Количеством движения материальной точки называется векторная величина mV, равная произведению массы точки на вектор ее скорости. Вектор mV приложен к движущейся точке.

Количеством движения системы называют векторную величину Q , равную геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех точек системы:

Вектор Q является свободным вектором. В системе единиц СИ модуль количества движения измеряется в кг м/с или Н с.

Как правило, скорости всех точек системы различны (см., например, распределение скоростей точек катящегося колеса, показанное на рис. 6.21), и поэтому непосредственное суммирование векторов в правой части равенства (17.2) является затруднительным. Найдем формулу, с помощью которой величина Q вычисляется значительно легче. Из равенства (16.4) следует, что

Взяв от обеих частей производную по времени, получим Отсюда, учитывая равенство (17.2), находим, что

т. е. количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс.

Заметим, что вектор Q, подобно главному вектору сил в статике, является некоторой обобщенной векторной характеристикой движения всей механической системы. В общем случае движения системы ее количество движения Q можно рассматривать как характеристику поступательной части движения системы вместе с ее центром масс. Если при движении системы (тела) центр масс неподвижен, то количество движения системы будет равно нулю. Таково, например, количество движения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс.

Пример. Определить количество движения механической системы (рис. 17.1, а), состоящей из груза А массой т А - 2 кг, однородного блока В массой 1 кг и колеса D массой m D - 4 кг. Груз А движется со скоростью V A - 2 м/с, колесо D катится без скольжения, нить нерастяжима и невесома. Решение. Количество движения системы тел

Тело А движется поступательно и Q A =m A V A (численно Q A = 4 кг м/с, направление вектора Q A совпадает с направлением V A). Блок В совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс; следовательно, Q B - 0. Колесо D совершает плоскопараллельное

движение; его мгновенный центр скоростей находится в точке К , поэтому скорость его центра масс (точки Е) равна V E = V A /2= 1 м/с. Количество движения колеса Q D - m D V E - 4 кг м/с; вектор Q D направлен горизонтально влево.

Изобразив векторы Q A и Q D на рис. 17.1, б , находим количество движения Q системы по формуле (а). Учитывая направления и числовые значения величин, получим Q ~^Q A +Q E =4л/2~ кг м/с, направление вектора Q показано на рис. 17.1, б.

Учитывая, что a -dV/dt, уравнение (13.4) основного закона динамики можно представить в виде

Уравнение (17.4) выражает теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: в каждый момент времени производная по времени от количества движения точки равна действующей на точку силе. (По существу это другая формулировка основного закона динамики, близкая к той, которую дал Ньютон.) Если на точку действует несколько сил, то в правой части равенства (17.4) будет равнодействующая сил, приложенных к материальной точке.

Если обе части равенства умножить на dt, то получим

Векторная величина, стоящая в правой части этого равенства, характеризует действие, оказываемое на тело силой за элементарный промежуток времени dt эту величину обозначают dS и называют элементарным импульсом силы, т. е.

Импульс S силы F за конечный промежуток времени /, - / 0 определяется как предел интегральной суммы соответствующих элементарных импульсов, т. е.

В частном случае, если сила F постоянна по модулю и по направлению, то S = F(t | -/ 0) и S- F(t l - / 0). В общем случае модуль импульса силы может быть вычислен по его проекциям на координатные оси:

Теперь, интегрируя обе части равенства (17.5) при т = const, получим

Уравнение (17.9) выражает теорему об изменении количества движения точки в конечной (интегральной) форме: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно импульсу действующей на точку силы (или импульсу равнодействующей всех приложенных к ней сил) за тот же промежуток времени.

При решении задач пользуются уравнениями этой теоремы в проекциях на координатные оси

Теперь рассмотрим механическую систему, состоящую из п материальных точек. Тогда для каждой точки можно применить теорему об изменении количества движения в форме (17.4), учитывая приложенные к точкам внешние и внутренние силы:

Суммируя эти равенства и учитывая, что сумма производных равна производной от суммы, получаем

Так как по свойству внутренних сил HF k =0 и по определению количества движения ^fn k V/ c = Q , то окончательно находим

Уравнение (17.11) выражает теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной форме: в каждый момент времени производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Проецируя равенство (17.11) на координатные оси, получим

Умножая обе части (17.11) на dt и интегрируя, получим

где 0, Q 0 - количества движения системы в моменты времени соответственно и / 0 .

