\[(\Veľký(\text(Stredový a vpísaný uhol)))\]

Definície

Stredový uhol je uhol, ktorého vrchol leží v strede kruhu.

Vpísaný uhol je uhol, ktorého vrchol leží na kružnici.

Miera stupňa oblúka kruhu je miera stupňa stredového uhla, ktorý ho zviera.

Veta

Miera stupňa vpísaného uhla sa rovná polovici miery oblúka, na ktorom spočíva.

Dôkaz

Dôkaz vykonáme v dvoch etapách: najprv preukážeme platnosť tvrdenia pre prípad, keď jedna zo strán vpísaného uhla obsahuje priemer. Nech bod \(B\) je vrcholom vpísaného uhla \(ABC\) a \(BC\) je priemer kružnice:

Trojuholník \(AOB\) je rovnoramenný, \(AO = OB\) , \(\uhol AOC\) je vonkajší, potom \(\uhol AOC = \uhol OAB + \uhol ABO = 2\uhol ABC\), kde \(\uhol ABC = 0,5\cdot\uhol AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

Teraz zvážte ľubovoľný vpísaný uhol \(ABC\) . Nakreslíme priemer kružnice \(BD\) z vrcholu vpísaného uhla. Existujú dva možné prípady:

1) priemer rozreže uhol na dva uhly \(\uhol ABD, \uhol CBD\) (pre každý z nich platí veta, ako je dokázané vyššie, teda platí aj pre pôvodný uhol, ktorý je súčtom týchto dva, a preto sa rovná polovici súčtu oblúkov, o ktoré sa opierajú, to znamená, že sa rovná polovici oblúka, na ktorom spočíva). Ryža. 1.

2) priemer nezorezal uhol do dvoch uhlov, potom máme ďalšie dva nové vpísané uhly \(\uhol ABD, \uhol CBD\), ktorých strana obsahuje priemer, preto pre nich platí veta, potom to platí aj pre pôvodný uhol (ktorý sa rovná rozdielu týchto dvoch uhlov, čo znamená, že sa rovná polovičnému rozdielu oblúkov, na ktorých spočívajú, to znamená, že sa rovná polovici oblúka, na ktorom spočíva) . Ryža. 2.

Dôsledky

1. Vpísané uhly zvierajúce rovnaký oblúk sú rovnaké.

2. Vpísaný uhol zovretý polkruhom je pravý uhol.

3. Vpísaný uhol sa rovná polovici stredového uhla zovretého rovnakým oblúkom.

\[(\Veľký(\text(Tečnica ku kruhu)))\]

Definície

Existujú tri typy relatívnych polôh čiary a kruhu:

1) priamka \(a\) pretína kružnicu v dvoch bodoch. Takáto čiara sa nazýva sečná čiara. V tomto prípade je vzdialenosť \(d\) od stredu kruhu k priamke menšia ako polomer \(R\) kruhu (obr. 3).

2) priamka \(b\) pretína kružnicu v jednom bode. Takáto priamka sa nazýva dotyčnica a ich spoločný bod \(B\) sa nazýva dotykový bod. V tomto prípade \(d=R\) (obr. 4).

Veta

1. Dotyčnica ku kružnici je kolmá na polomer nakreslený k bodu dotyku.

2. Ak priamka prechádza koncom polomeru kružnice a je kolmá na tento polomer, potom je dotyčnicou kružnice.

Dôsledok

Dotykové segmenty nakreslené z jedného bodu do kruhu sú rovnaké.

Dôkaz

Narysujme dve dotyčnice \(KA\) a \(KB\) ku kružnici z bodu \(K\):

To znamená, že \(OA\perp KA, OB\perp KB\) sú ako polomery. Pravouhlé trojuholníky \(\trojuholník KAO\) a \(\trojuholník KBO\) sú rovnaké v ramene a prepone, preto \(KA=KB\) .

