kapitolaV. ANALYTICKÁ GEOMETRIA V ROVINE

A VO VESMÍRE

Časť obsahuje úlohy, ktoré sú diskutované v téme „Analytická geometria v rovine a v priestore“: zostavenie rôznych rovníc priamych čiar v rovine a v priestore; určenie vzájomnej polohy priamok v rovine, priamky, priamka a rovina, roviny v priestore; obrázok kriviek druhého rádu. Je potrebné poznamenať, že táto časť predstavuje problémy ekonomického obsahu, pri riešení ktorých sa využívajú informácie z analytickej geometrie v rovine.

Pri riešení úloh analytickej geometrie je vhodné použiť učebnice od autorov: D.V. Kletenika, N. Sh. Kremer, D.T. Napísal V.I. Malykhina, pretože Táto literatúra pokrýva širšiu škálu úloh, ktoré možno využiť pri samoštúdiu na túto tému. Aplikácia analytickej geometrie pri riešení ekonomických problémov je prezentovaná vo vzdelávacích publikáciách M.S. Krass a V.I. Ermakovej.

Problém 5.1. Vzhľadom na súradnice vrcholov trojuholníkaABC . Nevyhnutné

a) napíšte rovnice strán trojuholníka;

b) napíšte rovnicu nadmorskej výšky trojuholníka nakreslenú z vrcholuS na stranuAB a nájdite jeho dĺžku;

c) napíšte rovnicu mediánu trojuholníka nakresleného z vrcholuIN na stranuAC ;

d) nájdite uhly trojuholníka a stanovte jeho typ (obdĺžnikový, ostrý, tupý);

e) nájdite dĺžky strán trojuholníka a určte jeho typ (škálový, rovnoramenný, rovnostranný);

e) nájdite súradnice ťažiska (priesečník stredníc) trojuholníkaABC ;

g) nájdite súradnice ortocentra (priesečník nadmorských výšok) trojuholníkaABC .

Pre každý z bodov a) – c) riešenia urobte výkresy v súradnicovom systéme. Na obrázkoch označ čiary a body zodpovedajúce bodom úlohy.

Príklad 5.1

Vzhľadom na súradnice vrcholov trojuholníkaABC : . Je potrebné a) napísať rovnice strán trojuholníka; b) napíšte rovnicu nadmorskej výšky trojuholníka nakreslenú z vrcholu S na stranuAB a nájdite jeho dĺžku; c) napíšte rovnicu mediánu trojuholníka nakresleného z vrcholuIN na stranuAC ; d) nájdite dĺžky strán trojuholníka a určte jeho typ (škálový, rovnoramenný, rovnostranný); e) nájsť uhly trojuholníka a určiť jeho typ (obdĺžnikový, ostrý, tupý); e) nájdite súradnice ťažiska (priesečník stredníc) trojuholníka ABC ; g) nájdite súradnice ortocentra (priesečník nadmorských výšok) trojuholníkaABC .

Riešenie

A) Pre každú stranu trojuholníka sú známe súradnice dvoch bodov, ktoré ležia na požadovaných priamkach, čo znamená, že rovnice strán trojuholníka sú rovnice priamok prechádzajúcich dvomi danými bodmi.

,

Kde
A
zodpovedajúce súradnice bodov.

Dosadením súradníc bodov zodpovedajúcich priamkam do vzorca (5.1) dostaneme

,
,
,

odkiaľ po transformáciách zapisujeme rovnice strán

Na obr. 7 znázorňujeme zodpovedajúce strany trojuholníka
rovno.

odpoveď:

b) Nechaj
– výška ťahaná od vrcholu na stranu
. Pretože
prechádza cez bod kolmo na vektor
, potom zostavíme rovnicu priamky pomocou nasledujúceho vzorca

Kde
– súradnice vektora kolmé na požadovanú čiaru,
– súradnice bodu patriaceho k tejto priamke. Nájdite súradnice vektora kolmého na čiaru
a doplňte do vzorca (5.2)

,
,

.

Nájdite dĺžku výšky CH ako vzdialenosť od bodu na priamku

,

Kde
– rovnica priamky
,
– súradnice bodu .

V predchádzajúcom odseku to bolo nájdené

Dosadením údajov do vzorca (5.3) získame

,

Na obr. 8 nakreslite trojuholník a zistenú výšku CH.

odpoveď: .