Уравнение (17.13) выражает теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме: изменение количества движения системы за какое-либо время равно сумме импульсов всех внешних сил, действующих на систему за то же время.

В проекциях на координатные оси получим

Из теоремы об изменении количества движения системы можно получить следующие важные следствия, которые выражают закон сохранения количества движения системы.

• 1. Если геометрическая ^умма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю (LF k =0), то из уравнения (17.11) следует, что при этом Q = const, т. е. вектор количества движения системы будет постоянен по модулю и направлению.
• 2. Если внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их проекций на какую-либо ось равна нулю (например, I e kx = 0), то из уравнений (17.12) следует, что при этом Q x = const, т. е. проекция количества движения системы на эту ось остается неизменной.

Отметим, что внутренние силы системы не участвуют в уравнении теоремы об изменении количества движения системы. Эти силы, хотя и влияют на количество движения отдельных точек системы, не могут изменить количество движения системы в целом. Учитывая это обстоятельство, при решении задач рассматриваемую систему целесообразно выбирать так, чтобы неизвестные силы (все или их часть) сделать внутренними.

Закон сохранения количества движения удобно применять в тех случаях, когда по изменению скорости одной части системы надо определить скорость другой ее части.

Задача 17.1. К тележке массой т х - 12 кг, движущейся по гладкой горизонтальной плоскости, в точке А с помощью цилиндрического шарнира прикреплен невесомый стержень AD длиной /= 0,6 м с грузом D массой т 2 - 6 кг на конце (рис. 17.2). В момент времени / 0 = 0, когда скорость тележки и {) - 0,5 м/с, стержень AD начинает вращаться вокруг оси А, перпендикулярной плоскости чертежа, по закону ф = (тг/6)(3^ 2 - 1) рад (/-в секундах). Определить: u=f.

§ 17.3. Теорема о движении центра масс

Теорему об изменении количества движения механической системы можно выразить еще в другой форме, носящей название теоремы о движении центра масс.

Подставив в уравнение (17.11) равенство Q =MV C , получим

Если масса М системы постоянна, то получим

где а с - ускорение центра масс системы.

Уравнение (17.15) и выражает теорему о движении центра масс системы: произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Проецируя равенство (17.15) на координатные оси, получим

где x c , y c , z c - координаты центра масс системы.

Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения движения центра масс в проекциях на оси декартовой системы координат.

Обсудим полученные результаты. Предварительно напомним, что центр масс системы является геометрической точкой, расположенной подчас вне геометрических границ тела. Действующие же на механическую систему силы (внешние и внутренние) приложены ко всем материальным точкам системы. Уравнения (17.15) дают возможность определить движение центра масс системы, не определяя движения отдельных ее точек. Сопоставив уравнения (17.15) теоремы о движении центра масс и уравнения (13.5) второго закона Ньютона для материальной точки, приходим к заключению: центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы, и как будто бы к этой точке приложены все внешние силы, действующие на систему. Таким образом, решения, которые получаем, рассматривая данное тело как материальную точку, определяют закон движения центра масс этого тела.

В частности, если тело движется поступательно, то кинематические характеристики всех точек тела и его центра масс одинаковы. Поэтому поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе всего тела.

Как видно из (17.15), внутренние силы, действующие на точки системы, не оказывают влияния на движение центра масс системы. Внутренние силы могут оказать влияние на движение центра масс в тех случаях, когда под их воздействием меняются внешние силы. Примеры этого будут приведены далее.

Из теоремы о движении центра масс можно получить следующие важные следствия, которые выражают закон сохранения движения центра масс системы.

1. Если геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю (LF k =0), то из уравнения (17.15) следует,

что при этом а с = 0 или V c = const, т. е. центр масс этой системы

движется с постоянной по модулю и направлению скоростью (иначе, равномерно и прямолинейно). В частном случае, если вначале центр масс был в покое (V c =0), то он и останется в покое; откуда

следует, что его положение в пространстве не изменится, т. е. r c = const.

2. Если внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например, ось х) равна нулю (?F e kx = 0), то из уравнения (17.16) следует, что при этом х с =0 или V Cx =х с = const, т. е. проекция скорости центра масс системы на эту ось есть величина постоянная. В частном случае, если в начальный момент Vex = 0, то и в любой последующий момент времени это значение сохранится, а отсюда следует, что координата х с центра масс системы не изменится, т. е. х с - const.

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие закон движения центра масс.