Dôsledok

Stred kružnice \(O\) leží na osi uhla \(AKB\) tvoreného dvoma dotyčnicami vedenými z rovnakého bodu \(K\) .

\[(\Large(\text(Vety týkajúce sa uhlov)))\]

Veta o uhle medzi sekansami

Uhol medzi dvoma sečnami nakreslenými z toho istého bodu sa rovná polovičnému rozdielu v mierach väčších a menších oblúkov, ktoré vyrežú.

Dôkaz

Nech \(M\) je bod, z ktorého sú nakreslené dva sečny, ako je znázornené na obrázku:

Ukážme to \(\uhol DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\uhol DAB\) je potom vonkajší uhol trojuholníka \(MAD\). \(\uhol DAB = \uhol DMB + \uhol MDA\), kde \(\uhol DMB = \uhol DAB - \uhol MDA\), ale uhly \(\uhol DAB\) a \(\uhol MDA\) sú vpísané, potom \(\uhol DMB = \uhol DAB - \uhol MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), čo bolo potrebné dokázať.

Veta o uhle medzi pretínajúcimi sa tetivami

Uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa tetivami sa rovná polovici súčtu mier stupňov oblúkov, ktoré vyrežú: \[\uhol CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

Dôkaz

\(\uhol BMA = \uhol CMD\) ako vertikálny.

Z trojuholníka \(AMD\) : \(\uhol AMD = 180^\circ - \uhol BDA - \uhol CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

ale \(\uhol AMD = 180^\circ - \uhol CMD\), z čoho usudzujeme \[\uhol CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ úsmev\over(CD)).\]

Veta o uhle medzi tetivou a dotyčnicou

Uhol medzi dotyčnicou a tetivou prechádzajúcou bodom dotyku sa rovná polovici miery oblúka, ktorý tetiva zviera.

Dôkaz

Nech sa priamka \(a\) dotýka kružnice v bode \(A\), \(AB\) je tetiva tejto kružnice, \(O\) je jej stred. Nech priamka obsahujúca \(OB\) pretína \(a\) v bode \(M\) . Dokážme to \(\uhol BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

Označme \(\uhol OAB = \alpha\) . Pretože \(OA\) a \(OB\) sú polomery, potom \(OA = OB\) a \(\uhol OBA = \uhol OAB = \alpha\). teda \(\buildrel\smile\over(AB) = \uhol AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

Pretože \(OA\) je polomer nakreslený k bodu dotyčnice, potom \(OA\perp a\), teda \(\uhol OAM = 90^\circ\), preto, \(\uhol BAM = 90^\circ - \uhol OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

Veta o oblúkoch ohraničených rovnakými akordmi

Rovnaké tetivy tvoria rovnaké oblúky menšie ako polkruhy.

A naopak: rovnaké oblúky sú podložené rovnakými akordmi.

Dôkaz

1) Nech \(AB=CD\) . Dokážme, že menšie polkruhy oblúka .

Na troch stranách teda \(\uhol AOB=\uhol COD\) . Ale pretože \(\uhol AOB, \uhol COD\) - stredové uhly podopreté oblúkmi \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) podľa toho teda \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) Ak \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), To \(\trojuholník AOB=\trojuholník COD\) na dve strany \(AO=BO=CO=DO\) a uhol medzi nimi \(\uhol AOB=\uhol COD\) . Preto a \(AB=CD\) .

Veta

Ak polomer pretína tetivu, potom je na ňu kolmý.

Platí to aj naopak: ak je polomer kolmý na tetivu, potom ju v priesečníku pretína.

Dôkaz

1) Nech \(AN=NB\) . Dokážme, že \(OQ\perp AB\) .

Uvažujme \(\trojuholník AOB\) : je rovnoramenný, pretože \(OA=OB\) – polomery kružnice. Pretože \(ON\) je medián nakreslený k základni, potom je to aj výška, teda \(ON\perp AB\) .

