve . ve sırasıyla yüksekliklerdir ve. .

Görev 1.a) ve benzer olup olmadığını belirleyin.

– Üçgenlerin benzerliğini kanıtlamak için neyi kullanırız? ( üçgenlerin benzerlik işaretleri)

(ilk işaret, çünkü problemde üçgenlerin kenarları hakkında hiçbir şey bilinmiyor)

. (İki çift: 1. ∟B= ∟B1 (düz), 2. ∟A= ∟A 1)

– Bir sonuca varın.( üçgenlerin benzerliğinin ilk kriterine göre ~)

Görev 1.b) ve benzer olup olmadığını belirleyin.

– Hangi benzerlik işaretini kullanacağız ve neden? (ilk işaret, çünkü problemde üçgenlerin kenarları hakkında hiçbir şey bilinmiyor)

– Kaç çift eşit açılar bulmamız gerekiyor mu? Bu çiftleri bulun (üçgenler dik açılı olduğundan bir çift eşit açı yeterlidir: ∟A= ∟A 1)

- Bir sonuç çıkarın. (Üçgenlerin benzerliğine ilişkin ilk kritere dayanarak, bu üçgenlerin benzer olduğu sonucuna varırız).

Konuşma sonucunda 1. slayt şu şekilde görünüyor:

b) teoremin keşfi

Görev 2.

– Benzer olup olmadıklarını belirleyin. Konuşma sonucunda slayta yansıtılan cevaplar oluşturulur.

– Resim bunu gösteriyordu. Ödev sorularını cevaplarken bu derece ölçüsünü kullandık mı? ( Hayır kullanmadık)

– Arkadaşlar, bir sonuca varın: Bir dik üçgen, dik açının tepe noktasından çizilen yüksekliğe göre hangi üçgenlere bölünür? (sonuçlandırmak)

– Şu soru ortaya çıkıyor: Yüksekliğin dik üçgeni böldüğü bu iki dik üçgen birbirine benzer olacak mı? Eşit açı çiftlerini bulmaya çalışalım.

Konuşma sonucunda bir kayıt oluşturuldu:

– Şimdi tam bir sonuca varalım.( SONUÇ: Bir dik açının köşesinden çizilen dik üçgenin yüksekliği, üçgeni ikiye böler. benzer

- O. Dik üçgenin yüksekliğinin özelliğine ilişkin bir teorem formüle ettik ve kanıtladık.

Teoremin yapısını oluşturup çizimini yapalım. Teoremde neler veriliyor ve neyin kanıtlanması gerekiyor? Öğrenciler defterlerine şunları yazarlar:

– Yeni çizim için teoremin ilk noktasını kanıtlayalım. Hangi benzerlik özelliğini kullanacağız ve neden? (Birincisi, çünkü teoremde üçgenlerin kenarları hakkında hiçbir şey bilinmiyor)

– Kaç çift eşit açı bulmamız gerekiyor? Bu çiftleri bulun. (Bu durumda bir çift yeterlidir: ∟A-genel)

- Bir sonuç çıkarın. Üçgenler benzerdir. Sonuç olarak, teoremin bir örneği gösterilmektedir

– İkinci ve üçüncü maddeleri evde kendiniz yazın.

c) teoremde uzmanlaşmak

- O halde teoremi tekrar formüle edin (Bir dik açının köşesinden çizilen bir dik üçgenin yüksekliği, üçgeni ikiye böler. benzer her biri buna benzeyen dik üçgenler)

– Kaç çift benzer üçgenin yapısında “bir dik üçgende bir dik açının köşesinden yükseklik çizilir” bu teoremi bulmanızı sağlar? ( Üç çift)

Öğrencilere aşağıdaki ödev verilir:

IV. İKİ BÖLÜMÜN ORTALAMA ORANI KAVRAMININ GİRİŞİ

– Ve şimdi sizinle yeni bir konsept üzerinde çalışacağız.

Dikkat!

Tanım. Segment XY isminde ortalama orantılı (geometrik ortalama) bölümler arasında AB Ve CD, Eğer

(bir not defterine yazın).

V. İKİ BÖLÜMÜN ORTALAMA ORANI KAVRAMINI ANLAMAK

– Şimdi bir sonraki slayda geçelim.

Görev 1. MN = 9 cm ve KP = 16 cm ise, MN ve KP ortalama orantılı bölümlerinin uzunluğunu bulun.

– Problemde ne veriliyor? ( İki parça ve uzunlukları: MN = 9 cm, KP = 16 cm)

– Neyi bulmanız gerekiyor? ( Bu segmentlerle orantılı ortalamanın uzunluğu)

– Orantılı ortalamayı hangi formül ifade eder ve onu nasıl buluruz?

(Verileri formülde yerine koyun ve ortalama payandanın uzunluğunu bulun.)