Примеры. 1. Как было отмечено, движение центра масс зависит только от внешних сил, внутренними силами изменить положение центра масс нельзя. Но внутренние силы системы могут вызвать внешние воздействия. Так, движение человека по горизонтальной поверхности происходит под действием сил трения между подошвами его обуви и поверхностью дороги. Силой своих мышц (внутренние силы) человек ногами отталкивается от поверхности дороги, отчего в точках контакта с дорогой возникает сила трения (внешняя для человека), направленная в сторону его движения.

• 2. Аналогичным образом двигается автомобиль. Внутренние силы давления в его двигателе заставляют вращаться колеса, но так как последние имеют сцепление с дорогой, то возникающие силы трения «толкают» машину вперед (в результате колеса не вращаются, а двигаются плоскопараллельно). Если же дорога будет абсолютно гладкой, то центр масс автомобиля будет неподвижен (при нулевой начальной скорости) и колеса при отсутствии трения будут пробуксовывать, т. е. совершать вращательное движение.
• 3. Движение с помощью гребного винта, пропеллера, весел происходит за счет отбрасывания некоторой массы воздуха (или воды). Если рассматривать отбрасываемую массу и движущееся тело как одну систему, то силы взаимодействия между ними, как внутренние, не могут изменить суммарное количество движения этой системы. Однако каждая из частей этой системы будет двигаться, например, лодка вперед, а вода, которую отбрасывают весла, - назад.
• 4. В безвоздушном пространстве при движении ракеты «отбрасываемую массу» следует «брать с собой»: реактивный двигатель сообщает движение ракете за счет отброса назад продуктов горения топлива, которым заправлена ракета.
• 5. При спуске на парашюте можно управлять движением центра масс системы человек - парашют. Если мышечными усилиями человек подтягивает стропы парашюта так, что меняется форма его купола либо угол атаки воздушного потока, то это вызовет изменение и внешнего воздействия воздушного потока, а тем самым оказывается влияние на движение всей системы.

Задача 17.2. В задаче 17.1 (см. рис. 17.2) определить: 1) закон движения тележки х { = /)(/), если известно, что в начальный момент времени t 0 = О система находилась в покое и координата х 10 = 0; 2) ^акон изменения со временем суммарного значения нормальной реакции N(N = N" + N") горизонтальной плоскости, т. е. N=f 2 (t).

Решение. Здесь, как и в задаче 17.1, рассмотрим систему, состоящую из тележки и груза D, в произвольном положении под действием приложенных к ней внешних сил (см. рис. 17.2). Координатные оси Оху проведем так, чтобы ось х была горизонтальна, а ось у проходила через точку А 0 , т. е. место расположения точки А в момент времени t-t 0 - 0.

1. Определение закона движения тележки. Для определения х, = /,(0 воспользуемся теоремой о движении центра масс системы. Составим дифференциальное уравнение его движения в проекции на ось х:

Так как все внешние силы вертикальны, то T,F e kx = 0, и, следовательно,

Проинтегрировав это уравнение, найдем, что Мх с = В, т. е. проекция скорости центра масс системы на ось х есть величина постоянная. Так как в начальный момент времени

Интегрируя уравнение Мх с = 0, получим

т. е. координата х с центра масс системы постоянна.

Запишем выражение Мх с для произвольного положения системы (см. рис. 17.2), приняв во внимание, что х А - х { , x D - х 2 и х 2 - х { - I sin ф. В соответствии с формулой (16.5), определяющей координату центра масс системы, в данном случае Мх с - т { х { + т 2 х 2 ".

для произвольного момента времени

для момента времени / () = 0, х { = 0 и

В соответствии с равенством (б) координата х с центра масс всей системы остается неизменной, т. е. хД^,) = x c (t). Следовательно, приравняв выражения (в) и (г), получим зависимость координаты х, от времени.

О т в е т: Х - 0,2 м, где t - в секундах.

2. Определение реакции N. Для определения N=f 2 (t ) составим дифференциальное уравнение движения центра масс системы в проекции на вертикальную ось у (см. рис. 17.2):

Отсюда, обозначив N= N + N", получим

По формуле, определяющей ординату у с центра масс системы, Му с = т { у х + т 2 у 2 , где у, = у С1 , у 2 = y D = У а ~ 1 cos Ф» получим

Продифференцировав это равенство два раза по времени (учитывая при этом, что у С1 и у А величины постоянные и, следовательно, их производные равны нулю), найдем

Подставив это выражение в уравнение (е), определим искомую зависимость N от t.