2) Nech \(OQ\perp AB\) . Dokážme, že \(AN=NB\) .

Podobne \(\trojuholník AOB\) je rovnoramenný, \(ON\) je výška, teda \(ON\) je stred. Preto \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(Vety týkajúce sa dĺžok segmentov)))\]

Veta o súčine tetivových segmentov

Ak sa pretínajú dva akordy kruhu, potom sa súčin segmentov jedného akordu rovná súčinu segmentov druhého akordu.

Dôkaz

Nech sa akordy \(AB\) a \(CD\) pretnú v bode \(E\) .

Uvažujme trojuholníky \(ADE\) a \(CBE\) . V týchto trojuholníkoch sú uhly \(1\) a \(2\) rovnaké, pretože sú vpísané a spočívajú na rovnakom oblúku \(BD\) a uhly \(3\) a \(4\) sú rovnaké ako vertikálne. Trojuholníky \(ADE\) a \(CBE\) sú podobné (na základe prvého kritéria podobnosti trojuholníkov).

Potom \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), z čoho \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Teoréma tangenty a sekansu

Druhá mocnina dotyčnicového segmentu sa rovná súčinu sečnice a jej vonkajšej časti.

Dôkaz

Nechajte dotyčnicu prechádzať bodom \(M\) a dotknite sa kružnice v bode \(A\) . Nechajte sečnicu prechádzať bodom \(M\) a pretínajte kružnicu v bodoch \(B\) a \(C\) tak, aby \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Uvažujme trojuholníky \(MBA\) a \(MCA\) : \(\uhol M\) je bežný, \(\uhol BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Podľa vety o uhle medzi dotyčnicou a sečnicou, \(\uhol BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \uhol BCA\). Trojuholníky \(MBA\) a \(MCA\) sú teda podobné v dvoch uhloch.

Z podobnosti trojuholníkov \(MBA\) a \(MCA\) máme: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), čo je ekvivalent \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Dôsledok

Súčin sečnice vytiahnutej z bodu \(O\) jej vonkajšou časťou nezávisí od výberu sečny vytiahnutej z bodu \(O\) .

Kruh- geometrický útvar pozostávajúci zo všetkých bodov roviny umiestnených v danej vzdialenosti od daného bodu.

Tento bod (O) sa nazýva stred kruhu.
Polomer kruhu- toto je segment spájajúci stred s ľubovoľným bodom na kruhu. Všetky polomery majú rovnakú dĺžku (podľa definície).
Chord- úsečka spájajúca dva body na kružnici. Tetiva prechádzajúca stredom kruhu sa nazýva priemer. Stred kruhu je stredom akéhokoľvek priemeru.
Akékoľvek dva body na kruhu ho rozdeľujú na dve časti. Každá z týchto častí je tzv oblúk kruhu. Oblúk je tzv polkruh, ak segment spájajúci jeho konce má priemer.
Dĺžka jednotkového polkruhu je označená π .
Súčet mierok dvoch oblúkov kružnice so spoločnými koncami sa rovná 360º.
Časť roviny ohraničená kružnicou sa nazýva všade okolo.
Kruhový sektor- časť kružnice ohraničená oblúkom a dvoma polomermi spájajúcimi konce oblúka so stredom kružnice. Oblúk, ktorý obmedzuje sektor, sa nazýva oblúk sektora.
Nazývajú sa dva kruhy so spoločným stredom sústredné.
Nazývajú sa dva kruhy, ktoré sa pretínajú v pravom uhle ortogonálne.