R je. 8

V) medián
trojuholník
rozdeľuje stranu
na dve rovnaké časti, t.j. bodka je stredom segmentu
. Na základe toho môžete nájsť súradnice
bodov

, ,

Kde
A
A , ktorých dosadením do vzorcov (5.4) dostaneme

;
.

Mediánová rovnica
trojuholník
Napíšme to ako rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi
A
podľa vzorca (5.1)

,

.

odpoveď:(obr. 9).

R je. 9

G) Dĺžky strán trojuholníka nájdeme ako dĺžky zodpovedajúcich vektorov, t.j.

,
,
.

strany
A
trojuholník
sú rovnaké, čo znamená, že trojuholník je rovnoramenný so základňou
.

odpoveď: trojuholník
rovnoramenné so základňou
;

,
.

d) Uhly trojuholníka
nájdime uhly medzi vektormi vychádzajúcimi z príslušných vrcholov daného trojuholníka, t.j.

,
,
.

Keďže trojuholník je rovnoramenný so základňou
, To

,

Uhly medzi vektormi vypočítame pomocou vzorca (4.4), ktorý vyžaduje skalárne súčiny vektorov
,
.

Nájdite súradnice a veľkosti vektorov potrebné na výpočet uhlov

,
;

,
,
.

Dosadením zistených údajov do vzorca (4.4) získame

,

Pretože kosínusy všetkých nájdených uhlov sú kladné, potom trojuholník
má ostrý uhol.

odpoveď: trojuholník
ostrý uhol;

,
,
.

e) Nechaj

, potom súradnice
bodov
možno nájsť pomocou vzorcov (5.5)

, ,

Kde
,
A
– súradnice bodov resp , A , teda,

,
.

odpoveď:
– ťažisko trojuholníka
.

a) Nechaj – ortocentrum trojuholníka
. Nájdite súradnice bodu ako súradnice priesečníka výšok trojuholníka. Výšková rovnica
bol nájdený na b). Poďme nájsť výškovú rovnicu
:

,
,

.

Pretože
, potom riešenie systému

sú súradnice bodu , kde nájdeme
.

odpoveď:
– ortocentrum trojuholníka
.

Problém 5.2. Fixné náklady v podniku pri výrobe niektorých produktov súF V 0 trieť. na jednotku produkcie s príjmom vo výškeR 0 trieť. na jednotku vyrobeného produktu. Vytvorte ziskovú funkciuP (q ) (q

Údaje pre problémový stav zodpovedajúce možnostiam:

Príklad 5.2

Fixné náklady v podniku pri výrobe niektorých produktov sú
trieť. za mesiac, variabilné náklady –
trieť. na jednotku produkcie s príjmom vo výške
trieť. na jednotku vyrobeného produktu. Vytvorte ziskovú funkciuP (q ) (q – množstvo vyrobených produktov); zostavte jeho graf a určte bod zlomu.

Riešenie

Vypočítajme celkové výrobné náklady pri vydaní q jednotky niektorých produktov

Ak sa predá q jednotiek produkcie, potom bude celkový príjem

Na základe získaných funkcií celkových príjmov a celkových nákladov nájdeme funkciu zisku

,

.

Bod zlomu – bod, v ktorom je zisk nulový, alebo bod, v ktorom sa celkové náklady rovnajú celkovým príjmom

,

,

odkiaľ to nájdeme?

- vyrovnať.

Na vykreslenie grafu (obr. 10) ziskovej funkcie nájdeme ešte jeden bod

odpoveď: zisková funkcia
, vyrovnať
.

Problém 5.3. Zákony ponuky a dopytu po určitom produkte sú určené rovnicamip = p D (q ), p = p S (q ), Kdep - cena produktu,q - množstvo tovaru. Predpokladá sa, že dopyt je určený len cenou produktu na trhup S , a ponuka je len podľa cenyp S prijaté dodávateľmi. Nevyhnutné

a) určiť bod trhovej rovnováhy;

b) rovnovážny bod po zavedení dane rovnajúcej sat . Určte zvýšenie ceny a zníženie rovnovážneho objemu predaja;

c) nájsť dotácius , čo povedie k zvýšeniu tržieb oq 0 Jednotky vo vzťahu k originálu (definovanému v odseku a));

d) nájsť nový rovnovážny bod a vládny príjem pri zavedení dane úmernej cene a rovnejN %;

e) určiť, koľko peňazí vláda vynaloží na odkúpenie prebytku pri stanovení minimálnej ceny rovnej p 0 .