Ответ: N- 176,4 + 1,13,

где ф = (я/6)(3/ -1), t - в секундах, N- в ньютонах.

Задача 17.3. Электрический мотор массой т х прикреплен на горизонтальной поверхности фундамента болтами (рис. 17.3). На валу мотора под прямым углом к оси вращения закреплен одним концом невесомый стержень длиной /, на другом конце стержня насажен точечный груз А массой т 2 . Вал вращается равномерно с угловой скоростью со. Найти горизонтальное давление мотора на болты. Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из мотора и точечного груза А, в произвольном положении. Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести Р х, Р 2 , реакцию фундамента в виде вертикальной силы N и горизонтальной силы R. Проведем координатную ось х горизонтально.

Чтобы определить горизонтальное давление мотора на болты (а оно будет численно равно реакции R и направлено противоположно вектору R ), составим уравнение теоремы об изменении количества движения системы в проекции на горизонтальную ось х:

Для рассматриваемой системы в ее произвольном положении, учитывая, что количество движения корпуса мотора равно нулю, получим Q x = - т 2 У А сощ. Принимая во внимание, что V A = a з/, ф = со/ (вращение мотора равномерное), получим Q x - - m 2 co/cos со/. Дифференцируя Q x по времени и подставляя в равенство (а), найдем R- m 2 co 2 /sin со/.

Заметим, что именно такие силы являются вынуждающими (см. § 14.3), при их воздействии возникают вынужденные колебания конструкций.

Упражнения для самостоятельной работы

• 1. Что называют количеством движения точки и механической системы?
• 2. Как изменяется количество движения точки, равномерно движущейся по окружности?
• 3. Что характеризует импульс силы?
• 4. Влияют ли внутренние силы системы на ее количество движения? На движение ее центра масс?
• 5. Как влияют на движение центра масс системы приложенные к ней пары сил?
• 6. При каких условиях центр масс системы находится в покое? движется равномерно и прямолинейно?

7. В неподвижной лодке при отсутствии течения воды на корме сидит взрослый человек, а на носу лодки - ребенок. В каком направлении переместится лодка, если они поменяются местами?

В каком случае модуль перемещения лодки будет большим: 1) если ребенок перейдет к взрослому на корму; 2) если взрослый перейдет к ребенку на нос лодки? Каковы будут при этих движениях перемещения центра масс системы «лодка и два человека»?

В качестве системы, о которой идёт речь в теореме, может выступать любая механическая система, состоящая из любых тел.

Формулировка теоремы

Количеством движения (импульсом) механической системы называют величину, равную сумме количеств движения (импульсов) всех тел, входящих в систему. Импульс внешних сил, действующих на тела системы, - это сумма импульсов всех внешних сил, действующих на тела системы.

( кг·м/с)

Теорема об изменении количества движения системы утверждает

Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно импульсу внешних сил, действующих на систему, за тот же промежуток времени.

Закон сохранения количества движения системы

Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то количество движения (импульс) системы есть величина постоянная.

, получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в дифференциальной форме :

Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми и , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в интегральной форме:

Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения ) утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю.

(моме́нт коли́чества движе́ния м 2 ·кг·с −1 )

Теорема об изменении момента количества движения относительно центра

производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какого-либо неподвижного центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

Теорема об изменении момента количества движения относительно оси

производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Рассмотрим материальную точку M массой m , движущуюся под действием силы F (рисунок 3.1). Запишем и построим вектор момента количества движения (кинетического момента) M 0 материальной точки относительно центра O :

Дифференцируем выражение момента количества движения (кинетического момента k 0) по времени:

Так как dr /dt = V , то векторное произведение V ⊗ m ⋅ V (коллинеарных векторов V и m ⋅ V ) равно нулю. В то же время d(m ⋅ V) /dt = F согласно теореме о количестве движения материальной точки. Поэтому получаем, что

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

где r ⊗F = M 0 (F ) – вектор-момент силы F относительно неподвижного центра O . Вектор k 0 ⊥ плоскости (r , m ⊗V ), а вектор M 0 (F ) ⊥ плоскости (r ,F ), окончательно имеем

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Уравнение (3.4) выражает теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно центра: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какого-либо неподвижного центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

Проецируя равенство (3.4) на оси декартовых координат, получаем

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Равенства (3.5) выражают теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно оси: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.