Relatívna poloha priamky a kružnice

1. Ak je vzdialenosť od stredu kruhu k priamke menšia ako polomer kruhu ( d), potom majú priamka a kružnica dva spoločné body. V tomto prípade je linka tzv sekanta vo vzťahu ku kruhu.
2. Ak sa vzdialenosť od stredu kružnice k priamke rovná polomeru kružnice, potom priamka a kružnica majú iba jeden spoločný bod. Táto linka je tzv dotyčnica ku kružnici, a ich spoločným bodom je tzv dotykový bod medzi priamkou a kružnicou.
3. Ak je vzdialenosť od stredu kruhu k priamke väčšia ako polomer kruhu, potom priamka a kruh nemajú spoločné body
.

Stredové a vpísané uhly

Stredový uhol je uhol s vrcholom v strede kruhu.
Vpísaný uhol- uhol, ktorého vrchol leží na kružnici a ktorého strany kružnicu pretínajú.

Veta o vpísanom uhle

Vpísaný uhol sa meria polovicou oblúka, na ktorom sa nachádza.

• Dôsledok 1.
  Vpísané uhly zvierajúce rovnaký oblúk sú rovnaké.


• Dôsledok 2.
  Vpísaný uhol zovretý polkruhom je pravý uhol.

Veta o súčine úsečiek pretínajúcich sa akordov.

Ak sa pretínajú dva akordy kruhu, potom sa súčin segmentov jedného akordu rovná súčinu segmentov druhého akordu.

Základné vzorce

• obvod:

C = 2∙π∙R

• Dĺžka kruhového oblúka:

R = С/(2∙π) = D/2

• Priemer:

D = C/π = 2°R

• Dĺžka kruhového oblúka:

l = (π∙R) / 180∙α,
Kde α - miera stupňa dĺžky kruhového oblúka)

• Oblasť kruhu:

S = π∙R 2

• Oblasť kruhového sektora:

S = ((π∙R 2) / 360)∙α

Rovnica kruhu

• V pravouhlom súradnicovom systéme je rovnica kruhu s polomerom r sústredený v bode C(x o;y o) má tvar:

(x - x o) 2 + (y - y o) 2 = r2

• Rovnica kružnice s polomerom r so stredom v počiatku má tvar:

x2 + y2 = r2

Späť dopredu

Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

Cieľ: zvýšiť motiváciu k učeniu; rozvíjať počítačové zručnosti, inteligenciu a schopnosť pracovať v tíme.

Priebeh lekcie

Aktualizácia vedomostí. Dnes budeme pokračovať v rozprávaní o kruhoch. Pripomeniem vám definíciu kruhu: ako sa nazýva kruh?

Kruh je priamka pozostávajúca zo všetkých bodov v rovine, ktoré sú v danej vzdialenosti od jedného bodu v rovine, nazývaného stred kružnice.

Na snímke je zobrazený kruh, jeho stred je označený - bod O, nakreslené sú dva segmenty: OA a SV. Segment OA spája stred kruhu s bodom na kruhu. Nazýva sa RADIUS (v latinčine polomer - „hovoril v kolese“). Úsek CB spája dva body kružnice a prechádza jej stredom. Toto je priemer kruhu (preložené z gréčtiny ako „priemer“).

Budeme potrebovať aj definíciu tetivy kružnice - ide o úsečku spájajúcu dva body na kružnici (na obrázku - tetiva DE).

Poďme zistiť otázku o vzájomnej polohe priamky a kružnice.

Ďalšia otázka a bude hlavná: zistiť vlastnosti, ktoré majú pretínajúce sa akordy, sekansy a dotyčnice.

Tieto vlastnosti preukážete na hodinách matematiky a našou úlohou je naučiť sa tieto vlastnosti aplikovať pri riešení úloh, keďže sú hojne využívané pri skúškach ako vo forme Jednotnej štátnej skúšky, tak aj vo forme štátnej skúšky.

Zadanie pre tímy.

• Nakreslite a zapíšte vlastnosť akordov CM a NF pretínajúcich sa v bode P.
• Nakreslite a napíšte vlastnosti dotyčnice KM a sečnice KF.
• Nakreslite a zapíšte vlastnosti sekán KM a MF.