Görev No.2. AB ve CD parçalarının orantısal ortalaması 90 cm ve CD = 100 cm ise AB parçasının uzunluğunu bulun

– Problemde ne veriliyor? (CD parçasının uzunluğu = 100 cm ve AB ile CD parçalarının orantısal ortalaması 90 cm'dir)

– Problemde ne bulunmalı? ( AB segmentinin uzunluğu)

– Sorunu nasıl çözeceğiz? (AB ve CD ortalama orantılı bölümlerinin formülünü yazalım, AB uzunluğunu bundan ifade edelim ve problemin verilerini yerine koyalım.)

VI. UYGULAMALARIN SONUÇLANMASI

- Aferin çocuklar. Şimdi teoremde kanıtladığımız üçgenlerin benzerliğine dönelim. Teoremi tekrar ifade edin. ( Bir dik açının köşesinden çizilen dik üçgenin yüksekliği, üçgeni ikiye böler benzer her biri verilene benzeyen dik üçgenler)

– Öncelikle üçgenlerin benzerliğini kullanalım ve . Bundan ne sonuç çıkıyor? ( Tanım gereği benzerlik kenarları benzer kenarlarla orantılıdır)

– Oranın temel özelliği kullanıldığında nasıl bir eşitlik elde edilir? ()

– CD'yi ifade edin ve bir sonuç çıkarın (;.

Çözüm: Bir dik açının tepe noktasından çizilen bir dik üçgenin yüksekliği, hipotenüsün bu yüksekliğe bölündüğü bölümler arasındaki ortalama orantılıdır.)

– Şimdi bir dik üçgenin kenarının, hipotenüs ile kenar ve yükseklik arasındaki hipotenüs parçası arasındaki ortalama orantılı olduğunu kendiniz kanıtlayın. -...'den hipotenüsün bölündüğü parçaları bulacağız. bu rakıma göre )

Bir dik üçgenin bir bacağı arasındaki ortalama orantılıdır...(-...bu bacak ile yükseklik arasındaki hipotenüs ve hipotenüs bölümü )

– Öğrendiğimiz ifadeleri nerede uygulayacağız? ( Sorunları çözerken)

IX. ÖDEV AYARLAMA

d/z: 571 Sayısı, 572 Sayısı (a, d), bağımsız çalışma bir defterde, teori.

Ders 40. Dik üçgende orantısal parçalar. C.b. A. H. S. m.ö. N.ac. A. B. Bir dik açının tepe noktasından çizilen bir dik üçgenin yüksekliği, üçgeni her biri verilen üçgene benzeyen 2 benzer dik üçgene böler. Dik üçgenler için benzerlik testi. Her birinin dar açısı eşit olan iki dik üçgen benzerdir. Özellik 1 ise, XY parçasına AB ve CD parçalarının orantısal ortalaması (geometrik ortalama) adı verilir. Bir dik açının tepe noktasından çizilen bir dik üçgenin yüksekliği, bacakların hipotenüse izdüşümleri arasındaki orantısal ortalamadır. Özellik 2. Bir dik üçgenin bir kenarı, hipotenüs ile bu kenarın hipotenüse izdüşümü arasındaki orantılı ortalamadır.

Sunumlu arşivin boyutu 232 KB'dir.

diğer sunumlar “Pisagor teoremine göre problem çözme” - ABC Üçgeni ikizkenardır. Pisagor teoreminin pratik uygulaması. ABCD bir dörtgendir. Bir karenin alanı. Güneşi bulun. Kanıt. Bir ikizkenar yamuğun tabanları. Pisagor teoremini düşünün. Bir dörtgenin alanı. Sağ üçgenler. Pisagor teoremi. Hipotenüsün karesi toplamına eşit

bacak kareleri.

“Paralelkenarın alanını bulma” - Temel. Yükseklik. Paralelkenarın yüksekliğinin belirlenmesi. Dik üçgenlerde eşitlik işaretleri. Paralelkenarın alanı. Üçgenin alanını bulun. Alanların özellikleri. Sözlü egzersizler. Paralelkenarın alanını bulun. Paralelkenarın yükseklikleri. Karenin çevresini bulun. Bir üçgenin alanı. Karenin alanını bulun. Dikdörtgenin alanını bulun. Bir karenin alanı. ""Kare" 8. sınıf" - Siyah Kare. Şunun için görevler: sözlü çalışma

meydanın çevresi boyunca. Bir karenin alanı. Bir karenin işaretleri. Meydan aramızda. Kare, tüm kenarları eşit olan bir dikdörtgendir. Kare. Kare tabanlı çanta. Sözlü görevler. Resimde kaç kare gösteriliyor? Bir karenin özellikleri. Zengin tüccar. Bir karenin alanı üzerinde sözlü çalışma ödevleri. Bir karenin çevresi. “Eksenel simetrinin tanımı” - Aynı dik üzerinde bulunan noktalar. İki düz çizgi çizin. Yapı. Noktaları çizin. İpucu. olmayan rakamlar. Segment. Koordinatlar eksik. Figür. İkiden fazla simetri ekseni olan şekiller. Simetri. Şiirde simetri. Üçgenler oluşturun. Simetri eksenleri. Bir segmentin inşası. Bir noktanın inşası. İki simetri eksenine sahip şekiller. Halklar. Üçgenler. Orantılılık.