Рассмотрим следствия, вытекающие из теорем (3.4) и (3.5).

Следствие 1. Рассмотрим случай, когда сила F во все время движения точки проходит через неподвижный центр O (случай центральной силы), т.е. когда M 0 (F ) = 0. Тогда из теоремы (3.4) следует, что k 0 = const ,

т.е. в случае центральной силы момент количества движения (кинетический момент) материальной точки относительно центра этой силы остается постоянным по модулю и направлению (рисунок 3.2).

Рисунок 3.2

Из условия k 0 = const следует, что траектория движущейся точки представляет собой плоскую кривую, плоскость которой проходит через центр этой силы.

Следствие 2. Пусть M z (F ) = 0, т.е. сила пересекает ось z или ей параллельна. В этом случае, как это видно из третьего из уравнений (3.5), k z = const ,

т.е. если момент действующей на точку силы относительно какой-либо неподвижной оси всегда равен нулю, то момент количества движения (кинетический момент) точки относительно этой оси остается постоянным.

Доказательство теоремы обь ихменении количества движения

Пусть система состоит из материальных точек с массами и ускорениями . Все силы, действующие на тела системы, разделим на два вида:

Внешние силы - силы, действующие со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему. Равнодействующую внешних сил, действующих на материальную точку с номером i обозначим .

Внутренние силы - силы, с которыми взаимодействуют друг с другом тела само́й системы. Силу, с которой на точку с номером i действует точка с номером k , будем обозначать , а силу воздействия i -й точки на k -ю точку - . Очевидно, что при , то

Используя введённые обозначения, запишем второй закон Ньютона для каждой из рассматриваемых материальных точек в виде

Учитывая, что и суммируя все уравнения второго закона Ньютона, получаем:

Выражение представляет собой сумму всех внутренних сил, действующих в системе. По третьему закону Ньютона в этой сумме каждой силе соответствует сила такая, что и, значит, выполняется Поскольку вся сумма состоит из таких пар, то и сама сумма равна нулю. Таким образом, можно записать

Используя для количества движения системы обозначение , получим

Введя в рассмотрение изменение импульса внешних сил , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в дифференциальной форме:

Таким образом, каждое из последних полученных уравнений позволяет утверждать: изменение количества движения системы происходит только в результате действия внешних сил, а внутренние силы никакого влияния на эту величину оказать не могут.

Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми и , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в интегральной форме:

где и - значения количества движения системы в моменты времени и соответственно, а - импульс внешних сил за промежуток времени . В соответствии со сказанным ранее и введёнными обозначениями выполняется

4. Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки. Переносная и кориолисова сила инерции.

5. Принцип относительности

6. Свободные колебания материальной точки без учета сопротивления

7. Затухающие колебания материальной точки.

8. Вынужденные колебания

9.Момент инерции тела относительно оси.Радиус инерции тела.

11(12).Моменты инерции простых тел относительно главных центральных осей:однородного тонкого стержня,сплошного круглого цилиндра.

12.Диф.Уравнения движения механической системы.

13.Теорема о движении центра масс механической системы.

14. Количество движения материальной точки и механической системы.

15. Элементарный импульс силы и импульс силы за конечный промежуток времени.

16. Теоремы об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной и в конечной формах.

17. Теорема об изменении количества движения механической системы. Закон сохранения количества движения.

18. Момент количества движения материальной точки относительно центра и относительно оси.

19. Кинетический момент механической системы относительно центра и относительно оси. Кинетический момент твердого тела относительно оси вращения.

21(22) Диференциальные Уравнения движения твердого тела(поступательного, вращательного и плоскопараллельного движения твердого тела).

33. Физический и математический маятники. Период колебаний. Определение осевых моментов инерции тел.

37. Определение главного вектора и главного момента сил инерции механической системы.

33(36). Главный вектор сил инерции поступательно движущегося тела.

38). Главный вектор и главный момент сил инерции вращающегося тела в двух случаях: ось вращения проходит через центр масс тела и не проходит.

45.Обобщеные силы их вычисление,размерности обобщеных сил

46. Обобщеные силы имеющие потенциал.

47.Условия равновесия системы в обобщеных координатах

39.(49) Уравнение Лагранжа второго рода в случае потенциальных сил. Функция Лагранжа (кинетический потенциал).

40.Явление удара.Ударная сила и ударный импульс.Действие ударной силы на материальную точку.