Pomocou údajov na obrázku nájdite x. Snímka 5–6

Kto je rýchlejší, ten má väčšiu pravdu. Nasleduje diskusia a overovanie riešení všetkých problémov. Tí, ktorí odpovedia, získajú body za odmenu pre svoj tím.

No a teraz prejdime k riešeniu vážnejších problémov. Predstavujeme vám tri bloky: pretínajúce sa akordy, tangenta a sekanta, dva sekanty. Podrobne rozoberieme riešenie jedného problému z každého bloku.

(Riešenie je analyzované podrobnými poznámkami č. 4, č. 7, č. 12)

2. Workshop o riešení problémov

a) Pretínajúce sa akordy

1. E – priesečník akordov AB a CD. AE=4, AB=10, CE:ED=1:6. Nájsť CD.

Riešenie:

2. E – priesečník akordov AB a CD. AB = 17, CD = 18, ED = 2CE. Nájdite AE a BE.

Riešenie:

3. E – priesečník akordov AB a CD. AB=10, CD=11, BE=CE+1. Nájdite CE.

Riešenie:

4. E je priesečník akordov AB a CD. ED = 2AE, CE = DE-1, BE = 10. Nájsť CD.

Riešenie:

b) Tangenta a sečna

5. Dotyčnica a sečna sú nakreslené z jedného bodu do kruhu. Dotyčnica je 6, sečna je 18. Určte vnútorný segment sečny.

Riešenie:

6. Dotyčnica a sečna sú nakreslené z jedného bodu do kruhu. Nájdite dotyčnicu, ak je známe, že je menšia ako vnútorný segment sečnice o 4 a väčšia ako vonkajší segment o 4.

Riešenie:

7. Dotyčnica a sečna sú nakreslené z jedného bodu do kruhu. Nájdite sečnicu, ak je známe, že jej vnútorný segment súvisí s vonkajším segmentom v pomere 3:1 a dĺžka dotyčnice je 12.

Riešenie:

8. Dotyčnica a sečna sú nakreslené z jedného bodu do kruhu. Nájdite vonkajší segment sečny, ak je známe, že jeho vnútorný segment je 12 a dĺžka dotyčnice je 8.

Riešenie:

9. Dotyčnica a sečna vychádzajúce z toho istého bodu sa rovnajú 12 a 24. Určte polomer kružnice, ak je sečna vzdialená 12 od stredu.

Riešenie:

c) Dva sekty

10. Z jedného bodu sú do kruhu nakreslené dva sekty, ktorých vnútorné segmenty sa rovnajú 8 a 16. Vonkajší segment druhého sekantu je o 1 menší ako vonkajší segment prvého. Nájdite dĺžku každého sekantu.

Riešenie:

11. Z jedného bodu do kruhu sú nakreslené dva sekty. Vonkajší segment prvého sekantu súvisí s jeho vnútorným ako 1:3. Vonkajší segment druhého sekantu je o 1 menší ako vonkajší segment prvého a súvisí s jeho vnútorným segmentom ako 1:8. Nájdite dĺžku každého sekantu.

Riešenie:

12. Cez bod A, ktorý sa nachádza mimo kružnice vo vzdialenosti 7 od jej stredu, sa vedie priamka pretínajúca kružnicu v bodoch B a C. Nájdite dĺžku polomeru kružnice, ak AB = 3, BC. = 5.

Riešenie:

13. Z bodu A sa ku kružnici nakreslí sečnica dĺžky 12 cm a dotyčnica, zložka vnútorného segmentu sečny. Nájdite dĺžku dotyčnice.

Riešenie:

1. 10,5; 17,5
2. 12;18

3. Upevňovanie vedomostí

Verím, že máte dostatok vedomostí na to, aby ste sa vydali na krátku cestu labyrintom svojho intelektu návštevou nasledujúcich staníc:

• Myslite na to!
• Rozhodnite sa!
• Odpovedz mi!