Pre každý bod riešenia urobte nákres v súradnicovom systéme. Na obrázku označte čiary a body zodpovedajúce položke úlohy.

Údaje pre problémový stav zodpovedajúce možnostiam:

Ako sa naučiť riešiť problémy v analytickej geometrii?
Typický problém s trojuholníkom v rovine

Táto lekcia je vytvorená o priblížení sa k rovníku medzi geometriou roviny a geometriou priestoru. V súčasnosti je potrebné systematizovať nahromadené informácie a odpovedať na veľmi dôležitú otázku: ako sa naučiť riešiť problémy v analytickej geometrii? Problém je v tom, že v geometrii môžete prísť s nekonečným množstvom problémov a žiadna učebnica nebude obsahovať množstvo a rozmanitosť príkladov. Nie je derivácia funkcie s piatimi pravidlami diferenciácie, tabuľkou a niekoľkými technikami...

Existuje riešenie! Nebudem nahlas hovoriť o tom, že som vyvinul nejakú grandióznu techniku, ale podľa môjho názoru existuje efektívny prístup k uvažovanému problému, ktorý umožňuje aj úplnej figuríne dosiahnuť dobré a vynikajúce výsledky. Prinajmenšom sa v mojej hlave veľmi jasne formoval všeobecný algoritmus na riešenie geometrických problémov.

ČO POTREBUJETE VEDIEŤ A BYŤ SCHOPNÝ
za úspešné riešenie problémov s geometriou?

Z toho nie je úniku - aby ste si náhodne nestrkali gombíky nosom, musíte zvládnuť základy analytickej geometrie. Preto, ak ste práve začali študovať geometriu alebo ste ju úplne zabudli, začnite s lekciou Vektory pre figuríny. Okrem vektorov a akcií s nimi musíte poznať základné pojmy rovinnej geometrie, najmä rovnica priamky v rovine A . Geometria priestoru je prezentovaná v článkoch Rovinná rovnica, Rovnice priamky v priestore, Základné úlohy na priamke a rovine a niektoré ďalšie lekcie. Zakrivené línie a priestorové plochy druhého rádu stoja trochu od seba a nie je s nimi toľko špecifických problémov.

Predpokladajme, že študent už má základné vedomosti a zručnosti pri riešení najjednoduchších úloh analytickej geometrie. Ale stane sa to takto: prečítate si vyhlásenie o probléme a... chcete celú vec úplne uzavrieť, hodiť ju do vzdialeného kúta a zabudnúť na ňu ako na zlý sen. Navyše to zásadne nezávisí od úrovne vašej kvalifikácie, aj ja sám sa z času na čas stretávam s úlohami, ktorých riešenie nie je zrejmé. Čo robiť v takýchto prípadoch? Nemusíte sa báť úlohy, ktorej nerozumiete!

Po prvé, treba nainštalovať - Je to „plochý“ alebo priestorový problém? Napríklad, ak podmienka obsahuje vektory s dvoma súradnicami, potom je to samozrejme geometria roviny. A ak učiteľ naložil vďačnému poslucháčovi pyramídu, tak je tu jednoznačne geometria priestoru. Výsledky prvého kroku sú už celkom dobré, pretože sa nám podarilo odrezať obrovské množstvo informácií nepotrebných pre túto úlohu!

Po druhé. Podmienka sa vás zvyčajne týka nejakého geometrického útvaru. Naozaj, prejdite sa po chodbách svojej rodnej univerzity a uvidíte veľa ustaraných tvárí.

V „plochých“ problémoch, nehovoriac o zjavných bodoch a líniách, je najobľúbenejšou postavou trojuholník. Budeme to analyzovať veľmi podrobne. Nasleduje rovnobežník a oveľa menej bežné sú obdĺžniky, štvorce, kosoštvorce, kruhy a iné tvary.

V priestorových úlohách môžu lietať rovnaké ploché postavy + samotné lietadlá a bežné trojuholníkové pyramídy s rovnobežnostenmi.

Otázka druhá - Viete všetko o tejto postave? Predpokladajme, že podmienka hovorí o rovnoramennom trojuholníku a vy si veľmi matne pamätáte, o aký trojuholník ide. Otvárame školskú učebnicu a čítame o rovnoramennom trojuholníku. Čo robiť... lekár povedal kosoštvorec, to znamená kosoštvorec. Analytická geometria je analytická geometria, ale problém vyriešia samotné geometrické vlastnosti obrazcov, nám známy zo školských osnov. Ak neviete, aký je súčet uhlov trojuholníka, môžete dlho trpieť.