“Benzer üçgenlerin tanımı” - Çokgenler. Orantılı bölümler. Benzer üçgenlerin alanlarının oranı. İki üçgene benzer denir. Koşullar. Verilen iki açıyı ve köşedeki açıortayı kullanarak bir üçgen oluşturun. Diyelim ki direğe olan mesafeyi belirlememiz gerekiyor. Üçgenlerin benzerliğinin üçüncü işareti. Bir çeşit üçgen inşa edelim. ABC. ABC ve ABC üçgenlerinin üç tarafı eşittir. Bir nesnenin yüksekliğini belirlemek.

“Pisagor Teoreminin Çözümü” - Pencerelerin parçaları. En basit kanıt. Hammurabi. Diyagonal. Tam kanıt. Çıkarma yöntemiyle kanıt. Pisagorcular. Ayrıştırma yöntemiyle kanıt. Teoremin tarihi. Çap. Toplama yöntemiyle kanıt. Epstein'ın kanıtı. Cantor. Üçgenler. Takipçiler. Pisagor teoreminin uygulamaları. Pisagor teoremi. Teoremin ifadesi. Perigal'in kanıtı. Teoremin uygulanması.

Bugün dikkatinize şaşırtıcı ve gizemli bir konu olan geometri hakkında başka bir sunum sunuyoruz. Bu sunumda sizi yeni bir mülkle tanıştıracağız geometrik şekillerözellikle konseptiyle orantılı bölümler dik üçgenlerde.

Öncelikle üçgenin ne olduğunu hatırlamalıyız? Bu, üç bölümle birbirine bağlanan üç köşeden oluşan en basit çokgendir. Açılarından birinin ölçüsü 90 dereceye eşit olan üçgene dik üçgen denir. Önceki makalemizde onlarla daha ayrıntılı olarak tanıştınız. eğitim materyalleri dikkatinize sunuldu.

O halde bugünkü konumuza dönecek olursak, 90 derecelik açıdan çizilen bir dik üçgenin yüksekliğinin onu hem birbirine hem de orijinaline benzer iki üçgene bölmesini belirtelim. İlginizi çeken tüm çizimler ve grafikler önerilen sunumda verilmiştir; bunlara açıklanan açıklamalarla birlikte başvurmanızı öneririz.

Yukarıdaki tezin grafiksel bir örneğini ikinci slaytta görebilirsiniz. Üçgenlerin benzerliğinin ilk işaretine göre üçgenler benzerdir çünkü iki açıları aynıdır. Daha ayrıntılı olarak belirtirsek, hipotenüse indirilen yükseklik onunla bir dik açı oluşturur, yani zaten özdeş açılar vardır ve oluşan açıların her birinin orijinaliyle aynı ortak açısı da vardır. Sonuç birbirine eşit iki açıdır. Yani üçgenler benzerdir.

Ayrıca “orantılı ortalama” veya “geometrik ortalama” kavramının ne anlama geldiğini de belirleyelim. Bu, AB ve CD segmentleri için uzunluklarının çarpımının kareköküne eşit olduğunda belirli bir XY segmentidir.

Buradan aynı zamanda bir dik üçgenin bacağının hipotenüs ile bu bacağın hipotenüse, yani başka bir ayağa izdüşümü arasındaki geometrik ortalama olduğu sonucu çıkar.

Dik üçgenin bir başka özelliği de, 90°'lik bir açıdan çizilen yüksekliğinin, bacakların hipotenüse izdüşümleri arasındaki ortalama orantılı olmasıdır. Dikkatinize sunulan sunuma ve diğer materyallere bakarsanız, bu tezin kanıtlarının çok basit ve erişilebilir bir biçimde bulunduğunu göreceksiniz. Daha önce ortaya çıkan üçgenlerin birbirine ve orijinal üçgene benzer olduğunu zaten kanıtlamıştık. Daha sonra bu geometrik şekillerin bacaklarının oranını kullanarak, bir dik üçgenin yüksekliğinin, yüksekliğin yukarıdan aşağıya indirilmesi sonucu oluşan parçaların çarpımının karekökü ile doğru orantılı olduğu sonucuna varıyoruz. Orijinal üçgenin dik açısı.

Sunumdaki son nokta, bir dik üçgenin bacağının, hipotenüs ve bacak ile 90 dereceye eşit bir açıyla çizilen yükseklik arasında yer alan parçasının geometrik ortalaması olduğudur. Bu durum, belirtilen üçgenlerin birbirine benzer olduğu ve birinin bacağının diğerinin hipotenüsü olduğu açısından değerlendirilmelidir. Ancak önerilen materyalleri inceleyerek buna daha aşina olacaksınız.