41.Теорема об изменении кол-ва движения мех.Сис. При ударе.

42.Прямой центральный удар тела о неподвижную поверхность;упругий и неупругий удары.Коэфицент

14. Количество движения материальной точки и механической системы.

Кол-вом дв-ия мат/точки наз-ся векторная величина , равная произведению массы на ее скорость (направлен как и ск-ть по касательной).

Кол-вом дв-ия с-мы будем наз-ть векторную величину , равную геометрической сумме (главному вектору) кол-в дв-ия всех точек с-мы:

Кол-во дв-ия с-мы равно произведению массы всей с-мы на скорость ее центра масс:

15. Элементарный импульс силы и импульс силы за конечный промежуток времени.

Элем-ым имп-ом силы наз-ся векторная величина , равная произведению силына элем-ный промежуток времениdt: (направлен вдоль линии действия силы)

Импульс силы за некоторый промежуток времени t 1 равен определенному интегралу от элем-ого импульса, взятому в пределах от 0

16. Теоремы об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной и в конечной формах.

Т-ма об изм-ии кол-ва дв-ия мат/точки в дифф/форме: производная по времени от кол-ва дв-ия точки равна сумме действующих на точку сил:

При t=0 ск-ть , приt 1 ск-ть

Т-ма об изм-ии кол-ва дв-ия мат/точки (в кон/виде): изм-ие кол-ва

дв-ия точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.

17. Теорема об изменении количества движения механической системы. Закон сохранения количества движения.

Т-ма об изм-ии кол-ва дв-ия с-мы в дифф/форме: производная по времени от кол-ва дв-ия с-мы равна геом-ой сумме всех действующих на

с-му внешних сил. На

При t=0 кол-во дв-ия , приt 1 кол/дв :

Т-ма об изм-ии кол-ва дв-ия с-мы в интегр-ой форме: изменение кол/дв с-мы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов, действующих на с-му внешних сил за тот же промежуток времени.

З-он сох-ия кол-ва дв-ия:

1) Пусть , тогда=const. Если сумма внешних сил, действующих на с-му, равна 0, то вектор кол/движ с-мы будет постоянен по модулю и направлению.

2) Пусть , тогда=const. Если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна 0, то проекция кол/движ с-мы на эту ось есть величина постоянная.

18. Момент количества движения материальной точки относительно центра и относительно оси.

Момент кол/дв точки отн-но некоторого центра О наз-ся векторная величина , определяемая равенством(направлен перпен-но

плос-ти, проходящей через и центр О)

Момент кол/дв точки относ-но оси Oz, проходящий через центр О :

19. Кинетический момент механической системы относительно центра и относительно оси. Кинетический момент твердого тела относительно оси вращения.

Главным моментом кол-ств дв-ия (или кин-им моментом) с-мы отн-но данного центра О наз-ся величина , равная геом-ой сумме моментов кол-ств дв-ия всех точек с-мы отн-но этого центра:

Проекция на оси :

У любой точки тела, отстоящей от оси вращения ск-ть , следовательно:

Кин-ий момент вращения тела отн-но оси вращения равен произведению момента инерции тела отн-но этой оси

на угловую скорость тела:

20. кол-вом дв.мат.точки - вектор m υ размерность [кг*м\с]=[Н*с]

Теорема: дифференциал по времени от кол-ва дв.мат.точки равна геометрич.сумме действующей на не сил.

Домножим на dt , : d(mυ). Полный импульс S =домножим на dt получим интегральную конечную форму записи теоремы: m . –Изменение кол-ва дв.мат.точки за некоторый промежуток времени равно геометр.сумме импульсов сил,действующих на точку за тот же промежуток времени. Аналит.форма записи: m m m

(21). Теорема об изменении кинетического момента механической системы. Закон сохранения кинетического момента.

Т-ма моментов для с-мы: производная по времени от главного момента кол-ств дв-ия с-мы отн-но некоторого неподвижного центра равна сумме моментво всех внешних сил с-мы отн-но того же центра. Проекция на оси:

Закон сохранения кин-ого момента:

"

Например:

1. Определить количество движения механической системы:

Т.к. (центр масс не движется).

б) Теорема об изменении количества движения (дифференциальный вид).

Выведем ее из теоремы о движении центра масс.