Po tretie. VŽDY sa snažte postupovať podľa výkresu(na koncepte/dokončenej kópii/mentálne), aj keď si to podmienka nevyžaduje. V „plochých“ problémoch sám Euclid nariadil vziať pravítko a ceruzku - a to nielen kvôli pochopeniu stavu, ale aj na účely vlastného testu. V tomto prípade je najvhodnejšia mierka 1 jednotka = 1 cm (2 bunky notebooku). Nehovorme o neopatrných študentoch a matematikoch, ktorí sa točia v hroboch – pomýliť sa v takýchto problémoch je takmer nemožné. Pre priestorové úlohy vykonávame schematický výkres, ktorý tiež pomôže analyzovať stav.

Výkres alebo schematický výkres vám často umožňuje okamžite vidieť spôsob riešenia problému. Samozrejme, na to potrebujete poznať základy geometrie a pochopiť vlastnosti geometrických tvarov (pozri predchádzajúci odsek).

Po štvrté. Vývoj algoritmu riešenia. Mnohé geometrické problémy sú viacstupňové, takže riešenie a jeho návrh je veľmi vhodné rozdeliť do bodov. Algoritmus vám často príde na myseľ po prečítaní podmienky alebo dokončení výkresu. V prípade ťažkostí začíname OTÁZKOU úlohy. Napríklad podľa podmienky „potrebujete postaviť priamku...“. Tu je najlogickejšia otázka: „Čo stačí vedieť na vytvorenie tejto priamky? Predpokladajme, že „poznáme bod, potrebujeme poznať smerový vektor“. Kladieme si nasledujúcu otázku: „Ako nájsť tento smerový vektor? Kde?" atď.

Niekedy sa vyskytne „chyba“ - problém sa nevyrieši a to je všetko. Dôvody zastavenia môžu byť nasledovné:

– Vážna medzera v základných vedomostiach. Inými slovami, neviete a/alebo nevidíte nejakú veľmi jednoduchú vec.

– Neznalosť vlastností geometrických útvarov.

- Úloha bola náročná. Áno, stáva sa. Nemá zmysel celé hodiny naparovať a zbierať slzy do vreckovky. Požiadajte o radu svojho učiteľa, spolužiakov alebo položte otázku na fóre. Okrem toho je lepšie uviesť svoje vyhlásenie konkrétne - o tej časti riešenia, ktorej nerozumiete. Výkrik v podobe "Ako vyriešiť problém?" nevyzerá veľmi dobre... a predovšetkým pre svoju vlastnú povesť.

Piata etapa. Rozhodneme-preveríme, rozhodneme-preveríme, rozhodneme-preveríme-dám odpoveď. Je užitočné skontrolovať každý bod úlohy ihneď po jeho dokončení. To vám pomôže okamžite zistiť chybu. Prirodzene, nikto nezakazuje rýchlo vyriešiť celý problém, ale existuje riziko prepisovania všetkého znova (často aj niekoľkých strán).

To sú snáď všetky hlavné hľadiská, ktoré treba pri riešení problémov dodržiavať.

Praktická časť hodiny je prezentovaná v rovinnej geometrii. Budú len dva príklady, ale nebude to stačiť =)

Poďme si prejsť vláknom algoritmu, na ktorý som sa práve pozrel vo svojej malej vedeckej práci:

Príklad 1

Sú uvedené tri vrcholy rovnobežníka. Nájdite vrchol.

Začnime rozumieť:

Krok jedna: Je zrejmé, že hovoríme o „plochom“ probléme.

Krok dva: Problém sa týka rovnobežníka. Pamätá si každý tento rovnobežník? Netreba sa usmievať, veľa ľudí sa vzdeláva vo veku 30-40-50 a viac rokov, takže aj jednoduché fakty sa dajú vymazať z pamäte. Definícia rovnobežníka sa nachádza v príklade č. 3 lekcie Lineárna (ne)závislosť vektorov. Základy vektorov.

Krok tri: Urobme si kresbu, na ktorej si označíme tri známe vrcholy. Je zábavné, že nie je ťažké okamžite vytvoriť požadovaný bod:

Jeho skonštruovanie je, samozrejme, dobré, ale riešenie musí byť formulované analyticky.