Na stanici môžete zostať maximálne 6 minút. Za každé správne riešenie úlohy tím získava motivačné body.

Tímy dostanú rozpis trás:

Trasa

Stanica	Problémové čísla	Rozhodovacia značka
Rozhodnite sa!	№1, №3
Myslite na to!	№5, №8
Odpovedz mi!	№10, №11

Chcel by som ťa sklamať výsledky našej lekcie:

Okrem nových vedomostí dúfam, že ste sa lepšie spoznali a získali skúsenosti s prácou v tíme. Myslíte si, že získané poznatky niekde v živote aplikujú?

Básnik G. Longfellow bol tiež matematik. To je pravdepodobne dôvod, prečo živé obrazy, ktoré zdobia matematické pojmy, ktoré použil vo svojom románe „Kawang“, umožňujú vtlačiť niektoré vety a ich aplikácie pre život. V románe čítame nasledujúci problém:

„Ľalia, ktorá sa týčila o jedno pole nad vodnou hladinou, sa pod poryvom čerstvého vetra dotkla hladiny jazera dva lakte od predchádzajúceho miesta; na základe toho bolo potrebné určiť hĺbku jazera“ (1 rozpätie sa rovná 10 palcom, 2 lakte je 21 palcom).

A tento problém je vyriešený na základe vlastnosti pretínajúcich sa akordov. Pozrite sa na obrázok a bude jasné, aké hlboké je jazero.

Riešenie:

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov na území Ruskej federácie – poskytnúť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Vpísané a ohraničené kruhy

Hovorí sa, že kruh je vpísaný do trojuholníka, ak sa dotýka všetkých jeho strán.

Kruh sa nazýva opísaný okolo trojuholníka, ak prechádza všetkými jeho vrcholmi.

Veta 1. Stred kružnice vpísanej do trojuholníka je priesečníkom jej priesečníkov.

Veta 2. Stred kružnice opísanej trojuholníku leží v priesečníku odvesničiek so stranami trojuholníka

2.Vety (vlastnosti rovnobežníka):

· V rovnobežníku sú protiľahlé strany rovnaké a opačné uhly sú rovnaké: , , , .

· Uhlopriečky rovnobežníka sú rozdelené na polovicu priesečníkom: , .

· Uhly susediace s ktoroukoľvek stranou sa sčítavajú do .

· Uhlopriečky rovnobežníka ho rozdeľujú na dva rovnaké trojuholníky.

· Súčet druhých mocnín uhlopriečok rovnobežníka sa rovná súčtu druhých mocnín jeho strán: .

Znaky rovnobežníka:

· Ak sú protiľahlé strany štvoruholníka rovnobežné v pároch, potom tento štvoruholník je rovnobežník.

· Ak v štvoruholníku sú protiľahlé strany rovnaké v pároch, potom tento štvoruholník je rovnobežník.

· Ak sú dve protiľahlé strany štvoruholníka rovnaké a rovnobežné, potom štvoruholník je rovnobežník.

· Ak v štvoruholníku sú pretínajúce sa uhlopriečky rozdelené na polovicu priesečníkom, potom je tento štvoruholník rovnobežník.

· Stredy strán ľubovoľného (vrátane nekonvexného alebo priestorového) štvoruholníka sú vrcholy Varignon rovnobežník.

· Strany tohto rovnobežníka sú rovnobežné s príslušnými uhlopriečkami štvoruholníka. Obvod Varignonovho rovnobežníka sa rovná súčtu dĺžok uhlopriečok pôvodného štvoruholníka a plocha Varignonovho rovnobežníka sa rovná polovici plochy pôvodného štvoruholníka.

3. Lichobežník- štvoruholník, v ktorom sú dve strany rovnobežné a dve strany nie sú rovnobežné. Paralelné strany sú tzv trapézové základne, ďalšie dve - strany.