Для ν -той материальной точки по второму закону Ньютона:

Так как. масса постоянна, то ее можно внести под знак производной. Получим:

Просуммировав по всем материальным точкам, получим:

Учтем, что сумма всех внутренних сил механической системы - по третьему закону Ньютона.

Получим теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальном виде:

Формулировка: первая производная по времени от количества движения механической системы равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему, т.е. равна главному вектору всех внешних сил механической системы.

Эти формулы математически показывают, что только внешние силы влияют на движение центра масс и изменение количества движения механической системы, внутренние силы изменить количество движения или движение центра масс не могут.

в) Теорема импульсов (интегральный вид) теоремы об изменении количества движения.

Определение:

1) элементарным импульсом силы называется произведение этой силы на дифференциал времени:

2) импульсом силы за какой-либо промежуток времени называется интеграл вида:

Теорема импульсов: выводится из теоремы об изменении количества движения.

Разделяя переменные, получим:

Интегрируем:

Учитывая, что правая часть уравнения представляет собой сумму импульсов всех внешних сил, получим:

Формулировка: Изменение количества движения за какой – либо промежуток времени равно векторной сумме импульсов всех внешних сил, приложенных к системе в этот промежуток времени.

Эта формулаозначает, что импульс силы и количество движения измеряется в одних и тех же размерностях единиц.

; , поэтому количество движения в настоящее время называют импульсом.

г) Закон сохранения количества движения:

1) Если, , то из теоремы следует, что: , .

Формулировка: если векторная сумма всех внешних сил системы равна нулю, то количество движения системы остается постоянным по величине и направлению.

2) Если, , то , .

Формулировка: если алгебраическая сумма проекций всех внешних сил системы, на какую – либо ось равна нулю, то проекция количества движения на эту ось остается постоянной.

4. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА

Рассматриваемые вопросы:

Общие теоремы динамики механической системы. Теорема об изменении кинетического момента. Момент количества движения материальной точки относительно полюса: алгебраическое значение, направление вектора. Момент количества движения материальной точки относительно оси. Момент количества движения относительно начала координат. Кинетический момент механической системы относительно точки и оси. Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения. Теорема об изменении кинетического момента. Закон сохранения кинетического момента.

4.1 Момент количества движения материальной точки относительно центра (точки, полюса).

а) Определение: моментом количества движения материальной точки относительно какого-либо центра называется векторное произведение радиус – вектора этой точки на её количества движения.

б) Направление: момент количества движения материальной точки направлен перпендикулярно плоскости траектории движения точки таким образом, чтобы с конца векторного момента можно было видеть направление скорости по отношению к моментной точке против часовой стрелки.

в) Алгебраическое значение момента количества движения точки.

Модуль момента количества движения материальной точки:

Алгебраическое значение – это произведение количества движения материальной точки на плечо, взятое со знаком плюс или минус.

Значение момента положительное, если он направлен относительно моментной точки против часовой стрелки.

Значение момента отрицательное, если он направлен относительно моментной точки по часовой стрелке.

Значение момента равно нулю, если моментная точка лежит на линии скорости.

4.2 Момент количества движения относительно оси.

а) Определение: моментом количества движения точки относительно оси называется проекция на эту ось векторного момента количества движения, вычисленного относительно какой – либо точки, лежащей на этой оси.

Алгебраическое значение аналогично:

Значение момента количества движения положительное, если он направлен против часовой стрелки, если смотреть с положительного направления оси.

Значение момента количества движения отрицательное, если он направлен по часовой стрелке, если смотреть с положительного направления оси.

Значение момента количества движения равно нулю, если скорость направлена параллельно оси или пересекает эту ось.

Проекции на оси координат:

4.3 Кинетический момент механической системы относительно полюса и оси.

а) Кинетический момент механической системы относительно полюса.

Кинетическим моментом механической системы относительно центра (полюса, точки) называется векторная сумма моментов количества движения всех точек системы относительно этого же центра:

б) Кинетический момент механической системы относительно оси:

Кинетическим моментом механической системы относительно оси называется алгебраическая сумма моментов количества движения всех его точек относительно этой же оси:

Кинетический момент механической системы относительно оси Z:

Таким образом - кинетический момент механической системы это главный момент количества движения системы.

4.4 Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения.

Рассмотрим тело вращения. Рассмотрим движение материальной точки, масса которой m ν , а линейная скорость .

По определению кинетического момента относительно полюса:

Кинетический момент направлен перпендикулярно радиус-вектору ().