Krok štyri: Vývoj algoritmu riešenia. Prvá vec, ktorá príde na myseľ, je, že bod možno nájsť ako priesečník čiar. Nepoznáme ich rovnice, takže sa budeme musieť zaoberať týmto problémom:

1) Protiľahlé strany sú rovnobežné. Podľa bodov Nájdite smerový vektor týchto strán. Toto je najjednoduchší problém, o ktorom sa v triede hovorilo. Vektory pre figuríny.

Poznámka: správnejšie je povedať „rovnica priamky obsahujúcej stranu“, ale tu a ďalej pre stručnosť budem používať frázy „rovnica strany“, „smerový vektor strany“ atď.

3) Protiľahlé strany sú rovnobežné. Pomocou bodov nájdeme smerový vektor týchto strán.

4) Vytvorme rovnicu priamky pomocou bodu a smerového vektora

V odstavcoch 1-2 a 3-4 sme ten istý problém riešili vlastne dvakrát, mimochodom bol rozoberaný v príklade č.3 lekcie Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine. Dalo sa ísť aj dlhšou cestou - najprv nájsť rovnice čiar a až potom z nich „vytiahnuť“ smerové vektory.

5) Teraz sú známe rovnice priamok. Zostáva už len poskladať a vyriešiť zodpovedajúcu sústavu lineárnych rovníc (pozri príklady č. 4, 5 tej istej lekcie Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine).

Pointa sa našla.

Úloha je celkom jednoduchá a jej riešenie je zrejmé, existuje však aj kratšia cesta!

Druhé riešenie:

Uhlopriečky rovnobežníka sú rozdelené na polovicu ich priesečníka. Bod som označil, ale aby som kresbu neprepchal, nekreslil som samotné uhlopriečky.

Vytvorme rovnicu pre stranu bod po bode:

Ak chcete skontrolovať, mali by ste v duchu alebo na návrhu nahradiť súradnice každého bodu do výslednej rovnice. Teraz nájdime svah. Aby sme to dosiahli, prepíšeme všeobecnú rovnicu vo forme rovnice s koeficientom sklonu:

Sklon je teda:

Podobne nájdeme rovnice strán. Nevidím veľký zmysel opisovať to isté, takže hneď uvediem hotový výsledok:

2) Nájdite dĺžku strany. Toto je najjednoduchší problém v triede. Vektory pre figuríny. Na body použijeme vzorec:

Pomocou rovnakého vzorca je ľahké nájsť dĺžky ostatných strán. Kontrola môže byť vykonaná veľmi rýchlo pomocou bežného pravítka.

Používame vzorec .

Poďme nájsť vektory:

Takto:

Mimochodom, po ceste sme našli dĺžky strán.

Ako výsledok:

Zdá sa, že je to pravda, aby ste boli presvedčiví, môžete do rohu pripevniť uhlomer.

Pozor! Nezamieňajte si uhol trojuholníka s uhlom medzi rovnými čiarami. Uhol trojuholníka môže byť tupý, ale uhol medzi priamymi čiarami nie (pozri posledný odsek článku Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine). Na nájdenie uhla trojuholníka však môžete použiť aj vzorce z predchádzajúcej lekcie, ale drsné je, že tieto vzorce vždy dávajú ostrý uhol. S ich pomocou som tento problém vyriešil v návrhu a dostal som výsledok. A na posledný výtlačok by som musel napísať ďalšie výhovorky, že .

4) Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom rovnobežným s priamkou.

Štandardná úloha, podrobne rozobratá v príklade č. 2 lekcie Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine. Zo všeobecnej rovnice priamky Vyberme vodiaci vektor. Vytvorme rovnicu priamky pomocou bodu a smerového vektora:

Ako zistiť výšku trojuholníka?

5) Vytvorme rovnicu pre výšku a nájdime jej dĺžku.

Pred prísnymi definíciami niet úniku, takže budete musieť kradnúť zo školskej učebnice:

Výška trojuholníka sa nazýva kolmica vedená z vrcholu trojuholníka na priamku obsahujúcu opačnú stranu.

To znamená, že je potrebné vytvoriť rovnicu pre kolmicu vedenú z vrcholu na stranu. Táto úloha je diskutovaná v príkladoch č. 6, 7 lekcie Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine. Z rov. odstráňte normálny vektor. Zostavme výškovú rovnicu pomocou bodového a smerového vektora:

Upozorňujeme, že nepoznáme súradnice bodu.

Niekedy sa výšková rovnica zistí z pomeru uhlových koeficientov kolmých čiar: . V tomto prípade potom: . Zostavme výškovú rovnicu pomocou bodu a uhlového koeficientu (pozri začiatok lekcie Rovnica priamky na rovine):

Výšku dĺžky je možné zistiť dvoma spôsobmi.