Výška lichobežníka- vzdialenosť medzi čiarami, na ktorých ležia základne lichobežníka, ľubovoľná spoločná kolmica týchto čiar.

Stredová čiara lichobežníka- segment spájajúci stredy strán.

Vlastnosť lichobežníka:

Ak je kruh vpísaný do lichobežníka, potom sa súčet základov rovná súčtu strán: a stredná čiara je polovicou súčtu strán: .

Rovnoramenný lichobežník- lichobežník, ktorého strany sú rovnaké. Potom sú uhlopriečky a uhly na základni rovnaké, .

Zo všetkých lichobežníkov možno opísať iba kruh okolo rovnoramenného lichobežníka, pretože kruh možno opísať okolo štvoruholníka iba vtedy, ak sa súčet opačných uhlov rovná .

V rovnoramennom lichobežníku sa vzdialenosť od vrcholu jednej základne k priemetu opačného vrcholu na priamku obsahujúcu túto základňu rovná stredovej čiare.

Obdĺžnikový lichobežník- lichobežník, v ktorom sa jeden z uhlov na základni rovná .

Ak sa pretínajú dva akordy kruhu, potom sa súčin segmentov jedného akordu rovná súčinu segmentov druhého akordu.

Dôkaz. Nech E je priesečník tetiv AB a CD (obr. 110). Dokážme, že AE * BE = CE * DE.

Zvážte trojuholníky ADE a CBE. Ich uhly A a C sú rovnaké, pretože sú vpísané a spočívajú na rovnakom oblúku BD. Z podobného dôvodu ∠D = ∠B. Preto sú trojuholníky ADE a CBE podobné (podľa druhého kritéria podobnosti trojuholníkov). Teda DE/BE = AE/CE, príp

AE * BE = CE * DE.

Veta bola dokázaná.

5. Obdĺžnik môže byť rovnobežník, štvorec alebo kosoštvorec.

1. Protiľahlé strany obdĺžnika majú rovnakú dĺžku, to znamená, že sú rovnaké:

AB = CD, BC = AD

2. Opačné strany obdĺžnika sú rovnobežné:

3. Priľahlé strany obdĺžnika sú vždy kolmé:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Všetky štyri rohy obdĺžnika sú rovné:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Súčet uhlov obdĺžnika je 360 ​​stupňov:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Uhlopriečky obdĺžnika majú rovnakú dĺžku:

7. Súčet štvorcov uhlopriečky obdĺžnika sa rovná súčtu štvorcov strán:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. Každá uhlopriečka obdĺžnika rozdeľuje obdĺžnik na dva rovnaké obrazce, konkrétne pravouhlé trojuholníky.

9. Uhlopriečky obdĺžnika sa pretínajú a sú rozdelené na polovicu v priesečníku:

		AO=BO=CO=DO=

10. Priesečník uhlopriečok sa nazýva stred obdĺžnika a je tiež stredom kružnice opísanej

11. Uhlopriečka obdĺžnika je priemer kružnice opísanej

12. Vždy môžete opísať kruh okolo obdĺžnika, pretože súčet opačných uhlov je 180 stupňov:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Kruh nemožno vpísať do obdĺžnika, ktorého dĺžka sa nerovná jeho šírke, keďže súčty protiľahlých strán sa navzájom nerovnajú (kruh možno vpísať len v špeciálnom prípade obdĺžnika - štvorca) .

6. Thalesova veta

Ak položíme niekoľko segmentov za sebou na jednu z dvoch čiar a nakreslíme rovnobežné čiary cez ich konce, ktoré pretínajú druhú čiaru, potom odrežú proporcionálne časti na druhej čiare.

Thalesova konverzná veta

Ak čiary pretínajúce dve ďalšie čiary (paralelné alebo nie) odrežú segmenty rovnaké (alebo proporcionálne) na oboch z nich, počnúc vrcholom, potom sú tieto čiary rovnobežné