Спроектировав кинетический момент на ось , получим:

Учитывая, что при вращательном движении линейная скорость определяется по формуле Эйлера, получим:

Модуль скорости точки при вращательном движении:

где , сos (90 0 - ) =sin

Подставив (98) в формулу (96), получим:

Кинетический момент относительно оси вращения определяется по формуле:

4.5 Вывод теоремы об изменении кинетического момента.

По второму закону Ньютона для ν -той точки:

Умножив обе части равенства почленно, векторно на , получим:

Преобразуем:

Суммируя по ν т.е. по всем материальным точкам механической системы получим:

Слева под знаком суммы получаем кинетический момент механической системы относительно полюса О:

Справа под знаком суммы получаем сумму моментов всех внешних и внутренних сил механической системы относительно полюса О:

По третьему закону Ньютона сумма моментов всех внутренних сил относительно полюса О равна нулю,

Тогда получим теорему в виде:

Формулировка: первая производная от кинетического момента по времени, относительно какого – либо центра равна векторной сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему относительно этого же центра.

Теорема об изменении кинетического момента относительно оси вращения:

Формулировка: первая производная по времени от кинетического момента, относительно какой – либо оси равна алгебраической сумме моментов всех внешних сил системы относительно этой же оси.

Кинетический момент для твердого тела относительно оси вращения:

.

2) Если , то .

Формулировка : если алгебраическая сумма моментов всех внешних сил системы, относительно какой – либо оси равна нулю, то кинетический момент относительно этой оси остается постоянным.

Например:

При вращении фигуриста на льду все действующие силы параллельны оси Z , а это значит, что кинетический момент относительно оси Z равен нулю.

Для увеличения угловой скорости фигурист прижимает руки к туловищу, тем самым уменьшая момент инерции тела относительно оси вращения.

Для уменьшения угловой скорости фигурист расставляет руки в стороны, тем самым увеличивая момент инерции тела относительно оси вращения.

5. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И

Количеством движения системы называют геометрическую сумму количеств движения всех материальных точек системы

Для выяснения физического смысла (70) вычислим производную от (64)

. (71)

Решая совместно (70) и (71), получим

. (72)

Таким образом, вектор количества движения механической системы определяется произведением массы системы на скорость ее центра масс .

Вычислим производную от (72)

. (73)

Решая совместно (73) и (67), получим

. (74)

Уравнение (74) выражает следующую теорему.

Теорема: Производная по времени от вектора количества движения системы равна геометрической сумме всех внешних сил системы.

При решении задач уравнение (74) необходимо спроектировать на координатные оси:

. (75)

Из анализа (74) и (75) вытекает следующий закон сохранения количества движения системы : Если сумма всех сил системы равна нулю, то вектор количества движения ее сохраняет свою величину и направление.

Если
, то
,Q = const . (76)

В частном случае этот закон может выполнять вдоль одной из координатных осей.

Если
, то,Q z = const . (77)

Теорему об изменении количества движения целесообразно использовать в тех случаях, когда в систему входят жидкие и газообразные тела.

Теорема об изменении кинетического момента механической системы

Количество движения характеризует только поступательную составляющую движения. Для характеристики вращательного движения тела введено понятие главного момента количеств движения системы относительно заданного центра (кинетического момента).

Кинетическим моментом системы относительно данного центра называется геометрическая сумма моментов количеств движения всех его точек относительно того же центра

. (78)

Проектируя (22) на оси координат можно получить выражение кинетического момента относительно координатных осей

. (79)

Кинетический момент тела относительно осей равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела

. (80)

Из (80) следует, что кинетический момент характеризует только вращательную составляющую движения.

Характеристикой вращательного действия силы является ее момент относительно оси вращения.

Теорема об изменении кинетического момента устанавливает взаимосвязь между характеристикой вращательного движения и силой, вызывающей это движение.

Теорема: Производная по времени от вектора кинетического момента системы относительно некоторого центра равна геометрической сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра

. (81)

При решении инженерных задач (81) необходимо спроектировать на координатные оси

Их анализа (81) и (82) вытекает закон сохранения кинетического момента : Если сумма моментов всех внешних сил относительно центра (или оси) равна нулю, то кинетический момент системы относительно этого центра (или оси) сохраняет свою величину и направление.

,

или

Кинетический момент нельзя изменить действием внутренних сил системы, но за счет этих сил можно изменить момент инерции, а следовательно угловую скорость.