Existuje kruhový objazd:

a) nájsť – priesečník výšky a strany;
b) nájdite dĺžku úsečky pomocou dvoch známych bodov.

Ale v triede Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine zvažoval sa vhodný vzorec pre vzdialenosť od bodu k priamke. Bod je známy: , rovnica priamky je tiež známa: , teda:

6) Vypočítajte obsah trojuholníka. Vo vesmíre sa plocha trojuholníka tradične počíta pomocou vektorový súčin vektorov, ale tu je nám daný trojuholník v rovine. Používame školský vzorec:
- Plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu jeho základne a jeho výšky.

V tomto prípade:

Ako nájsť stred trojuholníka?

7) Vytvorme rovnicu pre medián.

Stred trojuholníka nazývaná úsečka spájajúca vrchol trojuholníka so stredom protiľahlej strany.

a) Nájdite bod - stred strany. Používame vzorce pre súradnice stredu segmentu. Súradnice koncov segmentu sú známe: , potom súradnice stredu:

Takto:

Zostavme strednú rovnicu bod po bode :

Ak chcete rovnicu skontrolovať, musíte do nej nahradiť súradnice bodov.

8) Nájdite priesečník výšky a mediánu. Myslím, že každý sa už naučil, ako vykonávať tento prvok krasokorčuľovania bez pádu:

V geometrii sa často zvažuje pojem „vrchol trojuholníka“. Toto je priesečník dvoch strán daného obrazca. Tento koncept sa objavuje takmer v každom probléme, preto má zmysel ho podrobnejšie zvážiť.

Určenie vrcholu trojuholníka

V trojuholníku sú tri body, kde sa strany pretínajú a tvoria tri uhly. Nazývajú sa vrcholy a strany, na ktorých spočívajú, sa nazývajú strany trojuholníka.

Ryža. 1. Vrchol v trojuholníku.

Vrcholy v trojuholníkoch sú označené veľkými písmenami. Preto sa v matematike najčastejšie strany označujú dvoma veľkými latinskými písmenami, za názvami vrcholov, ktoré do strán vstupujú. Napríklad strana AB je strana trojuholníka spájajúceho vrcholy A a B.

Ryža. 2. Označenie vrcholov v trojuholníku.

Charakteristika konceptu

Ak vezmeme trojuholník ľubovoľne orientovaný v rovine, potom je v praxi veľmi vhodné vyjadriť jeho geometrické charakteristiky prostredníctvom súradníc vrcholov tohto obrázku. Vrchol A trojuholníka teda možno vyjadriť ako bod s určitými číselnými parametrami A(x; y).

Keď poznáte súradnice vrcholov trojuholníka, môžete nájsť priesečníky mediánov, dĺžku výšky zníženú na jednu zo strán obrázku a oblasť trojuholníka.

Na tento účel sa používajú vlastnosti vektorov znázornených v karteziánskom súradnicovom systéme, pretože dĺžka strany trojuholníka je určená dĺžkou vektora s bodmi, v ktorých sa nachádzajú zodpovedajúce vrcholy tohto obrázku.

Pomocou vrcholu trojuholníka

Pre každý vrchol trojuholníka môžete nájsť uhol, ktorý bude susediť s vnútorným uhlom daného obrázku. Aby ste to dosiahli, budete musieť predĺžiť jednu zo strán trojuholníka. Keďže v každom vrchole sú dve strany, v každom vrchole sú dva vonkajšie uhly. Vonkajší uhol sa rovná súčtu dvoch vnútorných uhlov trojuholníka, ktoré s ním nesusedia.

Ryža. 3. Vlastnosť vonkajšieho uhla trojuholníka.

Ak vytvoríte dva vonkajšie uhly v jednom vrchole, budú rovnaké ako vertikálne.

Čo sme sa naučili?

Jedným z dôležitých konceptov geometrie pri pohľade na rôzne typy trojuholníkov je vrchol. Toto je bod, kde sa pretínajú dve strany uhla daného geometrického útvaru. Označuje sa jedným z veľkých písmen latinskej abecedy. Vrchol trojuholníka možno vyjadriť pomocou súradníc x a y, čo pomáha definovať dĺžku strany trojuholníka ako dĺžku vektora.

Test na danú tému

Hodnotenie článku

Priemerné hodnotenie: 4.2. Celkový počet získaných hodnotení: 153.